celebrem el 20è aniversari: una miradarovira-forns.cat/files/activitats/1314/n20.pdfnombre màxim...

Institut Rovira -

FornsProjecte TANDEMSanta Perpetua, 19 de març

2014

Celebrem el 20è aniversari: una mirada

matemàtica al número 20.Jordi Deulofeu

Universitat Autònoma de Barcelona

Una mirada matemàtica al món

Departament de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Experimentals

-

Les matemàtiques com a construcció

intel·lectual de la humanitat tenen com un dels seus principals objectius tractar de comprendre el complex món en què

vivim, tant el

físic com el social.

-Mirar el món amb unes “ulleres matemàtiques”

significa observar i analitzar certes característiques del que ens envolta:

-

Objectes materials: forma, regularitats, mesures,...

-

Fenòmens (naturals/socials): relacions de causalitat o, si aquests no existeixen, tractar de comprendre l'atzar.

Una mirada matemàtica al món (II)


Aquesta forma peculiar d'exploració

de la realitat ha fet sorgir cadascun dels grans conceptes matemàtics:

- El nombre i l’aritmètica: origen en l’estudi de la multiplicitat

- Les formes i la geometria: origen en l‘estudi de l’espai

-

L'àlgebra: origen en l’estudi dels símbols i la generalització

- Les funcions i el càlcul: estudi dels fenòmens de canvi

- La probabilitat i l’estadística: estudi de la incertesa/de l’atzar

- La lògica: estudi de l'estructura formal del pensament

Fotografia matemàtica


pensament

Què

són els nombres?


Un dels grans conceptes de la matemàtica és el de nombre, organitzador, en primera instància, de la quantitat (n. naturals).

Podem mirar cap a fora, cap al món i trobarem números per tot arreu, el que anomenem nombres en context.

Quins tipus de nombres hi ha? Per a què

serveixen?


Operacions possibles

UsosNombres naturals

+ , x

Quantitats/

ordre/ codificacióNombres enters

-

guanys/ pèrdues

Nombres racionals

:

Repartiments / aprox. mesura

Nombres reals

Arrels positives

Mesura

Nombres complexos Arrels negatives

El nombre 20 en context (I)


Ciència:

-

El número atòmic del calci-

La pluja de meteorits de la constel·lació

de

Coma Berenice

(1959) porta el número 20 de la IAU -Nombre de dents que hi ha a la dentició

caduca

(dents de llet), formada per: 8 incisius, 4 canins i 8 molars.-

Nombre d'aminoàcids proteinogènics que s’han

codificat segons codi genètic estàndard -La longitud del meridià

(d’un pol a l’altre) és de:

20

milions de metres.-Nombre de cares (triangles) d’un poliedre regular anomenat icosàedre (imatge: dau romà, segle II) i de vèrtex d’un dodecaedre.

El nombre 20 en context (II)


Altres:-En certs països, índex per mesurar la capacitat visual: 20/20 indica visió

perfecte a 20 peus.-

En la tradició

japonesa la majoria

d'edat s’estableix en 20 anys.-

Una diana estàndard està

dividida en

20 sectors numerats de l’1 al 20.-

20 es el codi per trucades de telèfon

internacionals d’Egipte.-

020 és el codi ISO que correspon a

Andorra (numeració

de tots els països).- En anglès 20 s’anomena “a score”.-

Nombre màxim de moviments per

resoldre el cub de Rubik.-

En una partida d’escacs, nombre de

moviments possibles de la 1ª

jugada.

El 20 i les dates curioses


Suposem un rellotge –

calendari digital format per 12 xifres:12 : 34 / 19 –

03 / 2014

En un moment del 20 de febrer del 2002 va assenyalar:20 : 02 / 20 –

02 / 2002

Que és un triple capicua magnífic. Quantes vegades passa això?

10 : 01 / 10 –

01 / 100111 : 11 / 11 –

11 / 1111

20 : 02 / 20 –

02 / 200221 : 12 / 21 –

12 / 2112

Característiques matemàtiques del 20


El 20 és un nombre compost i la seva descomposició

en factors primers és: 2 · 2 · 5 (o bé 22

·

5). Per tant, és 5 vegades un quadrat.

Té

6 divisors: 1, 2, 4, 5,10, 20.

És un nombre abundant ja que la suma dels seus divisors propis és major que el nombre: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22 > 20.

És un nombre quasi perfecte (el segon després del 12) ja que la suma d’alguns dels seus divisors és igual al nombre: 1 + 4 + 5 + 10 = 20. Els primers perfectes (suma de tots els seus divisors propis) són: El 6 =1 + 2 + 3 i el 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Una curiositat: 20 és el nombre més petit tal que si darrera seu posem qualsevol xifra (200, 201, 202, 203, 204,...) el nombre obtingut

és compost

Representacions geomètriques del 20


Es pot representar com un nombre rectangular de 3 maneres diferents:1 x 20

2 x 10

4 x 5

El 20 és un nombre tetraèdric, ja que és la suma dels 4 primers nombres triangulars: 1 + 3 + 6 +10 = 20

El 20 i el triangle aritmètic (o de Pascal)


1

1

1

1

2 1

1

3 3 1

1

4 6 4 1

1

5 10 10 5 1

1 6 15 20

15 6 1

-

Com es troben els nombres del triangle?

-

Què

són les successives diagonals?

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1....1, 2, 3, 4, 5, 6, 7....1, 3, 6,10,15,21...1, 4,10, 20,

35...

-

Quant sumen les files?

Els políedres regulars


-

Què

és un políedre regular? Quants n’hi ha?-

Per què

només hi ha 5 políedres regulars?

-

Quins són els seus noms?

El 20 i els políedres regulars


cares

vèrtex

arestesTETRÀEDRE

4

4

6

HEXÀEDRE

6 8

12

OCTÀEDRE 8

6

12

DODECÀEDRE

12

20 30ICOSAEDRE

20 12

30

-

El 20 correspon al nombre de vèrtex del dodecàedre i al de cares de l’icosàedre

-

Quina relació

hi ha entre cares, vèrtex i arestes d’un políedre?

Fórmula d’Euler: C + V = A + 2


Quantificació

i escriptura dels nombres

-

La manera d’escriure els nombres constitueix un sistema de numeració. Hi ha bàsicament dos tipus de Sistemes:

-

Additius (egipci, romà)-

Posicionals (babilònic, el nostre sistema decimal, el sistema binari, el sistema de la cultura maia)

-

Les diferències principals són:

-

Nombre il·limitat o nombre finit de símbols-

Canvi del valor dels símbols segons la posició.

-

Necessitat (o no) del zero-

Us dels sistema per a realitzar operacions

Diferents representacions numèriques del 20


20 en el nostre sistema de numeració (posicional decimal) significa la quantitat

d’elements d’un conjunt com aquest:

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

Aquesta mateixa quantitat s’expressa amb símbols diferents, si canvia el sistema de numeració:Antic Egipte (additiu decimal): ∩ ∩Numeració

Romana: X X

Maia (posicional de base 20): .

Escriptura del 20 en diferents bases:

Base 2: 10100Base 3: 202Base 4: 110Base 5: 40Base 6: 32Base 7: 26Base 8: 24Base 9: 22

Base 20: 10

La base 20 i el sistema de numeració

maia


Com escrivien el nombre 465? 1 ·

202

+ 3 ·

20 + 5

Nivell 3: (400)

.

Nivell 2: (60)

... Nivell 1: (5)

___

I el nombre 8805? 1 ·

203

+ 2 ·

202

+ 5

Nivell 4: (8000)

.

Nivell 3: (800)

.. Nivell 2: (0)

Nivell 1: (5) ___

Rastres de base 20 en altres sistemes


En francès el nombre 80 es diu: quatre vingts (4 vegades 20), i a partir del 80 fins al 99, es segueix un sistema de base 20.

En basc Vint (hogei) és emprat com a nombre base, en nombres fins a 100 (ehun). Els mots per 40 (berrogei), 60 (hirurogei) i 80 (laurogei) signifiquen "dues vintenes", "tres vintenes" i "quatre vintenes". Per exemple, el 75 és anomenat hirurogeita hamabost, que vol dir: "tres vintenes i deu -

cinc".

En danès 60 es diu: tresindstyve, que significa tres vegades vint. Moltes altres llengües, com l’albanès o el georgià utilitzen el 20 de manera

similar.

En el sistema antic de monedes anglès: 1 pound

(lliura) són 20 shillings

En el sistema antic de monedes francès:

1 franc són 20 sous

Més representacions numèriques del 20


Com a diferència de dos quadrats: 62

– 42

Com a suma de 4 (o menys) quadrats: 42

+ 22

Com a suma de 6 (o menys) cubs: 23

+ 23

+ 13

+ 13

+ 13

+ 13

Com a suma de dos primers: 17 + 3 / 13 + 7

Com a suma de consecutius: 2 + 3 + 4 + 5 + 6

Com a suma de senars consecutius: 9 + 11

Encara més representacions del 20


Suma dels 6 primers nombres de la successió

de Fibonacci:

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20

Suma dels 4 primers nombres parells:

2 + 4 + 6 + 8 = 20

Suma dels 4 primers nombres triangulars

1 + 3 + 6 + 10 = 20

Expressar 20 utilitzant quatre vegades una mateixa xifra: 22

+ 22x2 = 20

4 (4/4 + 4) = 20 5 (5 –

5/5)= 20


Un problema amb els 20 primers nombres naturals

Ordena (de petit a gran) els 5 nombres que s’obtenen de la següent manera, sense necessitat de fer operacions:

Considerem els nombres enters de l’1 al 20:

A) Sumem tots els nombres. B) Sumem totes les xifres. C) Fem el producte de tots els nombres. D) Fem el producte de totes les xifres. E) Posem els nombres un a continuació

de l’altre.

Justifica la teva ordenació.


Un problema amb els 20 primers nombres naturals (solució)

Ordenació:

1. (el més petit). D) Fem el producte de totes les xifres 2. B) Sumem totes les xifres. 3. A) Sumem tots els nombres. 4. C) Fem el producte de tots els nombres. 5. (el més gran) E) Posem els nombres un a continuació

de l’altre.


Una recreació

matemàtica amb el nombre 20

Posar els nombres del 1 al 9 formant un triangle de manera que tots els costats sumin 20

*

* *

* *

* * * *


Una recreació

matemàtica amb el nombre 20 (solució)

Posar els nombres del 1 al 9 formant un triangle de manera que tots els costats sumin 20

8

7 1

3 6

2 9 4 5


Un joc d’estratègia amb el nombre 20

Tenim 20 fitxes sobre la taula. Al seu torn cada jugador pot agafar de 1 a 4 fitxes. Qui agafi la darrera fitxa guanya la partida. Com s’ha de fer per guanyar?



Un joc d’estratègia amb el nombre 20 (solució)

Solució: Hi ha una estratègia guanyadora pel segon jugador si juga de manera que entre una jugada del 1er i la següent del 2on, les fitxes retirades sumin 5 (completar grups de 5)

Què

passaria si el nombre de fitxes fos 23?



El joc de les 20 preguntes

Es tracta de fer fins a 20 preguntes, la resposta a cadascuna de les quals ha de ser “si”

o bé

“no”,

per tal d’endevinar una cosa (objecte, paraula,....)

El joc es pot fer per endevinar un nombre (prèviament es determina la màxima grandària: per exemple, menor que 100, 1000, 10000,...)

celebrem el 20è aniversari: una miradarovira-forns.cat/files/activitats/1314/n20.pdfnombre màxim...

Documents