Universidad Juárez Autónoma de Tabasco

“Estudio en la duda. Acción en la fe”.

División Académica de ingeniería y arquitectura

Ingeniería química

CIENCIAS DE LOS MATERIALES

Alumna:

Mayra Guadalupe Hernández Jiménez

Matrícula: 102D15035

Paraíso, Tabasco, a 06 de septiembre de 2012.

CELDAS UNITARIAS DE BRAVAIS

Se define como celda unitaria, la porción más simple de la estructura cristalina que al repetirse mediante traslación reproduce todo el cristal. Todos los materiales cristalinos adoptan una distribución regular de átomos o iones en el espacio.

Se trata de un arreglo espacial de átomos que se repite en el espacio tridimensional definiendo la estructura del cristal. Se caracteriza por tres vectores que definen las tres direcciones independientes del sistema de coordenadas de la celda. Esto se traduce en seis parámetros de red, que son los módulos,  ,   y  , de los tres vectores, y los ángulos  ,   y   que forman entre sí. Estos tres vectores forman una base del espacio tridimensional, de tal manera que las coordenadas de cada uno de los puntos de la red se pueden obtener a partir de ellos por combinación lineal con los coeficientes enteros.

La posición de un átomo dentro de la celda unidad se describe normalmente usando coordenadas fraccionarias. La simetría traslacional de una estructura cristalina se caracteriza mediante la red de Bravais, existen 14 redes de Bravais diferentes y todas las estructuras cristalinas minerales conocidas encajan en una de esas 14 disposiciones. Estas redes pueden ser:

Tipo P: Se denomina primitiva y tiene puntos de red en los vértices de la celda.

Tipo I: Red centrada en el interior. Esta presenta puntos de red en los vértices de la celda y en el centro de la celda.

Tipo F: Red centrada en todas las caras. Presenta puntos de red en los centros de todas las caras, así como en los vértices.

Tipo C: Red centrada en la base. Una red tipo C se refiere al caso en el que la simetría traslacional coloca puntos de red en los centros de las caras delimitados por las direcciones a y b así como en el origen.

Además de la simetría traslacional descrita en una red cristalina existen elementos de simetría. Estos elementos son:

Centro de inversión. Plano de reflexión. Ejes de rotación de orden 2, 3, 4 y 6. Ejes de rotación-inversión de orden 3, 4 y 6.

Los elementos de simetría anteriores pueden coexistir en una estructura cristalina dando lugar a lo que se conoce como grupo puntual de simetría. Existen 32 grupos puntuales de simetría y el nombre alude a que las operaciones asociadas forman un grupo matemático y los elementos tienen un punto en común que no se mueve al realizar las operaciones.

Cuando se acoplan traslación con los ejes de rotación y planos de simetría surgen nuevos elementos de simetría: ejes helicoidales y planos de deslizamiento.

Cuando se combinan los 32 grupos puntuales de simetría con los elementos de simetría traslacional y las 14 redes de Bravais se obtienen los 230 grupos espaciales de simetría posibles. Estos grupos determinan los tipos y posiciones de los elementos de simetría que son posibles para una estructura cristalina.

Los puntos de red que muestran la simetría traslacional de una estructura pueden ser conectados mediante los planos de red. Cada plano pertenece a un conjunto de planos equiespaciados que contienen todos los puntos de red. Estos planos se nombran usando los índices de Miller. Estos índices se designan convencionalmente h, k, y l, se escriben entre paréntesis (h,k,l) y son enteros positivos, negativos o cero. La separación de los planos se conoce con el término de espaciado dhkl. La relación entre el espaciado d y los parámetros de red puede determinarse geométricamente y depende del sistema cristalino.

En geometría y cristalografía las redes de Bravais son una disposición infinita de puntos discretos cuya estructura es invariante bajo cierto grupo de traslaciones. En la mayoría de casos también se da una invariancia bajo rotaciones o simetría rotacional. Estas propiedades hacen que desde todos los nodos de una red de Bravais se tenga la misma perspectiva de la red. Se dice entonces que los puntos de una red de Bravais son equivalentes.

Mediante teoría de grupos se ha demostrado que sólo existe una única red de Bravais unidimensional, 5 redes bidimensionales y 14 modelos distintos de redes tridimensionales.

La red unidimensional es elemental siendo ésta una simple secuencia de nodos equidistantes entre sí. En dos o tres dimensiones las cosas se complican más y la variabilidad de formas obliga a definir ciertas estructuras patrón para trabajar cómodamente con las redes.

Para generar éstas normalmente se usa el concepto de celda primitiva. Las celdas unitarias, son paralelogramos (2D) o paralelepípedos (3D) que constituyen la menor subdivisión de una red cristalina que conserva las características generales de toda la retícula, de modo que por simple traslación de la misma, puede reconstruirse la red al completo en cualquier punto.

Una red típica R en   tiene la forma:

donde {a1,..., an} es una base en el espacio Rn. Puede haber diferentes bases que generen la misma red pero el valor absoluto del determinante de los vectores ai vendrá siempre determinado por la red por lo que se lo puede representar como d(R).

Características de las celdas unitarias y las celdas convencionales

Las celdas unitarias se pueden definir de forma muy simple a partir de dos vectores (2D) o tres vectores (3D). La construcción de la celda se realiza trazando las paralelas de estos vectores desde sus extremos hasta el punto en el que se cruzan. Existe un tipo de celda unitaria que se construye de un modo distinto y que presenta ciertas ventajas en la visualización de la red ya que posee la misma simetría que la red, es la celda de Wigner-Seitz. Una celda unitaria se caracteriza principalmente por contener un único nodo de la red de ahí el adjetivo de "unitaria". Si bien en muchos casos existen distintas formas para las celdas unitarias de una determinada red el volumen de toda celda unitaria es siempre el mismo.

En ocasiones resulta más sencillo construir otro tipo de celdas que sin ser unitarias describen mejor la estructura de la red que tratamos. Este tipo de celdas se denominan celdas convencionales. Éstas tienen, a su vez, sus propios parámetros de red y un volumen determinado.

Todas estas celdas se consideran celdas primitivas ya que son capaces de cubrir todo el espacio mediante traslaciones sin que queden huecos ni solapamientos. Sus diferencias o características son las siguientes:

Empaquetamiento compacto: Esto es cuando los átomos de la celda están en contacto unos con otros. No siempre será así y en muchos casos mediará una distancia mínima entre las nubes electrónicas de los diferentes átomos.

Parámetro de red: Es la longitud de los lados de la celda unitaria. Puede haber tan solo uno, dos o hasta tres parámetros de red distintos dependiendo del tipo de red de bravais que tratemos. En las estructuras más comunes se representa con la letra a y con la c en caso de haber dos.

Nodos o átomos por celda: Tal y como dice el nombre es el número de nodos o átomos que posee cada celda. Una celda cuadrada, por ejemplo, poseerá un nodo por celda ya que cada esquina la comparte con cuatro celdas más. De hecho si una celda posee más de un nodo de red es que no es unitaria, en cambio si posee más de un átomo por celda pudiera ser que estuviésemos en una celda unitaria pero con una base atómica de más de un átomo.

Número de coordinación: Es el número de puntos de la red más cercanos, los primeros vecinos, de un nodo de la red. Si se trata de una estructura con empaquetamiento compacto el número de coordinación será el número de átomos en contacto con otro. El máximo es 12.

Factor de empaquetamiento: Fracción del espacio de la celda unitaria ocupada por los átomos, suponiendo que éstos son esferas sólidas.

Donde f es el factor de empaquetamiento o fracción de volumen ocupado, n el número de átomos por celda, v el volumen del átomo y Vc el volumen de la celda. Normalmente se suele dar el factor de empaquetamiento compacto para las diferentes celdas como indicador de la densidad de átomos que posee cada estructura cristalina. En este caso los átomos se tratan como esferas rígidas en contacto con sus vecinos más cercanos.

Densidad: A partir de las características de la red, puede obtenerse la densidad teórica del material que conforma la red mediante la siguiente expresión.

Donde ρ es la densidad, NA el número de Avogadro y m la masa atómica.

Volumen de la celda unitaria primitiva: Toda celda unitaria tiene el mismo

volumen representado por la siguiente fórmula.   Donde a son los vectores de la base de la red.

Redes bidimensionales

Según los ángulos y la distancia entre los nodos se distinguen 5 redes distintas.

Redes tridimensionales

En función de los parámetros de la celda unitaria, longitudes de sus lados y ángulos que forman, se distinguen 7 sistemas cristalinos.

Para determinar completamente la estructura cristalina elemental de un sólido, además de definir la forma geométrica de la red, es necesario establecer las

posiciones en la celda de los átomos o moléculas que forman el sólido cristalino; lo que se denominan puntos reticulares. Las alternativas son las siguientes:

P: Celda primitiva o simple en la que los puntos reticulares son sólo los vértices del paralelepípedo.

F: Celda centrada en las caras, que tiene puntos reticulares en las caras, además de en los vértices. Si sólo tienen puntos reticulares en las bases, se designan con las letras A, B o C según sean las caras que tienen los dos puntos reticulares.

I: Celda centrada en el cuerpo que tiene un punto reticular en el centro de la celda, además de los vértices.

C: Primitiva con ejes iguales y ángulos iguales ó hexagonal doblemente centrada en el cuerpo, además de los vértices.

Combinando los 7 sistemas cristalinos con las disposiciones de los puntos de red mencionados, se obtendrían 28 redes cristalinas posibles. En realidad, como puede demostrarse, sólo existen 14 configuraciones básicas, pudiéndose el resto obtener a partir de ellas. Estas estructuras se denominan redes de Bravais.

Sistema cristalino

Redes de Bravais

triclínico

P

monoclínico P C

ortorrómbico

P C I F

tetragonal

P I

romboédrico(trigonal)

P

hexagonal P

cúbico

P I F

Base atómica

En el caso más sencillo, a cada punto de red le corresponderá un átomo, pero en estructuras más complicadas, como materiales cerámicos y compuestos, cientos de átomos pueden estar asociados a cada punto de red formando celdas unitarias extremadamente complejas. La distribución de estos átomos o moléculas adicionales se denomina base atómica y esta nos da su distribución dentro de la celda unitaria.

Existen dos casos típicos de bases atómicas. La estructura del diamante y la hexagonal compacta. Para redes bidimensionales un caso ejemplar sería el grafito cuya estructura sigue un patrón de red en panal.

Estructura

a (r)

Número decoordinación

Factor deempaquetamiento

Ejemplos

Cúbica simple (CS)

a = 2

6 0,52 Po

Cúbica centrada en el cuerpo (CC)

a = 4r/√3

8 0,68Fe, Ti, W, Mo, Nb, Ta, K, Na, V, Cr, Zr

Cúbica centrada en las caras (CCC)

a = 4r/√2

12 0,74 Cu, Al, Au, Ag, Pb, Ni, Pt

Hexagonal compacta (HC)

a = 2rc/a = 1,633

12 0,74 Ti, Mg, Zn, Be, Co, Zr, Cd

A pesar de la existencia de la nomenclatura española, la inglesa está mucho más extendida. Los acrónimos ingleses son los siguientes.

sc: cúbica simple

bcc: cúbica centrada en el cuerpo

fcc: cúbica centrada en las caras

hcp: hexagonal compacta

Sistema cristalino triclínico

En cristalografía, un sistema cristalográfico triclínico es uno de los 7 Sistemas

cristalinos. Un sistema cristalográfico esta descrito por tres vectores base. En el

sistema triclínico, el cristal está descrito por vectores de longitud desigual, tal

como en el sistema ortorrómbico. Además, ninguno de ellos es ortogonal con

algun otro.

Triclínico (a ≠ b ≠ c y α ≠ β ≠ γ )

Volumen de una celda

El volumen de un paralelepípedo cuyos lados sean vectores  ,  ,   está dado por

el triple producto escalar:

Por conveniencia, colocaremos el vector   sobre el eje  , y el vector   sobre el

plano  , entonces tendremos los siguientes vectores:

Para poder hacer el triple producto escalar, es necesario conocer los componentes

de  . Los podemos averiguar haciendo los siguientes productos escalares:

Por lo tanto:

Sistema cristalino monoclínico

El mineral Ortoclasa es un ejemplo de cristales monoclínicos.

En Cristalografía, una red monoclínica es un sistema cristalino que consta de un

eje binario, un plano perpendicular a éste y un centro de inversión. La denotacion

de la red monoclinica es 2/m.

Monoclínico simple

 

Monoclínico centrado

Sistema cristalino ortorrómbico

El sistema cristalino ortorrómbico, es uno de los siete sistemas

cristalinos existentes en cristalografía. Muchos minerales cristalizan en este tipo

de red, como por ejemplo el olivino o el topacio.

Ejemplar de olivino.

Forma del cristal

Se caracteriza porque la celda unidad de la red cristalina tiene la forma geométrica

con los tres ángulos rectos, mientras que las tres aristas de dicha celda unidad

tienen todas longitudes diferentes. Los tres vectores que definen la celda es lo que

en matemáticas se denominan mutuamente ortogonales. La caraterísticas que lo

distingue de los otros seis sistemas cristalinos es que, o bien tiene

tres ejes binarios o bien un sólo eje binario con tres planos de simetría.

Tipos

Existen cuatro variedades principales de este tipo de cristal:

Ortorrómbico simple

 

Ortorrómbico centrado

 

Ortorrómbico con bases centradas

 

Ortorrómbico con caras centradas

Los cristales de este sistema se clasifican en las tres clases siguientes:

Piramidal

Diesfenoidal

Dipiramidal

Sistema cristalino tetragonal

El sistema cristalino tetragonal es uno de los siete sistemas

cristalinos existentes en cristalografía. Ejemplos de minerales con este sistema

son la calcopirita o la pirolusita.

Ejemplar de calcopirita.

Forma del cristal

Se caracteriza porque la celda unidad de la red cristalina podríamos formarla a

partir de un cubo que estirásemos en una de sus direcciones, de forma que

quedaría un prisma de base cuadrada, con una celda unidad con los tres ángulos

rectos, siendo dos de las aristas de la celda iguales y la tercera distinta a ellas. La

característica que lo distingue de los otros seis sistemas cristalinos es la presencia

de un solo eje de simetría cuaternario, que puede ser binario.

Tipos

Existen dos variedades principales de este tipo de cristal:

Tetragonal simple

 

Tetragonal centrado

Los cristales de este sistema se clasifican en las siete clases siguientes:

Diesfenoidal

Piramidal

Dipiramidal

Escalenohedral

Piramidal Ditetragonal

Trapezohedral

Dipiramidal-DitetragonalRomboedro

Romboedro.

Un romboedro es un poliedro de seis caras (hexaedro), todas

ellas rombos idénticos. No se trata de un poliedro regular, porque aunque sus

caras son todas iguales (uniformes), no son polígonos regulares.

El romboedro es un paralelepípedo capaz de rellenar el espacio.

Sistema cristalino hexagonal

El mineral berilo es un ejemplo de cristales hexagonales.

Arreglo hexagonal tridimensional.

En cristalografía y cristaloquímica, el sistema cristalino hexagonal es uno de los

siete sistemas cristalinos. Tiene la misma simetría que un prisma regular con una

base hexagonal; hay sólo una red de Bravais hexagonal. Por ejemplo,

el grafito cristaliza bajo esta forma.

Aparte este sistema tiene dos ejes iguales y uno desigual.

Sistema cristalino cúbico

El sistema cristalino cúbico, también llamado isométrico, es uno de los

siete sistemas cristalinos existentes en cristalografía. Es común en muchos

minerales, como por ejemplo en la pirita o la galena.

Representación con bolas de un sistema isométrico.

Forma del cristal

Se caracteriza porque la celda unidad de la red cristalina tiene la forma geométrica

de cubo, ya que tiene los tres ángulos rectos y las tres aristas de la celda iguales.

La caraterísticas que lo distingue de los otros seis sistemas cristalinos en la

presencia de 4 ejes de simetría ternarios.

Tipos

Existen tres variedades principales, entre otras, de este tipo de cristal:

Cúbico simple

 

Cúbico centrado

 

Cúbico centrado en las caras

Los cristales de este sistema se clasifican en las cinco clases siguientes:

Tetratoidal

Diploidal

Hextetrahedral

Gyroidal

Hexoctahedral