cdi-guia08-ver-12

Cálculo Diferencial e Integral - Límite y continuidad. Farith J. Briceño N.

Objetivos a cubrir Código : MAT-CDI.8

� Límites laterales. Cálculo de límites. Límites en el in�nito. Límites in�nitos� Límites notables. Teorema del emparedado.� Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.� Funciones continuas en un intervalo. Discontinuidad. Tipos de discontinuidades.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 159 : Calcular el siguiente límite, si es que existe

limx!1

x3 � 2x� 5x3 � 2x2 + x

Solución : Observemos que se tiene una no de�nición de la función en x = 1, así,

limx!1

x3 � 2x� 5x3 � 2x2 + x =

8>><>>:�1

ó

1;

entonces,

limx!1

x3 � 2x� 5x3 � 2x2 + x = lim

x!1

x3 � 2x� 5x (x2 � 2x+ 1) = lim

x!1

x3 � 2x� 5x (x� 1)2

= limx!1

1

(x� 1)2x3 � 2x� 5

x;

observemos que la expresiónx3 � 2x� 5

xes negativa si x ! 1, mientras que la expresión

1

(x� 1)2tiende a in�nito

cuando x! 1, (ver gra�co)

543210-1-2-3-4-5

50

37.5

25

12.5

0

x

y

x

y

Comportamiento de la función

f (x) =1

(x� 1)2

cuando x! 1

limx!1

1

(x� 1)2=1;

por lo tanto,

limx!1

x3 � 2x� 5x3 � 2x2 + x =1 (�) = �1

F


limx!1

3x3 + 2x2 � 3x2 + 5x3 + 3x

Solución : Observemos que este límite presenta una indeterminación de la forma11 , por ser una función racional,

dividimos cada término de la misma por la mayor potencia presente en ella, la cual es x3, así,

limx!1

3x3 + 2x2 � 3x2 + 5x3 + 3x

= limx!1

3x3

x3+2x2

x3� 3

x3

x2

x3+5x3

x3+3x

x3

= limx!1

3 +2

x� 3

x31

x+ 5 +

3

x2

S:I:=

3 +2

1 �3

(1)31

1 + 5 +3

(1)2=3

5

184

por lo tanto,

limx!1

3x3 + 2x2 � 3x2 + 5x3 + 3x

=3

5 existe.

F


limt!1

7� 2t2 � 4t16t4 � 81

Solución : Observemos que este límite presenta una indeterminación de la forma�11 , por ser una función racional,

dividimos cada término de la misma por la mayor potencia presente en ella, la cual es t4, así,

limt!1

7� 2t2 � 4t16t4 � 81 = lim

t!1

7

t4� 2t

2

t4� 4tt4

16t4

t4� 81t4

= limt!1

7

t4� 2

t2� 4

t3

16� 81t4

S:I:=

7

(1)4� 2

(1)2� 4

(1)3

16� 81

(1)4=

7

1 �2

1 �4

116� 811

=0� 0� 016 + 0

=0

16= 0;

por lo tanto,

limt!1

7� 2t2 � 4t16t4 � 81 = 0 existe.

F


limt!�1

6t5 + 4t3 � 2t2 + t� 10t2 � 6t+ 4

Solución : Observemos que este límite presenta una indeterminación de la forma�11 , por ser una función racional,

dividimos cada término de la misma por la mayor potencia presente en ella, la cual es t5, así,

limt!�1

6t5 + 4t3 � 2t2 + t� 10t2 � 6t+ 4 = lim

t!�1

6t5

t5+4t3

t5� 2t

2

t5+t

t5� 10t5

t2

t5� 6tt5+4

t5

= limt!�1

6 +4

t2� 2

t3+1

t4� 10t5

1

t3� 6

t4+4

t5

S:I:= lim

t!�1

6 +4

(�1)2� 2

(�1)3+

1

(�1)4� 10

(�1)51

(�1)3� 6

(�1)4+

4

(�1)5=1;

por lo tanto,

limt!�1

6t5 + 4t3 � 2t2 + t� 10t2 � 6t+ 4 =1 No existe.

F


limx!�1

4x�px2 + 6

3x� 1

Solución : Observemos que este límite presenta una indeterminación de la forma11 , y que la función es cociente de

potencias, dividimos cada término de la misma por la mayor potencia presente en ella, la cual es x, ya que

Término Potencia

4x 1px2 + 6 � x2=2 1

3x� 1 1

185

así,

limx!�1

4x�px2 + 6

3x� 1 = limx!�1

4x

x�px2 + 6

x3x

x� 1x

= limx!�1

4�px2 + 6

x

3� 1x

;

introducimos la variable x en la raíz cuadrada, pero por ser x negativa, ya que x ! �1, debemos ser cuidadoso,puesto que la raíz cuadrada condiciona su argumento, proponemos el cambio de variable

x = �z =) si x! �1 entonces z !1

y el límite nos queda

limx!�1

4�px2 + 6

x

3� 1x

= limz!1

4 +

pz2 + 6

z

3 +1

z

= limz!1

4 +

rz2

z2+6

z2

3 +1

z

= limz!1

4 +

r1 +

6

z2

3 +1

z

S:I:=

4 +

s1 +

6

(1)2

3 +1

1

=4 +

r1 +

6

13 +

1

1

=4 +p1 + 0

3 + 0=5

3;

por lo tanto,

limx!�1

4x�px2 + 6

3x� 1 =5

3 existe.

F


limt!1

�3pt3 + 8t2 � t

�Solución : Límite con una indeterminación de la forma 1 � 1. Levantamos la indeterminación, aplicando la

conjugada

limt!1

�3pt3 + 8t2 � t

�= lim

t!1

�3pt3 + 8t2 � t

� �� 3pt3 + 8t2

�2+ t 3pt3 + 8t2 + t2

��

3pt3 + 8t2

�2+ t 3pt3 + 8t2 + t2

�= lim

t!1

t3 + 8t2 � t3�3pt3 + 8t2

�2+ t 3pt3 + 8t2 + t2

= limt!1

8t2�3pt3 + 8t2

�2+ t 3pt3 + 8t2 + t2

;

observemos que este límite tiene una indeterminación de la forma11 , por la naturaleza del límite podemos dividir entre

la mayor potencia, es este caso t2, entonces dividimos cada término del límite entre t2

limt!1

8t2�3pt3 + 8t2

�2+ t 3pt3 + 8t2 + t2

= limt!1

8t2

t2�3pt3 + 8t2

�2t2

+t 3pt3 + 8t2

t2+t2

t2

= limt!1

8 3pt3 + 8t2

t

!2+

3pt3 + 8t2

t+ 1

= limt!1

8 3

rt3

t3+8t2

t3

!2+

3

rt3

t3+8t2

t3+ 1

= limt!1

8 3

r1 +

8

t

!2+ 3

r1 +

8

t+ 1

=8

(1)2+ (1) + 1

=8

3;

186

luego,

limt!1

�3pt3 + 8t2 � t

�=8

3 existe.

F


limt!2�

�9

8� t3 �3

4� t2

�Solución : Observemos que ambas expresiones que aparecen en el límite no están de�nidas en el cero, así, tenemos

que9

8� t3 =9

(2� t) (4 + 2t+ t2) =1

(2� t)9

(4 + 2t+ t2);

donde, la expresión9

4 + 2t+ t2es positiva si t! 2, mientras que la expresión

1

2� t tiende a in�nito cuando t! 2�,

(ver gra�co). Así,

limt!2�

9

8� t3 = (1) (+) = +1

Por otro lado,3

4� t2 =3

(2� t) (2 + t) =1

(2� t)3

(2 + t)

Observemos que la expresión3

2 + tes positiva si t ! 2, mientras que la expresión

1

2� t tiende a in�nito cuando

t! 2�, (ver gra�co). Así,

limt!2�

3

4� t2 = (1) (+) = +1

76543210-1-2-3

50

25

0

-25

-50

x

y

x

y


f (t) =1

2� tcuando t! 2�

limt!2�

1

2� t =1;

Por lo tanto, el límite presenta una indeterminación de la forma 1�1

limt!2�

�9

8� t3 �3

4� t2

�=1�1:

Levantamos la indeterminación,

limt!2�

�9

8� t3 �3

4� t2

�= lim

t!2�

�9

(2� t) (4 + 2t+ t2) �3

(2� t) (2 + t)

�

= limt!2�

9 (2 + t)� 3�4 + 2t+ t2

�(2� t) (4 + 2t+ t2) (2 + t) = lim

t!2�

18 + 9t� 12� 6t� 3t2(2� t) (4 + 2t+ t2) (2 + t)

= limt!2�

6 + 3t� 3t2(2� t) (4 + 2t+ t2) (2 + t) = lim

t!2�

3�2 + t� t2

�(2� t) (4 + 2t+ t2) (2 + t)

= limt!2�

3 (2� t) (t+ 1)(2� t) (4 + 2t+ t2) (2 + t) = lim

t!2�

3 (t+ 1)

(4 + 2t+ t2) (2 + t)

S:I:=

3 ((2) + 1)�4 + 2 (2) + (2)

2�(2 + (2))

=3 (3)

(12) (4)=3

16;

187

con lo que,

limt!2�

�9

8� t3 �3

4� t2

�=3

16 existe.

F


limt!2+

�9

8� t3 +3

4� t2

�Solución : Por el mismo análisis realizado en el ejemplo 165, se tiene

9

8� t3 =9

(2� t) (4 + 2t+ t2) =1

(2� t)9

(4 + 2t+ t2)


4 + 2t+ t2es positiva si t! 2, mientras que la expresión

1

2� t tiende a menos in�nito

cuando t! 2+, (ver gra�co). Así,

limt!2+

9

8� t3 = (�1) (+) = �1

Por otro lado,3

4� t2 =3

(2� t) (2 + t) =1

(2� t)3

(2 + t)


2 + tes positiva si t! 2, mientras que la expresión

1

2� t tiende a menos in�nito cuandot! 2+, (ver gra�co). Así,

limt!2+

3

4� t2 = (�1) (+) = �1

76543210-1-2-3

50

25

0

-25

-50

x

y

x

y


f (t) =1

2� tcuando t! 2+

limt!2+

1

2� t = �1;

Por lo tanto,

limt!2+

�9

8� t3 +3

4� t2

�= �1+ (�1) = �1;

con lo que,

limt!2+

�9

8� t3 +3

4� t2

�= �1 No existe.

F

Ejemplo 167 : Si 1 � f (x) � x2 + 2x+ 2 para todo x, encuentre limx!�1

f (x).

Solución : Usando el teorema del emparedado, calculamos el límite cuando x! �1 de las funciones de los extremosen la cadena de desigualdad dada. Así,

limx!�1

1 = 1; mientras que limx!�1

�x2 + 2x+ 2

�=S:I:=�(�1)2 + 2 (�1) + 2

�= 1� 2 + 2 = 1;

luego, comolimx!�1

1 = limx!�1

�x2 + 2x+ 2

�= 1;

188

se concluye, por el teorema del emparedado, que

limx!�1

f (x) = �1:

F


limx!�1

p�x cosxx+ 1

Solución : Límite que involucra la función trigonométrica y = cosx, en el in�nito, usamos el teorema del emparedado,es conocido que, �1 � cosx � 1, así,

�1 � cosx � 1 =) �p�x �

p�x cosx �

p�x =) �

p�x

x+ 1�p�x cosxx+ 1

�p�x

x+ 1;

" "

Multiplicamos porp�x

(la desigualdad se mantiene)

Dividimos por x+ 1como x! �1, se tiene x+ 1 < 0

(la desigualdad cambia)

Estudiamos el comportamiento, cuando x ! �1, de las funciones que aparecen en los extremos de la cadena dedesigualdades. Observemos que los límites

limx!�1

�p�x

x+ 1y lim

x!�1

p�x

x+ 1

presentan, cada uno, una indeterminación de la forma11 , así, por la naturaleza de las funciones, dividimos entre la

mayor potencia, donde, en cada límite, es x. Para el primer límite

limx!�1

�p�x

x+ 1= � lim

x!�1

p�xx

x

x+1

x

= � limx!�1

r�xx2

1 +1

x

= � limx!�1

r�1x

1 +1

x

= � 0

1 + 0= 0;

similarmente,

limx!1

p�x

x+ 1= 0;

luego, por el Teorema del emparedado

limx!�1

p�x cosxx+ 1

= 0 existe.

F


limx!1

x sen�ax

�Solución : Límite con un indeterminación de la forma 0 � 1, escribimos el límite como

limx!1

x sen�ax

�= lim

x!1

sen�ax

�1

x

;

el cual tiene una indeterminación de la forma0

0, hacemos el cambio de variable

u =a

x; =) u

a=1

x

si x!1 entonces u! 0;

189

así, el límite nos queda

limx!1

sen�ax

�1

x

= limu!0

senuu

a

= limu!0

a senu

u= a lim

u!0

senu

u| {z } = a (1) = a;"

Límite notable

luego,

limx!1

x sen�ax

�= a existe.

F


limx!0

senx sen2 2x

x� x cosx

Solución : Indeterminación0

0, escribimos el límite de la siguiente forma,

limx!0

senx sen2 2x

x� x cosx = limx!0

senx sen2 2x

x (1� cosx) =�limx!0

senx

x

��limx!0

sen2 2x

1� cosx

�| {z };

"Sólo si los límites existen

donde,

limx!0

senx

x= 1 Límite notable;

mientras que,

limx!0

sen2 2x

(1� cosx) = limx!0

sen2 2x

(1� cosx)(1 + cosx)

(1 + cosx)= lim

x!0

sen2 2x (1 + cosx)

1� cos2 x = limx!0

sen2 2x (1 + cosx)

sen2 x

= limx!0

(2 senx cosx)2(1 + cosx)

sen2 x= lim

x!0

4 sen2 x (1 + cosx) cos2 x

sen2 x= lim

x!04 (1 + cosx) cos2 x = 8:

Luego,

limx!0

senx sen2 2x

x� x cosx = (1) (8) = 8 existe.

F


limx!�

� � xsenx

Solución : Indeterminación0

0. Hagamos el cambio de variable

u = � � x =) x = � � u;

puesto que, x! �, se tiene queu! � � (�) =) u! 0

el límite se transforma enlimx!�

� � xsenx

= limu!0

u

sen (� � u) ;

como,sen (� � u) = sen� cosu� cos� senu = (0) cosu� (�1) senu = senu;

tenemos,

limu!0

u

sen (� � u) = limu!0

u

senu= lim

u!0

1senu

u

= 1:

190

Luego,

limx!�

� � xsenx

= 1

F

Ejemplo 172 : Estudie la continuidad de la función f en los puntos x = 0 y x = 2 y clasi�que las discontinuidadesen caso de existir.

f (x) =

8>><>>:x x < 0

x2 0 � x < 2

x+ 2 x > 2

Solución : Tenemos que

x � x2 x+ 2

0 2

Estudiemos la continuidad en x = 0, para ello veri�camos las tres condiciones

1. f (0) = (0)2 = 0, existe.

2. Para calcular limx!0

f (x), observemos que debemos utilizar los límites laterales

x � x2

! 0

limx!0�

f (x) = limx!0�

x = 0; y limx!0+

f (x) = limx!0+

x2 = 0;

como, los límites laterales son iguales, entonces

limx!0

f (x) = 0 existe

3. Puesto que, el valor obtenido en la parte 1 es igual al valor del límite obtenido en la parte 2, es decir

limx!0

f (x) = f (0) = 0;

concluimos que la función f es continua en x = 0.

Estudiemos la continuidad en x = 2, procederemos de la misma manera

1. f (2) no está de�nido, por lo tanto, f no es continua en x = 2.

Para conocer que tipo de discontinuidad tiene f en x = 2 calculamos limx!2

f (x), observemos que debemos utilizar

los límites lateralesx2 x+ 2

! 2

limx!2�

f (x) = limx!2�

x2 = 4; y limx!2+

f (x) = limx!2+

(x+ 2) = 4

como los límites laterales son iguales, entonces

limx!2

f (x) = 4 existe

como el límite existe la función f tiene una discontinuidad evitable en x = 2. F

Ejemplo 173 : Encuentre los valores de las constantes de modo que la función dada sea continua

y =

8>><>>:mx� n; x < 1

5; x = 1

2mx+ n; x > 1

191


mx� n 5 2mx+ n

1

Para que la función f sea continua en x = 1 se debe cumplir las tres condiciones

1. f (1) = 5, existe

2. limx!1

f (x) exista, así

limx!1�

f (x) = limx!1+

f (x) =) limx!1�

(mx� n) = limx!1+

(2mx+ n)

3. Adicionalmente

limx!1

f (x) = 5 =)(

m� n = 5

2m+ n = 5=) 3m = 10 =) m =

10

3;

luego, de m� n = 5, se tiene10

3� n = 5 =) n =

10

3� 5 =) n = �5

3:

Por lo tanto,

m =10

3y n = �5

3:

F


limx!�1

4 arctan

�senx+ x

x

�Solución : Como la función arctan (�) es continua, entonces

limx!�1

4 arctan

�senx+ x

x

�= 4arctan

�lim

x!�1

senx+ x

x

�= 4arctan

�lim

x!�1

� senxx

+ 1��;

estudiamos el límite limx!�1

� senxx

+ 1�

limx!�1

� senxx

+ 1�

= limx!�1

senx

x+ limx!�1

1| {z } = 1 + limx!�1

senx

x;

"Sólo si los límites existen

como,

�1 � senx � 1 =) �1x� senx

x� 1

x;

"

Dividimos por xcomo x! �1, se tiene x < 0

(la desigualdad cambia)

como, limx!�1

1

x= 0, se tiene, por el teorema del emparedado, que

limx!�1

senx

x= 0;

así,

limx!�1

� senxx

+ 1�= 1 + 0 = 1;

luego,

limx!�1

4 arctan

�senx+ x

x

�= 4arctan (1) = 4

��4

�= � existe.

F

192


limx!0+

3

sarctan

�x� 3x2 � 5x

�Solución : Puesto que la funciones f (x) = 3

px y g (x) = arctanx son funciones continuas, entonces,

limx!0+

3

sarctan

�x� 3x2 � 5x

�= 3

slimx!0+

arctan

�x� 3x2 � 5x

�= 3

sarctan

�limx!0+

x� 3x2 � 5x

�" "

Continuidad de f (x) = 3px Continuidad de g (x) = arctanx

Estudiamos el comportamiento de la función y =x� 3x2 � 5x , cuando x! 0+

Observemos que la función y =x� 3x2 � 5x , no está de�nida en el cero, así, tenemos que

x� 3x2 � 5x =

x� 3x (x� 5) =

1

x

x� 3(x� 5) ;

donde, la expresiónx� 3x� 5 es positiva si t ! 0, mientras que la expresión

1

xtiende a in�nito cuando t ! 0+, (ver

gra�co)

543210-1-2-3-4-5

50

25

0

-25

-50

x

y

x

y


h (x) =1

xcuando x! 0+

limx!0+

1

x=1;

Así,

limx!0+

x� 3x2 � 5x = (1) (+) = +1;

luego,

limx!0+

3

sarctan

�x� 3x2 � 5x

�= 3parctan (+1)

2512.50-12.5-25

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

x

y

x

y


g (x) = arctanx

cuando x!1

limx!1

arctanx =�

2;

193

Por lo tanto,

limx!0+

3

sarctan

�x� 3x2 � 5x

�= 3

r�

2 existe.

F


limx!1

3

arcsen

ssen�x2 � 1

�2 (x� 1)


limx!1

3

arcsen

ssen�x2 � 1

�2 (x� 1)

=limx!1

3

limx!1

arcsen

ssen�x2 � 1

�2 (x� 1)

;

donde, esta igualdad se cumple solo si los límites existen y el límite del denominador es diferente de cero. Por una parte,

limx!1

3 = 3 existe,

mientras que

limx!1

arcsen

ssen�x2 � 1

�2 (x� 1) = arcsen

limx!1

ssen�x2 � 1

�2 (x� 1)

!= arcsen

slimx!1

sen�x2 � 1

�2 (x� 1)

" "

Continuidad de f (x) = arcsenx Continuidad de g (x) =px

Estudiamos el comportamiento de la función y =sen�x2 � 1

�2 (x� 1) , cuando x! 1

Observemos que la función y =sen�x2 � 1

�2 (x� 1) , presenta una indeterminación de la forma

0

0, así, tenemos que

limx!1

sen�x2 � 1

�2 (x� 1) = lim

x!1

sen�x2 � 1

�2 (x� 1)

(x+ 1)

(x+ 1)= lim

x!1

(x+ 1) sen�x2 � 1

�2 (x2 � 1) =

�limx!1

x+ 1

2

� limx!1

sen�x2 � 1

�x2 � 1

!"

Sólo si los límites existen

donde,

limx!1

x+ 1

2

S:I:=(1) + 1

2= 1

mientras que,

limx!1

sen�x2 � 1

�x2 � 1

presenta una indeterminación de la forma de0

0, hacemos el cambio de variable

u = x2 � 1; si x! 1 entonces u! (1)2 � 1 = 0

y el límite nos queda

limx!1

sen�x2 � 1

�x2 � 1 = lim

u!0

senu

u= 1 Límite notable;

entonces,

limx!1

sen�x2 � 1

�2 (x� 1) = (1) (1) = 1:

194

Luego,

limx!1

arcsen

ssen�x2 � 1

�2 (x� 1) = arcsen

p1 = arcsen (1) =

�

2

Finalmente,

limx!1

3

arcsen

ssen�x2 � 1

�2 (x� 1)

=limx!1

3

limx!1

arcsen

ssen�x2 � 1

�2 (x� 1)

=3�

2

=6

�;

es decir,

limx!1

3

arcsen

ssen�x2 � 1

�2 (x� 1)

=6

� existe.

F

Ejemplo 177 : Dado que f (x) = x5 + 2x� 7. Demuestre que hay un número c, tal que f (c) = 50.

Solución : Observe que la función f es continua en todo su dominio, ya que, f es una función polinómica.

Consideremos el intervalo [2; 3], como

f (2) = (2)5+ 2 (2)� 7 = 29; y f (3) = (3)

5+ 2 (3)� 7 = 242

y se cumple quef (2) = 29 < 50 < 242 = f (3) ;

por el teorema del valor intermedio, existe un valor c en el intervalo [2; 3], por lo tanto, en todo R, tal que,

f (c) = 50:

F

Ejemplo 178 : Demuestre que la ecuación 2x7 = 1� x tiene una solución en [0; 1].

Solución : Demostrar que la ecuación 2x7 = 1� x tiene una solución en [0; 1], es equivalente a demostrar que

2x7 � 1 + x = 0

en [0; 1], es decir, debemos encontrar la(s) raíz(ices) de la ecuación en dicho intervalo.

Consideremos la funciónf (x) = 2x7 � 1 + x

así, debemos demostrar que existe, al menos, un valor c en [0; 1], tal que, f (c) = 0.

Observemos que la función f es continua en [0; 1], ya que, f es una función polinómica, además

f (0) = 2 (0)7 � 1 + (0) = �1; y f (1) = 2 (1)

7 � 1 + (1) = 2;

así,f (0) = �1 < 0 < 2 = f (1) ;

por el teorema del valor intermedio, existe un valor c en el intervalo [0; 1], tal que, f (c) = 0, luego, la ecuación

2x7 = 1� x tiene una solución en [0; 1] :

F

Ejemplo 179 : Calcular el siguiente límite,

limh!0

f (x+ h)� f (x)h

si es que existe, para la función f (x) = sen (2x)

195


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

sen (2 (x+ h))� sen (2x)h

:

Calculamos el límite, el cual es una indeterminación0

0

limh!0


= limh!0

sen (2x+ 2h)� sen (2x)h

= limh!0

sen (2x) cos (2h) + cos (2x) sen (2h)� sen (2x)h

= limh!0

[cos (2h)� 1] sen (2x) + cos (2x) sen (2h)h

Sólo si los límites existen �! = limh!0

[cos (2h)� 1] sen (2x)h

+ limh!0

cos (2x) sen (2h)

h

= sen (2x)| {z } limh!0

cos (2h)� 1h

+ cos (2x)| {z } limh!0

sen (2h)

h;

" "No depende de h No depende de h

donde,

limh!0

sen (2h)

h= lim

h!0

2 sen (2h)

2h;

haciendo el cambio de variable

u = 2h; =) si h! 0 entonces u! 2 (0) = 0

obtenemos,

limh!0

sen (2h)

h= lim

h!0

2 sen (2h)

2h= 2 lim

u!0

senu

u= 2 (1) = 2;

mientras que,

limh!0

cos (2h)� 1h

=0

0 � Indeterminado

aplicamos conjugada trigonométrica

limh!0

cos (2h)� 1h

= limh!0

(cos (2h)� 1)h

(cos (2h) + 1)

(cos (2h) + 1)= lim

h!0

cos2 (2h)� 1h (cos (2h) + 1)

= limh!0

� sen2 (2h)h (cos (2h) + 1)

= limh!0

� sen (2h)h

sen (2h)

cos (2h) + 1

?= � lim

h!0

sen (2h)

hlimh!0

sen (2h)

cos (2h) + 1;

"


como,

limh!0

sen (2h)

h= lim

h!0

2 sen (2h)

2h= 2 lim

u!0

senu

u= 2 (1) = 2;

haciendo el cambio de variable,

u = 2h; =) si h! 0 entonces u! 2 (0) = 0

y

limh!0

sen (2h)

cos (2h) + 1=

sen (2 (0))

cos (2 (0)) + 1=

sen (0)

cos (0) + 1=

0

1 + 1=0

2= 0;

entonces,

limh!0

cos (2h)� 1h

= � (2) (0) = 0;

por lo tanto,

limh!0


= (0) sen (2x) + (2) cos (2x) = 2 cos (2x) ;

196

luego,

limh!0


= 2 cos (2x) existe.

F

Ejemplo 180 : Calcular el siguiente límite,

limh!0

f (x+ h)� f (x)h

si es que existe, para la función f (x) = cos (3� 4x).


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

cos (3� 4 (x+ h))� cos (3� 4x)h

:

Calculamos el límite, el cual es una indeterminación0

0

limh!0

cos (3� 4 (x+ h))� cos (3� 4x)h

= limh!0

cos (3� 4x� 4h)� cos (3� 4x)h

= limh!0

cos ((3� 4x)� 4h)� cos (3� 4x)h

= limh!0

cos (3� 4x) cos (4h) + sen (3� 4x) sen (4h)� cos (3� 4x)h

= limh!0

cos (3� 4x) [cos (4h)� 1] + sen (3� 4x) sen (4h)h

Sólo si los límites existen �! = limh!0

cos (3� 4x) [cos (4h)� 1]h

+ limh!0

sen (3� 4x) sen (4h)h

= cos (3� 4x)| {z } limh!0

cos (4h)� 1h

+ sen (3� 4x)| {z } limh!0

sen (4h)

h" "

No depende de h No depende de h

donde,

limh!0

cos (4h)� 1h

tiene una indeterminación de la forma0

0. Levantamos la indeterminación aplicando la conjugada trigonométrica

limh!0

cos (4h)� 1h

= limh!0

(cos (4h)� 1)h

(cos (4h) + 1)

(cos (4h) + 1)= lim

h!0

cos2 (4h)� 1h (cos (4h) + 1)

= limh!0

��1� cos2 (4h)

�h (cos (4h) + 1)

= limh!0

� sen2 (4h)h (cos (4h) + 1)

= limh!0

� sen (4h) sen (4h)h (cos (4h) + 1)

?= � lim

h!0

sen (4h)

hlimh!0

sen (4h)

cos (4h) + 1"


como,

limh!0

sen (4h)

h= lim

h!0

4 sen (4h)

4h;

haciendo el cambio de variable

u = 4h; =) si h! 0 entonces u! 4 (0) = 0

obtenemos,

limh!0

sen (4h)

h= lim

h!0

4 sen (4h)

4h= 4 lim

u!0

senu

u= 4 (1) = 4;

197

y

limh!0

sen (4h)

cos (4h) + 1=

sen (4 (0))

cos (4 (0)) + 1=

sen (0)

cos (0) + 1=

0

1 + 1=0

2= 0;

entonces,

limh!0

cos (4h)� 1h

= � (4) (0) = 0:

Luego,

limh!0

cos (3� 4 (x+ h))� cos (3� 4x)h

= cos (3� 4x) limh!0

cos (4h)� 1h

+ sen (3� 4x) limh!0

sen (4h)

h

= cos (3� 4x) (0) + sen (3� 4x) (4) = 4 sen (3� 4x) ;

así,

limh!0

cos (3� 4 (x+ h))� cos (3� 4x)h

= 4 sen (3� 4x) existe.

F

Ejercicios

1. Trazar la grá�ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes

limx!�1

f (x) = �2 ; limx!0�

f (x) = 1 ; f (0) = 3 ; limx!0+

f (x) = 2 ; limx!1

f (x) = 0


limx!1

f (x) = 1 ; f (1) = 3 ; limx!3

f (x) = 1 ; limx!1

f (x) = 0 ; limx!�1

f (x) = 2


limx!1�

f (x) = 2 ; f (1) = �2 ; limx!1+

f (x) = 2 ; limx!0+

f (x) =1 ; f (0) = 1


limx!1

f (x) = 1 ; f (1) = 1 ; limx!�1

f (x) = �1 ; limx!0

f (x) = 2 ; f (0) No existe


f (2) = 2 ; limx!0

f (x) No existe ; f (0) = 3 ; limx!1

f (x) = 3 ; limx!5

f (x) = �1

6. Calcular los siguientes límites, si es que existen

1: limx!3+

2

x� 3 2: limx!3�

2

x� 3 3: limx!3

2

x� 3 4: limx!4�

3

4� x 5: limx!4+

3

4� x 6: limx!4

3

4� x

7: limx!1+

5

x2 � 2x+ 1 8: limx!1�

5

x2 � 2x+ 1 9: limx!1

5

x2 � 2x+ 1 10: limx!�2

��x2 + 4x+ 4

11: limt!2

�34� t2 12: lim

x!3�

x+ 5

9� x2 13: limx!1

x3 � 2x� 5x3 � 2x2 + x 14: lim

x!1

x2 + 4

x2 � 1 15: limx!�1

x2 + 4

x2 � 1

198

16: limx!0

x3 + 1

x3 + x17: lim

x!2

x3

x2 + 3x� 10 18: limx!�5

x3

x2 + 3x� 10 19: limx!2

x3 � 10x4 � 16

20: limt!�1

8� t35t3 + 2t� 1 21: lim

x!1

x2 + x+ 7

x5 � x3 � 2 22: limx!�1

x3 � 1x+ 5

23: limx!1

x4 + x2 � xx2 � 4x

24: limx!1

x� 10x3 � 7x2 + 2 25: lim

x!1

5 + 3x4 � x(2x� 6)4

26: limt!�1

p1 + t2

2t27: lim

t!�1

p7� t+ 2t3t� 1

28: limx!1

p16x2 + 2x� 12x+ 1

29: limx!1

4px3 � x� xpx2 + 1 +

px

30: limx!1

xp2 + 2x

xp3 � x

31: limt!1

t+ 1

t+pt2 + 1

32: limt!1

p36t4 � 5t� 14p9t4 + 6t3 + t2

33: limx!1

3x+ 4p2x2 � 3

34: limx!�1

3x+ 4p2x2 � 3

35: limx!1

�px2 + 1 + x

�23px6 + 1

36: limx!1

4

x2� 4x

1

x+1

x2

37: limt!�1

2� 3tpt2 + 4

38: limx!1

px2 + 3�

px2 � 3p

x2 + 2� x39: lim

x!1

3px3 + 8x� xpx2 + 4� x

40: limx!1

�3px3 + 1� 3

px�

41: limt!2

�9

8� t3 �3

4� t2

�42: lim

x!�=2(secx� tanx)

43: limx!0+

�1

x4� 1x

�44: lim

x!1

�px+ 1�

px�

45: limx!1

�px2 + a� x

�46: lim

t!1

�3pt3 + 8t2 � t

�47: lim

x!1x�px2 + 1� x

�48: lim

x!1

�3px3 + 3x2 � 3

px2 � 2x

�49: lim

x!1

�3px (x+ a) (x+ b)� x

�50: lim

x!1

�px+px�px�

51: limx!1

�px+px�

px�px�

52: limx!1

�qx+

px+px�px

�

53: limx!0+

x2r1� 2xx

54: limx!0+

x

r1 +

1

x55: lim

x!0+x cscx 56: lim

t!1t

r4t+ 1

t� 2!

57: limx!1

x

3

rx+ 1

x� 1!

58: limx!0

sen 3x� 5xx

59: limx!0+

senx

3x3 � 10x 60: limx!1

sen�x2 � 1

�x� 1

61: limx!0+

cosx

3x3 � 10x 62: limx!0

1� cosxx

63: limx!0

sen�x

sen�x64: lim

x!1

x2 � sen (�x)� 7x2 + x3 � 2x

65: limx!0

1� cosxx2

66: limx!1

x2 cosx

3 + x467: lim

x!1

senx

x68: lim

x!1

x4 cosx+ senx

1 + x5

69: limx!0

senx

sen 3x70: lim

x!0+

senxpx

71: limx!1

x sen�ax

�72: lim

x!0

tan 5x

3x73: lim

x!1

cosx

x

74: limx!0

p2�p1 + cosx

sen 2x75: lim

t!0

1�pcos t

t276: lim

x!0

3x� 2 senx4x senx

77: limt!0

tan t� sen tt2 tan t

78: limx!0+

xp1� cosx

79: limx!0

1� cosx2x cosx

80: limx!0

ax� b senxx+ senx

81: limx!�

4

3psenx� 3

pcosx

senx� cosx

82: limx!�=2

12� � xcosx

83: limx!1

senx

x284: lim

x!1

3x2 � 6x+ 3cos 2 (x� 1)� 1 85: lim

x!0

p1 + senx�

p1� senx

tanx

86: limx!0

p1 + tanx�

p1� tanx

senx87: lim

x!a

a6 � x6sen (x2 � a2) 88: lim

h!0

sen (x+ h)� senxh

89: limh!0

cos (x+ h)� cosxh

90: limh!0

tan (x+ h)� tanxh

91: limh!0

sec (x+ h)� secxh

199

92: limh!0

csc (x+ h)� cscxh

93: limh!0

cot (x+ h)� cotxh

94: limx!�

4

3psen2 x� 3

pcos2 x

1� tanx

95: limx!�

2

3pcosx� 3

psen 2x

cosx96: lim

x!0

tan3 x� sen3 x(1� cosx)2

97: limx!a

tanx� tan atan (x� a) 98: lim

x!�=2

tan 3x

tanx

99: limx!�=4

1� cot3 x2� cotx� cot3 x

100: limx!0

csc 3x

x2 � cot3 2x tanx

7. Demuestre que limx!0

x2 sen

�1

x

�= 0

8. Demuestre que limx!0

3px sen

�13px

�= 0

9. Demuestre los siguientes límites

1: limx!1

5x� 12x+ 1

=5

22: lim

x!�1

10x

x� 3 = 10 3: limx!1

2x

3x+ 8=2

3

4: limx!�1

x2

x2 + 1= 1 5: lim

x!�1

5x+ 1

x� 1 = 5 6: limx!1

5 + 2x

3� x = �2

10. Escriba la de�nición de cada uno de los límites

1: limx!�1

1

(x+ 1)2 = �1 2: lim

x!1

1

x� 1 = 0 3: limx!1

(2x� 1) =1

4: limx!�1

(x� 3) = �1 5: limx!3

(2x� 1) = 5 6: limx!2+

x� 1x2 � 4 =1

11. Escriba la expresión límite para cada una de las siguientes de�niciones

(a) Para todo M > 0, existe KM , tal que, x < KM , implica que, 3x+ 2 > M .

(b) Para todo " > 0, existe K", tal que, x > K" implica que,

�� x

x� 4 � 1�� < ".

(c) Para todo " > 0, existe K", tal que, x > K" implica que,

�� 1

x� 4

�� < ".(d) Para todo M > 0, existe �M > 0, tal que, jx� 4j < �M y x > 4 implica que,

1

x� 4 > M .

(e) Para todo M < 0, existe �M > 0, tal que, jx� 4j < �M y x < 4 implica que,1

x� 4 < M .

12. Sean F y G funciones tales que 0 � F (x) � G (x) para toda x próxima a c, con la posible excepción de c.Demuestre que si lim

x!cG (x) = 0, entonces lim

x!cF (x) = 0.

13. Si 1 � f (x) � x2 + 2x+ 2 para todo x, encuentre limx!�1

f (x).

14. Si 3x � f (x) � x3 + 2 para todo 0 � x � 2, evalúe limx!1

f (x).

15. Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de las funciones indicadas.

1: f (x) =3

x+ 12: f (x) =

3

(x+ 1)2 3: f (x) =

2x

x� 3 4: f (x) =3

9� x2

5: f (x) =14

2x2 + 76: f (x) =

2xpx2 + 5

7: f (x) =x

x+ 48: f (x) =

x2 + 4

x2 � 1

9: f (x) =x3 + 1

x3 + x10: f (x) =

x� 2x+ 2

11: f (x) =x

(x+ 1)2 12: f (x) =

x3

x2 + 3x� 10

200

16. La recta y = ax+ b se llama asíntota oblicua de la grá�ca de la función y = f (x) si

limx!1

[f (x)� (ax+ b)] = 0 ó limx!�1

[f (x)� (ax+ b)] = 0

de aquí, se tiene que

m = limx!1

f (x)

xy b = lim

x!1(f (x)�mx) :

Encuentre la asíntota oblicua de

f (x) =2x4 + 3x3 � 2x� 4

x3 � 1

17. Encuentre la asíntota oblicua de

f (x) =3x3 + 4x2 � x+ 1

x2 + 1

18. Estudie el comportamiento asintótico de las siguientes funciones

1: f (x) =

8><>:x3

x2 + 3x� 10 x < 0

arctanx x � 02: f (x) =

8>>><>>>:x2

x� 1 x < 1

sen (1� x)x2 � x x > 1

3: f (x) =

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

x sen�x2 � 4

�x3 + 8

x < �2

x� 2x2 � 4 �2 < x < 2

1� x3

(x� 2)2x � 2

4: f (x) =

8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

x3 + 1

(x+ 1)3 x < �1

sen� (x� 1) cos��

1

x� 1

�jxj < 1

x3 � 1x2 + x� 2 x > 1

19. Estudie la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican y clasi�que las discontinuidades encaso de existir.

1: Continuidad en x = 2 2: Continuidad en x = 4 3: Continuidad en x = 5

f (x) =

8<:x

2+ 1 x � 2

4� x x > 2f (x) =

(�2x+ 3 x < 4

x2 x � 4f (x) =

8><>:x2 � 25x� 5 x 6= 5

10 x = 5

4: Continuidad en x = 0 5: Continuidad en x = 0 6: Continuidad en x = �1; x = 1

f (x) =

8<:jxjx

x 6= 0

1 x = 0

f (x) =

8<:sen 2x

sen 5x; x 6= 0

3; x = 0

f (x) =

8<: tan��4x�jxj < 1

x jxj � 1

7: Continuidad en x = 0 8: Continuidad en x = 1; x = 3 9: Continuidad en x = 0

h (x) =

8><>:x3 � 55

; x � 0

x� 1; x < 0

f (x) =

(sen jx+ 1j jx� 2j � 1

�1 jx� 2j > 1f (x) =

8<:1

x; x < 0

x; x � 0

10: Continuidad en x = 2 11: Continuidad en x = 0; x = 2 12: Continuidad en x = 1; x = 2

f (x) =

8>><>>:2x� 3; x < 2

1; x = 2

x� 1; x > 2

f (x) =

8>><>>:x x < 0

x2 0 � x < 2

x x > 2

f (x) =

8>><>>:x+ 1; x � 1

5� 4x; 1 < x < 2

4; x = 2

201

13: Continuidad en x = 4 14: Continuidad en x = 0 15: Continuidad en x = �3

f (x) =

(x� 2; x < 4

2x� 6; x > 4f (x) =

8<:x2 + 2x

x; x 6= 0

3; x = 0

f (x) =

8<:x+ 3

x3 + 27; x 6= �3

27; x = �3

16: Continuidad en x = 0 17: Continuidad en x = 0 18: Continuidad en x = �1; x = 1

f (x) =

(x2 � 1; x � 0

x+ 1; x > 0f (x) =

8<:senx

xx 6= 0

2 x = 0f (x) =

(x jxj � 1

x2 jxj > 1

19: Continuidad en x = 2; x = 5 20: Continuidad en x = 1; x = 5

f (x) =

8>>>>>><>>>>>>:

x

x2 � 5 x � 2

x� 5 2 < x < 5

x2 � 25 x > 5

10 x = 5

f (x) =

(x3 jx� 3j � 2

2 jx� 3j > 2

20. Dadas las funciones, determinar la continuidad para todo x y si no es continua, localizar la discontinuidad

1: f (x) =x2 + x� 2x2 � x� 2 2: f (x) =

8><>:x2 � 16x� 4 x 6= 4

8 x = 4

3: f (x) =

8><>:x4 � 16x� 2 x 6= 2

16 x = 2

4: f (x) =

8>><>>:x2 + 5x

10x+ 50x 6= �5

� 1

2x = �5

5: f (x) =

8><>:x2 + 5x� 610x+ 30

x 6= 0

5 x = 0

6: g (x) =

8><>:x3 � x2 + 2x� 2

x� 1 x 6= 1

3 x = 1

21. Encuentre los valores de las constantes de modo que la función dada sea continua

1: f (x) =

(x+ 3; x � 2

cx+ 6; x < 22: f (x) =

(mx+ 5; x � 2

x� 1; x > 23: f (x) =

(ax2; x � 1

3; x > 1

4: f (x) =

8>><>>:1; x � 3

ax+ b; 3 < x < 5

7; x � 55: f (x) =

(�bx3; x < 4

6x+ 1; x � 46: f (t) =

(mt; t < 4

t2; t � 4

7: y =

(c�x2 � 2

�; x < 0

cosx; x � 08: f (x) =

8><>:x2 � 4x� 2 ; x 6= 2

m; x = 2

9: y =

8>><>>:mx; x < 3

n; x = 3

�2x+ 9; x > 3

10: f (x) =

(x3; x � 2

ax2; x < 211: y =

8>><>>:mx� n; x < 1

5; x = 1

2mx+ n; x > 1

12: y =

8>><>>:2; x � 1

ax+ b; 1 < x < 3

�2; x � 3

13: f (x) =

8<:a

x3; x > 1

px; x � 1

14: f (x) =

8<: x+ 1 1 < x < 3

x2 + bx+ a jx� 2j � 1

202

22. Determinar, si los hay, los valores reales en los que la función dada es discontinua y clasi�car dicha discontinuidad.

1: f (x) =x

x2 + 42: f (x) =

x� 1sen 2x

3: f (x) =x2 � 1x4 � 1 4: f (x) = x3 � 4x2 + 7

5: f (x) =tanx

x+ 36: f (x) =

x2 � 1x+ 1

7: f (x) =1

x2 � 4 8: f (x) =�x2 � 9x+ 18

��19: f (x) = �x

3

210: f (x) =

x

x2 + 111: f (x) =

1

x� 1 12: f (x) =x+ 2

x2 � 3x� 10

13: f (x) =jx+ 2jx+ 2

14: f (x) =

(x x � 1

x2 x > 115: f (x) =

(jx� 2j+ 3 x < 0

x+ 5 x � 0

16: f (x) =

8><>:senx

xx 6= 0

1

2x = 0

17: f (x) =

(�2x+ 3 x < 1

x2 x � 118: y = x+ senx

19: f (x) =

8<: csc��6x�

jx� 3j � 2

2 jx� 3j > 2

23. Teorema 1 : Si limx!a

g (x) = L y f es continua en L, entonces

limx!a

f (g (x)) = f�limx!a

g (x)�= f (L)

Si g es continua en a y f es continua en g (a), entonces se observa que

limx!a

f (g (x)) = f�limx!a

g (x)�= f (g (a))

Use el Teorema antes enunciado para evaluar el límite dado

1: limx!�2

cospx 2: lim

x!�=6sen�2x+

�

3

�3: lim

x!�=2sen (cosx) 4: lim

t!�(4t+ sen 2t)

3

5: limx!�=2

(1 + cos (cosx)) 6: limt!�

cos

�t2 � �2t� �

�7: lim

t!�tan

sen�t2 � �2

�t� �

!

8: limx!�

px� � + cos2 x 9: lim

x!0cos

�sen (�x)

x

�10: lim

x!0sen

�sen (�x=2)

x

�

11: limx!2

rx3 � 8x2 � 4 12: lim

x!0arcsen

� senxx

�13: lim

x!0

3

rcosx sen (8 tanx)

senx

14: limx!�1

�senx+ x

x

�815: lim

x!1arctan

�x2 � 1x+px

�16: lim

x!0tan

�1� cosx

x

�

17: limx!�1

4 arctan

�senx+ x

x

�18: lim

x!4

rx

x+ 5

�x2 � 16x� 4

�219: lim

x!2

rx4 � 16x3 � 8

20: limx! 3

2

r8x3 � 274x2 � 9 21: lim

m!2

rm3 � 8m2 � 4

24. ¿Cómo debería de�nirse f (x) =x� 9px2 � 3

en x = 9 para que la función resultante fuese continua en ese punto?

25. Considere las funciones

f (x) = jxj y g (x) =

(x+ 1 x < 0

x� 1 x � 0

Trace las grá�cas de f � g y g � f . Determine si f � g y g � f son continuas en x = 0.

203

26. Sean f y g funciones continuas en x = c, y sea k una constante cualquiera. Demostrar que

(a) La función F (x) = f (x) + g (x) es continua.

(b) La función F (x) = f (x) g (x) es continua.

(c) La función F (x) = kf (x) es continua.

(d) La función F (x) =f (x)

g (x)es continua, siempre que g (c) 6= 0.

27. Veri�que el teorema del valor intermedio para f en el intervalo dado. Encuentre un valor c en el intervalo para elvalor indicado de N .

Función Intervalo N Función Intervalo N

f (x) = x2 � 2x; [1; 5] ; 8 f (x) = x3 � 2x+ 1; [�2; 2] ; 1

f (x) =10

x2 + 1; [0; 1] ; 8 f (x) = x2 + x+ 1; [�2; 3] ; 6

28. Dado que f es continua en [a; b] y f (a) = 5 y f (b) = 20. Demuestre que hay un número c en [a; b], tal quef (c) = 10.

29. Dado que f (x) = x5 + 2x� 7. Demuestre que hay un número c, tal que f (c) = 50.

30. Dado que f (x) = x5 + x� 1. Demuestre que hay un número c, tal que f (c) = 0.

31. Dado que f y g son continuas en [a; b], tales que f (a) > g (a) y f (b) < g (b). Demuestre que hay un númeroc en (a; b), tal que f (c) = g (c).

32. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que x3 + 3x� 2 = 0 tiene una solución real entre 0 y 1.

33. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que t3 cos t+6 sen5 t� 3 = 0 tiene una solución real entre 0y 2�.

34. Demuestre que la ecuación 2x7 = 1� x tiene una solución en [0; 1].

35. Demuestre que la ecuación x5 + 4x3 � 7x+ 14 = 0 tiene al menos una solución real.

36. Demuestre que la ecuaciónx2 + 1

x+ 3+x4 + 1

x� 4 = 0

tiene una solución en el intervalo (�3; 4).

37. Calcular el siguiente límite, si es que existe,

limh!0

f (x+ h)� f (x)h

para las siguientes funciones

1: f (x) = k 2: f (x) = x 3: f (x) = x2 4: f (x) = x3 5: f (x) = x4

6: f (x) = x�1 7: f (x) = x�2 8: f (x) = x�3 9: f (x) =px 10: f (x) = 3

px

11: f (x) = 4px 12: f (x) = senx 13: f (x) = cosx 14: f (x) = tanx

15: f (x) = secx 16: f (x) = cscx 17: f (x) = cotx 18: f (x) = �4

19: f (x) = 2 20: f (x) = �3x 21: f (x) =xp3

22: f (x) = 2x2 23: f (x) =5px

24: f (x) = 5x� 3 25: f (x) = 7� 4x 26: f (x) = x2 � 1 27: f (x) = 3� 2x2

28: f (x) = 4x2 � 3x 29: f (x) =x

3� 5x2 30: f (x) =

63px

31: f (x) =p2x+ 1

32: f (x) = 3p5x� 7 33: f (x) =

1

4� x 34: f (x) =2

3x+ 135: f (x) =

x+ 1

x� 1

204

36: f (x) =2 + x

x2 � x 37: f (x) =6

x2 + 138: f (x) =

2x� 11� x 39: f (x) =

senx

x

40: f (x) =�24� x2 41: f (x) =

x

1� 2x 42: f (x) =1px+ 1

43: f (x) =x

x2 � 3

44: f (x) =4

3x� senx 45: f (x) = sen 2x 46: f (x) = sen 3x 47: f (x) = sen kx

48: f (x) = cos 2x 49: f (x) = cos 3x 50: f (x) = cos kx 51: f (x) = sec 2x

52: f (x) =px3 � x 53: f (x) = sen2 x 54: f (x) =

senx

1� x 55: f (x) = csc 3x

56: f (x) = cot 3x 57: f (x) =3px� 1px+ 1

58: f (x) = cosx2 59: f (x) = tan 3x2

60: f (x) =p2x+ x2 � 3

Respuestas : Ejercicios

A.H.: Asíntota horizontal; A.V.: Asíntota vertical; C.: Continua; D.E.: Discontinuidad evitable; D.N.E.: Discontinuidad no evitable

6:1: 1; 6:2: �1; 6:3: No existe; 6:4: 1; 6:5: �1; 6:6: No existe; 6:7: 1; 6:8: 1; 6:9: 1;

6:10: �1; 6:11: No existe; 6:12: 1; 6:13: �1; 6:14: No existe; 6:15: No existe; 6:16: No existe;

6:17: No existe; 6:18: No existe; 6:19: No existe; 6:20: � 15 ; 6:21: 0; 6:22: 1; 6:23: 1; 6:24: 0;

6:25: 316 ; 6:26: � 1

2 ; 6:27: 23 ; 6:28: 2; 6:29: � 1; 6:30: 0; 6:31: 1

2 ; 6:32: 2; 6:33: 32

p2;

6:34: � 32

p2; 6:35: 4; 6:36: � 4; 6:37: 3; 6:38: 3; 6:39: 4

3 ; 6:40: 1; 6:41: 316 ; 6:42: 0;

6:43: 1; 6:44: 0; 6:45: 0; 6:46: 83 ; 6:47: 1

2 ; 6:48: 1; 6:49: a+b3 ; 6:50: 1

2 ; 6:51: 1;

6:52: 12 ; 6:53: 0; 6:54: 0; 6:55: 1; 6:56: 1

4 ; 6:57: 13 ; 6:58: � 2; 6:59: � 1

10 ; 6:60: 2;

6:61: �1; 6:62: 0; 6:63: �� ; 6:64: No existe; 6:65: 1

2 ; 6:66: 0; 6:67: 0; 6:68: 0; 6:69: 13 ;

6:70: 0; 6:71: a; 6:72: 53 ; 6:73: 0; 6:74: 0; 6:75: 1

4 ; 6:76: No existe; 6:77: 12 ; 6:78:

p2;

6:79: 0; 6:80: a�b2 ; 6:81:

p23

3qp

22 ; 6:82: 1; 6:83: 0; 6:84: � 3

2 ; 6:85: 1; 6:86: 1; 6:87: � 3a4;

6:88: cos x; 6:89: � sen x; 6:90: sec2 x; 6:91: sec x tan x; 6:92: � csc x cot x; 6:93: � csc2 x; 6:94: �23 3p2;

6:95: No existe; 6:96: 0; 6:97: sec2 a; 6:98: 13 ; 6:99: 3

4 ; 6:100: 0; 13: 1; 14: 3;

15:1: A.H.: 0 y A.V.: �1; 15:2: A.H.: 0 y A.V.: �1; 15:3: A.H.: 2 y A.V.: 3; 15:4: A.H.: 0 y A.V.: �3;

15:5: A.H.: 0 y A.V.: No; 15:6: A.H.: 2 y A.V.: No; 15:7: A.H.: 1 y A.V.: �4; 15:8: A.H.: 1 y A.V.: �1;

15:9: A.H.: 1 y A.V.: 0; 15:10: A.H.: 1 y A.V.: �2; 15:11: A.H.: 0 y A.V.: �1; 15:12: A.H.: No y A.V.: �5; 2;

16: y = 2x+ 3; 17: y = 3x+ 4; 18:1: A.H.: y = 12�, A.V.: x = �5 y A.O.: y = x� 3;

18:2: A.H.: y = 0, A.V.: x = 1 y A.O.: y = x+ 1; 18:3: A.H.: y = 0, A.V.: x = �2 y x = 2 y A.O.: y = �x� 4;

18:4: A.H.: y = 1, A.V.: x = �1 y A.O.: y = x� 1; 19:1: C. x = 2; 19:2: D.N.E. x = 4; 19:3: C. x = 5;

19:4: D.N.E. x = 0; 19:5: D.E. x = 0; 19:6: C. x = �1; 19:7: C. x = 0; 19:8: D.N.E. x = 1 y x = 3;

19:9: D.N.E. x = 0; 19:10: C. x = 2; 19:11: C. x = 0; D.N.E. x = 2; 19:12: D.N.E. x = 1; C. x = 2;

19:13: D.E. x = 4; 19:14: D.E. x = 0; 19:15: D.E. x = �3; 19:16: D.N.E. x = 0; 19:17: D.E. x = 0;

19:18: D.N.E. x = �1; C. x = 1; 19:19: D.N.E. x = 2; D.E. x = 5; 19:20: D.N.E. x = 1 y x = 5;

20:1: D.N.E. x = 1 y x = 2; 20:2: C.; 20:3: D.N.E. x = 2; 20:4: C.; 20:5: D.E. x = 0; 20:6: C.;

21:1: c = �12 ; 21:2: m = �2; 21:3: a = 3; 21:4: a = 3; b = �8; 21:5: b = � 25

64 ; 21:6: m = 4; 21:7: c = �12 ;

21:8: m = 4; 21:9: m = 1; n = 3; 21:10: a = 2; 21:11: m = 103 ; n = � 5

3 ; 21:12: a = �2; b = 4;

21:13: a = 1; 21:14: b = �3; c = 4; 22:1: No tiene; 22:2: x = n�2 ; n 2 N; D.N.E.; 22:3: x = �1; D.E.;

22:4: No tiene; 22:5: x = �3; x = (2n� 1) �2 ; n 2 N; D.N.E.; 22:6: x = �1; D.E.; 22:7: x = �2; D.N.E.;

22:8: x = 3; x = 6; D.N.E.; 22:9: No tiene; 22:10: No tiene; 22:11: x = 1; D.N.E.;

22:12: x = �2; x = 5; D.E. x = �2; D.N.E. x = 5; 22:13: x = �2; D.N.E.; 22:14: No tiene; 22:15: No tiene;

22:16: x = 0; D.N.E.; 22:17: No tiene; 22:18: No tiene; 22:19: x = 1; x = 5; x = 6n; n 2 N; D.N.E.;

23:1: � 1; 23:2: 12

p3; 23:3: 0; 23:4: 64�3; 23:5: 2; 23:6: 1; 23:7: 0; 23:8: 1; 23:9: � 1;

23:10: 1; 23:11:p3; 23:12: 1

2�; 23:13: 2; 23:14: 1; 23:15: 12�; 23:16: 0; 23:17: �;

23:18: 1283 ; 23:19: 2

3

p6; 23:20: 3

2

p2; 23:21:

p3; 24: f (x) =

8<:x�9px2�3

x 6= 9

0 x = 937:1: 0;

205

37:2: 1; 37:3: 2x; 37:4: 3x2; 37:5: 4x3; 37:6: � 1x2; 37:7: � 2

x3; 37:8: � 3

x4; 37:9: 1

2px;

37:10: 1

33px2; 37:11: 1

44px3; 37:12: cos x; 37:13: � sen x; 37:14: sec2 x; 37:15: sec x tan x;

37:16: � csc x cot x; 37:17: � csc2 x; 37:18: 0; 37:19: 0; 37:20: � 3; 37:21:p33 ; 37:22: 4x;

37:23: �52x3=2

; 37:24: 5; 37:25: � 4; 37:26: 2x; 37:27: � 4x; 37:28: 8x� 3; 37:29: � 10x+ 13 ;

37:30: � 2

x 3px; 37:31: 1p

2x+1; 37:32: 5

33p(5x�7)2

; 37:33: 1(4�x)2 ; 37:34: � 6

(3x+1)2; 37:35: � 2

(x�1)2 ;

37:36: 2�x2�4x(x2�x)2

; 37:37: � 12x

(x2+1)2; 37:38: (x� 1)�2 ; 37:39: 1

x cos x�1x2sen x; 37:40: � 4x

(4�x2)2;

37:41: 1(2x�1)2 ; 37:42: �1

2(x+1)3=2; 37:43: � x2+3

(x2�3)2; 37:44: � cos x� 4

3x2; 37:45: 2 cos 2x; 37:46: 3 cos 3x;

37:47: k cos kx; 37:48: � 2 sen 2x; 37:49: � 3 sen 3x; 37:50: � k sen kx; 37:51: 2 sec 2x tan 2x;

37:52: 3x2�12px3�x

; 37:53: sen 2x; 37:54: cos x1�x + sen x

(1�x)2 ; 37:55: � 3 csc 3x cot 3x; 37:56: � 3 csc2 3x;

37:57: 13(x�1)

3px�1px+1

� 12px

3px�1(px+1)2

; 37:58: � 2x sen x2; 37:59: 6x sec2 3x2; 37:60: x+1p2x+x2�3

;

Bibliogra�a

1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: �Cálculo". Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.

2. Stewart, J.: �Cálculo". Grupo Editorial Iberoamericano.

Cálculo Diferencial e Integral - Límite y continuidad. Farith Briceño

Última actualizacón: Agosto 2012 e-mail : [email protected]

206

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