práctica general de cdi

T ecnologico de Costa Rica Calculo Proposicional1Calculo Diferencial e Integral Cristhian P aezEscuela de Matematica

Introduccion

Poder reconocer cuando un razonamiento es correcto y saber construirlo en fundamental en el estu-dio de las matematicas; por eso, sera importante estudiar que argumentos hacen que determinadorazonamiento sea irrefutable.

La logica estudia procesos donde se concluye una afirmacion a partir de un conjunto de afirmaciones(en matematica, interesa el estudio de razonamientos correctos).

Sistemas deductivos formales

Que se debe entender por una deduccion logica? o que ha de cumplirse para que una formulasea una consecuencia logica de otra u otras formulas? son preguntas que interesan en el estudio delcalculo proposicional. Para determinar que se debe entender por una demostracion matematica soloquedara establecer un sistema de axiomas (que son cierto conjunto de principios basicos aceptadossin demostracion alguna), de modo que los teoremas matematicos sean proposiciones (afirmacionesde las que se puede decir, sin ambiguedad, sin son verdaderas o falsas) cuya validez se verifica comoconsecuencias logicas de los axiomas.

Se debe tener en presente que no se dara una definicion arbitraria de deduccion logica, sino que seestara retomando la nocion de razonamiento que los matematicos han empleado desde hace milenios.En este sentido, se buscara formalizar la logica, es decir, reducir los razonamientos logicos a simplesmanipulaciones mecanicas de formulas que no requieran tener en cuenta su posible significado paradecidir si son validas o no.

En principio, se puede decir que un razonamiento es una sucesion de premisas tales que cada unaes consecuencia de las anteriores en un sentido que hemos de precisar; o bien, que es un conjunto deproposiciones, llamadas premisas o hipotesis y otra conclusion o tesis.

Ejercicio

Determine si las siguientes afirmaciones son proposiciones o no.

1. El cuadrado de todo numero impar es par.

2. Todo numero par mayor que dos se puede expresar como la suma de dos numeros primos.2

3. Detente!

4. 98 + 15 da como resultado un numero primo.

5. 781 781.1Apuntes basados en las obras siguientes:

Suppes, P. y Hill S. (2002). Introduccion a la logica matematica. Mexico: Reverte Ediciones.Copi, I. (2000). Logica simbolica. Mexico: Compana Editorial Continental.Uzcategui, C. Logica, Conjuntos y Numeros. Universidad de Los Andes.Ivorra, C. Logica y teora de conjuntos.

2Este enunciado se conoce como la conjetura de Goldbach. Investiga si es verdadero o es falso.

6. Esperame!

7. Hoy hace calor.

8. m es un numero par.

9. Voy al cine regularmente.

10. Un 15 de setiembre Saprissa goleo 5 a 1 a Alajuelense.

11. Por que te gustan los vdeo juegos?

12. Todo numero elevado a su tercera potencia es positivo.

13. 245847

> 474578221

14. El jueves 27 de enero estaba haciendo fro en Cartago.

15. Para que estas matriculado en Calculo Diferencial e Integral?

16. Existe un numero par menor que 25.

17. Todo problema tiene solucion unica.

18. x+ 3 = 2 para algun x entero.

19. 00 = 1

20. Todo atleta es disciplinado.

21. x2 1 para todo valor real x.

Conectivos logicos

Las proposiciones se pueden combinar para obtener otras proposiciones utilizando los conectivoslogicos.

En la tabla siguiente se indican los nombres de estos enlaces, su simbologa y un ejemplo.

Nombre Smbolo Ejemplo

Negacion No me mojoDisyuncion Me mojo o voy al estadioConjuncion Hace calor y voy al estadioCondicional Si sale el Sol, entonces voy al estadioBicondicional Voy al estadio si, y solo si, sale el Sol

Toda proposicion que no contenga conectivo logico alguno se dice que es una proposicion simple(tambien se le conoce como proposicion atomica), las que contienen al menos un enlace son llamadasproposiciones compuestas.

Dado que la oracion declarativa con que se expresa una proposicion puede ser larga y compleja,es conveniente simbolizar las proposiciones presentes en tales oraciones con el fin de simplificar su

2

representacion y manipulacion; para esto, usualmente son utilizadas las letras P , Q, R, . . . parasimbolizar las proposiciones.

En la siguiente tabla se consideran las proposiciones P y Q y se indica la forma en la que debe leersela simbolizacion asociada a cada conectivo logico.3

Simbolizacion Lectura

P no PP Q P o QP Q P y QP Q si P , entonces QP Q P si, y solo si, Q

Las proposiciones del tipo si P , entonces Q son llamadas proposiciones condicionales, dondeP se llama antecedente y Q consecuente. La recproca de P Q es la proposicion Q P y lacontrapositiva de P Q es la proposicion Q P .

Ejercicio

Considere las proposiciones siguientes con su respectiva simbolizacion:

P = esta lloviendo

Q = el Sol esta brillando

R = hay nubes en el cielo

1. Simbolice, a partir de las proposiciones simples anteriores, las proposiciones compuestas que seenuncian a continuacion.

(a) Esta lloviendo y el Sol esta brillando.

(b) Si esta lloviendo, entonces hay nubes en el cielo.

(c) No es cierto que el Sol no esta brillando.

(d) Si no esta lloviendo, entonces el Sol no esta brillando y hay nubes en el cielo.

(e) Si no esta lloviendo y no hay nubes en el cielo, entonces el Sol esta brillando.

(f) El Sol esta brillando si, y solo si, no esta lloviendo.

(g) No es el caso que este lloviendo o el Sol este brillando, pero hay nubes en el cielo.

2. Redacte una posible oracion que corresponde con cada una de las proposiciones compuestassiguientes.

(a) (P Q) R(b) P (Q R)(c) R Q(d) (P R) Q

3Existen dos tipos de disyuncion: la inclusiva (cuando ambas alternativas son permitivas) y la exclusiva (cuandosolo una de las alternativas es permitiva); en el curso estaremos utilizando la disyuncion en el sentido inclusivo.

3

3. Simbolice la proposicion si esta lloviendo, entonces hay nubes en el cielo y determine, tex-tualmente y de manera simbolica:

(a) La contrapositiva de la proposicion.

(b) La recproca de la proposicion.

(c) La negacion de la proposicion (manteniendo como valido el antecedente de la proposicioncondicional) y generalice una regla para (P Q).

4. Determine la negacion de la proposiciones siguientes y su simbolizacion:

(a) Esta lloviendo y hay nubes en el cielo. Ademas, generalice, de manera simbolica, unaregla para (P R).

(b) El Sol esta brillando o hay nubes en el cielo. Ademas, generalice, de manera simbolica,una regla para (Q R).

(c) No esta lloviendo. Ademas, generalice, de manera simbolica, una regla para (P ).

Con base en lo resuelto anteriormente, con concluyen los resultados siguientes:4

1. (P Q) P Q2. (P Q) P Q3. (P Q) P Q4. (P ) P

Ademas de las reglas cuatro reglas enunciadas, tambien son validos los resultados siguientes:

1. P Q Q P2. P Q Q P

En la expresion bicondicional P si, y solo si, Q se tiene la conjuncion de dos expresiones. La primerade ellas es P , si Q y expresa lo mismo que la proposicion condicional si Q, entonces P.

La otra expresion es P , solo si Q y es equivalente a mencionar que P ocurre solamente si Q ocurre;por esta razon se dice que Q es una condicion necesaria para que P ocurra, o lo que es equivalente,cada vez que P se cumple necesariamente Q tambien. De esta manera, la expresion equivale a decirsi P , entonces Q.

Ejercicios

1. Sean P , Q y R las proposiciones siguientes:

P = Juan llega demasiado pronto

Q = Mara llega demasiado tarde

R = El jefe se molesta

Utilizando las letras anteriores y los conectivos logicos traduzca las oraciones siguientes a no-tacion logica.

4El smbolo representa que las proposiciones son equivalentes en un sentido logico.

4

(a) Si Juan llega demasiado proto o Mara demasiado tarde, entonces el jefe se molesta.

(b) Si Mara llega demasiado tarde, entonces Juan no llega demasiado pronto.

(c) El jefe se molesta o Mara no llega demasiado tarde.

(d) Mara llega demasiado tarde, Juan llega demasiado pronto y el jefe se molesta.

(e) Si el jefe no se molesta, entonces Juan no llega demasiado pronto y Mara no llega de-masiado tarde.

(f) Mara no llega demasiado tarde o Juan llega demasiado pronto.

(g) Si Mara no llega demasiado tarde y Juan no llega demasiado pronto, entonces el jefe nose molesta.

2. Niegue las proposiciones siguientes:

(a) Ganaremos el primer partido o el segundo.

(b) 5 3.(c) Las rosas son rojas y las margaritas amarillas.

(d) Alejandra quiere comer fruta pero no helado.

(e) No es cierto que no quiera ir al nuevo Estadio Nacional.

(f) Si 210 < 35, entonces 1010 < 155.

(g) Todos los numeros pares son multiplos de cuatro.

3. Proporcione la negacion, la recproca y la contrapositiva de cada una de las proposicionessiguientes:

(a) Si soy listo, entonces soy millonario.

(b) Si 2 + 2 = 4, entonces 2 + 4 = 8.

(c) Si Juan llega demasiado pronto o Mara demasiado tarde, entonces el jefe se molesta.

(d) Si hay nubes en el cielo y el Sol no esta brillando, entonces no ire al estadio.

(e) Si a es un numero real y a > 0, entonces a2 > 0.

Tablas de verdad

Es importante poder decidir cuando una proposicion es verdadera, ya que para razonar correctamentese debe garantizar que a partir de proposiciones verdaderas se infiera otra proposicion verdadera.Algunas proposiciones compuestas pueden ser complejas, de manera que no sea sencillo mencionarsi estas son verdaderas o no.

Se estudiara, en principio, el valor de verdad (si la proposicion es verdadera o si es falsa) de proposi-ciones compuestas que contengan alguno de los conectivos logicos que hemos estudiado hasta elmomento y, luego, con ayuda de tablas se estaran analizando proposiciones un poco mas complejas.

Con ayuda de las tablas, podremos colocar todas las posibilidades de certeza o falsedad de las proposi-ciones atomicas que forman la proposicion molecular y, de esta manera, deducir si la proposicionmolecular es cierta o falsa.

A continuacion, basados en las proposiciones representadas por P y por Q, se enuncian las tablasbasicas de certeza para los cinco terminos primitivos que se estudian en este curso.

5

NegacionP PV FF V

DisyuncionP Q P QV V VV F VF V VF F F

ConjuncionP Q P QV V VV F FF V FF F F

CondicionalP Q P QV V VV F FF V VF F V

BicondicionalP Q P QV V VV F FF V FF F V

Con base en las tablas anteriores es posible determinar si alguna proposicion compuesta es falsa overdadera con solo analizar todas los posibles valores de verdad para cada una de las proposicionessimples que la conforman.

El uso de las tablas de verdad para determinar si algun razonamiento es valido o no se basa en lospasos siguientes:

1. Se escriben todas las combinaciones posibles de valores de certeza para las proposicionesatomicas incluidas en el enunciado.

2. Se determinan los valores de certeza para todas las premisas y para la conlusion del razona-miento.

3. Se buscan las lneas que presentan todas las premisas como proposiciones verdaderas; en casode que la conclusion sea cierta tambien para cada una de estas lneas, entonces el razonamientoes valido. En caso de que exista alguna lnea en la que todas las premisas son verdaderas y laconclusion es falsa, el razonamiento no es valido.

Ejemplo

En este ejemplo se simboliza y se analiza, mediante una tabla de verdad y basados en los pasosdescritos anteriormente, si el razonamiento siguiente es valido o no:

Tomo sufiente agua o como frutas frescas de temporada. No tomo suficiente agua. Por lo tanto,como frutas frescas de temporada.

Se simbolizan las proposiciones atomicas como P = tomo sufiente agua y Q = como frutas frescasde temporada. Las premisas, de manera simbolica, son las proposiciones P Q y P . La conclusiones la proposicion Q.

La tabla de verdad para el razonamiento esta dada por:

P Q P Q PV V V FV F V FF V V VF F F V

Las dos premisas de este razonamiento son verdaderas en la tercera lnea (unicamente) y la conclusiontambien es verdadera en esta tercera lnea; de esta manera, se concluye que el razonamiento es valido.

Ejercicio

Determine, mediante tablas de verdad, si cada uno de los razonamientos siguientes son validos o no.

6

1. Si llueve torrencialmente, entonces me mojo los zapatos. Me mojo los zapatos. Por lo tanto,llueve torrencialmente.

2. Si Isabel se retrasa, entonces Cristina es puntual. Si Isabel no se retrasa, entonces Cristina noes puntual. Por lo tanto, Isabel se retrasa o Cristina es puntual.

3. Garca no entrega la mercadera o el contrato se considera legal. Por lo tanto, si Garca entregala mercadera, entonces el contrato se considera legal.

4. Voy al cine o a dormir. No voy al cine. Por lo tanto, no voy a dormir.

5. Si el viernes voy a clases de Calculo Diferencial e Integral, entonces ese da no ire a clases deLaboratorio de Fsica. Voy a clases de Laboratorio de Fsica el viernes y ese da no voy a clasesde Calculo Diferencial e Integral. Por lo tanto, el viernes voy a clases de Calculo Diferencial eIntegral o ese da voy a clases de Laboratorio de Fsica.

6. Si yo fuera el presidente de Costa Rica, entonces vivira en Zapote. Es claro que no soy elpresidente de Costa Rica. Por lo tanto, no vivo en Zapote.

7. Los terrenos sembrados continuamente se agotan si, y solo si, no se han tomado las medidaspara restablecer los minerales extrados por las cosechas. Por lo tanto, los terrenos sembradoscontinuamente se agotan o se han tomado las medidas para restablecer los minerales extradospor las cosechas.

8. Un atomo de hidrogeno tiene un proton en su nucleo y el numero atomico del hidrogeno esuno. Por lo tanto, un atomo de hidrogeno tiene un proton en cada nucleo si, y solo si, elnumero atomico del hidrogeno es uno.

Tautologas, contingencias y contradicciones

Una proposicion es una tautologa si, y solo si, permanece cierta para todas las combinaciones de asig-naciones de certeza atribuidas a cada una de sus distintas proposiciones atomicas. En forma analoga,si una proposicion es falsa para todas las combinaciones de asignacion de certeza atribuidas a cadauna de sus distintas proposiciones atomicas, entonces dicha proposicion es llamada contradiccion.En caso de que una proposicion no sea ni tautologa ni contradiccion, se dice que es una contingencia.

Ejemplo

Considerando la proposicion (P Q) P , se presenta su tabla de verdad asociada y se clasificacomo tautologa, contradiccion o contingencia.

P Q P Q (P Q) PV V V VV F V VF V V FF F F V

En la cuarta columna de la tabla de verdad se encuentran los valores de certeza que se le atribuyen a laproposicion (P Q) P con base en todas las combinaciones de asignaciones de certeza atribuidas

7

a cada una de sus distintas proposiciones atomicas. La proposicion (P Q) P es una contingencia.

Ejercicio

Determine, con base en tablas de verdad, si cada una de las proposiciones que se enuncian es unatautologa, una contradiccion o una contingencia.

1. P P2. Q P3. (P Q) (P Q)4. (P Q) (P Q)5. P P6. (P Q) (Q P )7. (P Q) (Q P )

8. ((P Q) Q) P9. (P Q) Q10. P (P Q)11. (Q P ) (P Q)12. P P13. P (P Q)14. (P Q) (P Q)

15. (P Q) (Q P )16. (P Q) (P Q)17. (P Q) R18. (P Q) P19. (P Q) P20. P (Q R)21. (P Q) R

Inferencias logicas

En algunas ocasiones es tedioso utilizar tablas de verdad para probar la validez de ciertos argumentos,principalmente cuando estos contienen dos o mas enunciados simples diferentes como componentes;es estos casos, conviene establecer la validez de los argumentos deduciendo las conclusiones de suspremisas mediante una secuencia de argumentos mas cortos y elementales para los que se conoce suvalidez.

Reglas de inferencia

Modus Ponens : MP(a) P Q(b) P

Q

Modus Tollens : MT(a) P Q(b) Q P

Silogismo Hipotetico: SH(a) P Q(b) Q R P R

Silogismo Disyuntivo: SD(a) P Q(b) P Q

Dilema Constructivo: DC(a) P Q(b) R S(c) P R Q S

Simplificacion: Simp.(a) P Q P

Dilema Destructivo: DD(a) P Q(b) R S(c) Q S P R

Adjuncion: Adj.(a) P

(b) Q

P Q

Adicion: Adi.(a) P

P Q

8

Se inicia con un listado de premisas y con base en las reglas de inferencia se deducen conclusiones ;el paso logico de las premisas a la conclusion es una deduccion. La conclusion que se obtiene se diceque es una consecuencia logica de las premisas si cada paso que se da para llegar a la conclusion estapermitido por una regla de inferencia. Lo fundamental en inferencia es que de premisas verdaderasse obtienen solo conclusiones verdaderas.

Algunos ejemplos

1. Demostrar R (P Q) dadas las premisas siguientes: P Q,Q R,P T,T*(1) P Q*(2) Q R*(3) P T*(4) T

(5) P MT 3,4(6) Q SD 1,5

(7) R MP 2,6

R (P Q) Adj. 7,1

2. Demostrar C dadas las premisas siguientes: A (B D) , (B D) C,A*(1) A (B D)*(2) (B D) C*(3) A

(4) B D MP 1,3 C MP 2,4

3. Demostrar N dadas las premisas siguientes: R S,R,S Q,Q N*(1) R S*(2) R

*(3) S Q*(4) Q N

(5) S MP 1,2(6) Q MP 3,5

N MP 4,6

9

4. Considere el planteamiento siguiente:

Si Tomas tiene diecisiete anos, entonces Tomas tiene la misma edad que Juana. Si Joaquntiene distinta edad que Tomas, entonces Joaqun tiene distinta edad que Juana. Tomastiene diecisiete anos y Joaqun tiene la misma edad que Juana. Por tanto, Joaqun tienela misma edad que Tomas y Tomas la misma que Juana.

Sean:

E : Tomas tiene diecisiete anos

S : Tomas tiene la misma edad que Juana

T : Joaqun tiene la misma edad que Tomas

J : Joaqun tiene la misma edad que Juana

Entonces:

*(1) E S*(2) T J*(3) E J

(4) E Simp. 3

(5) S MP 1,4

(6) J Simp. 3

(7) T MT 2,6

T S Adj. 5,7

Algunos ejercicios

1. Justifique cada uno los pasos que se realizan en la demostracion de: x = 5 x 6= 4*(1) x = 2 x < 3*(2) x 6= 4 x 3*(3) (x 6= 2 x > 4) x = 5

(4) x 3(5) x 6= 2(6) x 6= 2 x > 4(7) x = 5

(8) x 6= 4 x = 5 x 6= 4

10

2. Justifique cada uno los pasos que se realizan en la demostracion de: x = 3

*(1) x 2 = 1 2 x 6= 1*(2) x = 1 2 x = 1*(3) x = 1 x+ 2 = 5*(4) (x+ 2 = 5 x 2 = 1) x = 3

(5) 2 x 6= 1(6) x 6= 1(7) x+ 2 = 5

(8) x 2 = 1(9) x+ 2 = 5 x 2 = 1 x = 3

3. Simbolice el razonamiento siguiente. Es valido lo que se concluye?

Si el rey no se enroca y el peon avanza, entonces o el alfil queda bloqueado o la torreinmovilizada. Si el rey no se enroca, entonces, si el alfil queda bloqueado entonces el juegoes tablas. O el rey se enroca o si la torre es inmovilizada se pierde el cambio. El rey nose enroca y el peon avanza. Por lo tanto, o el juego es tablas o se pierde el cambio. (K:el rey se enroca. P: El peon avanza. B: El alfil es bloqueado. R: La torre es inmovilizada.D: El juego es tablas. E: Se pierde el cambio.)

4. Construir una prueba formal de la validez para cada uno de los argumentos siguientes:

(a) Demostrar A C si*(1) A B*(2) C D*(3) (B D) (A B)

(b) Demostrar T U si*(1) (R S) (T U)*(2) (V W ) (X Y )*(3) (T W ) (U S)*(4) V R

(c) Demostrar H si

*(1) E (F G)*(2) (F G) H*(3) E

(d) Demostrar Q si

*(1) M N*(2) N O*(3) (M O) (N P )*(4) (M P ) Q

(e) Demostrar T S si*(1) Q T*(2) Q R*(3) R

(f) Demostrar Q si

*(1) T S*(2) (T R) Q*(3) S

11

5. Para cada uno de los enunciados siguientes, demostrar que la conclusion es consecuencia de laspremisas dadas.

(a) Si esta es una sociedad matriarcal, entonces el hermano de la madre es el cabeza de familia.Si el hermano de la madre es el cabeza de familia, entonces el padre no tiene autoridad.Esta es una sociedad matriarcal. Por lo tanto, el padre no tiene autoridad.

(b) La camara fue adquirida legalmente por el vendedor o la camara es mercanca robada. Sila camara fue adquirida legalmente por el vendedor, entonces es mi camara. Si la camaraes mercanca robada, entonces Tomas es su propietario legal.

(c) Si Juan es mas alto que Pedro, entonces Mara es mas baja que Juana. Mara no es masbaja que Juana. Si Juan y Luis tienen la misma estatura, entonces Juan es mas alto quePedro. Por tanto, Juan y Luis no tienen la misma estatura.

(d) El Sol sale y se pone si, y solo si, la Tierra gira. La Tierra gira y la Luna se muevealrededor de la Tierra. Por tanto, el Sol sale y se pone, o el clima es muy caliente o fro.

Cuantificadores

Una proposicion abierta (predicado) es toda proposicion del tipo A (x); es decir, toda proposicion quedependa de una(varias) variable(s). Con cada elemento arbitrario x, A (x) tendra un valor de verdad.Con este tipo de proposiciones el lenguaje de la logica proposicional es insuficiente para expresar lamayora de los resultados de la matematica.

Expresiones como todo elemento de ocurren con mucha frecuencia en matematicas y refleja una desus caractersticas mas importantes: la posibilidad de mostrar hechos generales sobre los elementos deluniverso que se este analizando. La expresion anterior es llamada cuantificador universal y abreviadapor el smbolo que se lee para todo. Otro cuantificador que se utiliza en logica es el cuantificadorexistencial, denotado con el smbolo y cuya lectura es existe.Si A (x) es una proposicion abierta, por una parte, x (A (x)) indica que todo valor x cumple laproposicion A (x); note que la proposicion x (A (x)) sera verdadera siempre que todos los posiblesvalores x hagan que A (x) sea verdadera; por otra parte, x (A (x)) indica que existe un valor xque cumple la proposicion A (x); en este caso, la proposicion x (A (x)) sera verdadera siempre queexista al menos un elemento x de los posibles, de manera que A (x) sea verdadera.

Ejemplos

En cada caso, se enuncia una proposicion y luego su simbolizacion con el uso de los cuantificadoresen estudio.

1. La tercera potencia de todo numero entero es menor que siete: x Z (x3 < 7).2. El cuadrado de todo numero real no es negativo: x R (x2 0).3. Existe un numero natural cuya tercera potencia es mayor que ocho: x N (x3 > 8).4. Todo numero natural es menor que su consecutivo: x N (x < x+ 1).5. Existe un numero entero cuyo doble es menor o igual que el cuadrado de su quntuple,

aumentado en tres: x Z (2x (5x)2 + 3).12

Negacion de los cuantificadores

Al negar un cuantificador universal se obtiene un cuantificador existencial y, viceversa, al negar uncuantificador existencial se obtiene un cuantificador universal. Simbolicamente, son los resultadossiguientes:

(xA (x)) x (A (x)) (xA (x)) x (A (x))

En la tabla siguiente se muetran proposiciones con su respectiva negacion:

Proposicion P Proposicion P

x N (x2 4x+ 5 > 3) x N (x2 4x+ 5 3)

x Z (x > 8 x 14) x Z (x > 8 x > 14)

x Z (x3 < 7) x Z (x3 7)x R (x2 0) x R (x2 < 0)x N (x3 8) x N (x3 < 8)

Ejercicios

1. Para cada una de las proposiones que se presentan, determine su respectiva negacion.

(a) x N (x > 4 x2 7)(b) x Z (x+ 1 = 4 x 3)(c) x R (x < 8 (x+ 1 = 4 x 2))

(d) x Z (x2 + 2x 3 > 0 x+ 4 8)(e) x N (x 6= 4 x2 + 5 0)(f) x R (x2 > 1 (x > 1 x < 1))

2. Simbolice completamente las proposiciones siguientes:

(a) Solo el protoplasma es sustancia viviente.

(b) Solo el ser humano es racional.

(c) Todos los pajaros y peces son animales.

(d) Todos los caballos y vacas son cuadrupedos.

(e) No todos los hombres son inteligentes.

(f) No toda la hierba es verde.

(g) Solo los europeos son italianos.

13

Contraejemplos

Hasta ahora el estudio se ha concentrado en mostrar algunos de los metodos que son utilizados parademostrar la validez de una afirmacion. Ahora veremos como es posible mostrar que una afirmaciongeneral no es valida. Saber mostrar que algo no es valido es importante, ya que esto puede llevar aintuir que es lo que s es valido.

Se indica la forma general para refutar afirmaciones del tipo P Q, P Q y P Q.

P QPara este caso, se busca un ejemplo donde sea valida la proposicion (P Q).Dado que (P Q) P Q, basta hallar un ejemplo donde sea valida la proposicionP Q; es decir, un ejemplo donde sean validas, de manera simultanea, las proposiones Py Q.

P QPara este caso, se busca un ejemplo donde sea valida la proposicion (P Q).Dado que (P Q) P Q, basta hallar un ejemplo donde sea valida la proposicionP Q; es decir, un ejemplo donde sea valida la proposion P o sea valida la proposicionQ.

P QPara este caso, se busca un ejemplo donde sea valida la proposicion (P Q).Dado que (P Q) P Q, basta hallar un ejemplo donde sea valida la proposicionP Q; es decir, un ejemplo donde sean validas, de manera simultanea, las proposiones P yQ.

14

Instituto Tecnologico de Costa Rica Calculo Diferencial e IntegralEscuela de Matematica II Semestre de 2004

Ejercicios sobre lmites

Determinacion de lmites de una funcion dada su grafica

Considere las funciones siguientes y sus representaciones graficas. En cada caso, y si existen, determine apartir de la grafica los lmites que se indican.

1.

5-3 -2 -1 1 2 3 4

x

y

2

1

3

(a) limx3+

f(x)

(b) limx1 f(x)

(c) limx2 f(x)

(d) f(1); f(2)(e) lim

x+ f(x)

2. 11,5

-1,5

3

1

-1

2

(a) limx f(x)

(b) limx3/2

f(x)

(c) limx3/2

f(x)

(d) f(3/2)

(e) limx+ f(x)

3.3

-1

-1-2 1 2

1

2(a) lim

x f(x)

(b) limx2 f(x)

(c) limx1 f(x)

(d) limx0 f(x)

(e) limx2 f(x)

(f) limx3 f(x)

(g) limx+ f(x)

1

PezHighlight

PezCross-Out

PezRectangle

4.

2

-1-2 1

-2

2,5

(a) limx f(x)

(b) limx2 f(x)

(c) limx1 f(x)

(d) limx0 f(x)

(e) limx1 f(x)

(f) limx+ f(x)

5.1-1-2

-3 4

-2

3

2

1

(a) limx g(x)

(b) limx3 g(x)

(c) limx1 g(x)

(d) limx0 g(x)

(e) limx1 g(x)

(f) limx2 g(x)

(g) limx+ g(x)

6.

-2

2

-3 -2

(a) limxh(x)

(b) limx3h(x)

(c) limx2h(x)

(d) limx0h(x)

(e) limx+h(x)

2

7.2

-2 2

1

(a) limx f(x)

(b) limx2 f(x)

(c) limx0 f(x)

(d) limx2 f(x)

(e) limx+ f(x)

Construccion de la grafica de una funcion conociendo sus lmites

En cada caso siguiente considere los datos indicados sobre la funcion f y dibuje una grafica que la represente.

1. Dh = IR {2, 2} lim

xh(x) = lim

x3h(x) = 2

f(3) = 1 lim

x2h(x) =

limx2+

h(x) = +

limx2

h(x) = lim

x2+h(x) = +

limx+h(x) = +

2. Df = IR 0 lim

x f(x) = + lim

x0f(x) = 0

f(x) = 1, x ]0, 1[ f(2) = 2; f(3) = 1 lim

x+ f(x) = +

3. Dg =], 1[]2,+[ lim

x g(x) = 4

limx2

g(x) =

limx1+

g(x) = + lim

x1g(x) = +

limx2+

g(x) = + lim

x+ g(x) = 5

4. Df = IR] 2, 2[ lim

x f(x) = + lim

x4 f(x) = 3 f(4) = 2

f(2) = f(2) = 0 lim

x+ f(x) = 2

5. Dg = IR [0, 1] lim

x+ g(x) = 3

limx1+

g(x) = lim

x0g(x) =

f(3) = f(2) = 0 f(3) = 3; f(4) = 5; f(5) =4

6. Dh =] 3,+[{2, 3} lim

x3h(x) = 0

limx2

h(x) = 4

limx2+

h(x) = 5

limx2

h(x) = lim

x2+h(x) = +

limx+h(x) = 2

7. Df = IR lim

x f(x) = 2 lim

x2 f(x) = 2

limx0 f(x) =

limx3+

f(x) = 4

limx3

f(x) = 2

f(3) = 3 y f(2) = 1. limitex+f(x) = 2

8. Df = IR {0} lim

x f(x) = + lim

x2f(x) = +

limx2+

f(x) =

limx0

f(x) = 1

limx0+

f(x) = 1 lim

x2f(x) = 0

limx2+

f(x) = 1

f(2) = 1 lim

x+ f(x) = 3

3

Calcule los siguientes lmites (si existen). En caso de que no existan, justifique su respuesta.

1. limx2

x3 + 2x2 5x 6x3 + x2 4x 4

2. limx3

x2 + x 6x3 + 2x2 3x

3. limba2

a3 b ab+ a22a3 2ab+ b a2

4. limwa

2w3 4aw2 + 2a2ww4 + aw3 2a2w2

5. limz3

2z3 3z2 + z4z 6 + z2

6. lima3

a3 3a2 a+ 3a2 2a 3

7. lima5

a2 252a 1

8. limxa

xax a

9. limy7

2y 3y2 49

10. limt4

35 + t15 t

11. limxa

3x ax+ a

x a

12. limw1

x+ 13w +

6w2 + 3

13. limr3

r 32r + 3 3

14. lima1

1 + 8a 34a 2

15. limx3

9 6x+ x218 3x 3

16. limx2

310 x 2x2 2x

17. limt0

31 + ct 1

t

18. limd1

3d2 5d 21 5d

d2 d3 d2

19. limx0

1 + x 1

31 + x 1

20. limy3

5y 151 92y 5

21. lima0

2 63a+ 645a

22. limk1

3 4k + 823k + 28 3

23. limh0

4h53h 1 + 1

24. limt2

1 4t 3

1 + 32t+ 3

25. limy4

y |y 2|y 4

26. lima3

2a 64|a 3|

27. limt1

|t| 1t+ 1

28. limx3

|x 2| 56 2|x|

29. limy2

|y + 3| |2y + 1|y2 4

30. limz2/3

|3z 2||6z 2| 2

31. limx5/4

5|6x+ 15/2|

32. limx4/3

|2 5x|+ 14/3|4 3x|

33. limz4

|3z + 1| z2 + 52z 1 + |5 z|

34. limx1

sen (1 x)x 1

35. limx1

sen (x 1)x 1

36. limxpi/4

senx cosx1 tanx

37. limx0

tanx senxx3

38. limx0

x2 + x senxcosx 1

39. limr0

31 sen r 1

r

40. limz0

sen zz + sen z

41. limt0

t sen (2t)t+ sen (3t)

42. limn0

1 cos3 nsen 2n

43. limy0

tan y sen ysen 3y

44. lima0

21 + cos a

sen 2a

45. limt0

1 cos tt2

46. limr0

1cos rr2

47. limx0

(cotx 1

senx

)

48. limz0

sec(2z) tan(3z)4z

49. limx3

x

3 x

50. limx

2x5 + 3x7

2x8

51. limx2

x3 + x2 6xx3 3x2 + 4

52. limx+(4x

3 + 5x2 x 2)

53. limx1

1x2 31 x3

54. limx+

x2 + x+ 3x3 + 1

55. limx0

x

1 cosx

56. limx+

2x2 3x 4x4 + 1

57. limx

x2 + 1x

58. limx

2x5 x3 + 4x5x5 + 3x2

59. limx

(x2 2x 1 + x

)

4

60. limx+

sen (1/x)1/x

61. limx+

x4 32x3 + x

62. limx

x2 33 3x3 + 1

63. limx0+

x

1 cosx

64. limt+

32t2 + 3 t4t+ 5 1

65. limh0

sen (2t)2 cos(2t) 2

66. limw1/2

2w2 4 + 2w3w 1 2w2

67. limz

1 + z2 5 2z + 16z2

2z + 3

68. limr

4r4 r + r2r3 r

69. limz+

3z2 5z + 13z6 + 1 z

70. limk

k2 k k

2k + 1

71. limx

(1 + x+ x2

1 x+ x2)

72. limb+

(b2

3b+ x b

3

3b2 4

)

73. limt+

t5 + t2 13t5 t

74. limxx(

1 + x2 x)

75. limw

w6 + w2 2w5 + w3 w

76. limx3

(5) 1x 3

77. limx4

(17

) 54 + x

78. limx0

(27

)cot |x|79. lim

x+1

log3 2x

80. limx2+

ln(

x

2 + x)

81. limx1+

ln(

4sen (3x 3)

)

82. limx1

ex

lnx

83. lima9

(e) a 9

a 3

84. limt3 ln

(t3 + 1t+ 1

)

85. limy+

(8)4 2y + y2y 1 + 3y2

86. limw2 ln

(w4 +

8 w3w2 2w

)

87. limb1

(54

) |b| 1b+ 1

88. limk+

(e)x2 + x 2

4x3 1

89. limx+

(13

)x2 + 5x+ 6x+ 1

90. limx2+

3xln(x 2)

91. limx0(e

2x + 1)

92. limx3

(12

) 1x2 9

93. limx2+

ln2(x 2)

94. limx0+

ln3 xx2

95. limx1

x+ 1ln2 x

96. limx

3x53 2x 13 + 1

2x43 + 2x 23

3x5

97. limx+

x2 13x+ 5x4

98. limx

x2 13x+ 5x4

99. limx+

3 x2x2 1

100. limx

3 x2x2 1

101. limx+

(4x2 6

4x2 + x

)102. lim

x

(4x2 6

4x2 x

)103. lim

x+e3x + 2x

31x

104. limx+ 2

35

ln(x 6)

5

Continuidad de funciones

Para cada una de las siguientes funciones, determine si es continua en todos los reales.

1. f(x) =

ex si x < 14 si x = 1

x+ e+ 1 si x > 1

2. f(x) =

{x2 si x 0

x3 2 si x > 0

3. f(x) =

x si x < 12 si x = 1

x2 + 2 si 1 < x < 12 si x > 2

4. f(x) =

x si x 1

x2 + 2 si 1 < x < 12 si x 1

5. g(x) =

2x3 si x < 10 si x = 1x si x > 1

6. f(x) =

x si x 0x2 si 0 < x < 1x si x > 1

7. h(x) =

1x

si x < 0

0 si x = 0lnx si x > 0

8. f(x) =

2 si x < 01 si x = 0

x+ 2 si 0 < x < 2x 2 si x 2

9. f(x) =

{ex si x < 0x si x 0

Determine los valores de a y c (si es posible) de modo que f sea continua:

1. f(x) =

{3x+ 7 si x 4ax 1 si 4 < x

2. f(x) =

{ax 1 si x < 2ax2 si 2 x

3. f(x) =

x si x 1

cx+ a si 1 < x < 42x si 4 x

4. f(x) =

x+ 2c si x < 23ax+ a si 2 x 13x 2a si 1 < x

5. f(x) =

{2x+ a si x < 1

5 si x 1

6. f(x) =

x 1 si x < 1a si x = 1

x2 + a si x > 1

7. f(x) =

3 senx si x pi2a senx+ c si pi2 < x < pi2

cosx si x pi2

8. f(x) =

sen 2(4x)

x2si x 6= 0

a si x = 0

6

Instituto Tecnolgico de Costa Rica Clculo Diferencial e Integral

Escuela de Matemtica I Semestre 2005

Respuestas: Ejercicios sobre lmites

Determinacin de lmites de una funcin dada su grfica

1) a) 1 b)no existe c)2 d)1; 1 e)

2) a) b)no existe c)no existe d)3 e)3 3) a) -1 b)0 c)2 d)1 e)0 f)no existe g)0 4) a) 2 b)no existe c)-2 d)no existe e)2.5 f)2

5) a) - b)1 c)no existe d)no existe e)-2 f) g)

6) a) 0 b)2 c)no existe d) e)-2

7) a) 1 b)no existe c)no existe d)no existe e) Clculo de lmites

1)5/4 2)-5/12 3)1

2 1

a

a

++++

4)0 5)36/5

6)2 7)-40 8)1

2 a 9)-1/56 10)-1/3

11)2

2 a 12)1 13)3 14)4/3 15)0

16)-1/24 17)c/3 18)2 3

5 19)3/2 20)-45/2

21)-1/320 22)-1/4 23)20/3 24)-1 25)-3/4

26)no 27)-1 28)-1/2 29)-1/4 30)no

31) 32) 33)5 34)-1 35)2

36)2

2 37)1/2 38)-4 39)-1/3 40)1/2

PezRectangle

41)-1/4 42)3/2 43)1/2 44) 2

8 45)1/2

46)1/4 47)0 48)3/4 49)no 50)0

51)no 52) 53)no 54)0 55)-

56)2 57)- 58)2/5 59)1 60)1

61) 62)- 63) 64)- 65)

66) no 67)3/2 68)0 69)3 70)-1/2

71)-1 72)-x/9 73)1/3 74)- 75)-

76)no 77) 78)0 79)0 80)

81) 82)no 83)e6 84)ln(7) 85)2 86)ln(10) 87)4/5 88)1 89)0 90)0

91)no 92) no 93) 94)- 95)

96)-9/2 97)1

5 98)

1

5 99)

1

2

100)

1

2

101)-1/4 102)-1/4 103) 104)1 Ejercicios sobre continuidad 1)No en 1 2)No en 0 3)No en 1 y -1 4)No en 1 5) No en -1 6)No en 1 7)No en 0 8)No en 0 9)No en 0 _________________ 1) a = 5 2)a = -1/2 3)a = 4, c = -3 4)a = 1/2, c = -1/4 5) a = 3 6)No es posible 7)a = - 3/2, c = 3/2 8) a = 16

Prof. Evelyn Agero

Cristhian Pez P.

Instituto Tecnolgico de Costa Rica Clculo Diferencial e Integral Escuela de Matemtica

1. Calcular .11lim3

0 t

ctt

+

.

1,10,1

33

c

utademsutsictuSea =+=

( ) ( )( )( )

.

31111lim

111lim

11lim

11lim11lim

221

2131

3

3 3

1

3

0

cc

uu

c

uuu

uc

u

uc

c

u

u

t

ct

u

uu

ut

=

++=

++=

++

=

=

=

+

2. Calcular ( )( ) .5sen2senlim

0 x

x

x

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) 5

2lim5sen

5lim2

2senlim

52

5sen5

22senlim

2552

5sen2senlim

5sen2senlim

000

0

00

=

=

=

xxx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

.000,52: == vuxsixvyxuSean

( )( )

.

52

52

senlimsenlim

52lim

5sen5lim

22senlim:

00

000

==

v

v

u

u

x

x

x

xAs

vu

xxx

Cristhian Pez P.

3. Determine los valores de c y d para que la funcin ( )

+

Cristhian Pez P.

Es claro que ( )xf es continua para todo nmero diferente de 0 (las funciones contempladas son continuas); hay que analizar la continuidad en .0=x i ) ( ) .5500 =+=f ii ) ( ):lim

0xf

x

( ) .22limlim00

==

xxfxx

( ) ( ) .55limlim00

=+=++

xxfxx

Dado que los lmites laterales son diferentes se tiene que ( )xfx 0lim

no existe.

iii ) Para que ( )xf sea continua en 0=x debe cumplirse que ( ) ( ),0lim0

fxfx

=

debido a que ( )xfx 0lim

no existe, se concluye que la funcin no es continua en 0=x y por lo tanto no lo es en IR.

5. Determine si ( )

>

INSTITUTO TECNOLOGICO DE COSTARICA ESCUELA DE MATEMATICA CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

LIMITES: PRACTICA COMPLEMENTARIA

Calcule los siguientes lmites, incluya el anlisis de los lmites laterales cuando sea necesario.

1. lim x xxx

+

12

22 7 42 4

11. lim xxx 0 1 3 1

2. lim xxx

2

5

2324

12. 623lim

3

x

x

x

3. lim x x xx x xx

+ +

+ +0

2 4 5

3 5 63 5 74 2

13. lim xxx

+

4

3 51 5

4. lim x xxx

+1

2 21

14. lim xxx

1

31 4 31

5. lim x x xx xx

+ +

+1

3 2

21

2 1 15. lim x

xx

1

3

4

11

6. xx

x

x 2210lim 2

3

2

16. lim h

hh +0 54

3 1 1

7. ( )limx

xx

+

1

3

22 11 17. lim xx + 0

11 1

8. lim xxx

+

1

3 2 13 3 2

18. ( )lim xxx

0

2

2

2 4

9. lim xxx

+ 2 35 2 1

1 2 5 19. lim x

xx

+

2 3

2 25 2

10. lim x xxx

1

2

1

2

21. lin xxx0 3

sen 33. lim x

x xx+

+

2

4

13 5

22. lim xxx0

32

sen

sen 34. lim x

x xx

+

2

4

13 5

23. lim xxx

0 21 cos

35. lim xxx+

32 12

24. limx

xx

0 2

1 cos 36. lim x

xx

32 12

25. lim x x xxx

+

+0

2

1sen

cos 37. ( )lim x x x

x +4 6 42 2

26. limx

x

xx

pi

pi

31 2

sen

cos 38. ( )lim x x x

x+ +4 6 42 2

27. lim xxx+

sen

1 39. ( )[ ]lim x x x

x++ 1

28. lim xxx+

+2 32 40. lim

x

x xx

+

+

2 33

29. ( )lim x x xx

+ + 3 32 3 5 41. ( )limx

xx + 2

32ln

30. lim xxx

2

381 1

42. lim ex

+

0

23 1

31. ( )

lim x

xx

+

+ +

2 1

2 1 12 43. ( )lim x x x

x+ + 2 5 6

32. lim x xx xx

+

+

2 63 1

2

3 2 44. ( )lim x xx+ + 9 1 32

3

45. ( )lim x a xx+

+ 49. ( )lim xx +

2

2 2ln

46. limxx +0

3

2ln

50. lim ex

x x

x+

+3

12

3

47. lim xxx

+1 2

1ln

51. ( )limx

x

+

235

6ln

48. lim xx xx +

+

0

1ln

Lmites Trigonomtricos:

1. lim xxx

0

1 77cos

7. lim x x xx0

2 2 2csc cot

2. lim xx xx

0

1secsec

8. ( )limx

xx0

1 3sen /

3. lim tan

0 sen

9. lim xxx0

23

sen

sen

4. lim xxx0

45

sen 10. lim x

xx

0 21 cos

5. lim tan x xxx

+ 0

1 cos 11. lim x x

tan xx x

41

sen cos

6. lim xxx0

2

sen 12. ( )lim

xx

x0 221 2sen /

Lmites infinitos:

1. limxx + 3 2

19

2. limxx 3 2

19

4

3. lim tan xx +2 4

pi 6. lim x

xx +

03

1

4. lim xxx + +3 3 3

7. lim xxx

03

1

5. lim xxx0

cos 8. lim x

xx + 4

44

En cada caso haga el trazo de una funcin que cumpla simultneamente las condiciones que se dan:

a. b.

( )lim f xx

= 1 ( )lim f xx

= 2

lim f xx +

=

3( ) ( )lim f x

x=

12

lim f xx

=

3( ) ( )f 0 3 2= /

lim f xx

=( ) 0 ( )lim f xx

=

1

( )lim f xx

=6

3 ( )lim f xx +

= 1

( ) ( ) ( )f f f = = =6 4 0 3 0, ( )f =1 0

( ) ( )f f1 2 2 0/ = =

( )lim f xx

=

5

Hallar los valores c y k de modo que f(x) sea continua:

f xx x

kx x( ) = +

3 7 41 4

f xkx xkx x

( ) =

1 222

f xx x

cx k xx x

( ) =

+

11 4

2 4 f x

x c x

xk k xx k x

( ) =+

+

2 23 2 13 2 1

ARCHIVO/LIMITES/I-96

Cristhian Pez P.

Instituto Tecnolgico de Costa Rica Clculo Diferencial e Integral Escuela de Matemtica

1. Calcule cada uno de los siguientes lmites:

( ) 3:211

3senlim0

Rx

x

x

3213

:16

10lim 43

2R

x

xx

x

+

32

:31

33lim4

36

2R

x

xx

x +

++

( )23

:5cos

743lim 32

+

+R

x

x

x

x

x

21

:1lim 31 Rtt

tt

+

21

:629lim

2

Rx

x

x

( ) 0:1lim Rxxx

+

( )21

:1lim 2 +++

Rxxxx

2. Determine ( )xf para cada una de las siguientes funciones: ( ) ( )22

2:

cx

cxR

x

cx

xxf

++

=

( ) ( ) ( ) ( )x

xxxRxxfsen2

cossensecsentancos:sentansen

2

=

3. Suponga que f es diferenciable en IR. Sean ( ) ( )xfxF cos= y ( ) ( )( ).cos xfxG = Determine ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )xfxfxfxRxGxF + sencossen:.

4. Si ( ) ( ) ( )mxbfmxbfxg ++= y f es diferenciable en b, determine ( ) 0:.0 Rg

5. Determine todos los puntos de la curva 222 =+ xyyx en los cuales la pendiente de la recta tangente

sea ( ) ( )1;1,1;1:.1 R

Cristhian Pez P.

6. La curva cuya ecuacin es 242 5 xxy = se llama cmpla de Eudoxio. Determine una ecuacin de

la tangente a esta curva en el punto ( ) 0529:.2;1 = yxR

7. Determine la ecuacin de la recta tangente a la curva

=

4tan

2xy

pi en el punto ( ).1;1

1: += pipi xyR

8. La funcin g es diferenciable 2 veces. Determine f en trminos de ,g g y .g

( ) ( ) ( ) ( )2322 46: xgxxgxRxxgxf +=

( ) ( ) ( ) ( )xx

xgxgxRxgxf4

:

=

9. Si ( ) ,cot =f determine 80:.6

Rf pi

10. Determine ( ) ( )xf 5 si ( ) xRxxxxxxxf 720120:.65432 ++=

11. Determine y si 72

44 48.16yxyyx ==+

12. Usando ( ) ( )xfdyxxf ++ aproxime el valor de 95,0:.9,0 R

13. Verifique que la funcin xx exey 22 += satisface la ecuacin .044 =+ yyy

14. Verifique que la funcin xexxy += 10cos21

sen21

satisface la ecuacin .sen xydxdy

=+

Clculo Diferencial e Integral Prctica de Derivadas

PRCTICA GENERAL DE DERIVADAS A. Usando la definicin de derivada, encuentre la derivada de cada una de las

siguientes funciones.

1. bxaxf +=)( 2. 32( = xxf ) 23. xxxg +=)( 4. xxg += 1 )(

5. 11)(

+=xxxh 6. 2)( x

x 1h =

B. Obtenga la derivada de las siguientes funciones (reglas de derivacin).

1. 2. 532)( 58 += xxxf 2) 32 x63( 34 = xxf 3.

zzzg 1)( = 4. 3 32)( 2 zzz +

13zzh +=

5. 4 53 8)( uuuh = 6. 32)( uu 23 uh += 7. xxxxf xe cot2)( 32 += 8. ( ) xexcsc3) 2xxf ( = 9. ( ) zzzf ze ln2)( 2+= 10. z) zzf ln( 3=

11. 12. (arccos xxgxxxg arctan2)( 2= )arcsen())( x=

13. 22

11)(

tttg +

= 14. 1

ln+= ttg )(t

15. xxxhcos1

sen)( += 16. xxx 1tan)(hsec

=

17. z

zhze

arccos)( = 18.

zzz arccot)(h =

19. uuuf

ln1ln1)(

+= 20. ueuuu 1

ln)f =(

C. Obtenga la derivada de las siguientes funciones compuestas.

1. 2. 523 )353()( += xxxxf 18) 2 + xx( =xf 3. 3 3cot1)( zzg += 4. ( )zezg 21sec= )( 5. 6. ( 23 23ln)( sen uuh uue += ) ( )[ ]34 sen)( uku cosh =

ITCR-Sharay Meneses Rodrguez


7. 42 )52(1)( = tttf 8. 5

1( =f 132

)2 + ttt

9.

+= 32tan)(2

wwwg 10. 4=g

11)( 3

3

+

www

11.

=

xxh

xe2arccos)( 12.

xx1)( =h arccot 3

13. 21

arcsen)(zzzf = 14. 22 )1(

arctan) +zz( =zf

15. ( ) ( )ueuug 22 1lnsenln)( += 16. ( ))(tan)(secln)( 33 uuu +=g 17. 18. )ln(tan)( cos xxh xe= ( )xex arctan)( xh ln= 19.

11ln)( +

=wwwf 20.

)(cos1

) 23 www

w = ln(f

D. Sabiendo que las ecuaciones siguientes definen a y como funcin implcita de

la variable x , obtenga yyDx = . 1. 2. 32324 322 yxxyxy =+ xeyyx 223 ln =yx sen + 3. 4. + yyx yyeyxxx =++ 2cos 33 =xe 5. 6. 05 =+ yexy 0)(sen 2 =+ xyyx7. yxyx arcsenarcsen = 8. (cos xy )y+= 9. 10. yyxy cos)(cossen 2 =+ yxyx cossencossen =+

11. 12 += xyxy

12. yxyx 12 += 2

E. Para cada caso, determine la derivada que se indica.

1. xxy +

=11

, 2. y xsen1y 2

= , y

3. xy arccos= , 4. )(ln xyy 1 = , )4(y5. ( )2cos xy = , 6. 2 xyy 33xe += , )4(y7. , yxy 6733 =++ y 8. ln2 23 += xyyy , y

ITCR-Sharay Meneses Rodrguez 2


F. Resuelva las situaciones que se presentan a continuacin.

1. Suponga que , 4)5( =f 2)5( =g , 6)5( =f y 5)5( =g . Encuentre los valores de: (a) ; (b) ()5()( + gf )5() gf ; (c) )5()( gf ; (d) )5()( fg

y (e) )5(

. gf

f

x2. Si )()( xgxf e= , donde 2)0( =g y 5)0( =g , halle el valor de . )0(f

3. Si h y h , determine 4)2( = 3)2( =2

)(

=

xx

xhdxd .

4. Si H donde ( )()( xgfx = ) 6)3( =g , 4)3( =g y 7)6( =f , halle )3(H . 5. Sea h una funcin derivable tal que 5)3( =h y 4)3( =h . Determine

si )1(G )12()( += xhxxG . 6. Sean f y g funciones derivables. Si ( ) ( )(ln2)( xgxfxH )= , ,

determine dado que 0)( >xg

)3(H eg =)3( , 2)3( =g , 3)3( =f (f y . 21/) =37. Sea g una funcin derivable tal que 3)1( =g y 2)1( =g . Determine: (a) F si )0( ( ) xaxa eegxF =)( , a constante real. (b) H si )0( ( )[ ] xxgxH = 22)( 2 . 8. Sea f una funcin derivable tal que x

xfxfxxh )()()( 2 +=)1(f

. Sabiendo que

y h , encuentre el valor de 2)1( =f 5)1( = . 9. Sea f es una funcin derivable, entonces: (a) Si [ ]x y 6)()( 3 =+ xfxxf 1)3( =f , hallar )3(f . (b) Si [ ] y )(12)( 22 xgxxxg =+ 12)4( =g , hallar . )4(g

10. Si f es una funcin derivable, encuentre una expresin para la derivada de cada una de las siguientes funciones:

(a) y (b) ((( fxxfxy )(2 xfx= ))1) x+= (c) 2

)(uuf=y (d)

ttft )(1y +=

(e) )(

3

zfz=y ( f ) zy = ez

zf )ln(

(g) y (h) ( ) )(uu feef = ( ) [ ]wfy = nn wf )(2 ( i ) ( )wfwe 34 ln=y ( j ) [ ])21 t(arctan fy =



G. Resuelva los siguientes problemas de rectas tangentes y(o) rectas normales. 1. Encuentre la ecuacin de la recta tangente y de la recta normal a la curva:

(a) f , en el punto (21)( xx = )3,2 . Grafique la parbola y sus respectivas rectas tangente y normal.

(b) 211)(x

x +=f , en el punto . )/,1( 21 (c) f , en xxx cos)( = ),( . (d) (xf )sen(sen) x= , en ),( 0 . (e) f , en el punto ( . ( 11)( += xex ) )/,0 21 ( f ) ( )1ln)( 2 += xxf , en el punto . )2ln,1( (g) 2x , en el punto ( . 24642 =++ yxy )3,1 (h) y , en xyx 21 22 ++= )1,2( . ( i ) y , en ( . yxx 64 44 = )2,12. Encuentre una parbola que tenga la ecuacin , cuya

recta tangente en el punto ( tenga por ecuacin xbxaxf += 2)(

23 )1,1 = xy . 3. Para qu valores de a y b la recta byx =+2 es tangente a la parbola

cuando 2)( xaxf = 2=x ? 4. Verifique que la recta xy = es tangente a la curva dada por la ecuacin

. Determine el punto P de tangencia y encuentre la ecuacin de la recta normal a la curva en el punto P.

xxxxf 86)( 23 +=

5. Hallar los puntos de la curva en los que la recta tangente es: (a) paralela a la recta

53)( 3 += xxxfxy 24= ; (b) perpendicular a la recta

. Para cada caso, cules son las ecuaciones de dichas rectas? En cules puntos la grfica de posee rectas tangentes horizontales?

9/xy =)(xf

6. Encuentre la ecuacin de la recta normal a la curva que sea paralela a la recta

xxxf ln)( =0322 =+ yx . En cul punto la grfica de

posee una recta tangente horizontal? )(xf

7. Determine el punto P de la curva xxf =)( en el cual la recta normal es paralela a la recta 44 =+ yx . Cul es la ecuacin de dicha recta?

8. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 11)( +

=xxxf

que sean paralelas a la recta 22 = yx . 9. Para cules valores de x la grfica de xxxf sen2)( += tiene una

recta tangente horizontal? 10. Encuentre las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la parbola: (a) y = que pasan por el punto xx +2 )3,2( Q . (b) =y que pasan por el punto 322 xx )1,3( Q . PGdeD/Febrero, 2005


Clculo Diferencial e Integral Respuestas Prctica de Derivadas

RESPUESTAS PRCTICA GENERAL DE DERIVADAS

A. 1. f 2. fax = )( xx 4)( = 3. x

x211)( +=g

4. x

xg += 121)( 5. 2)1(

2)( =x

xh 6. 32)(x

xh =

B. 1. f 2. 47 1516)( xxx = 3131 4)( xxx 4=f

3. zzz

zg21

21)( += 4. 3432 4)( + zzz 3 = zh

5. 4103)( 2 uuuh = 6. uu

u 33

)( 3h 2 += 7. )csccot3()2(2)( 22 xxxxxxxf xe ++= 8. ( ))1(cotcsc32)( 32 += xxxxxf xe 9. ( ) zzz zzf z

zee ln222)(

2

+++= 10.

+= 3ln1)( 32 zzzf

11. 1

2arctan4)( 22

3

++=

xxxxxg 12.

21arcsenarccos)(x

xx= xg

13. 22 )1(4)(tttg +

= 14. 2)1(ln1)( +

+=g tt

tttt

15. xxh cos11)( += 16. xh sencos xx)( +=

17. ( )

22

2

)(arccos11arccos1)(

zzzzzh

ze

+= 18. zzz

zzz

2arccot

)1(1)( 2 +

=h

19. 2)ln1(2)(uu

uf = 20. 2)1()1lnln(ln1)( u

u

ee uuuuu

++f =

C. 1. 2. )563()353(5)( 2423 ++= xxxxxxf18

4)(2 +

=xx

xxf

3. 32322

)cot1(csccot)(z

zzzg += 4. ( ) ( )zzz eeez 212121 tansec2)( =g

5. 222

23)23(ln12)cossen()( sen

uuuuuuuh uue

+=

6. ( )[ ] ( )[ ] ( )33332 cossensensencos12)( ukukukukuh = ITCR-Sharay Meneses Rodrguez


7. 52 )52()1(8)(

=ttttf 8.

5 62 )132(5)34()( +

+=f tt

tt

9.

+

++=

32sec

)32(62)(

22

2

2

ww

wwwwg

10. 43

3

3

23

2

11

)1(23)(

+

=

ww

wwwg

11. ( )1

arccos)1(2)(22

1

+=

x

x

ee

xxxxxh 12. ( )

1arccot3)( 2

2 1+ x

xx =h

13. 2322

)1(arcsen1

)(z

zzzzf

+= 14. 32 )1(arctan41)( +

z

zzz =f

15. ( ) uu

eeuuug 22

12senlncot2)( = 16. g = )(sec3)(

32 uuu

17.

= )ln(tansen)ln(sec)(2

cos xxxxxh xe

18. xxx

eee x

xxxh 21

lnln2)(arctan)( ++=

19. 1

1)( 2 = wwf 20. )(tan2)1(56)( 2wwwww +

2wf

=

D. 1. 223232

944266yxyxyyyxx

++=y 2. x

x

ee

yyyyxyyyxy2

2222

cosln2ln32

y =

3. yeyxyxy

=2

1sen 2 4. yx

yx

ee

xyy

++

2311y =

5. )(cos1)(cos2

yxxyxyxy +

= 6. yey = y

ex 1

7. ( )( )22

22

111

111

yx

xyy

= 8. )(sen)(senyxyx

+1y ++=

9. yyx

xyysen)2(sen2sen

cos+

= 10. )1sen(sen)1cos(cos

xyyx=y

11. 2

1232

2

++=

xyxxy 12.

yxxxyyxyx

2

2

y =



E. 1. y 2. y 2cot3(2 += 4)1(12 += x xx 2csc)1

3. 232 )1( xxy

= 4. 4)4 )1( x( 6y =

5. 6. )(cos4)(sen2 222 xxxy += xe 3)4 y ( 81=

7. 32 )2(2yyy = 8. 3

9y = )ln1( yy

F. 1. (a) ( (b) (1)5() =+ gf 8)5() = gf (c) 8)5()( =gf

(d) 2)5() =fg( (e) 8)5 =(

gf f

2. 3. 7)0( =f25

2

)( = =xxh xdx

d 4. =H 28)3(

5. 6. 3)1( =G ee 12)3(H =

7. (a) (b) aF = )0( 2ln3)0( =H 8. 23=f /)1(

9. (a) 61)3( =f (b)

2)4( 21=g

10. (a) )()(2 2 xfxxfxy += (b) ( ) [ ]2)()(21)(1 xfxfxxf +=y (c) 3

)(2)(u

ufufu =y (d) 232

21)(2)(

ttfttft +y =

(e) [ ]

[ ]22

)()()(3

zfzfzzfz =y ( f ) zez

zfzzf2

)ln()1()ln( +y =

(g) ( ) ( )[ ]uuuu eeee fufff = )()(y (h) ( ) [ ] )()(2 1212 wfwfnwfwn nnn = y ( i )

+= )ln(ln3)ln(4 3

234 wf

wwwfwey

( j ) [ ]2)21(1)21(2

tftf

+=y



G. Rectas tangentes y(o) rectas normales. 1. (a) Recta tangente: 54 += xy . Recta normal: 144 = xy . (b) Recta tangente: 22 += xy . Recta normal: 342 = xy . (c) Recta tangente: xy = . Recta normal: 2= xy . (d) Recta tangente: += xy . Recta normal: = xy . (e) Recta tangente: 24 += xy . Recta normal: 182 += xy . ( f ) Recta tangente: 12ln += xy . Recta normal: 12ln ++= xy . (g) Recta tangente: 6 17+= xy . Recta normal: 96 += xy . (h) Recta tangente: 3+= xy . Recta normal: 1= xy . ( i ) Recta tangente: 13 1214 += xy . Recta normal: 14 4113 += xy . 2. . xxxf = 22)(

3. Parbola: 2

)(2xxf = . Recta tangente: 22 =+ yx .

4. La recta xy = es tangente en )3,3( P . La recta normal es 6= xy . Nota: Existe otro punto de tangencia , para el cual la )3,1(Q recta tangente

es 4+= xy y la recta normal es 2+= xy . 5. (a) La recta tangente para el punto es: )23,3(P 4924 = xy y para el

punto es: )13,3( P 5924 += xy . = (b) La recta tangente para el punto es: )7,2(P 119 xy y para el

punto es: )3,2(P 219 += xy . (c) Las rectas tangentes horizontales se dan en y . )3,1(1P )7,1(2 P6. Recta normal: . 23 = exy Recta tangente horizontal en ( )11 , eeP . 7. El punto es y la )2,4(P recta normal es 184 += xy . 8. Para el punto , la )2,3(P recta tangente es: 72 += xy . Para el punto

, la )0,1(P recta tangente es: 12 = xy .

9. Para k232 +=x y kx 2

34 += , k nmero entero.

10. (a) La recta tangente para los puntos )3,2( Q y )0,1(1 P es 1= xy y para los puntos )3,2( Q y es )30,5(2P 2511 = xy .

(b) La recta tangente para los puntos )1,3( Q y )3,2(1 P es 72 = xy y para los puntos )1,3( Q y es )5,4(2P 196 = xy .

Respuestas Prctica de Derivadas/Febrero, 2005


PezRectangle

Instituto Tecnolgico de Costa Rica Clculo Diferencial e Integral

Escuela de Matemtica I Semestre 2005

Respuestas: Prctica de LHopital

1) 1 21) 0 41) 0

2) 0 22) 1/2 42) -

3) + 23) 1/2 43) 1

4) ln (5) - ln (3) 24) 1 44) -6

5) + 25) 1 45) 1/2

6) 1 26) 1 46) -pi

7) -1/6 27) e -2 47) -

8) - (m2 - n

2) / 2 28) e

ab 48) +

9) 1 29) e 3 49) 0

10) 1 30) 1 50) +

11) -3 31) e 51) +

12) 0 32) e -1 52) 0

13) 0 33) 1 53) 1

14) 0 34) 1 54) e -2

15) 0 35) e -8 55) e

2

16) -1/4 36) 0 56) +

17) -1 37) 2/3 57) 1

18) -1/6 38) -1 58) e

19) 1 39) 1/2 59) e 3

20) 1/4 40) -2 60) e ab

Prof. Evelyn Agero

PezRectangle

Insituto Tecnologico de Costa Rica Calculo Diferencial e IntegralEscuela de Matematica I semestre, 2004

Graficas de funciones

1. Explique la diferencia entre un mnimo absoluto yun mnimo local.

2. Suponga que f es una funcion continua definida so-bre un intervalo cerrado [a, b]. Que pasos tomarapara hallar el maximo y el mnimo absoluto en di-cho intervalo?

3. Para cada uno de los numeros a, b, c, d, e, r, s,y t, diga si la funcion cuya grafica se muestra tieneun maximo o un mnimo absolutos, un maximo oun mnimo locales o no tiene maximo ni mnimo.

xa b c d e r s t

y

4. Use la grafica para dar los valores maximo ymnimos absolutos y locales de la funcion.

y = f(x)y

x

1

1

5. Dibuje la grafica de una funcion f que sea continuasobre [0,3] y tenga las propiedades dadas:

(a) Maximo absoluto en 0, mnimo absoluto en3, mnimo local en 1 y maximo local en 2.

(b) 2 es un numero crtico, pero f no tienemaximo ni mnimo locales.

6. (a) Grafique una funcion que tenga un maximolocal en 2 y sea derivable en 2.

(b) Trace la grafica de una funcion que tenga unmaximo local en 2 y sea continua pero noderivable en 2.

(c) Dibuje la grafica de una funcion que tenga unmaximo local en 2 y no sea continua en 2.

7. (a) Trace la grafica de una funcion sobre [-1,2]que tenga un maximo absoluto pero no unmnimo absoluto.

(b) Dibuje la grafica de una funcion sobre [-1,2]que sea discontinua pero que tenga tanto unmaximo absoluto como un mnimo absoluto.

8. Encuentre los numeros crticos de la funcion.

(a) f(x) = 4x3 9x2 12x+ 3(b) f(z) =

z + 1z2 + z + 1

(c) g(x) = 3x2 x

(d) f(x) = xe2x

9. Encuentre los valores maximo y mnimo absolutosde f sobre el intervalo dado.

(a) f(x) = 3x5 5x3 1, [2, 2](b) f(x) = x2 + 2/x, [1/2, 2]

(c) f(x) = x 3 lnx, [1, 4]10. Sea f(x) = x2+ px+ q. Encontrar los valores de p

y q tales que f(1) = 3 sea un valor extremo de fen [0, 2]. Este valor es un maximo o un mnimo?

11. Suponga que se le ha proporcionado la formulapara una funcion f .

(a) Como determina donde f es creciente o de-creciente?

(b) Como determina donde la grafica de f esconcava hacia arriba o concava hacia abajo?

(c) Como localiza los puntos de inflexion?

1

PezRectangle

12. Se muestra la grafica de la primera derivada de f :

(a) En que intervalos es creciente o decrecientef?

(b) En que valores de x tiene f un maximo omnimo local?

-1

x

y

2 4

y = f (x)

13. Se muestra la grafica de la segunda derivada def . Diga cuales son las abscisas de los puntos deinflexion de f . Justifique.

y = f (x)y

2 4 6 8

x

14. A continuacion se muestra la grafica de la primeraderivada de f :

(a) En que intervalos crece la funcion f? Ex-plique.

(b) En que valores de x tiene f un maximo omnimo local? Explique.

(c) En que intervalos es f concava hacia arribao abajo? Explique.

(d) Cuales son las abscisas de los puntos de in-flexion de f? Por que?

y = f (x)

y

2 4 6 8

x

Trace la grafica de una funcion que satisfaga todaslas condiciones en cada ejercicio:

15. f (1) = f (1) = 0, f (x) < 0 si |x| < 1,f (x) > 0 si |x| > 1, f(1) = 4, f(1) = 0,f (x) < 0 si x < 0, f (x) > 0 si x > 0.

16. f (1) = 0, f (1) no existe,f (x) < 0 si |x| < 1, f (x) > 0 si |x| > 1,f(1) = 4, f(1) = 0, f (x) < 0 si x 6= 1.

17. limx3 f(x) = , f

(x) < 0 si x 6= 3, f (0) = 0,f (x) > 0 si x < 0 o x > 3, f (x) < 0 si 0 < x < 3.

18. Dados la grafica de f (x) y algunos datos de f(x),bosqueje la grafica de f(x).lim

x f(x) = limx0+f(x) =

limx+ f(x) = 2limx0

f(x) = +f(2) = f(1) = 0f(3) = 1

y

x

2 4

y = f (x)

19. Realice el analisis completo y trace las siguientescurvas

(a) f(x) = x3 + 6x2 + 9x

(b) f(x) =x

x2 9(c) f(x) =

x2

x2 + 9

(d) f(x) =

x

x 5(e) f(x) =

11 + ex

(f) f(x) = x(lnx)2

2

Cristhian Pez P.

Instituto Tecnolgico de Costa Rica Escuela de Matemtica Clculo Diferencial e Integral

7. PROBLEMAS DE MXIMOS Y MNIMOS

En aplicaciones anteriores se ha determinado mximos y mnimos de una funcin, ahora se va ha trabajar en el clculo de extremos pero en funciones que modelan determinado problema; al resolver problemas que involucran mximos o mnimos, es recomendable analizar y comprender el problema para as realizar una adecuada interpretacin matemtica valindose del lgebra y de lo que se ha estudiado en aplicaciones anteriores. En general el procedimiento que se recomienda para resolver problemas de mximos y mnimos es el siguiente:

a. Definir las variables que intervienen asignando smbolos a todas las cantidades dadas y a todas las que se deben determinar, y de ser posible, elaborar algn diagrama identificando en l las cantidades dadas o pedidas.

b. Determinar una funcin primaria, a la cual se desea maximizar o minimizar, relacionando los datos conocidos con los desconocidos.

c. En caso que la funcin primaria tenga ms de una variable independiente, se debe hacer uso de ecuaciones secundarias (puede que sea slo una) para despejar una incgnita como funcin de las otras, hasta lograr expresar la funcin primaria en trminos de una sola variable independiente.

d. Determinar el dominio de la funcin primaria y utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la segunda derivada para determinar el valor mximo o el valor mnimo segn sea el caso, si el dominio de la funcin es un intervalo cerrado, recuerde tomar en cuenta los puntos terminales del mismo.

e. Dar la respuesta al problema planteado segn lo obtenido en el paso anterior y el enunciado del mismo.

Cristhian Pez P. 2

Ejemplos 1. Hallar los nmeros positivos que minimicen la suma del doble del primero ms el segundo, si el producto de dichos nmeros es 288.

Solucin a. Sean x, y los nmeros, y sea S la suma que debemos minimizar.

b. La funcin que queremos minimizar es S, que est dada por ( ) yxyxS += 2, -funcin primaria

c. Dado que el producto de los dos nmeros ha de ser 288 se tiene 288= yx

Despejando y de la ecuacin anterior se tiene que x

y 288= -ecuacin secundaria

De esta manera la funcin primaria est dada por ( )x

xxS 2882 += -funcin de una variable

d. El dominio para la funcin ( )x

xxS 2882 += es ] [+;0 ya que x ha de ser positivo.

( ) ( )( )222

21212228822882

x

xx

x

x

xxS +=== , para hallar los nmeros crticos se resuelve la

ecuacin: ( )( ) 012122 2 =+ xxx

y se obtiene: ( )( ) 1212012122 ===+ xxxx . Usando el criterio de la primera derivada con el valor 12=x (ver dominio) se tiene:

12x - +

12+x + +

( )xS - +

( )xS

Es claro que en 12=x la funcin obtiene un mnimo y, as, 2412288288

===

xy .

e. Respuesta: Los nmeros buscados son: 12=x y 24=y .

0 12 +

Cristhian Pez P. 3

2. Un propietario de un edificio que contiene un total de 60 departamentos, ha encontrado que puede rentarlos todos a razn de $200 mensuales cada uno, sin embargo, por cada $5 que aumente la renta perder un inquilino. Cunto debe ser la renta que debe cobrar para obtener ingresos mximos?

Solucin

a. Sea n el nmero de aumentos de $5 que se hace en la renta original y sea I los ingresos que se quiere maximizar.

b. La funcin que queremos maximizar es I, que est dada por ( ) ( )( )nnnI += 605200

De la ecuacin anterior se tiene que ( ) 2510012000 nnnI += -funcin primaria

c. En este caso la funcin primaria depende nicamente de una variable independiente.

d. El dominio para la funcin ( ) 2510012000 nnnI += es IN.

( ) ( )nnnI == 101010100 , para hallar los nmeros crticos se resuelve la ecuacin: ( ) 01010 = n de la que se obtiene 10=n .

Usando el criterio de la segunda derivada con ,10=n se tiene que:

( ) 10= nI , por lo que ( ) ( )relativo mximo01010

Cristhian Pez P. 4

30 - x

12

28z

y

x

3. Dos postes de 12 y 28 decmetros de altura respectivamente, distan 30 dam entre s. Desea tenderse un cable, fijado en un nico punto del suelo, entre las puntas de ambos postes. En qu punto del suelo hay que fijar el cable para usar la mnima cantidad de cable posible?

Solucin a. Sea L la longitud del cable que se quiere

minimizar y sean x, y y z como en la figura.

b. La funcin que queremos minimizar es L, que est dada por ( ) zyzyL +=, -funcin primaria

c. Usando el teorema de Pitgoras se tiene que:

14412 2222 +=+= xyxy -ecuacin secundaria (1)

( ) 1684602830 2222 +=+= xxzxz -ecuacin secundaria (2) De esta manera la funcin primaria est dada por:

( ) 168460144 22 +++= xxxxL -funcin de una variable

d. El dominio para la funcin ( ) 168460144 22 +++= xxxxL es [ ]30;0 ya que el cable debe fijarse entre los postes que estn separados por 30 dam.

( )168460

301441684602

6021442

22222 +

++

=

+

++

=

xx

x

x

x

xx

x

x

xxL , para hallar los

nmeros crticos se resuelve la ecuacin: 0168460

30144 22

=

+

++ xx

x

x

x, esto es:

( )

( ) ( ) ( )1443016846014430168460

16846030

14416846030

144

2222

22

2222

+=+

+=+

+

=

+

+

=

+

xxxxx

xxxxx

xx

x

x

x

xx

x

x

x

Cristhian Pez P. 5

( )( )

01296008640640

144864012960060900168460

60900144168460

2

2432234

22234

=+

+++=+

++=+

xx

xxxxxxxx

xxxxxx

As, se obtiene: ( )24590

2459640 ===

+ xxxx .

Usando el criterio de la segunda derivada con el valor 9=x (ver dominio) se tiene que: ( ) 86401280 += xxL , por lo que: ( ) ( )relativo mnimo0201609 >=L

Es claro que en 9=x la funcin alcanza un mnimo relativo; en este caso, se debe tomar en

cuenta, adems de ,9=x los puntos terminales del intervalo [ ]30;0 . Evaluando: ( ) 04,530 L ( ) 509 =L ( ) 31,6030 L

Por lo que es evidente que la funcin alcanza su mnimo en .9=x

e. Respuesta: El cable debe fijarse a 9 dam del poste que mide 12 dam.

4. Encontrar el radio y la altura del cilindro circular recto con mayor volumen posible que se puede inscribir en un cono circular recto de 6 centmetros de radio y 10 cm de altura.

Solucin a. Sean r y h, respectivamente, el radio y la altura del cilindro circular recto, y sea V el volumen

del cilindro, que es lo que se quiere maximizar.

r

h

6

10

h

r

10-h

6

10

Cristhian Pez P. 6

b. La funcin que queremos maximizar es V, que est dada por ( ) hrhrV 2, pi= -funcin primaria

c. Con los datos que se conocen y mediante la semejanza de los tringulos que se muestran en la

figura de la pgina anterior, se obtiene la siguiente relacin: r

h=

106

10

Despejando h se llega a: rhhr ==351010

35

-ecuacin secundaria

De esta manera la funcin primaria est dada por ( )

= rrrV

35102pi esto es:

( ) 323

510 rrrV = pipi -funcin de una variable

d. El dominio para la funcin ( ) 323

510 rrrV = pipi es [ ]6;0 . ( ) ( )rrrrrV == 45520 2 pipipi , para hallar los nmeros crticos se resuelve la ecuacin:

( ) 045 = rrpi de la que se obtiene 40 == rr .

Usando el criterio de la primera derivada con los valores anteriores, se tiene:

r + +

r4 + -

( )rV + - ( )rV

Es claro que en 4=r la funcin alcanza un mximo relativo, en cuanto al comportamiento en

0=r se puede decir con toda certeza que la funcin no alcanza mximo relativo; de esta

manera si 4=r se tiene que 3

1043510 ==h .

e. Respuesta: Para obtener el mximo volumen del cilindro este debe tener un radio de 4 cm y una

altura de 3

10 cm.

0 4 6

Cristhian Pez P. 7

5. Una pgina rectangular ha de contener 24 pulgadas cuadradas de texto. Los mrgenes superior e inferior tienen 1,5 pulgadas de anchura y los mrgenes laterales 1 pulgada. Qu dimensiones de la pgina minimizan la cantidad de papel requerida?

Solucin

a. Sean x, y las dimensiones del campo de texto, y sea A el rea de la pgina que es lo que se desea minimizar, ver figura.

b. La funcin que queremos minimizar es A, que est dada por ( ) ( )( )23, ++= yxyxA -funcin primaria

c. Dado que el rea de texto es de 24 pulgadas cuadradas, se tiene que 24= yx

Despejando y de la ecuacin anterior se tiene que x

y 24= -ecuacin secundaria

De esta manera la funcin primaria est dada por ( ) ( )

++= 2243

xxxA , desarrollando el

producto y simplificando se obtiene ( )x

xxA 72230 ++= -funcin de una variable

d. El dominio para la funcin ( )x

xxA 72230 ++= es ] [+;0 ya que x ha de ser positivo.

( ) ( )( )222

2662722722

x

xx

x

x

xxA +=== , para hallar los nmeros crticos se resuelve la

ecuacin: ( )( ) 0662 2 =+ xxx

de la que se obtiene ( )( ) 660662 ===+ xxxx .

Usando el criterio de la segunda derivada con el valor 6=x (ver dominio) se tiene que:

( ) 3144xxA = por lo que ( ) ( )relativo mnimo0326 >=A

x

y

1,5

1,5

11 y

x

el rea impresaes de 24 pulgadascuadradas

Cristhian Pez P. 8

Es claro que en 6=x la funcin alcanza un mnimo relativo; de esta manera si 6=x se tiene

que 4624

==y . Lo que se busca son las dimensiones de la pgina que estn dadas por ( )2+y y ( )3+x respectivamente.

e. Respuesta: Para minimizar la cantidad de papel requerida, las dimensiones de la pgina deben ser 9 pulgadas de largo por 6 pulgadas de ancho.

Prctica

1. Cul es el largo y el ancho que debe tener un rectngulo de 100 metros de permetro para que su rea sea mxima?

2. La suma de un nmero ms el doble de otro es 24. Qu nmeros han de elegirse para que su producto sea lo mayor posible?

3. Hallar dos nmeros positivos cuya suma sea 110 y cuyo producto sea mximo.

4. Hallar dos nmeros positivos cuyo producto sea 192 y cuya suma sea mnima.

5. Se desea hacer una caja abierta, con una pieza cuadrada de cartn de 12 pulgadas de lado, cortando cuadrados iguales de cada esquina y doblando hacia arriba, hallar el mximo volumen que puede lograrse con una caja as.

6. Un rectngulo est acotado por los ejes x, y y

por el grfico de la ecuacin 2

6 xy = . Cul es el

largo y el ancho que debe tener el rectngulo para que su rea sea mxima?

26 xy =

( )yx ;3

Y

6 X

1,5

3

Cristhian Pez P. 9

7. Un pabelln deportivo cubierto consta de una zona rectangular y un semicrculo en cada uno de sus extremos. Si el permetro del pabelln ha de ser una pista de 200 metros, calcular las dimensiones que hacen mxima el rea de la zona rectangular.

8. Un rectngulo est limitado por el eje x y por el semicrculo 225 xy = . Cul debe ser el largo y el

ancho del rectngulo para lograr que su rea sea mxima?

9. Con 10 metros de hilo se forman un crculo y un tringulo issceles rectngulo. Cunto hilo hay que emplear en el crculo para que el rea total encerrada por ambos sea mxima?

10. Con 10 metros de hilo se forman un crculo y un tringulo issceles rectngulo. Cunto hilo hay que emplear en el crculo para que el rea total encerrada por ambos sea mnima?

11. Se desea hacer una gran caja abierta, con una pieza de material rectangular de 2 metros de ancho y 3 metros de largo. Hallar las dimensiones de la caja para lograr el mximo volumen.

12. Con 4 metros de cable se forman un cuadrado y un crculo. Cunto cable debe emplearse en cada figura para que encierren la mxima rea total posible?

13. Se quiere construir una caja abierta con base cuadrada, empleando 108 pulgadas cuadradas de material. Qu dimensiones producirn una caja de volumen mximo?

Respuestas

13) ancho y largo de la base iguales: 6 pulgadas y altura: 3 pulgadas. 12) el rea es mxima cuando se emplea todo el hilo en el crculo. 11) ancho de la base:

675

metros; largo de la base: 3

71 + metros y altura:

374 +

metros. 10) En el crculo hay que emplear

aproximadamente 3,5 metros de hilo. 9) En el crculo hay que emplear 10 metros. 8) ancho y largo iguales: aproximadamente 3,54. 7) ancho:

pi

100 metros; largo: 50 metros. 6) ancho: ;

23

largo: 3. 5) mximo volumen es 128 pulgadas cbicas.

4) Los nmeros son: 192 y 192 . 3) Los nmeros son: 55 y 55. 2) Los nmeros son: 6 y 12. 1) ancho y largo iguales: 25 metros.

225 xy =

5 5

5

( )yx ;

X

Y

Instituto Tecnologico de Costa Rica Calculo Diferencial e IntegralEscuela de Matematica I Semestre, 2004

Problemas de Optimizacion

1. Cuales son las dimensiones de un rectangulo de 100m de permetro y area maxima posible?

2. Una caja con base cuadrada y parte superior abiertadebe tener un volumen de 32 000 cm3. Encuentrelas dimensiones de la caja que minimicen la canti-dad de material usado.

3. Si se cuenta con 1 200 cm2 de material para haceruna caja con base cuadrada y la parte superiorabierta, encuentre el volumen maximo posible dela caja.

4. Un recipiente rectangular para almacenamiento,con la parte superior abierta, debe tener un vol-umen de 10 m3. El largo de su base es el dobledel ancho. El material para la base cuesta $10 pormetro cuadrado. El material para los costados, $6por metro cuadrado. Encuentre el costo de los ma-teriales para tener el mas barato de los recipientes.

5. Halle el punto mas cercano al punto (-3,1), sobre larecta 6x+y=9.

6. Cuales son las dimensiones del rectangulo de areamas grande que tenga su base sobre el eje de lasabscisas y sus otros dos vertices por encima del ejex en la parabola y = 8 x2?

7. Se inscribe un cilindro circular recto en un cono dealtura H y radio de la base R. Cual es el maximovolumen posible de ese cilindro?

8. En un cartel rectangular los margenes superior einferior miden 6 cm cada uno y los laterales, 4cm. Si el area del material impreso se fija en 384cm2, cuales son las dimensiones del cartel de areamnima?

9. Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta endos partes. Una se dobla para formar un cuadrado yla otra para formar un triangulo equilatero. Comodebe cortarse el alambre, de modo que el area totalencerrada sea (a) maxima y (b) mnima?

10. Para un pez que nada a una velocidad v con relacional agua, el consumo de energa por unidad de tiempoes proporcional a v3. Se cree que el pez migratoriotrata de minimizar la energa total requerida paranadar una distancia fija. Si nada contra una corri-ente u (u < v), el tiempo requerido para nadar unadistancia L es L/(v u) y la energa total E nece-saria para nadar la distancia se expresa mediante

E(v) = av3 Lv u

donde a es la constante de proporcionalidad (a > 0).Determine el valor de v que minimice E.

11. Un bote sale de un muelle a las 2:00 p.m. y viajahacia el sur a una velocidad de 20 km/h. Otro boteha estado enfilando hacia el este a 15 km/h y llegaal mismo muelle a las 3:00 p.m. En que momentoestuvieron los dos botes mas proximos?

12. Halle una ecuacion de la recta que pasa por (3,5) ycorta un area mnima en el primer cuadrante.

13. Una mujer que se encuentra en un punto A sobre laplaya de su lago circular con radio 2 km, desea lle-gar al punto C, opuesto al A sobre el otro lado dellago, en el tiempo mas corto posible. Puede cami-nar por el borde circular a razon de 4 km/h y remaren un bote a 2 km/h. En que angulo en relacioncon el diametro debe remar? (Nota. La medida delarco BC es 2r.)

A C

B

2 km2 km

14. Un observatorio debe tener la forma de un cilindrocircular recto, rematado por una boveda esferica,con un volumen total dado. Si el material usado enla base cuesta 20% mas por metro cuadrado que elde los lados y la tapa 50% mas que estos, encuentrelas proporciones de la construccion mas economica.

15. La posicion de dos partculas en el eje s son s1 =sen t y s2 = sen (t+ pi/3),

(a) En que instante(s) en el intervalo 0 t 2pise llegan a encontrar las partculas?

(b) Cual es la mayor distancia entre laspartculas?

(c) Durante el intervalo 0 t 2pi, cuando cam-bia la distancia entre las partculas con mayorrapidez?

PezRectangle

Tecnolgico de Costa Rica Clculo Diferencial e Integral Escuela de Matemtica Cristhian Pez P.

TCNICAS DE INTEGRACIN

Integracin por Partes

La regla del producto establece que si f y g son funciones diferenciales,

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfxgxfdxd

+=

Al integrar ambos miembros, esta ecuacin se convierte en:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] +=+ dxxgxfxgxfKxgxf O sea,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+ xgxfdxxgxfdxxgxf Es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = dxxgxfxgxfdxxgxf

A esta ltima expresin se le llama frmula de integracin por partes; para facilitar su uso se puede hacer el cambio:

( )xfu = ( )dxxgdv = ( )dxxfdu = ( )xgv =

Y as, se obtiene como resultado:

= duvvudvu

Para el caso de integrales definidas la frmula correspondiente es:

] = babab

aduvvudvu

Cristhian Pez P. 2

Ejemplo 1. Determinar dxxx sen

Solucin

Sean: xu = y ,sen dxxdv = de esta manera,

dxdu = y ;cos xv = as, se tiene que: = duvvudvu

( ) ( )

.sencos

coscos

coscos

Kxxxdxsenxx

dxxxx

dxxxxdxsenxx

++=

+=

=

Nota: el objeto de emplear la integracin por partes es obtener una integral ms sencilla que la inicial, veamos qu hubiera sucedido si se hace el siguiente cambio

Sean: xu sen= y ,dxxdv = de esta manera,

dxxdu cos= y ;2

2xv = as, se tiene que:

== dxxxx

xdxsenxxduvvudvu cos22

sen22

Como se puede observar la integral dxxx

cos2

2

es una integral ms difcil de calcular que la integral

original, por lo que el cambio que se realiz no fue conveniente.

Ejemplo 2. Evaluar 1

0dxex x

Solucin

Sean: xu = y ,dxedv x= de esta manera,

dxdu = y ;xev = as, se tiene que:

]]

]( )

.11

01

1

0

01

10

01

1

0

10

1

0

1

0

10

1

0

=+=

=

=

=

=

eedxex

eee

eee

dxeexdxex

duvvudvu

x

x

xxx

Cristhian Pez P. 3

Ejemplo 3. Determinar dxex x2

Solucin

Sean 2xu = y ,dxedv x= de esta manera,

dxxdu 2= y ;xev = as, se tiene que:

=

=

=

dxexex

dxxeexdxex

duvvudvu

xx

xxx

2

2

2

22

Esta ltima integral la resolvemos tambin por partes

Sean: xu = y ,dxedv x= de esta manera,

dxdu = y ;xev = as, se tiene que:

( )

.22

22222

22

22

122

2

2

2

22

Keexexdxex

KeexexKeexex

dxeexex

dxeexexexex

xxxx

xxx

xxx

xxx

xxxxx

++=

++=

++=

+=

=

Ejemplo 4. Evaluar dxxln

Solucin

Sean: xu ln= y ,dxdv = de esta manera,

dxx

du 1= y ;xv = as, se tiene que:

( )

.lnln

ln

1lnln

Kxxxdxx

dxxx

dxx

xxxdxx

duvvudvu

+=

=

=

=

Cristhian Pez P. 4

Ejemplo 5. Evaluar dxxe x sen

Solucin

Sean: xu sen= y ,dxedv x= de esta manera,

dxxdu cos= y ;xev = as, se tiene que:

= dxxeexdxxexxx cossensen

Esta ltima integral la resolvemos tambin por partes

Sean: xu cos= y ,dxedv x= de esta manera,

dxxdu sen= y ;xev = as, se tiene que:

( )

( )( )

.

2cossen

sen

cossensen2

cossensensen

sencossensen

sencossen

cossensen

Kxxedxxe

xxedxxe

xexedxxedxxe

dxxexexedxxe

dxxeexxe

dxxeexdxxe

xx

xx

xxxx

xxxx

xxx

xxx

+

=

=

=+

=

=

=

Ejemplo 6. Calcular 1

0arctan dxx

Solucin Sean: xu arctan= y ,dxdv = de esta manera,

21 xdxdu+

= y ;xv = as, se tiene que:

( )] ]

+=

+=

+=

+=

+=

1

0 2

1

0 2

1

0 2

1

0 210

1

0 210

1

0

14

100

41

10arctan01arctan1

1arctan

1arctanarctan

dxx

x

dxx

x

dxx

x

dxx

xxx

x

dxxxxdxx

pi

pi

Cristhian Pez P. 5

Esta ltima integral la resolvemos realizando la sustitucin ,1 2xw += de donde se obtiene que

,

22 dxxdwdxxdw == adems cuando ,0=x ,1=w y cuando ,1=x ;2=w as:

]( )( )

.

22ln

4arctan

02ln21

4

1ln2ln21

4

ln21

4

21

4

2414arctan

1

0

2

1

2

1

2

1

1

0 2

1

0

=

=

=

=

=

=

+=

pi

pi

pi

pi

pi

pipi

dxx

w

w

dww

dwdxx

xdxx

Ejercicios 1

1. Evaluar cada una de las siguientes integrales

a) dxxx 4sen b) dxxx 3cos2 c) ( ) dxx 2ln

d) dxxarcsen e) dttt ln2 f) dtet t3

g) de 3sen2 h) 1

02 dwew w i) dxxx senlncos

j) dxex x23

k) ( ) + dxex x32 l) 41 ln dxx

ll) ( ) dxxlnsen m) 20 2 dxex x n) 20 4senpi

dxxx

2. Demuestre la siguiente frmula de reduccin y usando esta, evaluar cada una de las integrales

= dxexnexdxex xnxnxn 1

a) dxex x2 b) 1

03 dxex x c) dxex x4

Cristhian Pez P. 6

Integrales Trigonomtricas

Iniciaremos con las potencias de seno y coseno

Las integrales de la forma dxxxnm cossen donde m y n son enteros no negativos, se evalan de

varias maneras dependiendo de los valores de m y n.

(*) Si 0=m o 0=n se puede seguir la idea planteada en los siguientes ejemplos

Ejemplo 1. Calcular dxx3cos

Solucin

( ) ,cossen1coscoscos 223 == dxxxdxxxdxx realizando la sustitucin ,sen xt = se obtiene dxxdt cos= y de esta manera se llega a:

( ) ( )

.

3sen

sen3

cos

1cossen1cos

333

2

223

KxxKttdxx

dttdt

dttdxxxdxx

+=+=

=

==

Ejemplo 2. Calcular dxx5sen

Solucin

( ) ( ) ,sencos1sensensensensen 222245 === dxxxdxxxdxxxdxx realizando la sustitucin ,cos xz = se obtiene dxxdzdxxdz sensen == y de esta manera se llega a:

( ) ( ) ( )( ) ( )

.cos51

cos32

cossen

532

2

2121

1sencos1sen

535

53

42

4242

22225

Kxxxdxx

Kzzz

dzzdzzdz

dzzzdzzz

dzzdxxxdxx

++=

++=

+=

+=+=

==

Cristhian Pez P. 7

(*) Si m y n son ambos enteros positivos, entonces la integral dxxx nm cossen se puede evaluar de

acuerdo a los siguientes casos:

a) Si n es impar, hacer la sustitutcin .sen xt = b) Si m es impar, hacer la sustitucin .cos xt = c) Si tanto n como m son pares, aplicar las identidades de mitad de ngulo:

22cos1

sen 2x

x

=

22cos1

cos 2x

x+

=

A veces es til emplear la identidad xxx cossen22sen =

Ejemplo 3. Evaluar dxxx 25 cossen

Solucin En este caso la potencia del seno es impar, por lo que se procede segn el caso b, esto es, realizando la

sustitucin xt cos= y de aqu ;sensen dxxdtdxxdt == por lo tanto:

( )( ) ( ) ( )( )

.cos71

cos52

cos31

752

3cossen

22

211

sencoscos1

cossensencossen

753753

25

642642

242222

222

2425

KxxxKtttdxxx

dttdttdttdtttt

dttttdttt

dxxxx

dxxxxdxxx

++

=++

=

+=+=

+==

=

=

Ejemplo 4. Evaluar dxxx 54 cossen

Solucin En este caso la potencia del coseno es impar, por lo que se procede segn el caso a, esto es, realizando

la sustitucin xt sen= y de aqu ;cos dxxdt = por lo tanto:

( )( ) ( )

+==

=

=

dttttdttt

dxxxx

dxxxxdxxx

424224

224

4454

211

cossen1sen

coscossencossen

Cristhian Pez P. 8

( )

.sen91

sen72

sen51

cossen

972

5

2

2

97554

975

864

864

Kxxxdxxx

Kttt

dttdttdtt

dtttt

++=

++=

+=

+=

Ejemplo 5. Determinar dxxx 44 cossen

Solucin En este caso, tanto la potencia del seno como la del coseno es par, por lo que se procede segn el caso c, esto es, utilizando alguna de las frmulas para mitad de ngulo:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

.8sen1024

14sen128

1128

3

8sen1024

1128

14sen128

práctica general de cdi

Documents