catedra_6

Modelamiento y Simulacin

Victor Alvarez Celedon 1

2. Teora de lneas de espera (colas).

El fenmeno se presenta siempre y cuando la demanda actual de un servicio es mayor que la capacidad actual para proporcionar ese servicio.

Es de inters conocer caractersticas de desempeo tales como; el numero de elementos (clientes) se encuentran esperando por el servicio, cuanto demora esta espera y el tiempo que toma prestar el servicio.

Dado que es difcil predecir con exactitud cuantas unidades llegarn a buscar el servicio y , o bien, cunto tiempo se requerir para proporcionar ese servicio, entran a jugar un gran rol el tratamiento estadstico sobre observaciones sobre tiempos entre llegadas o el numero de llegadas en un periodo dado.

El aspecto de tomar decisiones, se refiere a la determinacin de la capacidad del servicio, existe una relacin costo versus nivel de servicio. Ya se puede se dimensionar para lograr altos niveles de servicio pero el costo puede ser prohibitivo.



2.1 Estructura bsica de un modelo de cola.

ClientesServidos

ClientesFUENTEDE

ENTRADACOLA

MECANISMODE

SERVICIO

El proceso bsico de colas se explica como sigue:Los Clientes que requieren un servicio se generan en el tiempo por medio

de una Fuente de Entrada. Estos clientes entran al sistema de colas y se unen a una Cola.

En diversos momentos, se selecciona a uno de los clientes formados para darle servicio, mediante la regla conocida como Disciplina en la Cola(Disciplina en el Servicio). Entonces se proporciona al cliente el servicio requerido por medio del Mecanismo de Servicio, despus de lo cul tal cliente sale del sistema.



i) FUENTE DE ENTRADA : (Poblacin Potencial).

Una caracterstica de la fuente de entrada es su tamao . El nmero total de clientes que podra requerir el servicio de cuando en cuando , es decir, el nmero potencial de clientes distintos.El caso Finito es analticamente ms difcil, en virtud de que el nmero de clientes, en el sistema de colas afecta al nmero de clientes potenciales que se encuentra fuera del sistema.Otra caracterstica es el patrn mediante el cul se generan los clientes en el transcurso del tiempo.Ejemplo:

Nmero de Clientes Distribucingenerados hasta de

el instante t Poisson.

Tiempo entre llegadas Distribucinconsecutivas Exponencial



ii) COLA.Una Cola se caracteriza por el numero mximo admisible de clientes que puede admitir, (Infinita/Finita).

iii) DISCIPLINA DE LA COLA :.Se refiere al orden en que se seleccionan sus miembros de la cola para que reciban el servicio (FIFO, Aleatorio, Prioridad, etc.)

iv) MECANISMO DEL SERVICIO Consiste en uno o ms Medios de Servicio , cada uno de los cuales contiene uno o ms Canales Paralelos de Servicio , llamados Servidores.El tiempo que transcurre, para un cliente, desde que se inicia el servicio hasta su complecin en uno de los medios se conoce como tiempo de servicio (Duracin del Servicio).En todo modelo debe especificarse cul es la distribucin de Probabilidad de los Tiempos de Servicios para cada servidor ( y posiblemente para los diferentes clientes ), an cuando es comn suponer la misma distribucin para los servidores.Distribuciones tpicas: Exponencial.

Degenerada.Erlang (Gamma).



Mediode

Servicio.ClientesServidos

ColaClientes

Sistema de Colas

Cajero Automtico

Banco BFI

CL

CLIENTES: SERVIDORES:



2.2 Terminologa y notacin. Estado del Sistema: Nmero de clientes en el sistema de colas.Longitud de la cola: Nmero de clientes que esperan recibir el servicio. Estado

del Sistema menos el nmero de clientes que estn recibiendo servicio.

N (t): Nmero de clientes en el sistema en el instante t (t 0).Pn (t): Probabilidad de que se encuentren exactamente n

clientes en el sistema de colas en el instante t, dado el nmero de clientes en el instante cero.

S: Nmero de servidores (Canales de Servicio) en paralelo en el sistema.n : Tasa media de llegadas (Nmero esperado de llegadas por unidad de

tiempo) de clientes nuevos, cuando se encuentran n clientes en el sistema.

n :Tasa media de servicio para el sistema en conjunto (Nmero esperado de clientes a los que se les completa el servicio por unidad de tiempo), cuando se encuentran n clientes en el sistema.

Representa la Tasa combinada de servicio a la cul todos los servidores ocupados ( Aquellos que estn dando servicio a los clientes), logran completar los servicios.



Cuando n es una constante para todo n, esta cte.Se denota por = 1 = 2 = 3 ;Cuando la Tasa Media de Servicio por servidor ocupado , es una constante para todo (n 1) , esta cte. se denota por .



2.3. Papel de la distribucin exponencial. Las caractersticas de operacin de los sistemas de colas son determinadas en

gran parte por dos propiedades estadsticas que son:- Distribucin del Tiempo entre llegadas.- Distribucin del Tiempo de Servicio.

La forma de las distribuciones debe ser Suficientemente realista de modo que proporcione Predicciones razonables y al mismo tiempo Suficientemente sencilla de modo que el modelo sea Matemticamente tratable.

Sea T v.a. que representa los tiempos entre llegadas o bien el de servicio.Se dice que T sigue una Distribucin Exponencial de parmetro ssi:

2

1)(

1)(

=

=

TV

TE

0

383,011

393,010

23

21

21

=

=

TP

TP

1

1

21

1

23

[ ][ ] t

t

etTPetTP

== ;1



Propiedad N 2: Carencia de Memoria

T: Tiempo entre eventos ( Llegadas, Servicios completados)

T: Tiempo hasta el siguiente evento

[ ] [ ]tTPtTttTP >=>+> /Si nada a ocurrido, la EXP pierde la memoria

[ ] [ ][ ][ ][ ]

[ ]tTPee

eBPAP

BPBAPtTttTP

tt

tt

>===

==>+>

+

)(

/[ ] tetTP =

[ ] ?/ = tTttTPtt +t

B Ainterseccin



Propiedad N 3: mnimo de variables aleatorias exponenciales.

1

{U =Mn T1, T2, ........,Tn {

1 2

n

T1 2T2 ,

=? nTn ,

T1, T2, ..............Tnv.a. exponenciales e independientes.

=

=n

ii

1

Nos importa determinar : P[U t]P[U t] = P[ T1 t , T2 t,........Tn t]

=P[T1 t] P[T2 t].....P[Tn t]=e -1t * e -2t *.......* e -nt= e -( 1+2+..........-n)t= e-t ;

Por lo tanto U tambin tiene Distribucin Exponencial con parmetro :.

Propiedad N 4: Exponencial v/s Poisson.

Si y mide el tiempo entre eventos o incidentes:

Entonces es una v.a. equivalente y mide el N de incidentes que ocurren hasta el instante t, donde en cero seempez el conteo.

)(ExpT )()( tPoissontX

+ / Probabilidad de que algn incidente ocurra en , dado que nada ha ocurrido hasta te x = 1+x+

=x

n n!

2[ ] [ ]

[ ][ ]

tt

etTPtTP

tTttTPtTttTP

t

==

===

>+=>+

)1(1

11

/1/

[ ][ ] t

t

etTPetTP

== ;1

pequeo implica un incidente a lo ms.

t

[ ][ ]tTP

tTP Pbb. De que Algn incidente ocurra antes o durante

Pbb. De que Ningn incidente ocurra antes o durante t

t

catedra_6

Documents