catálogo matemática - sacundaria

Oficina CentralAv. Primavera 2160, Santiago de Surco, LimaTel. 313 4000, Fax 313 [email protected]

Delegación NorteAv. Larco 611Urb. La Merced, TrujilloTel. 29 5011

Delegación SurAv. Metropolitana F 6,Urb. Magisterial Tercera Etapa, Yanahuara, ArequipaTelefax 25 6724, 25 6818

Delegación Sur MedioAv. José Matías Manzanilla 330 A, IcaTel. 21 3675

HuancayoJr. Dos de Mayo 363, San CarlosTel. 21 3869

HuánucoAv. Dos de Mayo 1635Tel. 51 2781

PucallpaJr. Huáscar 251Tel. 57 2229

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Para el estudiante Para el profesor

Matemática1.° a 5.° de Secundaria

Libro de texto Libromedia en DVD Folleto para padres

Guía metodológica impresa Libromedia en DVD, edición para el profesor Manual de uso del Libromedia

Desarrollo del pensamiento creativo, crítico y analítico, así como del razonamiento lógico.

Actividades que ponen en práctica habilidades

y conocimientos

Aplicación de la estrategia desarrollandohábitos de trabajo propios de la actividad matemática

Desarrollo de la autonomía

y aprendizaje colaborativo

Libro de texto Libromedia en DVD Folleto para padres

Ejercicio constante de las capacidadespara el logro de la competencia matemática

Para el estudiante:

2

Matemática, de 1.° a 5.° de Secundaria

Énfasis en el desarrollo de habilidades matemáticas específicas acordes con la nueva propuesta de evaluación de las universidades.

Demostración de procedimientos identificando los pasos en ejercicios y problemas resueltos.

Conceptos, propiedades y procedimientos fundamentales

Actividades cortas para explorar los conceptos estudiados y reforzar lo aprendido

Ejemplos variados y en gran cantidad trabajados paso a paso

Recurso en:

Animación para aclarar

los conceptos

3

Para p ra ct ica r

● 5 Representa cada conjunto como un intervalo.

a) A = { x / x ∈ lR; 2 < 2x – 1 _____ 3 < 4 }

b) B = { x / x ∈ lR; 1 < 3x + 1 _____ 4 ≤ 3 }

c) C = { x / x ∈ lR; –2 ≤ 3x – 2 _____ 2 < 1 }

d) D = { x / x ∈ lR; –1 ≤ 2x + 2 _____ 3 ≤ 2 }

● 6 Simplifica y representa gráficamente cada conjunto.

a) A = {x / x ∈ lR; 4x ≥ −16} ____________

b) B = {x / x ∈ lR; −6 < 3x < 9} ____________

c) C = {x / x ∈ lR; 6 < 4x ≤ 12} ____________

d) D = {x / x ∈ lR; –24 ≤ 8x < –16} ____________

e) E = {x / x ∈ lR; 15 ≤ 5x ≤ 30} ____________

● 7 Representa utilizando valor absoluto.

a) −19 ≤ x ≤ 19 _________________________

b) ]−12; 12[ _________________________

c) –3/4 < x < 3/4 _________________________

● 8 Representa como intervalo el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

a) |x | ≤ 5 b) |x | < 90

c) |3x + 1| < 13 d) |2x – 2 | ≤ 16

e) |5x + 3| ≤ 18 f) |4x – 1| < 17

Ejer

cici

o re

suel

to Representa S mediante un intervalo.

S = { x / x ∈ lR; 1 ≤ 2x + 5 _____ 3 ≤ 13 __

3 }

• Resolvemos aplicando propiedades:

1 · 3 ≤ 2x + 5 _____ 3 · 3 ≤ 13 __

3 · 3 3 ≤ 2x + 5 ≤ 13

3 – 5 ≤ 2x + 5 – 5 ≤ 13 – 5

−2 ≤ 2x ≤ 8 –2 __ 2 ≤ 2x __

2 ≤ 8 _

2

−1 ≤ x ≤ 4 S = [−1; 4]

Ejer

cici

o re

suel

to Determina la veracidad de cada igualdad.

a) √ __

52 = |5| b) |(–9) – 13| = |–9| – |13|

c) |7 · 6| = |7| · |6| d) |(–5) + 8| = |–5| + |8|

• Desarrollamos cada caso:

a) √ __

52 = |5| 5 = 5 (Verdadera)

b) |–22| = 9 – 13 22 = −4 (Falsa)

c) |42| = 7 · 6 42 = 42 (Verdadera)

d) |+3| = 5 + 8 3 = 13 (Falsa)

Ejer

cici

o re

suel

to Representa los siguientes intervalos utilizando valor absoluto.

a) ]−2; 2[ |x | < 2

b) [−8; 8] |x | ≤ 8

c) −3,2 ≤ x ≤ 3,2 |x | ≤ 3,2

d) −7 < x < 7 |x | < 7

Ejer

cici

o re

suel

to Representa como intervalo el conjunto solu-ción de las siguientes inecuaciones:

a) |x | < 1 –1 < x < 1 x ∈ ]–1; 1[

b) |x | ≤ 9 –9 ≤ x ≤ 9 x ∈ [–9; 9]

c) |2x + 1| ≤ 5 –5 ≤ 2x + 1 ≤ 5

–5 – 1 ≤ 2x + 1 – 1 ≤ 5 – 1

–6 ≤ 2x ≤ 4

–3 ≤ x ≤ 2 x ∈ [–3; 2]

d) |3x – 2| < 7 –7 < 3x – 2 < 7

–5 < 3x < 9

– 5 _ 3 < x < 3 x ∈ ]– 5 _

3 ; 3[

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© S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

D.L

. 822

Para p ra ct ica r

● 5 Representa cada conjunto como un intervalo.

a) A = { x / x ∈ lR; 2 < 2x – 1 _____ 3 < 4 }

b) B = { x / x ∈ lR; 1 < 3x + 1 _____ 4 ≤ 3 }

c) C = { x / x ∈ lR; –2 ≤ 3x – 2 _____ 2 < 1 }

d) D = { x / x ∈ lR; –1 ≤ 2x + 2 _____ 3 ≤ 2 }

● 6 Simplifica y representa gráficamente cada conjunto.

a) A = {x / x ∈ lR; 4x ≥ −16} ____________

b) B = {x / x ∈ lR; −6 < 3x < 9} ____________

c) C = {x / x ∈ lR; 6 < 4x ≤ 12} ____________

d) D = {x / x ∈ lR; –24 ≤ 8x < –16} ____________

e) E = {x / x ∈ lR; 15 ≤ 5x ≤ 30} ____________

● 7 Representa utilizando valor absoluto.

a) −19 ≤ x ≤ 19 _________________________

b) ]−12; 12[ _________________________

c) –3/4 < x < 3/4 _________________________

● 8 Representa como intervalo el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

a) |x | ≤ 5 b) |x | < 90

c) |3x + 1| < 13 d) |2x – 2 | ≤ 16

e) |5x + 3| ≤ 18 f) |4x – 1| < 17

Ejer

cici

o re

suel

to Representa S mediante un intervalo.

S = { x / x ∈ lR; 1 ≤ 2x + 5 _____ 3 ≤ 13 __

3 }

• Resolvemos aplicando propiedades:

1 · 3 ≤ 2x + 5 _____ 3 · 3 ≤ 13 __

3 · 3 3 ≤ 2x + 5 ≤ 13

3 – 5 ≤ 2x + 5 – 5 ≤ 13 – 5

−2 ≤ 2x ≤ 8 –2 __ 2 ≤ 2x __

2 ≤ 8 _

2

−1 ≤ x ≤ 4 S = [−1; 4]

Ejer

cici

o re

suel

to Determina la veracidad de cada igualdad.

a) √ __

52 = |5| b) |(–9) – 13| = |–9| – |13|

c) |7 · 6| = |7| · |6| d) |(–5) + 8| = |–5| + |8|

• Desarrollamos cada caso:

a) √ __

52 = |5| 5 = 5 (Verdadera)

b) |–22| = 9 – 13 22 = −4 (Falsa)

c) |42| = 7 · 6 42 = 42 (Verdadera)

d) |+3| = 5 + 8 3 = 13 (Falsa)

Ejer

cici

o re

suel

to Representa los siguientes intervalos utilizando valor absoluto.

a) ]−2; 2[ |x | < 2

b) [−8; 8] |x | ≤ 8

c) −3,2 ≤ x ≤ 3,2 |x | ≤ 3,2

d) −7 < x < 7 |x | < 7

Ejer

cici

o re

suel

to Representa como intervalo el conjunto solu-ción de las siguientes inecuaciones:

a) |x | < 1 –1 < x < 1 x ∈ ]–1; 1[

b) |x | ≤ 9 –9 ≤ x ≤ 9 x ∈ [–9; 9]

c) |2x + 1| ≤ 5 –5 ≤ 2x + 1 ≤ 5

–5 – 1 ≤ 2x + 1 – 1 ≤ 5 – 1

–6 ≤ 2x ≤ 4

–3 ≤ x ≤ 2 x ∈ [–3; 2]

d) |3x – 2| < 7 –7 < 3x – 2 < 7

–5 < 3x < 9

– 5 _ 3 < x < 3 x ∈ ]– 5 _

3 ; 3[

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. Pro

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Ejercicios resueltosy de aplicación inmediata

Énfasis en la comprensión del conocimiento y la transferencia a situaciones cotidianas, y fomento de una actitud investigadora.

Variedad y gran cantidad de ejercicios y problemas organizados de menor a mayor demanda cognitiva.

Recursos en :PDF ficha para afianzar lo aprendido

Activación de conocimientos

previos

Situaciones que aproximan la

matemática a la vida cotidiana

Búsqueda de información; representación y juicio crítico

Actividades relacionadas con otras áreas

Actividades para desarrollar de manera autónoma y colaborativa

4


Ejercicios y problemas clasificados por niveles y procesos transversales

Reto, desafío o juego matemático

Nivel Ipara reforzar

Nivel IIIpara profundizar

Nivel IIpara consolidar

Evaluación formativa y continua atendiendo los diferentes estilos y ritmos de aprendizaje.

Ejercicios y problemas elaborados según los estándares internacionales, como los de PISA, o aplicando modernos recursos TIC.

5

Para el profesor:

Guía metodológica impresaSecuencia de conocimientos, propuesta de programación curricular, índice del libro del estudiante con la distribución de los recursos del Libromedia y guiones didácticos con sugerencias y recursos.

Componentes para la programación de la unidad Atención a la diversidad

Tema transversal y valores

Información complementaria

Autonomía del aprendizajecon las sugerencias metodológicas para el desarrollo de las actividades matemáticas de manera autónoma y colaborativa.Asimismo, referencia de los recursos TIC y herramientas del Libromedia ( )

Presentación de la apertura

Estructura de los guiones didácticos

Guía metodológica impresa Libromedia en DVD, edición para el profesor Manual de uso del Libromedia

Sugerencias metodológicas Conexión con otras áreas

Instrumentos de evaluación SolucionariosAdemás:6


Barra de navegaciónOpciones para desplazarse por el Libromedia

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Barra de contenidosDocumentos técnico-pedagógicos, recursos multimediay síntesis de la unidad

Reproducción del libro de texto Recursos TIC para su uso en computadoras o pizarras digitales.

Elementos: Barra de contenidos, barra de navegación y barra de herramientas.

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Recursos TIC

Videos Más preguntas

Animaciones

Actividades interactivas

Galerías de imágenes Proyectos en red

Enlaces web

Fichas de refuerzo por temas y ficha de evaluación por unidad

Animaciones

PowerPoint

Fichas de refuerzo por temas y ficha de evaluacion por unidad con solucionario

Para el estudiante y el profesor

Para uso exclusivo del profesor

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SECUENCIA DE CONOCIMIENTOSV

I CIC

LO

PRIM

ER

O

U1 NÚMEROS NATURALES U2 NÚMEROS ENTEROS U3 FRACCIONES U4 NÚMEROS DECIMALES U5 EXPRESIONES ALGEBRAICAS U6 CONJUNTOS

• Números naturales. Operaciones • Sucesiones y patrones• Propiedades de los números naturales• Criterios de divisibilidad• Números primos y compuestos• Mínimo común múltiplo (MCM)• Máximo común divisor (MCD)• Potenciación. Propiedades• Radicación. Propiedades

• Números enteros. Valor absoluto• Comparación• Adición y sustracción. Propiedades• Multiplicación y división. Propiedades• Potenciación. Propiedades• Radicación. Propiedades • Operaciones combinadas

• Fracciones equivalentes• Comparación• Adición y sustracción de fracciones• Multiplicación y división de fracciones• Potenciación• Radicación

• Números decimales. Aproximación• Comparación• Fracción generatriz de un número decimal• Adición y sustracción. Estimaciones• Multiplicación y división. Estimaciones• Potenciación• Notación científica• Radicación

• Expresiones algebraicas• Sucesiones y expresiones algebraicas• Términos algebraicos semejantes. Reducción• Valor numérico• Monomios y polinomios. Grados• Adición y sustracción de monomios• Multiplicación y división de monomios• Potenciación y radicación de monomios

• Conjuntos. Determinación • Relaciones entre conjuntos• Intersección y unión• Diferencia y complemento • Problemas con dos y tres conjuntos• Producto cartesiano• Relación binaria

U7 ECUACIONES DE PRIMER GRADO. FUNCIONES U8 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA U9 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD U10 RECTAS Y ÁNGULOS. MOVIMIENTOS EN EL PLANO U11 UNIDADES DE MEDIDA U12 FIGURAS GEOMÉTRICAS

• Igualdad. Ecuación• Propiedades de las igualdades• Ecuaciones de primer grado con una incógnita• Resolución de problemas con ecuaciones• Funciones. Interpretación de gráficas.• Análisis de una función: discreta, continua,

dominio y rango

• Proporcionalidad• Razones y proporciones. Propiedades• Magnitudes directamente proporcionales• Escalas• Porcentajes. Aplicaciones• Magnitudes inversamente proporcionales• Regla de tres compuesta

• Tablas y gráficos estadísticos• Gráficos de barras. Pictograma. Gráfico lineal.

Gráfico de sectores• Medidas de tendencia central • Probabilidad. Espacio muestral y suceso• Probabilidad de un suceso• Principio de conteo• Diagrama de árbol

• Punto, recta y plano• Adición y sustracción de segmentos• Ángulos. Clasificación• Ángulos complementarios y suplementarios • Polígonos. Clasificación. Suma de ángulos interiores

y exteriores. Número de diagonales• Movimientos en el plano. Rotación. Simetría.

Traslación

• Unidades de longitud• Unidades de superficie. Unidades agrarias• Unidades de masa• Unidades de capacidad • Unidades de volumen• Relaciones entre volumen y capacidad• Relaciones entre volumen, capacidad y masa

• Triángulos. Clasificación. Líneas y puntos notables• Teorema de Pitágoras• Cuadriláteros. Clasificación• Áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros• Área de un polígono regular e irregular• Circunferencia y círculo. Longitud y área• Prismas y cilindros. Áreas

SEGUNDO

U1 LÓGICA Y CONJUNTO U2 NÚMEROS RACIONALES U3 NÚMEROS REALES U4 POLINOMIOS U5 FACTORIZACIÓN U6 ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

• Enunciados y proposiciones• Clases de proposiciones. Conectivos lógicos.

Tablas de verdad • Valores de verdad de una proposición

compuesta• Operaciones con conjuntos• Problemas con dos y tres conjuntos• Producto cartesiano• Relación binaria

• Números racionales. Fracciones• Comparación. Operaciones con fracciones• Números racionales. Decimales• Fracción generatriz• Comparación. Operaciones con decimales• Notación científica

• Números irracionales. Representación en la recta

• Números reales. La recta real• Aproximación. Relación de orden• Intervalos. Operaciones• Valor absoluto• Operaciones con números reales• Radicales. Simplificación. Operaciones• Racionalización

• Teoría de exponentes• Polinomios. Grados relativo y absoluto• Valor numérico• Adición y sustracción de polinomios• Multiplicación de polinomios• División de polinomios• Productos notables

• Factorización por factor común• Factorización de binomios• Factorización por productos notables• Trinomio cuadrado perfecto• Trinomio de la forma x 2 + bx + bx + bx c• Trinomio de la forma ax 2 + bx + bx + bx c

• Igualdad algebraica, identidad y ecuación• Ecuaciones de primer grado• Resolución de problemas• Desigualdad numérica y algebraica• Inecuaciones de primer grado• Resolución de problemas

U7 SISTEMAS DE ECUACIONES. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

U8 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA U9 FUNCIONES U10 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD U11 GEOMETRÍA PLANA U12 GEOMETRÍA DEL ESPACIO

• Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

• Clasificación de los sistemas de ecuaciones• Métodos de resolución de sistemas de

ecuaciones• Resolución de problemas• Ecuaciones de segundo grado• Resolución de problemas

• Razones y proporciones• Magnitudes directamente proporcionales• Reparto directamente proporcional• Porcentajes • Escalas• Magnitudes inversamente proporcionales• Reparto inversamente proporcional• Regla de tres compuesta

• Enunciados, tablas, gráficas y fórmulas• Función real. Dominio y rango • Problemas de optimización• Función lineal. Representación gráfica,

simbólica y tabular• Función identidad• Función constante• Función de proporcionalidad directa• Función de proporcionalidad inversa

• Tablas de distribución de frecuencias• Gráficos estadísticos• Medidas de tendencia central• Medidas de dispersión• Probabilidad. Experimento aleatorio y determinista• Análisis combinatorio. Principios de conteo• Permutaciones• Variaciones • Combinaciones

• Operaciones con segmentos• Ángulos. Clasificación• Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por

una secante• Triángulos. Propiedades. Área• Cuadriláteros. Propiedades. Área• Área de un polígono regular• Área de un polígono irregular• Circunferencia y círculo• Transformaciones en el plano

• Planos, rectas, puntos y ángulos en el espacio• Ángulos diedros• Ángulos poliedros• Poliedros regulares. Propiedades• Prismas. Área y volumen• Pirámides. Área y volumen• Cilindro. Área y volumen• Cono. Área y volumen

VII

CIC

LO

TE

RC

ER

O

U1 LÓGICA Y CONJUNTO U2 NÚMEROS REALES U3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS U4 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES U5 FACTORIZACIÓN. FRACCIONES ALGEBRAICAS U6 ECUACIONES E INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

• Enunciados y proposiciones• Conectivos lógicos. Tablas de verdad • Cuadro y esquemas de organización de

fórmulas lógicas • Circuitos lógicos• Relación entre lógica y conjuntos

• Números reales. Recta real. Comparación• Intervalos. Operaciones• Operaciones con números reales• Potenciación. Notación científica• Radicales. Operaciones• Racionalización

• Expresiones algebraicas. Valor numérico• Polinomios. Grados. Polinomios especiales• Adición y sustracción de polinomios• Multiplicación y división de polinomios

• Cuadrado de una suma y diferencia• Suma por diferencia de dos términos• Producto de dos binomios con un término común• Cubo de una suma y diferencia• Diferencia y suma de cubos• Cocientes notables

• Factorización por factor común• Factorización de binomios• Factorización de trinomios• Factorización por productos notables• Factorización por aspa• Factorización por suma y resta• Factorización por Ruffini• MCM y MCD de expresiones algebraicas• Expresión algebraica racional• Operaciones con expresiones algebraicas racionales

• Ecuaciones con valor absoluto• Ecuaciones de segundo grado• Ecuaciones literales de segundo grado• Ecuaciones reducibles a segundo grado• Ecuaciones irracionales• Inecuaciones de segundo grado con una incógnita• Inecuaciones racionales

XIV Guía metodológica XV8

SECUENCIA DE CONOCIMIENTOS

VI C

ICLO

PRIM

ER

O

U1 NÚMEROS NATURALES U2 NÚMEROS ENTEROS U3 FRACCIONES U4 NÚMEROS DECIMALES U5 EXPRESIONES ALGEBRAICAS U6 CONJUNTOS

• Números naturales. Operaciones • Sucesiones y patrones• Propiedades de los números naturales• Criterios de divisibilidad• Números primos y compuestos• Mínimo común múltiplo (MCM)• Máximo común divisor (MCD)• Potenciación. Propiedades• Radicación. Propiedades

• Números enteros. Valor absoluto• Comparación• Adición y sustracción. Propiedades• Multiplicación y división. Propiedades• Potenciación. Propiedades• Radicación. Propiedades • Operaciones combinadas

• Fracciones equivalentes• Comparación• Adición y sustracción de fracciones• Multiplicación y división de fracciones• Potenciación• Radicación

• Números decimales. Aproximación• Comparación• Fracción generatriz de un número decimal• Adición y sustracción. Estimaciones• Multiplicación y división. Estimaciones• Potenciación• Notación científica• Radicación

• Expresiones algebraicas• Sucesiones y expresiones algebraicas• Términos algebraicos semejantes. Reducción• Valor numérico• Monomios y polinomios. Grados• Adición y sustracción de monomios• Multiplicación y división de monomios• Potenciación y radicación de monomios

• Conjuntos. Determinación • Relaciones entre conjuntos• Intersección y unión• Diferencia y complemento • Problemas con dos y tres conjuntos• Producto cartesiano• Relación binaria

U7 ECUACIONES DE PRIMER GRADO. FUNCIONES U8 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA U9 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD U10 RECTAS Y ÁNGULOS. MOVIMIENTOS EN EL PLANO U11 UNIDADES DE MEDIDA U12 FIGURAS GEOMÉTRICAS

• Igualdad. Ecuación• Propiedades de las igualdades• Ecuaciones de primer grado con una incógnita• Resolución de problemas con ecuaciones• Funciones. Interpretación de gráficas.• Análisis de una función: discreta, continua,

dominio y rango

• Proporcionalidad• Razones y proporciones. Propiedades• Magnitudes directamente proporcionales• Escalas• Porcentajes. Aplicaciones• Magnitudes inversamente proporcionales• Regla de tres compuesta

• Tablas y gráficos estadísticos• Gráficos de barras. Pictograma. Gráfico lineal.

Gráfico de sectores• Medidas de tendencia central • Probabilidad. Espacio muestral y suceso• Probabilidad de un suceso• Principio de conteo• Diagrama de árbol

• Punto, recta y plano• Adición y sustracción de segmentos• Ángulos. Clasificación• Ángulos complementarios y suplementarios • Polígonos. Clasificación. Suma de ángulos interiores

y exteriores. Número de diagonales• Movimientos en el plano. Rotación. Simetría.

Traslación

• Unidades de longitud• Unidades de superficie. Unidades agrarias• Unidades de masa• Unidades de capacidad • Unidades de volumen• Relaciones entre volumen y capacidad• Relaciones entre volumen, capacidad y masa

• Triángulos. Clasificación. Líneas y puntos notables• Teorema de Pitágoras• Cuadriláteros. Clasificación• Áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros• Área de un polígono regular e irregular• Circunferencia y círculo. Longitud y área• Prismas y cilindros. Áreas

SEGUNDO

U1 LÓGICA Y CONJUNTO U2 NÚMEROS RACIONALES U3 NÚMEROS REALES U4 POLINOMIOS U5 FACTORIZACIÓN U6 ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

• Enunciados y proposiciones• Clases de proposiciones. Conectivos lógicos.

Tablas de verdad • Valores de verdad de una proposición

compuesta• Operaciones con conjuntos• Problemas con dos y tres conjuntos• Producto cartesiano• Relación binaria

• Números racionales. Fracciones• Comparación. Operaciones con fracciones• Números racionales. Decimales• Fracción generatriz• Comparación. Operaciones con decimales• Notación científica

• Números irracionales. Representación en la recta

• Números reales. La recta real• Aproximación. Relación de orden• Intervalos. Operaciones• Valor absoluto• Operaciones con números reales• Radicales. Simplificación. Operaciones• Racionalización

• Teoría de exponentes• Polinomios. Grados relativo y absoluto• Valor numérico• Adición y sustracción de polinomios• Multiplicación de polinomios• División de polinomios• Productos notables

• Factorización por factor común• Factorización de binomios• Factorización por productos notables• Trinomio cuadrado perfecto• Trinomio de la forma x 2 + bx + bx + bx c• Trinomio de la forma ax 2 + bx + bx + bx c

• Igualdad algebraica, identidad y ecuación• Ecuaciones de primer grado• Resolución de problemas• Desigualdad numérica y algebraica• Inecuaciones de primer grado• Resolución de problemas

U7 SISTEMAS DE ECUACIONES. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

U8 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA U9 FUNCIONES U10 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD U11 GEOMETRÍA PLANA U12 GEOMETRÍA DEL ESPACIO

• Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

• Clasificación de los sistemas de ecuaciones• Métodos de resolución de sistemas de

ecuaciones• Resolución de problemas• Ecuaciones de segundo grado• Resolución de problemas

• Razones y proporciones• Magnitudes directamente proporcionales• Reparto directamente proporcional• Porcentajes • Escalas• Magnitudes inversamente proporcionales• Reparto inversamente proporcional• Regla de tres compuesta

• Enunciados, tablas, gráficas y fórmulas• Función real. Dominio y rango • Problemas de optimización• Función lineal. Representación gráfica,

simbólica y tabular• Función identidad• Función constante• Función de proporcionalidad directa• Función de proporcionalidad inversa

• Tablas de distribución de frecuencias• Gráficos estadísticos• Medidas de tendencia central• Medidas de dispersión• Probabilidad. Experimento aleatorio y determinista• Análisis combinatorio. Principios de conteo• Permutaciones• Variaciones • Combinaciones

• Operaciones con segmentos• Ángulos. Clasificación• Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por

una secante• Triángulos. Propiedades. Área• Cuadriláteros. Propiedades. Área• Área de un polígono regular• Área de un polígono irregular• Circunferencia y círculo• Transformaciones en el plano

• Planos, rectas, puntos y ángulos en el espacio• Ángulos diedros• Ángulos poliedros• Poliedros regulares. Propiedades• Prismas. Área y volumen• Pirámides. Área y volumen• Cilindro. Área y volumen• Cono. Área y volumen

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CIC

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U1 LÓGICA Y CONJUNTO U2 NÚMEROS REALES U3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS U4 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES U5 FACTORIZACIÓN. FRACCIONES ALGEBRAICAS U6 ECUACIONES E INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

• Enunciados y proposiciones• Conectivos lógicos. Tablas de verdad • Cuadro y esquemas de organización de

fórmulas lógicas • Circuitos lógicos• Relación entre lógica y conjuntos

• Números reales. Recta real. Comparación• Intervalos. Operaciones• Operaciones con números reales• Potenciación. Notación científica• Radicales. Operaciones• Racionalización

• Expresiones algebraicas. Valor numérico• Polinomios. Grados. Polinomios especiales• Adición y sustracción de polinomios• Multiplicación y división de polinomios

• Cuadrado de una suma y diferencia• Suma por diferencia de dos términos• Producto de dos binomios con un término común• Cubo de una suma y diferencia• Diferencia y suma de cubos• Cocientes notables

• Factorización por factor común• Factorización de binomios• Factorización de trinomios• Factorización por productos notables• Factorización por aspa• Factorización por suma y resta• Factorización por Ruffini• MCM y MCD de expresiones algebraicas• Expresión algebraica racional• Operaciones con expresiones algebraicas racionales

• Ecuaciones con valor absoluto• Ecuaciones de segundo grado• Ecuaciones literales de segundo grado• Ecuaciones reducibles a segundo grado• Ecuaciones irracionales• Inecuaciones de segundo grado con una incógnita• Inecuaciones racionales

XIV Guía metodológica XV9

PROPUESTA DE PROGRAMACIÓN CURRICULAR

Primer bimestre

UnidadProceso

transversalConocimientos Capacidades Indicadores de logro

Actitudes matemáticas

1Razonamiento y demostración

• Operaciones con números naturales

• Operaciones combinadas

• Sucesiones y patrones

• Propiedades de los números naturales

• Potenciación y radicación con números naturales

Analiza las propiedades y procesos algorítmicos de las operaciones con números naturales.

• Utiliza los algoritmos de las operaciones con números naturales.• Relaciona los elementos de las operaciones para comprobar los

resultados. • Utiliza la jerarquía y propiedades de las operaciones, y las reglas de uso

de signos de colección al resolver operaciones combinadas con números naturales.

• Establece relaciones entre los datos de una sucesión numérica.• Relaciona procesos matemáticos al comprobar las propiedades de los

números.• Obtiene el MCD de dos o más números hallando los divisores comunes.• Obtiene el MCM de dos o más números mediante la descomposición en

producto de factores primos.• Analiza y descubre relaciones entre el MCM y MCD de dos o más

números naturales.• Selecciona las propiedades de potenciación y radicación para simplificar

procesos algorítmicos.

• Muestra flexibilidad de pensamiento al proponer diversos procedimientos de solución.

• Valora la precisión y la utilidad del lenguaje numérico para presentar, comunicar y resolver situaciones de contexto matemático y de la vida cotidiana.

• Confía en sus propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones numéricas.

Comunicación matemática

Interpreta los procesos matemáticos en las propiedades de los números y en las sucesiones numéricas.

Conceptualiza el significado de los números naturales en diversas situaciones y contextos.

• Describe los procedimientos en la resolución de operaciones combinadas.• Explica las regularidades que se presentan en una sucesión.• Manifiesta con argumentos la veracidad o falsedad de enunciados dados. • Expresa las propiedades de los múltiplos y divisores y formula las reglas

de divisibilidad.• Expone los pasos que se deben seguir para hallar el MCM y el MCD de

dos o más números.• Da ejemplos sobre la utilidad de la potenciación y la radicación en la

simplificación de operaciones.

Resolución de problemas

Estrategias para resolver problemas: Buscar un patrón

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran números naturales y sus operaciones.

• Resuelve problemas utilizando las cuatro fases clásicas de Polya.• Recrea situaciones aplicando criterios de divisibilidad para diferenciar

números primos y compuestos.• Matematiza situaciones de contexto real que involucran el MCM y MCD.• Resuelve problemas de contexto matemático y real que implican la

potenciación y la radicación.


• Conjunto de los números enteros

• Comparación• Operaciones con

números enteros• Operaciones

combinadas• Potenciación y

radicación con números enteros

• Operadores matemáticos

Analiza los procesos algorítmicos aplicados en el cálculo con números enteros.

• Demuestra la técnica operativa de los números enteros, a partir de situaciones concretas, de manera gráfica y simbólica.

• Compara y ordena números enteros a partir de criterios establecidos.• Comprueba a través de ejemplos las propiedades que cumplen las

operaciones con números enteros.• Identifica los pasos que se deben seguir para resolver operaciones

combinadas con números enteros.• Selecciona las propiedades de la potenciación y la radicación con

números enteros al simplificar procesos algorítmicos.

• Incorpora al lenguaje cotidiano las situaciones que se relacionan con la expresión simbólica de un número entero.

• Toma iniciativa al formular preguntas, elaborar conjeturas y plantear problemas.

• Confía en sus propias capacidades al afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones.


Interpreta el significado de los números enteros en diversas situaciones y contextos.

• Ejemplifica aplicaciones de los números enteros en situaciones de contexto real.

• Representa gráficamente situaciones aplicadas a los números enteros.


Estrategias para resolver problemas: Empezar por el final

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran números enteros y sus propiedades.

• Procesa información para resolver problemas que implican la comparación de números enteros.

• Aplica estrategias personales o convencionales al resolver problemas.• Aplica propiedades de los números enteros en la resolución de problemas.• Reconoce los datos disponibles para resolver problemas con números

enteros.


• Números racionales

• Fracciones mayores o menores que la unidad

• Fracciones equivalentes

• Comparación de fracciones

• Operaciones con fracciones

• Potenciación y radicación con fracciones. Propiedades

Analiza los procesos algorítmicos aplicados en el cálculo con números racionales.

• Obtiene fracciones equivalentes a una fracción dada mediante procesos de ampliación y simplificación.

• Compara y ordena números racionales a partir de criterios establecidos.• Aplica los procesos algorítmicos en las operaciones combinadas con

números racionales respetando la jerarquía de las operaciones.• Selecciona las propiedades de potenciación y radicación con fracciones

al simplificar procesos algorítmicos.

• Muestra precisión y simplicidad en el uso del lenguaje numérico al representar, comunicar o resolver problemas cotidianos.



Interpreta el significado de los números racionales en distintos contextos.

• Representa gráficamente fracciones menores, mayores e iguales a la unidad.

• Ejemplifica aplicaciones de los números racionales en situaciones de contexto real.

• Describe los procedimientos en la resolución de operaciones combinadas con fracciones.

• Infiere resultados de un problema a partir de la observación de gráficas.


Estrategias para resolver problemas: Eliminar posibilidades

Resuelve problemas que implican cálculos de expresiones numéricas con números racionales.

• Decodifica información en la resolución de problemas con números racionales.

• Representa datos de un problema de manera gráfica.• Establece relaciones operativas en la resolución de problemas.• Comprueba resultados mediante procesos algorítmicos con números

racionales.

Segundo bimestre

UnidadProceso




• Fracción decimal y número decimal

• Descomposición de números decimales

• Aproximación• Comparación• Fracción

generatriz, decimal exacto, periódico puro y mixto

• Operaciones con números decimales: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación

• Notación científica

Analiza los procesos algorítmicos aplicados en el cálculo con números decimales.

• Establece la equivalencia entre fracciones decimales y números decimales, y los relaciona con las décimas, centésimas, milésimas y demás unidades.

• Compara números decimales cifra por cifra hasta encontrar la desigualdad. • Ordena y aproxima números racionales a partir de criterios establecidos.• Aplica los algoritmos respectivos en las operaciones con números

racionales respetando la jerarquía de las operaciones.• Selecciona las propiedades de potenciación y radicación al resolver

expresiones numéricas.• Expresa números en notación científica.




Interpreta el significado y la aplicación de los números decimales en distintos contextos.

• Representa números decimales en la recta numérica.• Ejemplifica aplicaciones de los números decimales en situaciones de

contexto real.• Describe los procedimientos en la resolución de operaciones combinadas

con fracciones.


Estrategias para resolver problemas:Estimar resultados

Resuelve problemas que implican cálculos de expresiones numéricas con números decimales.

• Decodifica información en la resolución de problemas con números decimales.

• Representa de manera gráfica los datos de un problema.• Comprueba resultados aplicando procesos algorítmicos o con la

calculadora.• Aplica estrategias personales o convencionales al resolver problemas con

números decimales.


• Expresiones algebraicas

• Sucesiones y expresiones algebraicas

• Término algebraico. Reducción

• Valor numérico• Monomios y

polinomios. Grados

• Operaciones con monomios

Analiza y reduce expresiones algebraicas aplicando la teoría de exponentes y términos semejantes.

• Comprueba las generalizaciones o fórmulas empleadas al expresar situaciones matemáticas.

• Deduce y expresa el patrón general de una sucesión empleando el lenguaje algebraico.

• Relaciona procesos matemáticos al hallar el valor numérico de una expresión algebraica.

• Diferencia y calcula los grados absoluto y relativo de un monomio.• Relaciona procesos matemáticos al hallar el valor numérico de una

expresión algebraica.• Aplica la reducción de términos al operar con monomios.• Simplifica expresiones algebraicas aplicando las propiedades de

productos y cocientes de bases iguales.

• Valora el lenguaje algebraico como un lenguaje claro, conciso y útil para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana.


Representa enunciados verbales empleando el lenguaje algebraico.

• Explica las diferencias entre lenguaje numérico y algebraico.• Calcula los términos desconocidos de una sucesión numérica.• Representa por medio de gráficas situaciones matemáticas.• Recrea situaciones calculando el valor numérico • Explica los procesos para operar con monomios.• Establece diferencias entre los términos semejantes y no semejantes.


Estrategias para resolver problemas: Organizar información en una tabla

Resuelve problemas con operaciones algebraicas.

• Aplica estrategias de solución de problemas.• Plantea situaciones problemáticas haciendo uso del lenguaje algebraico.• Aplica estrategias de solución de problemas empleando expresiones

algebraicas.• Interpreta información para resolver problemas sobre el cálculo de los

grados de un monomio.• Establece el orden de los procesos para resolver problemas que implican

el cálculo del valor numérico.


• Determinación de conjuntos

• Clasificación de conjuntos

• Relaciones entre conjuntos (pertenencia e inclusión)

• Operaciones con conjuntos (unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica)

• Complemento de un conjunto

• Problemas con conjuntos

• Diagrama de Carrol

• Producto cartesiano

• Relación binaria

Analiza las propiedades y los procesos algorítmicos de las operaciones con conjuntos.

• Identifica y determina conjuntos según una característica.• Halla los elementos de un conjunto por comprensión o por extensión.• Clasifica conjuntos según su número de elementos.• Utiliza las relaciones de pertenencia e inclusión entre conjuntos.• Identifica datos y propiedades de las operaciones con conjuntos.• Relaciona datos en un problema sobre conjuntos.• Identifica el producto cartesiano de dos conjuntos.• Interpreta la regla de correspondencia de una relación binaria y halla

su dominio y rango.



• Confía en sus capacidades al afrontar problemas, realizar cálculos e interpretar gráficos.


Representa gráfica y simbólicamente los conjuntos y sus operaciones.

• Ejemplifica conjuntos por comprensión y por extensión.• Clasifica conjuntos según el número de elemento• Describe los procedimientos utilizados al resolver ejercicios sobre

conjuntos.• Interpreta datos y gráficos para resolver ejercicios con operaciones con

conjuntos.• Interpreta datos y gráficos para resolver problemas sobre conjuntos.• Argumenta el proceso seguido al resolver un problema con conjuntos.• Representa gráficamente el producto cartesiano y la relación binaria.


Estrategias para resolver problemas: Elaborar un diagrama

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran conjuntos y sus operaciones.

• Reconoce los datos disponibles para resolver problemas con conjuntos.• Resuelve situaciones donde se presentan conjuntos aplicando sus

relaciones y su clasificación.• Aplica propiedades de los conjuntos en la resolución de problemas.• Aplica estrategias personales o convencionales al resolver problemas con

conjuntos.• Procesa información para resolver problemas que implican producto

cartesiano y relaciones de dos conjuntos.©Sa

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Guía metodológica XIX10

PROPUESTA DE PROGRAMACIÓN CURRICULAR

Primer bimestre

UnidadProceso









Analiza las propiedades y procesos algorítmicos de las operaciones con números naturales.

• Utiliza los algoritmos de las operaciones con números naturales.• Relaciona los elementos de las operaciones para comprobar los

resultados. • Utiliza la jerarquía y propiedades de las operaciones, y las reglas de uso

de signos de colección al resolver operaciones combinadas con números naturales.

• Establece relaciones entre los datos de una sucesión numérica.• Relaciona procesos matemáticos al comprobar las propiedades de los

números.• Obtiene el MCD de dos o más números hallando los divisores comunes.• Obtiene el MCM de dos o más números mediante la descomposición en

producto de factores primos.• Analiza y descubre relaciones entre el MCM y MCD de dos o más

números naturales.• Selecciona las propiedades de potenciación y radicación para simplificar

procesos algorítmicos.





Interpreta los procesos matemáticos en las propiedades de los números y en las sucesiones numéricas.

Conceptualiza el significado de los números naturales en diversas situaciones y contextos.

• Describe los procedimientos en la resolución de operaciones combinadas.• Explica las regularidades que se presentan en una sucesión.• Manifiesta con argumentos la veracidad o falsedad de enunciados dados. • Expresa las propiedades de los múltiplos y divisores y formula las reglas

de divisibilidad.• Expone los pasos que se deben seguir para hallar el MCM y el MCD de

dos o más números.• Da ejemplos sobre la utilidad de la potenciación y la radicación en la

simplificación de operaciones.


Estrategias para resolver problemas: Buscar un patrón

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran números naturales y sus operaciones.

• Resuelve problemas utilizando las cuatro fases clásicas de Polya.• Recrea situaciones aplicando criterios de divisibilidad para diferenciar

números primos y compuestos.• Matematiza situaciones de contexto real que involucran el MCM y MCD.• Resuelve problemas de contexto matemático y real que implican la

potenciación y la radicación.


• Conjunto de los números enteros

• Comparación• Operaciones con

números enteros• Operaciones

combinadas• Potenciación y

radicación con números enteros

• Operadores matemáticos

Analiza los procesos algorítmicos aplicados en el cálculo con números enteros.

• Demuestra la técnica operativa de los números enteros, a partir de situaciones concretas, de manera gráfica y simbólica.

• Compara y ordena números enteros a partir de criterios establecidos.• Comprueba a través de ejemplos las propiedades que cumplen las

operaciones con números enteros.• Identifica los pasos que se deben seguir para resolver operaciones

combinadas con números enteros.• Selecciona las propiedades de la potenciación y la radicación con

números enteros al simplificar procesos algorítmicos.

• Incorpora al lenguaje cotidiano las situaciones que se relacionan con la expresión simbólica de un número entero.


• Confía en sus propias capacidades al afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones.


Interpreta el significado de los números enteros en diversas situaciones y contextos.

• Ejemplifica aplicaciones de los números enteros en situaciones de contexto real.

• Representa gráficamente situaciones aplicadas a los números enteros.


Estrategias para resolver problemas: Empezar por el final

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran números enteros y sus propiedades.

• Procesa información para resolver problemas que implican la comparación de números enteros.

• Aplica estrategias personales o convencionales al resolver problemas.• Aplica propiedades de los números enteros en la resolución de problemas.• Reconoce los datos disponibles para resolver problemas con números

enteros.


• Números racionales

• Fracciones mayores o menores que la unidad



• Operaciones con fracciones

• Potenciación y radicación con fracciones. Propiedades

Analiza los procesos algorítmicos aplicados en el cálculo con números racionales.

• Obtiene fracciones equivalentes a una fracción dada mediante procesos de ampliación y simplificación.

• Compara y ordena números racionales a partir de criterios establecidos.• Aplica los procesos algorítmicos en las operaciones combinadas con

números racionales respetando la jerarquía de las operaciones.• Selecciona las propiedades de potenciación y radicación con fracciones

al simplificar procesos algorítmicos.

• Muestra precisión y simplicidad en el uso del lenguaje numérico al representar, comunicar o resolver problemas cotidianos.



Interpreta el significado de los números racionales en distintos contextos.

• Representa gráficamente fracciones menores, mayores e iguales a la unidad.

• Ejemplifica aplicaciones de los números racionales en situaciones de contexto real.

• Describe los procedimientos en la resolución de operaciones combinadas con fracciones.

• Infiere resultados de un problema a partir de la observación de gráficas.


Estrategias para resolver problemas: Eliminar posibilidades

Resuelve problemas que implican cálculos de expresiones numéricas con números racionales.

• Decodifica información en la resolución de problemas con números racionales.

• Representa datos de un problema de manera gráfica.• Establece relaciones operativas en la resolución de problemas.• Comprueba resultados mediante procesos algorítmicos con números

racionales.

Segundo bimestre

UnidadProceso




• Fracción decimal y número decimal

• Descomposición de números decimales

• Aproximación• Comparación• Fracción

generatriz, decimal exacto, periódico puro y mixto

• Operaciones con números decimales: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación

• Notación científica

Analiza los procesos algorítmicos aplicados en el cálculo con números decimales.

• Establece la equivalencia entre fracciones decimales y números decimales, y los relaciona con las décimas, centésimas, milésimas y demás unidades.

• Compara números decimales cifra por cifra hasta encontrar la desigualdad. • Ordena y aproxima números racionales a partir de criterios establecidos.• Aplica los algoritmos respectivos en las operaciones con números

racionales respetando la jerarquía de las operaciones.• Selecciona las propiedades de potenciación y radicación al resolver

expresiones numéricas.• Expresa números en notación científica.




Interpreta el significado y la aplicación de los números decimales en distintos contextos.

• Representa números decimales en la recta numérica.• Ejemplifica aplicaciones de los números decimales en situaciones de

contexto real.• Describe los procedimientos en la resolución de operaciones combinadas

con fracciones.


Estrategias para resolver problemas:Estimar resultados

Resuelve problemas que implican cálculos de expresiones numéricas con números decimales.

• Decodifica información en la resolución de problemas con números decimales.

• Representa de manera gráfica los datos de un problema.• Comprueba resultados aplicando procesos algorítmicos o con la

calculadora.• Aplica estrategias personales o convencionales al resolver problemas con

números decimales.




• Término algebraico. Reducción

• Valor numérico• Monomios y

polinomios. Grados

• Operaciones con monomios

Analiza y reduce expresiones algebraicas aplicando la teoría de exponentes y términos semejantes.

• Comprueba las generalizaciones o fórmulas empleadas al expresar situaciones matemáticas.

• Deduce y expresa el patrón general de una sucesión empleando el lenguaje algebraico.

• Relaciona procesos matemáticos al hallar el valor numérico de una expresión algebraica.

• Diferencia y calcula los grados absoluto y relativo de un monomio.• Relaciona procesos matemáticos al hallar el valor numérico de una

expresión algebraica.• Aplica la reducción de términos al operar con monomios.• Simplifica expresiones algebraicas aplicando las propiedades de

productos y cocientes de bases iguales.

• Valora el lenguaje algebraico como un lenguaje claro, conciso y útil para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana.


Representa enunciados verbales empleando el lenguaje algebraico.

• Explica las diferencias entre lenguaje numérico y algebraico.• Calcula los términos desconocidos de una sucesión numérica.• Representa por medio de gráficas situaciones matemáticas.• Recrea situaciones calculando el valor numérico • Explica los procesos para operar con monomios.• Establece diferencias entre los términos semejantes y no semejantes.


Estrategias para resolver problemas: Organizar información en una tabla

Resuelve problemas con operaciones algebraicas.

• Aplica estrategias de solución de problemas.• Plantea situaciones problemáticas haciendo uso del lenguaje algebraico.• Aplica estrategias de solución de problemas empleando expresiones

algebraicas.• Interpreta información para resolver problemas sobre el cálculo de los

grados de un monomio.• Establece el orden de los procesos para resolver problemas que implican

el cálculo del valor numérico.


• Determinación de conjuntos

• Clasificación de conjuntos

• Relaciones entre conjuntos (pertenencia e inclusión)

• Operaciones con conjuntos (unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica)

• Complemento de un conjunto


• Diagrama de Carrol

• Producto cartesiano

• Relación binaria

Analiza las propiedades y los procesos algorítmicos de las operaciones con conjuntos.

• Identifica y determina conjuntos según una característica.• Halla los elementos de un conjunto por comprensión o por extensión.• Clasifica conjuntos según su número de elementos.• Utiliza las relaciones de pertenencia e inclusión entre conjuntos.• Identifica datos y propiedades de las operaciones con conjuntos.• Relaciona datos en un problema sobre conjuntos.• Identifica el producto cartesiano de dos conjuntos.• Interpreta la regla de correspondencia de una relación binaria y halla

su dominio y rango.



• Confía en sus capacidades al afrontar problemas, realizar cálculos e interpretar gráficos.


Representa gráfica y simbólicamente los conjuntos y sus operaciones.

• Ejemplifica conjuntos por comprensión y por extensión.• Clasifica conjuntos según el número de elemento• Describe los procedimientos utilizados al resolver ejercicios sobre

conjuntos.• Interpreta datos y gráficos para resolver ejercicios con operaciones con

conjuntos.• Interpreta datos y gráficos para resolver problemas sobre conjuntos.• Argumenta el proceso seguido al resolver un problema con conjuntos.• Representa gráficamente el producto cartesiano y la relación binaria.


Estrategias para resolver problemas: Elaborar un diagrama

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran conjuntos y sus operaciones.

• Reconoce los datos disponibles para resolver problemas con conjuntos.• Resuelve situaciones donde se presentan conjuntos aplicando sus

relaciones y su clasificación.• Aplica propiedades de los conjuntos en la resolución de problemas.• Aplica estrategias personales o convencionales al resolver problemas con

conjuntos.• Procesa información para resolver problemas que implican producto

cartesiano y relaciones de dos conjuntos.©Sa

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Guía metodológica XIX11

1.° de Secundaria

ÍNDICE DEL LIBRO DEL ESTUDIANTE

Unidad Conocimientos Recursos TIC Páginas especiales

Pág. 224

• Recordamos lo que sabemos

• Igualdad. Ecuación. Términos. Propiedad de

las igualdades

• Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Resolución de ecuaciones con una sola operación

• Resolución de ecuaciones con dos o más operaciones

• Resolución de problemas

• Funciones. Análisis de una función

226

228

229

232

236

241

• RM: Problemas sobre edades

• SP: Elegir la incógnita

• TIC: Gráfica de funciones con Graphmatica

• Organizo lo que aprendí

• Me preparo para la evaluación

• Aplico mis conocimientos

• Revista matemática: Televisión por cable

y por satélite

239

240

246

247

247

248

253

Pág. 254


• Proporcionalidad. Razón

• Proporciones. Clasificación. Propiedades

• Magnitudes directamente proporcionales

• Escalas

• Porcentajes

• Aplicaciones de porcentajes

• Magnitudes inversamente proporcionales

• Problemas con más de dos magnitudesProblemas con más de dos magnitudes

256

258

261

264

268

270

274

276

280

• Taller de investigación: ¿Qué relación hay entre

las áreas de las piezas del tangrama?

• TIC: Proporcionalidad con Excel

• SP: Reducir a un problema más sencillo

• RM: Descuentos y aumentos sucesivos




• Pruebas internacionales

260

266

272

282

283

283

284

289

Estadística y probabilidad

Pág. 290


• Tablas y gráficos estadísticos

• Gráfico de barras. Pictograma. Gráfico lineal. Gráfico de

sectores

• Medidas de tendencia central. Media aritmética. Mediana. Moda

• Probabilidad. Espacio muestral y suceso

• Probabilidad de un suceso

• Principios de conteo

292

294

295

298

302

303

304

• SP: Elaborar un diagrama de árbol

• RM: Comparación cuantitativa /

Suficiencia de datos

• TIC: Medidas de tendencia central con Excel




• Olimpiadas matemáticas

306

307

308

309

309

310

315

Geometría y medición

Pág. 316


• Punto, recta y plano

• Adición y sustracción de segmentos

• Ángulos. Operaciones. Bisectriz

• Ángulos. Clasificación. Complementarios y suplementarios

• Polígonos. Clasificación. Suma de ángulos interiores y

exteriores

• Movimientos en el plano. Rotación. Simetría.Traslación

318

320

323

325

329

332

337

• Taller de investigación: ¿Cómo construir

figuras con regla y compás?

• SP: Particularizar y generalizar

• RM: Conteo de figuras




• Revista matemática: Estaciones del Metro de Lima

328

336

342

343

343

344

349

Pág. 350


• Unidades de longitud. Astronómicas y microscópicas

• Unidades de superficie. Unidades agrarias

• Unidades de masa

• Unidades de capacidad y volumen

• Relación entre volumen y capacidad

• Relación entre volumen, capacidad y masa

352

354

358

361

362

365

366



• SP: Aproximar una medida

• TIC: Conversiones de unidades de medida con Excel





368

369

370

371

371

372

375

Pág. 376


• Triángulos. Ángulos interiores y exteriores del triángulo

• Líneas notables en el triángulo. Teorema de Pitágoras

• Cuadriláteros. Suma de los ángulos interiores de un

cuadrilátero

• Áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros

• Área de un polígono regular e irregular

• Circunferencia y círculo. Longitud y área

• Prisma y cilindro. Áreas

378

380

383

386

390

393

396

402

• RM: Trazado de figuras

• SP: Construir poliedros a partir de figuras

dibujadas en el plano

• Taller de investigación: ¿Qué son los

poliminós?





389

401

406

407

407

408

411

7

8

9

10

11

12

Ecuaciones de primer grado. Funciones

Proporcionalidad numérica


Rectas y ángulos. Movimientos en el plano

Unidades de medida

Figuras geométricas

Número, relaciones y funcionesUnidad Conocimientos Recursos TIC Páginas especiales

Pág. 8





• Criterios de divisibilidad

• Números primos y compuestos

• Mínimo común múltiplo (MCM)

• Máximo común divisor (MCD)

• Potenciación. Propiedades

• Radicación. Propiedades

10

12

22

24

25

28

30

32

36

39

• RM: Plantear una falsa suposición

• SP: Buscar un patrón

• TIC: Uso de la calculadora científica




• Revista matemática: Los grandes números

que día a día representan a los peruanos

20

21

42

43

43

44

49

Pág. 50


• Los números enteros

• Operaciones con números enteros. Adición. Propiedades

• Sustracción. Operaciones combinadas

• Multiplicación. Propiedades. Operaciones combinadas

• División. Propiedades. Operaciones combinadas



52

54

58

62

66

69

72

75

• TIC: El plano cartesiano

en el Geogebra

• RM: Operadores matemáticos

• SP: Empezar por el final





65

79

80

81

81

82

87

Pág. 88


• Fracciones



• Operaciones con fracciones. Adición y sustracción

• Multiplicación

• División. Fracciones complejas



90

92

96

98

100

104

106

110

111

• Taller de investigación: ¿Qué relación hay

entre la música y las fracciones?

• SP: Representar gráficamente los datos

de un problema

• RM: Analogías numéricas




• Revista matemática:

Radiografía del mal peatón y multasRadiografía del mal peatón y multas

103

109

114

115

115

116

121

Pág. 122


• Números decimales. Aproximación. Comparación

• Fracción generatriz de un número decimal

• Operaciones con números decimales. Adición y sustracción

• Multiplicación

• División

• Potenciación. Notación científica. Radicación

124

126

132

135

136

138

142

• SP: Estimar resultados

• RM: Operadores matemáticos /

Distribución y analogías

• TIC: Aproximación de decimales con Excel





141

145

146

147

147

148

153

Pág. 154




• Términos algebraicos semejantes. Reducción.

Valor numérico

• Monomios y polinomios. Grados relativo y absoluto

• Adición y sustracción de monomios

• Multiplicación y división de monomios

• Potenciación y radicación de monomios

156

158

160

163

166

170

174

177


entre la sucesión de Fibonacci y la geometría?

• SP: Organizar información en una tabla







162

173

180

181

181

182

187

Pág. 188


• Representación y determinación de conjuntos

• Inclusión de conjuntos. Subconjuntos

• Operaciones con conjuntos. Intersección de conjuntos

• Unión de conjuntos

• Diferencia de conjuntos. Diferencia simétrica.Complemento


• Producto cartesiano. Relación binaria

190

192

194

197

198

202

208

212

• SP: Elaborar un diagrama

• RM: Diagrama de Carroll

• Taller de investigación: ¿Qué relaciones

hay entre los cuadriláteros?





207

211

216

217

217

218

223

1

2

3

4

5

6

Números naturales

Números enteros

Fracciones

Números decimales

Expresiones algebraicas

Conjuntos

AC

TIVIDADE

S

M

ÁS DE

305

AC

TIVIDADE

S

M

ÁS DE

215

AC

TIVIDADE

S

M

ÁS DE

368

AC

TIVIDADE

S

M

ÁS DE

292

AC

TIVIDADE

S

M

ÁS DE

353

AC

TIVIDADE

S

M

ÁS DE

316

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XXII

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.L. 8

22

Guía metodológica XXIII12

ÍNDICE DEL LIBRO DEL ESTUDIANTE

Unidad Conocimientos Recursos TIC Páginas especiales

Pág. 224


• Igualdad. Ecuación. Términos. Propiedad de

las igualdades

• Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Resolución de ecuaciones con una sola operación

• Resolución de ecuaciones con dos o más operaciones

• Resolución de problemas

• Funciones. Análisis de una función

226

228

229

232

236

241

• RM: Problemas sobre edades

• SP: Elegir la incógnita

• TIC: Gráfica de funciones con Graphmatica




• Revista matemática: Televisión por cable

y por satélite

239

240

246

247

247

248

253

Pág. 254


• Proporcionalidad. Razón

• Proporciones. Clasificación. Propiedades

• Magnitudes directamente proporcionales

• Escalas

• Porcentajes

• Aplicaciones de porcentajes

• Magnitudes inversamente proporcionales

• Problemas con más de dos magnitudesProblemas con más de dos magnitudes

256

258

261

264

268

270

274

276

280

• Taller de investigación: ¿Qué relación hay entre

las áreas de las piezas del tangrama?

• TIC: Proporcionalidad con Excel

• SP: Reducir a un problema más sencillo

• RM: Descuentos y aumentos sucesivos





260

266

272

282

283

283

284

289


Pág. 290


• Tablas y gráficos estadísticos

• Gráfico de barras. Pictograma. Gráfico lineal. Gráfico de

sectores

• Medidas de tendencia central. Media aritmética. Mediana. Moda

• Probabilidad. Espacio muestral y suceso

• Probabilidad de un suceso

• Principios de conteo

292

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295

298

302

303

304

• SP: Elaborar un diagrama de árbol



• TIC: Medidas de tendencia central con Excel





306

307

308

309

309

310

315

Geometría y medición

Pág. 316


• Punto, recta y plano

• Adición y sustracción de segmentos

• Ángulos. Operaciones. Bisectriz

• Ángulos. Clasificación. Complementarios y suplementarios

• Polígonos. Clasificación. Suma de ángulos interiores y

exteriores

• Movimientos en el plano. Rotación. Simetría.Traslación

318

320

323

325

329

332

337

• Taller de investigación: ¿Cómo construir

figuras con regla y compás?

• SP: Particularizar y generalizar

• RM: Conteo de figuras




• Revista matemática: Estaciones del Metro de Lima

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336

342

343

343

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349

Pág. 350


• Unidades de longitud. Astronómicas y microscópicas

• Unidades de superficie. Unidades agrarias

• Unidades de masa

• Unidades de capacidad y volumen

• Relación entre volumen y capacidad

• Relación entre volumen, capacidad y masa

352

354

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361

362

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• SP: Aproximar una medida

• TIC: Conversiones de unidades de medida con Excel





368

369

370

371

371

372

375

Pág. 376


• Triángulos. Ángulos interiores y exteriores del triángulo

• Líneas notables en el triángulo. Teorema de Pitágoras

• Cuadriláteros. Suma de los ángulos interiores de un

cuadrilátero

• Áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros

• Área de un polígono regular e irregular

• Circunferencia y círculo. Longitud y área

• Prisma y cilindro. Áreas

378

380

383

386

390

393

396

402

• RM: Trazado de figuras

• SP: Construir poliedros a partir de figuras

dibujadas en el plano

• Taller de investigación: ¿Qué son los

poliminós?





389

401

406

407

407

408

411

7

8

9

10

11

12

Ecuaciones de primer grado. Funciones

Proporcionalidad numérica


Rectas y ángulos. Movimientos en el plano

Unidades de medida

Figuras geométricas

Número, relaciones y funcionesUnidad Conocimientos Recursos TIC Páginas especiales

Pág. 8





• Criterios de divisibilidad

• Números primos y compuestos

• Mínimo común múltiplo (MCM)

• Máximo común divisor (MCD)



10

12

22

24

25

28

30

32

36

39

• RM: Plantear una falsa suposición

• SP: Buscar un patrón

• TIC: Uso de la calculadora científica




• Revista matemática: Los grandes números

que día a día representan a los peruanos

20

21

42

43

43

44

49

Pág. 50


• Los números enteros

• Operaciones con números enteros. Adición. Propiedades

• Sustracción. Operaciones combinadas

• Multiplicación. Propiedades. Operaciones combinadas

• División. Propiedades. Operaciones combinadas



52

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58

62

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69

72

75

• TIC: El plano cartesiano

en el Geogebra

• RM: Operadores matemáticos

• SP: Empezar por el final





65

79

80

81

81

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87

Pág. 88


• Fracciones



• Operaciones con fracciones. Adición y sustracción

• Multiplicación

• División. Fracciones complejas



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92

96

98

100

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106

110

111


entre la música y las fracciones?

• SP: Representar gráficamente los datos

de un problema

• RM: Analogías numéricas




• Revista matemática:

Radiografía del mal peatón y multasRadiografía del mal peatón y multas

103

109

114

115

115

116

121

Pág. 122


• Números decimales. Aproximación. Comparación

• Fracción generatriz de un número decimal

• Operaciones con números decimales. Adición y sustracción

• Multiplicación

• División

• Potenciación. Notación científica. Radicación

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142

• SP: Estimar resultados

• RM: Operadores matemáticos /

Distribución y analogías

• TIC: Aproximación de decimales con Excel





141

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147

147

148

153

Pág. 154




• Términos algebraicos semejantes. Reducción.

Valor numérico

• Monomios y polinomios. Grados relativo y absoluto

• Adición y sustracción de monomios

• Multiplicación y división de monomios

• Potenciación y radicación de monomios

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entre la sucesión de Fibonacci y la geometría?

• SP: Organizar información en una tabla







162

173

180

181

181

182

187

Pág. 188


• Representación y determinación de conjuntos

• Inclusión de conjuntos. Subconjuntos

• Operaciones con conjuntos. Intersección de conjuntos

• Unión de conjuntos

• Diferencia de conjuntos. Diferencia simétrica.Complemento


• Producto cartesiano. Relación binaria

190

192

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197

198

202

208

212

• SP: Elaborar un diagrama

• RM: Diagrama de Carroll

• Taller de investigación: ¿Qué relaciones

hay entre los cuadriláteros?





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217

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Números naturales

Números enteros

Fracciones

Números decimales

Expresiones algebraicas

Conjuntos

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AC

TIVIDADE

S

M

ÁS DE

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AC

TIVIDADE

S

M

ÁS DE

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AC

TIVIDADE

S

M

ÁS DE

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AC

TIVIDADE

S

M

ÁS DE

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AC

TIVIDADE

S

M

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Guía metodológica XXIII13

1.° de Secundaria

Razonamiento y demostración Analiza las propiedades y procesos algorítmicos de las operaciones con números naturales.

Comunicación matemática Interpreta los procesos matemáticos en las propiedades de los números y en las sucesiones numéricas.

Resolución de problemas Resuelve problemas de traducción simple y compleja con números naturales y sus operaciones.

Capacidades

Presentación de la aperturaLa apertura presenta una situación cotidiana en el uso de los números naturales: el código de barras.

Se presenta un texto corto para dar inicio a la información que el estudiante investigará.

La sección “Nos preparamos para la clase”, se formulan preguntas y se sugiere un enlace a internet para apoyar a los alumnos en el proceso de anticipación a lo que van a estudiar. Esta etapa culmina con la presentación del trabajo grupal.

Realice una lectura de los criterios de evaluación que deben tener en cuenta los estudiantes (ver matriz de valoración de las páginas 48 y 49).

En la parte final de la apertura, se presentan los logros que deben alcanzar los estudiantes al término de la unidad.


• Valora la precisión y la utilidad del lenguaje numérico, para representar, comunicar y resolver situaciones de contexto matemático y de la vida real.

• Confía en sus capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones numéricas.

Actitudes






Conocimientos

UNIDAD 1

Inicio Utilice la herramienta destacar para enfocar la atención de los estudiantes en el texto inicial.

Use el botón zoom de selección para ampliar el código de barras del producto mostrado y analizar con los estudiantes su estructura: código del país, el fabricante, el producto y el control. Pida que observen diferentes empaques de productos alimenticios y que identifiquen en ellos las barras, espacios y números que componen los códigos. Motive a que encuentren las semejanzas.

Desarrollo• Presente a los estudiantes las pautas para la investigación a partir de las preguntas propuestas en la sección

“Nos preparamos para la clase”. Anímelos a que intercambien información sobre el tema.

Invítelos a revisar el recurso enlace web para complementar la información sobre los códigos de barras.

• Pida que se organicen en grupos para que presenten su investigación al resto de la clase.

• Proponga a los estudiantes que realicen la autoevaluación y coevaluación de las actividades realizadas.

• Revise las capacidades que se proponen para el desarrollo de la unidad, de manera que los estudiantes analicen qué procesos cognitivos y procedimentales serán necesarios aplicar.

Cierre• Presente otra de las aplicaciones de los números naturales (ver “Información complementaria”).

Sesión de aprendizaje

Números naturales1Unidad

1. Investigamos sobre el tema y expresamos en clase nuestras opiniones y preguntas.

• Traigan al aula tres productos alimenticios elaborados en el Perú y observen su código de barras. Luego, respondan:

– ¿Qué número identifica a los productos peruanos?

– ¿Qué número identifica al fabricante?

– ¿Qué significado tienen los demás números?

– Calculen el dígito de control de cada uno de los códigos de barras de los productos que han traído.

• ¿Qué ventajas proporciona el uso del código de barras?

• ¿Qué otras funciones se realizan con los números naturales? ¿Para qué los usan ustedes?

• Los códigos de barras de las publicaciones tienen un identificador universal: 978. Indiquen el significado de las cifras que tiene el código de barras de su libro de Matemática.

2. Ingresamos a las siguientes páginas web:

• http://bpa.peru-v.com/codigo_de_barras.htm • http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_de_barras

3. En grupos, realizamos lo siguiente:

• Comparamos la información que hemos investigado.• Sacamos conclusiones acerca de las ventajas del código de

barras y la utilidad de los números naturales.

Los números del código de barras

Casi todos los artículos que hay en el mercado: alimentos, herramientas, útiles de

escritorio, etc., llevan un código de barras que se emplea como identificador y control

de la producción, de los servicios y de la distribución. Cuando compramos un producto,

tan solo pasándolo por la luz óptica, quedan registrados en la boleta de venta el

nombre, precio y cantidad del artículo y automáticamente se resta de las cantidades

que hay disponibles.

Estos códigos tienen una simbología que manejan como estándares y están

representados por barras, espacios y números. Presentan la siguiente estructura: tres

dígitos que identifican al país, (al Perú le corresponde el número 775), cuatro dígitos

que corresponden al fabricante, cinco dígitos que se le asignan al producto y un último

dígito de control que se calcula después de determinar los doce números anteriores.

8

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• Interpretar el significado de los números naturales y de sus propiedades en diversas situaciones y contextos.

• Realizar estimaciones de operaciones usando estrategias de cálculo.

• Identificar, generalizar y simbolizar patrones numéricos.

• Aplicar la divisibilidad de los números naturales en la resolución de problemas.

• Resolver problemas de traducción simple y compleja que involucran números naturales y sus operaciones.

• Simplificar y resolver operaciones aplicando las propiedades de la potenciación y la radicación.

Aprenderemos a...

Para el código de barras 775 1271 01171 6, el dígito de control se calcula así:

• Se suman los números de los lugares pares: 7 + 1 + 7 + 0 + 1 + 1 = 17

• El resultado se multiplica por 3: 17 × 3 = 51

• Se suman los números de los lugares impares: 7 + 5 + 2 + 1 + 1 + 7 = 23

• Se realiza la suma total: 51 + 23 = 74

• Se halla el múltiplo de 10 más próximo a 74: 80

• Dígito de control: 80 – 74 = 6

Fíjate cómo se calcula el dígito de control de este

producto, cuyo código de barras es

775 1271 01171 6.

Unidad 1 Números naturales 9

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Unidad 18

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14 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Razonamiento y demostración Analiza las propiedades y procesos algorítmicos de las operaciones con números naturales.

Comunicación matemática Interpreta los procesos matemáticos en las propiedades de los números y en las sucesiones numéricas.

Resolución de problemas Resuelve problemas de traducción simple y compleja con números naturales y sus operaciones.

Capacidades

Presentación de la aperturaLa apertura presenta una situación cotidiana en el uso de los números naturales: el código de barras.

Se presenta un texto corto para dar inicio a la información que el estudiante investigará.

La sección “Nos preparamos para la clase”, se formulan preguntas y se sugiere un enlace a internet para apoyar a los alumnos en el proceso de anticipación a lo que van a estudiar. Esta etapa culmina con la presentación del trabajo grupal.

Realice una lectura de los criterios de evaluación que deben tener en cuenta los estudiantes (ver matriz de valoración de las páginas 48 y 49).

En la parte final de la apertura, se presentan los logros que deben alcanzar los estudiantes al término de la unidad.


• Valora la precisión y la utilidad del lenguaje numérico, para representar, comunicar y resolver situaciones de contexto matemático y de la vida real.

• Confía en sus capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones numéricas.

Actitudes






Conocimientos

UNIDAD 1

Inicio Utilice la herramienta destacar para enfocar la atención de los estudiantes en el texto inicial.

Use el botón zoom de selección para ampliar el código de barras del producto mostrado y analizar con los estudiantes su estructura: código del país, el fabricante, el producto y el control. Pida que observen diferentes empaques de productos alimenticios y que identifiquen en ellos las barras, espacios y números que componen los códigos. Motive a que encuentren las semejanzas.

Desarrollo• Presente a los estudiantes las pautas para la investigación a partir de las preguntas propuestas en la sección

“Nos preparamos para la clase”. Anímelos a que intercambien información sobre el tema.

Invítelos a revisar el recurso enlace web para complementar la información sobre los códigos de barras.

• Pida que se organicen en grupos para que presenten su investigación al resto de la clase.

• Proponga a los estudiantes que realicen la autoevaluación y coevaluación de las actividades realizadas.

• Revise las capacidades que se proponen para el desarrollo de la unidad, de manera que los estudiantes analicen qué procesos cognitivos y procedimentales serán necesarios aplicar.

Cierre• Presente otra de las aplicaciones de los números naturales (ver “Información complementaria”).





























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Aprenderemos a...










775 1271 01171 6.


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Unidad 18

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Atención a la diversidadEn esta sección nos aseguraremos de satisfacer los diferentes ritmos de aprendizaje. Proponemos actividades inclusivas para motivar la integración de todos los estudiantes.

Se recomienda realizar esta actividad en el patio del colegio.

Pida a los estudiantes que se formen en grupos de cinco y entregue a cada grupo 10 tarjetas tamaño A4 con las cifras del 0 al 9. Cada integrante se hará responsable de dos tarjetas.

Indique a los estudiantes que con estas tarjetas formarán números que cumplan con la condición que se vaya mencionando, como por ejemplo:

• El mayor número de cifras pares.

• El menor número de cifras impares.

• El menor número de cinco cifras.

• El mayor número de cinco cifras.

• El mayor número par de cinco cifras.

• El menor número impar de siete cifras.

Gana un punto el grupo que forma primero cada número.

Cultivando valoresRespeto a la vida• Muestra sensibilidad ante las

necesidades humanas de su entorno.

• Participa en el cuidado y preservación de su medio ambiente.

Tema transversalEducación en valores o formación éticaSistema Integral de Identificación Vehicular (SIIV)

A partir del 1 de enero de 2010 entró en vigencia el nuevo Sistema Integral de Identificación Vehicular, creado con el fin de evitar la falsificación o adulteraciones de las placas vehiculares. En las nuevas placas de rodaje, el primer caracter representa la zona registral donde está inscrito el vehículo, mientras que el segundo y tercer caracteres solo son correlativos y pueden ser alfanuméricos. Aquí se muestran algunos ejemplos de placas de rodaje.

• Averigua cuáles son los caracteres utilizados en el registro de los vehículos en las diferentes regiones del país. Luego, establece un patrón y crea una sucesión de placas de rodaje.

• Investiga los caracteres empleados en las placas de los vehículos policiales y diplomáticos, carros de bomberos y ambulancias.


A, B, C y D: Lima y CallaoP: Tumbes y PiuraM: Cajamarca, Lambayeque y AmazonasX: Cusco, Apurímac y Madre de Dios AUTO PARTICULAR TAXI BUS URBANO




























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Aprenderemos a...










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15Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Razonamiento y demostración Ordena los números naturales siguiendo un criterio y utilizando el tablero posicional.

Selecciona procesos algorítmicos adecuados para resolver problemas.

Comunicación matemática Da ejemplos sobre la utilidad de los números naturales en situaciones cotidianas.

Utiliza estrategias de cálculo mental.

Resolución de problemas Representa información cuantitativa y establece relaciones operativas.

Resuelve problemas de contexto real.

Indicadores de logro

Información complementariaLos fundamentos que no pueden faltarEl concepto de saberes previos nos conduce a la construcción del aprendizaje significativo. Para promover un aprendizaje significativo, se deben tener en cuenta los conocimientos actitudinales y procedimentales, y cómo estos van a interactuar con la nueva información que recibirán los estudiantes en la sesión de aprendizaje.

Las experiencias previas de aprendizaje garantizan el éxito en el desarrollo de las capacidades de los estudiantes y en la satisfacción personal del docente, al verificar que su práctica educativa es eficiente y eficaz.

Inicio• Destaque con los estudiantes las cuatro capacidades que se van a desarrollar para recuperar sus saberes previos.

Permítales que muestren sus habilidades en el desarrollo de las actividades.

• Pregunte lo siguiente: ¿Qué actividades necesitan practicar más? ¿Qué recursos les facilitan el aprendizaje?

Desarrollo• Organice a los estudiantes en parejas y motívelos a intercambiar información para desarrollar las actividades

propuestas.

• Propóngales que resuelvan las actividades interactivas de la primera página web, para reforzar el armado de números con 5 dígitos y la composición y descomposición de números; y de la segunda página web, para practicar el ordenamiento de números en forma creciente y decreciente.

Cierre• Forme grupos de tres integrantes para resolver la actividad que a continuación presentamos.


Reco rda mos lo qu e sa be mos

Liliana elaboró esta tabla con la extensión territorial de los países que limitan con el Perú.

País Ecuador Colombia Brasil Bolivia Chile

Extensión (km) 265 800 1 141 748 8 511 965 1 098 581 736 903

a) Ubica estos números en el tablero posicional (ver margen).

b) Escribe en letras el número que indica la extensión del país más pequeño. ___________________________________________________________

c) Escribe en letras el número que indica la extensión del país más grande. ___________________________________________________________

d) Ordena los países de mayor a menor extensión. ___________________________________________________________

Escribe un número cualquiera que cumpla con las condiciones indicadas. Luego, anota cómo se lee.

a) Es mayor que cien millones y menor que mil millones. _______________ se lee ______________________________________

b) La cifra de las decenas de millón es la mitad de la cifra de las decenas. _______________ se lee ______________________________________

c) Las cifras de las unidades de mil, decenas de mil y centenas de mil son cero. _______________ se lee ______________________________________

d) Es mayor que doscientos cincuenta mil pero menor que trescientos mil. _______________ se lee ______________________________________

Reconocemos la utilidad de los números naturales ¿Cuántas páginas tiene tu libro de Matemática? ________ ¿Es un número na-tural? _______. En este caso, ¿para qué se han usado los números naturales? _______________________.

Mayra compró 3 cuentos. Si cada cuento le costó S/.8, ¿cuánto pagó? ______ ¿Es un número natural? _________. En esta actividad, ¿para qué se han usado los números naturales? __________________________________________.

¿El número de tu DNI es un número natural? ____________. ¿Para qué sirve el número del DNI? ____________________________________________.

Ubica el código de barras de este libro. ¿Qué número tiene escrito? __________________. ¿Es un número natural? ______________. ¿Para qué sirve este número? ___________________________.

Da un ejemplo de la utilidad de los números naturales para cada caso.

a) Para contar: _________________________________________________b) Para calcular: ________________________________________________c) Para identificar: ______________________________________________

Comparamos números naturales

Umill CM DM UM C D U

Visita la siguiente pági-na web:

http://www.campustercertermino.com/ttpresenter/tinta_fresca/2009/mati_juegos11/naturales.swf

¿Qué valor de posición tiene el 8 en cada

uno de los números?

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.L. 8

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Para identificar a las personas

Para contar

Para hacer cálculos

Para codificar

Sí

416

Sí

S/. 24

Sí

Sí

Doscientos sesenta y cinco mil ochocientos.

Ocho millones quinientos once mil novecientos sesenta y cinco.

Brasil, Colombia, Bolivia, Chile y Ecuador

Respuesta modelo

200 500 000 Doscientos millones quinientos mil

130 000 060 Ciento treinta millones sesenta

3 000 521 Tres millones quinientos veintiuno

287 000 Doscientos ochenta y siete mil

008_019 U01M1 10 6/7/11 9:09:16 AM

Considera la sucesión 5; 8; 11; 14; ...

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos? _______________

b) Encuentra los 16 términos siguientes de la sucesión. _________________

__________________________________________________________

Calcula dos términos más en cada sucesión.

a) 4; 8; 12; 16; 20; ______________ b) 3; 6; 12; 24; ______________

CONOCIMIENTOS PREVIOS

La leyenda del afiche muestra la cantidad de asistentes a Mistura, el evento gastronómico y sociocultural más importante que se realiza una vez al año.

a) ¿Cuántas personas asistieron durante los dos años? _________________

b) ¿Cuántos asistentes más hubo en el 2010? _________________________

c) Si en el 2010 la entrada costó S/. 20, ¿cuánto se recaudó? ________________________________________________________________________

Observa la estrategia para sumar mentalmente 999 a un número natural. Lue-go, calcula.

a) 6 343 + 999 = ______________ d) 12 630 + 999 = _______________

b) 7 324 + 999 = ______________ e) 15 631 + 9 999 = ______________

c) 8 047 + 999 = ______________ f) 73 463 + 9 999 = ______________

Busca el camino para llegar al final. Puedes pasar de un recuadro a otro solo si el resultado del siguiente recuadro es uno más que el anterior.

Resolvemos operaciones con números naturales

Al sumar 1 y restar 1, el resultado

no varía.7 946 + 999 = 7 946 + 1 000 – 1 = 8 946 – 1 = 8 945

9 + 1 × 5

8 ÷ 4 + 66 ÷ 33

24 ÷ 3 – 18 ÷ 6

37 – 5 × 7

144 ÷ 12 – 1

76 ÷ 4 – 19

8 ÷ 8 + 1

57 – 9 – 45

2 × 22 – 38

27 ÷ 9 + 6

4 × 3 – 2 × 1

9 × 4 – 72 ÷ 3

46 – 9 × 5

33 ÷ 3 – 2

19 – 144 ÷ 12

36 ÷ 6 + 2

3 + 5 × 2 + 1

FINAL

COMIENZO

Mistura 2009 fue un gran éxito. Hubo 150 000 asistentes.

Mistura 2010 reunió lo mejor de la gastronomía peruana y disfrutaron de ella 200 000 personas.

Puedes moverte hacia arriba, hacia

abajo, hacia los lados o diagonalmente sobre la ruta indicada, pero no

puedes pasar dos veces por un mismo

recuadro.

Simbolizamos expresiones matemáticas


© S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u re

prod

ucci

ón. D

.L. 8

22

350 000

7 342

8 323

9 046

3

24; 28

50 000

200 000 × 20 = S/. 4 000 000

13 629

25 630

83 462

17; 20; 23; 26; 29; 32; 35; 38; 41; 44; 47; 50; 53; 56; 59; 62

48; 96

1

7

8

4

5

11

0

2

3

6

9

10

12

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Unidad 110

© S

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.L. 8

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. Pro

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.L. 8

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.L. 8

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prod

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.L. 8

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G008_029 U01M1.indd 10 7/15/11 10:52:14 AM















propuestas.







Extensión (km) 265 800 1 141 748 8 511 965 1 098 581 736 903






















10

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. Pro

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u re

prod

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.L. 8

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Para contar


Para codificar

Sí

416

Sí

S/. 24

Sí

Sí




Respuesta modelo





008_019 U01M1 10 6/7/11 9:09:16 AM




__________________________________________________________


a) 4; 8; 12; 16; 20; ______________ b) 3; 6; 12; 24; ______________







a) 6 343 + 999 = ______________ d) 12 630 + 999 = _______________

b) 7 324 + 999 = ______________ e) 15 631 + 9 999 = ______________

c) 8 047 + 999 = ______________ f) 73 463 + 9 999 = ______________




no varía.7 946 + 999 = 7 946 + 1 000 – 1 = 8 946 – 1 = 8 945

9 + 1 × 5

8 ÷ 4 + 66 ÷ 33

24 ÷ 3 – 18 ÷ 6

37 – 5 × 7

144 ÷ 12 – 1

76 ÷ 4 – 19

8 ÷ 8 + 1

57 – 9 – 45

2 × 22 – 38

27 ÷ 9 + 6

4 × 3 – 2 × 1

9 × 4 – 72 ÷ 3

46 – 9 × 5

33 ÷ 3 – 2

19 – 144 ÷ 12

36 ÷ 6 + 2

3 + 5 × 2 + 1

FINAL

COMIENZO






recuadro.



© S

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S.A

. Pro

hibi

da s

u re

prod

ucci

ón. D

.L. 8

22

350 000

7 342

8 323

9 046

3

24; 28

50 000

200 000 × 20 = S/. 4 000 000

13 629

25 630

83 462

17; 20; 23; 26; 29; 32; 35; 38; 41; 44; 47; 50; 53; 56; 59; 62

48; 96

1

7

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5

11

0

2

3

6

9

10

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008_019 U01M1 11 6/7/11 9:09:17 AM

Unidad 110

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• El cuadro muestra las distancias que hay entre el Sol y los planetas.

Planetas Distancias al Sol (km) a) Nombren los planetas que tienen menos de 200 000 000 km de distancia al Sol.

_________________________________________________________

b) ¿Cuáles son los planetas que tienen entre 200 000 000

y 800 000 000 km de distancia al Sol?

_________________________________________________________

c) Nombren los planetas con más de mil millones de kilómetros de distancia al Sol.

_________________________________________________________

Marte 227 800 000

Mercurio 57 870 000

Venus 108 140 000

Urano 2 880 000 000

Tierra 149 504 201

Neptuno 4 494 000 000

Júpiter 777 800 000

Saturno 1 430 000 000

• Evalúe la información obtenida en el desarrollo de ejercicios y establezca una relación con los indicadores de logro propuestos.

Más actividades• Enfatice la jerarquía en la solución de

operaciones combinadas sin signos de agrupación.

• Presente ejercicios resueltos para que los estudiantes evalúen los procesos aplicados.

a) 5 × 3 + 5 + 10 – 5 × 4 = 15

b) 216 ÷ 24 + 67 × 3 = 210

c) 76 × 12 – 346 ÷ 26 + 100 = 898

d) 7 × 5 × 3 – 6 + 2 × 8 – 6 x 4 = 95

e) 100 – 121 ÷ 11 × 64 ÷ 8 + 35 = 47

• Muestre el siguiente cuadro y pida a los estudiantes que lo completen.

× + = 7

× × + +

× 3 – =

+ ÷ + ÷

3 ÷ × =

= = = =

+ 2 – =

��

��

Mercurio, Venus, Tierra

Marte, Júpiter

Saturno, Urano. Neptuno

3 2 1

2 4 2

3 3 3

9 8 3




Extensión (km) 265 800 1 141 748 8 511 965 1 098 581 736 903






















10

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S.A

. Pro

hibi

da s

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prod

ucci

ón. D

.L. 8

22


Para contar


Para codificar

Sí

416

Sí

S/. 24

Sí

Sí




Respuesta modelo





008_019 U01M1 10 6/7/11 9:09:16 AM




__________________________________________________________


a) 4; 8; 12; 16; 20; ______________ b) 3; 6; 12; 24; ______________







a) 6 343 + 999 = ______________ d) 12 630 + 999 = _______________

b) 7 324 + 999 = ______________ e) 15 631 + 9 999 = ______________

c) 8 047 + 999 = ______________ f) 73 463 + 9 999 = ______________




no varía.7 946 + 999 = 7 946 + 1 000 – 1 = 8 946 – 1 = 8 945

9 + 1 × 5

8 ÷ 4 + 66 ÷ 33

24 ÷ 3 – 18 ÷ 6

37 – 5 × 7

144 ÷ 12 – 1

76 ÷ 4 – 19

8 ÷ 8 + 1

57 – 9 – 45

2 × 22 – 38

27 ÷ 9 + 6

4 × 3 – 2 × 1

9 × 4 – 72 ÷ 3

46 – 9 × 5

33 ÷ 3 – 2

19 – 144 ÷ 12

36 ÷ 6 + 2

3 + 5 × 2 + 1

FINAL

COMIENZO






recuadro.



© S

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. Pro

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prod

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ón. D

.L. 8

22

350 000

7 342

8 323

9 046

3

24; 28

50 000

200 000 × 20 = S/. 4 000 000

13 629

25 630

83 462

17; 20; 23; 26; 29; 32; 35; 38; 41; 44; 47; 50; 53; 56; 59; 62

48; 96

1

7

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5

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0

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3

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Inicio• Motive a los estudiantes a identificar y recortar datos numéricos de revistas, periódicos, encartes, etc.

• Propicie el diálogo entre los estudiantes en torno a las aplicaciones de los números naturales en la vida cotidiana.

• Presente casos aplicados al cálculo e interpretación de información cuantitativa que permita a los estudiantes reconocer los procesos algorítmicos que se aplican en cada caso.

• Proponga ejemplos para que los estudiantes identifiquen las propiedades de las operaciones de adición, sustracción y multiplicación, y dé ejemplos de cálculo mental donde se apliquen estas propiedades.

Desarrollo• Explique de manera general cómo se desarrollarán las actividades durante la sesión de aprendizaje.

• Proponga la recreación de la situación propuesta en esta página, y pida a los estudiantes que analicen el proceso algorítmico aplicado y su respectiva comprobación.

• Muestre, a través del ejemplo 1, el uso de los signos de agrupación para resolver la situación planteada.

Utilice la herramienta subrayar para resaltar las propiedades de la adición, y pida a los estudiantes que mencionen ejemplos de cada una. Luego, pregunte: ¿Qué propiedades no se cumplen en la sustracción?


Razonamiento y demostración Relaciona los elementos de la adición y sustracción para realizar la comprobación de los resultados.

Comunicación matemática Representa simbólicamente las propiedades de la adición y sustracción.

Resolución de problemas Interpreta y resuelve problemas que implican el uso de signos de agrupación.


Cálculo mentalRefuerce el cálculo mental a través de estas estrategias:

• Para sumar 999 a un número: suma 1 000 y después resta 1.

342 + 999

342 + 1 000 – 1 = 1 342 – 1 = 1 341

• Para sumar números de dos o tres cifras: descompón el número en centenas, decenas y unidades, y después aplica las propiedades para realizar los cálculos respectivos.

340 + 56 + 302 =

300 + 40 + 50 + 6 + 300 + 2 =

600 + 90 + 8 = 698

Juego “El dieciocho”– Se necesitan dos jugadores por tablero,

tres fichas o botones por jugador y el tablero que se muestra.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

– Cada jugador, por turno, colocará una ficha en una casilla con el propósito de que al final los tres números sumen 18 y a la vez impedir que lo logre antes el contricante.

– Si los jugadores colocan las tres fichas y ninguno consigue 18, irán cambiando las fichas, por turno, según les convenga.

– Gana el jugador que primero consiga sumar 18.

Voy a a p re n de r

Para valorar y utilizar el

lenguaje numérico al comunicar y

resolver diferentes situaciones de

contexto matemático y real.

¿Para qué estudiamos esto?

Ejemplo 1 Resuelvo problemas de adición y sustracción

Un colegio hizo un pedido de buzos. El primer día, les enviaron 350 buzos; el segundo día, 132 buzos más que el primero, y el tercer y último día, 35 buzos menos que el segundo día. ¿Cuántos buzos se pidieron en total?

• Sumamos la cantidad de buzos que les enviaron cada día:

1.er día 2.o día 3.er día

350 + (350 + 132) + (350 + 132) – 35 350 + 482 + 447 = 1 279

Se pidieron 1 279 buzos.

Ejemplo 3 Descubro valores ocultos

Calcula __

ab + __

bc + __

ca si a + b + c = 16.

• Ordenamos verticalmente y sumamos:

__

ab +

__ bc

__

ca

176

Entonces, __

ab + __

bc + __

ca = 176.

Ejemplo 2 Resuelvo operaciones combinadas de adición y sustracción

Calcula 93 – [175 – (92 + 45)] – (87 – 76).

93 – [175 – (92 + 45)] – (87 – 76) = 93 – [175 – 137] – 11 = 93 – 38 – 11 = 55 – 11 = 44

Halla el resultado de 197 – [23 – (12 + 5)] – (164 – 135).

1. Operaciones con números naturales 1.1. Adición y sustracciónUn globo de helio fue soltado en la playa La Herradura, en Lima, alcanzando 3 330 m de altura sobre el nivel del mar. Un fuerte viento lo llevó hacia el este perdiendo 1 480 m de altura. Si cayó en el kilómetro 70 de la carretera Central, ¿a qué altura cayó el globo?

• Para saber a qué altura cayó el globo, calculamos 3 330 – 1 480:

Técnica operativa 3 3 3 0 – 1 4 8 0

1 8 5 0

Comprobamos con la suma 1 4 8 0 + 1 8 5 0

3 3 3 0

El globo cayó a 1 850 m.s.n.m.

Signos de agrupación

Cuando hay signos de agrupación, se suprimen en orden, del más interno al más externo.

{ [ ( ... ) ] }1.o

2.o

3.o

En la columna de las decenas, a + b + c + 1 = 16 + 1 = 17.

En la columna de las unidades, a + b + c = 16. Escribimos 6 y llevamos 1.

Resolvemos los paréntesis.

Resolvemos los corchetes.

Resolvemos las sustracciones en el orden en que aparecen.

Con á lgebra

Propiedades de la adición

∀ a, b, c ∈ IN

Clausura: a + b ∈ INConmutativa: a + b = b + a

Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a

12

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162

008_019 U01M1 12 6/7/11 9:09:19 AM

Ejemplo 6 Aplico estrategias de cálculo mental

Calcula el valor de 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 17 + 18 + 19 + 20.

• Sumamos el primero con el último, el segundo con el penúltimo...

1 + 2 + 3 + 4 + 5 …. 16 + 17 + 18 + 19 + 20

• Calculamos el valor pedido: 10 × 21 = 210

Calcula 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + ... + 33 + 34 + 35.

En un centro de votación hay 39 mesas de elección. Si en cada mesa deben sufragar un promedio de 170 electores, ¿cuántas personas deben sufragar en dicho centro de votación?

• Para saber cuántas personas deben sufragar, calculamos 170 × 39 de dos formas:

1.a FORMA Técnica operativa

170 × 9 170 × 30

2.a FORMA Propiedad distributiva

170 × 39 = 170 × (40 – 1)

= 170 × 40 – 170 × 1

= 6 800 – 170

= 6 630

En el centro de votación deben sufragar 6 630 personas.

1.2. Multiplicación

Ejemplo 5 Aplico propiedades de la multiplicación

Si 7 × 17 = 119, demuestra que 35 × 34 = 1 190.

7 × 17 × 10 = 119 × 10

7 × 17 × 5 × 2 = 119 × 5 × 2

7 × 5 × 17 × 2 = 119 × 5 × 2

35 × 34 = 1 190

Si 25 × 49 = 1 225, ¿calcula mentalmente el doble de 25 por el quíntuple de 49? Explica a un compañero cómo lo hiciste.

Ejemplo 4 Resuelvo problemas

Observa en la tabla las fichas que ganaron Sara, Ana y Juan. Si por cada ficha roja se ganan 50 puntos y por cada ficha azul, 30 puntos, ¿quién ganó el juego?

• Calculamos el puntaje de cada uno y completamos la tabla:

Sara � 4 × 50 + 3 × 30 = 200 + 90 = 290

Ana � 2 × 50 + 6 × 30 = 100 + 180 = 280

Juan � 3 × 50 + 5 × 30 = 150 + 150 = 300

Juan ganó el juego porque obtuvo el mayor puntaje.

• 15 · 3 = 45

• 15 × 3 = 45

• 15(3) = 45

• (15)(3) = 45

Sara Ana Juan

Rojas 4 2 3

Azules 3 6 5

Puntaje 290 280 300

1 7 0 × 3 9

1 5 3 0 5 1 0 0

6 6 3 0

Se forman diez pares de números que suman 21.

Una multiplicación se puede expresar de las

siguientes formas.

Propiedad de monotonía: Si a = b → a · c = b · c; c ≠ 0

Conviene descomponer 10 en 5 × 2

Propiedad asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c

Con á lgebra

Propiedades de la multiplicación

∀ a, b, c ∈ IN

Clausura: a · b ∈ INConmutativa: a · b = b · a

Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · cElemento neutro: a · 1 = 1 · a = a

Monotonía: si a = b → a · c = b · c; c ≠ 0


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602

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Unidad 112

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Inicio• Motive a los estudiantes a identificar y recortar datos numéricos de revistas, periódicos, encartes, etc.

• Propicie el diálogo entre los estudiantes en torno a las aplicaciones de los números naturales en la vida cotidiana.

• Presente casos aplicados al cálculo e interpretación de información cuantitativa que permita a los estudiantes reconocer los procesos algorítmicos que se aplican en cada caso.

• Proponga ejemplos para que los estudiantes identifiquen las propiedades de las operaciones de adición, sustracción y multiplicación, y dé ejemplos de cálculo mental donde se apliquen estas propiedades.

Desarrollo• Explique de manera general cómo se desarrollarán las actividades durante la sesión de aprendizaje.

• Proponga la recreación de la situación propuesta en esta página, y pida a los estudiantes que analicen el proceso algorítmico aplicado y su respectiva comprobación.

• Muestre, a través del ejemplo 1, el uso de los signos de agrupación para resolver la situación planteada.

Utilice la herramienta subrayar para resaltar las propiedades de la adición, y pida a los estudiantes que mencionen ejemplos de cada una. Luego, pregunte: ¿Qué propiedades no se cumplen en la sustracción?


Razonamiento y demostración Relaciona los elementos de la adición y sustracción para realizar la comprobación de los resultados.

Comunicación matemática Representa simbólicamente las propiedades de la adición y sustracción.

Resolución de problemas Interpreta y resuelve problemas que implican el uso de signos de agrupación.


Cálculo mentalRefuerce el cálculo mental a través de estas estrategias:

• Para sumar 999 a un número: suma 1 000 y después resta 1.

342 + 999

342 + 1 000 – 1 = 1 342 – 1 = 1 341

• Para sumar números de dos o tres cifras: descompón el número en centenas, decenas y unidades, y después aplica las propiedades para realizar los cálculos respectivos.

340 + 56 + 302 =

300 + 40 + 50 + 6 + 300 + 2 =

600 + 90 + 8 = 698

Juego “El dieciocho”– Se necesitan dos jugadores por tablero,

tres fichas o botones por jugador y el tablero que se muestra.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

– Cada jugador, por turno, colocará una ficha en una casilla con el propósito de que al final los tres números sumen 18 y a la vez impedir que lo logre antes el contricante.

– Si los jugadores colocan las tres fichas y ninguno consigue 18, irán cambiando las fichas, por turno, según les convenga.

– Gana el jugador que primero consiga sumar 18.

Voy a a p re n de r










350 + (350 + 132) + (350 + 132) – 35 350 + 482 + 447 = 1 279



Calcula __

ab + __

bc + __

ca si a + b + c = 16.


__

ab +

__ bc

__

ca

176

Entonces, __

ab + __

bc + __

ca = 176.


Calcula 93 – [175 – (92 + 45)] – (87 – 76).

93 – [175 – (92 + 45)] – (87 – 76) = 93 – [175 – 137] – 11 = 93 – 38 – 11 = 55 – 11 = 44





1 8 5 0


3 3 3 0




{ [ ( ... ) ] }1.o

2.o

3.o






Con á lgebra


∀ a, b, c ∈ IN




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1 + 2 + 3 + 4 + 5 …. 16 + 17 + 18 + 19 + 20


Calcula 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + ... + 33 + 34 + 35.




170 × 9 170 × 30


170 × 39 = 170 × (40 – 1)

= 170 × 40 – 170 × 1

= 6 800 – 170

= 6 630




Si 7 × 17 = 119, demuestra que 35 × 34 = 1 190.

7 × 17 × 10 = 119 × 10

7 × 17 × 5 × 2 = 119 × 5 × 2

7 × 5 × 17 × 2 = 119 × 5 × 2

35 × 34 = 1 190





Sara � 4 × 50 + 3 × 30 = 200 + 90 = 290

Ana � 2 × 50 + 6 × 30 = 100 + 180 = 280

Juan � 3 × 50 + 5 × 30 = 150 + 150 = 300


• 15 · 3 = 45

• 15 × 3 = 45

• 15(3) = 45

• (15)(3) = 45

Sara Ana Juan

Rojas 4 2 3

Azules 3 6 5

Puntaje 290 280 300

1 7 0 × 3 9

1 5 3 0 5 1 0 0

6 6 3 0



siguientes formas.




Con á lgebra


∀ a, b, c ∈ IN






© S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u re

prod

ucci

ón. D

.L. 8

22

12 250

602

008_019 U01M1 13 6/7/11 9:09:21 AM

Unidad 112

© S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u re

prod

ucci

ón. D

.L. 8

22

© S

antil

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S.A

. Pro

hibi

da s

u re

prod

ucci

ón. D

.L. 8

22

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. Pro

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.L. 8

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. Pro

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prod

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ón. D

.L. 8

22

G008_029 U01M1.indd 12 7/15/11 10:52:19 AM

• Explique, a partir del ejemplo 3, cómo hallar los valores ocultos de un número teniendo en cuenta el valor posicional.

• Forme equipos y pida que desarrollen los ejercicios propuestos ( ) para evaluar sus procedimientos. Indique a los estudiantes que expliquen los procesos que han realizado, para favorecer el trabajo colaborativo y las actitudes matemáticas.

• Pídales que comprueben las propiedades de la multiplicación a través de ejemplos.

Cierre• Proponga a los estudiantes que resuelvan los siguientes problemas:

a) Una hormiga puede levantar objetos que pesan 50 veces su propio peso. Si lo mismo ocurriera en los seres humanos, ¿cuántos kilogramos podría levantar un niño que pesa 36 kilogramos?

b) Un auto se desplaza a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora. ¿Qué distancia recorre en 8 horas?

c) Si a los factores de 482 × 28 se les aumenta una decena a cada uno, ¿en cuánto aumenta el producto?

d) Calcula el valor de 11 + 12 + 13 + 14 + … + 27 + 28 + 29 + 30.

• Pregunte lo siguiente: ¿Qué procesos aplicaron para resolver las operaciones? ¿Qué dificultades encontraron en la resolución de problemas?

• Realice una evaluación permanente durante el desarrollo de la sesión de aprendizaje.

Razonamiento y demostración Aplica la propiedad distributiva de la multiplicación.

Comunicación matemática Representa la multiplicación de diferentes formas.

Resolución de problemas Explica las estrategias aplicadas en la resolución de problemas.


Cálculo mental• Trabaje con los estudiantes la

aplicación de la propiedad distributiva en el cálculo mental. Proponga ejercicios como el siguiente:

15 × 12 =

(10 + 5) × 12 = 12 × 10 + 12 × 5

= 120 + 60 = 180

Pídales que busquen otras formas de realizar este mismo cálculo y que las compartan con sus compañeros.

Posibles dificultadesEs importante que los estudiantes identifiquen y apliquen correctamente la propiedad distributiva. Para ello, proponga diversos ejercicios:

a) 5(7 + 2)

b) 5 + (7 + 2)

Luego, pregunte en qué casos se aplica la propiedad distributiva.

Atención a la diversidad• Esta actividad nos permitirá mejorar

la capacidad de concentración de los estudiantes.

Entregue dos listas: una original y una copia con algunos errores. Los estudiantes deben encontrar y corregir los errores en un tiempo determinado.

Original Copia

ABN120LQ ABNI20LQ

LJIO9KR21 LJIO9K021

UY9RS47M UY6RS47N

W25UHK61 W25VHK61

S13F58BC4 S13E58BC4

1 750 kg

30 · 31 ______ 2 – 10 · 11 ______

2 = 465 – 55 = 410

640 km

Voy a a p re n de r










350 + (350 + 132) + (350 + 132) – 35 350 + 482 + 447 = 1 279



Calcula __

ab + __

bc + __

ca si a + b + c = 16.


__

ab +

__ bc

__

ca

176

Entonces, __

ab + __

bc + __

ca = 176.


Calcula 93 – [175 – (92 + 45)] – (87 – 76).

93 – [175 – (92 + 45)] – (87 – 76) = 93 – [175 – 137] – 11 = 93 – 38 – 11 = 55 – 11 = 44





1 8 5 0


3 3 3 0




{ [ ( ... ) ] }1.o

2.o

3.o






Con á lgebra


∀ a, b, c ∈ IN




12

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S.A

. Pro

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.L. 8

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162

008_019 U01M1 12 6/7/11 9:09:19 AM




1 + 2 + 3 + 4 + 5 …. 16 + 17 + 18 + 19 + 20


Calcula 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + ... + 33 + 34 + 35.




170 × 9 170 × 30


170 × 39 = 170 × (40 – 1)

= 170 × 40 – 170 × 1

= 6 800 – 170

= 6 630




Si 7 × 17 = 119, demuestra que 35 × 34 = 1 190.

7 × 17 × 10 = 119 × 10

7 × 17 × 5 × 2 = 119 × 5 × 2

7 × 5 × 17 × 2 = 119 × 5 × 2

35 × 34 = 1 190





Sara � 4 × 50 + 3 × 30 = 200 + 90 = 290

Ana � 2 × 50 + 6 × 30 = 100 + 180 = 280

Juan � 3 × 50 + 5 × 30 = 150 + 150 = 300


• 15 · 3 = 45

• 15 × 3 = 45

• 15(3) = 45

• (15)(3) = 45

Sara Ana Juan

Rojas 4 2 3

Azules 3 6 5

Puntaje 290 280 300

1 7 0 × 3 9

1 5 3 0 5 1 0 0

6 6 3 0



siguientes formas.




Con á lgebra


∀ a, b, c ∈ IN






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.L. 8

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12 250

602

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Inicio• Inicie la sesión presentando a los estudiantes la actividad lúdica, juego del residuo menor (ver margen).

• Pregunte a los estudiantes lo siguiente: ¿Qué propiedades cumple la división? Proponga que comprueben si se cumplen las propiedades conmutativa y asociativa en la división. Invítelos a sustentar con contraejemplos las conclusiones obtenidas.

Desarrollo• Desarrolle los ejemplos propuestos destacando la teoría y los procesos aplicados.

• Motive a los estudiantes a establecer la relación entre el cociente y el residuo al ampliar o reducir el dividendo y el divisor. Establezca la propiedad fundamental de la división a partir de los ejemplos propuestos.

• Evalúe la intervención de los estudiantes y destaque sus aportes.

Cierre• Proponga el desarrollo de la sección “Más actividades” para consolidar los aprendizajes sobre las operaciones con

números naturales. Aplique una lista de cotejo para verificar los logros adquiridos.

Trabaje el recurso PDF (ficha de refuerzo) en forma grupal o en parejas.


Razonamiento y demostración Demuestra la relación entre el cociente y el residuo de una división después de multiplicar o dividir el dividendo y el divisor por un mismo número.

Comunicación matemática Ejemplifica la propiedad fundamental de la división.

Resolución de problemas Resuelve problemas que implican el uso de la división y sus propiedades.


Juego “El residuo menor”– Prepare 8 tarjetas anaranjadas y 8

amarillas. Escriba en cada tarjeta los números que se indican.

– Forme parejas y proporcióneles un lote de tarjetas. Pida que pongan las tarjetas anaranjadas, una sobre otra, y las coloquen boca abajo. Hacer lo mismo con las tarjetas amarillas.

– Explique que las tarjetas amarillas representan a los dividendos y las tarjetas anaranjadas, a los divisores.

– Los estudiantes cogen una tarjeta de cada montón y realizan la división correspondiente.

– El estudiante que obtenga el residuo menor, se anota un punto, y continúa hasta terminar las tarjetas. Si ambos jugadores obtuvieran el mismo residuo, ninguno gana puntos.

– Gana el estudiante que al finalizar el juego obtenga más puntos.

2 3 4 5

6 7 8 9

273 354 432 618

765 827 561 906

Atención a la diversidad• Realice la demostración de una

propiedad y pida al estudiante su correspondiente verificación a través de ejemplos y contraejempos.

• Presente la recreación de algunas situaciones para facilitar la comprensión de la propiedad fundamental de la división, y así reconocer cada elemento que interviene y las operaciones que se realizan.

1.3. División Don Luis tiene 452 kg de alimento para dar de comer a sus vacas lecheras. Si cada día los animales consumen 36 kg, ¿para cuántos días le alcanzará a don Luis el ali-mento que tiene? ¿Le queda algo para otro día?

• Si queremos saber para cuántos días alcanzará el alimento, dividimos 452 entre 36:

El alimento le alcanzará para 12 días y le quedan 20 kg para otro día.

Propiedad fundamental de la divisiónPara que una división esté bien resuelta, se debe cumplir la siguiente relación: Residuo < divisor 20 < 36 (se cumple)Dividendo = divisor × cociente + residuo 452 = 36 × 12 + 20 D = d × c + r 452 = 432 + 20 (se cumple)

Dividendo = divisor × cociente + residuo y residuo < divisor

Ejemplo 7 Aplico la propiedad fundamental de la división

a) El cociente de una división es 12, el divisor es 7 y el residuo es el mayor posible. ¿Cuál es el dividendo?

• Según los datos: c = 12; d = 7 y r = 7 – 1 = 6

• Por propiedad: D = d × c + r D = 7 × 12 + 6 = 90

El dividendo es 90.

b) Al dividir un número entre 14, se obtiene como cociente 25. Si el residuo es la mitad del divisor, ¿cuál es el residuo al dividir dicho número entre 15?

• Ordenamos y completamos los datos de la primera división:

D 14 D = d × c + r

Mitad del divisor 7 25 D = 14 × 25 + 7 = 357

• Calculamos el residuo de la segunda división: 357 ÷ 15 = 23 y r = 12

Si un número se divide entre 31, el cociente es 18 y el residuo es la tercera parte del cociente. ¿Cuál es el residuo al dividir dicho número entre 6?


Un ganadero tiene 950 ovejas a las que puede alimentar durante 80 días. Si quiere que los alimentos duren 15 días más sin disminuir la ración diaria, ¿cuántas ovejas debe vender?

• Calculamos el total de raciones (950 × 80) y lo dividimos entre el nuevo total de días (80 + 15) para saber cuántas ovejas puede alimentar en ese tiempo:

Raciones ÷ Días (950 × 80) ÷ (80 + 15) = 76 000 ÷ 95 = 800

• Hallamos cuántas ovejas debe vender: 950 – 800 = 150El ganadero debe vender 150 ovejas.

4 5 2 3 6 9 2 1 2 2 0

Dividendo (D) Divisor (d)

Residuo (r)Cociente (c)

Es el mayor residuo posible.

Solo puede alimentar a 800 ovejas.

Variaciones del cociente y del residuo en una división

El cociente no varía, pero el residuo sí.

104 16 8 6

26 4 2 6

52 8 4 6

52 × 2 8 × 2 52 ÷ 2 8 ÷ 2

14

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0

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Más a ct iv id a de s

Halla las cifras que faltan.

� 1 � 2

� 3 � 4

Resuelve las operaciones combinadas.

� 5 196 – 52 + 23 – 14 – 29 + 18 – 32

� 6 36 + 98 – 23 – 54 + 19 – 45 – 19 – 12

� 7 278 – (34 + 12) – (12 + 15 – 9) – 153 – 32

� 8 18 + 194 – [23 – (45 – 38)] – 35 – (19 + 87)

� 9 56 – {23 – [34 – (18 + 13)]} – [45 – (12 + 9)]

� 10 Si ____

aabb + __

ab = ____

aa76 , calcula a + b.

� 11 Si ___

a2a + ___

a4a + ___

a6a + ___

a8a = ____

30b8 , halla a – b.

� 12 ¿Cuál es el resultado de ___

TU × _____

CASA si _____

CASA × T = 6 453 y _____

CASA × U = 8 604?


abc × 80 si

___ abc × 4 = 936?

Resuelve aplicando la propiedad distributiva.

� 14 5 × 38

� 17 9 × 45� 15 6 × 56

� 18 12 × 75� 16 9 × 67

� 19 20 × 136

Las siguientes operaciones se pueden resolver de dos formas. Elige la más rápida.

� 20 17 × 38 + 17 × 12

� 21 96 × 59 + 4 × 59

� 22 148 × 19 + 52 × 19

Razonamiento y demostración

� 31 Al vender su auto a S/. 5 600, Karen perdió S/. 1 200. ¿Cuánto le costó el auto?

� 32 Un comerciante compró un equipo de sonido a S/. 569 y lo vendió ganando S/. 125. ¿A cuánto vendió el equipo de sonido?

� 33 Carmen compró un televisor a S/. 458 y lo vendió a S/. 600. ¿Cuánto ganó en esta venta?

� 34 Rolando nació 98 años después del combate de Angamos. ¿Qué edad tendrá el 8 de octubre del 2012?

� 35 El consumo promedio de pollo en el Perú es de, aproximadamente, 28 kg por habitante y por año. Averigua el número de habitantes del Perú y halla la cantidad de pollo que se consume. ¿En cuán-tos kilogramos deberá aumentar el consumo anual para que el consumo por habitante y año sea igual al de la ciudad de Lima? (58 kg).

2 3 +

5 4 9 1 6

1 8 2

1 2 8 9 6

3 4 8 2 +

1 4 5

7 6 1 7

4 0 4

6 8

3 0 4 0 –

1 8 0

2 0 1

–

8 3 4 2 1

1 1 8 8 4



Resuelve y explica a un compañero.

� 29 Alonso ha dividido un número entre 12 y ha ob-tenido 8 de cociente y 15 de residuo. Explica por qué Alonso ha hecho mal la división y halla el co-ciente, el dividendo y el residuo verdaderos.

� 30 En la inauguración de los juegos olímpicos de un colegio, los 34 alumnos de primero quieren des-filar formando filas completas de cuatro. ¿Es po-sible? ¿De qué modo podrían desfilar formando filas y columnas completas?

Calcula el factor desconocido en las siguientes mul-tiplicaciones:

� 23 18 · a = 648 � 24 21 · b = 1 323

Resuelve estas divisiones. Luego, comprueba tus re-sultados.

� 25 18 368 ÷ 56

� 27 19 053 ÷ 29� 26 30 330 ÷ 45

� 28 20 242 ÷ 349

Comprueba tus resultados con tus compañeros.


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. Pro

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22

110

0

29

55

12

S/. 142

35 años

S/. 694

S/. 6 800

7

5

73 134

18 720

7 2 8

9 5 3 0 5

7

1

5

3

4

0 9

5 3

1 6 5

190

405

336

900

603

2 720

850

5 900

3 800

36 63

328 674

657 58

No es posible. Podrían desfilar formando 2 o 17 filas o columnas completas.

30 kg

D = 111; q = 9 y r = 3

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Unidad 114

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Inicio• Inicie la sesión presentando a los estudiantes la actividad lúdica, juego del residuo menor (ver margen).

• Pregunte a los estudiantes lo siguiente: ¿Qué propiedades cumple la división? Proponga que comprueben si se cumplen las propiedades conmutativa y asociativa en la división. Invítelos a sustentar con contraejemplos las conclusiones obtenidas.

Desarrollo• Desarrolle los ejemplos propuestos destacando la teoría y los procesos aplicados.

• Motive a los estudiantes a establecer la relación entre el cociente y el residuo al ampliar o reducir el dividendo y el divisor. Establezca la propiedad fundamental de la división a partir de los ejemplos propuestos.

• Evalúe la intervención de los estudiantes y destaque sus aportes.

Cierre• Proponga el desarrollo de la sección “Más actividades” para consolidar los aprendizajes sobre las operaciones con

números naturales. Aplique una lista de cotejo para verificar los logros adquiridos.

Trabaje el recurso PDF (ficha de refuerzo) en forma grupal o en parejas.


Razonamiento y demostración Demuestra la relación entre el cociente y el residuo de una división después de multiplicar o dividir el dividendo y el divisor por un mismo número.

Comunicación matemática Ejemplifica la propiedad fundamental de la división.

Resolución de problemas Resuelve problemas que implican el uso de la división y sus propiedades.


Juego “El residuo menor”– Prepare 8 tarjetas anaranjadas y 8

amarillas. Escriba en cada tarjeta los números que se indican.

– Forme parejas y proporcióneles un lote de tarjetas. Pida que pongan las tarjetas anaranjadas, una sobre otra, y las coloquen boca abajo. Hacer lo mismo con las tarjetas amarillas.

– Explique que las tarjetas amarillas representan a los dividendos y las tarjetas anaranjadas, a los divisores.

– Los estudiantes cogen una tarjeta de cada montón y realizan la división correspondiente.

– El estudiante que obtenga el residuo menor, se anota un punto, y continúa hasta terminar las tarjetas. Si ambos jugadores obtuvieran el mismo residuo, ninguno gana puntos.

– Gana el estudiante que al finalizar el juego obtenga más puntos.

2 3 4 5

6 7 8 9

273 354 432 618

765 827 561 906

Atención a la diversidad• Realice la demostración de una

propiedad y pida al estudiante su correspondiente verificación a través de ejemplos y contraejempos.

• Presente la recreación de algunas situaciones para facilitar la comprensión de la propiedad fundamental de la división, y así reconocer cada elemento que interviene y las operaciones que se realizan.










El dividendo es 90.



D 14 D = d × c + r







Raciones ÷ Días (950 × 80) ÷ (80 + 15) = 76 000 ÷ 95 = 800


4 5 2 3 6 9 2 1 2 2 0







104 16 8 6

26 4 2 6

52 8 4 6

52 × 2 8 × 2 52 ÷ 2 8 ÷ 2

14

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0

008_019 U01M1 14 6/7/11 9:09:22 AM



� 1 � 2

� 3 � 4


� 5 196 – 52 + 23 – 14 – 29 + 18 – 32

� 6 36 + 98 – 23 – 54 + 19 – 45 – 19 – 12

� 7 278 – (34 + 12) – (12 + 15 – 9) – 153 – 32

� 8 18 + 194 – [23 – (45 – 38)] – 35 – (19 + 87)

� 9 56 – {23 – [34 – (18 + 13)]} – [45 – (12 + 9)]

� 10 Si ____

aabb + __

ab = ____


� 11 Si ___

a2a + ___

a4a + ___

a6a + ___

a8a = ____



TU × _____

CASA si _____

CASA × T = 6 453 y _____

CASA × U = 8 604?


abc × 80 si

___ abc × 4 = 936?


� 14 5 × 38

� 17 9 × 45� 15 6 × 56

� 18 12 × 75� 16 9 × 67

� 19 20 × 136


� 20 17 × 38 + 17 × 12

� 21 96 × 59 + 4 × 59

� 22 148 × 19 + 52 × 19







2 3 +

5 4 9 1 6

1 8 2

1 2 8 9 6

3 4 8 2 +

1 4 5

7 6 1 7

4 0 4

6 8

3 0 4 0 –

1 8 0

2 0 1

–

8 3 4 2 1

1 1 8 8 4







� 23 18 · a = 648 � 24 21 · b = 1 323


� 25 18 368 ÷ 56

� 27 19 053 ÷ 29� 26 30 330 ÷ 45

� 28 20 242 ÷ 349



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110

0

29

55

12

S/. 142

35 años

S/. 694

S/. 6 800

7

5

73 134

18 720

7 2 8

9 5 3 0 5

7

1

5

3

4

0 9

5 3

1 6 5

190

405

336

900

603

2 720

850

5 900

3 800

36 63

328 674

657 58


30 kg

D = 111; q = 9 y r = 3

008_019 U01M1 15 6/7/11 9:09:23 AM

Unidad 114

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G008_029 U01M1.indd 14 7/15/11 10:52:24 AM

SolucionesMás a ct iv id a de s

● 5 196 – 52 + 23 – 14 – 29 + 18 – 32 = 110

● 6 36 + 98 – 23 – 54 + 19 – 45 – 19 – 12 = 0

● 7 278 – (34 + 12) – (12 + 15 – 9) – 153 – 32 = 29

● 8 18 + 194 – [23 – (45 – 38)] – 35 – (19 + 87) = 55

● 9 56 – {23 – [34 – (18 + 13)]} – [45 – (12 + 9)] = 12

● 10 ____

aabb + __

ab = ____

aa76

____

aabb 4433

__ ab 43

____

aa76 4476

∴ a + b = 4 + 3 = 7

● 11 ___

a2a + ___

a4a + ___

a6a + ___

a8a = 3068

___

a2a 727

___ a4a 747

___

a6a 767

___ a8a 787

3068 3028

∴ a – b = 7 – 2 = 5

● 12 _____

CASA ×

___ TU

_____

CASA × U = 8 604

_____

CASA × T = 6 453

73 134

∴ TU × CASA = 73 134

● 13 ___

abc × 4 = 936 ___

abc × 4 × 20 = 936 × 20 ___

abc × 80 = 18 720

● 14 5 × 38 = 5 × (40 – 2) = 190

● 15 6 × 56 = 6 × (60 – 4) = 336

● 16 9 × 67 = 9 × (70 – 3) = 603

● 17 9 × 45 = 9 × (50 – 5) = 405

● 18 12 × 75 = 12 × (70 + 5) = 900

● 19 20 × 136 = 20 × (140 – 4) = 2 720

● 20 17 × 38 + 17 × 12= 17 × (38 + 12) = 850

● 21 96 × 59 + 4 × 59= (96 + 4) × 59 = 5 900

● 22 148 × 19 + 52 × 19= (148 + 52) × 19 = 3 800

● 23 18 · a = 648 a = 648 ___ 18

= 36

● 24 21 · b = 1 323 b = 1 323 ____ 21

= 63

● 25 18 368 ÷ 56 = 328328 × 56 = 18 368

● 26 30 330 ÷ 45 = 674674 × 45 = 30 330

● 27 19 053 ÷ 29 = 657657 × 29 = 19 053

● 28 20 242 ÷ 349 = 58349 × 58 = 20 242

● 29 N 12 111 12 15 8 96 8 15

Debe ser:

111 12 108 9 3

El c = 9 y r = 3 3 < 9

● 30 34 4 34 2 2 8 17 17 1 No es posible. Podrían desfilar formando 2 o 17 filas o columnas completas.

● 31 5 600 + 1 200 = 6 800

● 32 569 + 125 = 694

● 33 600 – 458 = 142

● 34 1 879 + 98 = 1 9772 012 – 1 977 = 35

● 35 28 220 764 × 28 = 790 181 392 kg

58 – 28 = 30 kgPOBLACIÓN INEI 11 JUNIO 2008

Incorrecto: 15 > 8










El dividendo es 90.



D 14 D = d × c + r







Raciones ÷ Días (950 × 80) ÷ (80 + 15) = 76 000 ÷ 95 = 800


4 5 2 3 6 9 2 1 2 2 0







104 16 8 6

26 4 2 6

52 8 4 6

52 × 2 8 × 2 52 ÷ 2 8 ÷ 2

14

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. Pro

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prod

ucci

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.L. 8

22

0

008_019 U01M1 14 6/7/11 9:09:22 AM



� 1 � 2

� 3 � 4


� 5 196 – 52 + 23 – 14 – 29 + 18 – 32

� 6 36 + 98 – 23 – 54 + 19 – 45 – 19 – 12

� 7 278 – (34 + 12) – (12 + 15 – 9) – 153 – 32

� 8 18 + 194 – [23 – (45 – 38)] – 35 – (19 + 87)

� 9 56 – {23 – [34 – (18 + 13)]} – [45 – (12 + 9)]

� 10 Si ____

aabb + __

ab = ____


� 11 Si ___

a2a + ___

a4a + ___

a6a + ___

a8a = ____



TU × _____

CASA si _____

CASA × T = 6 453 y _____

CASA × U = 8 604?


abc × 80 si

___ abc × 4 = 936?


� 14 5 × 38

� 17 9 × 45� 15 6 × 56

� 18 12 × 75� 16 9 × 67

� 19 20 × 136


� 20 17 × 38 + 17 × 12

� 21 96 × 59 + 4 × 59

� 22 148 × 19 + 52 × 19







2 3 +

5 4 9 1 6

1 8 2

1 2 8 9 6

3 4 8 2 +

1 4 5

7 6 1 7

4 0 4

6 8

3 0 4 0 –

1 8 0

2 0 1

–

8 3 4 2 1

1 1 8 8 4







� 23 18 · a = 648 � 24 21 · b = 1 323


� 25 18 368 ÷ 56

� 27 19 053 ÷ 29� 26 30 330 ÷ 45

� 28 20 242 ÷ 349



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110

0

29

55

12

S/. 142

35 años

S/. 694

S/. 6 800

7

5

73 134

18 720

7 2 8

9 5 3 0 5

7

1

5

3

4

0 9

5 3

1 6 5

190

405

336

900

603

2 720

850

5 900

3 800

36 63

328 674

657 58


30 kg

D = 111; q = 9 y r = 3

008_019 U01M1 15 6/7/11 9:09:23 AM

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G008_029 U01M1.indd 15 7/15/11 10:52:27 AM















propuestas.







Extensión (km) 265 800 1 141 748 8 511 965 1 098 581 736 903






















10

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Para contar


Para codificar

Sí

416

Sí

S/. 24

Sí

Sí




Respuesta modelo





008_019 U01M1 10 6/7/11 9:09:16 AM




__________________________________________________________


a) 4; 8; 12; 16; 20; ______________ b) 3; 6; 12; 24; ______________







a) 6 343 + 999 = ______________ d) 12 630 + 999 = _______________

b) 7 324 + 999 = ______________ e) 15 631 + 9 999 = ______________

c) 8 047 + 999 = ______________ f) 73 463 + 9 999 = ______________




no varía.7 946 + 999 = 7 946 + 1 000 – 1 = 8 946 – 1 = 8 945

9 + 1 × 5

8 ÷ 4 + 66 ÷ 33

24 ÷ 3 – 18 ÷ 6

37 – 5 × 7

144 ÷ 12 – 1

76 ÷ 4 – 19

8 ÷ 8 + 1

57 – 9 – 45

2 × 22 – 38

27 ÷ 9 + 6

4 × 3 – 2 × 1

9 × 4 – 72 ÷ 3

46 – 9 × 5

33 ÷ 3 – 2

19 – 144 ÷ 12

36 ÷ 6 + 2

3 + 5 × 2 + 1

FINAL

COMIENZO






recuadro.



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350 000

7 342

8 323

9 046

3

24; 28

50 000

200 000 × 20 = S/. 4 000 000

13 629

25 630

83 462

17; 20; 23; 26; 29; 32; 35; 38; 41; 44; 47; 50; 53; 56; 59; 62

48; 96

1

7

8

4

5

11

0

2

3

6

9

10

12

008_019 U01M1 11 6/7/11 9:09:17 AM

Unidad 110

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G008_029 U01M1.indd 10 7/15/11 10:52:14 AM















propuestas.







Extensión (km) 265 800 1 141 748 8 511 965 1 098 581 736 903






















10

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Para contar


Para codificar

Sí

416

Sí

S/. 24

Sí

Sí




Respuesta modelo





008_019 U01M1 10 6/7/11 9:09:16 AM




__________________________________________________________


a) 4; 8; 12; 16; 20; ______________ b) 3; 6; 12; 24; ______________







a) 6 343 + 999 = ______________ d) 12 630 + 999 = _______________

b) 7 324 + 999 = ______________ e) 15 631 + 9 999 = ______________

c) 8 047 + 999 = ______________ f) 73 463 + 9 999 = ______________




no varía.7 946 + 999 = 7 946 + 1 000 – 1 = 8 946 – 1 = 8 945

9 + 1 × 5

8 ÷ 4 + 66 ÷ 33

24 ÷ 3 – 18 ÷ 6

37 – 5 × 7

144 ÷ 12 – 1

76 ÷ 4 – 19

8 ÷ 8 + 1

57 – 9 – 45

2 × 22 – 38

27 ÷ 9 + 6

4 × 3 – 2 × 1

9 × 4 – 72 ÷ 3

46 – 9 × 5

33 ÷ 3 – 2

19 – 144 ÷ 12

36 ÷ 6 + 2

3 + 5 × 2 + 1

FINAL

COMIENZO






recuadro.



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350 000

7 342

8 323

9 046

3

24; 28

50 000

200 000 × 20 = S/. 4 000 000

13 629

25 630

83 462

17; 20; 23; 26; 29; 32; 35; 38; 41; 44; 47; 50; 53; 56; 59; 62

48; 96

1

7

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4

5

11

0

2

3

6

9

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008_019 U01M1 11 6/7/11 9:09:17 AM

Unidad 110

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G008_029 U01M1.indd 10 7/15/11 10:52:14 AM

• El cuadro muestra las distancias que hay entre el Sol y los planetas.

Planetas Distancias al Sol (km) a) Nombren los planetas que tienen menos de 200 000 000 km de distancia al Sol.

_________________________________________________________

b) ¿Cuáles son los planetas que tienen entre 200 000 000

y 800 000 000 km de distancia al Sol?

_________________________________________________________

c) Nombren los planetas con más de mil millones de kilómetros de distancia al Sol.

_________________________________________________________

Marte 227 800 000

Mercurio 57 870 000

Venus 108 140 000

Urano 2 880 000 000

Tierra 149 504 201

Neptuno 4 494 000 000

Júpiter 777 800 000

Saturno 1 430 000 000

• Evalúe la información obtenida en el desarrollo de ejercicios y establezca una relación con los indicadores de logro propuestos.

Más actividades• Enfatice la jerarquía en la solución de

operaciones combinadas sin signos de agrupación.

• Presente ejercicios resueltos para que los estudiantes evalúen los procesos aplicados.

a) 5 × 3 + 5 + 10 – 5 × 4 = 15

b) 216 ÷ 24 + 67 × 3 = 210

c) 76 × 12 – 346 ÷ 26 + 100 = 898

d) 7 × 5 × 3 – 6 + 2 × 8 – 6 x 4 = 95

e) 100 – 121 ÷ 11 × 64 ÷ 8 + 35 = 47

• Muestre el siguiente cuadro y pida a los estudiantes que lo completen.

× + = 7

× × + +

× 3 – =

+ ÷ + ÷

3 ÷ × =

= = = =

+ 2 – =

��

��

Mercurio, Venus, Tierra

Marte, Júpiter

Saturno, Urano. Neptuno

3 2 1

2 4 2

3 3 3

9 8 3




Extensión (km) 265 800 1 141 748 8 511 965 1 098 581 736 903






















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Para contar


Para codificar

Sí

416

Sí

S/. 24

Sí

Sí




Respuesta modelo





008_019 U01M1 10 6/7/11 9:09:16 AM




__________________________________________________________


a) 4; 8; 12; 16; 20; ______________ b) 3; 6; 12; 24; ______________







a) 6 343 + 999 = ______________ d) 12 630 + 999 = _______________

b) 7 324 + 999 = ______________ e) 15 631 + 9 999 = ______________

c) 8 047 + 999 = ______________ f) 73 463 + 9 999 = ______________




no varía.7 946 + 999 = 7 946 + 1 000 – 1 = 8 946 – 1 = 8 945

9 + 1 × 5

8 ÷ 4 + 66 ÷ 33

24 ÷ 3 – 18 ÷ 6

37 – 5 × 7

144 ÷ 12 – 1

76 ÷ 4 – 19

8 ÷ 8 + 1

57 – 9 – 45

2 × 22 – 38

27 ÷ 9 + 6

4 × 3 – 2 × 1

9 × 4 – 72 ÷ 3

46 – 9 × 5

33 ÷ 3 – 2

19 – 144 ÷ 12

36 ÷ 6 + 2

3 + 5 × 2 + 1

FINAL

COMIENZO






recuadro.



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7 342

8 323

9 046

3

24; 28

50 000

200 000 × 20 = S/. 4 000 000

13 629

25 630

83 462

17; 20; 23; 26; 29; 32; 35; 38; 41; 44; 47; 50; 53; 56; 59; 62

48; 96

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Inicio• Pida a los estudiantes que recolecten empaques de diferentes productos alimenticios que consumen en el

refrigerio. Luego, indique que observen y analicen el cuadro de calorías que contiene cada uno.

• Pregunte lo siguiente: ¿Qué actividades realizan diariamente? Proponga que calculen la cantidad de calorías que queman en cada actividad. Luego, sugiérales que anoten la cantidad de calorías que consumen al ingerir los alimentos que llevan en su lonchera.

Desarrollo• Invite a los estudiantes a describir las operaciones realizadas en la actividad anterior y las relacionen con el cuadro

de orden de resolución de operaciones combinadas.

Utilice la herramienta destacar en el cuadro de cálculo mental e invite a los estudiantes a realizarlos.

• Proponga la asociación entre cálculo propuesto y enunciado para establecer la relación entre el lenguaje literal y la expresión numérica.

Cierre• Presente el juego de operaciones combinadas que a continuación proponemos para reforzar los procesos de cálculo,

y fortalecer la relaciones personales y el diálogo entre los equipos de trabajo.


Razonamiento y demostración Identifica los pasos que se deben seguir al resolver operaciones combinadas.

Distingue los procesos matemáticos en operaciones combinadas con signos de agrupación y sin ellos.

Comunicación matemática Escribe una expresión correspondiente a una secuencia de operaciones combinadas.

Describe los procedimientos en la resolución de operaciones combinadas.

Resolución de problemas Resuelve problemas con operaciones combinadas.


Información complementariaLa calculadora y las operacionesEs importante que los estudiantes conozcan el manejo de la calculadora porque les permite realizar cálculos extensos o complejos; sin embargo, el docente debe tomar una posición con respecto a su uso dentro del aula. Se debe evitar el empleo de la calculadora, por ejemplo, cuando los cálculos pueden hacerse mentalmente o cuando el logro esperado propuesto en la sesión sea el aprendizaje de un proceso algorítmico.

Organice equipos para que establezcan los beneficios del uso de la calculadora.

Atención a la diversidadPida que resuelvan las siguientes operaciones combinadas en parejas: unos con la calculadora y otros sin ella.

a) 1 000 – 3 – 3 – 23 – 380 ÷ 20

b) 630 ÷ 3 – 3 × 81 + (92 – 52) × 3

c) 169 + 43 × 7 – 150 ÷ 50

Luego, indíqueles que comparen sus soluciones. ¿Qué diferencias encuentran entre una y otra forma de resolver? ¿Cuál de las dos formas es la correcta? Expliquen.

925

87

467

En un gimnasio se muestra una tabla con las calorías que se queman al realizar una hora de actividad física.

¿Cuántas calorías quemarías si caminas dos horas en la mañana y pedaleas tres horas en la tarde?

• Calculamos el total de calorías que se queman: 2 h de caminata + 3 h de pedaleo

290 × 2 + 160 × 3

580 + 480

1 060Al caminar 2 horas y pedalear 3 horas, se queman 1 060 calorías.

Ejemplo 9 Resuelvo operaciones combinadas sin signos de agrupación

a) 13 – 5 × 2 + 32 ÷ 8

13 – 5 × 2 + 32 ÷ 8

13 – 10 + 4 3 + 4 = 7

b) 27 + 8 × 9 ÷ 6 – 35

27 + 8 × 9 ÷ 6 – 35

27 + 72 ÷ 6 – 35

27 + 12 – 35 39 – 35 = 4

c) 5 × 8 × 9 – 24 ÷ 4 × 3 + 19

5 × 8 × 9 – 24 ÷ 4 × 3 + 19

360 – 6 × 3 + 19

360 – 18 + 19 342 + 19 = 361

Al resolver operaciones combinadas se debe seguir este orden:1.º Las operaciones indicadas entre signos de agrupación, si los hubiera.2.º Las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.3.º Las adiciones y sustracciones en el orden en que se presentan.

1.4. Operaciones combinadas

Calculamos las calorías quemadas en cada actividad.

Sumamos y calculamos el total de calorías que se queman.

• 10 + 5 × 2

• 7 + 3 × 6

• 19 – 6 × 3

• 20 – 7 × 2

• 15 + 15 ÷ 3

• 30 + 18 ÷ 3

• 27 – 20 ÷ 2

• 40 – 30 ÷ 6

Cá lcu lo menta l

Resolvemos la multiplicación y la división.

Resolvemos la sustracción y la adición.


Resolvemos la adición y la sustracción.

Resolvemos las multiplicaciones y la división.


Actividad Calorías quemadas por hora

Trotar 490

Caminar 290

Pedalear 160

Ejemplo 10 Asocio cálculos y enunciados

Escribe al lado de cada enunciado la letra que corresponda.

A: 2 × 9 – 2 × 7 B: 2 × 9 + 2 × 7 C: 3 × (9 + 5) D: 3 × 9 + 3 × 5 E: 2 × (9 – 7) F: 2 × (9 + 7)

• El triple de 9 más el triple de 5. D • El doble de la suma de 9 y 7. F

• El triple de la suma de 9 y 5. C • El doble de la diferencia de 9 y 7. E

• El doble de 9 más el doble de 7. B • El doble de 9 menos el doble de 7. A

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Ejemplo 11 Resuelvo operaciones combinadas con signos de agrupación

a) 95 – 23 × {14 – 3 × [24 ÷ (5 × 3 – 9)]}

95 – 23 × {14 – 3 × [24 ÷ (5 × 3 – 9)]}

95 – 23 × {14 – 3 × [24 ÷ 6]}

95 – 23 × {14 – 3 × 4}

95 – 23 × 2

95 – 46 = 49

b) 31 × (8 + 2) – {[27 – (56 – 49)] × 2 + 9}

31 × (8 + 2) – {[27 – (56 – 49)] × 2 + 9}

31 × 10 – {[27 – 7] × 2 + 9}

31 × 10 – {20 × 2 + 9}

310 – 49 = 261

a) 5 × 8 – 4 × 9 + 12 ÷ 2 × 7 b) 130 – [(8 × 4) – (9 × 2)] – 24 ÷ 3 ÷ 2

Resolvemos las operaciones de los paréntesis.

Resolvemos las operaciones de los corchetes.

Resolvemos la multiplicación.


Resolvemos las operaciones de las llaves.

Resolvemos la multiplicación y las operaciones de las llaves.


Resolvemos la sustracción.

Resolvemos la sustracción .

Ejemplo 12 Calculo el valor numérico

Calcula el valor de 8c – [(4 + 2a) (b + c) ÷ a – 5] si a = 3; b = 5 y c = 7.

8c – [(4 + 2a) (b + c) ÷ a – 5]

8 × 7 – [(4 + 2 × 3) (5 + 7) ÷ 3 – 5]

8 × 7 – [(10) (12) ÷ 3 – 5]

56 – [120 ÷ 3 – 5]

56 – 35 = 21

Si x = 4, y = 10 y z = 7, calcula el valor de 75 + 20x ÷ y – yz


Para construir un estante como el del margen, un carpintero necesita lo si-guiente: 4 tablas largas de madera, 6 tablas cortas de madera, 12 ganchos pequeños, 2 ganchos grandes y 24 tornillos. Si en el almacén hay 26 tablas largas, 33 tablas cortas, 200 ganchos pequeños, 20 ganchos grandes y 510 tornillos, ¿cuántos estantes completos se pueden construir?

• Con 26 tablas largas se pueden construir 26 ÷ 4 = 6 estantes.

Para 6 estantes se necesitan 6 × 6 = 36 tablas cortas. Solo hay 33 tablas cortas.

• Probamos si se pueden construir 5 estantes. Se necesitan:

Tablas largas: 4 × 5 = 20 Tablas cortas: 6 × 5 = 30 Ganchos pequeños: 12 × 5 = 60 Ganchos grandes: 2 × 5 = 10 Tornillos: 24 × 5 = 120

Con los materiales del almacén se pueden construir 5 estantes completos.

Reemplazamos el valor de cada letra.


Resolvemos las multiplicaciones.



Cuando un número va seguido de una o varias

letras, signifi ca que se están multiplicando.

3x = 3 · x

2ab = 2 · a · b

5x2y = 5 · x2 · y


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Unidad 116

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Inicio• Pida a los estudiantes que recolecten empaques de diferentes productos alimenticios que consumen en el

refrigerio. Luego, indique que observen y analicen el cuadro de calorías que contiene cada uno.

• Pregunte lo siguiente: ¿Qué actividades realizan diariamente? Proponga que calculen la cantidad de calorías que queman en cada actividad. Luego, sugiérales que anoten la cantidad de calorías que consumen al ingerir los alimentos que llevan en su lonchera.

Desarrollo• Invite a los estudiantes a describir las operaciones realizadas en la actividad anterior y las relacionen con el cuadro

de orden de resolución de operaciones combinadas.

Utilice la herramienta destacar en el cuadro de cálculo mental e invite a los estudiantes a realizarlos.

• Proponga la asociación entre cálculo propuesto y enunciado para establecer la relación entre el lenguaje literal y la expresión numérica.

Cierre• Presente el juego de operaciones combinadas que a continuación proponemos para reforzar los procesos de cálculo,

y fortalecer la relaciones personales y el diálogo entre los equipos de trabajo.


Razonamiento y demostración Identifica los pasos que se deben seguir al resolver operaciones combinadas.

Distingue los procesos matemáticos en operaciones combinadas con signos de agrupación y sin ellos.

Comunicación matemática Escribe una expresión correspondiente a una secuencia de operaciones combinadas.

Describe los procedimientos en la resolución de operaciones combinadas.

Resolución de problemas Resuelve problemas con operaciones combinadas.


Información complementariaLa calculadora y las operacionesEs importante que los estudiantes conozcan el manejo de la calculadora porque les permite realizar cálculos extensos o complejos; sin embargo, el docente debe tomar una posición con respecto a su uso dentro del aula. Se debe evitar el empleo de la calculadora, por ejemplo, cuando los cálculos pueden hacerse mentalmente o cuando el logro esperado propuesto en la sesión sea el aprendizaje de un proceso algorítmico.

Organice equipos para que establezcan los beneficios del uso de la calculadora.

Atención a la diversidadPida que resuelvan las siguientes operaciones combinadas en parejas: unos con la calculadora y otros sin ella.

a) 1 000 – 3 – 3 – 23 – 380 ÷ 20

b) 630 ÷ 3 – 3 × 81 + (92 – 52) × 3

c) 169 + 43 × 7 – 150 ÷ 50

Luego, indíqueles que comparen sus soluciones. ¿Qué diferencias encuentran entre una y otra forma de resolver? ¿Cuál de las dos formas es la correcta? Expliquen.

925

87

467




290 × 2 + 160 × 3

580 + 480



a) 13 – 5 × 2 + 32 ÷ 8

13 – 5 × 2 + 32 ÷ 8

13 – 10 + 4 3 + 4 = 7

b) 27 + 8 × 9 ÷ 6 – 35

27 + 8 × 9 ÷ 6 – 35

27 + 72 ÷ 6 – 35

27 + 12 – 35 39 – 35 = 4

c) 5 × 8 × 9 – 24 ÷ 4 × 3 + 19

5 × 8 × 9 – 24 ÷ 4 × 3 + 19

360 – 6 × 3 + 19

360 – 18 + 19 342 + 19 = 361





• 10 + 5 × 2

• 7 + 3 × 6

• 19 – 6 × 3

• 20 – 7 × 2

• 15 + 15 ÷ 3

• 30 + 18 ÷ 3

• 27 – 20 ÷ 2

• 40 – 30 ÷ 6

Cá lcu lo menta l








Trotar 490

Caminar 290

Pedalear 160



A: 2 × 9 – 2 × 7 B: 2 × 9 + 2 × 7 C: 3 × (9 + 5) D: 3 × 9 + 3 × 5 E: 2 × (9 – 7) F: 2 × (9 + 7)




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a) 95 – 23 × {14 – 3 × [24 ÷ (5 × 3 – 9)]}

95 – 23 × {14 – 3 × [24 ÷ (5 × 3 – 9)]}

95 – 23 × {14 – 3 × [24 ÷ 6]}

95 – 23 × {14 – 3 × 4}

95 – 23 × 2

95 – 46 = 49

b) 31 × (8 + 2) – {[27 – (56 – 49)] × 2 + 9}

31 × (8 + 2) – {[27 – (56 – 49)] × 2 + 9}

31 × 10 – {[27 – 7] × 2 + 9}

31 × 10 – {20 × 2 + 9}

310 – 49 = 261

a) 5 × 8 – 4 × 9 + 12 ÷ 2 × 7 b) 130 – [(8 × 4) – (9 × 2)] – 24 ÷ 3 ÷ 2












8c – [(4 + 2a) (b + c) ÷ a – 5]

8 × 7 – [(4 + 2 × 3) (5 + 7) ÷ 3 – 5]

8 × 7 – [(10) (12) ÷ 3 – 5]

56 – [120 ÷ 3 – 5]

56 – 35 = 21
















3x = 3 · x

2ab = 2 · a · b

5x2y = 5 · x2 · y


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Juego de operaciones combinadasPida a los estudiantes que, en parejas, elaboren las siguientes tarjetas y las coloquen boca abajo.

Uno de las participantes sacará al azar dos tarjetas y resolverá la operación que le tocó. Si las respuestas son iguales, gana un punto. En caso de obtener resultados diferentes, volverá a colocar las tarjetas boca abajo para que el siguiente participante continúe el juego. Indíqueles que deben recordar los resultados obtenidos y la ubicación de las tarjetas para los juegos sucesivos. Gana quien acumula más puntos.

12 ÷ 4 + 2 9 × 5 + 3 3 × 12 ÷ 6 24 ÷ (6 – 2) 22 – 3 × 6

2 × (4 + 2) 3 × (4 + 5) 7 – (4 + 2) 6 + 4 × 2 28 – 4 × 6

20 ÷ 4 + 1 24 ÷ (6 – 4) (6 + 4) ÷ 5 7 – 4 – 2 20 ÷ 5 ÷ 2

Posibles dificultades• Es importante reflexionar con

los estudiantes que al resolver operaciones combinadas se debe respetar un orden. Jerarquizar y organizar implica el éxito en la aplicación de procesos. Asegúrese de que tengan en claro los pasos que deben seguir para resolver operaciones combinadas.

… {[( ) ] } …

Juego “Adivinanza de números”• Esta actividad permite a los

estudiantes desarrollar la lógica y el cálculo numérico. Elija a un estudiante y pídale que piense en un número de dos cifras. A continuación solicite lo siguiente:

– Súmale 7 al número que pensaste.

– Resta de 110 la suma que has obtenido.

– Al resultado, súmale 15.

– Al nuevo resultado, súmale el número que pensaste. Luego, al resultado, divídelo entre 2.

– A este resultado, réstale 9.

– Al resultado obtenido, multiplícalo por 3.

Indique que mencione la respuesta (es 150).

Terminada la actividad, forme parejas, pida que inventen un ejemplo parecido y lo compartan con su compañero.

Desarrollar las adiciones y sustracciones en el orden en el que aparecen.

Desarrollar las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen.

Realizar las operaciones indicadas entre signos de agrupación si los hubiera.

• Presente las siguientes tarjetas e invite a los estudiantes a ordenar los pasos que deben seguir para efectuar operaciones combinadas.

3.º

2.º

1.º




290 × 2 + 160 × 3

580 + 480



a) 13 – 5 × 2 + 32 ÷ 8

13 – 5 × 2 + 32 ÷ 8

13 – 10 + 4 3 + 4 = 7

b) 27 + 8 × 9 ÷ 6 – 35

27 + 8 × 9 ÷ 6 – 35

27 + 72 ÷ 6 – 35

27 + 12 – 35 39 – 35 = 4

c) 5 × 8 × 9 – 24 ÷ 4 × 3 + 19

5 × 8 × 9 – 24 ÷ 4 × 3 + 19

360 – 6 × 3 + 19

360 – 18 + 19 342 + 19 = 361





• 10 + 5 × 2

• 7 + 3 × 6

• 19 – 6 × 3

• 20 – 7 × 2

• 15 + 15 ÷ 3

• 30 + 18 ÷ 3

• 27 – 20 ÷ 2

• 40 – 30 ÷ 6

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Trotar 490

Caminar 290

Pedalear 160



A: 2 × 9 – 2 × 7 B: 2 × 9 + 2 × 7 C: 3 × (9 + 5) D: 3 × 9 + 3 × 5 E: 2 × (9 – 7) F: 2 × (9 + 7)




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a) 95 – 23 × {14 – 3 × [24 ÷ (5 × 3 – 9)]}

95 – 23 × {14 – 3 × [24 ÷ (5 × 3 – 9)]}

95 – 23 × {14 – 3 × [24 ÷ 6]}

95 – 23 × {14 – 3 × 4}

95 – 23 × 2

95 – 46 = 49

b) 31 × (8 + 2) – {[27 – (56 – 49)] × 2 + 9}

31 × (8 + 2) – {[27 – (56 – 49)] × 2 + 9}

31 × 10 – {[27 – 7] × 2 + 9}

31 × 10 – {20 × 2 + 9}

310 – 49 = 261

a) 5 × 8 – 4 × 9 + 12 ÷ 2 × 7 b) 130 – [(8 × 4) – (9 × 2)] – 24 ÷ 3 ÷ 2












8c – [(4 + 2a) (b + c) ÷ a – 5]

8 × 7 – [(4 + 2 × 3) (5 + 7) ÷ 3 – 5]

8 × 7 – [(10) (12) ÷ 3 – 5]

56 – [120 ÷ 3 – 5]

56 – 35 = 21
















3x = 3 · x

2ab = 2 · a · b

5x2y = 5 · x2 · y


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SolucionesPara p ra ct ica r

● 38 [(9 + 2) × 2] – (5 + 4)= (9 + 2) × 2 – (5 + 4)= (9 + 2) × 2 – 5 – 4

● 39 Tiene razón en e, b y d.

a) 18 + 4 × 13 – 9

c) 235 + 38 × 20 ÷ 10

f) 58 + 9 × 7 – 5

● 40 14 – 4 × 3 – 1 12 – 9 ÷ 3 + 5= 14 – 12 – 1 = 12 – 3 + 5= 2 – 1 = 1 = 9 + 5 = 14

● 41 (2 100 + 45 + 15 + 6) ÷ 15Cociente: 140 + 3 + 1 = 144Residuo: 6

● 42 56 – (21 – 17) = 56 – 4 = 52

● 43 (75 – 7) × 8 = 68 × 8 = 544

● 44 a) 15 + 7 × 5 = 15 + 35 = 50

(15 + 7) × 5 = 22 × 5 = 110

b) 21 – 9 – 4 = 12 – 4 = 8

21 – (9 – 4) = 21 – 5 = 16

c) (20 – 8) – 2 = 12 ÷ 2 = 6

20 – 8 ÷ 2 = 20 – 4 = 16

d) 8 × 4 + 5 × 2 = 32 + 10 = 42

8 × (4 + 5) × 2 = 8 × 9 × 2 = 144

e) 6 × 9 ÷ 3 – 1 = 6 × 3 – 1 = 17

6 × (9 ÷ 3) – 1 = 6 × 3 – 1 = 17

● 45 63 ÷ 7 + 8 × 9 – 20

9 + 72 – 20 = 81 – 20 = 61

● 46 6 × 81 ÷ 9 – 144 – 12 × 3

6 × 9 – 12 × 3

54 – 36 = 18

● 47 100 – 121 ÷ 11 × (64 ÷ 8) + 35

100 – 11 × 8 + 35

100 – 88 + 35 = 12 + 35 = 47

● 48 72 ÷ 8 ÷ 3 × 7 – 150 ÷ 3 ÷ 10 + 9 × 6

9 ÷ 3 × 7 – 50 ÷ 10 + 54

3 × 7 – 5 + 54

21 – 5 + 54 = 16 + 54 = 70

● 49 16 × (12 – 8) ÷ 4 + 3 × (18 + 15 ÷ 5 × 4)

16 × 4 ÷ 4 + 3 × (18 + 3 × 4)

64 ÷ 4 + 3 × (18 + 12)

16 + 3 × 30 = 16 + 90 = 106

● 50 200 + [5 × (54 ÷ 9) – (20 ÷ 5 × 8 – 169 ÷ 13)]

200 + [5 × 6 – (32) – 13]

200 + [30 – 19]= 200 + 11 = 211

● 51 17 × 8 – [32 ÷ (120 ÷ 5 – 4 × 5) – (300 – 4 × 75)]

136 – [32 ÷ (24 – 20) – (300 – 300)]

136 – [32 ÷ 4] = 136 – 8 = 128

Más actividades1. Encuentra los números escondidos.

a) ■ 2 ■ –

5 8 1

1 ■ 7

d) ■ ■ ■ ■ 19

4 85

b) 1 ■ 3 ■ –

■ 2

9 8 9

e) 4, 9 1 3 68

■ 72

c) 1 0 8 9 54

9 ■

f) 1 4 4 3 27

■ 53

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 45 – 3 · 12 + 28 · 7 – 14 191

c) 26 ÷ 2 · 6 ÷ 3 · 4 – 5 · 7 ÷ 5 97

e) 15 – 9 + 7 · 6 + 119 ÷ 7 65

b) (7 + 2,236 ÷ 52) ÷ 5 + 10 20

d) (6 + 364 ÷ 26) ÷ (3 + 323 ÷ 19) 1

f) (342 · 3 – 2) ÷ [(7 + 473) ÷ 15] 32

3. Identifica las operaciones erradas y coloca los paréntesis para que las operaciones sean correctas.

a) (12 + 2) · 5 = 70 ✗

d) 7 · 2 – 2 · 3 = 8

b) 5 + 8 ÷ 2 = 9

e) 3 · 5 + 8 · 4 = 47c) 5 · (4 + 3) · 2 = 70 ✗

f) 80 ÷ (2 + 6) = 10 ✗

7 8

4

7 1

4 20

12171 6 1 9

Para p ra ct ica rMarca la alternativa correcta.

� 36 Para calcular 6 + 7 × 4 – 1 se debe comenzar por efectuar:

A) 6 + 7 B) 7 × 4 C) 4 – 1 D) 7 – 1

� 37 Para calcular 5 + 8 ÷ 4 × 3 – 1 se debe comenzar por efectuar:

A) La división B) La multiplicación

C) La adición D) La sustracción

� 38 [(9 + 2) × 2] – (5 + 4) es equivalente a:

A) 9 × 2 + 2 – (5 + 4) B) (9 + 2) × 2 – 5 + 4

C) (9 + 2) × 2 – 5 – 4 D) 9 + 2 × 2 – 5 – 4

� 39 Iván subrayó la operación que debe efectuar pri-mero en las operaciones combinadas. ¿En qué ca-sos tiene razón? Corrige las que hizo mal.

a) 18 + 4 × 13 – 9

c) 235 + 38 × 20 ÷ 10

e) 128 – (69 – 30) ÷ 3

b) 10 × (23 + 2) – 7

d) 56 – 28 ÷ 4 × 3

f) 58 + 9 × 7 – 5

� 40 Fíjate cómo se han efectuado estas operaciones. Luego, corrige las que están mal resueltas.

� 41 Paola calculó 2 166 ÷ 15, así: (1 500 + 600 + 60 + 6) ÷ 15Cociente: 100 + 40 + 4 = 144 y residuo: 6. ¿Cuál sería el cociente y el residuo al descomponer 2 166 = 2 100 + 45 + 15 + 6?

� 42 Calcula 56 – 21 – 17. Luego, coloca los paréntesis donde corresponda para obtener 52.

� 43 Calcula 75 – 7 × 8. Luego, coloca los paréntesis donde corresponda para que el resultado sea 544.

� 44 Calcula y compara cada par de resultados. ¿Son iguales las expresiones? ¿Por qué?

a) 15 + 7 × 5 (15 + 7) × 5

b) 21 – 9 – 4 21 – (9 – 4)

c) (20 – 8) ÷ 2 20 – 8 ÷ 2

d) 8 × 4 + 5 × 2 8 × (4 + 5) × 2

e) 6 × 9 ÷ 3 – 1 6 × (9 ÷ 3) – 1

Resuelve. Luego pinta los resultados en el laberinto y descubrirás con quién conversa Ana.

� 45 63 ÷ 7 + 8 × 9 – 20

� 46 6 × 81 ÷ 9 – 144 ÷ 12 × 3

� 47 100 – 121 ÷ 11 × (64 ÷ 8) + 35

� 48 72 ÷ 8 ÷ 3 × 7 – 150 ÷ 3 ÷ 10 + 9 × 6

� 49 16 × (12 – 8) ÷ 4 + 3 × (18 + 15 ÷ 5 × 4)

� 50 200 + [5 × (54 ÷ 9) – (20 ÷ 5 × 8 – 169 ÷ 13)]

� 51 17 × 8 – [32 ÷ (120 ÷ 5 – 4 × 5) – (300 – 4 × 75)]

14 – 4 × 3 – 1 10 × 2 20

8 – (5 – 3) ÷ 2 8 – 2 ÷ 2 8 – 1 7

12 – 9 ÷ 3 + 5 3 ÷ 3 + 5 1 + 5 4

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18; 56 – (21 – 17)

19; (75 – 7) × 8

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No

No

No

No

Sí

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110

16

16

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�

�

�

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¿Qué operación da como resultado 600?

� 52 15 + 15 ÷ 3 × (40 + 2 × 10)

� 53 15 + 15 ÷ 3 × 40 + 2 × 10

� 54 (15 + 15) ÷ 3 × (40 + 2) × 10

� 55 (15 + 15) ÷ 3 × (40 + 2 × 10)

� 56 (15 + 15) ÷ 3 × 40 + 2 × 10

Coloca los paréntesis donde sean necesarios para que las igualdades sean verdaderas.

� 57 36 + 4 ÷ 4 – 5 = 5

� 58 36 + 4 ÷ 4 – 5 = 32

� 59 60 × 25 + 5 – 500 ÷ 5 = 1 700

� 60 20 × 66 – 20 – 6 = 800

� 61 49 + 7 ÷ 7 – 7 = 1

Asocia cada expresión numérica con el enunciado que corresponda.

a) (18 – 6) × 3 b) 18 – (6 + 3)

c) 18 ÷ (6 + 3) d) 18 + 6 × 3

� 62 El cociente de 18 y la suma de 6 y 3.

� 63 La suma de 18 y el producto de 6 y 3.

� 64 La diferencia de 18 y la suma de 6 y 3.

� 65 El producto de la diferencia de 18 y 6 por 3.

Marca la alternativa correcta.

� 66 Calcula el valor de E.E = [7 × 5 + 33 ÷ (3 × 11)] ÷ [185 ÷ 5 – 500 ÷ 100 ÷ 5]

A) 1 B) 2 C) 13 D) 4

� 67 Determina el resultado de:[7 × 6 + (20 ÷ 4 ÷ 5 + 1) + (32 – 15 ÷ 5 × 3)]

A) 42 B) 63 C) 67 D) 45

� 68 Calcula.[15 ÷ 5 + (18 + 27 ÷ 3) ÷ 27] – [20 ÷ 5 – 169 ÷ (13 × 13)]

A) 4 B) 5 C) 6 D) 1

Razonamiento y demostración Si a = 14; b = 5 y c = 8, calcula el valor de las siguien-tes expresiones:

� 69 a – b – c

� 71 a + b × c

� 73 (a + b) × (c + b)

� 70 a – (c – b)

� 72 (a + b) × c

� 74 a + b × c + b

� 75 ¿Qué cálculos permiten hallar el perímetro del rec-tángulo?

A) 3 + 5 + 3 + 5

B) 3 × 2 + 5 × 2

C) (3 + 5) × 2

D) 3 × 5 × 2

� 76 Para convertir grados centígrados a grados Fahren-heit, multiplica los grados centígrados por 9, divi-de este producto entre 5, y suma 32 al cociente. ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen 25 gra-dos centígrados?

� 77 Ana compró al crédito una refrigeradora a un pre-cio de S/. 2 925. Si dio de inicial la tercera parte del valor y el resto lo pagará en 10 cuotas iguales, ¿cuál es el valor de cada cuota?

� 78 En una ciudad hay tres estadios. El más pequeño tie-ne capacidad para 22 000 personas, que equivale a la tercera parte de la capacidad de los otros dos esta-dios juntos. Si en el más grande caben 36 000 perso-nas, ¿cuál es la capacidad del segundo estadio?

5 m

3 m


Ejer

cici

o re

suel

to ¿Con cuáles de las operaciones combinadas se puede calcular el área de la región verde?

• Al área de todo el rectángulo (45 × 16) le restamos el área del rectángulo amarillo (35 × 16). Se obtiene el área de la región verde: 45 × 16 – 35 × 16

• Aplicamos la propiedad distributiva: 16 × (45 – 35)

Las operaciones B y D permiten calcular el área.

16 cm

45 cm

35 cm

A) 45 × 16 – 35

B) 45 × 16 – 35 × 16

C) 45 × 35 – 16

D) 16 × (45 – 35)


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● 38 [(9 + 2) × 2] – (5 + 4)= (9 + 2) × 2 – (5 + 4)= (9 + 2) × 2 – 5 – 4

● 39 Tiene razón en e, b y d.

a) 18 + 4 × 13 – 9

c) 235 + 38 × 20 ÷ 10

f) 58 + 9 × 7 – 5

● 40 14 – 4 × 3 – 1 12 – 9 ÷ 3 + 5= 14 – 12 – 1 = 12 – 3 + 5= 2 – 1 = 1 = 9 + 5 = 14

● 41 (2 100 + 45 + 15 + 6) ÷ 15Cociente: 140 + 3 + 1 = 144Residuo: 6

● 42 56 – (21 – 17) = 56 – 4 = 52

● 43 (75 – 7) × 8 = 68 × 8 = 544

● 44 a) 15 + 7 × 5 = 15 + 35 = 50

(15 + 7) × 5 = 22 × 5 = 110

b) 21 – 9 – 4 = 12 – 4 = 8

21 – (9 – 4) = 21 – 5 = 16

c) (20 – 8) – 2 = 12 ÷ 2 = 6

20 – 8 ÷ 2 = 20 – 4 = 16

d) 8 × 4 + 5 × 2 = 32 + 10 = 42

8 × (4 + 5) × 2 = 8 × 9 × 2 = 144

e) 6 × 9 ÷ 3 – 1 = 6 × 3 – 1 = 17

6 × (9 ÷ 3) – 1 = 6 × 3 – 1 = 17

● 45 63 ÷ 7 + 8 × 9 – 20

9 + 72 – 20 = 81 – 20 = 61

● 46 6 × 81 ÷ 9 – 144 – 12 × 3

6 × 9 – 12 × 3

54 – 36 = 18

● 47 100 – 121 ÷ 11 × (64 ÷ 8) + 35

100 – 11 × 8 + 35

100 – 88 + 35 = 12 + 35 = 47

● 48 72 ÷ 8 ÷ 3 × 7 – 150 ÷ 3 ÷ 10 + 9 × 6

9 ÷ 3 × 7 – 50 ÷ 10 + 54

3 × 7 – 5 + 54

21 – 5 + 54 = 16 + 54 = 70

● 49 16 × (12 – 8) ÷ 4 + 3 × (18 + 15 ÷ 5 × 4)

16 × 4 ÷ 4 + 3 × (18 + 3 × 4)

64 ÷ 4 + 3 × (18 + 12)

16 + 3 × 30 = 16 + 90 = 106

● 50 200 + [5 × (54 ÷ 9) – (20 ÷ 5 × 8 – 169 ÷ 13)]

200 + [5 × 6 – (32) – 13]

200 + [30 – 19]= 200 + 11 = 211

● 51 17 × 8 – [32 ÷ (120 ÷ 5 – 4 × 5) – (300 – 4 × 75)]

136 – [32 ÷ (24 – 20) – (300 – 300)]

136 – [32 ÷ 4] = 136 – 8 = 128

Más actividades1. Encuentra los números escondidos.

a) ■ 2 ■ –

5 8 1

1 ■ 7

d) ■ ■ ■ ■ 19

4 85

b) 1 ■ 3 ■ –

■ 2

9 8 9

e) 4, 9 1 3 68

■ 72

c) 1 0 8 9 54

9 ■

f) 1 4 4 3 27

■ 53

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 45 – 3 · 12 + 28 · 7 – 14 191

c) 26 ÷ 2 · 6 ÷ 3 · 4 – 5 · 7 ÷ 5 97

e) 15 – 9 + 7 · 6 + 119 ÷ 7 65

b) (7 + 2,236 ÷ 52) ÷ 5 + 10 20

d) (6 + 364 ÷ 26) ÷ (3 + 323 ÷ 19) 1

f) (342 · 3 – 2) ÷ [(7 + 473) ÷ 15] 32

3. Identifica las operaciones erradas y coloca los paréntesis para que las operaciones sean correctas.

a) (12 + 2) · 5 = 70 ✗

d) 7 · 2 – 2 · 3 = 8

b) 5 + 8 ÷ 2 = 9

e) 3 · 5 + 8 · 4 = 47c) 5 · (4 + 3) · 2 = 70 ✗

f) 80 ÷ (2 + 6) = 10 ✗

7 8

4

7 1

4 20

12171 6 1 9



A) 6 + 7 B) 7 × 4 C) 4 – 1 D) 7 – 1




� 38 [(9 + 2) × 2] – (5 + 4) es equivalente a:

A) 9 × 2 + 2 – (5 + 4) B) (9 + 2) × 2 – 5 + 4

C) (9 + 2) × 2 – 5 – 4 D) 9 + 2 × 2 – 5 – 4


a) 18 + 4 × 13 – 9

c) 235 + 38 × 20 ÷ 10

e) 128 – (69 – 30) ÷ 3

b) 10 × (23 + 2) – 7

d) 56 – 28 ÷ 4 × 3

f) 58 + 9 × 7 – 5






a) 15 + 7 × 5 (15 + 7) × 5

b) 21 – 9 – 4 21 – (9 – 4)

c) (20 – 8) ÷ 2 20 – 8 ÷ 2

d) 8 × 4 + 5 × 2 8 × (4 + 5) × 2

e) 6 × 9 ÷ 3 – 1 6 × (9 ÷ 3) – 1


� 45 63 ÷ 7 + 8 × 9 – 20

� 46 6 × 81 ÷ 9 – 144 ÷ 12 × 3

� 47 100 – 121 ÷ 11 × (64 ÷ 8) + 35

� 48 72 ÷ 8 ÷ 3 × 7 – 150 ÷ 3 ÷ 10 + 9 × 6

� 49 16 × (12 – 8) ÷ 4 + 3 × (18 + 15 ÷ 5 × 4)

� 50 200 + [5 × (54 ÷ 9) – (20 ÷ 5 × 8 – 169 ÷ 13)]

� 51 17 × 8 – [32 ÷ (120 ÷ 5 – 4 × 5) – (300 – 4 × 75)]

14 – 4 × 3 – 1 10 × 2 20

8 – (5 – 3) ÷ 2 8 – 2 ÷ 2 8 – 1 7

12 – 9 ÷ 3 + 5 3 ÷ 3 + 5 1 + 5 4

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18; 56 – (21 – 17)

19; (75 – 7) × 8

144 y 6

No

No

No

No

Sí

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8

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110

16

16

144

17

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� 52 15 + 15 ÷ 3 × (40 + 2 × 10)

� 53 15 + 15 ÷ 3 × 40 + 2 × 10

� 54 (15 + 15) ÷ 3 × (40 + 2) × 10

� 55 (15 + 15) ÷ 3 × (40 + 2 × 10)

� 56 (15 + 15) ÷ 3 × 40 + 2 × 10


� 57 36 + 4 ÷ 4 – 5 = 5

� 58 36 + 4 ÷ 4 – 5 = 32

� 59 60 × 25 + 5 – 500 ÷ 5 = 1 700

� 60 20 × 66 – 20 – 6 = 800

� 61 49 + 7 ÷ 7 – 7 = 1


a) (18 – 6) × 3 b) 18 – (6 + 3)

c) 18 ÷ (6 + 3) d) 18 + 6 × 3







A) 1 B) 2 C) 13 D) 4


A) 42 B) 63 C) 67 D) 45

� 68 Calcula.[15 ÷ 5 + (18 + 27 ÷ 3) ÷ 27] – [20 ÷ 5 – 169 ÷ (13 × 13)]

A) 4 B) 5 C) 6 D) 1


� 69 a – b – c

� 71 a + b × c

� 73 (a + b) × (c + b)

� 70 a – (c – b)

� 72 (a + b) × c

� 74 a + b × c + b


A) 3 + 5 + 3 + 5

B) 3 × 2 + 5 × 2

C) (3 + 5) × 2

D) 3 × 5 × 2




5 m

3 m


Ejer

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16 cm

45 cm

35 cm

A) 45 × 16 – 35

B) 45 × 16 – 35 × 16

C) 45 × 35 – 16

D) 16 × (45 – 35)


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S/. 195

30 000 personas

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● 52 15 + 15 ÷ 3 × (40 + 2 × 10) = 315

● 53 15 + 15 ÷ 3 × 40 + 2 × 10 = 235

● 54 (15 + 15) ÷ 3 × (40 + 2) × 10 = 4 200

● 55 (15 + 15) ÷ 3 × (40 + 2 × 10) = 600

● 56 (15 + 15) ÷ 3 × 40 + 2 × 10 = 420

● 57 (36 + 4) ÷ 4 – 5 = 5

● 58 36 + 4 ÷ (4 – 5) = 32

● 59 60 × (25 + 5) – 500 ÷ 5 = 1 700

● 60 20 × (66 – 20 – 6) = 800

● 61 (49 + 7) ÷ 7 – 7 = 1

● 66 E = [7 × 5 + 33 ÷ (3 × 11)] ÷ (185 ÷ 5 – 500 ÷ 100 ÷ 5) = 1

Rpta. A

● 67 [7 × 6 + (20 ÷ 4 ÷ 5 + 1) + (32 – 15 ÷ 5 × 3)] = 67

Rpta. C

● 68 [15 ÷ 5 + (18 + 27 ÷ 3) ÷ 27] – [20 ÷ 5 – 169 ÷ (13 × 13)] = 1

Rpta. D

● 69 a – b – c = 14 – 5 – 8 = 1

● 70 a – (c – b) = 14 – (8 – 5) = 14 – 3 = 11

● 71 a + b × c = 14 + 40 = 54

● 72 (a + b) × c = (14 + 5) × 8 = 19 × 8 = 152

● 73 (a + b) × (c + b) = (14 + 5) × (8 + 5)

= 19 × 13 = 247

● 74 a + b × c + b = 14 + 5 × 8 + 5 = 14 + 40 + 5 = 59

● 75 3 + 5 + 3 + 5 = 2 × 3 + 2 × 5

= 3 × 2 + 5 × 2 = (3 + 5) × 2

A), B) y C)

● 76 F = 9C __ 5 + 32

F = 9(25)

____ 5 + 32 = 77 °C

● 77 ( 2 925 – 2 925 ____ 3 ) ÷ 10 = 195

El valor de cada cuota es S/. 195

● 78 (36 000 + x) _________ 3 = 22 000

36 000 + x = 66 000

x = 66 000 – 36 000 x = 30 000

4. Usa los números 4; 2 y 5 (en ese orden) y las cuatro operaciones. Escribe todas las posibilidades, cuyo resultado sea un número natural.

Ejemplos:

4 ÷ 2 + 5 = 7

4 + 2 – 5 = 1

5. Completa los cuadrados mágicos teniendo en cuenta que la suma de los números de cada fila, columna y diagonal es la misma.

12 17 10

11 13 15

16 9 14

4 9 8

11 7 3

6 5 10

4 ÷ 2 · 5 = 104 · 2 + 5 = 134 + 2 + 5 = 114 + 2 – 5 = 14 – 2 + 5 = 7

4 · 2 – 5 = 34 · 2 · 5 = 40

✓



A) 6 + 7 B) 7 × 4 C) 4 – 1 D) 7 – 1




� 38 [(9 + 2) × 2] – (5 + 4) es equivalente a:

A) 9 × 2 + 2 – (5 + 4) B) (9 + 2) × 2 – 5 + 4

C) (9 + 2) × 2 – 5 – 4 D) 9 + 2 × 2 – 5 – 4


a) 18 + 4 × 13 – 9

c) 235 + 38 × 20 ÷ 10

e) 128 – (69 – 30) ÷ 3

b) 10 × (23 + 2) – 7

d) 56 – 28 ÷ 4 × 3

f) 58 + 9 × 7 – 5






a) 15 + 7 × 5 (15 + 7) × 5

b) 21 – 9 – 4 21 – (9 – 4)

c) (20 – 8) ÷ 2 20 – 8 ÷ 2

d) 8 × 4 + 5 × 2 8 × (4 + 5) × 2

e) 6 × 9 ÷ 3 – 1 6 × (9 ÷ 3) – 1


� 45 63 ÷ 7 + 8 × 9 – 20

� 46 6 × 81 ÷ 9 – 144 ÷ 12 × 3

� 47 100 – 121 ÷ 11 × (64 ÷ 8) + 35

� 48 72 ÷ 8 ÷ 3 × 7 – 150 ÷ 3 ÷ 10 + 9 × 6

� 49 16 × (12 – 8) ÷ 4 + 3 × (18 + 15 ÷ 5 × 4)

� 50 200 + [5 × (54 ÷ 9) – (20 ÷ 5 × 8 – 169 ÷ 13)]

� 51 17 × 8 – [32 ÷ (120 ÷ 5 – 4 × 5) – (300 – 4 × 75)]

14 – 4 × 3 – 1 10 × 2 20

8 – (5 – 3) ÷ 2 8 – 2 ÷ 2 8 – 1 7

12 – 9 ÷ 3 + 5 3 ÷ 3 + 5 1 + 5 4

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211

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18; 56 – (21 – 17)

19; (75 – 7) × 8

144 y 6

No

No

No

No

Sí

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16

16

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17

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�

�

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� 52 15 + 15 ÷ 3 × (40 + 2 × 10)

� 53 15 + 15 ÷ 3 × 40 + 2 × 10

� 54 (15 + 15) ÷ 3 × (40 + 2) × 10

� 55 (15 + 15) ÷ 3 × (40 + 2 × 10)

� 56 (15 + 15) ÷ 3 × 40 + 2 × 10


� 57 36 + 4 ÷ 4 – 5 = 5

� 58 36 + 4 ÷ 4 – 5 = 32

� 59 60 × 25 + 5 – 500 ÷ 5 = 1 700

� 60 20 × 66 – 20 – 6 = 800

� 61 49 + 7 ÷ 7 – 7 = 1


a) (18 – 6) × 3 b) 18 – (6 + 3)

c) 18 ÷ (6 + 3) d) 18 + 6 × 3







A) 1 B) 2 C) 13 D) 4


A) 42 B) 63 C) 67 D) 45

� 68 Calcula.[15 ÷ 5 + (18 + 27 ÷ 3) ÷ 27] – [20 ÷ 5 – 169 ÷ (13 × 13)]

A) 4 B) 5 C) 6 D) 1


� 69 a – b – c

� 71 a + b × c

� 73 (a + b) × (c + b)

� 70 a – (c – b)

� 72 (a + b) × c

� 74 a + b × c + b


A) 3 + 5 + 3 + 5

B) 3 × 2 + 5 × 2

C) (3 + 5) × 2

D) 3 × 5 × 2




5 m

3 m


Ejer

cici

o re

suel





16 cm

45 cm

35 cm

A) 45 × 16 – 35

B) 45 × 16 – 35 × 16

C) 45 × 35 – 16

D) 16 × (45 – 35)


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77 °F

S/. 195

30 000 personas

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Razonamiento y demostración Relaciona los datos propuestos de los problemas distinguiendo sus características.

Comunicación matemática Explica la información planteada al realizar una falsa suposición.

Resolución de problemas Aplica procesos operativos en la resolución de problemas.


Soluciones

● 79 Falsa suposición: Los 56 frascos son de sauco.El total recibido sería:56 × 4 = 224

Se cometió un error de:248 – 224 = S/. 24

Un error unitario cada vez que se contó un frasco de aguaymanto como de sauco de: 6 – 4 = S/. 2

24 ÷ 2 = 12 no son de sauco.

Alicia produjo 12 de aguaymanto.

Rpta. D

● 80 F.S.: Las 119 son bicicletas.

El total de ruedas sería:119 × 2 = 238

Se cometió un error de:270 – 238 = 32 ruedas

Error unitario: 3 – 2 = 1 rueda32 ÷ 1 = 32 no son bicicleta.

Son bicicletas: 119 – 32 = 87

Rpta. C

● 81 F.S.: Los 40 animales son gallinas.

El total de patas sería:40 × 2 = 80 patas

Se cometió un error de:118 – 80 = 38 patas

Error unitario: 4 – 2 = 2 patas38 ÷ 2 = 19 no son gallinas.

Hay 21 gallinas y 19 cuyes.

Rpta. A

● 82 F.S.: Las 55 monedas son de S/. 5.

El total es: 55 × 5 = S/. 275


Error unitario: 5 – 2 = S/. 3

75 ÷ 3 = 25 no son monedas de S/. 5, son de S/. 2.

Hay 25 monedas de S/. 2.

Rpta. B

● 83 F.S.: Hizo bien los 30 problemas

Su puntaje hubiera sido:30 × 5 = 150 puntos

Se cometió un error de:150 – 87 = 63 puntos

Error unitario: 5 – 2 = 3 puntos

63 ÷ 3 = 21 están mal hechos.

Hizo bien 30 – 21 = 9 problemas

Rpta. C

● 84 F.S.: Asisten 5 000 adultos.

La recaudación total sería:20 × 5 000 = S/. 100 000

Se cometió un error de:100 000 – 53 200 = S/. 46 800


46 800 ÷ 13 = 3 600 no son adultos.

Asistieron 3 600 niños.

Rpta. D

● 85 F.S.: Las 80 prendas son polos.

La tienda obtendría: 80 × 25 = S/. 2 000

Se cometió un error de:2 360 – 2 000 = S/. 360


360 ÷ 15 = 24 no son polos.

Se vendieron 24 blusas.Rpta. A

● 86 F.S.: Los 160 envases son de 2 L.

160 × 2 = 320 L

Se cometió un error de: 370 – 320 = 50 LError unitario: 3 – 2 = 1

50 ÷ 1 = 50 no son de 2 L.

Se usaron 160 – 50 = 110 envases de 2 L.

Rpta. D

Razona miento matemático

� 81 En un corral contamos 118 patas y 40 cabezas en-tre gallinas y cuyes. ¿Cuántas gallinas y cuyes hay en el corral?

A) 21 y 19 B) 19 y 21 C) 30 y 10 D) 25 y 15

� 82 Enrique tiene S/. 200 en monedas de S/. 5 y de S/. 2. Si tiene 55 monedas en total, ¿cuántas mo-nedas de S/. 2 tiene?

A) 20 B) 25 C) 30 D) 23

� 83 Tito resolvió 30 problemas. Cada problema bien resuelto vale 5 puntos y cada problema mal re-suelto vale 2 puntos por el esfuerzo realizado. Si Tito obtuvo 87 puntos, ¿cuántos problemas resol-vió bien?

A) 21 B) 15 C) 9 D) 13

� 84 A la final de un campeonato de básquet asistieron 5 000 espectadores. La entrada de adulto costó S/. 20 y la de niño S/. 7. Si la recaudación total fue de S/. 53 200, ¿cuántos niños asistieron?

A) 2 000 B) 2 500 C) 3 000 D) 3 600

� 85 En una tienda se vendieron polos a S/. 25 y blusas a S/. 40. Si en total se vendieron 80 prendas por S/. 2 360, ¿cuántas blusas se vendieron?

A) 24 B) 45 C) 56 D) 25

� 86 370 L de cera líquida se vaciaron en envases de 2 L y 3 L. Si se usaron 160 envases, ¿cuántos fue-ron de 2 L?

A) 100 B) 105 C) 90 D) 110

� 87 El jornal de un obrero es S/. 40 diarios y si hace sobretiempo, de S/. 50. Si luego de laborar 30 días recibió S/. 1 270, ¿cuántos días hizo sobre-tiempo?

A) 10 B) 9 C) 8 D) 7

� 88 Javier trabaja en dos obras durante 60 días. En la primera obra gana S/. 35 diarios y en la segun-da, S/. 25. Si después de trabajar 60 días recibe S/. 1 900, ¿cuántos días trabajó en la segunda obra?

A) 20 B) 35 C) 25 D) 40

Plantear una falsa suposición

Resuelve los siguientes problemas aplicando la es-trategia aprendida.

� 79 Alicia produce mermelada casera de frutas nati-vas. El frasco de mermelada de sauco lo vende a S/. 4 y el de aguaymanto a S/. 6. Si recibió S/. 248 por la venta de 56 frascos, ¿cuántos eran de aguaymanto?

A) 15 B) 20 C) 25 D) 12

� 80 A través de la ventana de una tienda de bicicletas y triciclos, Juan contó 270 ruedas. El vendedor le informa que hay 119 unidades en exhibición. ¿Cuántas son bicicletas?

A) 32 B) 64 C) 87 D) 96

Esta estrategia se emplea cuando un problema presenta elementos de dos clases diferentes y se necesita averiguar cuántos son de cada clase. Para ello, suponemos que todos los elementos son de una clase, cometiendo un error que, al ser analizado, nos lleva a la respuesta.

En mi terrario viven 30 bichitos entre arañas y hor-migas. Si calculé un total de 202 patas, ¿cuántas hormigas y arañas hay?

Solu ciónSuponemos que todos los bichos son arañas:

• El total de patas sería 30 × 8 = 240, pero sabemos que hay 202 patas; entonces, hemos cometido un error de:

240 – 202 = 38 patas

• El error se debe a que se consideró todos los bi-chos como arañas. Cada vez que contamos una hormiga como araña, fallamos en:

8 – 6 = 2 patas

• ¿Cuántas veces fallamos? 38 ÷ 2 = 19 veces

Entonces, 19 bichos no son arañas, son hormigas.

En el terrario hay 19 hormigas y 11 arañas.

• Comprobación:

19(6) + 11(8) = 114 + 88 = 202 patas

79. D 80. C 81. A 82. B 83. C 84. D 85. A 86. D 87. D 88. A20

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Estrategia s para resolver problemas

Buscar un patrón

Daniel ahorró S/. 50 el primer mes y cada mes ahorró la misma cantidad de dinero. Debemos calcular cuántos meses necesita Daniel para tener S/. 295, que es lo que cuesta el PSP.

Buscamos la regularidad (patrón o regla) que nos ayude a calcular cuánto aumentan los ahorros de Daniel cada mes. Después, aplicamos el patrón para los meses siguientes y calculamos la solución.

El primer mes ahorró S/. 50 y comprobamos que cada mes siguiente ahorró S/. 35.

Para continuar la sucesión, necesitamos sumar S/. 35 cada mes hasta llegar a S/. 295.

En 8 meses, Daniel tendrá el dinero suficiente para comprar el PSP.

El primer mes ahorró S/. 50. En los siete meses siguientes ahorró 7 × S/. 35.

En total ahorró 50 + 7 × 35 = 50 + 245 = 295

Analizamos la estrategia Describe los pasos que debes seguir para resol-ver un problema usando la estrategia de buscar un patrón.

Explica cuándo aplicarías la estrategia de buscar un patrón para resolver un problema.

Escribe un problema que se pueda resolver median-te la estrategia aprendida. Explica tu respuesta.

Elaboramos nuestra propia estrategia ¿De qué otra manera puedes resolver el problema planteado? Explica a un compañero.

Resolvemos problemas usando la estrategia1. El primer día de trabajo, Luis armó 25 cajas de cho-

colates, y cada siguiente día, 4 más que el día ante-rior. ¿Cuántas cajas armó Luis el décimo día?

2. Isabel recibe durante un día un correo electrónico cada 20 minutos. ¿Cuántos correos electrónicos re-cibirá entre las 9 de la mañana y las 12 del medio-día?

3. Lucas colocó el 2 de enero 15 m2 de mayólicas y ha calculado que el día 7 debe terminar la obra enco-mendada. Para ello, cada día debe colocar 3 m2 más que el día anterior. Si por cada metro cuadrado que pone le pagan S/. 17, ¿cuánto recibirá en total por la obra terminada?

Resuelve

Planifica

Comprende

Comprueba

Daniel organizó en una tabla sus ahorros acumulados por mes.

Si sigue ahorrando a ese ritmo, ¿en cuánto tiempo tendrá el dinero suficiente para comprar un PlayStation Portátil (PSP) que cuesta S/. 295.

Mes Saldo

Enero S/. 50

Febrero S/. 85

Marzo S/. 120

Abril S/. 155

Mes Saldo

Enero S/. 50

Febrero S/. 85

Marzo S/. 120

Abril S/. 155

Mayo S/. 190

Junio S/. 225

Julio S/. 260

Agosto S/. 295

+ 35

+ 35

+ 35

+ 35

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+ 35

+ 35

1. 61 2. 8 3. S/. 2 295 Unidad 1 Números naturales 21

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Unidad 120

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Razonamiento y demostración Relaciona los datos propuestos de los problemas distinguiendo sus características.

Comunicación matemática Explica la información planteada al realizar una falsa suposición.

Resolución de problemas Aplica procesos operativos en la resolución de problemas.


Soluciones

● 79 Falsa suposición: Los 56 frascos son de sauco.El total recibido sería:56 × 4 = 224


Un error unitario cada vez que se contó un frasco de aguaymanto como de sauco de: 6 – 4 = S/. 2

24 ÷ 2 = 12 no son de sauco.

Alicia produjo 12 de aguaymanto.

Rpta. D

● 80 F.S.: Las 119 son bicicletas.

El total de ruedas sería:119 × 2 = 238

Se cometió un error de:270 – 238 = 32 ruedas

Error unitario: 3 – 2 = 1 rueda32 ÷ 1 = 32 no son bicicleta.

Son bicicletas: 119 – 32 = 87

Rpta. C

● 81 F.S.: Los 40 animales son gallinas.

El total de patas sería:40 × 2 = 80 patas

Se cometió un error de:118 – 80 = 38 patas

Error unitario: 4 – 2 = 2 patas38 ÷ 2 = 19 no son gallinas.

Hay 21 gallinas y 19 cuyes.

Rpta. A

● 82 F.S.: Las 55 monedas son de S/. 5.

El total es: 55 × 5 = S/. 275



75 ÷ 3 = 25 no son monedas de S/. 5, son de S/. 2.

Hay 25 monedas de S/. 2.

Rpta. B

● 83 F.S.: Hizo bien los 30 problemas

Su puntaje hubiera sido:30 × 5 = 150 puntos

Se cometió un error de:150 – 87 = 63 puntos

Error unitario: 5 – 2 = 3 puntos

63 ÷ 3 = 21 están mal hechos.

Hizo bien 30 – 21 = 9 problemas

Rpta. C

● 84 F.S.: Asisten 5 000 adultos.

La recaudación total sería:20 × 5 000 = S/. 100 000

Se cometió un error de:100 000 – 53 200 = S/. 46 800


46 800 ÷ 13 = 3 600 no son adultos.

Asistieron 3 600 niños.

Rpta. D

● 85 F.S.: Las 80 prendas son polos.

La tienda obtendría: 80 × 25 = S/. 2 000

Se cometió un error de:2 360 – 2 000 = S/. 360


360 ÷ 15 = 24 no son polos.

Se vendieron 24 blusas.Rpta. A

● 86 F.S.: Los 160 envases son de 2 L.

160 × 2 = 320 L

Se cometió un error de: 370 – 320 = 50 LError unitario: 3 – 2 = 1

50 ÷ 1 = 50 no son de 2 L.

Se usaron 160 – 50 = 110 envases de 2 L.

Rpta. D



A) 21 y 19 B) 19 y 21 C) 30 y 10 D) 25 y 15


A) 20 B) 25 C) 30 D) 23


A) 21 B) 15 C) 9 D) 13


A) 2 000 B) 2 500 C) 3 000 D) 3 600


A) 24 B) 45 C) 56 D) 25


A) 100 B) 105 C) 90 D) 110


A) 10 B) 9 C) 8 D) 7


A) 20 B) 35 C) 25 D) 40




A) 15 B) 20 C) 25 D) 12


A) 32 B) 64 C) 87 D) 96





240 – 202 = 38 patas


8 – 6 = 2 patas




• Comprobación:

19(6) + 11(8) = 114 + 88 = 202 patas

79. D 80. C 81. A 82. B 83. C 84. D 85. A 86. D 87. D 88. A20

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Buscar un patrón







En total ahorró 50 + 7 × 35 = 50 + 245 = 295









Resuelve

Planifica

Comprende

Comprueba



Mes Saldo

Enero S/. 50

Febrero S/. 85

Marzo S/. 120

Abril S/. 155

Mes Saldo

Enero S/. 50

Febrero S/. 85

Marzo S/. 120

Abril S/. 155

Mayo S/. 190

Junio S/. 225

Julio S/. 260

Agosto S/. 295

+ 35

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Unidad 120

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Inicio• Recree la estrategia propuesta de buscar un patrón. Permita que cada estudiante realice su propia tabla en función

del dinero que puede ahorrar cada mes.

Presente el modelo de la tabla a través de la herramienta destacar.

• Pregunte lo siguiente: ¿Encuentran alguna relación entre la cantidad que ahorra Daniel cada mes? ¿Reconocen algún patrón entre las cantidades?

Desarrollo• Destaque la importancia de organizar información en tablas para establecer relaciones comunes entre los datos.

• Proponga la revisión de los pasos propuestos en la solución del problema. Pida que individualmente repasen lo que se realice en cada uno. Luego, elija a algunos estudiantes para que expliquen al resto de la clase cada paso.

Cierre• Motive a los estudiantes a reflexionar sobre la estrategia trabajada y su utilidad en la resolución de problemas.

• Haga hincapié en el desarrollo de los cuatro pasos. Esta estrategia les dará mayor seguridad en la resolución de problemas. Evalúe su aplicación al desarrollar los problemas propuestos.


Razonamiento y demostración Deduce el patrón de formación entre los datos cuantitativos de un problema.

Comunicación matemática Organiza información en tablas.

Resolución de problemas Emplea diferentes estrategias de organización y cálculo en la solución de problemas.


Más actividadesAplica la estrategia y resuelve:

1. Una máquina fotocopiadora logra copiar 72 hojas por minuto. ¿Cuántas copias se podrán obtener en 35 minutos?

2. Lucero colecciona CD. Si en enero tenía 38 CD y cada mes compra 6 CD, ¿cuántos CD tendrá en el mes de mayo?

3. Valeria toma una dosis de un medicamento, mañana y tarde. Si el martes tomó la primera dosis a las 10 a.m. , ¿cuántas dosis habrá tomado hasta el domingo a la misma hora?

Soluciones

● 1 1.er día: 25 2.º día: 29 3.er día: 33 4.º día: 37 5.º día: 41 ⋮ 8.º día: 53 9.º día: 57 10.º día: 61

El décimo día, Luis armó 61 cajas.

● 2 9:00 19:20 29:40 310:00 410:20 5

⋮11:40 912:00 10

Entre las 9 de la mañana y el me-diodía recibirá 8 correos.

● 3 2 enero: 15 m2

3 enero: 18 m2

4 enero: 21 m2

5 enero: 24 m2

6 enero: 27 m2

7 enero: 30 m2

Recibirá: 135 × 17 = 2 295 soles

+ 4

+ 4

+ 3

+ 3

2 520

62

11



A) 21 y 19 B) 19 y 21 C) 30 y 10 D) 25 y 15


A) 20 B) 25 C) 30 D) 23


A) 21 B) 15 C) 9 D) 13


A) 2 000 B) 2 500 C) 3 000 D) 3 600


A) 24 B) 45 C) 56 D) 25


A) 100 B) 105 C) 90 D) 110


A) 10 B) 9 C) 8 D) 7


A) 20 B) 35 C) 25 D) 40




A) 15 B) 20 C) 25 D) 12


A) 32 B) 64 C) 87 D) 96





240 – 202 = 38 patas


8 – 6 = 2 patas




• Comprobación:

19(6) + 11(8) = 114 + 88 = 202 patas

79. D 80. C 81. A 82. B 83. C 84. D 85. A 86. D 87. D 88. A20

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Buscar un patrón







En total ahorró 50 + 7 × 35 = 50 + 245 = 295









Resuelve

Planifica

Comprende

Comprueba



Mes Saldo

Enero S/. 50

Febrero S/. 85

Marzo S/. 120

Abril S/. 155

Mes Saldo

Enero S/. 50

Febrero S/. 85

Marzo S/. 120

Abril S/. 155

Mayo S/. 190

Junio S/. 225

Julio S/. 260

Agosto S/. 295

+ 35

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Razonamiento y demostración Relaciona procesos matemáticos para determinar los múltiplos y divisores de un número.

Relaciona los múltiplos y divisores de un número.

Comunicación matemática Explica el uso de los múltiplos y divisores de un número en contextos reales.

Resolución de problemas Analiza los criterios de divisibilidad para resolver problemas contextualizados.


Juego “Crucinúmeros”Presente a los estudiantes el siguiente crucinúmeros:

Horizontales

A) Mayor múltiplo de 9 menor que 100.

C) Primer número mayor que 204, múltiplo de 4 y de 3.

D) Múltiplo de 13.

Verticales

A) Consecutivo del mayor múltiplo de 10 de dos cifras.

B) Múltiplo de 2 y 3, mayor que 90.

C) Cuadrado perfecto.

E) Cubo perfecto.

A B

C

D E

Inicio• Asegúrese de que los estudiantes manejen el concepto de división exacta como operación inversa de la

multiplicación y reconozcan los términos de la división y su relación con la multiplicación: dividendo = divisor × cociente.

• Proponga el cálculo mental de divisiones exactas e inexactas.

• Aproveche la situación planteada en la página 25 para realizar la dinámica de formación de grupos. Pida que se formen en grupos de 12 estudiantes. Pregunte lo siguiente: ¿De cuántas formas pueden hacerlo? ¿Y si fueran 15 estudiantes? ¿Podrían formar grupos iguales con 17 estudiantes? Luego, pregunte. ¿Cuál es la relación entre los grupos formados?

• Destaque la reciprocidad de las relaciones “... es divisor de...” y “...es múltiplo de...” Por ejemplo:

Si 6 es divisor de 12; entonces, 12 es múltiplo de 6.

• Pida a los estudiantes que hallen los diez primeros múltiplos de 2; 3 y 5 respectivamente. Luego, pregunte lo siguiente: – ¿En qué cifras terminan los múltiplos de 2?– ¿Cómo es la suma de las cifras de los múltiplos de 3?– ¿En qué cifras terminan los múltiplos de 5?


Posibles dificultadesAl realizar las divisiones para hallar los divisores de un número, es necesario que se percaten de que el cociente es también un divisor.

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7

Voy a a p re n de r

A un campamento asisten 16 jóvenes. Si se quiere formar grupos con el mismo nú-mero de jóvenes, sin que sobre ninguno, ¿cuántos pueden haber en cada grupo?

• Elaboramos una tabla con los grupos que se pueden formar:

Número de grupos Cálculo Número de divisores

1 grupo de 16 o 16 grupos de 1

16 ÷ 1 = 161 y 16 son

divisores de 16

2 grupos de 8 u 8 grupos de 2

16 ÷ 8 = 22 y 8 son

divisores de 16

4 grupos de 4 16 ÷ 4 = 4 4 es divisor de 16

En cada grupo pueden haber 1; 2; 4; 8 o 16 jóvenes.

3. Propiedades de los números naturales 3.1. Múltiplos y divisores de un númeroDiana prepara alfajores y los coloca en cajas de 6 unidades para venderlos. ¿Cuántos alfajores debe preparar si tiene que entregar un pedido de 32 cajas?

• Elaboramos una tabla para determinar la cantidad de alfajores que debe preparar Diana, según la cantidad de cajas que tiene que entregar.

Número de cajas

Cálculo Número de alfajores

0 0 × 6 = 0 0

1 1 × 6 = 6 6

2 2 × 6 = 12 12

3 3 × 6 = 18 18

4 4 × 6 = 24 24

5 5 × 6 = 30 30

...

n n × 6 = 6n 6n

• El número de alfajores se obtie-ne multiplicando el número de cajas por 6:

6 × 32 = 192

Debe preparar 192 alfajores.

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los sucesivos números naturales: 0; 1; 2; 3; 4; … n

Múltiplos de a � °a = {0 × a; 1 × a; 2 × a; 3 × a; …} = {0; a; 2a; 3a; …}

Ejemplo 17 Calculo el número de múltiplos

¿Cuántos múltiplos de 5, diferentes de 0, hay del 18 al 300?

• Calculamos los múltiplos de 5 que hay del 1 al 300 300 ÷ 5 = 60


• Para saber cuántos múltiplos hay del 18 al 300, restamos 60 – 3 = 57

Del 18 al 300, hay 57 múltiplos de 5 diferentes de 0.

¿Cuántos números no son múltiplos de 5, diferentes de 0, del 18 al 300?

16 2 � 16 = 8 × 2

0 8

• 16 es múltiplo de 8, entonces 8 es divisor de 16.


Para resolver problemas que requieran de la divisibilidad de

números.


Múltiplos y divisores

Propiedades de los múltiplos

• Los múltiplos de un número forman un conjunto infinito.

• El cero es múltiplo de todos los números.

• Todo número es múltiplo de sí mismo.

Los números 0; 6; 12; 18; 24; ... son múltiplos de 6:°6 = {0; 6; 12; 18; 24; 30; …}

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3.2. Criterios de divisibilidad


a) Si ___

8a4 es múltiplo de 4, halla el menor valor de a diferente de 0.

• Si ___

8a4 es múltiplo de 4, entonces __

a4 es múltiplo de 4.

• Los valores que puede tomar a son 0; 2; 4; 6 y 8.

El menor valor de a diferente de cero es 2.

b) Halla el mayor valor de a para que ___

2a3 sea divisible por 3.

• Como ___

2a3 es divisible entre 3, entonces 2 + a + 3 = 3°.

• Los valores que puede tomar a son 1; 4 y 7.

El mayor valor de a es 7.

Ejemplo 18 Determino conjuntos por compresión y extensión

Determina por extensión los siguientes conjuntos:

Por comprensión Por extensión

A = {x / x es múltiplo de 2 menor que 10} A = {0; 2; 4; 6; 8}

B = {x / x es divisor de 8} B = {1; 2; 4; 8}

C = {x / x es múltiplo de 6, 24 < x < 48} C = {30; 36; 42}

D = {x / x es múltiplo de 9, 18 < x ≤ 72} D = {27; 36; 45; 54; 63; 72}

Determina por extensión M = {x / x es múltiplo de 7, 10 < x ≤ 71}.

Lectura de expresiones simbólicas

24 < x < 48 Se lee: x es mayor que 24 y menor que 48.

18 < x ≤ 72 Se lee: x es mayor que 18 y menor o igual a 72.

Ejemplo 19 Aplico los criterios de divisibilidad

Calcula la cifra que falta. Escribe todas las posibilidades.

a) 3 57 es divisible por 2 Pueden ser 0; 2; 4; 6 y 8.

b) 9 5 0 es divisible por 5 Puede ser cualquier cifra del 0 al 9.

c) 7 0 6 es divisible por 3 Pueden ser 2; 5 y 8.

d) 2 30 es divisible por 9 Puede ser 4.

e) 5 83 es divisible por 6 Pueden ser 2 y 8.

Un número es divisible...– Por 2 si la última cifra es 0 o par: 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; ...

– Por 4 si las dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4: 4; 8; 12; … 100; 104; … 128

– Por 5 si la última cifra es 0 o 5: 5; 10; 15; … 100; ... 1 205; …

– Por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3: 3; 6; 9; 12; … 102; … 4 071

– Por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9: 9; 18; 27; … 108; … 1 053

– Por 6 si es divisible a la vez por 2 y 3: 6; 12; 18; 24; … 3 408

¿Es cierto que cualquier número divisible

por 9 es divisible por 3? ¿Y cualquier múltiplo de 3 es

divisible por 9? Explica cada caso.

Propiedades de los divisores

• Los divisores de un número forman un conjunto finito.

• El número 1 es divisor de todos los números.

• Todo número es divisor de sí mismo.


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Razonamiento y demostración Relaciona procesos matemáticos para determinar los múltiplos y divisores de un número.

Relaciona los múltiplos y divisores de un número.

Comunicación matemática Explica el uso de los múltiplos y divisores de un número en contextos reales.

Resolución de problemas Analiza los criterios de divisibilidad para resolver problemas contextualizados.


Juego “Crucinúmeros”Presente a los estudiantes el siguiente crucinúmeros:

Horizontales

A) Mayor múltiplo de 9 menor que 100.

C) Primer número mayor que 204, múltiplo de 4 y de 3.

D) Múltiplo de 13.

Verticales

A) Consecutivo del mayor múltiplo de 10 de dos cifras.

B) Múltiplo de 2 y 3, mayor que 90.

C) Cuadrado perfecto.

E) Cubo perfecto.

A B

C

D E

Inicio• Asegúrese de que los estudiantes manejen el concepto de división exacta como operación inversa de la

multiplicación y reconozcan los términos de la división y su relación con la multiplicación: dividendo = divisor × cociente.

• Proponga el cálculo mental de divisiones exactas e inexactas.

• Aproveche la situación planteada en la página 25 para realizar la dinámica de formación de grupos. Pida que se formen en grupos de 12 estudiantes. Pregunte lo siguiente: ¿De cuántas formas pueden hacerlo? ¿Y si fueran 15 estudiantes? ¿Podrían formar grupos iguales con 17 estudiantes? Luego, pregunte. ¿Cuál es la relación entre los grupos formados?

• Destaque la reciprocidad de las relaciones “... es divisor de...” y “...es múltiplo de...” Por ejemplo:

Si 6 es divisor de 12; entonces, 12 es múltiplo de 6.

• Pida a los estudiantes que hallen los diez primeros múltiplos de 2; 3 y 5 respectivamente. Luego, pregunte lo siguiente: – ¿En qué cifras terminan los múltiplos de 2?– ¿Cómo es la suma de las cifras de los múltiplos de 3?– ¿En qué cifras terminan los múltiplos de 5?


Posibles dificultadesAl realizar las divisiones para hallar los divisores de un número, es necesario que se percaten de que el cociente es también un divisor.

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Voy a a p re n de r





16 ÷ 1 = 161 y 16 son

divisores de 16


16 ÷ 8 = 22 y 8 son

divisores de 16





Número de cajas


0 0 × 6 = 0 0

1 1 × 6 = 6 6

2 2 × 6 = 12 12

3 3 × 6 = 18 18

4 4 × 6 = 24 24

5 5 × 6 = 30 30

...

n n × 6 = 6n 6n


6 × 32 = 192











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números.








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• Si ___







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M = {14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70}

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Divisibilidad entre 7 y 11• Un número es divisible por 7 si

se multiplica por 2 la cifra de las unidades del número y el resultado se le resta al número que forman las cifras restantes. Este proceso se repite hasta que la diferencia este formada por una o dos cifras. Si esta cifra es cero o forma un múltiplo de 7, el número inicial es divisible por 7.

Ejemplo: ¿7 861 es divisible por 7?

1º 786 – (1 × 2) = 784

2º 78 – (4 × 2 ) = 70

70 es múltiplo de 7, entonces 7 861 también lo es.

7 861 = 7°

• Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es múltiplo de 11.

– En 1 276, se suman las cifras que ocupan los lugares pares:

1 + 7 = 8

– Se suman las cifras que ocupan los lugares impares: 2 + 6 = 8

– Luego, se restan los dos resultados: 8 – 8 = 0, es múltiplo de 11. Luego, 1 276 también lo es.

1 276 = °11

Desarrollo• Trabaje con los estudiantes la situación planteada en esta página y pida que determinen la cantidad de alfajores

para un pedido de 50 y 70 cajas. Luego, pregunte lo siguiente: ¿Cómo se obtienen los múltiplos de un número?

Destaque las propiedades de los múltiplos utilizando el botón zoom de selección.

• Presente con ejemplos la aplicación del cálculo de los múltiplos y divisores en la solución de problemas.

• Revise mediante la participación espontánea los saberes previos sobre criterios de divisibilidad.

• Recuerde a los estudiantes cómo determinar un conjunto por extensión y pídales que resuelvan las actividades planteadas en los ( ).

Presente el recurso animación “Escuela Pitagórica” para reforzar el tema de divisores de un número. Haga que los estudiantes participen en el análisis de los problemas y desarrollen los ejercicios propuestos.

Ejercite la aplicación de los criterios de divisibilidad a través del ejemplo 19. Con la herramienta tapar oculte las soluciones para invitar a los estudiantes a sustentar sus respuestas.

Cierre• Evalúe el trabajo realizado. Puede preguntar lo siguiente: ¿Qué características tienen los números divisibles por 15?

¿Cómo determinan si el número 8 085 es divisible por 15? Expliquen.

Posibles dificultades• Al definir los criterios de

divisibilidad, es necesario que los estudiantes descubran por sí mismos las características que permiten determinar cuándo un número es divisor de otro.

• Realice actividades para definir otros criterios de divisibilidad. Por ejemplo: Pídales que escriban los múltiplos comunes de 3 y 4. Luego, defina cuál es el criterio de divisibilidad por 12.

Voy a a p re n de r





16 ÷ 1 = 161 y 16 son

divisores de 16


16 ÷ 8 = 22 y 8 son

divisores de 16





Número de cajas


0 0 × 6 = 0 0

1 1 × 6 = 6 6

2 2 × 6 = 12 12

3 3 × 6 = 18 18

4 4 × 6 = 24 24

5 5 × 6 = 30 30

...

n n × 6 = 6n 6n


6 × 32 = 192











16 2 � 16 = 8 × 2

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números.








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a) Si ___


• Si ___







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M = {14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70}

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Inicio• Proponga ejemplos para presentar dos formas de expresar un número que no es divisible por otro.

• De acuerdo a la actividad planteada: ¿Qué características presentan estos números? ¿Cuántos divisores tienen?

Desarrollo• Recree una situación similar al ejemplo 21, de manera que pueda desarrollar en forma conjunta la solución del

problema. Motive a realizar la representación gráfica de la situación para ordenar datos y comprobar resultados.

• Proponga la creación de ejercicios empleando múltiplos para favorecer el aprendizaje de la estrategia aprendida.

Utilice la barra de zoom para ampliar el cuadro de las operaciones con múltiplos para que cada estudiante proponga ejemplos.

• Forme grupos para que analicen los criteros de divisibilidad, propongan ejemplos y creen problemas donde se apliquen estas propiedades. Para afianzar sus conocimientos desarrolle la sección “Para practicar”.

Cierre• Organice grupos de trabajo para desarrollar la sección “Para practicar”.

Motive la evaluación de las capacidades desarrolladas mediante el recurso PDF (fichas de refuerzo).


Razonamiento y demostración Interpreta números no divisibles aplicando técnicas operativas.

Comunicación matemática Representa números no divisibles relacionando los términos de una división inexacta.

Resolución de problemas Aplica procesos operativos de las operaciones con múltiplos en la solución de problemas.


Juego “Expresiones numéricas”• Forme parejas. Indique a cada

estudiante que elabore tarjetas con los siguientes enunciados.

Después deben colocarlas en un mismo montón boca abajo.

Cada estudiante, por turno, coge una tarjeta y calcula el resultado de la expresión numérica anotando su respuesta en una hoja adicional. Después deja la tarjeta en el montón, mezclándola con el resto.

Si saca una tarjeta repetida, pasa el turno al compañero.

Gana el que resolvió correctamente las seis tarjetas.

A 17 le restas el cociente de 162 y 18.


A 63 le restas 45 y después le sumas 28.

La diferencia entre 37 y 29 la multiplicas por 13.

Números no divisibles


Si hoy es miércoles, ¿qué día será dentro de 100 días?

• Una semana tiene 7 días. Si hoy es miércoles, dentro de 7; 14; 21; 35… días será también miércoles. Expresamos 100 como no divisible por 7:

100 = 7 × 14 + 2

= °7 + 2

Dentro de 100 días será viernes.

Hoy es martes, ¿qué día será dentro de 320 días?

Cuando un número no es divisible por otro, la división es inexacta porque hay residuo.

Observa dos formas de expresar un número que no es divisible por otro.

31 no es divisible por 7 ni por 4.

31 7 � 31 = 4 × 7 + 3

3 4 = °4 + 3

31 = 7 × 4 + 3

= °7 + 3

31 no es divisible por 8.

31 8 � 31 = 32 – 1 1 4 31 = 8 × 4 – 1

= °8 – 1

Ejemplo 22 Calculo el residuo de una división

El número 63 es múltiplo de 9 (63 = °9). Calcula el residuo de…

a) 64 ÷ 9

b) 963 ÷ 9

c) 73 ÷ 9

d) 61 ÷ 9

e) 63 × 12 ÷ 9

Ejemplo 23 Aplico propiedades de los múltiplos y divisores

Calcula el residuo que se obtiene al dividir 285 entre 3.

• El número 28 no es divisible por 3. Aplicamos propiedades: 285 = (°3 + 1)5

= °3 + 1

El residuo de 285 entre 3 es 1.

César colecciona llaveros. Si los cuenta de 7 en 7, le sobran 3, y si los cuen-ta de 11 en 11, le sobra 1. Si tiene menos de 100, ¿cuántos llaveros tiene César?

963 = 63 + 900 � 963 = °9 + °9 = °9, entonces el residuo es 0.

64 = 63 + 1 � 64 = °9 + 1, entonces el residuo es 1.

61 = 63 – 2 � 61 = °9 – 2 = °9 – 9 + 7 = °9 + 7, entonces el residuo es 7.

73 = 63 + 10 � 73 = °9 + 10 = °9 + °9 + 1 = °9 + 1, entonces el residuo es 1.

63 × 12 = °9 × 12 = °9, entonces el residuo es 0.

Expresamos 28 como múltiplo de 3: 28 = 27 + 1 = °3 + 1

Usamos la propiedad (°n + b)a = °n + ba

Operaciones con múltiplos

• Adición: °n + °n = °n Ejemplo: 3 + 15 = 18 °3 + °3 = °3

• Sustracción: °n – °n = °n Ejemplo: 45 – 10 = 35 °5 – °5 = °5• Multiplicación: °a × °n = °a = °n = a × n Ejemplo: 3 × 7 = 21 °3 × °7 = °3 = °7 = 21

• Potenciación ( °n + b)a = °n + ba

Ejemplo: 122 = 144 (10 + 2)2 = 140 + 4 ( °5 + 2)2 = °5 + 22

Miércoles Miércoles Jueves Viernes

+2+1°7°7

¿Qué números son divisibles por 7?

• 7 × 4 + 5• 7 × 8 + 7• 7 × 6 + 9

Cá lcu lo menta l

• 7 × 5 + 21• 7 × 10 + 14• 7 × 7 + 4

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Domingo

45

��

�

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Para p ra ct ica r

� 110

� 109

� 111

� 112

� 113

� 98 Identifica las igualdades falsas.

a) 16 = °5 + 1 b) 29 = °6 + 4

c) 17 = °5 – 1 d) 52 = °7 + 3

� 99 Marca con un � según corresponda.

NúmeroDivisible por

2 3 4 5 6 9 10

6 095

6 124

9 980

46 659

387 000

� 100 En una división, el dividendo es 2 114, el divisor es 21 y el cociente es 100. ¿Cuál es el residuo? ¿Puedes afirmar que 2 114 es múltiplo de 21?

� 101 Sabiendo que 221 es múltiplo de 13, verifica que 221 × 7 y 221 × 9 son divisibles por 13. ¿A qué conclusión puedes llegar?

� 102 Los años bisiestos son aquellos divisibles por 4, pero los años que terminan en doble cero no lo son, excepto los que son divisibles por 400.

a) ¿Cuáles de estos años fueron bisiestos: 1236; 1582; 1600; 1900; 2000; 2008?

b) ¿Cuál será el próximo año bisiesto?

Escribe en cada recuadro la mayor cifra posible para que las igualdades sean verdaderas.

� 103 98 64 = °3

� 105 86 2 6 = °4

� 107 98 312 = °6

� 104 7 651 = °3

� 106 59 4 2 = °4

� 108 70 318 = °6

Escribe los resultados en el crucigrama.

� 109 Mayor número de dos cifras múltiplo de 15.

� 110 Número de divisores de 100.

� 111 Residuo al dividir 184 entre 8.

� 112 Menor número de tres cifras divisible por 5.


��

�

�

�

Observa el ejemplo. Luego, calcula.

Ejer

cici

o re

suel

to Calcula el residuo que se obtiene al dividir 304 entre 7.

• Si hay residuo, el número 30 no es divisible por 7. Resolvemos aplicando propiedades:

304 = (°7 + 2)4 = °7 + 16 = °7 + °7 + 2 = °7 + 2


� 114 377 ÷ 5

� 115 486 ÷ 9

� 116 314 ÷ 7


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O�

�

�

�

� � � � ��

�

�

� �

�

Si a es divisible por b, entonces a · 2; a · 3; ... a · n son divisibles por b.

14; no es múltiplo de 21.

2 012

9 8

9 9

7 8

r = 3

r = 0

r = 4

�

�

Respuesta modelo

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Unidad 126

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Inicio• Proponga ejemplos para presentar dos formas de expresar un número que no es divisible por otro.

• De acuerdo a la actividad planteada: ¿Qué características presentan estos números? ¿Cuántos divisores tienen?

Desarrollo• Recree una situación similar al ejemplo 21, de manera que pueda desarrollar en forma conjunta la solución del

problema. Motive a realizar la representación gráfica de la situación para ordenar datos y comprobar resultados.

• Proponga la creación de ejercicios empleando múltiplos para favorecer el aprendizaje de la estrategia aprendida.

Utilice la barra de zoom para ampliar el cuadro de las operaciones con múltiplos para que cada estudiante proponga ejemplos.

• Forme grupos para que analicen los criteros de divisibilidad, propongan ejemplos y creen problemas donde se apliquen estas propiedades. Para afianzar sus conocimientos desarrolle la sección “Para practicar”.

Cierre• Organice grupos de trabajo para desarrollar la sección “Para practicar”.

Motive la evaluación de las capacidades desarrolladas mediante el recurso PDF (fichas de refuerzo).


Razonamiento y demostración Interpreta números no divisibles aplicando técnicas operativas.

Comunicación matemática Representa números no divisibles relacionando los términos de una división inexacta.

Resolución de problemas Aplica procesos operativos de las operaciones con múltiplos en la solución de problemas.


Juego “Expresiones numéricas”• Forme parejas. Indique a cada

estudiante que elabore tarjetas con los siguientes enunciados.

Después deben colocarlas en un mismo montón boca abajo.

Cada estudiante, por turno, coge una tarjeta y calcula el resultado de la expresión numérica anotando su respuesta en una hoja adicional. Después deja la tarjeta en el montón, mezclándola con el resto.

Si saca una tarjeta repetida, pasa el turno al compañero.

Gana el que resolvió correctamente las seis tarjetas.



A 63 le restas 45 y después le sumas 28.

La diferencia entre 37 y 29 la multiplicas por 13.





100 = 7 × 14 + 2

= °7 + 2






31 7 � 31 = 4 × 7 + 3

3 4 = °4 + 3

31 = 7 × 4 + 3

= °7 + 3


31 8 � 31 = 32 – 1 1 4 31 = 8 × 4 – 1

= °8 – 1



a) 64 ÷ 9

b) 963 ÷ 9

c) 73 ÷ 9

d) 61 ÷ 9

e) 63 × 12 ÷ 9




= °3 + 1














Ejemplo: 122 = 144 (10 + 2)2 = 140 + 4 ( °5 + 2)2 = °5 + 22


+2+1°7°7


• 7 × 4 + 5• 7 × 8 + 7• 7 × 6 + 9

Cá lcu lo menta l

• 7 × 5 + 21• 7 × 10 + 14• 7 × 7 + 4

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Para p ra ct ica r

� 110

� 109

� 111

� 112

� 113


a) 16 = °5 + 1 b) 29 = °6 + 4

c) 17 = °5 – 1 d) 52 = °7 + 3



2 3 4 5 6 9 10

6 095

6 124

9 980

46 659

387 000







� 103 98 64 = °3

� 105 86 2 6 = °4

� 107 98 312 = °6

� 104 7 651 = °3

� 106 59 4 2 = °4

� 108 70 318 = °6







��

�

�

�


Ejer

cici

o re

suel



304 = (°7 + 2)4 = °7 + 16 = °7 + °7 + 2 = °7 + 2


� 114 377 ÷ 5

� 115 486 ÷ 9

� 116 314 ÷ 7


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2 012

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9 9

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r = 3

r = 0

r = 4

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Respuesta modelo

020_029 U01M1 27 6/7/11 9:10:37 AM

Unidad 126

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● 109 N = 15k , k es un número natural

15k < 100, entonces k < 100/15 = 6,͡6

Mayor k = 6 15(6) = 90

● 110 D(100) = {1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100}

Otra solución:

Descomponemos 100 = 22 · 52

n[D(100)] = (2 + 1)(2 + 1) = 3 · 3 = 9

● 111 184 ÷ 8 184 = 23 × 8 r = 0

● 112 5k ≥ 100

Menor k = 20 5(20) = 100

● 113 310 ÷ 9 310 = 34 × 9 + 4

● 114 377 = (5° + 2)7 = 5° + 128

= 5° + 5° + 3 = 5° + 3

∴ r = 3

● 115 486 = (9° + 3)6 = 9° + 729

= 9° + 9° = 9° + 0

∴ r = 0

● 116 314 = (7° + 3)4 = 7° + 81

= 7° + 7° = 7° + 4

∴ r = 4

Más actividades1. ¿El número 4 920 es divisible por 15?

2. Comprueba si en estos pares de números existe una relación de divisibilidad.

a) 500 y 20 b) 117 y 12

c) 476 y 16 d) 288 y 24

3. Sin efectuar las operaciones averigua si 5 es divisor del resultado de:

a) 75 + 35 b) 80 – 25

4. Si el dividendo de una divisiónes 214, el divisor es 21 y el cociente es 10. ¿El número 214 es divisible por 21?

Información complementariaEvolución histórica de la divisibilidad• Los hindúes llegaron a conocer

la divisibilidad por 3; 7 y 9, y los griegos y egipcios establecieron la clasifi cación de los números en pares e impares.

El matemático francés Blaise Pascal (siglo XVII) propuso las reglas para determinar la divisibilidad para cualquier número.





100 = 7 × 14 + 2

= °7 + 2






31 7 � 31 = 4 × 7 + 3

3 4 = °4 + 3

31 = 7 × 4 + 3

= °7 + 3


31 8 � 31 = 32 – 1 1 4 31 = 8 × 4 – 1

= °8 – 1



a) 64 ÷ 9

b) 963 ÷ 9

c) 73 ÷ 9

d) 61 ÷ 9

e) 63 × 12 ÷ 9




= °3 + 1














Ejemplo: 122 = 144 (10 + 2)2 = 140 + 4 ( °5 + 2)2 = °5 + 22


+2+1°7°7


• 7 × 4 + 5• 7 × 8 + 7• 7 × 6 + 9

Cá lcu lo menta l

• 7 × 5 + 21• 7 × 10 + 14• 7 × 7 + 4

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Para p ra ct ica r

� 110

� 109

� 111

� 112

� 113


a) 16 = °5 + 1 b) 29 = °6 + 4

c) 17 = °5 – 1 d) 52 = °7 + 3



2 3 4 5 6 9 10

6 095

6 124

9 980

46 659

387 000







� 103 98 64 = °3

� 105 86 2 6 = °4

� 107 98 312 = °6

� 104 7 651 = °3

� 106 59 4 2 = °4

� 108 70 318 = °6







��

�

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Ejer

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suel



304 = (°7 + 2)4 = °7 + 16 = °7 + °7 + 2 = °7 + 2


� 114 377 ÷ 5

� 115 486 ÷ 9

� 116 314 ÷ 7


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2 012

9 8

9 9

7 8

r = 3

r = 0

r = 4

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Respuesta modelo

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Razonamiento y demostración Relaciona procesos matemáticos para hallar la descomposición de un número en sus factores primos.

Organiza la descomposición de un número en sus factores primos.

Comunicación matemática Explica las diferencias entre un número primo y un número compuesto.

Resolución de problemas Resuelve problemas de contexto matemático y de la vida real que implican el uso de números primos y compuestos.


Información complementaria¿Cuál es el número primo más grande que conoces?Comente que el conjunto de los números primos es infinito y que antes que existiese la computadora, el más grande de estos era 2127 – 1. Luego en 1963 el número primo 211213 – 1 se hizo muy conocido pues se estampaba como sello postal en las cartas enviadas por correo desde la Universidad de Illinois donde fue descubierto. Este número era tan grande que para escribirlo necesitaríamos separar casi 60 líneas de este libro pues tiene 3 376 dígitos.

En 1971, se descubrió el número 219 937 – 1. Averigua cuántos dígitos tiene, dónde y quién lo descubrió cuál es el procedimiento para hallar un número primo.

Inicio• Recree la actividad planteada con fichas cuadradas de cartulina o cartón para que formen arreglos rectangulares

y asocien con la descomposición de números primos y compuestos como se muestra en esta página.

Utilice el botón zoom de selección para destacar la tabla con los conjuntos de divisores obtenidos.

• Resalte que los factores de un número primo solo se puede formar un arreglo rectangular tipo fila o columna, mientras que con los números compuestos se forman dos o más arreglos rectangulares.

Desarrollo• Motive a los estudiantes a definir y diferenciar números primos y compuestos.

• Proponga a los estudiantes ejercitar la resolución de problemas demostrando si un número es divisible por otro.

• Presente ejemplos sobre la descomposición de un número en factores primos presentándolo en su forma exponencial.

• Destaque los exponentes de una descomposición y establezca la relación operativa entre ellos, para obtener el número total de divisores de un número. Invite a los estudiantes a ejercitar sus cálculos desarrollando la sección de “Más actividades”.

Presente el recurso animación “Unos números especiales” para reforzar los números primos y los criterios de divisibilidad.


Posibles dificultadesLos estudiantes pueden confundir los números primos con los números impares. Para ello, distinga los números primos por el número de divisores que presente un determinado número. Haga notar que el 2 es par y número primo porque tiene solo dos divisores.

Ejemplo 24Descompón 24 en sus factores primos.

La descomposición prima del número 24 � 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3

Descompón en sus factores primos: 80; 36 y 3 600

Determino la descomposición prima de un número

24

2 × 12

2 × 2 × 6

2 × 2 × 2 × 3

24 2

12 2

6 2

3 3

1

3.3. Números primos y compuestos

Un número primo es aquel que solo tiene dos divisores.

Un número compuesto es aquel que tiene más de dos divisores.

La tabla muestra los rectángulos que se pueden formar con 2; 3; 4; 5 y 6 fichas.

n.° de fichas 2 3 4 5 6

Rectángulo

Dimensiones del rectángulo

1 × 2 1 × 3 1 × 42 × 2

1 × 5 1 × 62 × 3

• Con 2; 3 y 5 fichas se puede formar solo un rectángulo. Los divisores de 2; 3 y 5 son: D(2) = {1; 2} D(3) = {1; 3} D(5) = {1; 5}

Observamos que tienen solo dos divisores. 2; 3 y 5 son números primos.

• Con 4 y 6 fichas se puede formar más de un rectángulo.

D(4) = {1; 2; 4} D(6) = {1; 2; 3; 6}

Observamos que tienen más de dos divisores. 4 y 6 son números compuestos.

Ten en cuenta que un rectángulo de 1 × 2 es lo mismo que un rectángulo

de 2 × 1.


Se sabe que 140 = 22 × 5 × 7. Responde las siguientes preguntas:

a) ¿140 es divisible por 6? � No es divisible por 6, porque no tiene factores múltiplos de 6.

b) ¿28 es divisor de 140? � 28 es divisor de 140, porque uno de sus factores es 28 (22 × 7 = 28).

Responde: a) ¿140 es divisible por 44? b) ¿140 es múltiplo de 35?

Divisores Tipo

1 {1} –––

2 {1; 2} Primo

3 {1; 3} Primo

4 {1; 2; 4} Comp.

5 {1; 5} Primo

6 {1; 2; 3; 6} Comp.

7 {1; 7} Primo

8 {1; 2; 4; 8} Comp.

9 {1; 3; 9} Comp.

10 {1; 2; 5; 10} Comp.

11 {1; 11} Primo

12 {1; 2; 3; 4; 6; 12} Comp.

13 {1; 13} Primo

3.° Expresamos en factores primos.

2.° Descomponemos los números compuestos.

1.° Escogemos cualquier factor de 24.

Si 8 = 23, calcula la descomposi-ción en factores primos de:

• 16 • 32• 24 • 40• 56 • 88

Cá lcu lo menta l

1.a FORMA 2.a FORMA

28

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22

24 × 5

No Sí

22 × 32 24 × 32 × 52

24

23 · 323 · 7 23 × 11

23 × 525

020_029 U01M1 28 6/7/11 9:10:39 AM



Otra forma de resolver

Número total de divisores de un número

Ejemplo 26 Hallo el número total de divisores de un número

Calcula el número total de divisores de 80 y de 200.

a) 80

80 = 24 × 5 � n[D(80)] = (4 + 1)(1 + 1) = (5)(2) = 10

El número 80 tiene 10 divisores.

b) 240

240 = 24 × 3 × 5 � n[D(240)] = (4 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = (5)(2)(2) = 20


Si A se descompone en sus factores primos: A = am × bn × cp, el número total de divisores de A es n[D(A)] = (m + 1)(n + 1)(p + 1).


¿Cuántos divisores tiene A más que B si A = 22 × 34 × 53 y B = 25 × 32?

• Hallamos los divisores de A y B. Luego, comparamos:

A = 22 × 34 × 53 � n[D(A)] = (2 + 1)(4 + 1)(3 + 1) = (3)(5)(4) = 60

B = 25 × 32 � n[D(B)] = (5 + 1)(2 + 1) = (6)(3) = 18 60 – 18 = 42

A tiene 42 divisores más que B.

Descomponemos 80 en factores:

80 × 1

40 × 2

80 20 × 4

16 × 5

10 × 8

D(80) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80}

n[D(80)] = 10

� 117 Realiza la descomposición prima de estos números:

a) 84 b) 325 c) 450

d) 540 e) 168 f) 8 085

g) 60 h) 144 i) 648

j) 180 k) 500 l) 1 200

� 121 ¿Es correcta la siguiente descomposición en fac-tores primos de N? N = 2 × 5 × 72 × 15

Si es incorrecta, halla la verdadera descomposi-ción en factores primos de N.

� 122 ¿Cuántos divisores tiene el número 164?

� 123 ¿Cuántos divisores tiene el mayor número de dos cifras?

� 124 ¿Cuántos divisores más tiene 360 que 180?

� 125 Sabiendo que A = 22 × 33 × 54, calcula el número de divisores de A.

� 126 Si B tiene 12 divisores y B = 3x × 72, calcula el valor de x.

� 127 Si M = 25 × 11x tiene 48 divisores, calcula el va-lor de x.

� 128 Si 8 × 5n tiene 12 divisores, halla el valor de n.

Descomponemos en sus factores primos.


� 118 ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor divisor de 309?

� 119 Si la descomposición prima de 32 es 2x, calcula el valor de x.

� 120 La descomposición prima de 10 es 2 × 5; la de 100 es 22 × 52; la de 1 000 es 23 × 53… ¿Cuál es la des-composición de 100 000? ¿Y la de 10 millones?



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308

5

100 000 = 25 × 55

10 000 000 = 27 × 57

2

7

3

60

6

6

No

6N = 2 × 3 × 52 × 7222 × 3 × 7

22 × 33 × 5

52 × 13

23 × 3 × 7

2 × 32 × 52

3 × 5 × 72 × 11

22 × 3 × 5 24 × 32 23 × 34

22 × 32 × 5 22 × 53 24 × 3 × 52

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Razonamiento y demostración Relaciona procesos matemáticos para hallar la descomposición de un número en sus factores primos.

Organiza la descomposición de un número en sus factores primos.

Comunicación matemática Explica las diferencias entre un número primo y un número compuesto.

Resolución de problemas Resuelve problemas de contexto matemático y de la vida real que implican el uso de números primos y compuestos.


Información complementaria¿Cuál es el número primo más grande que conoces?Comente que el conjunto de los números primos es infinito y que antes que existiese la computadora, el más grande de estos era 2127 – 1. Luego en 1963 el número primo 211213 – 1 se hizo muy conocido pues se estampaba como sello postal en las cartas enviadas por correo desde la Universidad de Illinois donde fue descubierto. Este número era tan grande que para escribirlo necesitaríamos separar casi 60 líneas de este libro pues tiene 3 376 dígitos.

En 1971, se descubrió el número 219 937 – 1. Averigua cuántos dígitos tiene, dónde y quién lo descubrió cuál es el procedimiento para hallar un número primo.

Inicio• Recree la actividad planteada con fichas cuadradas de cartulina o cartón para que formen arreglos rectangulares

y asocien con la descomposición de números primos y compuestos como se muestra en esta página.

Utilice el botón zoom de selección para destacar la tabla con los conjuntos de divisores obtenidos.

• Resalte que los factores de un número primo solo se puede formar un arreglo rectangular tipo fila o columna, mientras que con los números compuestos se forman dos o más arreglos rectangulares.

Desarrollo• Motive a los estudiantes a definir y diferenciar números primos y compuestos.

• Proponga a los estudiantes ejercitar la resolución de problemas demostrando si un número es divisible por otro.

• Presente ejemplos sobre la descomposición de un número en factores primos presentándolo en su forma exponencial.

• Destaque los exponentes de una descomposición y establezca la relación operativa entre ellos, para obtener el número total de divisores de un número. Invite a los estudiantes a ejercitar sus cálculos desarrollando la sección de “Más actividades”.

Presente el recurso animación “Unos números especiales” para reforzar los números primos y los criterios de divisibilidad.


Posibles dificultadesLos estudiantes pueden confundir los números primos con los números impares. Para ello, distinga los números primos por el número de divisores que presente un determinado número. Haga notar que el 2 es par y número primo porque tiene solo dos divisores.





24

2 × 12

2 × 2 × 6

2 × 2 × 2 × 3

24 2

12 2

6 2

3 3

1





n.° de fichas 2 3 4 5 6

Rectángulo


1 × 2 1 × 3 1 × 42 × 2

1 × 5 1 × 62 × 3




D(4) = {1; 2; 4} D(6) = {1; 2; 3; 6}



de 2 × 1.






Divisores Tipo

1 {1} –––

2 {1; 2} Primo

3 {1; 3} Primo

4 {1; 2; 4} Comp.

5 {1; 5} Primo

6 {1; 2; 3; 6} Comp.

7 {1; 7} Primo

8 {1; 2; 4; 8} Comp.

9 {1; 3; 9} Comp.

10 {1; 2; 5; 10} Comp.

11 {1; 11} Primo

12 {1; 2; 3; 4; 6; 12} Comp.

13 {1; 13} Primo





• 16 • 32• 24 • 40• 56 • 88

Cá lcu lo menta l

1.a FORMA 2.a FORMA

28

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. Pro

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prod

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.L. 8

22

24 × 5

No Sí

22 × 32 24 × 32 × 52

24

23 · 323 · 7 23 × 11

23 × 525

020_029 U01M1 28 6/7/11 9:10:39 AM







a) 80

80 = 24 × 5 � n[D(80)] = (4 + 1)(1 + 1) = (5)(2) = 10


b) 240

240 = 24 × 3 × 5 � n[D(240)] = (4 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = (5)(2)(2) = 20






A = 22 × 34 × 53 � n[D(A)] = (2 + 1)(4 + 1)(3 + 1) = (3)(5)(4) = 60

B = 25 × 32 � n[D(B)] = (5 + 1)(2 + 1) = (6)(3) = 18 60 – 18 = 42



80 × 1

40 × 2

80 20 × 4

16 × 5

10 × 8

D(80) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80}

n[D(80)] = 10


a) 84 b) 325 c) 450

d) 540 e) 168 f) 8 085

g) 60 h) 144 i) 648

j) 180 k) 500 l) 1 200

















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.L. 8

22

308

5

100 000 = 25 × 55

10 000 000 = 27 × 57

2

7

3

60

6

6

No

6N = 2 × 3 × 52 × 7222 × 3 × 7

22 × 33 × 5

52 × 13

23 × 3 × 7

2 × 32 × 52

3 × 5 × 72 × 11

22 × 3 × 5 24 × 32 23 × 34

22 × 32 × 5 22 × 53 24 × 3 × 52

020_029 U01M1 29 6/7/11 9:10:40 AM

Unidad 128

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Cierre• Proponga realizar los siguientes pasos para obtener números primos y compuestos menores que 100 en la tabla:

– Tacha el 1, que no se considera primo.

– El menor número primo es 2. Se tacha los números pares a partir del 2 (múltiplos de 2), que son compuestos.

– El siguiente número primo es 3, se van tachando a partir del 3 todos los múltiplos de 3, que son compuestos.

– El siguiente número primo es 5, se tachan los números que acaban en 0 o 5. Estos son números compuestos.

– El siguiente número primo es 7, se tachan a partir del siete los múltiplos de 7, estos números son compuestos.

Pida a los alumnos que nombren los números que no fueron tachados, llegando a la conclusión que son números primos menores que 100

Proponga el desarrollo de los ejercicios de la sección “Más actividades” y complemente con el recurso PDF (ficha de refuerzo).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100


● 117 a) 22 × 3 × 7

b) 52 × 13

c) 2 × 32 × 52

d) 22 × 33 × 5

e) 23 × 3 × 7

f) 3 × 5 × 72 × 11

g) 22 × 3 × 5

h) 32 × 24

i) 23 × 34

j) 22 × 32 × 5

k) 22 × 53

l) 24 × 3 × 52

● 118 309 – 1 = 308

● 119 32 = 2x x = 5

● 120 100 000 = 25 × 55

10 000 000 = 27 × 57

● 121 No, 2 × 3 × 52 × 72

● 122 164 = 22 × 41

n[D(164)] · (2 + 1)(1 + 1) = 6

● 123 99 = 32 × 11

n[D(99)] = (2 + 1)(1 + 1) = 6

● 124 360 = 23 × 32 × 5

n[D(360)] = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24

180 = 22 × 32 × 5

n[D(180)] = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18

n[D(360)] – n[D(180)] = 24 – 18 = 6

● 125 n[D(A)] = (2 + 1)(3 + 1)(4 + 1)

= 3 × 4 × 5 = 60

● 126 n[D(B)] = (x + 1)(2 + 1) = 12

= 3x + 3 = 12

3x = 9

x = 3

● 127 n[D(M)] = (5 + 1)(x + 1) = 48

6x + 6 = 48

6x = 42

x = 7

● 128 23 × 5n (3 + 1)(n + 1) = 12

4n + 4 = 12

4n = 8

n = 2





24

2 × 12

2 × 2 × 6

2 × 2 × 2 × 3

24 2

12 2

6 2

3 3

1





n.° de fichas 2 3 4 5 6

Rectángulo


1 × 2 1 × 3 1 × 42 × 2

1 × 5 1 × 62 × 3




D(4) = {1; 2; 4} D(6) = {1; 2; 3; 6}



de 2 × 1.






Divisores Tipo

1 {1} –––

2 {1; 2} Primo

3 {1; 3} Primo

4 {1; 2; 4} Comp.

5 {1; 5} Primo

6 {1; 2; 3; 6} Comp.

7 {1; 7} Primo

8 {1; 2; 4; 8} Comp.

9 {1; 3; 9} Comp.

10 {1; 2; 5; 10} Comp.

11 {1; 11} Primo

12 {1; 2; 3; 4; 6; 12} Comp.

13 {1; 13} Primo





• 16 • 32• 24 • 40• 56 • 88

Cá lcu lo menta l

1.a FORMA 2.a FORMA

28

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24 × 5

No Sí

22 × 32 24 × 32 × 52

24

23 · 323 · 7 23 × 11

23 × 525

020_029 U01M1 28 6/7/11 9:10:39 AM







a) 80

80 = 24 × 5 � n[D(80)] = (4 + 1)(1 + 1) = (5)(2) = 10


b) 240

240 = 24 × 3 × 5 � n[D(240)] = (4 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = (5)(2)(2) = 20






A = 22 × 34 × 53 � n[D(A)] = (2 + 1)(4 + 1)(3 + 1) = (3)(5)(4) = 60

B = 25 × 32 � n[D(B)] = (5 + 1)(2 + 1) = (6)(3) = 18 60 – 18 = 42



80 × 1

40 × 2

80 20 × 4

16 × 5

10 × 8

D(80) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80}

n[D(80)] = 10


a) 84 b) 325 c) 450

d) 540 e) 168 f) 8 085

g) 60 h) 144 i) 648

j) 180 k) 500 l) 1 200

















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5

100 000 = 25 × 55

10 000 000 = 27 × 57

2

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6

No

6N = 2 × 3 × 52 × 7222 × 3 × 7

22 × 33 × 5

52 × 13

23 × 3 × 7

2 × 32 × 52

3 × 5 × 72 × 11

22 × 3 × 5 24 × 32 23 × 34

22 × 32 × 5 22 × 53 24 × 3 × 52

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Razonamiento y demostración Establece relaciones al hallar el MCM de dos o más números de dos formas: encontrando el conjunto de los múlttiplos y aplicando la forma abreviada.

Comunicación matemática Explica los pasos que se deben seguir para hallar el MCM de dos o más números a partir de su descomposición en factores.

Resolución de problemas Matematiza situaciones de contexto real utilizando el concepto de MCM.


Inicio• Analice con los estudiantes la situación propuesta de MCM y pídales que calculen los múltiplos de cada número.

• Introduzca la definición del mínimo común múltiplo de un número observando los múltiplos resaltados en negrita.

• Plantee otras situaciones para que los estudiantes hallen el MCM a partir de los múltiplos comunes.

Desarrollo • Trabaje con sus estudiantes el ejemplo 28 para consolidar la definición del MCM e indíqueles que también pueden

obtener el MCM descomponiendo los números en sus factores primos.

Utilice el botón zoom de selección para que los estudiantes analicen la forma abreviada de hallar el MCM.

• Realice juegos para descubrir acertijos. Por ejemplo, pídales que hallen los múltiplos de 7 y 5 menores que 100. Anime a los estudiantes a realizar el ejercicio mediante el cálculo mental.

Cierre• Aplique la autoevaluación para verificar el logro de los indicadores propuestos.

• Evalúe, a través de la heteroevaluación, el trabajo realizado entre todos los miembros del equipo.


Más actividades• Forme parejas y pídales que resuelvan

la siguiente situación:

Ana y Diego son promotores de una empresa de publicidad. Ellos realizaron un trabajo en un edificio con departamentos. Diego hizo encuestas en los departamentos 15; 30; 45; 60; 75 y 90 (en ese orden); mientras que Ana entregó una revista cada 6 departamentos, a partir del departamento número 6.

Al terminar el día, el jefe de Ana y Diego hizo el siguiente recuento: los departamentos 15; 30; 60 y 90 recibieron la revista y contestaron la encuesta, y el departamento 30 fue el primero en recibir la visita de los promotores. ¿Por qué no es correcto el balance del jefe? Explica.

• Plantee a los estudiantes los siguientes problemas:

1. Andrés colecciona canicas. En la caja A tiene bolsitas de 24 canicas cada una y no le sobra ninguna canica. En la caja B tiene bolsitas de 20 canicas cada una y tampoco le sobra ninguna canica. El número de canicas que hay en la caja A es igual al número de canicas que hay en la caja B. ¿Cuántas canicas como mínimo hay en cada caja?

2. Tres ómnibus salen del paradero inicial a la misma hora en tres rutas diferentes. El primero tarda 7 horas para retornar al punto de partida y se detiene allí 1 hora; el segundo tarda 10 horas y se detiene 2 horas y, el tercero tarda 12 horas y se detiene 3 horas. ¿Cada cuánto tiempo saldrán los tres ómnibus a la vez?

Miguel toma un jarabe para la gripe cada 6 horas y una pastilla para la fiebre cada 8 horas. Si acaba de tomar ambas medicinas, ¿dentro de cuánto tiempo tomará de nuevo las dos medicinas juntas?

• Miguel toma las medicinas transcurridas las siguientes horas:

Jarabe (múltiplos de 6) � M(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; …}

Pastilla (múltiplos de 8) � M(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; ...}

• El tiempo que pasará para que Miguel vuelva a tomar las dos medicinas juntas será múltiplo de 6 y de 8: Múltiplos comunes(6 y 8) = {0; 24; 48; 72; …}

Miguel tomará de nuevo las dos medicinas juntas dentro de 24 horas.

El menor de los múltiplos comunes de 6 y 8, diferente de 0, es 24. Es el mínimo común múltiplo de 6 y 8, y se escribe: MCM(6 y 8) = 24.

Ejemplo 28 Resuelvo problemas con el MCM

a) Un árbol de Navidad tiene luces amarillas que se encienden cada 10 se-gundos, luces rojas que se encienden cada 15 segundos y luces azules que se encienden cada 20 segundos. ¿Cada cuántos segundos se encienden los tres colores de luces juntos?

• Analizamos cada cuánto tiempo se enciende cada color de luz:

Amarilla = {0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; …}

Roja = {0; 15; 30; 45; 60; 75; …}

Azul = {0; 20; 40; 60; 80; …}

El MCM(10; 15 y 20) = 60 indica que a los 60; 120; 180; … segundos los tres colo-res de luces se encienden juntos.

Los tres colores de luces se encienden juntos cada 60 segundos o cada minuto.

b) Andrés tiene una colección de monedas que puede agrupar de 6 en 6, de 8 en 8 y de 9 en 9, sin que falte ni sobre ninguna. ¿Cuántas monedas como mínimo puede tener Andrés?

• El número de monedas que tiene Andrés es múltiplo de 6; 8 y 9. Como piden la menor cantidad de monedas, debemos hallar el menor de los múl-tiplos comunes de 6; 8 y 9.

MCM(6; 8 y 9) = 23 × 32 = 72

Andrés puede tener como mínimo 72 monedas.

Ejemplo 29 Calculo el MCM por descomposición en factores primos

Calcula el MCM de 16; 24 y 180 usando la factorización prima.

• Descomponemos cada número en sus factores primos:

16 = 24 24 = 23 × 3 180 = 22 × 32 × 5

• El MCM es el producto de todos los factores con su mayor exponente:

MCM(16; 24 y 180) = 24 × 32 × 5 = 720

3.4. Mínimo común múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor de los múltiplos comunes diferente de cero.

Otra forma de resolvera) Hallamos el MCM de 10; 15

y 20.

10 - 15 - 20 2 5 - 15 - 10 2 5 - 15 - 5 3 5 - 5 - 5 5 1 - 1 - 1

MCM(10; 15 y 12) = 22 × 3 × 5 = 60

b) Hallamos el MCM de 6; 8 y 9.

6 - 8 - 9 2 3 - 4 - 9 2 3 - 2 - 9 2 3 - 1 - 9 3 1 - 1 - 3 3 1 - 1 - 1

MCM(6; 8 y 9) = 23 × 32 = 72

Forma abreviada para hallar el MCM de 6 y 8

6 - 8 2 3 - 4 2 3 - 2 2 3 - 1 31 - 1

MCM(6 y 8) = 2 × 2 × 2 × 3

= 23 × 3 = 24

Hallamos los divisores comunes y los no comunes.

30

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030_039 U01M1 30 6/7/11 9:11:55 AM

Ejemplo 30 Resuelvo más problemas con MCM

a) De una estación, sale un tren cada 5 horas y otro cada 4 horas. Si a las 3 a. m. han salido los dos juntos, ¿a qué hora volverán a coincidir?

• Analizamos: 1.er tren (°5) = {0; 5; 10; 15; 20; …} 2.o tren (°4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; …}

El MCM(5 y 4) = 20 indica que después de 20 horas volverán a coincidir.

• Salieron a las 3 a.m., entonces volverán a coincidir: 3 h + 20 h = 23 h

Los dos trenes volverán a coincidir a las 23 h u 11 de la noche.

b) ¿Cuáles son los múltiplos de 8; 12 y 20, mayores que 200 y menores que 600?

• Hallamos el menor de los múltiplos comunes de 8; 12 y 20 (ver margen):

MCM(8; 12 y 20) = 120

Múltiplos comunes de 8; 12 y 20 = {120; 240; 360; 480; 600; 720; …}

• Seleccionamos los múltiplos mayores que 200 y menores que 600.

Los números pedidos son 240; 360 y 480.


� 129 Calcula el MCM de los siguientes números:

a) 2 y 8 b) 5 y 15 c) 12; 15 y 3

d) 6 y 9 e) 12 y 15 f) 25; 40 y 30

g) 120 y 150 h) 200 y 90 i) 80; 75 y 16

� 130 Calcula el MCM de A y B.

a) A = 2 × 32 × 5; B = 3 × 52 b) A = 2 × 3 × 52 × 7; B = 32 × 5 × 7c) A = 23 × 32 × 5 × 72; B = 24 × 3 × 5 × 7d) A = 24 × 33 × 52 × 72; B = 23 × 34 × 52 × 72

� 131 Calcula el menor número, diferente de cero, múltiplo de 6; 8 y 12.

� 132 ¿Cuáles son los múltiplos de 2; 5 y 7, mayores que 600 y menores que 1 000?

� 133 Si el MCM de 200; 350 y 120 se divide entre 5, ¿cuánto se obtiene de residuo?

� 134 ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 2; 3 y 5?

� 135 El MCM de un número y 8 es 40. ¿Cuál puede ser el otro número? ¿Hay una sola respuesta?

� 136 Roberto se dedica a instalar puertas de madera. Al contar las bisagras que tiene en su taller, se da cuenta de que no le sobrarían ni le faltarían si tuviera que instalar puertas de 2; 3 o 4 bisagras. Si tiene más de 100, pero menos de 120 bisagras, ¿cuántas bisagras tiene Roberto?

� 137 En una avenida, un semáforo se pone verde cada 40 segundos y el que le sigue, cada 60 segundos. Ana observó que a las 3 de la tarde los dos se-máforos se pusieron en verde al mismo tiempo. ¿A qué hora, después de las 3 de la tarde, ambos semáforos estarán en verde otra vez?

� 138 Una alarma suena a las 8 de la mañana, al mismo tiempo que las campanadas de la iglesia y que la sirena de una fábrica. A lo largo del día se vuel-ven a escuchar la alarma cada 4 horas, las cam-panadas cada 2 horas y la sirena cada 3 horas.

a) ¿A qué hora volverán a sonar juntas la alar-ma, las campanadas y la sirena?

b) ¿Cuántas veces habrán sonado las campa-nadas, la alarma y la sirena hasta ese mo-mento?

Resolución de problemasRazonamiento y demostración

Otra forma de resolverb) Hallamos el MCM de 8; 12 y

20.

8 - 12 - 20 2 4 - 6 - 10 2 2 - 3 - 5 2 1 - 3 - 5 3 1 - 1 - 5 5 1 - 1 - 1

MCM(8; 12 y 20) = 23 × 3 × 5 = 120


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8

18

600 1 800

15

60

60

600

1 200

450

3 150

35 280

1 587 600

24

630; 700; 770; 840; 910; 980

0

30

5 y 10; hay 2 respuestas

La campana 6 veces; la alarma 3 veces y la sirena 4 veces.

108

3:02 p. m.

8:00 p. m.

030_039 U01M1 31 6/7/11 9:11:58 AM

Unidad 130

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Razonamiento y demostración Establece relaciones al hallar el MCM de dos o más números de dos formas: encontrando el conjunto de los múlttiplos y aplicando la forma abreviada.

Comunicación matemática Explica los pasos que se deben seguir para hallar el MCM de dos o más números a partir de su descomposición en factores.

Resolución de problemas Matematiza situaciones de contexto real utilizando el concepto de MCM.


Inicio• Analice con los estudiantes la situación propuesta de MCM y pídales que calculen los múltiplos de cada número.

• Introduzca la definición del mínimo común múltiplo de un número observando los múltiplos resaltados en negrita.

• Plantee otras situaciones para que los estudiantes hallen el MCM a partir de los múltiplos comunes.

Desarrollo • Trabaje con sus estudiantes el ejemplo 28 para consolidar la definición del MCM e indíqueles que también pueden

obtener el MCM descomponiendo los números en sus factores primos.

Utilice el botón zoom de selección para que los estudiantes analicen la forma abreviada de hallar el MCM.

• Realice juegos para descubrir acertijos. Por ejemplo, pídales que hallen los múltiplos de 7 y 5 menores que 100. Anime a los estudiantes a realizar el ejercicio mediante el cálculo mental.

Cierre• Aplique la autoevaluación para verificar el logro de los indicadores propuestos.

• Evalúe, a través de la heteroevaluación, el trabajo realizado entre todos los miembros del equipo.


Más actividades• Forme parejas y pídales que resuelvan

la siguiente situación:

Ana y Diego son promotores de una empresa de publicidad. Ellos realizaron un trabajo en un edificio con departamentos. Diego hizo encuestas en los departamentos 15; 30; 45; 60; 75 y 90 (en ese orden); mientras que Ana entregó una revista cada 6 departamentos, a partir del departamento número 6.

Al terminar el día, el jefe de Ana y Diego hizo el siguiente recuento: los departamentos 15; 30; 60 y 90 recibieron la revista y contestaron la encuesta, y el departamento 30 fue el primero en recibir la visita de los promotores. ¿Por qué no es correcto el balance del jefe? Explica.

• Plantee a los estudiantes los siguientes problemas:

1. Andrés colecciona canicas. En la caja A tiene bolsitas de 24 canicas cada una y no le sobra ninguna canica. En la caja B tiene bolsitas de 20 canicas cada una y tampoco le sobra ninguna canica. El número de canicas que hay en la caja A es igual al número de canicas que hay en la caja B. ¿Cuántas canicas como mínimo hay en cada caja?

2. Tres ómnibus salen del paradero inicial a la misma hora en tres rutas diferentes. El primero tarda 7 horas para retornar al punto de partida y se detiene allí 1 hora; el segundo tarda 10 horas y se detiene 2 horas y, el tercero tarda 12 horas y se detiene 3 horas. ¿Cada cuánto tiempo saldrán los tres ómnibus a la vez?











Amarilla = {0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; …}

Roja = {0; 15; 30; 45; 60; 75; …}

Azul = {0; 20; 40; 60; 80; …}





MCM(6; 8 y 9) = 23 × 32 = 72





16 = 24 24 = 23 × 3 180 = 22 × 32 × 5


MCM(16; 24 y 180) = 24 × 32 × 5 = 720




y 20.

10 - 15 - 20 2 5 - 15 - 10 2 5 - 15 - 5 3 5 - 5 - 5 5 1 - 1 - 1

MCM(10; 15 y 12) = 22 × 3 × 5 = 60


6 - 8 - 9 2 3 - 4 - 9 2 3 - 2 - 9 2 3 - 1 - 9 3 1 - 1 - 3 3 1 - 1 - 1

MCM(6; 8 y 9) = 23 × 32 = 72


6 - 8 2 3 - 4 2 3 - 2 2 3 - 1 31 - 1

MCM(6 y 8) = 2 × 2 × 2 × 3

= 23 × 3 = 24


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MCM(8; 12 y 20) = 120






a) 2 y 8 b) 5 y 15 c) 12; 15 y 3

d) 6 y 9 e) 12 y 15 f) 25; 40 y 30

g) 120 y 150 h) 200 y 90 i) 80; 75 y 16


a) A = 2 × 32 × 5; B = 3 × 52 b) A = 2 × 3 × 52 × 7; B = 32 × 5 × 7c) A = 23 × 32 × 5 × 72; B = 24 × 3 × 5 × 7d) A = 24 × 33 × 52 × 72; B = 23 × 34 × 52 × 72













20.

8 - 12 - 20 2 4 - 6 - 10 2 2 - 3 - 5 2 1 - 3 - 5 3 1 - 1 - 5 5 1 - 1 - 1

MCM(8; 12 y 20) = 23 × 3 × 5 = 120


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3 150

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1 587 600

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630; 700; 770; 840; 910; 980

0

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● 129 a) 23 = 8

b) 3 × 5 = 15

c) 22 × 3 × 5 = 60

d) 2 × 32 = 18

e) 22 × 3 × 5 = 60

f) 23 × 3 × 52 = 600

g) 23 × 3 × 52 = 600

h) 23 × 32 × 52 = 1 800

i) 24 · 52 · 3 = 1 200

● 130 a) 2 × 32 × 52 = 450

b) 2 × 32 × 52 × 7 = 3 150

c) 24 × 32 × 5 × 72 = 35 280

d) 24 × 34 × 52 × 72 = 1 587 600

● 131 MCM(6; 8 y 12) = 23 × 3 = 24

● 132 MCM(2; 5 y 7) = 2 × 5 × 7 = 70

600 < 70k < 1 000

{630; 700; 770; 840; 910; 980}

● 133 MCM(200; 350; 120) = 23 × 3 × 52 × 7 = 4 200

4 200 = °5 → r = 0

● 134 MCM(2; 3 y 5) = 30

• Múltiplos de 30 que hay del 1 al 1 000

1 000 ÷ 30 = 33

• Múltiplos de 30 que hay entre 1 y 100

100 ÷ 30 = 3

• Múltiplos de 70 que hay entre 100 y 1 000

33 – 3 = 30

● 135 MCM(a y 8) = 40

a = 5; 10

Hay dos respuestas.

● 136 MCM(2; 3 y 4) = 23 × 3 = 12

100 < 12k < 120

k = 9 → 12(9) = 108

Roberto tiene 108 bisagras.

● 137 MCM(40 y 60) = 23 × 3 × 5 = 120

120 seg = 2 min

Estarán en verde otra vez a las 3 y 2 minutos.

● 138 MCM(4; 2 y 3) = 22 × 3 = 12

a) Volverán a sonar juntas

8 + 12 = 20 horas u 8 de la no-che.

b) Las campanadas, 6 veces; la alarma, 3 veces, y la sirena, 4 veces.

• Muestre cómo la forma abreviada de hallar el MCM se basa en la factorización prima. Por ejemplo:

Calcula el MCM de 40; 144 y 252.

Pida que descompongan cada número en factores primos. Los estudiantes deben recordar los criterios de divisibilidad, de manera que la descomposión sea rápida.

40 2 144 2 252 2

20 2 72 2 126 2

10 2 36 2 63 3

5 5 18 2 21 3

1 9 3 7 7

3 3 1

1

Luego, indique que expresen los números en potencias: 40 = 23 × 5; 144 = 24 × 32 y 252 = 22 × 32 × 7

Finalmente, pida que escriban los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Los estudiantes pueden calcular el producto empleando la calculadora: 24 × 3² × 5 × 7 = 5 040

MCM(40; 144; 252) = 5 040











Amarilla = {0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; …}

Roja = {0; 15; 30; 45; 60; 75; …}

Azul = {0; 20; 40; 60; 80; …}





MCM(6; 8 y 9) = 23 × 32 = 72





16 = 24 24 = 23 × 3 180 = 22 × 32 × 5


MCM(16; 24 y 180) = 24 × 32 × 5 = 720




y 20.

10 - 15 - 20 2 5 - 15 - 10 2 5 - 15 - 5 3 5 - 5 - 5 5 1 - 1 - 1

MCM(10; 15 y 12) = 22 × 3 × 5 = 60


6 - 8 - 9 2 3 - 4 - 9 2 3 - 2 - 9 2 3 - 1 - 9 3 1 - 1 - 3 3 1 - 1 - 1

MCM(6; 8 y 9) = 23 × 32 = 72


6 - 8 2 3 - 4 2 3 - 2 2 3 - 1 31 - 1

MCM(6 y 8) = 2 × 2 × 2 × 3

= 23 × 3 = 24


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MCM(8; 12 y 20) = 120






a) 2 y 8 b) 5 y 15 c) 12; 15 y 3

d) 6 y 9 e) 12 y 15 f) 25; 40 y 30

g) 120 y 150 h) 200 y 90 i) 80; 75 y 16


a) A = 2 × 32 × 5; B = 3 × 52 b) A = 2 × 3 × 52 × 7; B = 32 × 5 × 7c) A = 23 × 32 × 5 × 72; B = 24 × 3 × 5 × 7d) A = 24 × 33 × 52 × 72; B = 23 × 34 × 52 × 72













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8 - 12 - 20 2 4 - 6 - 10 2 2 - 3 - 5 2 1 - 3 - 5 3 1 - 1 - 5 5 1 - 1 - 1

MCM(8; 12 y 20) = 23 × 3 × 5 = 120


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Razonamiento y demostración Establece relaciones al hallar el MCD de dos o más números de dos formas: encontrando el conjunto de sus divisores y aplicando la forma abreviada.

Establece relación entre el MCM y el MCD de dos o más números.

Comunicación matemática Explica los pasos que se deben seguir para hallar el MCD de un conjunto de números, a partir de su descomposición en producto de factores primos.

Resolución de problemas Resuelve situaciones de contexto real que involucran el concepto de MCM y MCD.


Inicio Presente el recurso animación para activar los saberes previos acerca del MCD.

• Brinde el tiempo necesario para compartir sus ideas y revisar los procesos aplicados en el cálculo del MCD de dos o más números.

• Pregunte lo siguiente: ¿Qué diferencias encuentran al calcular el MCM y MCD?

Desarrollo• Induzca a los estudiantes a reconocer el mayor de los divisores comunes hallados. Motívelos a establecer la

definición de MCD a través de los ejemplos propuestos. Proponga la aplicación de la forma abreviada para hallar el MCD de dos o más números.

• Haga notar que el MCD de dos o más números se obtiene a partir de la descomposición en factores primos de dichos números. Por ejemplo: MCD (60; 48 y 36)

Descomponemos los números:

60 = 22 · 3 · 5 48 = 24 · 3 36 = 22 · 32

Se seleccionan los factores comunes (2 y 3) con su menor exponente: 22 y 3

Entonces el MCD(60; 48 y 36) = 22 · 3 = 12

Sesión de aprendizaje Más actividadesPresente los siguientes problemas:

1. Pamela y Claudia van al cine, pero no se ponen de acuerdo. Pamela va cada 5 días y Claudia cada 6 días. Si coincidieron el 24 de diciembre, ¿cuándo volverán a coincidir? ¿Cuántas veces habrá ido cada una antes de volver a coincidir?

2. Para hacer prácticas en el laboratorio hay que distribuir a los estudiantes en grupos. La profesora se da cuenta de que si los coloca de 2 en 2, de 3 en 3 o de 4 en 4, sobra un estudiante en todos los casos. Entonces, decide hacer grupos de 5 y observa que no sobra ninguno. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase?

Posibles dificultades• En la resolución de problemas del

MCM y MCD, realice la recreación de situaciones que faciliten la elección entre el MCM y MCD.

• Realice preguntas literales acerca de situaciones problemáticas de MCM y MCD que permitan a los estudiantes identificar los datos más importantes para la comprensión y solución del problema planteado.

3.5. Máximo común divisor (MCD)Se tienen tres depósitos con alcohol industrial: uno con 16 litros, otro con 24 litros y el último con 48 litros. Se desea envasar el alcohol en galoneras de igual capacidad que contengan la mayor cantidad posible, sin que sobre alcohol. ¿Qué capacidad deben tener las galoneras?

• Para que no sobre alcohol, la capacidad de las galoneras debe ser un divisor de 16; 24 y 48:

D(16) = {1; 2; 4; 8; 16}

D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

D(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}

• Los divisores comunes indican la capacidad de las galoneras:

Divisores comunes de 16; 24 y 48 = {1; 2; 4; 8}

• Como se pide la mayor capacidad posible, las galoneras deben ser de 8 L cada una.

El mayor de los divisores comunes de 16; 24 y 48 es 8. Es el máximo común divisor de 16; 24 y 48, y se escribe: MCD(16; 24 y 48) = 8.

Forma abreviada para hallar el MCD de 16; 24 y 48

16 - 24 - 48 2 8 - 12 - 24 2 4 - 6 - 12 2 2 - 3 - 6

MCD(16; 24 y 48) = 2 × 2 × 2

= 23 = 8

Ejemplo 31 Resuelvo problemas con el MCD

Raúl necesita confeccionar escarapelas. Para ello tiene tres cintas cuyas me-didas son 650 cm, 875 cm y 1 000 cm, y debe cortarlas en piezas de igual tamaño y de la mayor longitud posible.

a) ¿Cuánto medirá cada pieza de cinta para confeccionar cada escarapela?

• Como se quiere dividir las cintas en piezas iguales de la mayor longitud posible, calculamos el mayor divisor común de 650; 875 y 1 000.

MCD(650; 875 y 1 000) = 25

Cada pieza de cinta debe medir 25 cm.

b) ¿Cuántas escarapelas podrá confeccionar Raúl?

• El número de escarapelas por cinta es: 650 ÷ 25 = 26 875 ÷ 25 = 35 = 101 1 000 ÷ 25 = 40

Raúl podrá confeccionar 101 escarapelas.

Ejemplo 32 Calculo el MCD por descomposición en factores primos

Calcula el MCD de 84; 60 y 72 usando la factorización prima.

• Descomponemos cada número:

84 = 22 × 3 × 7 60 = 22 × 3 × 5 72 = 23 × 32

• El MCD es el producto de los factores comunes, con su menor exponente:

MCD(84; 60 y 72) = 22 × 3 = 12

Calcula el MCD de 84; 60 y 72, en forma abreviada.

El máximo común divisor de dos o más números naturales es el mayor divisor común.

Hallamos el MCD de 650; 875 y 1 000:

650 - 875 - 1 000 5130 - 175 - 200 5 26 - 35 - 40

MCD(650; 875; 1 000) = 52 = 25


Hallamos los divisores comunes.

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Relación entre MCM y MCD

Ejemplo 34 Relaciono el MCM y el MCD de un número

a) El MCM de dos números es 96 y su MCD es 16. Si uno de los números es 32, ¿cuál es el otro número?

• Aplicamos la propiedad: a × b = MCM(a y b) × MCD(a y b)

32 × b = 96 × 16 b = (96 × 16) ÷ 32 b = 48

El otro número es 48.

b) Si el MCD(a y b) = 15 y el MCM(a y b) = 60, calcula el valor de a × b.

• Aplicamos la relación entre el MCM y el MCD de dos números: a × b = MCM(a y b) × MCD(a y b)

a × b = 15 × 60 = 900

El valor de a × b es 900.


a) Gabriel quiere dividir una cartulina de 40 cm de largo y 30 cm de an-cho en cuadrados iguales, lo más grandes posible, sin que sobre cartulina. ¿Cuánto debe medir el lado de cada cuadrado?

• Para que no sobre cartulina y los cuadrados sean lo más grandes posible, hallamos el máximo común divisor, del largo y del ancho, de 40 y 30:

MCD(40 y 30) = 10

El lado de cada cuadrado debe medir 10 cm.

b) Para ayudar a las víctimas del friaje en el sur, en el colegio de Iván recolec-taron 840 latas de atún, 600 tarros de leche y 144 bolsas de arroz. ¿Cuántos paquetes con el mismo contenido de víveres podrán enviar sin que les sobre ninguno de los alimentos?

• Para que los paquetes contengan lo mismo y no sobren víveres, calculamos el mayor divisor común de 840; 600 y 144:

MCD(840; 600 y 144) = 24

Podrán enviar 24 paquetes de víveres.

Completamos el cuadro y analizamos.

a y b MCM MCD a × b MCM × MCD

6 y 14 42 2 6 × 14 = 84 42 × 2 = 84

20 y 32 160 4 20 × 32 = 640 160 × 4 = 640

18 y 21 126 3 18 × 21 = 378 126 × 3 = 378

Comprobamos que el producto de los dos números es igual al producto de su MCM y su MCD.

El producto de dos números a y b es igual al producto de su mínimo común múl-tiplo por su máximo común divisor.

a × b = MCM(a y b) × MCD(a y b)

b) Obtenemos el contenido de cada paquete:

840 ÷ 24 = 35 latas de atún

600 ÷ 24 = 25 tarros de leche

144 ÷ 24 = 6 bolsas de arroz

a) Observamos gráficamente cuántos cadrados se obtienen:

10 cm

10 cm

40 cm

30 cm


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Unidad 132

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Razonamiento y demostración Establece relaciones al hallar el MCD de dos o más números de dos formas: encontrando el conjunto de sus divisores y aplicando la forma abreviada.

Establece relación entre el MCM y el MCD de dos o más números.

Comunicación matemática Explica los pasos que se deben seguir para hallar el MCD de un conjunto de números, a partir de su descomposición en producto de factores primos.

Resolución de problemas Resuelve situaciones de contexto real que involucran el concepto de MCM y MCD.


Inicio Presente el recurso animación para activar los saberes previos acerca del MCD.

• Brinde el tiempo necesario para compartir sus ideas y revisar los procesos aplicados en el cálculo del MCD de dos o más números.

• Pregunte lo siguiente: ¿Qué diferencias encuentran al calcular el MCM y MCD?

Desarrollo• Induzca a los estudiantes a reconocer el mayor de los divisores comunes hallados. Motívelos a establecer la

definición de MCD a través de los ejemplos propuestos. Proponga la aplicación de la forma abreviada para hallar el MCD de dos o más números.

• Haga notar que el MCD de dos o más números se obtiene a partir de la descomposición en factores primos de dichos números. Por ejemplo: MCD (60; 48 y 36)

Descomponemos los números:

60 = 22 · 3 · 5 48 = 24 · 3 36 = 22 · 32

Se seleccionan los factores comunes (2 y 3) con su menor exponente: 22 y 3

Entonces el MCD(60; 48 y 36) = 22 · 3 = 12

Sesión de aprendizaje Más actividadesPresente los siguientes problemas:

1. Pamela y Claudia van al cine, pero no se ponen de acuerdo. Pamela va cada 5 días y Claudia cada 6 días. Si coincidieron el 24 de diciembre, ¿cuándo volverán a coincidir? ¿Cuántas veces habrá ido cada una antes de volver a coincidir?

2. Para hacer prácticas en el laboratorio hay que distribuir a los estudiantes en grupos. La profesora se da cuenta de que si los coloca de 2 en 2, de 3 en 3 o de 4 en 4, sobra un estudiante en todos los casos. Entonces, decide hacer grupos de 5 y observa que no sobra ninguno. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase?

Posibles dificultades• En la resolución de problemas del

MCM y MCD, realice la recreación de situaciones que faciliten la elección entre el MCM y MCD.

• Realice preguntas literales acerca de situaciones problemáticas de MCM y MCD que permitan a los estudiantes identificar los datos más importantes para la comprensión y solución del problema planteado.



D(16) = {1; 2; 4; 8; 16}

D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

D(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}






16 - 24 - 48 2 8 - 12 - 24 2 4 - 6 - 12 2 2 - 3 - 6

MCD(16; 24 y 48) = 2 × 2 × 2

= 23 = 8





MCD(650; 875 y 1 000) = 25








84 = 22 × 3 × 7 60 = 22 × 3 × 5 72 = 23 × 32


MCD(84; 60 y 72) = 22 × 3 = 12




650 - 875 - 1 000 5130 - 175 - 200 5 26 - 35 - 40

MCD(650; 875; 1 000) = 52 = 25



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32 × b = 96 × 16 b = (96 × 16) ÷ 32 b = 48




a × b = 15 × 60 = 900





MCD(40 y 30) = 10




MCD(840; 600 y 144) = 24




6 y 14 42 2 6 × 14 = 84 42 × 2 = 84

20 y 32 160 4 20 × 32 = 640 160 × 4 = 640

18 y 21 126 3 18 × 21 = 378 126 × 3 = 378









10 cm

10 cm

40 cm

30 cm


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Unidad 132

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• Invite a los estudiantes a formar grupos para trabajar la siguiente situación empleando gráficos o material concreto.

– Se quiere poner losetas en una habitación rectangular de 520 cm de largo y 240 cm de ancho. Si las losetas deben ser cuadradas y de la mayor dimensión posible, ¿cuál será la dimensión de cada loseta?

• Invite a los estudiantes a presentar sus propuestas de solución gráfica y luego pida que las comparen con el cálculo del MCD. Evalúe con ellos qué proceso es más conveniente para resolver la situación planteada.

Propicie la reflexión sobre la relación entre el MCM y el MCD de dos números. Presente el cuadro sobre dicha relación empleando la herramienta tapar para que den la solución y favorecer la intervención de los estudiantes.

Cierre• Pregunte lo siguiente: ¿Reconocieron todos los procesos aplicados para calcular el MCD? ¿Es posible realizar

un proceso de solución gráfica? ¿Tienen dificultades para resolver problemas con este tipo de cálculo? ¿Cuáles?

• Presente el recurso animación para aplicar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en diferentes situaciones de la vida real.

• Proponga a los estudiantes que completen el siguiente cuadro para verificar el aprendizaje logrado.

Información complementariaAlgoritmo de EuclidesEuclides fue uno de los matemáticos más famosos de la Antigüedad. Impuso la concepción de la aritmética supeditada a la geometría. El algoritmo que lleva su nombre para el cálculo del MCD de dos números, consiste en aplicar a dicho cálculo el mismo procedimiento que se utiliza para hallar la medida común de dos segmentos.

Por ejemplo: para calcular el MCD de 1 498 y 980 se empieza dividiendo el término mayor entre el término menor y su continúa dividiendo como se muestra:

1 498 980 980 518 518 1 462 1

518 462 462 56 56 1 14 8

56 14 0 4

MCD(1 498 y 980) = 14 último residuo no nulo.

Estrategias para la resolución de problemasPara resolver problemas debemos recordar los pasos mencionados en la página 21:Comprensión, planificación, resolución y comprobación.

Recree la siguiente situación:

En 1.° A hay 32 estudiantes y en 1.° B, 36 estudiantes. En cada sección se quiere formar equipos con el mismo número de integrantes, de manera que no falte ni sobre ninguno. ¿Cuántos integrantes podrá tener como máximo cada equipo?

Comprensión: Identifican los datos que intervienen en el problema.

Planificación: Analizan el problema y buscan la estrategia que les permita resolver el problema.

Resolución: Ejecutan el proceso de solución del planteamiento del problema.

Comprobación: Verfican si el resultado obtenido es razonable o no y justifican la respuesta obtenida.

a b MCM(a, b) MCD(a, b)

70 630 10

48 144 18

200 240

120 960 8

90

54

1 200 40

14 400



D(16) = {1; 2; 4; 8; 16}

D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

D(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}






16 - 24 - 48 2 8 - 12 - 24 2 4 - 6 - 12 2 2 - 3 - 6

MCD(16; 24 y 48) = 2 × 2 × 2

= 23 = 8





MCD(650; 875 y 1 000) = 25








84 = 22 × 3 × 7 60 = 22 × 3 × 5 72 = 23 × 32


MCD(84; 60 y 72) = 22 × 3 = 12




650 - 875 - 1 000 5130 - 175 - 200 5 26 - 35 - 40

MCD(650; 875; 1 000) = 52 = 25



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32 × b = 96 × 16 b = (96 × 16) ÷ 32 b = 48




a × b = 15 × 60 = 900





MCD(40 y 30) = 10




MCD(840; 600 y 144) = 24




6 y 14 42 2 6 × 14 = 84 42 × 2 = 84

20 y 32 160 4 20 × 32 = 640 160 × 4 = 640

18 y 21 126 3 18 × 21 = 378 126 × 3 = 378









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● 146 3 - 4 - 5 2

3 - 2 - 5 2

3 - 1 - 5 3

1 - 1 - 5 5

1 - 1 - 1

● 147 7 - 10 - 14 2

7 - 5 - 7 5

7 - 1 - 7 7

1 - 1 - 1

● 148 3 - 16 23 - 8 23 - 4 23 - 2 23 - 1 31 - 1

Hay 14 cifras.

● 149 6 - 18 - 48 23 - 9 - 24 23 - 9 - 12 23 - 9 - 6 23 - 9 - 3 31 - 3 - 1 31 - 1 - 1

El mayor número es 864.

Más actividadesRealice las siguientes actividades:

1. Observa los números.

a) Obtén tres múltiplos.

b) ¿Qué números tienen como MCM a 360?

c) ¿Qué números tienen como MCD a 25?

2. Resuelve el siguiente problema:

a) Tania tiene menos de 35 caramelos y los quiere guardar en bolsas de 2; 3 y 5 caramelos, sin que sobre ninguno. ¿Cuántos caramelos tiene? Si los guarda en bolsas de 2, ¿cuántos coloca en cada bolsa? ¿Y si lo hace en bolsas de 3? ¿Y en bolsas de 5?

b) Una cuerda de 90 cm se marca con rojo cada 5 cm, con verde cada 10 cm y con azul cada 15 cm. ¿En qué puntos de las cuerdas coinciden los siguientes colores?

– Rojo y verde

– Verde y azul

– Rojo y azul

– Los tres colores.

1251501204530

50010015430508

MCM(3; 4 y 5) = 22 × 3 × 5 = 60

{60; 120; 180}

60 + 120 + 180 = 360

MCM(7; 10 y 14) = 2 × 5 × 7 = 70

{140; 210; 280; 350; 420; 490; 560; 630}

MCM(16 y 3) = 24 × 3 = 48

{144; 192; 240; 288; 336; 384; 432; 480; 528; 576; 624; 672; 720; 768; 816; 864; 912; 960}

MCM(6; 18 y 48) = 24 × 32 = 144

{144; 288; 432; 576; 720; 864}

Para p ra ct ica r

� 139 Escribe V si es verdadero o F si es falso. En el segundo caso, justifica tu respuesta.

a) El número cero es múltiplo de todos los números naturales.

b) Un número compuesto tiene solo dos divisores.

c) Todos los divisores de 16 son también divisores de 64.

d) Los divisores de un número natural forman un conjunto infinito.

e) Los números impares son siempre números primos.

f) El número 2 es un número primo.

� 140 Relaciona según corresponda.

Calcula el MCM y MCD de los siguientes números:

� 141 14; 70 y 490 � 142 200; 40 y 120

� 143 600; 108 y 72 � 144 22 × 32 y 23 × 52

� 145 Completa la tabla y comprueba la relación entre el MCM y MCD de dos números.

a b MCM(a y b) MCD(a y b)

7 9

12 20

5 40

3 300

18 42

Resuelve lo siguiente:

� 146 Halla la suma de los tres primeros múltiplos comunes de 3; 4 y 5, diferentes de cero.

� 147 ¿Cuáles son los múltiplos de 7; 10 y 14 que hay entre 70 y 700?

� 148 ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 16 y 3, pero no de 10?

� 149 ¿Cuál es el mayor número de tres cifras que es divisible por 6; 18 y 48?

°5 + 2

°7 + 4

°3 + 2

°9 – 1

°6 – 3

29 es...

42 es...

75 es...

39 es...

53 es...

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V

F

V

F

F

V

MCM(14; 70 y 490) = 490

MCD(14; 70 y 490) = 14

MCM(200; 40 y 120) = 600

MCD(200; 40 y 120) = 40

MCM(600; 108 y 72) = 5 400

MCD(600; 108 y 72) = 12

MCM = 1 800

MCD = 4

8

100

63 1

60 4

1

1

126

360

{140; 210; 280; 350; 420; 490; 560; 630}

14

864

6

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� 150 Calcula el MCM y el MCD por descomposición de factores primos y completa la tabla.

a, b y c MCM(a, b y c) MCD(a, b y c)

24; 48 y 64

100; 140 y 300

135; 255 y 315

84; 105 y 210

36; 60 y 132

Resuelve y escribe las letras según corresponda. En-contrarás la solución a la adivinanza.

� 151 Halla el MCM de 12; 36 y 70. R

� 152 Calcula el MCD de 18; 48 y 120. E

� 153 Halla el menor múltiplo de 3; 8 y 12. L

� 154 Halla la suma de los tres primeros múltiplos comunes de 6; 18 y 30. E

� 155 Calcula el mayor número de tres cifras que sea divisible por 12; 20 y 30.

C

� 156 ¿Cuántos números de dos cifras son múltiplos de 6 y 9, pero no de 5? O

� 160 Un vaso pesa 75 gramos y una taza, 60 gramos. Si se quiere embalar en cajas de igual masa, ¿cuán-tos vasos como mínimo hay que colocar en una caja y cuántas tazas en otra caja, para que pesen lo mismo?

� 161 Una persona camina un número exacto de pasos avanzando 1 700 cm; 1 800 cm y 1 900 cm. ¿Cuál es la mayor longitud posible de cada paso?

� 162 Andrea repartió 800 caramelos, 240 chupetines y 400 paquetes de galletas en bolsas iguales con el mismo contenido de golosinas. Si obtuvo el mayor número de bolsas, ¿cuántas bolsas armó? ¿Cuál es el contenido de cada bolsa?

� 163 Un terreno rectangular de 120 m × 140 m se di-vide en parcelas cuadradas iguales y de la mayor área posible. ¿Cuánto mide el lado de cada parce-la? ¿Cuántas parcelas hay?

� 164 Luis tiene una cartulina de 32 cm de ancho por 40 cm de largo. Si la quiere cortar en cuadrados iguales lo más grandes posible, sin que le sobre cartulina, ¿cuántos cuadrados obtendrá?

� 165 Ariana dispone de tres pedazos de soga de 64 cm, 32 cm y 80 cm. Si quiere cortarlos en trozos igua-les y de la mayor longitud posible, ¿qué longitud debe tener cada trozo? ¿Cuántos trozos obtendrá en total?

� 166 Se tienen dos números cuyo producto es 108. Si su MCD es 3, halla su MCM.


� 157 Halla la menor cantidad de dinero que se puede repartir entre 5; 6; 7 o 13 niños, sin que sobre di-nero.

� 158 ¿Cuál es la menor longitud que se puede me-dir exactamente con una regla de 30 cm, una de 50 cm y una de 80 cm?

� 159 Ana va al cine cada 6 días a la función de noche y Sandra, cada 8 días, a la misma función. Si coin-cidieron el 3 de enero, ¿qué día volverán a encon-trarse?

Sabía s qu e...

Primos gemelosSabemos que en una pareja de números conse-cutivos, uno de ellos es un número par. Por lo tan-to, podemos afirmar que no hay números primos consecutivos, excepto 2 y 3.

¿Habrán números impares consecutivos que sean primos? Por ejemplo: 3 y 5; 5 y 7; 11 y 13; 17 y 19… son números primos y son dos impares consecutivos.

Justamente se llaman primos gemelos a dos nú-meros primos que difieren en dos unidades.

El primero en llamar a estos números así fue Paul Stackel (1892-1919).

Más pares de primos gemelos son 29 y 31; 41 y 43; 59 y 61; 71 y 73; 101 y 103… Ahora, tú busca otros pares de primos gemelos.


Es cosa anunciada que a la derecha algo valgo, pero a la izquierda, nada de nada.

540 24 960 6 1 260 4


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4 vasos en una caja y 5 tazas en la otra caja.

E L C E R O

192

2 100

16 065

420

1 980

8

20

15

21

12

2 730

1 200

27 de enero

80 bolsas, cada bolsa con-tiene: 10 caramelos, 3 chupetines y 5 paquetes de galletas.

100 cm

20 m; 42 parcelas

20

16 cm; 11 trozos

36

1 260

6

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960

4

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Unidad 134

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● 146 3 - 4 - 5 2

3 - 2 - 5 2

3 - 1 - 5 3

1 - 1 - 5 5

1 - 1 - 1

● 147 7 - 10 - 14 2

7 - 5 - 7 5

7 - 1 - 7 7

1 - 1 - 1

● 148 3 - 16 23 - 8 23 - 4 23 - 2 23 - 1 31 - 1

Hay 14 cifras.

● 149 6 - 18 - 48 23 - 9 - 24 23 - 9 - 12 23 - 9 - 6 23 - 9 - 3 31 - 3 - 1 31 - 1 - 1

El mayor número es 864.

Más actividadesRealice las siguientes actividades:

1. Observa los números.

a) Obtén tres múltiplos.

b) ¿Qué números tienen como MCM a 360?

c) ¿Qué números tienen como MCD a 25?

2. Resuelve el siguiente problema:

a) Tania tiene menos de 35 caramelos y los quiere guardar en bolsas de 2; 3 y 5 caramelos, sin que sobre ninguno. ¿Cuántos caramelos tiene? Si los guarda en bolsas de 2, ¿cuántos coloca en cada bolsa? ¿Y si lo hace en bolsas de 3? ¿Y en bolsas de 5?

b) Una cuerda de 90 cm se marca con rojo cada 5 cm, con verde cada 10 cm y con azul cada 15 cm. ¿En qué puntos de las cuerdas coinciden los siguientes colores?

– Rojo y verde

– Verde y azul

– Rojo y azul

– Los tres colores.

1251501204530

50010015430508

MCM(3; 4 y 5) = 22 × 3 × 5 = 60

{60; 120; 180}

60 + 120 + 180 = 360

MCM(7; 10 y 14) = 2 × 5 × 7 = 70

{140; 210; 280; 350; 420; 490; 560; 630}

MCM(16 y 3) = 24 × 3 = 48

{144; 192; 240; 288; 336; 384; 432; 480; 528; 576; 624; 672; 720; 768; 816; 864; 912; 960}

MCM(6; 18 y 48) = 24 × 32 = 144

{144; 288; 432; 576; 720; 864}

Para p ra ct ica r










� 141 14; 70 y 490 � 142 200; 40 y 120

� 143 600; 108 y 72 � 144 22 × 32 y 23 × 52



7 9

12 20

5 40

3 300

18 42






°5 + 2

°7 + 4

°3 + 2

°9 – 1

°6 – 3

29 es...

42 es...

75 es...

39 es...

53 es...

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V

F

V

F

F

V

MCM(14; 70 y 490) = 490

MCD(14; 70 y 490) = 14

MCM(200; 40 y 120) = 600

MCD(200; 40 y 120) = 40

MCM(600; 108 y 72) = 5 400

MCD(600; 108 y 72) = 12

MCM = 1 800

MCD = 4

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{140; 210; 280; 350; 420; 490; 560; 630}

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864

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24; 48 y 64

100; 140 y 300

135; 255 y 315

84; 105 y 210

36; 60 y 132


� 151 Halla el MCM de 12; 36 y 70. R





C













Sabía s qu e...








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27 de enero


100 cm

20 m; 42 parcelas

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16 cm; 11 trozos

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Unidad 134

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● 150 MCM = 26 × 3 = 192

MCD = 23 = 8

MCM = 22 × 3 × 52 × 7 = 2 100

MCD = 22 × 5 = 20

MCM = 33 × 5 × 7 × 1 = 16 065

MCD = 15

MCM = 22 × 3 × 5 × 7 = 420

MCD = 21

MCM = 22 × 32 × 5 × 11 = 1 980

MCD = 12

● 151 MCM(12; 36 y 70) = 22 × 32 × 5 × 7

= 1 260 R

● 152 MCD(18; 48 y 120) = 6 E

● 153 MCM(3; 8 y 12) = 23 × 3 = 24 L

● 154 MCM(6; 18 y 30) = 2 × 32 × 5 = 90

90 + 180 + 270 = 540 E

● 155 MCM(12; 20 y 30) = 22 × 3 × 5 = 60

60 × 16 = 960 C

● 156 MCM(6; 9) = 2 × 32 = 18

Múltiplos de 18 de dos cifras:

{18; 36; 54; 72; 90}

Múltiplos de 6 y 9, pero no de 5:

5 – 1 = 4 O

Adivinanza: EL CERO

● 157 MCM(5; 6; 7; 13) = 5 × 6 × 7 × 13

= 2 730

● 158 MCM = 24 × 3 × 52

= 1 200

● 159 MCM = 23 × 3 = 24

3 + 24 = 27 de enero

Volverán a coincidir el 27 de enero.

● 160 MCM(1 700; 1 800; 1 900) = 22 × 3 × 52

= 300

vasos: 300 ÷ 75 = 4

tazas: 300 ÷ 60 = 5

● 161 1 700 - 1 800 - 1 900 100 17 - 18 - 19

La mayor longitud posible de cada paso es 100 cm.

● 162 MCD = 24 × 5 = 80

Armó 80 bolsas

Cada bolsa contiene: 10 carame-los, 3 chupetines y 5 paquetes de galletas.

● 163 MCD(120; 140) = 22 × 5 = 20

El lado de cada parcela mide 20 m.

Hay 6 × 7 = 42 parcelas.

● 164 MCD(32; 40) = 23 = 8

El lado de cada cuadrado es 8 cm.

Obtendrá 4 × 5 = 20 cuadrados.

● 165 MCD = 24 = 16

Cada trozo debe tener 16 cm de longitud.

64 ÷ 16 = 4

32 ÷ 16 = 2 4 + 2 + 5 = 11

80 ÷ 16 = 5

Obtendrá en total 11 trozos.

● 166 a · b = 108; MCD = 3

Propiedad: a · b = MCD × MCM

108 = 3 · MCM

MCM = 36

Para p ra ct ica r










� 141 14; 70 y 490 � 142 200; 40 y 120

� 143 600; 108 y 72 � 144 22 × 32 y 23 × 52



7 9

12 20

5 40

3 300

18 42






°5 + 2

°7 + 4

°3 + 2

°9 – 1

°6 – 3

29 es...

42 es...

75 es...

39 es...

53 es...

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V

F

V

F

F

V

MCM(14; 70 y 490) = 490

MCD(14; 70 y 490) = 14

MCM(200; 40 y 120) = 600

MCD(200; 40 y 120) = 40

MCM(600; 108 y 72) = 5 400

MCD(600; 108 y 72) = 12

MCM = 1 800

MCD = 4

8

100

63 1

60 4

1

1

126

360

{140; 210; 280; 350; 420; 490; 560; 630}

14

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6

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24; 48 y 64

100; 140 y 300

135; 255 y 315

84; 105 y 210

36; 60 y 132


� 151 Halla el MCM de 12; 36 y 70. R





C













Sabía s qu e...








540 24 960 6 1 260 4


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E L C E R O

192

2 100

16 065

420

1 980

8

20

15

21

12

2 730

1 200

27 de enero


100 cm

20 m; 42 parcelas

20

16 cm; 11 trozos

36

1 260

6

24

540

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Razonamiento y demostración Relaciona el cálculo de la potenciación con la multiplicación de factores iguales.

Comunicación matemática Calcula el producto y el cociente de potencias de igual base y potencia de una potencia.

Presenta ejemplos que muestran la utilidad de la potenciación en contextos reales.

Resolución de problemas Resuelve problemas de contexto matemático y real que implican el cálculo de la potencia de un número natural.


Inicio• Destaque el diagrama de árbol propuesto e invite a los estudiantes a realizar la descripción y el planteamiento del

problema y a reconocer cómo expresar las cantidades numéricas como potencias.

Presente la relación del esquema con los datos organizados en la tabla. Utilice la barra de zoom para observar el diagrama.

Desarrollo

Presente el recurso video para revisar los procesos aplicados en el cálculo de una potencia.

• Compruebe numéricamente la equivalencia entre la multiplicación de factores iguales y la potenciación correspondiente.

• Procure que sean los propios estudiantes quienes planteen conclusiones y descubran los criterios para multiplicar y dividir potencias de igual base.

• Establezca la relación entre la descomposición de un número compuesto y su expresión en forma de potencia. 153 = 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 = 33 · 53 182 = 3 · 3 · 3 · 3 · 2 · 2 = 34 · 22

• Motive la práctica de las operaciones combinadas con potencias para ejercitar los procesos algorítmicos de las operaciones. Refuerce con ejercicios variados.

• Proponga a los estudiantes la creación de ejemplos para demostrar las propiedades de la potenciación.


Juego “Descomposición de números”• Elabore tarjetas y escriba diferentes

números. Forme parejas de estudiantes y en una bolsa coloque 10 tarjetas. Cada jugador sacará una tarjeta y realizará la descomposición del número expresado en una suma de potencias de 2. Por ejemplo:

63 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

= 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20

11 = 23 + 21 + 20

15 = 23 + 22 + 21 + 20

El jugador gana un punto por cada acierto. Si se equivoca, el otro jugador puede corregir y ganar el punto. Si el jugador acierta, seguirá sacando las tarjetas una a una. Si se equivoca, pasa el turno al otro jugador. Gana quien obtenga más puntos.

Información complementariaEvolución histórica de la potencia

Los babilonios usaban la elevación a potencia como operación auxiliar de la multiplicación, mientras que los griegos utilizaban los cuadrados.

Por su parte, Diofanto (siglo III d.C.) ideó la notación: x, xx, xxx… para expresar la primera, segunda y tercera potencias de x.Finalmente, Descartes introdujo en el siglo XVII la notación moderna x, x2, x3…

Voy a a p re n de r

Ejemplo 36 Resuelvo operaciones combinadas

a) 32 + 53 – 72 – 19

9 + 125 – 49 – 1

134 – 49 – 1 85 – 1 = 84

b) (6 + 2)3 ÷ 23 + (12 – 6)2 × 2 ÷ 3

83 ÷ 23 + 62 × 2 ÷ 3 512 ÷ 8 + 36 × 2 ÷ 3 64 + 72 ÷ 3 64 + 24 = 88

Calcula 43 × 5 – 60 ÷ (22 + 2) × 4 ÷ 8 – 10

En un laboratorio se observa que una bacteria se duplica cada hora. ¿Cuál será el número de bacterias después de 5 horas?

• Graficamos y completamos la tabla con el número de bacterias:

Horas Número de bacterias

Potencia

0 1 20 = 1

1 2 21 = 2

2 4 22 = 2 × 2

3 8 23 = 2 × 2 × 2

4 16 24 = 2 × 2 × 2 × 2

• Calculamos el número de bacterias después de 5 horas:

25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 bacterias

Calculamos las potencias.

4. Potenciación de números naturales

La potenciación es la forma abreviada de una multiplicación de factores iguales.

an = a × a × a × a … = b

Ejemplo 35 Resuelvo problemas usando la potenciación

Ana y Diego tuvieron tres hijos. Cada uno de ellos tuvo a su vez tres hijos, y así sucesivamente. ¿Cuántos primos tiene Flavia si es tataranieta de Ana y Diego?

• Graficamos el problema: – Número de hijos: 31 = 3 – Número de nietos: 32 = 9 – Número de bisnietos: 33 = 27 – Número de tataranietos: 34 = 81

• Flavia es tataranieta; ella y sus hermanos son 3, entonces: 81 – 3 = 78Flavia tiene 78 primos.

Resolvemos la adición.



Calculamos las divisiones y multiplicacionesen el orden en el que aparecen.

Potencias y más potencias

• 10 · 10 · 10 = 103

Se lee: 10 al cubo

• 2 · 2 · 2 · 2 · 2 … 2 = 295

95 veces

Se lee: 2 a la 95

• 4 · 4 · 4 · 4 … 4 = 4n

n veces

Se lee: 4 a la n

43 = 64

Base

Exponente

Potencia


Jerarquía de las operaciones combinadas

Para resolver las operaciones combinadas sigue este orden:

1o Signos de colección

2o Potenciación

3o Multiplicación y división

4o Adición y sustracción

Para resolver y simplificar

operaciones aplicando las propiedades de

la potenciación.


Elementos de la potenciación5 veces

n veces

Hijos

Nietos

Bisnietos

DiegoAna

Hay 32 bacterias.

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4.1. Propiedades de la potenciación

Ejemplo 37 Aplico exponente de exponente

a) 2380

231

23

8

b) 3222

÷ (32)5

324 ÷ 310

316 ÷ 310

316 – 10 = 36 = 729

Las propiedades de la potenciación permiten la simplificación de los exponentes.

Propiedad Ejemplo Simbolización

Producto de potencias de igual base

• 22 × 24 = (2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 64• 22 × 24 = 22 + 4 = 26 = 64

am × an = am + n

Cociente de potencias de igual base

• 47 ÷ 45 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 _____________ 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 16

• 47 ÷ 45 = 47 – 5 = 42 = 16am ÷ an = am – n

Potencia de una potencia

• (22)4 = 22 × 22 × 22 × 22 = 28 = 256• (22)4 = 22 × 4 = 28 = 256

(am)n = am × n

Potencia de un producto

• (5 × 2)3 = (10)3 = 1 000• (5 × 2)3 = 53 × 23 = 125 × 8 = 1 000

(a × b)n = an × bn

Potencia de un cociente

• (12 ÷ 4)2 = 32 = 9• (12 ÷ 4)2 = 122 ÷ 42 = 144 ÷ 16 = 9

(a ÷ b)n = an ÷ bn

Ejemplo 38 Simpli co expresiones

a) 48 × 46 × 4 ________ 47 × 46

415 ÷ 413

42 = 16

b) 155 × 283 _______

104 × 142

(3 × 5)5 (22 × 7)3

____________ (2 × 5)4 (2 × 7)2

35 × 55 × 26 × 73

___________ 24 × 54 × 22 × 72

35 × 55 – 4 × 26 – 4 – 2 × 73 – 2

35 × 51 × 20 × 71 = 243 × 5 × 1 × 7 = 8 505

Aplicamos producto de potencias de igual base: 48 + 6 + 1 = 415 y 47 + 6 = 413

Resolvemos de arriba hacia abajo (80 = 1).

Seguimos resolviendo de arriba hacia abajo (31 = 3).

Calculamos la potencia.

En el dividendo, resolvemos de arriba hacia abajo y, en el divisor, aplicamos potencia de una potencia.

Aplicamos cociente de potencias de igual base.


Si M = 1022 – 22, calcula la suma de las cifras del valor de M.

• 1022 será igual a la unidad seguida de 22 ceros. Hallamos M:

100 000 000… 000 000 – 22 = 99 999 999… 999 978 23 cifras 22 cifras

La suma de las cifras de M es 20 × 9 + 7 + 8 = 195.

��

Aplicamos cociente de potencias de igual base: 415 – 13 = 42

Descomponemos cada factor: 15 = 3 × 5; 28 = 22 × 7; 10 = 2 × 5 y 14 = 2 × 7

Aplicamos potencia de un producto.



Las teclas x 2 y x �

nos permiten calcular

potencias.

� 52 __

52 = 25 __ 25

= 1

� 52 __

52 = 52 – 2 = 50

En general: a 0 = 1

Observa cómo queda demostrado que 50 = 1.

50 = 1

Para calcular 35, presiona las siguientes teclas:

3 x � 5 = 243Entonces, 35 = 243


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Razonamiento y demostración Relaciona el cálculo de la potenciación con la multiplicación de factores iguales.

Comunicación matemática Calcula el producto y el cociente de potencias de igual base y potencia de una potencia.

Presenta ejemplos que muestran la utilidad de la potenciación en contextos reales.

Resolución de problemas Resuelve problemas de contexto matemático y real que implican el cálculo de la potencia de un número natural.


Inicio• Destaque el diagrama de árbol propuesto e invite a los estudiantes a realizar la descripción y el planteamiento del

problema y a reconocer cómo expresar las cantidades numéricas como potencias.

Presente la relación del esquema con los datos organizados en la tabla. Utilice la barra de zoom para observar el diagrama.

Desarrollo

Presente el recurso video para revisar los procesos aplicados en el cálculo de una potencia.

• Compruebe numéricamente la equivalencia entre la multiplicación de factores iguales y la potenciación correspondiente.

• Procure que sean los propios estudiantes quienes planteen conclusiones y descubran los criterios para multiplicar y dividir potencias de igual base.

• Establezca la relación entre la descomposición de un número compuesto y su expresión en forma de potencia. 153 = 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 = 33 · 53 182 = 3 · 3 · 3 · 3 · 2 · 2 = 34 · 22

• Motive la práctica de las operaciones combinadas con potencias para ejercitar los procesos algorítmicos de las operaciones. Refuerce con ejercicios variados.

• Proponga a los estudiantes la creación de ejemplos para demostrar las propiedades de la potenciación.


Juego “Descomposición de números”• Elabore tarjetas y escriba diferentes

números. Forme parejas de estudiantes y en una bolsa coloque 10 tarjetas. Cada jugador sacará una tarjeta y realizará la descomposición del número expresado en una suma de potencias de 2. Por ejemplo:

63 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

= 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20

11 = 23 + 21 + 20

15 = 23 + 22 + 21 + 20

El jugador gana un punto por cada acierto. Si se equivoca, el otro jugador puede corregir y ganar el punto. Si el jugador acierta, seguirá sacando las tarjetas una a una. Si se equivoca, pasa el turno al otro jugador. Gana quien obtenga más puntos.

Información complementariaEvolución histórica de la potencia

Los babilonios usaban la elevación a potencia como operación auxiliar de la multiplicación, mientras que los griegos utilizaban los cuadrados.

Por su parte, Diofanto (siglo III d.C.) ideó la notación: x, xx, xxx… para expresar la primera, segunda y tercera potencias de x.Finalmente, Descartes introdujo en el siglo XVII la notación moderna x, x2, x3…

Voy a a p re n de r


a) 32 + 53 – 72 – 19

9 + 125 – 49 – 1

134 – 49 – 1 85 – 1 = 84

b) (6 + 2)3 ÷ 23 + (12 – 6)2 × 2 ÷ 3

83 ÷ 23 + 62 × 2 ÷ 3 512 ÷ 8 + 36 × 2 ÷ 3 64 + 72 ÷ 3 64 + 24 = 88

Calcula 43 × 5 – 60 ÷ (22 + 2) × 4 ÷ 8 – 10




Potencia

0 1 20 = 1

1 2 21 = 2

2 4 22 = 2 × 2

3 8 23 = 2 × 2 × 2

4 16 24 = 2 × 2 × 2 × 2


25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 bacterias




an = a × a × a × a … = b










• 10 · 10 · 10 = 103

Se lee: 10 al cubo

• 2 · 2 · 2 · 2 · 2 … 2 = 295

95 veces

Se lee: 2 a la 95

• 4 · 4 · 4 · 4 … 4 = 4n

n veces

Se lee: 4 a la n

43 = 64

Base

Exponente

Potencia





2o Potenciación





la potenciación.



n veces

Hijos

Nietos

Bisnietos

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a) 2380

231

23

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b) 3222

÷ (32)5

324 ÷ 310

316 ÷ 310

316 – 10 = 36 = 729




• 22 × 24 = (2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 64• 22 × 24 = 22 + 4 = 26 = 64

am × an = am + n


• 47 ÷ 45 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 _____________ 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 16

• 47 ÷ 45 = 47 – 5 = 42 = 16am ÷ an = am – n


• (22)4 = 22 × 22 × 22 × 22 = 28 = 256• (22)4 = 22 × 4 = 28 = 256

(am)n = am × n


• (5 × 2)3 = (10)3 = 1 000• (5 × 2)3 = 53 × 23 = 125 × 8 = 1 000

(a × b)n = an × bn


• (12 ÷ 4)2 = 32 = 9• (12 ÷ 4)2 = 122 ÷ 42 = 144 ÷ 16 = 9

(a ÷ b)n = an ÷ bn


a) 48 × 46 × 4 ________ 47 × 46

415 ÷ 413

42 = 16

b) 155 × 283 _______

104 × 142

(3 × 5)5 (22 × 7)3

____________ (2 × 5)4 (2 × 7)2

35 × 55 × 26 × 73

___________ 24 × 54 × 22 × 72

35 × 55 – 4 × 26 – 4 – 2 × 73 – 2

35 × 51 × 20 × 71 = 243 × 5 × 1 × 7 = 8 505










100 000 000… 000 000 – 22 = 99 999 999… 999 978 23 cifras 22 cifras

La suma de las cifras de M es 20 × 9 + 7 + 8 = 195.��








potencias.

� 52 __

52 = 25 __ 25

= 1

� 52 __

52 = 52 – 2 = 50

En general: a 0 = 1


50 = 1


3 x � 5 = 243Entonces, 35 = 243


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Unidad 136

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Cierre Invite a los estudiantes a desarrollar las situaciones propuestas en el recurso preguntas. Considere este recurso

como un instrumento de evaluación.

• Resalte la importancia de descomponer números en sumas de potencias de 10 y pida que completen las siguientes igualdades:

a) 5 716 = × 103 + × + 1 × + ×

b) 2 × 106 + 4 × 105 + 7 × + 1 × 103 + 3 × 102 + 2 × + = 2 471 325

• Indíqueles que resuelvan en parejas y escriban el signo = o ≠ según corresponda:

a) (5 – 3)2 52 – 32

d) (3 + 4)2 32 + 42

g) (52 + 22 · 5 + 22) (5 + 2)

b) (3 · 4)2 32 · 42

e) (5 + 2)(5 – 2) 52 – 22

h) 4 + 7 · (22 – 1) 11 · (22 – 1)

c) 42 + 32 (2 + 3)2

f) (4 + 1)(4 – 1) 2 · 4 – 2 · 1

i) (6 + 3)2 · (6 – 3)2 92 – 32

• Verifique los conocimientos aprendidos con preguntas como las siguientes: ¿Por qué las sucesivas potencias de 1 dan como resultado 1? ¿7² es lo mismo que 27?¿Por qué? ¿Será cierto que (43)2 es igual a (42)3?

Razonamiento y demostración Selecciona las propiedades de la potenciación que se ajustan a la solución del algoritmo y permiten la simplificación de las operaciones.

Comunicación matemática Representa simbólicamente las propiedades de la potenciación.

Explica el uso de la potenciación en contextos reales.

Resolución de problemas Aplica las propiedades de la potenciación en la resolución de problemas.


Juego “Propiedades de la potenciación”• Forme grupos de 2 o 3 alumnos y

pídales que elaboren 24 tarjetas: 12 verdes y 12 azules, y que escriban en cada tarjeta lo que se indica.

Reparta las tarjetas verdes en partes iguales entre los integrantes y ponga las tarjetas azules, una sobre otra, boca abajo.

Cada integrante del grupo toma una tarjeta azul del montón, calcula su resultado y busca entre sus tarjetas verdes alguna con el valor hallado. Si la tiene, junta las dos tarjetas y las acumula; si no la tiene; devuelve la tarjeta azul y la mezcla con el resto. En ambos casos, pasa el turno al siguiente jugador.

a23 · a25 517 · 513 (a14)11 43 · 4

216 a4 729 x2 ÷ y6

32 a63 343 x12y16

256 a154 625 a48

(2 · 3)2 (a3 ÷ a)2 (32)3 a82 · a19

(x ÷ y3)2 (21 ÷ 3)3 (x3 · y4)4 22 · 23

5 7 102 10 6 102

104 10 5

≠

≠

=

≠

=

≠

≠

≠

≠

Voy a a p re n de r


a) 32 + 53 – 72 – 19

9 + 125 – 49 – 1

134 – 49 – 1 85 – 1 = 84

b) (6 + 2)3 ÷ 23 + (12 – 6)2 × 2 ÷ 3

83 ÷ 23 + 62 × 2 ÷ 3 512 ÷ 8 + 36 × 2 ÷ 3 64 + 72 ÷ 3 64 + 24 = 88

Calcula 43 × 5 – 60 ÷ (22 + 2) × 4 ÷ 8 – 10




Potencia

0 1 20 = 1

1 2 21 = 2

2 4 22 = 2 × 2

3 8 23 = 2 × 2 × 2

4 16 24 = 2 × 2 × 2 × 2


25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 bacterias




an = a × a × a × a … = b










• 10 · 10 · 10 = 103

Se lee: 10 al cubo

• 2 · 2 · 2 · 2 · 2 … 2 = 295

95 veces

Se lee: 2 a la 95

• 4 · 4 · 4 · 4 … 4 = 4n

n veces

Se lee: 4 a la n

43 = 64

Base

Exponente

Potencia





2o Potenciación





la potenciación.



n veces

Hijos

Nietos

Bisnietos

DiegoAna

Hay 32 bacterias.

36

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. Pro

hibi

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prod

ucci

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22

305

030_039 U01M1 36 6/7/11 9:12:03 AM



a) 2380

231

23

8

b) 3222

÷ (32)5

324 ÷ 310

316 ÷ 310

316 – 10 = 36 = 729




• 22 × 24 = (2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 64• 22 × 24 = 22 + 4 = 26 = 64

am × an = am + n


• 47 ÷ 45 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 _____________ 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 16

• 47 ÷ 45 = 47 – 5 = 42 = 16am ÷ an = am – n


• (22)4 = 22 × 22 × 22 × 22 = 28 = 256• (22)4 = 22 × 4 = 28 = 256

(am)n = am × n


• (5 × 2)3 = (10)3 = 1 000• (5 × 2)3 = 53 × 23 = 125 × 8 = 1 000

(a × b)n = an × bn


• (12 ÷ 4)2 = 32 = 9• (12 ÷ 4)2 = 122 ÷ 42 = 144 ÷ 16 = 9

(a ÷ b)n = an ÷ bn


a) 48 × 46 × 4 ________ 47 × 46

415 ÷ 413

42 = 16

b) 155 × 283 _______

104 × 142

(3 × 5)5 (22 × 7)3

____________ (2 × 5)4 (2 × 7)2

35 × 55 × 26 × 73

___________ 24 × 54 × 22 × 72

35 × 55 – 4 × 26 – 4 – 2 × 73 – 2

35 × 51 × 20 × 71 = 243 × 5 × 1 × 7 = 8 505










100 000 000… 000 000 – 22 = 99 999 999… 999 978 23 cifras 22 cifras

La suma de las cifras de M es 20 × 9 + 7 + 8 = 195.

��








potencias.

� 52 __

52 = 25 __ 25

= 1

� 52 __

52 = 52 – 2 = 50

En general: a 0 = 1


50 = 1


3 x � 5 = 243Entonces, 35 = 243


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● 169 a) 7 × 32

b) 200 + 53

c) (8 + 1)2 = 92

d) 52 + 63

e) 2 × 93

● 180 (62)3 × (63)2 × (64)5

= 66 × 66 × 620 = 632

● 181 ((35)2)3 × ((32)2)0

= 330 × 30 = 330

● 182 (115)4 × (113)6

__________ 1111

= 1120 × 1118 _______

1111 = 1138 ___

1111 = 1127

● 183 (136)2 × ((133)4)2

___________ 1310

= 1312 × 1324 _______

1310 = 1336 ___

1310 = 1326

● 184 32 + (9 – 7)3 – 2 × 250 × 32

32 + 23 – 2 × 1 × 9

32 + 8 – 18 = 40 – 18 = 22

● 185 (36)5 × (32)5 ÷ (38)5 + 32

= 330 × 310 ÷ 340 + 9

= 340 ÷ 340 + 9

= 30 + 9 = 1 + 9 = 10

● 186 43 × 5 – [60 ÷ (22 + 2) × 4 ÷ 5] – (6 + 7)0

= 64 × 5 – [60 ÷ (4 + 2) × 4 ÷ 5] – 130

= 320 – [60 ÷ 6 × 4 – 5] – 1

= 320 – [10 × 4 ÷ 5] – 1

= 320 – [40 ÷ 5] – 1

= 320 – [8] – 1

= 320 – 8 – 1 = 311

● 187 30 – [52 – (7 – 2) × 3 – (30 – 33)] + 24

= 30 – [25 – 5 × 3 – (30 – 27)] + 16

= 30 – [25 – 15 – 3] + 16

= 30 – [7] + 16

= 30 – 7 + 16 = 39 • Resuelve los siguientes ejercicios y ubica cada respuesta en la casilla correspondiente del crucinúmeros.

Horizontales

1. 122 × 122 ÷ 123

2. 102 + 101

4. (22)2 × 4

5. 22 × 32 × 52

6. 30 × 32 × 32

7. 102 × 5 + 52

9. (52)2 + 103

11. 17 × 102

12. 52 × 52

17. 112

21. 3 × 2 × 101

23. (103)0 × 10

24. 142 – 22

25. 72 + 21

26. 52 × 2 + 10

28. 12 × 12 + 131

29. 35 + 32 × 5 + 52

30. 53 ÷ 30

31. 1 + 250 × 20 – 1

32. (13 + 23) × 2 + 10

Verticales

1. 53

3. 106 + 104 + 101

8. 32 × 31

10. (87 ÷ 86) – 8 + 562

11. (36 ÷ 36) + 32

13. 22 × 30 × 62 × 20 × 2

14. 52 × 5 + 50

15. 32 × 52 – 200

16. 42 × 42 ÷ 44 + 102

18. 104 + 103 + 101

20. 100 × 6 ÷ 300

22. 30 × 54

26. [(124 ÷ 122) – 13] × 5

27. 112 × 113 ÷ 114

Más actividades

1 2 3 4

5 6

7 8 9 10

11 12 13

14 15

16 17 18 19 20

21 22 23

24 25 26

27 28 29

30 31 32

Más a ct iv id a de sComunicación matemática

� 167 Expresa cada multiplicación como potencia.

a) 6 × 6 × 6 = ___________________________

b) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = __________________

c) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = _______________

d) 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = ____________

e) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = _________

� 168 Diego y Alexia escribieron 64 como un producto. ¿Quién tiene razón?

� 169 Escribe en cada caso la expresión matemática que corresponda.

a) El producto de 7 y el cuadrado de 3.

b) La suma de 200 y el cubo de 5.

c) El cuadrado del consecutivo de 8.

d) La suma del cuadrado de 5 y el cubo de 6.

e) El doble del cubo de 9.

� 170 Calcula las potencias.

a) 24 = b) 33 = c) 52 =

d) 72 = e) 16 = f) 110 =

g) 92 = h) 27 = i) 63 =

j) 53 = k) 73 = l) 83 =

m) 130 = n) 1000 = o) 190 =

� 178 Marca con un � según sean verdaderas o falsas estas igualdades. Luego, corrige las falsas.

V F

35 × 36 × 3 = 35 + 6 = 311

78 ÷ 72 = 78 – 2 = 76

(62)2 = 62 × 2 = 64

272 = (33)2 = 36

� 179 Escribe los números que faltan.

a) 93 × 92 × 94 = 9 b) 810 ÷ 87 = 8

c) 1031 ÷ 1018 = 10 d) (56)3 = 5

e) [(73)5]2 = 7 f) (3 × 2)2 = 3 × 2

g) (4 ÷ 2)5 = 4 ÷ 2 h) 4322

= 4

Aplica propiedades y expresa como potencia.

� 180 (62)3 × (63)2 × (64)5

� 182 (115)4 × (113)6

__________ 1111

� 181 ((35)2)3 × ((32)2)0

� 183 (136)2 × ((133)4)2

____________ 1310

Efectúa las siguientes operaciones combinadas:

� 184 32 + (9 – 7)3 – 2 × 250 × 32

� 185 (36)5 × (32)5 ÷ (38)5 + 32

� 186 43 × 5 – [60 ÷ (22 + 2) × 4 ÷ 5] – (6 + 7)0

� 187 30 – [52 – (7 – 2) × 3 – (30 – 33)] + 24

� 171 Escribe en cada casilla el número que corresponda.

a) 3 = 27 b) 2 = 16 c) 4 = 81

d) 3 = 64 e) 3 = 8 f) 3 = 125

g) 5 = 32 h) 6 = 1 i) 4 = 81

Halla los números que faltan en cada igualdad.

� 172 10 = 1 000

� 174 (1 + )4 = 16

� 176 (3 + 2) = 625

� 173 10 = 1 000 000

� 175 ( + 4)2 = 81

� 177 (8 – 5) = 729

Desaf í oSigue la regla y completa las casillas. Luego, suma.

¿Puedes decir cuánto suman los números de la fila 10? Explica cómo.

Diego64 = 6 × 6 × 6 × 6

Alexia64 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4


1 1 = 13

3 5 3 + 5 = 8 = 23

7 9 11 7 + 9 + 11 = 27 = 33

13 15 17 19 13 + 15 + 17 + 19 = 43

21 _____________________________________

____________________________________

____________________________________

38

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antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u re

prod

ucci

ón. D

.L. 8

22

63

26

37

18

59

�

7 × 32

200 + 53

(8 + 1)2

2(93)

52 + 63

16

49

81

125

1

27

1

128

343

1

25

1

216

512

1

3

4

2

4

2

1

3

5

3

1 5

3 6

64

�

�

�

�

9 3

1813

30

5 5 81

2 2

632 330

1127 1326

22

10

311

39

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 53

31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 63

43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 73

23 25 27 29

31 33 35 37 39 41

43 45 47 49 51 53 55

1 000; 103 porque se encuentra en la fila 10.

030_039 U01M1 38 6/7/11 9:12:06 AM

Voy a a p re n de r

Para el desfile patriótico, los alumnos de 1.o B quieren ha-cer una formación cuadrada. Si son 49 alumnos, ¿cuántos deben haber en cada fila?

• Calculamos el número de alumnos que debe haber en cada fila:

Si fueran 5 alumnos por fila, serían 52 = 25 � √ ___

25 = 5, todavía falta.




49 = 7, alcanza exactamente.

En cada fila deben haber 7 alumnos.

5. Radicación de números naturales

Ejemplo 40 Calculo raíces

Completa la tabla.

Índice Radicando Raíz Comprobación

√ ___

16 2 16 4 42 = 16

√ ___

144 2 144 12 122 = 144

3 √ ___

27 3 27 3 33 = 27

4 √ ___

81 4 81 3 34 = 81

7 √ __

1 7 1 1 17 = 1

Calcula las siguientes raíces: a) √ ___

49 b) √ __

1 c) 3 √ ___

343 d) 5 √ ___

32


a) √ ___

400 – 35 ÷ 5 + √ ___

16 – 2 · 3 √ ___

125

20 – 35 ÷ 5 + 4 – 2 × 5

20 – 7 + 4 – 10 = 7

b) √ ___________________

67 – √ _____________

5 + √ ________

11 + √ ___

25

√ ________________

67 – √ __________

5 + √ _____

11 + 5

√ __________

67 – √ ____

5 + 4 = √ _____

67 – 3 = √ ___

64 = 8

Resuelve: a) 5 √ ___

32 + 3 √ _____

1 000 × 32 – 5 4 √ ___

16 b) 3 √ ______________

4 – √ _________

5 + √ ____

9 + 7

Resolvemos la adición y sustracción en el orden en el que se presentan.

Calculamos las raíces.

Primero, resolvemos √ ___

25 = 5

Resolvemos la división y la multiplicación.

Seguimos con √ _____

11 + 5 = √ ___

16 = 4

Continuamos del mismo modo.

Lectura de raíces

√ _ b se lee: raíz cuadrada de b.

3 √ _ b se lee: raíz cúbica de b.

4 √ _ b se lee: raíz cuarta de b.

n √ _ b se lee: raíz enésima de b.

La radicación es la operación inversa de la potenciación.

La raíz enésima de un número natural es otro número que elevado a esa enésima potencia resulte el número propuesto.

n √ __ a = b porque bn = a

Para reconocer y aplicar las

propiedades de la radicación en el

cálculo mental.


Elementos de la radicación

3 √ __

64 = 4

Radicando

Índice

Raíz

Con las teclas √_ � , SHIFT ,

3 √_ � y � √

_ □ se puede

calcular la raíz de cualquier nú-mero. Por ejemplo, para calcular 7 √__

128 , presiona las siguientes teclas:

SHIFT 7 � 1 2 8 =

2

Entonces, 7 √__

128 = 2


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lana

S.A

. Pro

hibi

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prod

ucci

ón. D

.L. 8

22

7 1 7 2

82 1

030_039 U01M1 39 6/7/11 9:12:08 AM

1 2 1 1 0 6 4

2 9 0 0 8 1

5 2 5 1 6 2 5

7 1 0 0 6 2 5

1 2 0 0 2 8

2 1 5 1 2 1 8 6

6 0 6 0 1 0 0

1 9 2 7 0 6 0

1 1 5 7 1 0 5

1 2 5 2 5 0 5 2

Unidad 138

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S.A

. Pro

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.L. 8

22

G030_049 U01M1.indd 38 7/15/11 10:55:18 AM



● 169 a) 7 × 32

b) 200 + 53

c) (8 + 1)2 = 92

d) 52 + 63

e) 2 × 93

● 180 (62)3 × (63)2 × (64)5

= 66 × 66 × 620 = 632

● 181 ((35)2)3 × ((32)2)0

= 330 × 30 = 330

● 182 (115)4 × (113)6

__________ 1111

= 1120 × 1118 _______

1111 = 1138 ___

1111 = 1127

● 183 (136)2 × ((133)4)2

___________ 1310

= 1312 × 1324 _______

1310 = 1336 ___

1310 = 1326

● 184 32 + (9 – 7)3 – 2 × 250 × 32

32 + 23 – 2 × 1 × 9

32 + 8 – 18 = 40 – 18 = 22

● 185 (36)5 × (32)5 ÷ (38)5 + 32

= 330 × 310 ÷ 340 + 9

= 340 ÷ 340 + 9

= 30 + 9 = 1 + 9 = 10

● 186 43 × 5 – [60 ÷ (22 + 2) × 4 ÷ 5] – (6 + 7)0

= 64 × 5 – [60 ÷ (4 + 2) × 4 ÷ 5] – 130

= 320 – [60 ÷ 6 × 4 – 5] – 1

= 320 – [10 × 4 ÷ 5] – 1

= 320 – [40 ÷ 5] – 1

= 320 – [8] – 1

= 320 – 8 – 1 = 311

● 187 30 – [52 – (7 – 2) × 3 – (30 – 33)] + 24

= 30 – [25 – 5 × 3 – (30 – 27)] + 16

= 30 – [25 – 15 – 3] + 16

= 30 – [7] + 16

= 30 – 7 + 16 = 39 • Resuelve los siguientes ejercicios y ubica cada respuesta en la casilla correspondiente del crucinúmeros.

Horizontales

1. 122 × 122 ÷ 123

2. 102 + 101

4. (22)2 × 4

5. 22 × 32 × 52

6. 30 × 32 × 32

7. 102 × 5 + 52

9. (52)2 + 103

11. 17 × 102

12. 52 × 52

17. 112

21. 3 × 2 × 101

23. (103)0 × 10

24. 142 – 22

25. 72 + 21

26. 52 × 2 + 10

28. 12 × 12 + 131

29. 35 + 32 × 5 + 52

30. 53 ÷ 30

31. 1 + 250 × 20 – 1

32. (13 + 23) × 2 + 10

Verticales

1. 53

3. 106 + 104 + 101

8. 32 × 31

10. (87 ÷ 86) – 8 + 562

11. (36 ÷ 36) + 32

13. 22 × 30 × 62 × 20 × 2

14. 52 × 5 + 50

15. 32 × 52 – 200

16. 42 × 42 ÷ 44 + 102

18. 104 + 103 + 101

20. 100 × 6 ÷ 300

22. 30 × 54

26. [(124 ÷ 122) – 13] × 5

27. 112 × 113 ÷ 114

Más actividades

1 2 3 4

5 6

7 8 9 10

11 12 13

14 15

16 17 18 19 20

21 22 23

24 25 26

27 28 29

30 31 32



a) 6 × 6 × 6 = ___________________________

b) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = __________________

c) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = _______________

d) 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = ____________

e) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = _________









a) 24 = b) 33 = c) 52 =

d) 72 = e) 16 = f) 110 =

g) 92 = h) 27 = i) 63 =

j) 53 = k) 73 = l) 83 =

m) 130 = n) 1000 = o) 190 =


V F

35 × 36 × 3 = 35 + 6 = 311

78 ÷ 72 = 78 – 2 = 76

(62)2 = 62 × 2 = 64

272 = (33)2 = 36


a) 93 × 92 × 94 = 9 b) 810 ÷ 87 = 8

c) 1031 ÷ 1018 = 10 d) (56)3 = 5

e) [(73)5]2 = 7 f) (3 × 2)2 = 3 × 2

g) (4 ÷ 2)5 = 4 ÷ 2 h) 4322

= 4


� 180 (62)3 × (63)2 × (64)5

� 182 (115)4 × (113)6

__________ 1111

� 181 ((35)2)3 × ((32)2)0

� 183 (136)2 × ((133)4)2

____________ 1310


� 184 32 + (9 – 7)3 – 2 × 250 × 32

� 185 (36)5 × (32)5 ÷ (38)5 + 32

� 186 43 × 5 – [60 ÷ (22 + 2) × 4 ÷ 5] – (6 + 7)0

� 187 30 – [52 – (7 – 2) × 3 – (30 – 33)] + 24


a) 3 = 27 b) 2 = 16 c) 4 = 81

d) 3 = 64 e) 3 = 8 f) 3 = 125

g) 5 = 32 h) 6 = 1 i) 4 = 81


� 172 10 = 1 000

� 174 (1 + )4 = 16

� 176 (3 + 2) = 625

� 173 10 = 1 000 000

� 175 ( + 4)2 = 81

� 177 (8 – 5) = 729



Diego64 = 6 × 6 × 6 × 6

Alexia64 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4


1 1 = 13

3 5 3 + 5 = 8 = 23

7 9 11 7 + 9 + 11 = 27 = 33

13 15 17 19 13 + 15 + 17 + 19 = 43

21 _____________________________________

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18

59

�

7 × 32

200 + 53

(8 + 1)2

2(93)

52 + 63

16

49

81

125

1

27

1

128

343

1

25

1

216

512

1

3

4

2

4

2

1

3

5

3

1 5

3 6

64

�

�

�

�

9 3

1813

30

5 5 81

2 2

632 330

1127 1326

22

10

311

39

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 53

31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 63

43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 73

23 25 27 29

31 33 35 37 39 41

43 45 47 49 51 53 55


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Voy a a p re n de r












Completa la tabla.


√ ___

16 2 16 4 42 = 16

√ ___

144 2 144 12 122 = 144

3 √ ___

27 3 27 3 33 = 27

4 √ ___

81 4 81 3 34 = 81

7 √ __

1 7 1 1 17 = 1


49 b) √ __

1 c) 3 √ ___

343 d) 5 √ ___

32


a) √ ___

400 – 35 ÷ 5 + √ ___

16 – 2 · 3 √ ___

125

20 – 35 ÷ 5 + 4 – 2 × 5

20 – 7 + 4 – 10 = 7

b) √ ___________________

67 – √ _____________

5 + √ ________

11 + √ ___

25

√ ________________

67 – √ __________

5 + √ _____

11 + 5

√ __________

67 – √ ____

5 + 4 = √ _____

67 – 3 = √ ___

64 = 8


32 + 3 √ _____

1 000 × 32 – 5 4 √ ___

16 b) 3 √ ______________

4 – √ _________

5 + √ ____

9 + 7




25 = 5



11 + 5 = √ ___

16 = 4


Lectura de raíces










cálculo mental.



3 √ __

64 = 4

Radicando

Índice

Raíz


3 √_ � y � √

_ □ se puede



SHIFT 7 � 1 2 8 =

2

Entonces, 7 √__

128 = 2


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7 1 7 2

82 1

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1 2 1 1 0 6 4

2 9 0 0 8 1

5 2 5 1 6 2 5

7 1 0 0 6 2 5

1 2 0 0 2 8

2 1 5 1 2 1 8 6

6 0 6 0 1 0 0

1 9 2 7 0 6 0

1 1 5 7 1 0 5

1 2 5 2 5 0 5 2

Unidad 138

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Inicio Utilice la herramienta destacar para revisar y plantear el problema propuesto.

• Invite a los estudiantes a recrear la situación representando las filas. Luego, pregunte lo siguiente: ¿Qué operación aplicamos para calcular el total de estudiantes? Si se conoce el total de estudiantes, ¿cómo calculan el número de estudiantes de cada fila?

• Resalte que la radicación es la operación inversa de la potenciación. La radicación permite calcular la base de una potencia si se conoce la potencia y el exponente. Presente ejemplos.

• Relacione la potencia con el radicando y el exponente con el índice de la raíz, y haga notar que por convención el índice 2 no se escribe.

Desarrollo Utilice la herramienta destacar los elemento de la radicación. Invite a los estudiantes a reconocer los elementos de

la radicación y hallar la raíz.

Cierre• Comente a los estudiantes que no todos los números naturales tienen una raíz exacta. Por ello, explique la utilidad

para el cálculo mental de estar familiarizados con los cuadrados de los números del 1 al 20.


Razonamiento y demostración Calcula la raíz enésima de un número natural.

Comunicación matemática Explica la aplicación de la radicación en contextos reales.

Resolución de problemas Aplica la técnica algorítmica de la radicación para resolver problemas.


Información complementariaLos pitagóricos• No se sabe quién descubrió los

números irracionales, pero los pitagóricos, a finales del siglo V a. C., conocían la condición de irracionalidad de √

_ 2 (números

inconmensurables).

Más actividades• Determina el lado de los siguientes

cuadrados:

a) ¿Qué operación aplicaste?

b) ¿Cuánto medirá un terreno de 900 m² ?

A = 16 cm2A = 9 cm2



a) 6 × 6 × 6 = ___________________________

b) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = __________________

c) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = _______________

d) 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = ____________

e) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = _________









a) 24 = b) 33 = c) 52 =

d) 72 = e) 16 = f) 110 =

g) 92 = h) 27 = i) 63 =

j) 53 = k) 73 = l) 83 =

m) 130 = n) 1000 = o) 190 =


V F

35 × 36 × 3 = 35 + 6 = 311

78 ÷ 72 = 78 – 2 = 76

(62)2 = 62 × 2 = 64

272 = (33)2 = 36


a) 93 × 92 × 94 = 9 b) 810 ÷ 87 = 8

c) 1031 ÷ 1018 = 10 d) (56)3 = 5

e) [(73)5]2 = 7 f) (3 × 2)2 = 3 × 2

g) (4 ÷ 2)5 = 4 ÷ 2 h) 4322

= 4


� 180 (62)3 × (63)2 × (64)5

� 182 (115)4 × (113)6

__________ 1111

� 181 ((35)2)3 × ((32)2)0

� 183 (136)2 × ((133)4)2

____________ 1310


� 184 32 + (9 – 7)3 – 2 × 250 × 32

� 185 (36)5 × (32)5 ÷ (38)5 + 32

� 186 43 × 5 – [60 ÷ (22 + 2) × 4 ÷ 5] – (6 + 7)0

� 187 30 – [52 – (7 – 2) × 3 – (30 – 33)] + 24


a) 3 = 27 b) 2 = 16 c) 4 = 81

d) 3 = 64 e) 3 = 8 f) 3 = 125

g) 5 = 32 h) 6 = 1 i) 4 = 81


� 172 10 = 1 000

� 174 (1 + )4 = 16

� 176 (3 + 2) = 625

� 173 10 = 1 000 000

� 175 ( + 4)2 = 81

� 177 (8 – 5) = 729



Diego64 = 6 × 6 × 6 × 6

Alexia64 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4


1 1 = 13

3 5 3 + 5 = 8 = 23

7 9 11 7 + 9 + 11 = 27 = 33

13 15 17 19 13 + 15 + 17 + 19 = 43

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26

37

18

59

�

7 × 32

200 + 53

(8 + 1)2

2(93)

52 + 63

16

49

81

125

1

27

1

128

343

1

25

1

216

512

1

3

4

2

4

2

1

3

5

3

1 5

3 6

64

�

�

�

�

9 3

1813

30

5 5 81

2 2

632 330

1127 1326

22

10

311

39

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 53

31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 63

43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 73

23 25 27 29

31 33 35 37 39 41

43 45 47 49 51 53 55


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Voy a a p re n de r












Completa la tabla.


√ ___

16 2 16 4 42 = 16

√ ___

144 2 144 12 122 = 144

3 √ ___

27 3 27 3 33 = 27

4 √ ___

81 4 81 3 34 = 81

7 √ __

1 7 1 1 17 = 1


49 b) √ __

1 c) 3 √ ___

343 d) 5 √ ___

32


a) √ ___

400 – 35 ÷ 5 + √ ___

16 – 2 · 3 √ ___

125

20 – 35 ÷ 5 + 4 – 2 × 5

20 – 7 + 4 – 10 = 7

b) √ ___________________

67 – √ _____________

5 + √ ________

11 + √ ___

25

√ ________________

67 – √ __________

5 + √ _____

11 + 5

√ __________

67 – √ ____

5 + 4 = √ _____

67 – 3 = √ ___

64 = 8


32 + 3 √ _____

1 000 × 32 – 5 4 √ ___

16 b) 3 √ ______________

4 – √ _________

5 + √ ____

9 + 7




25 = 5



11 + 5 = √ ___

16 = 4


Lectura de raíces










cálculo mental.



3 √ __

64 = 4

Radicando

Índice

Raíz


3 √_ � y � √

_ □ se puede



SHIFT 7 � 1 2 8 =

2

Entonces, 7 √__

128 = 2


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Razonamiento y demostración Selecciona la aplicación de las propiedades de la radicación al resolver ejercicios para simplificar el proceso algorítmico.

Comunicación matemática Propone ejemplos aplicando las propiedades de la radicación.

Resolución de problemas Resuelve problemas de contexto matemático y real que requieren de la radicación.


Inicio• Proponga la revisión de las propiedades de la potenciación estableciendo la relación con las propiedades de la

radicación.

• Organice grupos para la demostración de una de las propiedades de la radicación presentando ejemplos y explicando los procesos.

Desarrollo• Invite a los estudiantes a proponer sus propios ejemplos empleando diferentes recursos para comprobar cada

propiedad.

• Motive a que clasifiquen los ejemplos propuestos según la propiedad aplicada en cada caso.

Cierre Aplique el recurso PDF para ejercitar el cálculo en la potenciación y la radicación.

• Evalúe el aporte de cada integrante del grupo a través de la heteroevaluación.


Posibles dificultadesPara que los estudiantes no confundan el proceso del cálculo de la raíz con el proceso de la división, es necesario presentar la noción de raíz cuadrada estableciendo la relación con la operación inversa de la potenciación.

Juego ¿Quién tiene? ¡Yo tengo!• El presente juego consta de tarjetas

según el número de estudiantes que haya. Cada tarjeta tiene una pregunta en un lado y una respuesta en el otro.

Se entrega una tarjeta a cada estudiante y se sigue esta dinámica:

Un estudiante, elegido al azar, lee la pregunta que figura en su tarjeta, comenzando por la frase “¿Quién tiene...?”.

El estudiante que posea en su tarjeta la respuesta a esa pregunta la lee en voz alta, comenzando con las palabras “Yo tengo...”.

Luego, el estudiante que ha respondido da la vuelta a su tarjeta y formula la pregunta que figura en ella.

La dinámica continúa hasta que hayan participado todos los estudiantes.

¿Quién tiene la raíz cuadrada

de 16?

Yo tengo el número 3.

¿Quién tiene la medida del lado

de un cuadrado de 81 cm2 de área?


¿Quién tiene 2 elevado

a la cuarta?

Yo tengo el lado de un cuadrado que mide 9 cm.

Ejemplo 43 Simpli co expresiones aplicando propiedades

a) 4 √ _____________

√ __________

3 √ _________

[ (5)30 (5)18 ] 3

4 √ _____________

√ ___________

3 √ _________

[ (5)30 (5)18 ] 3

24 √ _________

[ (5)30 (5)18 ] 3

24 √ ______

[ (5)48 ] 3

24 √ ____

(5)144 = 56

b) 5 √ ________

649 × 1283

5 √ _________

(26)9 × (27)3

5 √ ______

254 × 221 5 √

___ 275 = 215

Ejemplo 42 Aplico propiedades y resuelvo operaciones combinadas

Calcula el resultado de 4 √ _______

625 × 81 – 3 √ _____

√ ___

16 + 2 3 √ __

53 .

4 √ _______

625 × 81 – 3 √ ____ √

__ 16 + 2 3 √

__ 53

4 √ ___

625 × 4 √ ___

81 – 3 4 √ ___

16 + 2(5)3 ÷ 3

5 × 3 – 3 × 2 + 2 × 51

15 – 6 + 10 = 19

Resuelve: a) √ _____

√ ___

81 + 5 8 √ ___

168 – 9 √ __

1 b) √ ______

√ ___

167 – [ 3 √ ______

27 × 64 – 10 √ ____

9 – 8 ]

n √ __

an = an ÷ n = a

Fíjate qué sucede cuando la raíz es igual

al exponente.

5.1. Propiedades de la radicaciónLas propiedades de la radicación son similares a las de la potenciación.


Raíz de un producto 3 √ ______

8 × 125 = 3 √ _____

1 000 = 10

3 √ ______

8 × 125 = 3 √ __

8 × 3 √ ___

125

= 2 × 5 = 10

n √ ____

a × b = n √ __

a × n √ __

b

Raíz de un cociente 3 √ _______

1 000 ÷ 8 = 3 √ ___

125 = 5

3 √ _______

1 000 ÷ 8 = 3 √ _____

1 000 ÷ 3 √ __

8

= 10 ÷ 2 = 5

n √ ____

a ÷ b = n √ __

a ÷ n √ __

b

Raíz de una potencia 4 √ __

28 = 4 √ ___

256 = 4

4 √ __

28 = (2)8 ÷ 4 = (2)2 = 4

n √ __

am = am ÷ n

Raíz de una raíz √ ____ 3 √

___ 64 = √

_ 4 = 2

√ ____ 3 √

___ 64 = 2 × 3 √

___ 64 = 6 √

___ 64 = 2

n √ ___

p √ __

a = n · p √ __

a

Por raíz de una raíz, multiplicamos los índices: 4 × 2 × 3 = 24

Por producto de potencias de igual base: (5)30 + 18 = (5)48

Aplicamos raíz de un producto, raíz de una raíz y raíz de una potencia, respectivamente.


Calculamos los productos.


Por potencia de una potencia: (5)48 × 3 = (5)144

Por raíz de una potencia: (5)144 ÷ 24 = (5)6

Expresamos los radicandos como potencias: 64 = 26 y 128 = 27

Por potencia de una potencia: 26 × 9 = 254 y 27 × 3 = 221

Producto de potencias de igual base: 254 + 21 = 275

Raíz de una potencia: (2)75 ÷ 5 = 215


a) 4 √ ____________

√ __________

3 √ ________

[ (5)30 (5)18 ] 3

= 24 √ __________

(5)30 × 3 (5)18 × 3

= 24 √ _______

(5)90 (5)54

= 24 √ _____

(5)90 + 54

= 24 √ ____

(5)144 = 5144 ÷ 24 = 56

• 3 √ __

43 = 43 ÷ 3 = 4

• 5 √ ___

125 = 125 ÷ 5 = 12

• 7 √ __

x7 = x7 ÷ 7 = x

40

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82 117

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Compartimos la tarea


� 188 Calcula las raíces y completa.

a) √__ 36 ____________ porque 62 = 36

b) 3 √ ___

125 ____________ porque ____________

c) √ ___

81 ____________ porque ____________

d) 5 √ __

1 ____________ porque ____________

e) 7 √ ___

128 ____________ porque ____________

� 189 Un patio cuadrado tiene 144 losetas cuadradas del mismo tamaño. ¿Cuántas losetas hay en cada lado del patio?

Resuelve. Luego, copia la letra que corresponde a cada resultado y descubre la palabra escondida.

� 204 30 – {52 – (7 – 2) × 3 – (30 – 33)} + √ __ 16 � R

� 205 15 – {4 + [32 – 4 + (3 × 13)] + 20}� I

� 206 72 ÷ 32 + 52 ÷ 5 – 3 × 2 + 4 × 6 – √ ___

25 � O

� 207 82 – {42 – [(20 – 15 ÷ 5) – (3 × 2 + 8) + 5] + 13}� C

� 208 2 + 23 + 6 × 4 × (9 – 4)2 – √ _______

130 + 39 � L

� 209 (9 – 2)2 – 3 √ _____

32 ÷ 4 + 7 × (8 – 5) – 330 � T

� 210 [73 + 4 √ ___

81 – √ __ 36 – (63 + √

___ 400 )] – 22 � A

� 211 122 – [(83 – 5 √ ___

32 – 202) + 6 × 5] � E

� 212 [( 3 √ _____

1 000 × 26 – √ ___

169 ) – √ _____

1 600 ] – 582 � N

� 213 {(4 × √ __ 36 – 5 × 4)2 – 2 × 3 √

___ 512 ] + 33 ÷ 9 � A

67 26 597 4 27 100 5 43 2 3


Halla los números que faltan.

� 190 √___

= 5

� 192 3 √______

6 + = 2

� 194 √ ___

81 = 3

� 191 √___

= 8

� 193 3 √________

100 + = 10

� 195 √ ___

64 = 2

Resuelve aplicando propiedades.

� 196 √___________

121 × 49 × 100

� 198 3 √ ___

512 × 8 √ __

28

� 200 3 √

________ 125 × 343 _________

√______ 25 × 49

� 202 3 √ ______

√____ √

__ 524 × √

____ 5 √

___ 230 ______________

200

� 197 3 √ __________

27 × 64 × 216

� 199 6 √ ___

718 × 9 √ ___

318 × 6 √ __

1

� 201 5 √

_______ 32 × 243 ________

4 √ ___

16

� 203 5 √

______ 4 √

____ (25)20 × √

_____

6 √

____

3 √ ___

907 _______________

7 √ ___

128

Observa los ejemplos y halla el resultado exacto.

a) √__ 10 ______ b) √

__ 15 ______ c) √

__ 36 ______

d) 3 √ __

9 ______ e) 3 √ ___

28 ______ f) 5 √ ___

30 ______

√___

625 � √_ 625 25 (resultado exacto)

√___

294 � 294 √_ 17.1464282 redondeando: 17

Lucio tiene una pieza rectangular de tela con diseño de tablero de ajedrez y quiere hacer un mantel cuadrado. Para no tener ninguna pérdida de tela, Lucio se las arregló para cortar la tela en tres partes usando las líneas cuadradas para los cortes, sin romper ninguna cuadrícula.

Cada parte cortada fue yuxtapuesta a otra sin que le sobre o falte pedazos. ¿Cómo hizo Lucio?


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6

5

9

1

2

53 = 125

92 = 81

15 = 1

27 = 128

12

25 64

2 900

4 6

770 72

1 250 3 0 87

1 3

1 16

3,1622776

2,0800838

3,8729833

3,0365889

6

1,9743504

27

2

26

43

597

67

100

4

3

2 3

4 6

2

5

3

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Unidad 140

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Razonamiento y demostración Selecciona la aplicación de las propiedades de la radicación al resolver ejercicios para simplificar el proceso algorítmico.

Comunicación matemática Propone ejemplos aplicando las propiedades de la radicación.

Resolución de problemas Resuelve problemas de contexto matemático y real que requieren de la radicación.


Inicio• Proponga la revisión de las propiedades de la potenciación estableciendo la relación con las propiedades de la

radicación.

• Organice grupos para la demostración de una de las propiedades de la radicación presentando ejemplos y explicando los procesos.

Desarrollo• Invite a los estudiantes a proponer sus propios ejemplos empleando diferentes recursos para comprobar cada

propiedad.

• Motive a que clasifiquen los ejemplos propuestos según la propiedad aplicada en cada caso.

Cierre Aplique el recurso PDF para ejercitar el cálculo en la potenciación y la radicación.

• Evalúe el aporte de cada integrante del grupo a través de la heteroevaluación.


Posibles dificultadesPara que los estudiantes no confundan el proceso del cálculo de la raíz con el proceso de la división, es necesario presentar la noción de raíz cuadrada estableciendo la relación con la operación inversa de la potenciación.

Juego ¿Quién tiene? ¡Yo tengo!• El presente juego consta de tarjetas

según el número de estudiantes que haya. Cada tarjeta tiene una pregunta en un lado y una respuesta en el otro.

Se entrega una tarjeta a cada estudiante y se sigue esta dinámica:

Un estudiante, elegido al azar, lee la pregunta que figura en su tarjeta, comenzando por la frase “¿Quién tiene...?”.

El estudiante que posea en su tarjeta la respuesta a esa pregunta la lee en voz alta, comenzando con las palabras “Yo tengo...”.

Luego, el estudiante que ha respondido da la vuelta a su tarjeta y formula la pregunta que figura en ella.

La dinámica continúa hasta que hayan participado todos los estudiantes.

¿Quién tiene la raíz cuadrada

de 16?


¿Quién tiene la medida del lado

de un cuadrado de 81 cm2 de área?


¿Quién tiene 2 elevado

a la cuarta?

Yo tengo el lado de un cuadrado que mide 9 cm.


a) 4 √ _____________

√ __________

3 √ _________

[ (5)30 (5)18 ] 3

4 √ _____________

√ ___________

3 √ _________

[ (5)30 (5)18 ] 3

24 √ _________

[ (5)30 (5)18 ] 3

24 √ ______

[ (5)48 ] 3

24 √ ____

(5)144 = 56

b) 5 √ ________

649 × 1283

5 √ _________

(26)9 × (27)3

5 √ ______

254 × 221 5 √

___ 275 = 215



625 × 81 – 3 √ _____

√ ___

16 + 2 3 √ __

53 .

4 √ _______

625 × 81 – 3 √ ____ √

__ 16 + 2 3 √

__ 53

4 √ ___

625 × 4 √ ___

81 – 3 4 √ ___

16 + 2(5)3 ÷ 3

5 × 3 – 3 × 2 + 2 × 51

15 – 6 + 10 = 19


√ ___

81 + 5 8 √ ___

168 – 9 √ __

1 b) √ ______

√ ___

167 – [ 3 √ ______

27 × 64 – 10 √ ____

9 – 8 ]

n √ __

an = an ÷ n = a


al exponente.




8 × 125 = 3 √ _____

1 000 = 10

3 √ ______

8 × 125 = 3 √ __

8 × 3 √ ___

125

= 2 × 5 = 10

n √ ____

a × b = n √ __

a × n √ __

b


1 000 ÷ 8 = 3 √ ___

125 = 5

3 √ _______

1 000 ÷ 8 = 3 √ _____

1 000 ÷ 3 √ __

8

= 10 ÷ 2 = 5

n √ ____

a ÷ b = n √ __

a ÷ n √ __

b


28 = 4 √ ___

256 = 4

4 √ __

28 = (2)8 ÷ 4 = (2)2 = 4

n √ __

am = am ÷ n


___ 64 = √

_ 4 = 2

√ ____ 3 √

___ 64 = 2 × 3 √

___ 64 = 6 √

___ 64 = 2

n √ ___

p √ __

a = n · p √ __

a














a) 4 √ ____________

√ __________

3 √ ________

[ (5)30 (5)18 ] 3

= 24 √ __________

(5)30 × 3 (5)18 × 3

= 24 √ _______

(5)90 (5)54

= 24 √ _____

(5)90 + 54

= 24 √ ____

(5)144 = 5144 ÷ 24 = 56

• 3 √ __

43 = 43 ÷ 3 = 4

• 5 √ ___

125 = 125 ÷ 5 = 12

• 7 √ __

x7 = x7 ÷ 7 = x

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a) √__ 36 ____________ porque 62 = 36

b) 3 √ ___

125 ____________ porque ____________

c) √ ___

81 ____________ porque ____________

d) 5 √ __

1 ____________ porque ____________

e) 7 √ ___

128 ____________ porque ____________



� 204 30 – {52 – (7 – 2) × 3 – (30 – 33)} + √ __ 16 � R

� 205 15 – {4 + [32 – 4 + (3 × 13)] + 20}� I

� 206 72 ÷ 32 + 52 ÷ 5 – 3 × 2 + 4 × 6 – √ ___

25 � O

� 207 82 – {42 – [(20 – 15 ÷ 5) – (3 × 2 + 8) + 5] + 13}� C

� 208 2 + 23 + 6 × 4 × (9 – 4)2 – √ _______

130 + 39 � L

� 209 (9 – 2)2 – 3 √ _____

32 ÷ 4 + 7 × (8 – 5) – 330 � T

� 210 [73 + 4 √ ___

81 – √ __ 36 – (63 + √

___ 400 )] – 22 � A

� 211 122 – [(83 – 5 √ ___

32 – 202) + 6 × 5] � E

� 212 [( 3 √ _____

1 000 × 26 – √ ___

169 ) – √ _____

1 600 ] – 582 � N

� 213 {(4 × √ __ 36 – 5 × 4)2 – 2 × 3 √

___ 512 ] + 33 ÷ 9 � A

67 26 597 4 27 100 5 43 2 3



� 190 √___

= 5

� 192 3 √______

6 + = 2

� 194 √ ___

81 = 3

� 191 √___

= 8

� 193 3 √________

100 + = 10

� 195 √ ___

64 = 2


� 196 √___________

121 × 49 × 100

� 198 3 √ ___

512 × 8 √ __

28

� 200 3 √

________ 125 × 343 _________

√______ 25 × 49

� 202 3 √ ______

√____ √

__ 524 × √

____ 5 √

___ 230 ______________

200

� 197 3 √ __________

27 × 64 × 216

� 199 6 √ ___

718 × 9 √ ___

318 × 6 √ __

1

� 201 5 √

_______ 32 × 243 ________

4 √ ___

16

� 203 5 √

______ 4 √

____ (25)20 × √

_____

6 √

____

3 √ ___

907 _______________

7 √ ___

128


a) √__ 10 ______ b) √

__ 15 ______ c) √

__ 36 ______

d) 3 √ __

9 ______ e) 3 √ ___

28 ______ f) 5 √ ___

30 ______

√___


√___

294 � 294 √_ 17.1464282 redondeando: 17




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6

5

9

1

2

53 = 125

92 = 81

15 = 1

27 = 128

12

25 64

2 900

4 6

770 72

1 250 3 0 87

1 3

1 16

3,1622776

2,0800838

3,8729833

3,0365889

6

1,9743504

27

2

26

43

597

67

100

4

3

2 3

4 6

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● 189 l2 = 144

l = √___

144

l = 12

● 196 √__________

121 × 49 × 100 = √___

121 × √__

49 × √___

100

= 11 × 7 × 10 = 770

● 197 √_________

27 × 64 × 216 = 3 √ __

27 × 3 √ __

64 × 3 √ ___

216

= 3 × 4 × 6 = 72

● 198 3 √ __

512 × 8 √ __

28 = 54 × 2 = 1 250

● 199 6 √ __

718 × 9 √ __

318 × 6 √ _ 1 = 73 × 32 × 1

= 343 × 9 × 1 = 3 087

● 200 3 √

_______ 125 × 343 _________

√_____

25 × 49 =

3 √ ___

125 × 3 √ ___

343 __________ √

__ 25 × √

__ 49 = 5 × 7 ____

5 × 7 = 1

● 201 5 √

______ 32 × 243 ________

4 √ __

16 =

5 √ __

32 × 5 √ ___

243 __________ 4 √

__ 16 = 2 × 3 ____

2 = 3

● 202 3 √ ______

√____

√__

524 × √____

5 √ __

230 ______________ 200

= 12 √

__ 524 × 10 √

__ 230 __________

200 = 5

2 × 23 _____

52 × 23 = 1

● 203 5 √

_____ 4 √

____ (25)20 × √

______

6 √ ____

3 √ __

907 ________________

7 √ ___

128

= 20 √

___ 2100 × 36 √

__ 90 __________

2 = 2

5 × 1 ____ 2 = 24 = 16

● 204 30 – {52 – (7 – 2) × 3 – (30 – 33)} + √__

16

= 30 – {25 – 5 × 3 – (30 – 27)} + 4

= 30 – {25 – 15 – 3} + 4

= 30 – 7 + 4 = 27

● 205 15 – {4 + [32 – 4 + (3 × 13)] + 20}

= 15 – {4 + [9 – 4 + (3 × 1)] + 1}

= 15 – {4 + [9 – 4 + 3] + 1}

= 15 – {4 + 8 + 1}

= 15 – 13 = 2

● 206 72 ÷ 32 + 52 ÷ 5 – 3 × 2 + 4 × 6 – √ __

25

= 72 ÷ 9 + 25 ÷ 5 – 6 + 24 – 5

= 8 + 5 – 6 + 24 – 5 = 26

● 207 82 – {42 – [(20 – 15 ÷ 5) – (3 × 2 + 8) + 5] + 13}

= 64 – {16 – [(20 – 3) – (6 + 8) + 5] + 13}

= 64 – {16 – [17 – 14 + 5] + 13}

= 64 – {16 – 8 + 13}

= 64 – 21 = 43

● 208 2 + 23 + 6 × 4 × (9 – 4)2 – √______

130 + 39

= 2 + 8 + 24 × 52 – √___

169

= 2 + 8 + 24 × 25 – 13

= 2 + 8 + 600 – 13 = 597

● 209 (9 – 2)2 – 3 √ ____

32 ÷ 4 + 7 × (8 – 5) – 330

= 72 – 3 √ _ 8 + 7 × 3 – 1

= 49 – 2 + 21 – 1 = 67

● 210 [73 + 4 √ __

81 – √__

36 – (63 + √___

400 )] – 22

= [343 + 3 – 6 – (216 + 20)] – 22

= [343 + 3 – 6 – 236] – 4

= 104 – 4 = 100

● 211 122 – [(83 – 5 √ __

32 – 202) + 6 × 5]

= 144 – [512 – 2 – 400 + 30]

= 144 – 140 = 4

● 212 [( 3 √ ____

1 000 × 26 – √___

169 ) – √____

1 600 ] – 582

= [(10 × 64 – 13) – 40] – 582

= [(640 – 13) – 40] – 582

= [627 – 40] – 582 = 587 – 582 = 5

● 213 [(4 × √__

36 – 5 × 4)2 – 2 × 3 √ ___

512 ] + 33 ÷ 9

= [(4 × 6 – 20)2 – 2 × 8] + 27 ÷ 9

= [(24 – 20)2 – 16] + 3

= [42 – 16] + 3

= 16 – 16 + 3 = 0 + 3 = 3


a) 4 √ _____________

√ __________

3 √ _________

[ (5)30 (5)18 ] 3

4 √ _____________

√ ___________

3 √ _________

[ (5)30 (5)18 ] 3

24 √ _________

[ (5)30 (5)18 ] 3

24 √ ______

[ (5)48 ] 3

24 √ ____

(5)144 = 56

b) 5 √ ________

649 × 1283

5 √ _________

(26)9 × (27)3

5 √ ______

254 × 221 5 √

___ 275 = 215



625 × 81 – 3 √ _____

√ ___

16 + 2 3 √ __

53 .

4 √ _______

625 × 81 – 3 √ ____ √

__ 16 + 2 3 √

__ 53

4 √ ___

625 × 4 √ ___

81 – 3 4 √ ___

16 + 2(5)3 ÷ 3

5 × 3 – 3 × 2 + 2 × 51

15 – 6 + 10 = 19


√ ___

81 + 5 8 √ ___

168 – 9 √ __

1 b) √ ______

√ ___

167 – [ 3 √ ______

27 × 64 – 10 √ ____

9 – 8 ]

n √ __

an = an ÷ n = a


al exponente.




8 × 125 = 3 √ _____

1 000 = 10

3 √ ______

8 × 125 = 3 √ __

8 × 3 √ ___

125

= 2 × 5 = 10

n √ ____

a × b = n √ __

a × n √ __

b


1 000 ÷ 8 = 3 √ ___

125 = 5

3 √ _______

1 000 ÷ 8 = 3 √ _____

1 000 ÷ 3 √ __

8

= 10 ÷ 2 = 5

n √ ____

a ÷ b = n √ __

a ÷ n √ __

b


28 = 4 √ ___

256 = 4

4 √ __

28 = (2)8 ÷ 4 = (2)2 = 4

n √ __

am = am ÷ n


___ 64 = √

_ 4 = 2

√ ____ 3 √

___ 64 = 2 × 3 √

___ 64 = 6 √

___ 64 = 2

n √ ___

p √ __

a = n · p √ __

a














a) 4 √ ____________

√ __________

3 √ ________

[ (5)30 (5)18 ] 3

= 24 √ __________

(5)30 × 3 (5)18 × 3

= 24 √ _______

(5)90 (5)54

= 24 √ _____

(5)90 + 54

= 24 √ ____

(5)144 = 5144 ÷ 24 = 56

• 3 √ __

43 = 43 ÷ 3 = 4

• 5 √ ___

125 = 125 ÷ 5 = 12

• 7 √ __

x7 = x7 ÷ 7 = x

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a) √__ 36 ____________ porque 62 = 36

b) 3 √ ___

125 ____________ porque ____________

c) √ ___

81 ____________ porque ____________

d) 5 √ __

1 ____________ porque ____________

e) 7 √ ___

128 ____________ porque ____________



� 204 30 – {52 – (7 – 2) × 3 – (30 – 33)} + √ __ 16 � R

� 205 15 – {4 + [32 – 4 + (3 × 13)] + 20}� I

� 206 72 ÷ 32 + 52 ÷ 5 – 3 × 2 + 4 × 6 – √ ___

25 � O

� 207 82 – {42 – [(20 – 15 ÷ 5) – (3 × 2 + 8) + 5] + 13}� C

� 208 2 + 23 + 6 × 4 × (9 – 4)2 – √ _______

130 + 39 � L

� 209 (9 – 2)2 – 3 √ _____

32 ÷ 4 + 7 × (8 – 5) – 330 � T

� 210 [73 + 4 √ ___

81 – √ __ 36 – (63 + √

___ 400 )] – 22 � A

� 211 122 – [(83 – 5 √ ___

32 – 202) + 6 × 5] � E

� 212 [( 3 √ _____

1 000 × 26 – √ ___

169 ) – √ _____

1 600 ] – 582 � N

� 213 {(4 × √ __ 36 – 5 × 4)2 – 2 × 3 √

___ 512 ] + 33 ÷ 9 � A

67 26 597 4 27 100 5 43 2 3



� 190 √___

= 5

� 192 3 √______

6 + = 2

� 194 √ ___

81 = 3

� 191 √___

= 8

� 193 3 √________

100 + = 10

� 195 √ ___

64 = 2


� 196 √___________

121 × 49 × 100

� 198 3 √ ___

512 × 8 √ __

28

� 200 3 √

________ 125 × 343 _________

√______ 25 × 49

� 202 3 √ ______

√____ √

__ 524 × √

____ 5 √

___ 230 ______________

200

� 197 3 √ __________

27 × 64 × 216

� 199 6 √ ___

718 × 9 √ ___

318 × 6 √ __

1

� 201 5 √

_______ 32 × 243 ________

4 √ ___

16

� 203 5 √

______ 4 √

____ (25)20 × √

_____

6 √

____

3 √ ___

907 _______________

7 √ ___

128


a) √__ 10 ______ b) √

__ 15 ______ c) √

__ 36 ______

d) 3 √ __

9 ______ e) 3 √ ___

28 ______ f) 5 √ ___

30 ______

√___


√___

294 � 294 √_ 17.1464282 redondeando: 17




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T O L AE R N C I A

6

5

9

1

2

53 = 125

92 = 81

15 = 1

27 = 128

12

25 64

2 900

4 6

770 72

1 250 3 0 87

1 3

1 16

3,1622776

2,0800838

3,8729833

3,0365889

6

1,9743504

27

2

26

43

597

67

100

4

3

2 3

4 6

2

5

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Razonamiento y demostración Compara las funciones de la calculadora con los procesos operativos que realiza.

Comunicación matemática Describe la función que cumple cada una de las teclas de la calculadora científica.

Resolución de problemas Resuelve problemas utilizando la calculadora científica.


Inicio• Motive la reflexión sobre el uso de la calculadora al resolver ejercicios sin crear dependencia.

• Permita la experimentación de los estudiantes para que descubran las funciones de la calculadora científica.

Desarrollo• Proponga a los estudiantes que sigan las indicaciones para establecer conclusiones sobre las funciones

de la calculadora a partir de las situaciones sugeridas al resolver operaciones combinadas.

• Realice las actividades de la sección “Ahora es tu turno” para verificar las funciones de las teclas y el orden adecuado al realizar operaciones combinadas.

Cierre• Revise los aprendizajes adquiridos mediante procesos de metacognición. Para ello, pregunte lo siguiente: ¿Para

qué aprendemos a usar la calculadora? ¿Qué funciones consideran básicas en la calculadora? ¿Qué funciones les parecieron nuevas?

Sugiera que lean la información presente en el recurso enlace web para que se ejerciten en el uso de la calculadora reconociendo sus funciones.


Información complementariaNúmeros curiosos• Al operar con números, muchas veces

se obtienen resultados que si bien carecen de importancia desde el punto de vista matemático, puede ser interesante conocerlos o simplemente curiosos.

• Al multiplicar los primeros múltiplos de 22 por 3 367 se obtienen productos muy interesantes que nos permiten establecer cierta relación.

• Pida a los estudiantes que utilicen la calculadora para comprobar estos productos:

33 · 3 367 = 111 111

66 · 3 367 = 222 222

99 · 3 367 = 333 333

132 · 3 367 = 444 444

165 · 3 367 = 555 555

198 · 3 367 = 666 666

231 · 3 367 = 777 777

264 · 3 367 = 888 888

297 · 3 367 = 999 999

Posibles dificultadesMencionar a los estudiantes que por el momento no se van a utilizar todas las funciones de la calculadora. Solo se van a emplear las siguientes teclas:

x■ √_ ▯ ( )

SHIFT

Proponga a los estudiantes la revisión de las funciones de cada una de las teclas presentadas.

¿Cuál es la función de las teclas SHIFT y � ?

¿Qué procedimiento resuelve la siguiente operación con la calculadora? Explica.

2 × ( 7 – √_ � 4 ) =

2 × (7 – √_ 4 )

2 × ( 7 – √_ � 4 � ) =

Resuelve las operaciones. Luego, comprueba tus resultados con la calculadora.

a) 33 × 5 √ ___

32 – √_______ 4 + 2 × 6 b) 3 √

___ 64 + 91 ÷ 7 – √

______ 2(3 + 5)

Ahora es tu tu rno

U so de l a ca lcu l a do ra ci e ntíf i caIdentificamos las funciones de las teclas de una calculadora científica.

Resolvemos operaciones combinadas utilizando las teclas SHIFT , � , √_ � y x� .

• √______ 1 + √

_ 9 √

_ � 1 + √

_ � 9 =

• 24 – 3 √ __

8 2 x� 4 � – SHIFT √_ � 8 =

• 52 + 4 √ ______

√____ (92)2 5 x2 + SHIFT x� 4 � √

_ � ( 9 x2 ) x2 =

Confi gura tu calculadora en

formato matemático

digitando SHIFT MODE 1para que en la pantalla la

operación se visualice como en una hoja

de papel.

Tecla para activar segunda función

Teclas para potencias y raíces

Teclas de las operaciones básicas

Teclas de paréntesis

Teclado numérico

Tecla para borrar todo lo ingresado

Teclas para borrar el último dato ingresado

Teclas para desplazar el cursor

Tecla de encendido

Segunda función

Les recomendamos visitar las siguientes páginas web:

• http://educacion.practicopedia.com/matematicas/como-usar-una-calculadora-cientifica-10598

• http://www.support.casio-europe.com/es/download/manuals/calc/fx-115ES_570ES.etc_Appendix.pdf

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Orga n i zo lo que aprendí

Operaciones en IN

Múltiplos y divisores• Si a × n = b, entonces b es

múltiplo de a y n ∈ IN.• Si a ÷ b es exacta, entonces

b es divisor de a.

Mínimo común múltiploy máximo común divisor

• El MCM es el menor de los múltiplos comunes de dos o más números.

• El MCD es el mayor de los divisores comunes de dos o más números.

PotenciaciónPropiedades• am × an = am + n

• am ÷ an = am – n

• (am)n = am × n

• (a × b)n = an × bn

• (a ÷ b)n = an ÷ bn

RadicaciónPropiedades

• n √____ a × b = n √

_ a × n √

_ b

• n √____ a ÷ b = n √

_ a ÷ n √

_ b

• n √__ am = am ÷ n

• m √___ n √

_ a = m × n √

_ a

Interpreto el significado de los números na-turales y de sus propiedades en diversas

situaciones y contextos.

Realizo estimaciones de operaciones usando

estrategias de cálculo.

Identifico, generalizo y simbolizo patrones

numéricos.

Aplico la divisibilidad de los números en la

resolución de problemas.

Resuelvo problemas de traducción simple y

compleja que involucran números naturales

y sus operaciones.

Resuelvo operaciones aplicando las propieda-des de la potenciación y la radicación.

Me preparo para la evaluación

Adición y sustracción• Adición: a + b = s, a y b ∈ IN suma sumandos

• Sustracción: a – b = d, a y b ∈ IN ∧ a ≥ b diferencia sustraendo minuendo

Multiplicación y división• Multiplicación: a × b = c, a y b ∈ IN producto factores

• División: D d r C D: Dividendo d: Divisor C: Cociente r: Residuo

D = C × d + r

Propiedades de los números naturales

Criterios de divisibilidadPor 2: Si termina en cifra par.Por 4: Si las dos últimas cifras son 0 o °4Por 5: Si termina en 0 o 5.Por 3: Si la suma de sus cifras es °3.Por 6: Si es °2 y °3.Por 9: Si la suma de sus cifras es °9.

Números naturales (IN)


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Unidad 142

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Razonamiento y demostración Compara las funciones de la calculadora con los procesos operativos que realiza.

Comunicación matemática Describe la función que cumple cada una de las teclas de la calculadora científica.

Resolución de problemas Resuelve problemas utilizando la calculadora científica.


Inicio• Motive la reflexión sobre el uso de la calculadora al resolver ejercicios sin crear dependencia.

• Permita la experimentación de los estudiantes para que descubran las funciones de la calculadora científica.

Desarrollo• Proponga a los estudiantes que sigan las indicaciones para establecer conclusiones sobre las funciones

de la calculadora a partir de las situaciones sugeridas al resolver operaciones combinadas.

• Realice las actividades de la sección “Ahora es tu turno” para verificar las funciones de las teclas y el orden adecuado al realizar operaciones combinadas.

Cierre• Revise los aprendizajes adquiridos mediante procesos de metacognición. Para ello, pregunte lo siguiente: ¿Para

qué aprendemos a usar la calculadora? ¿Qué funciones consideran básicas en la calculadora? ¿Qué funciones les parecieron nuevas?

Sugiera que lean la información presente en el recurso enlace web para que se ejerciten en el uso de la calculadora reconociendo sus funciones.


Información complementariaNúmeros curiosos• Al operar con números, muchas veces

se obtienen resultados que si bien carecen de importancia desde el punto de vista matemático, puede ser interesante conocerlos o simplemente curiosos.

• Al multiplicar los primeros múltiplos de 22 por 3 367 se obtienen productos muy interesantes que nos permiten establecer cierta relación.

• Pida a los estudiantes que utilicen la calculadora para comprobar estos productos:

33 · 3 367 = 111 111

66 · 3 367 = 222 222

99 · 3 367 = 333 333

132 · 3 367 = 444 444

165 · 3 367 = 555 555

198 · 3 367 = 666 666

231 · 3 367 = 777 777

264 · 3 367 = 888 888

297 · 3 367 = 999 999

Posibles dificultadesMencionar a los estudiantes que por el momento no se van a utilizar todas las funciones de la calculadora. Solo se van a emplear las siguientes teclas:

x■ √_ ▯ ( )

SHIFT

Proponga a los estudiantes la revisión de las funciones de cada una de las teclas presentadas.



2 × ( 7 – √_ � 4 ) =

2 × (7 – √_ 4 )

2 × ( 7 – √_ � 4 � ) =


a) 33 × 5 √ ___

32 – √_______ 4 + 2 × 6 b) 3 √

___ 64 + 91 ÷ 7 – √

______ 2(3 + 5)

Ahora es tu tu rno



• √______ 1 + √

_ 9 √

_ � 1 + √

_ � 9 =

• 24 – 3 √ __

8 2 x� 4 � – SHIFT √_ � 8 =

• 52 + 4 √ ______

√____ (92)2 5 x2 + SHIFT x� 4 � √

_ � ( 9 x2 ) x2 =


formato matemático



de papel.





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Tecla de encendido

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Operaciones en IN



b es divisor de a.





• am ÷ an = am – n

• (am)n = am × n

• (a × b)n = an × bn

• (a ÷ b)n = an ÷ bn


• n √____ a × b = n √

_ a × n √

_ b

• n √____ a ÷ b = n √

_ a ÷ n √

_ b

• n √__ am = am ÷ n

• m √___ n √

_ a = m × n √

_ a






numéricos.





y sus operaciones.







D = C × d + r





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Una lista de cotejo permite valorar los rasgos más destacados del trabajo realizado por los estudiantes(E).

Aspectos que se deben observar E1 E2 E3 E4

Utiliza la terminología asociada a los contenidos tratados.

Propone problemas análogos a los existentes, referidos a la misma información.

Propone problemas bastante diferentes, referidos a la misma información.

Amplía información aportando nuevos datos con los que formula otros problemas.

Realiza con criterio la búsqueda y obtención de información.

Propone problemas que corresponden a los diversos contenidos de la unidad.

Cuida la presentación de sus trabajos y muestra interés por mejorar sus resultados.

Se preocupa por saber lo que hace y por qué lo hace.

Muestra interés por conocer sus errores más frecuentes y sus puntos débiles y se esfuerza por potenciarlos.

Evaluación

Página web• Proponga la revisión de esta página

web que le permitirá al estudiante conocer los números, su origen, cómo utilizarlos… Muestra también actividades interactivas donde el estudiante podrá leer, escribir y comparar números naturales.

http://www.rena.edu.ve/ ppaMatematicas/matemat.swf

MetacogniciónAl finalizar la unidad y antes de resolver las actividades de “Aplico mis cococimientos” plantee a los estudiantes las siguientes preguntas:

• ¿Les resultó fácil aplicar los procesos algorítmicos de las operaciones con números naturales?

• Para desarrollar el algoritmo de la división, ¿qué fue lo que les resultó más útil?

• ¿Les ayudó las propiedades de la potenciación y radicación en la solución de ejercicios?

• ¿Qué recursos les han sido más útiles en la resolución de problemas? Expliquen.

• ¿Qué temas desarrollados en la unidad necesitan ejercitar más?

• ¿Para qué les sirven los contenidos desarrollados en la unidad?

• ¿Qué estrategias usaron en la resolución de problemas?

• ¿Fue útil la aplicación de los recursos PDF, videos, PPT y flash para el desarrollo de los contenidos propuestos en la unidad? ¿Por qué?



2 × ( 7 – √_ � 4 ) =

2 × (7 – √_ 4 )

2 × ( 7 – √_ � 4 � ) =


a) 33 × 5 √ ___

32 – √_______ 4 + 2 × 6 b) 3 √

___ 64 + 91 ÷ 7 – √

______ 2(3 + 5)

Ahora es tu tu rno



• √______ 1 + √

_ 9 √

_ � 1 + √

_ � 9 =

• 24 – 3 √ __

8 2 x� 4 � – SHIFT √_ � 8 =

• 52 + 4 √ ______

√____ (92)2 5 x2 + SHIFT x� 4 � √

_ � ( 9 x2 ) x2 =


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de papel.





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Operaciones en IN



b es divisor de a.





• am ÷ an = am – n

• (am)n = am × n

• (a × b)n = an × bn

• (a ÷ b)n = an ÷ bn


• n √____ a × b = n √

_ a × n √

_ b

• n √____ a ÷ b = n √

_ a ÷ n √

_ b

• n √__ am = am ÷ n

• m √___ n √

_ a = m × n √

_ a






numéricos.





y sus operaciones.







D = C × d + r





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SolucionesAplico mis con oci m ie nt o s

● 224 (100 + 80 + 7) × 1 000

= 100 × 1 000 + 80 × 1 000 +7 × 1 000

= 100 000 + 80 000 + 7 000

= 187 000

● 225 (8 000 + 700 + 60 + 2) × 100 000

= 8 000 × 100 000 + 700 ×100 000 + 60 × 100 000 +2 × 100 000

= 800 000 000 + 70 000 000 +6 000 000 + 200 000

= 876 200 000

● 226 71 × 5 × 2 × 10 = 71 × 10 × 10

= 7 100

● 227 4 × 100 × 3 × 100 × 2 × 10

= (4 × 3 × 2) × 100 × 100 × 10

= 2 400 000

● 228 96 × (100 + 1)

96 × 100 + 96 × 1

= 9 600 + 96 = 9 696

● 229 87 × (100 – 1)

87 × 100 – 87 × 1

= 8 700 – 87 = 8 613

● 230 (4 × 7) + 8 = 28 + 8 = 36

● 231 200 ___ 2 × 5 = 100 × 5 = 500

● 232 (8 + 1)2 = 92 = 81

● 233 El producto de 3 y 2 sumado con el producto de 5 y 9.

● 234 El doble del cuadrado de 8 dismi-nuido en 50.

● 235 El cociente de 4 y 2 multiplicado por 5 sumado con 11, dividido en-tre 3.

1. Escribe la expresión numérica que corresponda en cada caso. Luego resuelve:

a) A 15 le restas 3 y el resultado lo divides entre 4. (15 – 3) ÷ 4

b) La quinta parte de 100 menos la sexta parte de 60. 100 ÷ 5 – 60 ÷ 6

c) Al triple de 20 lo divides entre 5. 3 × 20 ÷ 5

d) Al doble de 80 lo divides entre 2. 2 × 80 ÷ 2

e) Al producto de 6 y 7, lo divides entre 3. 6 × 7 ÷ 3

f) Al triple de 10 más el doble de 12, lo divides entre 2. (3 × 10 + 2 × 12) ÷ 2

2. Resuelve las siguientes operaciones:

a) 53 · 52 · 56 ________

54 · 55 · 51 5

b) [ (5 + 1)2 (7 – 1)3 (10 – 4)4

___________________ (3 + 3)4 (11 – 5)3 (14 – 8)4 ]

100

1

c) √

____________ 100 ÷ 52 + 3 · 7 + (3 · 2)2 + 23

________________________ (4 + 2 + 1)

7

d) (34 · 22) ÷ (32 · 2)1 18

e) √_________________

42 · 43 · 2 · 43 · 46 _________________

√ ___

16 · √ ___

64 · √ ___

256 · 22 512

f) 3 √

__ 64 + √

_________________ 83 ÷ 4 + 52 · 3 + 11 · 2 + 3 · 2 _____________________________

50 · 5 5

Más actividades

Aplico mis conocimientosAplico mis conocimientosEscribe V si es verdadero o F si es falso.

� 214 √ _____

25 × 9 = √ ___

25 × √ __

9

� 215 (13 – 10)2 = 132 – 102

� 216 90 posee 12 divisores.

� 217 Todos los números primos son impares.

� 218 Los términos de una radicación son: índice, radicando y raíz.

� 219 Todo múltiplo de 5 es múltiplo de 10.

Calcula el número que falta en cada sustracción.

� 220 23 765 – ___________ = 18 760

� 221 648 098 – ___________ = 196 097

� 222 ___________ – 96 509 = 12 765

� 223 ___________ – 186 306 = 298 704


� 224 187 × 1 000

� 226 5 × 71 × 2 × 10

� 228 96 × 101

� 225 8 762 × 100 000

� 227 400 × 300 × 20

� 229 87 × 99

Escribe la expresión matemática o verbal según corresponda. Luego, resuelve.

� 230 El producto de 4 y 7 sumado con 8.

� 231 La mitad de 200 multiplicada por 5.

� 232 El cuadrado del consecutivo de 8.

� 233 (3 × 2) + (5 × 9)

� 234 82 × 2 – 50

� 235 (4 ÷ 2 × 5 + 11) ÷ 3

Relaciona cada sucesión con su patrón.

� 236 3; 7; 11; 15; 19; … + 11

� 237 3; 6; 12; 24; 48; … × 3

� 238 36; 30; 24; 18; 12; … – 6

� 239 5; 15; 45; 135; … × 2

� 240 2; 13; 24; 35; 46; … + 4

� 241 Completa el cuadro.

Divisores Número Múltiplos

12

20

32

50

� 242 Rodea los números según la clave.

a) Con rojo si es número primo.

b) Con azul si es número compuesto.

c) Con verde si no es primo ni compuesto.

� 243 La primera pieza de un dominó es esta:

3 √___

125 N

Numera en orden las demás.

(22)3 √__ 81

2782

√

___ 121 5

√__ 49 24

4211

91

707

4533

Completa aplicando las propiedades de la potencia-ción. Explica a un compañero.

� 244 74 × 7 × 7 = 77

� 246 136 × 13 = 139

� 248 76 ÷ 4 = 7

� 250 8 ÷ 52 = 5

� 252 (56) = 3 √ ____

18

� 254 ( )3 = 136

� 245 5 × 5 × 53 = 58

� 247 83 × 85 × 8 = 812

� 249 9 ÷ 8 = 83

� 251 5 ÷ 2 = 6

� 253 (6 )5 = 15

� 255 (74) = 12

19

36

1

0 74

83

13

24 7

2128 199

101

3943

44

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lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u re

prod

ucci

ón. D

.L. 8

22

V

F

V

F

V

F

5 005

452 001

109 274

485 010

187 000

7 100

(4 × 7) + 8 = 36

876 200 000

2 400 000

8 613

( 200 ___ 2 ) × 5 = 500

(8 + 1)2 = 81

El producto de 3 y 2 sumado con el producto de 5 y 9.

El cuadrado de 8 multiplicado por 2 y restado en 50.

La tercera parte del cociente de 4

7

2

2

2

6

3

5

13

4

4

6

3

3

37

6

6 6

8

7 8 2

4 3 6

5 9

1; 2; 3; 4; 6; 12

1; 2; 4; 5; 10; 20

1; 2; 4; 8; 16; 32

1; 2; 5; 10; 25; 50

0; 12; 24; 36; 48; ...

0; 20; 40; 60; ...

0; 32; 64; 96; ...

0; 50; 100; 150; ...

5

9 696

y 2, multiplicado por 5 y sumado con 11.

040_049 U01M1 44 6/7/11 9:13:14 AM

Para re forza rNIVEL I

En algunos de estos problemas hay más de una respuesta correcta.

Márcalas.

Dos factores Dos sumandos Dos productos

5 × 15De izquierda a

derecha15 + 18

400 4 000 40

24 240 48

20 ÷ (9 + 7) 20 ÷ (9 – 7) 20 ____ 9 – 7

30 36 – 6 40

49 72 36

Que sea número impar

Que la suma de sus cifras sea múltiplo de 3

Su última cifra sea

0 o 3

0 9 3

(344)2 (3 + 4)8 3424

102 + 22 122 144

A B C

Evalúo respuestas

� 270 En 50 × 4, los números 50 y 4 son…

� 271 Para calcular 5 × (15 + 18) se co-mienza a efectuar…

� 272 125 × 8 = 1 000, entonces

250 × 16 es igual a…

� 273 Para obtener 5, es necesario dividir 120 entre…

� 274 El cociente de 20 entre la diferen-cia de 9 y 7 se puede escribir…

� 275 El resultado de 62 – 3 × 8 ÷ 4

es igual a…

� 276 El número que sigue en

1; 4; 9; 16; 25; … es...

� 277 Para que un número sea divisible por 3, es necesario...

� 278 Para que 3 2 4 sea divisible por 6, la cifra que falta puede ser...

� 279 348 se puede expresar…

� 280 (10 + 2)2 equivale a…

Calcula el valor de a en cada caso.

� 256 √ __

a = 8

� 258 52a = 25

� 260 3 √ _____

20 + a = 3

� 262 a √ __

53 = 5

� 257 3a = 81

� 259 a √ _____

25 × 35 = 6

� 261 (4a)3 = 1

� 263 (23)a = √ __

8

Resuelve aplicando propiedades de la radicación.

� 264 √ ___________

144 × 49 × 100

� 266 √ __________

64 × 36 × 625 _____________ 3 √

____________ 125 × 216 × 512

� 268 √ _____

√ ___

81 × 3 √ ____

√ __

1 _____________ 3 √

____ 9 × 3

� 265 3 √ ___________

8 × 27 × 1 000

� 267 √ ____ √

__ 16 ×

3 √ ____

√ __ 64 ____________

5 √ ___

32

� 269 √ _____

54 × 56 × 52 __________

3 √ ___

515


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. Pro

hibi

da s

u re

prod

ucci

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.L. 8

22

�

�

�

�

� �

�

��

� � �

a = 64

a = 1

a = 7

a = 3

a = 4

a = 5

a = 0

a = 1 _ 2

840

5

1

60

2

25

�

�

�

�

040_049 U01M1 45 6/7/11 9:13:16 AM

Unidad 144

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G030_049 U01M1.indd 44 7/15/11 10:55:48 AM


SolucionesAplico mis con oci m ie nt o s

● 224 (100 + 80 + 7) × 1 000

= 100 × 1 000 + 80 × 1 000 +7 × 1 000

= 100 000 + 80 000 + 7 000

= 187 000

● 225 (8 000 + 700 + 60 + 2) × 100 000

= 8 000 × 100 000 + 700 ×100 000 + 60 × 100 000 +2 × 100 000

= 800 000 000 + 70 000 000 +6 000 000 + 200 000

= 876 200 000

● 226 71 × 5 × 2 × 10 = 71 × 10 × 10

= 7 100

● 227 4 × 100 × 3 × 100 × 2 × 10

= (4 × 3 × 2) × 100 × 100 × 10

= 2 400 000

● 228 96 × (100 + 1)

96 × 100 + 96 × 1

= 9 600 + 96 = 9 696

● 229 87 × (100 – 1)

87 × 100 – 87 × 1

= 8 700 – 87 = 8 613

● 230 (4 × 7) + 8 = 28 + 8 = 36

● 231 200 ___ 2 × 5 = 100 × 5 = 500

● 232 (8 + 1)2 = 92 = 81

● 233 El producto de 3 y 2 sumado con el producto de 5 y 9.

● 234 El doble del cuadrado de 8 dismi-nuido en 50.

● 235 El cociente de 4 y 2 multiplicado por 5 sumado con 11, dividido en-tre 3.

1. Escribe la expresión numérica que corresponda en cada caso. Luego resuelve:

a) A 15 le restas 3 y el resultado lo divides entre 4. (15 – 3) ÷ 4

b) La quinta parte de 100 menos la sexta parte de 60. 100 ÷ 5 – 60 ÷ 6

c) Al triple de 20 lo divides entre 5. 3 × 20 ÷ 5

d) Al doble de 80 lo divides entre 2. 2 × 80 ÷ 2

e) Al producto de 6 y 7, lo divides entre 3. 6 × 7 ÷ 3

f) Al triple de 10 más el doble de 12, lo divides entre 2. (3 × 10 + 2 × 12) ÷ 2

2. Resuelve las siguientes operaciones:

a) 53 · 52 · 56 ________

54 · 55 · 51 5

b) [ (5 + 1)2 (7 – 1)3 (10 – 4)4

___________________ (3 + 3)4 (11 – 5)3 (14 – 8)4 ]

100

1

c) √

____________ 100 ÷ 52 + 3 · 7 + (3 · 2)2 + 23

________________________ (4 + 2 + 1)

7

d) (34 · 22) ÷ (32 · 2)1 18

e) √_________________

42 · 43 · 2 · 43 · 46 _________________

√ ___

16 · √ ___

64 · √ ___

256 · 22 512

f) 3 √

__ 64 + √

_________________ 83 ÷ 4 + 52 · 3 + 11 · 2 + 3 · 2 _____________________________

50 · 5 5

Más actividades


� 214 √ _____

25 × 9 = √ ___

25 × √ __

9

� 215 (13 – 10)2 = 132 – 102






� 220 23 765 – ___________ = 18 760

� 221 648 098 – ___________ = 196 097

� 222 ___________ – 96 509 = 12 765

� 223 ___________ – 186 306 = 298 704


� 224 187 × 1 000

� 226 5 × 71 × 2 × 10

� 228 96 × 101

� 225 8 762 × 100 000

� 227 400 × 300 × 20

� 229 87 × 99





� 233 (3 × 2) + (5 × 9)

� 234 82 × 2 – 50

� 235 (4 ÷ 2 × 5 + 11) ÷ 3


� 236 3; 7; 11; 15; 19; … + 11

� 237 3; 6; 12; 24; 48; … × 3

� 238 36; 30; 24; 18; 12; … – 6

� 239 5; 15; 45; 135; … × 2

� 240 2; 13; 24; 35; 46; … + 4



12

20

32

50






3 √___

125 N


(22)3 √__ 81

2782

√

___ 121 5

√__ 49 24

4211

91

707

4533


� 244 74 × 7 × 7 = 77

� 246 136 × 13 = 139

� 248 76 ÷ 4 = 7

� 250 8 ÷ 52 = 5

� 252 (56) = 3 √ ____

18

� 254 ( )3 = 136

� 245 5 × 5 × 53 = 58

� 247 83 × 85 × 8 = 812

� 249 9 ÷ 8 = 83

� 251 5 ÷ 2 = 6

� 253 (6 )5 = 15

� 255 (74) = 12

19

36

1

0 74

83

13

24 7

2128 199

101

3943

44

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. Pro

hibi

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prod

ucci

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.L. 8

22

V

F

V

F

V

F

5 005

452 001

109 274

485 010

187 000

7 100

(4 × 7) + 8 = 36

876 200 000

2 400 000

8 613

( 200 ___ 2 ) × 5 = 500

(8 + 1)2 = 81




7

2

2

2

6

3

5

13

4

4

6

3

3

37

6

6 6

8

7 8 2

4 3 6

5 9

1; 2; 3; 4; 6; 12

1; 2; 4; 5; 10; 20

1; 2; 4; 8; 16; 32

1; 2; 5; 10; 25; 50

0; 12; 24; 36; 48; ...

0; 20; 40; 60; ...

0; 32; 64; 96; ...

0; 50; 100; 150; ...

5

9 696


040_049 U01M1 44 6/7/11 9:13:14 AM



Márcalas.



derecha15 + 18

400 4 000 40

24 240 48

20 ÷ (9 + 7) 20 ÷ (9 – 7) 20 ____ 9 – 7

30 36 – 6 40

49 72 36




0 o 3

0 9 3

(344)2 (3 + 4)8 3424

102 + 22 122 144

A B C

Evalúo respuestas



� 272 125 × 8 = 1 000, entonces




� 275 El resultado de 62 – 3 × 8 ÷ 4

es igual a…


1; 4; 9; 16; 25; … es...




� 280 (10 + 2)2 equivale a…


� 256 √ __

a = 8

� 258 52a = 25

� 260 3 √ _____

20 + a = 3

� 262 a √ __

53 = 5

� 257 3a = 81

� 259 a √ _____

25 × 35 = 6

� 261 (4a)3 = 1

� 263 (23)a = √ __

8


� 264 √ ___________

144 × 49 × 100

� 266 √ __________

64 × 36 × 625 _____________ 3 √

____________ 125 × 216 × 512

� 268 √ _____

√ ___

81 × 3 √ ____

√ __

1 _____________ 3 √

____ 9 × 3

� 265 3 √ ___________

8 × 27 × 1 000

� 267 √ ____ √

__ 16 ×

3 √ ____

√ __ 64 ____________

5 √ ___

32

� 269 √ _____

54 × 56 × 52 __________

3 √ ___

515


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22

�

�

�

�

� �

�

��

� � �

a = 64

a = 1

a = 7

a = 3

a = 4

a = 5

a = 0

a = 1 _ 2

840

5

1

60

2

25

�

�

�

�

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Unidad 144

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● 256 √_ a = 8 a = 82 = 64

● 257 3a = 81 3a = 34 a = 4

● 258 52a = 52 2a = 2 a = 1

● 259 a √ _____

25 × 35 = 6

a √ _____

(2 × 3)5 = 6 6a = (2 × 3)5

6a = a5 a = 5

● 260 3 √ _____

20 + a = 3 20 + a = 27

a = 7

● 261 (4a)3 = 1 (22a)3 = 20

26a = 20 6a = 0 a = 0

● 262 a √ __

53 = 5 53 = 5a a = 3

● 263 (23)a = √__

23

23a = 23/2 3a = 3/2

a = 1/2

● 264 √__________

144 × 49 × 100 =

= √___

144 × √__

49 × √___

100

= 12 × 7 × 10 = 840

● 265 3 √ __________

8 × 27 × 1 000

= 3 √ _ 8 × 3 √

__ 27 × 3 √

____ 1 000

= 2 × 3 × 10 = 60

● 266 √_________

64 × 36 × 625 _____________ 3 √

___________ 125 × 216 × 512

= √

__ 64 × √

__ 36 × √

___ 625 ________________

3 √ ___

125 × 3 √ ___

216 × 3 √ ___

512

= 8 × 6 × 25 _______ 5 × 6 × 8

= 5

● 267 √ ____

√__

16 × 3 √ ____

√ __

64 ____________ 5 √

__ 32

= 4 √

__ 16 × 6 √

__ 64 _________

5 √ __

32 = 2 × 2 ____

2 = 2

● 268 √ ____

√ __

81 × 3 √ ___

√ _ 1 ___________

3 √ ____

9 × 3 =

4 √ __

81 × 6 √ _ 1 ________

3 √ __

27

= 3 × 1 ____ 3 = 1

● 269 √ _____

54 × 56 × 52 _________

3 √ __

515 =

√ __

54 × √ __

56 × 52

___________ 3 √

__ 515

= 52 × 53 × 52

________ 55 = 5

7 __

55 = 52 = 25

3. Resuelve los siguientes problemas:

a) Determina el lado de una cisterna en forma de cubo si se sabe que su volumen es 343 000 m². 7 cm

b) Un grupo de estudiantes realiza un viaje a la Reserva Nacional de Paracas. Treinta de ellos viajan en la empresa El Rápido. Dos buses de la empresa El Viajero trasladan a 28 estudiantes cada uno. Si además 18 decidieron viajar en sus propios autos, ¿cuántos estudiantes fueron a Paracas? 104

c) Al comprar un auto se realizan los siguientes pagos: $ 1 450 de cuota inicial, 18 cuotas de $ 415 cada mes y 6 cuotas de $ 210. ¿Cuál es el valor del carro? $ 10 180

d) Halla el lado de un terreno de forma cuadrada si su área es 6 400 m². 80 m

4. Escribe en una sola potencia las siguientes operaciones:

a) 23 · 25 28

f) (45)3 415

b) 67 · 64 611

g) 52 · 54 · 53 59

c) 58 ÷ 58 50

h) 89 ÷ 87 82

d) 34 · 37 · 30 311

i) (66 · 32)2 612 · 34

e) 52 · 50 · 57 59

j) (64)3 612


� 214 √ _____

25 × 9 = √ ___

25 × √ __

9

� 215 (13 – 10)2 = 132 – 102






� 220 23 765 – ___________ = 18 760

� 221 648 098 – ___________ = 196 097

� 222 ___________ – 96 509 = 12 765

� 223 ___________ – 186 306 = 298 704


� 224 187 × 1 000

� 226 5 × 71 × 2 × 10

� 228 96 × 101

� 225 8 762 × 100 000

� 227 400 × 300 × 20

� 229 87 × 99





� 233 (3 × 2) + (5 × 9)

� 234 82 × 2 – 50

� 235 (4 ÷ 2 × 5 + 11) ÷ 3


� 236 3; 7; 11; 15; 19; … + 11

� 237 3; 6; 12; 24; 48; … × 3

� 238 36; 30; 24; 18; 12; … – 6

� 239 5; 15; 45; 135; … × 2

� 240 2; 13; 24; 35; 46; … + 4



12

20

32

50






3 √___

125 N


(22)3 √__ 81

2782

√

___ 121 5

√__ 49 24

4211

91

707

4533


� 244 74 × 7 × 7 = 77

� 246 136 × 13 = 139

� 248 76 ÷ 4 = 7

� 250 8 ÷ 52 = 5

� 252 (56) = 3 √ ____

18

� 254 ( )3 = 136

� 245 5 × 5 × 53 = 58

� 247 83 × 85 × 8 = 812

� 249 9 ÷ 8 = 83

� 251 5 ÷ 2 = 6

� 253 (6 )5 = 15

� 255 (74) = 12

19

36

1

0 74

83

13

24 7

2128 199

101

3943

44

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. Pro

hibi

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prod

ucci

ón. D

.L. 8

22

V

F

V

F

V

F

5 005

452 001

109 274

485 010

187 000

7 100

(4 × 7) + 8 = 36

876 200 000

2 400 000

8 613

( 200 ___ 2 ) × 5 = 500

(8 + 1)2 = 81




7

2

2

2

6

3

5

13

4

4

6

3

3

37

6

6 6

8

7 8 2

4 3 6

5 9

1; 2; 3; 4; 6; 12

1; 2; 4; 5; 10; 20

1; 2; 4; 8; 16; 32

1; 2; 5; 10; 25; 50

0; 12; 24; 36; 48; ...

0; 20; 40; 60; ...

0; 32; 64; 96; ...

0; 50; 100; 150; ...

5

9 696


040_049 U01M1 44 6/7/11 9:13:14 AM



Márcalas.



derecha15 + 18

400 4 000 40

24 240 48

20 ÷ (9 + 7) 20 ÷ (9 – 7) 20 ____ 9 – 7

30 36 – 6 40

49 72 36




0 o 3

0 9 3

(344)2 (3 + 4)8 3424

102 + 22 122 144

A B C

Evalúo respuestas



� 272 125 × 8 = 1 000, entonces




� 275 El resultado de 62 – 3 × 8 ÷ 4

es igual a…


1; 4; 9; 16; 25; … es...




� 280 (10 + 2)2 equivale a…


� 256 √ __

a = 8

� 258 52a = 25

� 260 3 √ _____

20 + a = 3

� 262 a √ __

53 = 5

� 257 3a = 81

� 259 a √ _____

25 × 35 = 6

� 261 (4a)3 = 1

� 263 (23)a = √ __

8


� 264 √ ___________

144 × 49 × 100

� 266 √ __________

64 × 36 × 625 _____________ 3 √

____________ 125 × 216 × 512

� 268 √ _____

√ ___

81 × 3 √ ____

√ __

1 _____________ 3 √

____ 9 × 3

� 265 3 √ ___________

8 × 27 × 1 000

� 267 √ ____ √

__ 16 ×

3 √ ____

√ __ 64 ____________

5 √ ___

32

� 269 √ _____

54 × 56 × 52 __________

3 √ ___

515


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hibi

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prod

ucci

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.L. 8

22

�

�

�

�

� �

�

��

� � �

a = 64

a = 1

a = 7

a = 3

a = 4

a = 5

a = 0

a = 1 _ 2

840

5

1

60

2

25

�

�

�

�

040_049 U01M1 45 6/7/11 9:13:16 AM

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G030_049 U01M1.indd 45 7/15/11 10:55:52 AM


● 288 a) 3 × 3 × 3 × 3 = 34 = 81

310 = 59 049

b) 510 = 9 765 625

● 289 N < 75

N = °6 + 5 = °6 – 6 + 5 = °6 – 1

N = °9 + 8 = °9 – 9 + 8 = °9 – 1

N = MCM(°6 y °9)

– 1 = °18 – 1

N = 72 – 1 = 71

● 290

● 291 58 cubos; 94 cubos

● 292 3 √ ___

512 ÷ 23 + 35 × 4 √ __

24 – ( 12 √

__ 524 )0 + 232

= 8 ÷ 8 + 343 × 2 – 1 + 29

= 1 + 686 – 1 + 512 = 1 198

● 293 35 ÷ √ __

81 + 223 × ( 20 √

__ 740 )0 –

√ ____

√ __

81 ÷ 3 × 3 √ __

27

= 243 ÷ 9 + 28 × 1 – 4 √ __

81 ÷ 3 × 3

= 27 + 256 × 1 – 3 ÷ 3 × 3

= 27 + 256 – 1 × 3

= 27 + 256 – 3 = 280

● 294 5 × {[( 3 √ ___

343 + 4 × 7) ÷ 5 + √ __

49 ]}÷ 2 – (32 – 23)

= 5 × {[(7 + 28) ÷ 5 + 7]} ÷2 – (9 – 8)

= 5 × {[35 ÷ 5 + 7]} ÷ 2 – (9 – 8)

= 5 × {7 + 7} ÷ 2 – 1

= 5 × (14) ÷ 2 – 1

= 5 × 7 – 1 = 35 – 1 = 34

● 295 √ ___

900 + 64 ÷ 23 × [(62 – 3 √

__ 27 ÷ 3) ÷ 7 + 820 ÷ 819]

= 30 + 64 ÷ 8 × [(36 – 3 ÷ 3)÷ 7 + 81]

= 30 + 8 × [(36 – 1) ÷ 7 + 8]

= 30 + 8 × [35 ÷ 7 + 8]

= 30 + 8 × [5 + 8] = 30 + 8 × 13

= 30 + 104 = 134

● 296 [(4 × √ __

36 – 5 × 4)2 – 2 × 3 √ ___

512

+ 4 √ ____

5 √ __

360 ] ÷ 9

= [(4 × –20)2 – 2 × 8 + 20 √ __

360 ] ÷ 9

= [(24 – 20)2 – 16 + 33] ÷ 9

= [42 – 16 + 27] ÷ 9

= [16 – 16 + 27] ÷ 9 = 27 ÷ 9 = 3

1. Calcula el mayor valor de a para que cada número sea divisible por 6.

a) _____

46a14 9 b) _____

a0462 9 c) _____

5170a 8 d) _____

112a6 8 e) ______

472a52 7 f) _____

a5674 8

2. Halla el valor de b para que cada número sea divisible entre 9.

a) ______

7128b3 7 b) ______

3b4502 4 c) ______

16832b 7 d) _____

4571b 1 e) _____

5b216 4 f) ______

33b612 3

3. Lee y responde.

Una revista tiene más de 12 páginas y menos de 28. Si el número de páginas es múltiplo de 3 y 5, ¿cuántas páginas tiene la revista? 15 páginas

4. Escribe V si es verdadero o F si es falso.

a) 0 es múltiplo de cualquier número. V b) 4 es divisor de 70 y 82. F

c) 1 es divisor de todos los números. V d) 98 es múltiplo de 14. V

e) 107 es un número primo. V f) 1 254 es divisible por 3. V

5. Calcula la cantidad de divisores que tienen los siguientes números:

a) 120 16 b) 252 18 c) 540 24 d) 500 12 e) 345 8 f) 225 9

Más actividades

n.º de autos 1 2 3 4 5 6 7 8

n.º de caras ocultas

1 4 7 10 13 16 19 22

Comunicación matemáticaCompleta las multiplicaciones.

� 281 � 282

� 283 Escribe los números del recuadro donde corres-ponda. Justifica tu respuesta.

7; 9; 0; 4; 8

a) _____ es el MCD de 12 y 20.

b) _____ es número primo.

c) _____ es divisor de 40.

d) _____ es divisible por 3.



2 3 4 5 6 7

258 Sí Sí No

1 176

2 420

55 030

77 990

� 285 Pinta las igualdades verdaderas.

16 = °5 + 1

15 = °5 + 1

34 = °3 + 1

41 = °10 + 2

24 = °13 – 2

23 = °10 – 3

19 = °10 – 1

83 = °9 – 7

75 = °11 – 2

� 286 ¿Qué número pensó cada niño?

� 287 En la mañana, Pamela tiene 7 videojuegos más que Martín, y Juan, 4 menos que Martín. En la tar-de, Pamela le da a Martín 5 videojuegos y a Juan le quita 2. Completa el esquema y responde.

Mañana Tarde

Martín N

Pamela N + 7

Juan N – 4

Total

a) ¿Cuál de los tres tiene más videojuegos en la mañana? ¿Y quién tiene menos?

b) En la tarde, ¿cuál de los tres tiene más video-juegos?

c) Si Juan tuvo en la mañana la mínima cantidad de videojuegos, ¿cuántos videojuegos tienen los tres juntos?

d) Si en total tienen en la tarde 21 videojuegos, ¿cuántos tiene Pamela?

� 288 Carmen participa en una campaña para que la gente tome conciencia del deterioro de la capa de ozono. Hoy mandará este mensaje a tres amigos.

a) Si cada amigo, al minuto siguiente, mandará el mensaje a 3 amigos y la cadena no se rom-pe, ¿cuántos mensajes se enviarán en el cuarto minuto?¿Y en el minuto 10?

b) Si cada amigo envía 5 mensajes en lugar de 3, ¿a cuántas personas les llega el mensaje en el minuto 10?

� 289 Descubre la adivinanza de Darío: “El número que pensé es menor que 75. Si lo divides entre 6, el residuo es 5; si los divides entre 9, el residuo es 8. ¿Qué número pensé?”.


5 ×

9 7

8

3

8

2 6 9 ×

3

5

Si lo elevo al cubo, me da

125.

Si le saco la raíz cuarta,

me da 3.

Álvaro Jimena

Charla informativa

sábado 10 a.m.

Envía este mensaje a 3 amigos.

¡SALVEMOS EL PLANETA!

46

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22

N + 5

N

N – 2

3N + 3

71

5 7

0 4

1 8 8

1 3 4

1 5 3 3 3 4 8 8

4

7

4; 8

9

8

4 5 6

3 5 2

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

No

No

No

No

Sí

Sí

Sí

No

Sí

No

No

Sí No

Sí Sí

No

No

No

No

No

No

�

�

� ��

�

5 81

510 = 9 765 625 personas

34 = 81 mensajes310 = 59 049 mensajes

6

6

Martín

Pamela; Juan

3N + 3

040_049 U01M1 46 6/7/11 9:13:19 AM

Para consolida rNIVEL II

Observa la secuencia de cubos y fíjate en el número de caras ocultas en cada fila.

� 290 Completa la tabla.

n.° de cubos 1 2 3 4 5 6 7 8

n.° de caras ocultas

1 4 7 10

� 291 ¿Cuántas caras ocultas habrá en un bloque de 20 cubos? ¿Y en uno de 32 cubos?


� 292 3 √ ___

512 ÷ 23 + 35 × 4 √ __

24 – ( 12 √ ___

524 )0 + 232

� 293 35 ÷ √ ___

81 + 223 × ( 20 √

___ 740 )0 – √

_____ √

___ 81 ÷ 3 × 3 √

___ 27

� 294 5 × {[ 3 √ ___

343 + 4 × 7] ÷ 5 + √ ___

49 ]} ÷ 2 – (32 – 23)

� 295 √ ___ 900 + 64 ÷ 23 × [(62 – 3 √

___ 27 ÷ 3) ÷ 7 + 820 ÷ 819]

� 296 [(4 × √ __ 36 – 5 × 4)2 – 2 × 3 √

___ 512 +

4 √ ____

5 √ ___

360 ] ÷ 9

� 298 Calcula el residuo que se obtiene al dividir 393

entre 4.

� 299 ¿Cuántos múltiplos de 3, diferentes de cero, hay entre 30 y 195?

� 300 Si __

ab es múltiplo de 7, ¿cuál es el mayor valor de a + b?

� 301 Si A = 33 × 72 × 11 y B = 24 × 35 × 7 ×11, calcula MCM(A; B) ÷ MCD(A; B)

� 302 El MCM de dos números es 90 y su MCD es 9. Si uno de los números es 18, ¿cuál es el otro número?

� 303 Se tienen dos números cuyo producto es 216. Si su MCD es 6, calcula su MCM.

� 304 Para realizar un trabajo grupal, el profesor puede formar grupos de 3; 4 y 6 alumnos, sin que sobre ninguno. ¿Cuántos alumnos hay en la clase si son menos de 40? ¿Hay una única respuesta?

� 305 Al ordenar mis CD me di cuenta de que si los agru-paba de 2 o 3, siempre sobraba uno; pero si los agrupaba de 5 en 5, no sobraba ninguno. ¿Cuántos CD tengo si son más de 80 y menos de 90?

� 297 El enunciado de un problema está representado en el siguiente esquema:

a) Encuentra las preguntas sabiendo que los cálculos necesarios para resolverlas son los siguientes:

• 815 – 213

• 815 – 79

• 815 – (460 + 79)

b) ¿Cuál es la distancia de Pisco a Huarmey?

c) Si Huacho está en el punto medio entre Lima y Huarmey, ¿cuál es la distancia de Lima a Huacho?



Observen la figura y calculen lo que se pide.

a) Las áreas en mm2 de los dos rectángulos traza-dos en rojo.

b) Las áreas en mm2 de los rectángulos verde y azul.

c) El área aproximada en mm2 de la zona colorea-da de amarillo. Previamente, realiza un encua-dramiento de la zona amarilla.

Nasca

Pisco

LimaCasma

Huarmey

460 km

213 km815 km

79 km


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.L. 8

22

¿Cuál es la distancia de Pisco a Casma?

¿Cuál es la distancia de Nasca a Huarmey?¿Cuál es la distancia de Lima a Huarmey?

58; 94

998

280

34

134

3

523 km

138 km

3

54

17

1 008

45

36

12; 24 y 36. Hay tres respuestas.

85

130 y 1 400 mm2

352 mm2

294 y 667 mm2

13 16 19 22

040_049 U01M1 47 6/7/11 9:13:21 AM

Unidad 146

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● 288 a) 3 × 3 × 3 × 3 = 34 = 81

310 = 59 049

b) 510 = 9 765 625

● 289 N < 75

N = °6 + 5 = °6 – 6 + 5 = °6 – 1

N = °9 + 8 = °9 – 9 + 8 = °9 – 1

N = MCM(°6 y °9)

– 1 = °18 – 1

N = 72 – 1 = 71

● 290

● 291 58 cubos; 94 cubos

● 292 3 √ ___

512 ÷ 23 + 35 × 4 √ __

24 – ( 12 √

__ 524 )0 + 232

= 8 ÷ 8 + 343 × 2 – 1 + 29

= 1 + 686 – 1 + 512 = 1 198

● 293 35 ÷ √ __

81 + 223 × ( 20 √

__ 740 )0 –

√ ____

√ __

81 ÷ 3 × 3 √ __

27

= 243 ÷ 9 + 28 × 1 – 4 √ __

81 ÷ 3 × 3

= 27 + 256 × 1 – 3 ÷ 3 × 3

= 27 + 256 – 1 × 3

= 27 + 256 – 3 = 280

● 294 5 × {[( 3 √ ___

343 + 4 × 7) ÷ 5 + √ __

49 ]}÷ 2 – (32 – 23)

= 5 × {[(7 + 28) ÷ 5 + 7]} ÷2 – (9 – 8)

= 5 × {[35 ÷ 5 + 7]} ÷ 2 – (9 – 8)

= 5 × {7 + 7} ÷ 2 – 1

= 5 × (14) ÷ 2 – 1

= 5 × 7 – 1 = 35 – 1 = 34

● 295 √ ___

900 + 64 ÷ 23 × [(62 – 3 √

__ 27 ÷ 3) ÷ 7 + 820 ÷ 819]

= 30 + 64 ÷ 8 × [(36 – 3 ÷ 3)÷ 7 + 81]

= 30 + 8 × [(36 – 1) ÷ 7 + 8]

= 30 + 8 × [35 ÷ 7 + 8]

= 30 + 8 × [5 + 8] = 30 + 8 × 13

= 30 + 104 = 134

● 296 [(4 × √ __

36 – 5 × 4)2 – 2 × 3 √ ___

512

+ 4 √ ____

5 √ __

360 ] ÷ 9

= [(4 × –20)2 – 2 × 8 + 20 √ __

360 ] ÷ 9

= [(24 – 20)2 – 16 + 33] ÷ 9

= [42 – 16 + 27] ÷ 9

= [16 – 16 + 27] ÷ 9 = 27 ÷ 9 = 3

1. Calcula el mayor valor de a para que cada número sea divisible por 6.

a) _____

46a14 9 b) _____

a0462 9 c) _____

5170a 8 d) _____

112a6 8 e) ______

472a52 7 f) _____

a5674 8

2. Halla el valor de b para que cada número sea divisible entre 9.

a) ______

7128b3 7 b) ______

3b4502 4 c) ______

16832b 7 d) _____

4571b 1 e) _____

5b216 4 f) ______

33b612 3

3. Lee y responde.

Una revista tiene más de 12 páginas y menos de 28. Si el número de páginas es múltiplo de 3 y 5, ¿cuántas páginas tiene la revista? 15 páginas

4. Escribe V si es verdadero o F si es falso.

a) 0 es múltiplo de cualquier número. V b) 4 es divisor de 70 y 82. F

c) 1 es divisor de todos los números. V d) 98 es múltiplo de 14. V

e) 107 es un número primo. V f) 1 254 es divisible por 3. V

5. Calcula la cantidad de divisores que tienen los siguientes números:

a) 120 16 b) 252 18 c) 540 24 d) 500 12 e) 345 8 f) 225 9

Más actividades

n.º de autos 1 2 3 4 5 6 7 8

n.º de caras ocultas

1 4 7 10 13 16 19 22


� 281 � 282


7; 9; 0; 4; 8

a) _____ es el MCD de 12 y 20.






2 3 4 5 6 7

258 Sí Sí No

1 176

2 420

55 030

77 990


16 = °5 + 1

15 = °5 + 1

34 = °3 + 1

41 = °10 + 2

24 = °13 – 2

23 = °10 – 3

19 = °10 – 1

83 = °9 – 7

75 = °11 – 2



Mañana Tarde

Martín N

Pamela N + 7

Juan N – 4

Total










5 ×

9 7

8

3

8

2 6 9 ×

3

5


125.


me da 3.

Álvaro Jimena

Charla informativa

sábado 10 a.m.



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.L. 8

22

N + 5

N

N – 2

3N + 3

71

5 7

0 4

1 8 8

1 3 4

1 5 3 3 3 4 8 8

4

7

4; 8

9

8

4 5 6

3 5 2

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

No

No

No

No

Sí

Sí

Sí

No

Sí

No

No

Sí No

Sí Sí

No

No

No

No

No

No

�

�

� ��

�

5 81

510 = 9 765 625 personas


6

6

Martín

Pamela; Juan

3N + 3

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n.° de cubos 1 2 3 4 5 6 7 8


1 4 7 10



� 292 3 √ ___

512 ÷ 23 + 35 × 4 √ __

24 – ( 12 √ ___

524 )0 + 232

� 293 35 ÷ √ ___

81 + 223 × ( 20 √

___ 740 )0 – √

_____ √

___ 81 ÷ 3 × 3 √

___ 27

� 294 5 × {[ 3 √ ___

343 + 4 × 7] ÷ 5 + √ ___

49 ]} ÷ 2 – (32 – 23)

� 295 √ ___ 900 + 64 ÷ 23 × [(62 – 3 √

___ 27 ÷ 3) ÷ 7 + 820 ÷ 819]

� 296 [(4 × √ __ 36 – 5 × 4)2 – 2 × 3 √

___ 512 +

4 √ ____

5 √ ___

360 ] ÷ 9


entre 4.


� 300 Si __









• 815 – 213

• 815 – 79

• 815 – (460 + 79)









Nasca

Pisco

LimaCasma

Huarmey

460 km

213 km815 km

79 km


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58; 94

998

280

34

134

3

523 km

138 km

3

54

17

1 008

45

36


85

130 y 1 400 mm2

352 mm2

294 y 667 mm2

13 16 19 22

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Unidad 146

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G030_049 U01M1.indd 46 7/15/11 10:55:57 AM

● 297 a) • ¿Cuál es la distancia de Pisco a Casma?

• ¿Cuál es la distancia de Nasca a Huaraz?

• ¿Cuál es la distancia de Lima a Huaraz?

b) 815 – (213 + 79 = 523 km

c) [815 – (460 + 79)] ÷ 2 = 138 km

● 298 393 = (°4 + 3)3 = °4 + 27

= °4 + °4 + 3

= °4 + 3 → r = 3

● 299 Múltiplos entre 1 y 195

195 ÷ 3 – 1 = 64

Múltiplos entre 1 y 30

30 ÷ 3 = 10

∴64 – 10 = 54

● 300 __

ab = 7 = 98

a + b = 9 + 8 = 17

● 301 MCM(A, B) = 24 × 35 × 72 × 11

MCD(A, C) = 33 × 7 × 11

∴ MCM(A, B) _______ MCD(A, B)

= 24 × 35 × 72 × 11 ___________

33 × 7 × 11

= 24 × 32 × 7 = 1 008

● 302 a · b = MCM(a y b) · MCD(a y b)

a · 18 = 90 · 9

a = 45

● 303 a · b = MCM(a y b) × MCD(a y b)

216 = MCM × 6 → MCM = 36

● 304 MCM = 22 × 3 = 12

12 × 1 = 12 12 × 2 = 24

12 × 3 = 36

Hay 3 respuetas.

● 305 N = °2 + 1 = °2 – 6 + 1 = °2 – 5

N = °3 + 1 = °3 – 6 + 1 = °3 – 5

N = °5 = °5 – 5

MCM(°2, °3 y °5)

– 5 = °30 – 5

30 × 3 – 5 = 856. Resuelve los siguientes problemas:

a) Se desea plantar árboles alrededor de un terreno de forma cuadrangular de 810 000 m². ¿Cuántos árboles son necesarios si se planta un árbol cada 50 metros? 18 árboles

b) Si una pareja sale en su auto a las 9:00 a.m. a una velocidad de 110 km por hora y llega a las 4:00, ¿cuántos kilómetros recorrió? 770 km

c) Halla el menor número que al ser dividido entre 18; 30 y 36, siempre tiene residuo 14. 194

d) En el salón de 1.º A hay 36 estudiantes y quieren formar grupos con igual cantidad de integrantes. Además, cada equipo deberá tener más de 3 y menos de 12 integrantes. ¿De cuántas formas distintas pueden hacerlo?

e) La longitud de la llanta delantera de una bicicleta mide 60 cm y la longitud de la llanta posterior mide 175 cm. Se señalan con tiza los puntos de las dos llantas que tocan el suelo, y se hace andar la bicicleta. ¿Cuánto debe avanzar como mínimo para que vuelvan a coincidir las dos señales a la vez en el suelo? 21 m

f) Se va a cubrir con paños de césped el piso de una cancha deportiva de 260 metros de largo y 120 metros de ancho. Si se usan paños cuadrados de la mayor dimensión posible y sin cortar ninguno. ¿cuánto debe medir cada paño? ¿Cuántos paños serán necesarios? 20 m × 20 m; 70

3; 4 equipos de 9, 6 de 6 o 9 de 4.


� 281 � 282


7; 9; 0; 4; 8

a) _____ es el MCD de 12 y 20.






2 3 4 5 6 7

258 Sí Sí No

1 176

2 420

55 030

77 990


16 = °5 + 1

15 = °5 + 1

34 = °3 + 1

41 = °10 + 2

24 = °13 – 2

23 = °10 – 3

19 = °10 – 1

83 = °9 – 7

75 = °11 – 2



Mañana Tarde

Martín N

Pamela N + 7

Juan N – 4

Total










5 ×

9 7

8

3

8

2 6 9 ×

3

5


125.


me da 3.

Álvaro Jimena

Charla informativa

sábado 10 a.m.



46

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22

N + 5

N

N – 2

3N + 3

71

5 7

0 4

1 8 8

1 3 4

1 5 3 3 3 4 8 8

4

7

4; 8

9

8

4 5 6

3 5 2

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

No

No

No

No

Sí

Sí

Sí

No

Sí

No

No

Sí No

Sí Sí

No

No

No

No

No

No

�

�

� ��

�

5 81

510 = 9 765 625 personas


6

6

Martín

Pamela; Juan

3N + 3

040_049 U01M1 46 6/7/11 9:13:19 AM




n.° de cubos 1 2 3 4 5 6 7 8


1 4 7 10



� 292 3 √ ___

512 ÷ 23 + 35 × 4 √ __

24 – ( 12 √ ___

524 )0 + 232

� 293 35 ÷ √ ___

81 + 223 × ( 20 √

___ 740 )0 – √

_____ √

___ 81 ÷ 3 × 3 √

___ 27

� 294 5 × {[ 3 √ ___

343 + 4 × 7] ÷ 5 + √ ___

49 ]} ÷ 2 – (32 – 23)

� 295 √ ___ 900 + 64 ÷ 23 × [(62 – 3 √

___ 27 ÷ 3) ÷ 7 + 820 ÷ 819]

� 296 [(4 × √ __ 36 – 5 × 4)2 – 2 × 3 √

___ 512 +

4 √ ____

5 √ ___

360 ] ÷ 9


entre 4.


� 300 Si __









• 815 – 213

• 815 – 79

• 815 – (460 + 79)









Nasca

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Huarmey

460 km

213 km815 km

79 km


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3

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130 y 1 400 mm2

352 mm2

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● 306 712 termina en 1

7241 = 7240 + 1 termina en 7

● 307 V = a · b · c

V = 17 × 3 × 7 = 357 m3

a = 17 m, b = 3m, c = 7 m

● 308 59 = 7 + 23 + 29

● 309 Júpiter: (–166 – 32) 5 _ 9 = –110 °C

Luna: (–13 – 32) 5 _ 9 = –25 °C

Marte: (–85 – 32) 5 _ 9 = –65 °C

Tierra: (59 – 32) 5 _ 9 = 15 °C

● 310 Elena: 3n

César: 100 – 7n

3n = 100 – 7n → 10n = 100

n = 10

∴ 3n = 3(10) = 30

● 311 10; 11; 12 ... __

ab → 26 placas

13 puertas

∴ 13 + 9 = 22 puertas

● 312 2(1) + 3 = 5 unidades

2(…5) + 3 = …3 unidades

2(5) + 3 = 13

2(13) + 3 = 29 4

2(29) + 3 = 61

2(61) + 3 = 125

2(125) + 3 = 253 8

2(253) + 3 = 509

2(509) + 3 = 1 021

⋮2(…1) + 3 = …5

2(…5) + 3 = … 3 ← lugar 26

● 313 Es factible.540 ÷ 3 = 1801.° aula: votan 180, múltiplos de 32.° aula: 1603.° aula: 200

Pero no es adecuado, en las eleccio-nes municipales son correlativos.

● 314 802 + 502 = 6 400 + 2 500 = 8 900

Se deben comprar 6 425 mayólicas.

● 315 M = °8 + 4 → 28H = °8 → 24 52

● 316 4 × 60 = 240 seg

MCM = 22 × 3 × 5 = 60

60; 120; 180; 240

Después de 60 segundos, volve-rán a sonar juntos.

A lo largo de toda la pieza musi-cal sonarán juntos 4 veces.

La evaluación del aprendizaje es un proceso intencionado, permanente sobre criterios de valor su propósito es planificar y organizar el proceso de enseñanza acorde a las necesidades de los educandos.

Este tipo de evaluación es una excelente alternativa en el enfoque por competencias, que se adapta a las formas de trabajo requeridas y a los propósitos educativos planteados en planes y programas de estudio. Los instrumentos utilizados en esta evaluación son, entre otros, el registro y la matriz de valoración o rúbricas.

La matriz de valoración o rúbrica es un instrumento de medición que tiene criterios establecidos por niveles y escalas, con el propósito de determinar la calidad de la ejecución de las tareas específicas en los estudiantes. La rúbrica es ideal para evaluar de una manera formal el desempeño al realizar una tarea específica, en la cual se combinan aprendizajes no solo conceptuales, sino procedimentales y actitudinales, siempre debe reflejar los objetivos de aprendizaje.

La matriz de valoración es útil tanto como apoyo en el proceso de valoración integral o como instrumento de evaluación para otorgar una calificación. En el primer caso permite que el docente muestre a sus estudiantes en principio, los logros esperados y sus diferentes niveles e indicarles específicamente lo que deben hacer para alcanzar los niveles más altos. Adicionalmente, habilita a los estudiantes para que evalúen sus propias realizaciones. Como instrumento de evaluación, permite a los profesores hacer una apreciación justa e imparcial de los trabajos de sus estudiantes mediante una escala que proporciona una medida clara de las habilidades y del desempeño de estos. En este sentido se puede utilizar en procesos tanto de Autoevaluación, como de Coevaluación y Heteroevaluación. Además, la matriz de valoración facilita la calificación del desempeño del estudiante en las áreas del currículo (materias o temas) que son complejas, imprecisas y subjetivas.

La evaluación por rúbricas

Proponga el desarrollo de las siguientes situaciones elaborando representaciones gráfica para facilitar la solución.

• Un campanario da 5 campanadas en 4 segundos, ¿Cuánto tardará en dar 15 campanadas?

• David compra cuatro docenas de cuadernos rayados y recibe un cuaderno más por la compra. Además compra 6 docenas de cuadernos cuadriculados y recibe uno más por cada docena. En total, ¿cuántos cuadernos se lleva?

NIVEL III

Para profu ndiza r

� 306 Observa la regla de formación de estas potencias. ¿En que cifra termina 712? ¿Y 7241?

• 71 = 7 • 75 = 16 807

• 72 = 49 • 76 = 117 649

• 73 = 343 • 77 = 823 543

• 74 = 2 401 • 78 = 5 764 801

� 307 Para calcular el volumen de una caja, se multiplica su alto, largo y ancho. Si el volumen de esta caja es 357 m3, ¿cuáles son sus posibles dimensiones?

� 308 Todos los números impares mayores que 7 se pue-den escribir como la suma de tres números primos. ¿Qué números primos suman 59?

� 309 Para convertir grados Fahrenheit a grados centí-grados, multiplica por 5 la diferencia de los grados Fahrenheit y 32, luego divide este producto entre 9.

¿Cuál es la tempe-ratura en grados centígrados de Júpiter, la Luna, Marte y la Tierra?

Júpiter 166 °F bajo cero

Luna 13 °F bajo cero

Marte 85 °F bajo cero

Tierra 59 °F sobre cero

� 310 Elena y César tienen una calculadora cada uno. Ele-na ingresa cero en su calculadora y cada vez suma 3. César ingresa 100 en la suya y cada vez resta 7. Al oprimir ambos los botones al mismo tiempo, ¿mostrarán sus pantallas en algún momento el mis-mo número? Si es así, ¿cuál es el número?

� 311 En un edificio se numeraron las puertas de las ofi-cinas utilizando placas con un dígito cada una. Por ejemplo, al numerar la oficina 16 se usaron dos placas, una con el número 1 y otra con el 6. Si en total se utilizaron 35 placas, ¿cuántas puertas se numeraron?

� 312 Una operación consiste en multiplicar un número por 2 y sumarle 3. Si se empieza con el 1 y se sigue con el resultado obtenido, ¿cuál será la cifra de las unidades del resultado, después de aplicar la operación 26 veces?

� 313 Para las elecciones municipales, 540 electores vo-tarán en un colegio que tiene tres aulas. ¿Te pa-recen adecuadas las ideas que tuvieron dos de los miembros de mesa?¿Por qué?

� 314 Se quiere construir dos patios cuadrados, uno al lado del otro, como se muestra en la figura:

Si en el patio grande se desea colocar 80 filas de mayólicas y en el patio chico, 50 filas de mayóli-cas, ¿cuántas mayólicas se colocarán?

� 315 Para competir en diferentes actividades, 52 depor-tistas deben formar grupos. Todos los grupos de-ben tener la misma cantidad de integrantes, pero sin mezclar hombres y mujeres. Si las mujeres forman 8 grupos, sobran 4; en cambio, si los hom-bres forman 8 grupos, no sobra ninguno. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en total?

� 316 En una orquesta, el triángulo y el timbal suenan juntos al iniciar una pieza musical que dura 4 mi-nutos. El timbal vuelve a sonar cada 12 segundos, y el triángulo, cada 20 segundos. ¿Cuántos segundos después del inicio de la pieza musical volverán a sonar juntos ambos instrumentos? ¿Cuántas veces sonarán juntos a lo largo de toda la pieza?

De acuerdo con el orden en la lista, los múltiplos de 3 votarán

en el aula 1.

De los restantes, los primeros 160 electores, votarán en el aula 2 y los

demás, en el aula 3.

Ju ega y aprende

Calcula la masa de la pelota de vóley.300 g 300 g

40 kg

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22

3

8 900

1 y 7

7 m

3 m17 m

59 = 7 + 23 + 29

–110 °C; –25 °C; –65 °C; 15 °C

30

22 puertas

Sí

Aula 1: 180 votantes



80 6 4002 500 50

28 mujeres y 24 hombres

60 segundos, 5 veces

260 g

040_049 U01M1 48 6/7/11 9:13:22 AM

R E V I S T A M A T E M Á T I C A

Los grandes números que día a día representan a los peruanos

1. Tomamos como referencia la capacidad del Estadio Nacional: El nivel de pobreza de 2009 fue 34,8%. 2. Cifra según ENAHO 2008. 3. El nivel de desnutrición crónica de 2009 fue de 18,3%. 4. Un fajo de 100 billetes de S/. 100 ocupa un volumen de 136.5 cm3. Una piscina olímpica tiene 21 millones de cm3 de capacidad. 5. Un billete de S/. 100 mide 14 cm de largo; 818 570 000 billetes de S/. 100 equivalen a S/. 81 857 millones y dan 114 599 km. FUENTE: RAÚL RODRIGUEZ / EL COMERCIO

Con los datos de esta infografía, calcula:

¿Cuántos espectadores alcanzan en el Estadio Nacional? Redondea a los miles.

¿Cuánto mide de espesor un fajo de 100 billetes de S/. 100? ¿Y a cuántos soles equivale?

Aproximadamente, ¿cuánto mide la circunferencia máxima de la Tierra? Redondea a los miles.


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45 0001,5 cmS/. 10 000

40 000 km

040_049 U01M1 49 6/7/11 9:13:23 AM

Unidad 148

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● 306 712 termina en 1

7241 = 7240 + 1 termina en 7

● 307 V = a · b · c

V = 17 × 3 × 7 = 357 m3

a = 17 m, b = 3m, c = 7 m

● 308 59 = 7 + 23 + 29

● 309 Júpiter: (–166 – 32) 5 _ 9 = –110 °C

Luna: (–13 – 32) 5 _ 9 = –25 °C

Marte: (–85 – 32) 5 _ 9 = –65 °C

Tierra: (59 – 32) 5 _ 9 = 15 °C

● 310 Elena: 3n

César: 100 – 7n

3n = 100 – 7n → 10n = 100

n = 10

∴ 3n = 3(10) = 30

● 311 10; 11; 12 ... __

ab → 26 placas

13 puertas

∴ 13 + 9 = 22 puertas

● 312 2(1) + 3 = 5 unidades

2(…5) + 3 = …3 unidades

2(5) + 3 = 13

2(13) + 3 = 29 4

2(29) + 3 = 61

2(61) + 3 = 125

2(125) + 3 = 253 8

2(253) + 3 = 509

2(509) + 3 = 1 021

⋮2(…1) + 3 = …5

2(…5) + 3 = … 3 ← lugar 26

● 313 Es factible.540 ÷ 3 = 1801.° aula: votan 180, múltiplos de 32.° aula: 1603.° aula: 200

Pero no es adecuado, en las eleccio-nes municipales son correlativos.

● 314 802 + 502 = 6 400 + 2 500 = 8 900

Se deben comprar 6 425 mayólicas.

● 315 M = °8 + 4 → 28H = °8 → 24 52

● 316 4 × 60 = 240 seg

MCM = 22 × 3 × 5 = 60

60; 120; 180; 240

Después de 60 segundos, volve-rán a sonar juntos.

A lo largo de toda la pieza musi-cal sonarán juntos 4 veces.

La evaluación del aprendizaje es un proceso intencionado, permanente sobre criterios de valor su propósito es planificar y organizar el proceso de enseñanza acorde a las necesidades de los educandos.

Este tipo de evaluación es una excelente alternativa en el enfoque por competencias, que se adapta a las formas de trabajo requeridas y a los propósitos educativos planteados en planes y programas de estudio. Los instrumentos utilizados en esta evaluación son, entre otros, el registro y la matriz de valoración o rúbricas.

La matriz de valoración o rúbrica es un instrumento de medición que tiene criterios establecidos por niveles y escalas, con el propósito de determinar la calidad de la ejecución de las tareas específicas en los estudiantes. La rúbrica es ideal para evaluar de una manera formal el desempeño al realizar una tarea específica, en la cual se combinan aprendizajes no solo conceptuales, sino procedimentales y actitudinales, siempre debe reflejar los objetivos de aprendizaje.

La matriz de valoración es útil tanto como apoyo en el proceso de valoración integral o como instrumento de evaluación para otorgar una calificación. En el primer caso permite que el docente muestre a sus estudiantes en principio, los logros esperados y sus diferentes niveles e indicarles específicamente lo que deben hacer para alcanzar los niveles más altos. Adicionalmente, habilita a los estudiantes para que evalúen sus propias realizaciones. Como instrumento de evaluación, permite a los profesores hacer una apreciación justa e imparcial de los trabajos de sus estudiantes mediante una escala que proporciona una medida clara de las habilidades y del desempeño de estos. En este sentido se puede utilizar en procesos tanto de Autoevaluación, como de Coevaluación y Heteroevaluación. Además, la matriz de valoración facilita la calificación del desempeño del estudiante en las áreas del currículo (materias o temas) que son complejas, imprecisas y subjetivas.

La evaluación por rúbricas

Proponga el desarrollo de las siguientes situaciones elaborando representaciones gráfica para facilitar la solución.

• Un campanario da 5 campanadas en 4 segundos, ¿Cuánto tardará en dar 15 campanadas?

• David compra cuatro docenas de cuadernos rayados y recibe un cuaderno más por la compra. Además compra 6 docenas de cuadernos cuadriculados y recibe uno más por cada docena. En total, ¿cuántos cuadernos se lleva?

NIVEL III

Para profu ndiza r


• 71 = 7 • 75 = 16 807

• 72 = 49 • 76 = 117 649

• 73 = 343 • 77 = 823 543

• 74 = 2 401 • 78 = 5 764 801


















en el aula 1.



Ju ega y aprende


40 kg

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1 y 7

7 m

3 m17 m

59 = 7 + 23 + 29

–110 °C; –25 °C; –65 °C; 15 °C

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Para la coevaluación.

Aspecto a evaluar

Muy bueno Bueno En proceso Inicio

100% 75% 50% 25%

Trabajo colaborativo

– Muestra gran entusiasmo centrándose en realizar las actividades.

– Comparten la responsabilidad del trabajo.

– Conocen los objetivos de la actividad y colaboran para lograrlos.



– La interacción del equipo mejora el rendimiento individual.

– Comparten la responsabilidad del trabajo




– Evalúan los procesos en la solución de problemas.

– Logran comprobar sus propuestas.

– Planifican la estrategia de solución de problemas.

– Aplican algoritmos y encuentran la respuesta.

– Reconocen los datos del problema y organizan la información.

– Aplican algoritmos.

– No llegan a conocer los datos del problema.

– Falta planificación y manejo de algoritmos.

Rúbricas

Información complementariaSobre el estudio de las matemáticasLos problemas, las adivinanzas y las recreaciones matemáticas han formado parte de todas las culturas en todas las épocas. Los problemas más antiguos son probablemente los que aparecieron en los papiros egipcios y en las tablillas mesopotámicas, varios siglos antes de nuestra era. Lo curioso es que muchos de esos problemas siguen interesando a los estudiantes, profesores y aficionados a las matemáticas del siglo XXI.

En su conferencia titulada “Problemas matemáticos” ante el congreso internacional de matemáticos de 1900 en París, el gran matemático alemán David Hilbert (1862-1949) dijo: “Mientras una rama de la ciencia presente abundancia de problemas, permanece viva. La carencia de problemas significa la decadencia o cese del desarrollo independiente”.

Con la resolución de problemas crece la fuerza del investigador, encuentra nuevos métodos, nuevas perspectivas y consigue un nuevo horizonte más amplio y libre”.

¿Qué diferencia hay entre un ejercicio y un problema en matemática?

¿Es importante resolver problemas?, ¿por qué?

NIVEL III

Para profu ndiza r


• 71 = 7 • 75 = 16 807

• 72 = 49 • 76 = 117 649

• 73 = 343 • 77 = 823 543

• 74 = 2 401 • 78 = 5 764 801


















en el aula 1.



Ju ega y aprende


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Oficina CentralAv. Primavera 2160, Santiago de Surco, LimaTel. 313 4000, Fax 313 [email protected]

Delegación NorteAv. Larco 611Urb. La Merced, TrujilloTel. 29 5011

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catálogo matemática - sacundaria

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