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Universidad ECCI. Aplicación Métodos numéricos
APLICACIÓN DE MÉTODO NUMÉRICO
Caso I Aplicada al Crecimiento Poblacional
Barreto Natalia
(Cód.: 11114)
Universidad ECCI
Resumen
Este tiene como finalidad presentar la aplicación de una ecuación diferencial
de primer orden y aplicar el método de Runge Kutta y en este sentido
comparar los resultados del problema.
Palabras clave: Modelo matemático, método, ecuación, interrogante,
población, tiempo, crecimiento.
Abstract
This is to present the application of a differential equation of the first order
and develop the method Runge Kuta to compare the results of Problem.
Keywords: Mathematical model , method , equation, question , people , time,
growth.
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1. INTRODUCCIÓN
A diario los estudiantes se
preguntan para que ver, modelos
matemáticos, este es uno de los
tantos casos en que se puede
Implementar un método numérico ycon base en el resultado se ayuda
por ejemplo: en la toma de
decisiones frente a un proyecto
urbanístico, control de riesgos por
sobrepoblación, cobertura en salud,
escasez de empleo, abastecimiento
en servicios públicos, entre otros.
También puede aplicarse al
crecimiento bacteriano.
Los métodos numéricos son una
herramienta muy valiosa e
importante para la resolución de
problemas prácticos de Ingeniería y
otras áreas , los métodos numéricos
son técnicas mediante las cuales es
posible formular problemas de
manera que puedan resolverse
utilizando operaciones aritméticas, o
también se puede interpretar como
el diseño y análisis de algoritmos
necesarios para resolver problemas
de ciencia e ingeniería por ello el
objetivo de este trabajo es presentar
de manera sencilla el método
numérico de Runge-Kutta y la
implementación de los sistemas
numéricos en el computador.
2. OBJETIVO GENERAL
Plantear, aplicar y resolver una
ecuación diferencial para dar
respuesta a un interrogante directo
de la cotidianidad o vivencia que
surge en la vida real.
Objetivos específicos
Obtener una aproximación de cuanto
aumenta la población, en
determinado lapso de tiempo.
Emplear el método de Runge Kutta
para aproximar soluciones de
ecuaciones diferenciales.
3. DISEÑO EXPERIMENTAL
Ejercicio de aplicación
El crecimiento de una ciudad es
proporcional al número de
habitantes, si la población inicial es
de 4 habitantes y al cabo de 3 años
es de 4,5.
a.
Cuánto tiempo tardará en
duplicarse la población
inicial?
b. Qué población habrá en 10
años?
Datos iniciales
Po = 4 H
t = 3 Años
Pf en tres años = 4,5H
2(población inicial) = 8 H.
a.
T=?P=2 (400)
b.
T=10 años
P=?
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Solución
Por lo tanto tenemos una ecuación
diferencial del siguiente tipo:
() Calcular k
() ()
Entonces tenemos la ecuación de la forma:
() Para resolver el interrogante a. tenemos
()
()(
)
()()
()
Para resolver el interrogante b. tenemos
() ()
()
Habitantes Aplicación del Método Runge Kutta
Para la aplicación del método de runge kutta
se tienen en cuenta los siguientes datos:
Ecuación diferencial:
Y (4)=3 h=0,01 find Y (5)
Siendo Xo= La población
Yo= Tiempo
k1 4*(e^0,039210*3) 4,49931139
k2 Xo+h/2 x 4,05
Yo+h/2*K1 y 3,22496557
k3 Xo+h/2 x 4,05
Yo+h/2*K2 y 3,22979573
k4 Xo+h x 4,1
Yo+h*K3 y 3,45967851
y1 Yo+h/6(K1+2K2+2K3+K4) 3,459673027
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Ecuación analítica
4. ANALISIS DE RESULTADOSEXPERIMENTAL
RUNGE KUTTA
5. CONCLUSIONES DEL CASO
1.
En 10 años crecerá menos la
población que en 17, 65 Años,
teniendo sentido.
2.
La población crecerá más que la
población inicial.
3.
A medida que el tiempo avanza la
población crece.
X Y H k1 k2 k3 k4 KUTTA
4 3 0 ,1 4 ,4 99 31 14 4 ,5 95 91 46 4 , 59 67 85 1 4, 69 56 70 8 3,460
4 ,1 3 ,4 59 67 30 0 ,1 4 , 69 56 69 7 4 ,7 96 89 09 4 ,7 97 84 29 4 ,9 01 54 59 3 ,9 39
4 ,2 3 ,9 39 45 11 0 ,1 4 , 90 15 44 7 5 ,0 07 78 82 5 ,0 08 83 14 5 ,1 17 77 89 4 ,4 40
4 ,3 4 ,4 40 32 71 0 ,1 5 , 11 77 77 4 5 ,2 29 49 37 5 ,2 30 63 92 5 ,3 45 30 77 4 ,9 63
4 ,4 4 ,9 63 38 30 0 ,1 5 , 34 53 06 0 5 ,4 62 99 85 5 ,4 64 25 92 5 ,5 85 18 19 5 ,5 10
4 ,5 5 ,5 09 79 97 0 ,1 5 , 58 51 79 9 5 ,7 09 41 30 5 ,7 10 80 38 5 ,8 38 58 00 6 ,0 81
4 ,6 6 ,0 80 86 96 0 ,1 5 , 83 85 77 6 5 ,9 69 98 64 5 ,9 71 52 46 6 ,1 06 82 96 6 ,6 78
4 ,7 6 ,6 78 01 01 0 ,1 6 , 10 68 26 7 6 ,2 46 12 85 6 ,2 47 83 45 6 ,3 91 43 27 7 ,3 03
4 ,8 7 ,3 02 77 98 0 ,1 6 , 39 14 29 3 6 ,5 39 43 72 6 ,5 41 33 50 6 ,6 94 09 49 7 ,9 57
4 ,9 7 ,9 56 89 76 0 ,1 6 , 69 40 90 8 6 ,8 51 73 08 6 ,8 53 84 87 7 ,0 16 76 17 8 ,6 42
5 8 ,6 42 26 45 0 ,1 7 ,0 16 75 67 7 ,1 85 08 81 7 ,1 87 45 97 7 ,3 61 66 23 9 ,3 61
5,1 9 ,3 6 09 8 97 0 ,1 7 ,3 6 16 5 63 7 ,5 4 18 9 63 7 ,5 4 45 6 18 7 ,7 3 13 6 37 10,115
5 ,2 1 0 ,1 1 54 2 20 1 ,1 7 , 73 1 35 6 4 7 ,9 2 49 1 11 7 ,9 2 79 1 89 8 ,1 2 88 3 72 1 0 ,9 0 8
46
8
0
10
3 10 17
CRECIMIENTO DE LA
POBLACION
POBLACION
0,000
5,000
10,000
15,000
4 4,14,24,34,44,54,64,74,84,9 5 5,15,2
CRECIMIENTO DE LA
POBLACION
TIEMPO
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Caso I Aplicada a Ley de Enfriamiento
Resumen
El experimento tiene como finalidad evidenciar un proceso de variación de temperatura, para unobjeto de uso cotidiano como lo es el computador de mesa. Nos centraremos en la función deldisipador el cual es un aparato electrónico ubicado dentro del PC.
Lo que queremos reflejar son los resultados de la función como modelo matemático de “Ley deenfriamiento de Newton” y que esta a su vez sea un comparativo con nuestros datos
experimentales; para calcular la temperatura máxima a la que permite llegar la placa base antesde que se encienda el sistema de ventilación. Y con base a esto podamos realizar un proceso deverificación sobre la calidad del equipo o una debida programación de un mantenimientopreventivo.
Palabras Claves: Proceso, Ecuación, Ecuación Diferencial, Mantenimiento preventivo, Disipadores,Ley de enfriamiento.
Abstract
The experiment aims to demonstrate a process of temperature variation to an object of daily usesuch as the computer table. We will focus on the role of the sink which is an electronic devicelocated inside the PC.
What we want are the results reflect the function as a mathematical model of "Newton's Law ofCooling" and that this in turn is a comparison with our experimental data; to calculate themaximum temperature that can reach the motherboard before the ventilation system is turnedon. And based on this we can make a verification process on the quality of the equipment orprogramming proper preventive maintenance.
Keywords: Process, Equation, Differential Equation, Preventive Maintenance, sinks, cooling Act.
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1. INTRODUCION
Este artículo tiene como finalidad ver como un proceso físico como lo es la variación detemperatura se puede reflejar en un método numérico y de ella realizar una base para la
implementación de un mantenimiento preventivo, este proceso de mejora lo vamos a reflejarhacia el rendimiento de los disipadores de un PC, utilizando una función derivada de la ecuaciónplanteado por el gran físico Newton conocida como la ley de enfriamiento.
2. MARCO TEORICO
Uno de los principales riesgos que se tienenal adquirir un PC o un portátil es el riego quese obtiene al dañarse el disipador oventilador, ya que al adquirirse unatemperatura mayor a la que resiste nuestra
tarjeta madre, placa base o mini board, sellega a un apagado total, y solo nos llega amostrar un mensaje de sobrecalentamientode dicha tarjeta, lo que deseamos expresarcon ejemplos tanto prácticos comomatemáticos la temperatura máxima quepueda llegar a adquirir dicha tarjeta paraque no ocurra este tipo de daño al PC,nuestro modelo matemático lo vamos atrabajar con una ecuación diferencial detemperatura más conocida como Ley de
enfriamiento, plasmada por el FísicoNewton la cual es:
En donde encontramosuna variación de la temperatura respecto altiempo con una “K” como constante que
difiere respecto al material que estemosusando, en nuestro proyecto esta K irapositiva ya que es un sistema decalentamiento y no de enfriamiento,
multiplicada por la diferencia entre nuestratemperatura inicial con nuestra temperaturadel medio, luego realizamos una separaciónde variables y se procede a integrar instantet=0, la temperatura del cuerpo es T0.
Después de realizar la integración,despejamos la temperatura quedándonos
como resultado , en la que tendremos unatemperatura m, la cual será la temperaturadel medio en el que nos encontremos,sumando entre la diferencia entre untiempo inicial con un tiempo final el cualserá reflejado en el momento que eldisipador se encienda para refrigerarnuestra tarjeta y esta se multiplica por elexponencial, el cual está elevado a laconstante del material que estamosmidiendo el cual sería la placa
base por el tiempo en cual se realiza elcambio de la temperatura, todas estasoperaciones nos dan como resultado:
la temperaturamáxima a la cual se puede someter dichatarjeta antes de que llegue a tener un
sobrecalentamiento , en nuestra parteexperimental se va a realizar una tabulaciónpor medio de una termo cupla y unmultímetro en donde tendremos comovariable dependiente el tiempo quetranscurre antes de que llegue a activarse elsistema de enfriamiento al igual tendremos
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nuestra variable dependiente que sería latemperatura a la cual sube el sistema altranscurrir el tiempo .
3. METODOLOGIA
La función que tomamos como base para laidentificación del proceso fue la dederivación de la “Ley de enfriamiento ocalentamiento de Newton”.
4. HIPOTESIS O RESULTADOSESPERADOS:
Que los datos experimentales vs losdatos reales reflejan un nivel desimilitud en concordancia con los dosprocedimientos.
Determinación de factores que afectande forma directa e indirecta la toma de
los datos, e influyeron en los resultadosdel procedimiento.
Llegar a una temperatura exacta a lacual el procesador no sea afectado.
Llegar a una temperatura final de unprocesador
5. MATERIALES
1 - Multimetro UT33C.
1 - Termocupla.
2 - Camara de Video.
1
- Cronometro del celular.
6. ANALISIS DE RESULTADOS
Para realizar la comparación del modelo demétodos numéricos utilizamos la ecuacióndiferencial de "ley de enfriamiento deNewton" vrs datos experimentales. Laecuación de enfriamiento se adaptó con lascondiciones del proceso experimental quefueron:
Temperatura ambiental: 16 °C
Temperatura inicial al tiempo cero: 18°C
La ecuación utilizada en el proyecto fue:
= K (T – Tm)
Siendo T (Temperatura), Tm (TemperaturaAmbiental) y K una constante de ritmo.
Reemplazamos los valores de lascondiciones iniciales de las ecuaciones,
realizamos separación de variables eintegramos. Despejamos T (Temperatura) ypara hallar nuestra C (constante) igualamosa las condiciones iniciales y creamos laFUNCIÓN.
∫ = ∫ = Ln (T-16)= Kt + C
T = C+ 16 18 = C+ 16 C=2
Para hallar valor de C (constante)reemplazamos en uno de los intervalosmedios del ejercicio y se despeja.
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47 = 2()+ 16
K=
= 0.1958
Posteriormente se tabula la FUNCION.
T = C + 16Para el método de Taylor se utiliza la funciónanterior y con las condiciones iniciales delexperimento.
METODO DE TAYLOR
Función: T = C + 16
Derivada:
H = 2
Yn + Y´(Xn)*H
(2*+ 16) + 2 (
)
18,3916
7. FORMULACION DE TABLACOMPARATIVA
t(Minutos)
°C(Experimental)
°C(Teorico)
°C(Taylor)
0 18 18 18,4
2 23 19 20,7
4 28 20 24,1
6 31 22 30,7
8 38 26 43,5
10 43 30 69,5
15
25
35
45
55
65
75
0 2 4 6 8 10
°C (Experimental) °C (Teorico)
°C (Taylor) Lineal (°C (Taylor))
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8. ERRORES ABSOLUTOS
Experimental Teoricos
0,4 0,4
2,3 1,7
3,9 4,1
0,3 8,7
5,5 17,5
26,5 39,5
9. CONCLUSIONES DEL CASO
La ecuación diferencial junto con elmodelo de métodos numéricos nos
mostró valores crecientes en un rangoalto debido a que no se tuvo en cuentala participación del disipador en elsistema que a diferencia del modeloexperimental llega a una temperaturaconstante después de un punto.
La temperatura crece de maneraacelerada y exponencialmente.
La serie de Taylor con respecto al valorteórico tiene un error relativo másgrande que el experimental.
Los errores de la serie de Taylor seencuentran por encima del valor real.
10. REFERENCIASBIBLIOGRAFICAS
Ecuaciones diferenciales yproblemas con valores en la frontera
–Nagle,saff,Snider- Cuarta edición.
http://doctoradosociales.com.ar/wp-content/uploads/Lineamientos-generales-para-escribir-un-paper-DOC-27.pdf
http://doctoradosociales.com.ar/wp-content/uploads/Lineamientos-generales-para-escribir-un-paper-DOC-27.pdfhttp://doctoradosociales.com.ar/wp-content/uploads/Lineamientos-generales-para-escribir-un-paper-DOC-27.pdfhttp://doctoradosociales.com.ar/wp-content/uploads/Lineamientos-generales-para-escribir-un-paper-DOC-27.pdfhttp://doctoradosociales.com.ar/wp-content/uploads/Lineamientos-generales-para-escribir-un-paper-DOC-27.pdfhttp://doctoradosociales.com.ar/wp-content/uploads/Lineamientos-generales-para-escribir-un-paper-DOC-27.pdfhttp://doctoradosociales.com.ar/wp-content/uploads/Lineamientos-generales-para-escribir-un-paper-DOC-27.pdfhttp://doctoradosociales.com.ar/wp-content/uploads/Lineamientos-generales-para-escribir-un-paper-DOC-27.pdfhttp://doctoradosociales.com.ar/wp-content/uploads/Lineamientos-generales-para-escribir-un-paper-DOC-27.pdfhttp://doctoradosociales.com.ar/wp-content/uploads/Lineamientos-generales-para-escribir-un-paper-DOC-27.pdfhttp://doctoradosociales.com.ar/wp-content/uploads/Lineamientos-generales-para-escribir-un-paper-DOC-27.pdfhttp://doctoradosociales.com.ar/wp-content/uploads/Lineamientos-generales-para-escribir-un-paper-DOC-27.pdf