Interpretación del diagrama de SmithLa carta de Smith consiste en la representación gráfica, en el plano del coeficiente de reflexión, de la resistencia y la reactancia normalizadas. Esta herramienta gráfica permite la obtención de diversos parámetros de las líneas de transmisión y la resolución de problemas de adaptación de impedancias, evitando las operaciones con números complejos que suelen implicar estos cálculos.

Para una mejor definición, la carta o diagrama de Smith es una solución

grafica de τ=Z−ZρZ+Zρ

y Z=Z ρ1+τ1−τ para realizar transformaciones en ambos

sentidos, entre el coeficiente de reflexión Γ y la impedancia Z.

Fue inventada por Philip Smith en 1934 mientras trabajaba para RCA. El motivo que tenía Smith era la representación gráfica de las relaciones matemáticas que se podían obtener con una regla de cálculo, sin tener que recurrir a cálculos complejos que esto implica.

Conformación y utilización de la carta de SmithSobre el eje horizontal de la carta de Smith se encuentran las resistencias o las conductancias, encontrando en el centro se encuentra el valor 1, hacia la izquierda, el valor va disminuyendo hasta que en el extremo izquierdo este llega a 0, hacia la derecha, el valor va aumentando, hasta que el extremo derecho vale infinito. Sobre cada uno de esos valores de resistencia es posible trazar un círculo que llega hasta el eje derecho. Todo el círculo trazado tiene el mismo valor de resistencia.

Por otro lado, la parte reactiva o susceptancia de la impedancia se busca sobre unos semicírculos que van desde el extremo derecho del círculo hasta algún punto del círculo, si es positivo, hacia la parte superior del círculo, y si es negativo, hacia la parte inferior del mismo.

La intersección de un círculo r y un círculo x define un punto que representa una impedancia normalizada: r+jx.

Otro aspecto del diagrama es que en la parte exterior hay varias escalas.

Una escala conocida como “ángulo del coeficiente de reflexión en grados”, a partir de la cual es posible obtener el valor de θ τ.

Un par de escalas son las encargadas de relacionar la longitud de la línea de transmisión en λ’s. El inicio de ambas escalas se ubica en el lado izquierdo. Una de ellas corre en sentido horario y se le denomina “wavelengths toward generator” (longitud de onda hacia el generador), lo que indica que si se utiliza esta escala se estará avanzando hacia el generador, hacia la entrada de línea, en unidades de λ. La otra escala corre en sentido anti horario y es

denominada “wavelenghts toward load” (longitudes de onda hacia la carga), esto indica que so se utiliza esta escala, se estará avanzando hacia la carga, hacia el final de la línea, en unidades de λ.

Una escala denominada como “Reflection coeff. Vol” (Coeficiente de reflexión de voltaje). Si se mide la longitud del vector, trazado siempre desde el origen, es posible utilizar esta escala para conocer la magnitud de reflexión del voltaje, G.

Todos los círculos y los arcos dentro del diagrama representan coordenadas para la lectura del calor correspondiente de Z. Todas las impedancias de la carta están normalizadas a Zn, relacionándose a Z,

por medio de: Zn=ZZ0

=Rn+ j Xn, en donde Z0 es la impedancia

característica de la línea de transmisión utilizada para definir Γ. El diámetro horizontal de la carta de Smith reposa también el diámetro horizontal de una familia de circunferencias que representan valores constantes de la resistencia normalizada Rn.

Representación de impedancias normalizadasLa intersección de un circulo r y un circulo x define un punto que representa una impedancia normalizada: R+jX, un cortocircuitoZ=0 se representa en el punto (-1,0) y un circuito abierto Z=8 en el punto (1,0).

La clave para entender la carta de Smith, lo que es de suma importancia para su efectivo y adecuado uso, radica en el hecho que la carta de Smith relaciona de forma gráfica la impedancia de entradaZ¿(Z), algún punto de la línea y el coeficiente del voltaje de reflexión Γ en ese mismo punto. Lo primero que se debe hacer para su análisis es determinar la impedancia de entrada normalizada a la impedancia de línea Z0. Para normalizar se realiza lo siguiente:

Se divide la impedancia de entrada Z¿(Z) o ZL(Z ), por la impedancia característica de la línea de transmisión (Z¿¿0)¿.

La adaptación de impedancias se puede hacer de varias maneras:

Mediante líneas de distinta Impedancia Característica Utilizando un único Stub Utilizando un Doble Stub

Transformador λ4

Para ejemplificar de manera práctica, se usara el siguiente ejemplo:

Una línea de transmisión de 10m de largo, con una impedancia característica de 50Ω, trabajando a una frecuencia, cuya longitud de onda es de 5,882m en la línea, termina en una carga de (50+ j100)Ω. Determinar la impedancia de entradZ¿a

Para obtener el resultado, realizamos lo siguiente:

1. Normalizamos la impedancia ZL:

Z ln=(50+ j100)Ω

50Ω=1+ j 2

2. Con la impedancia normalizada, se representa en la carta de Smith, siguiendo los círculos de resistencia (parte real) y de la reactancia (parte imaginaria). La impedancia esta en la intersección, R=1 y j=2, representado por el punto rojo. Se traza una línea entre estos dos puntos y se prolonga hasta interceptar el borde del círculo principal, representado con el punto azul.

3. Se traza una circunferencia, usando como radio la distancia entre R=1 y j=2, utilizando como centro a R=1.

Los circuitos equivalentes resultantes serán dos, dependiendo de la posición del punto obtenido en la carta de Smith.

Si queda fuera del circulo de la parte real 1, se tiene una susceptancia (− j x2) en paralelo con una reactancia( j x1), la cual a

su vez, esta en serie con la impedancia (Z L)

Si queda dentro del circulo de la parte real 1, se tiene una reactancia ( j x2) en paralelo con una suceptancia (− j x1), la cual a

su vez está en paralelo con una impedancia (ZL)

4. Se procede a expresar la distancia en longitudes de onda:

d= 10m5,882m

=1,70 λ. Luego, desde el punto azul, se recorre la

distancia en λ’s obtenidos (1,70 λ), en sentido del generador o en sentido horario, obteniendo el punto amarillo.

a. Es importante tener en cuenta que una vuelta completa es de 0,5 λ, por lo que es necesario realizar 3 vueltas y 0,2 λ adicionales.

5. Realizamos una línea desde el centro de la circunferencia ZNL, hasta el círculo ¿0, lo que da el valor de −xj, el punto amarillo, y el valor real se toma de la intersección de la línea y la circunferencia trazada, este arco tiene un valor real, el punto verde. Y así obtenemos la impedancia de entrada Z¿=0,29− j 0,82.

6. El valor de la impedancia de entrada es la impedancia de entrada normalizada multiplicada por la impedancia característica (Z¿=Z¿∗Z0= (0,29− j0,82 )∗50

De esta manera, Z¿=(14,5− j 41)

Para la explicación de cómo es posible encontrar el coeficiente de reflexión, con la impedancia normalizada suministrada, se ejemplifica a continuación:

Dada una carga de valor Z ln=2,4− j 0,6, encontrar el coefiente de reflexión:

1. Se localiza el punto de impedancia dada en la carta de Smith, siguiendo los círculos de resistencia (parte real) y de reactancia (parte imaginaria) constantes. La impedancia está en la intersección de la línea R=2,4 y j=-0,6, punto rojo.

2. Se traza una recta del punto de origen al punto de intersección o impedancia.

a. La distancia del origen al punto de intersección = modulo escalado de Γ, la flecha roja. Para ver el valor verdadero se debe llevar esa distancia sobre la escala inferior de la carta, o bien, hacer una regla de tres.

b. Se prolonga la recta hasta la escala de ángulos, donde se obtendrá el ángulo de Γ, que sería el punto azul.

De esta manera, obtenemos Γ=0,44 y un ángulo de =-14°