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Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015

109

Capítulo 6

CARGAS CRÍTICAS DE PLACAS 1 INTRODUCCIÓN

Las primeras determinaciones de cargas críticas de láminas planas se deben a G. Gryan y se remontan a fines de siglo XIX.

Para poder estudiar el fenómeno de pandeo es necesario: a) Retener los términos no lineales del tensor de deformaciones ijγ . b) Plantear las ecuaciones de equilibrio en la geometría deformada.

Las ecuaciones que resultan son no lineales y de difícil solución, pero se pueden linealizar y convertir en un problema de valores propios.

2 ECUACIONES BÁSICAS 2.1 Relaciones cinemáticas

En la Figura 1 se repiten las Figuras 1 y 2 del Capítulo 4 referido a Teoría de Placas. La Figura 1-a muestra la ubicación de los ejes coordenados asociados a la placa y en la Figura 1-b se indican los desplazamientos de un punto genérico P* de la placa. Los ejes x1 y x2 están contenidos en el plano medio y el eje x3 apunta hacia abajo como se indica en la Figura 1-a. Los momentos flectores positivos comprimen la parte superior de la placa.

a) Ubicación de los ejes coordenados b) Desplazamiento de un punto genérico P*

Figura 1: Geometría y cinemática de una placa

Se mantiene la hipótesis de Kirchhoff formulada para el caso lineal en el Capítulo 4. Los giros ( βi) y las curvaturas ( χij ) se definen igual que en las ecuaciones (6) y (11) del capítulo 4:

3 1, 2 (por definición)ii

u ix

β∂

= − =∂

(1)

2 2 2

3 3 311 22 122 2

1 2 1 2

u u ux x x x

χ χ χ∂ ∂ ∂

= − = − = −∂ ∂ ∂ ∂

(2)

El desplazamiento iu∗ de un punto genérico de la placa P*, está referido al desplazamiento del punto correspondiente iu sobre el plano medio, según (8) del Capítulo 4:

3 31 1 3 2 2 3 3 3

1 2

; ;u uu u x u u x u ux x

∗ ∗ ∗∂ ∂= − = − =

∂ ∂ (3)

Se consideran pequeños desplazamientos membranales 1∗u y 2

∗u pero se admiten valores intermedios para el desplazamiento transversal 3

∗u . La ecuación (4) del Capítulo 4 se modifica:

31 21 1 10uu uh h h

∗∗ ∗< < < (4)

El valor 10 es tentativo indicando que 3u∗ puede no ser muy pequeño.


110

El tensor no lineal de Lagrange ijγ definido en la ecuación (77) del Capítulo 1, es:

* ** *

* 12

ji m mij

j i i j

uu u ux x x x

γ ∂∂ ∂ ∂

= + + ∂ ∂ ∂ ∂ (5)

Considerando (4) resulta necesario retener sólo uno de los términos cuadráticos, el corres-pondiente a 3u∗ :

3 3** * *

* 12

jiij

j i i j

uu u ux x x x

γ ∂∂ ∂ ∂

= + + ∂ ∂ ∂ ∂ (6)

Reemplazando (3) en (6) y considerando (1) se obtienen las componentes del tensor no lineal *γi j

:

11 11 3 11 22 22 3 22 12 12 3 12* * *x x x= + = + = +γ γ χ γ γ χ γ γ χ (7)

2 21 2 1 211 1 22 2 12 1 2

1 2 2 1

1 1 12 2 2

u u u ux x x x

γ β γ β γ β β ∂ ∂ ∂ ∂

= + = + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ (8)

Notar que todas las variables del segundo miembro están referidas a puntos del plano medio y dependen únicamente de 1u y 2u .

2.2 Ecuaciones de equilibrio Se definen los esfuerzos resultantes N11, N12, N22, M11, M12, M22, N13 y N23 igual que en la teoría

lineal pero orientados según la geometría deformada. El equilibrio se plantea en la geometría deformada, según se muestra en la Figura 2:

Figura 2: Esfuerzos resultantes actuando en la geometría deformada

Notar que los esfuerzos resultantes N11, N12, N22, M11, M12, y M22 están contenidos en el plano deformado 1x 2x ; mientras que N13 y N23 son perpendiculares a 1x y 2x .

Los esfuerzos incrementados se denotan con un superíndice “+” . Los esfuerzos ijN + y ijM + están contenidos en el plano 1 2x x+ + ; mientras que 13N + y 23N + son perpendiculares a 1 2x x+ + . A modo de ejemplo en la ecuación (9) se muestra la forma explícita de 11N + . Los restantes esfuerzos incre-mentados se definen en forma similar.

1111 11 1

1

NN N dxx

∂= +

∂+ (9)

Se pueden definir dos versores ( 1 2,ν ν

) asociados al plano deformado: ( )1 1 1cos , 0, senν β β=

y ( )2 2 20, cos , senν β β=

, y con ellos calcular la dirección perpendicular 3ν

:

( )3 1 2 1 2 1 2 1 2cos , cos , cos cossen senν ν ν β β β β β β= = − −

x (10)


111

Similarmente se puede definir la dirección perpendicular al plano deformado incrementado:

1 1 2 21 1 1 2 2 2 1 2 3 1 2

1 2 1 2

dx dx dx dxx x x x∂ ∂ ∂ ∂

= + + → = + + → =∂ ∂ ∂ ∂

ν ν ν νν ν ν ν ν ν ν+ + ++ + x (11)

El equilibrio se debe plantear según los ejes indeformados, pero recordando que los esfuerzos resultantes tienen la dirección de los ejes deformados. Por ejemplo, para proyectar N13 sobre x1 hacemos ( )3 113N eν ⋅

donde 1e

es el versor según x1, vale decir ( )1 1, 0, 0e =

. Las rotaciones 1β y 2β se suponen pequeñas, por lo que:

sen cos 1 1, 2i i i iβ β β= = = (12)

Para plantear el equilibrio según x1 se observa el sistema desde x2, según la Figura 3:

Figura 3: Equilibrio de fuerzas según x1

13 2311 211 2 2 1 1 2 2 1 1

1 2 1 2

0N NN Ndx dx dx dx dx dx dx dxx x x x

∂ ∂∂ ∂+ + + = ∂ ∂ ∂ ∂

β (13)

Siendo las rotaciones iβ pequeñas, el tercer término se puede despreciar y se llega a (15).

Planteando equilibrio según el eje x2 se procede de manera similar y se obtiene (17).

Tomando momentos respecto a los ejes x1 y x2 ( teniendo en cuenta (12) y después de despreciar los términos donde figuran las pequeñas rotaciones ), se obtienen las mismas ecuaciones del caso lineal, llegando a (16) y (18).

La suma de fuerzas según x3 resulta más compleja, en ella aparecen las fuerzas membranales N11, N12 y N22 que tienen una componente según x3. Teniendo en cuenta (12), omitiendo los infinitésimos de orden superior y simplificando se llega a:

11 12 12 22 11 2 11

1 2 1 2 1

13 232 1 212 12 22 3

1 2 2 1 2

N N N N Nx x x x x

N NN N N px x x x x

ββ β

β β β

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + − − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂− − − + + = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(14)

Las cantidades entre paréntesis se anulan según (15) y (17), obteniéndose (19). Resumiendo, se presentan las cinco ecuaciones diferenciales de equilibrio:

11 12

1 2

0N Nx x

∂ ∂+ =

∂ ∂ (15) 11 12

131 2

0M M Nx x

∂ ∂+ − =

∂ ∂ (16)

12 22

1 2

0N Nx x

∂ ∂+ =

∂ ∂ (17) 12 22

231 2

0M M Nx x

∂ ∂+ − =

∂ ∂ (18)

13 231 2 1 211 12 22 3

1 1 2 2 1 2

0N NN N N px x x x x xβ β β β ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

− + + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (19)

Notar que las cuatro primeras ecuaciones son iguales que el caso lineal. La única diferencia ocurre en la última ecuación donde los términos dentro del corchete contienen la contribución de las fuerzas membranales debidas a las curvaturas del estado deformado.


112

2.3 Ecuaciones constitutivas Las ecuaciones constitutivas son las mismas ecuaciones del caso lineal donde se reemplaza el

tensor lineal ijε por el tensor no lineal ijγ , ver (26) y (31) del Capítulo 4:

( ) ( ) ( )11 11 22 22 22 11 12 121N C N C N Cγ ν γ γ ν γ ν γ= + = + = − (20)

( ) ( ) ( )11 11 22 22 22 11 12 121M D M D M Dχ ν χ χ ν χ ν χ= + = + = − − (21)

donde:

3

2 21 12 (1 )E h E hC D= =− −ν ν

(22)

3 MÉTODO DE LA RIGIDEZ Repitiendo el razonamiento del caso lineal, ecuaciones (37) a (40) del Capítulo 4, y definiendo

el bilaplaciano de u3 como:

4 4 4

4 3 3 33 4 2 2 4

1 1 2 2

2u u uu

x x x x∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂ ∂

(23)

se pueden eliminar las ecuaciones (16) y (18), reduciendo el número de ecuaciones de equilibrio a tres:

11 12

1 2

0N Nx x

∂ ∂+ =

∂ ∂ (24)

12 22

1 2

0N Nx x

∂ ∂+ =

∂ ∂ (25)

[ ]43 11 11 12 12 22 22 32 0D u N N N p− ∇ − + + + =χ χ χ (26)

Comparando (26) con (40) del caso lineal estudiado en el Capítulo 4, se observa la aparición de los términos dentro del corchete; mientras que (24) y (25) son iguales a (18) y (19) del Capítulo 4 (caso lineal ).

No obstante, si se considera las ecuaciones constitutivas (20) y el tensor no lineal ijγ según (8), se obtiene una versión diferente de las ecuaciones (34), (35) y (40) del Capítulo 4:

2 2

3 3 3 31 2 1 2

1 1 1 2 2 2 2 1 1 2

1 12 2

1 02

u u u uu u u ux x x x x x x x x x

νν ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ − ∂ + + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(27)-a

2 23 3 3 31 2 2 1

1 2 1 1 2 2 2 2 1

1 12 2

1 02

u u u uu u u ux x x x x x x x x x

ν ν ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂− ∂ ∂ + + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(27)-b

2 224 3 3 31 2

3 21 1 1 2 2

2 22 23 3 3 3 3 31 2 2 1

21 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1

1 12 2

1 12 2

u u uu uD u Cx x x x x

u u u u u uu u u uC Cx x x x x x x x x x x

ν

ν

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∇ − + + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − + + − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

3 0p − =

(27)-c

Resultan tres ecuaciones diferenciales acopladas en las incógnitas 1u , 2u y 3u , donde hay términos lineales, cuadráticos y cúbicos, y derivadas hasta de cuarto orden.


113

3.1 Trayectorias de equilibrio no lineales Las ecuaciones (27), permiten determinar las configuraciones de equilibrio tanto lineales

como no-lineales, dentro del rango de deformaciones intermedias. La solución numérica de esas ecuaciones para el caso típico de una placa en compresión pone en evidencia una trayectoria primaria ( lineal) y otra secundaria ( no lineal), como se indica en la Figura 4.

Figura 4: Bifurcación del equilibrio en una placa ideal comprimida – Trayectorias lineales y no lineales

La Figura 4-b muestra el desplazamiento de un punto del borde cargado (punto b). Hasta el valor de la carga crítica de pandeo Pcrít solo hay una configuración de equilibrio, la lineal asociada a la ley de Hooke. Para cargas mayores existe una posición de equilibrio inestable que corresponde a la trayectoria lineal ( línea de trazos) y una configuración de equilibrio estable, no lineal (línea llena).

En la Figura 4-c se muestra el desplazamiento transversal del punto central de la placa (punto c ). También aquí se observa una trayectoria estable en línea llena y una inestable en línea de trazos. La simetría muestra que la placa “ideal” puede pandear en cualquier sentido de 3u .

El objeto de la próxima sección es linealizar las ecuaciones (27), a fin de poder determinar la carga crítica que corresponde al punto de bifurcación del equilibrio.

3.2 Linealización de las ecuaciones de equilibrio La carga crítica de pandeo se caracteriza porque en su vecindad hay más de un estado posible

de equilibrio. Para determinar la carga crítica, utilizaremos el criterio del equilibrio adyacente. Para ello, escribimos los desplazamientos como:

1, 2,3i i iu u u i= + =0 1 (28)

donde: 0iu corresponde a un estado de equilibrio antes del incremento o perturbación, y está sobre

la trayectoria principal, que es lineal. iu1 es una perturbación infinitamente pequeña. iu representa un posible estado de equilibrio adyacente, cuya existencia se investiga.

Reemplazando (28) en (27), teniendo en cuenta que por ser 0iu un estado de equilibrio, la suma

de todos los términos que contienen 0iu debe dar cero; y despreciando los términos cuadráticos y

cúbicos en 1iu por ser infinitamente pequeños se tiene:

1 2 1 2

1 1 2 2 2 1

12

0u u u ux x x x x x

νν ∂ ∂ ∂ ∂∂ − ∂

+ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 1 1 1 (29)-a

1 2 2 1

1 2 1 2 2 1

1

20u u u u

x x x x x xν

ν∂ ∂ ∂ ∂− ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 1 1 1

(29)-b

22 2

4 0 0 03 33 11 12 222 2

1 1 2 2

32 0uu uD u N N N

x x x x ∂∂ ∂

∇ − + + = ∂ ∂ ∂ ∂

111 1

(29)-c

donde: 01 2 2 1 1 211 22 12

1 2 2 1 2 1

12

u u u u u uN C N C N C

x x x x x xν

ν ν∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂−

= + = + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

00 0 0 0 0 0

(30)

Las dos primeras ecuaciones en (29) dependen sólo de 1u1 y 2u1 , mientras que la tercera depende sólo de 3

1u y resulta por lo tanto desacoplada. Los esfuerzos membranales (30) corresponden a la teoría lineal porque iu0 es una posición de equilibrio sobre la trayectoria lineal, estable o no. La ecuación (29)-c es una ecuación diferencial lineal en 3

1u con coeficientes variables.


114

4 CARGAS CRÍTICAS PARA PLACAS RECTANGULARES La ecuación (29)-c resulta bastante simple en el caso de una placa rectangular con carga

uniforme en los bordes y puede ser resuelta en forma analítica. En casos complejos se debe recurrir a soluciones numéricas.

4.1 Carga compresiva uniforme en una sola dirección

4.1.1 Cuatro bordes simplemente apoyados En la Figura 5 se muestra una placa rectangular con carga compresiva uniforme sobre el borde b.

Figura 5: Placa rectangular con carga compresiva uniforme y bordes simplemente apoyados

El estado de equilibrio lineal antes de la perturbación es conocido:

11 22 120 0PN N Nb

= − = =0 0 0 (31)

Entonces (29)-c se reduce a:

2

4 33 2

1

0uPD ub x

∂∇ + =

∂

11 (32)

Las condiciones de borde implican desplazamiento nulo y curvatura nula en los cuatro bordes:

2

31 1 3 2

1

en 0 y en 0 y 0ux x a ux

∂= = → = =

∂

11 (33)

2

32 2 3 2

2

en 0 y en 0 0ux x b u yx

∂= = → = =

∂

11 (34)

Una solución de la forma

1 23 sen senmn

x xu A m na b

=

1 π π (35)

donde Amn es una constante que satisface la ecuación diferencial (32) y las condiciones de borde (33) y (34). Además, m y n son enteros (número de semiondas) .

Sustituyendo (35) en (32) se llega a:

4 2 2 4 2

2 0mnm m n n P mA Da a b b b aπ π π π π + + − =

(36)

Vemos que (36) se satisface sólo con ciertos valores discretos de la carga P:

22 2 2a m nP b D

m a bπ = +

(37)

Para cualquier otro valor de la carga que no verifica (37) debe ser Amn = 0 según (36) y corresponde a una solución trivial 3 0u =1 . En tal caso no existe equilibrio adyacente y la carga P no corresponde a un punto de bifurcación del equilibrio.

Interesa conocer la menor carga P provista por (37), para m y n enteros. Observando (37) vemos


115

que eso ocurre para el menor valor posible de n, es decir n = 1. Entonces (37) se puede reescribir:

2DP Kb

=π

(38)-a donde

2m a bK

a b m

= +

(38)-b

(38)

El coeficiente adimensional K depende del número de semiondas m y de la relación de forma a b . Para un valor dado de a b se debe elegir m de modo de obtener el menor valor propio posible, esto es Pcrit. En la Figura 6-a se graficó el modo de pandeo para una placa de dimensiones 2a b = .

a) Modo de pandeo de una placa donde a/b = 2 b) Variación del coeficiente K en función de a/b

Figura 6: Pandeo de una placa rectangular con los cuatro bordes simplemente apoyados

Según se observa en la Figura 6-b, el modo de pandeo más bajo corresponde a una semionda en el sentido x2 y a un número m de semiondas en el sentido x1. El valor de m resulta aproximada-mente igual al entero más próximo al valor a b . Un aspecto importante es que si la relación a b crece, la carga crítica se mantiene casi invariable (notar que K ≈ 4), aquí hay una gran diferencia con el caso de una columna cuya carga crítica disminuye cuando el largo de columna crece. Esa diferencia se debe a que la placa está apoyada en los lados de largo “a”.

4.1.2 Otras condiciones de borde En todos los casos la carga crítica se puede formular con una expresión del tipo (38):

2

crítDP K

bπ

= donde: 3

212 1( )E hD

ν=

− siendo h el espesor de la placa (39).

La tensión crítica de pandeo es: ( )22

212 1critE hK

bπσ

ν

= −

(40)

El coeficiente de pandeo K para carga compresiva y distintas condiciones de borde, se puede obtener de los gráficos de las Figuras 7, 8, 9, 10 y 11. En todos los casos se observa que la carga crítica es mayor si los lados cargados están empotrados en lugar de simplemente apoyados, pero esa diferencia tiene a desaparecer cuando ‘a’ es mucho mayor que ‘b’ y en ese caso el valor de K tiende a un valor asintótico K∞ indicado en las figuras.

Figura 7: Gráfico de los coeficientes de pandeo K para bordes no cargados apoyado-apoyado


116

Figura 8: Coeficientes de pandeo K para bordes no cargados empotrado-empotrado

Figura 9: Coeficientes de pandeo K para bordes no cargados empotrado-apoyado

Figura 10: Coeficientes de pandeo K para bordes no cargados empotrado-libre

Figura 11: Coeficientes de pandeo K para bordes no cargados apoyado-libre


117

4.2 Cargas en dos direcciones En el caso de una placa rectangular con carga en dos direcciones como se indica en la Figura 12,

se conocen los esfuerzos membranales sobre la trayectoria de equilibrio lineal (antes de la perturbación):

111

222

12 0

PNb

PNa

N

= −

= −

=

0

0

0

(41)

Figura 12: Placa rectangular con carga compresiva en dos direcciones

Es importante remarcar que la carga P1 actúa en el lado de largo ‘b’ mientras que la carga P2 actúa en el lado de largo ‘a’. Definiendo la relación de tensiones R:

22 22 2 2

11 11 1 1

//

N P a P bN P b P a

σσ

= = = =R (42)

y reemplazando (41) en la ecuación diferencial (29)-c, y considerando la relación (42) se obtiene:

2 2

4 3 313 2 2

1 2

0u uPD ub x x

∂ ∂∇ + + = ∂ ∂

1 11 R (43)

Se usa la siguiente convención de signos: Las cargas de compresión son positivas mientras que las cargas de tracción son negativas. Notar que la formulación permite que una de las cargas ( P1 ó P2 ) sea de tracción, en tal caso R resulta negativo y el efecto de la carga de tracción es estabilizante.

4.2.1 Cuatro bordes simplemente apoyados Las condiciones de borde están dadas por (33) y (34). Proponiendo una solución de la forma

de la ecuación (35) y reemplazando en la ecuación diferencial (43) se observa que existe solución distinta a la trivial 3 0u ≠1 , solo para ciertos valores discretos de la carga P1. Estos autovalores corresponden a puntos de bifurcación del equilibrio y se pueden escribir como:

2

1critDP K

bπ

=(44)-a

donde: ( )( )

22 2

2 2

m b a nK

m b a n

+ =+ R (44)-b

(44)

Los valores de m y n se deben elegir por tanteos, de modo de lograr el menor valor posible de P1, que es la carga crítica de pandeo. Recordar que m y n son enteros, m es el número de semiondas según x1 y n es el número de semiondas según x2.

Notar que una vez calculado P1crit se puede determinar P2crit de manera inmediata:

2 1crit critaP Pb

= R (45)

Una relación útil se obtiene reemplazando (42) en (44)-b considerando P1crit y P2crit y luego llevando el valor de K así obtenido a la ecuación (44)-a:

22 22 2

21 2crit crit

mb n b mb DP P na a a b

π + = +

(46)

Esta expresión muestra una relación lineal entre las cargas críticas P1crit y P2crit para cada par de valores de m y n, que son la cantidad de semiondas de la forma de pandeo considerada.

Para obtener una curva de interacción, se puede considerar para cada valor de P1crít, el menor valor de P2crít provisto por todas las rectas posibles al variar m y n. De esa manera la curva de interacción que se obtiene es una poligonal.


118

4.3 Carga de corte uniforme En el caso de una placa rectangular con carga de corte uniforme como se indica en la Figura 13, se

conocen los esfuerzos membranales sobre la trayectoria de equilibrio lineal (antes de la perturbación):

11

22

12

0

0

dato

N

N

N

=

=

=

0

0

0

(47)

Figura 13: Placa rectangular con carga de corte uniforme

Reemplazando (47) en (29)-c se tiene:

2

4 33 12

1 2

2 0uD u Nx x∂

∇ − =∂ ∂

11 0 (48)

que es una ecuación diferencial a coeficientes constantes de muy difícil solución porque hay derivadas de orden par y también de orden impar. Una solución del tipo (35) no satisface esta ecuación diferencial.

Sólo se conoce la solución exacta, provista por Southwell, para el caso a b →∞ :

2

212 critDN K

bπ

= (49)

donde: K = 5,35 para bordes largos apoyados. K = 8,98 para bordes largos empotrados.

Cuando la placa tiene dimensiones finitas, la solución se puede obtener en forma numérica. Dividiendo los resultados numéricos de N12crít por (π2D /b2 ) se obtienen los valores de K que se han graficado en la Figura 14; eso permite seguir utilizando la ecuación (49).

El coeficiente K puede ser aproximado por expresiones simples:

( )( )

2

2

5,35 4 / ...........para cuatro bordes apoyados 1

8,98 5,6 / ........para cuatro bordes empotradosa b

a b Ka b

+> → = +

(50)

Figura 14: Coeficiente K para placa rectangular con carga uniforme de corte


119

5 PANDEO DE PLACAS REALES Los resultados obtenidos en las secciones anteriores suponen placas ideales perfectas bajo carga

centrada. Las placas reales son imperfectas y los resultados experimentales muestran diferencias con las predicciones teóricas.

5.1 Incidencia de las imperfecciones

Los diagramas carga – desplazamiento de la Figura 4 correspondientes a una placa “ideal” se modifican en el caso de una placa “real”, por la presencia de imperfecciones, según se muestra en la Figura 15, donde en línea de trazos se ha graficado la trayectoria de equilibrio de la placa real.

Desplazamiento membranal en el borde Desplazamiento transversal del centro de la placa

Figura 15: Diagramas carga – desplazamiento para placas en compresión

De la Figura 15 se pueden extraer dos conclusiones muy importantes:

1. El pandeo de placas reales es tan gradual que resulta difícil decidir cuál es el valor de la carga crítica de pandeo.

2. Tanto la placa real como la ideal pueden soportar carga adicional después del pandeo.

• La primera conclusión permite afirmar que el concepto de carga crítica de una placa real es una noción algo imprecisa.

• La segunda conclusión permite afirmar que la carga crítica de una placa no representa la resistencia última, como ocurre en el caso de una columna.

5.2 Comentarios finales El hecho de que las placas con más de dos bordes apoyados pueden soportar cargas adicionales,

después del pandeo, fue descubierto hacia fines de la década de 1920 en conexión con el estudio de estructuras aeronáuticas.

En 1929, Wagner estableció un criterio para calcular la resistencia en el periodo poscrítico de una placa rectangular solicitada por corte en su plano. Dicho criterio se conoce como “campo de tensión diagonal” .

Otro aspecto importante en el período poscrítico es el efecto estabilizante de los bordes; esto se traduce en un criterio de diseño que se conoce como “ancho de colaboración”.

También se debe destacar que el pandeo en el campo plástico es poco común, en el caso de placas. Recordar que en el caso de columnas es frecuente diseñar para pandeo en el campo plástico.

Finalmente, se debe considerar la posibilidad de pandeo de placas que son parte de una sección compuesta por paredes delgadas, ya sea una sección cerrada o abierta, cuando soportan cargas de compresión o corte. Este fenómeno se conoce con el nombre de “pandeo local” y se estudia en el Capítulo 8.

Placa ideal ( perfecta )

Placa real ( imperfecta )


120

ANEXOS DEL CAPÍTULO 6 Anexo 1 – PLACA ORTÓTROPA

En las secciones anteriores se consideraron solamente placas isótropas. Para analizar placas ortótropas se deben modificar únicamente las ecuaciones constitutivas. Ejemplos de placas ortótropas son las láminas corrugadas, los materiales compuestos (fibra de vidrio, fibra de carbono, etc.) y las placas reforzadas con rigidizadores próximos entre sí. En la Figura 16 se muestra una placa reforzada con rigidizadores ubicados simétricamente respecto al plano medio.

Figura 16: Placas reforzadas con rigidizadores

Se deben reemplazar las ecuaciones constitutivas vistas anteriormente por otras más generales de la forma

11 11 11 12 22 11 44 11 45 22

22 12 11 22 22 22 45 11 55 22

12 33 12 12 66 12

N C C M C C

N C C M C C

N C M C

γ γ χ χ

γ γ χ χ

γ χ

= + = +

= + = +

= =

(51)

Empleando (51) se llega a expresiones del tipo (24), (25), (26) y (27) donde u3 está desacoplado de u1 y u2. Estas ecuaciones se pueden linealizar, llegando a un problema de autovalores. Como la ecuación diferencial contiene sólo derivadas de orden par, respecto a cada una de las variables x1 y x2, en el caso de cuatro bordes simplemente apoyados, la solución es del tipo (35) y se obtienen los siguientes autovalores:

( )2 2 2 2

244 55 45 662 3 2

1 2b aP C m C C Ca b m bπ π π

= + + +

(52)

La carga P dada en (52) puede ser minimizado por tanteos para obtener la carga crítica Pcrít , haciendo sucesivamente m = 1, m = 2, m = 3, etc. Recordar que m es un entero igual al número de semiondas en el sentido de la carga de compresión.

Los valores de las constantes de elasticidad se obtienen adicionando a la rigidez propia de la placa, la rigidez a flexión y torsión de los rigidizadores:

( )1 2 1 244 55 66 45

1 2 1 2

1 12

R REI EI GJ GJC D C D C D C Dd d d d

ν ν

= + = + = − + + =

(53)

donde D: rigidez flexional I1: momento de inercia de los refuerzos en la dirección x1 d1: espacio entre refuerzos en la dirección x1 (de centro a centro ) JR1: módulo torsional de los refuerzos en la dirección x1 (del tipo ⅓ l t3 )

Se propone al lector explicitar las constantes (53) para el caso de una chapa plegada, según la dirección de la carga, de acuerdo con la Figura 17.

Figura 17: Placa de chapa plegada solicitada en compresión


121

Anexo 2 – PLACA SÁNDWICH Una placa sándwich consiste en dos placas delgadas a ambos lados de un núcleo liviano (ver

Figura 18). Las placas son resistentes (de acero, aluminio, etc.) y el núcleo actúa sólo como espaciador (de corcho, madera, espuma de nylon, etc.), pero está solicitado a corte. Notación: se usa el subíndice ‘p’ para las placas y ‘n’ para el núcleo.

Figura 18: Placa sándwich solicitada en compresión

En este caso, las deformaciones de corte no pueden ser ignoradas y la hipótesis de Kirchhoff no se puede aplicar. Las curvaturas son causadas por los momentos M11, M12 y M22, y también las fuerzas de corte N11 y N23. Las ecuaciones (1) y (2) se deben modificar:

2

33 3 3 31 , 1, 22

ji ii ij

i c i j c j i

Nu N u N i jx R x x R x x

∂∂ ∂ ∂= − + = − + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

β χ (54)

donde: Rc es la rigidez al corte, del tipo AcG, que se puede medir experimentalmente o calcular en forma aproximada a partir de las propiedades del núcleo como:

56c n nR h G= (55)

Con estas modificaciones, las ecuaciones cinemáticas (7) y (8) mantienen validez; lo mismo ocurre con las ecuaciones de equilibrio (15) a (19). Mientras que las ecuaciones constitutivas para los momentos (21), se modifican según (54).

Las ecuaciones se pueden linealizar y desacoplar como (29)-c, llegando a:

2 2 2

4 2 0 0 03 3 33 11 12 222 2

1 1 2 2

1 2 0c

u u uDD u N N NR x x x x

∂ ∂ ∂∇ − − ∇ + + = ∂ ∂ ∂ ∂

1 1 11 (56)

Para el caso de la Figura 18:

11 22 120 0PN N Nb

= − = =0 0 0 (57)

Resulta:

2

4 2 33 2

1

1 0c

uD PD uR b x

∂∇ − − ∇ = ∂

11 (58)

Para el caso de cuatro bordes simplemente apoyados, las condiciones de borde son las (33) y (34), y como las derivadas de (58) son de orden par en cada una de las variables x1 y x2, se obtiene una solución del tipo (35), arribándose a un problema de autovalores, cuya solución se puede escribir en la forma habitual:

2

critDP K

bπ

=(59)-a

donde: ( )

( )

21

21 1K

r

φ φ

φ

−+=

+ + (59)-b (59)

D , r y φ se definen en (60). El número de ondas m es un entero que se debe encontrar por tanteos de modo de minimizar P, para obtener carga crítica Pcrit:

( )22

212 p p n p

c

D mbD E h h h rb R aπ φ= + = = (60)


122

PRÁCTICO Pandeo de Placas −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Nota: Todos los datos se dan en [cm] y [kg ]

1 La placa rectangular del croquis tiene 0,1 cm de espesor.

Material: acero E = 2100000 kg/cm2 ν = 0,3

a) Determinar la carga crítica considerando 4 bordes apoyados.

b) Acotar la carga crítica suponiendo que los bordes están apoyados elásticamente en un situación intermedia entre apoyados y empotrados.

c) En que porcentaje disminuye la carga crítica calculada en a) si el borde superior no cargado está libre.

2 Determinar la carga crítica de la placa rectangular de aluminio que tiene los 4 bordes simplemente apoyados en los tres casos (a, b y c ) especificadas en la figura.

Material: Aluminio E = 770000 kg/cm2 ν = 0,34 espesor h = 0,12 cm

3 La placa del croquis de 64 x 32 cm tiene refuerzos cada 8 cm en la dirección más larga. Los refuerzos tienen 0,2 cm de ancho y 0,8 cm de alto. La placa tiene un espesor h = 0,08 cm.

Material: aluminio E = 750000 kg/cm2 ν = 0,35

a) Calcular la carga compresiva crítica.

b) Determinar la carga crítica de una placa sin refuerzos que utilice la misma cantidad de material (de espesor mayor y sin refuerzos).

c) Calcular el porcentaje de incremento de la capacidad portante debida a los refuerzos.

4 Una placa tipo sándwich está simplemente apoyada en los cuatro bordes.

Las placas son de aluminio:

E = 750000 kg/cm2 ν = 0,35

El módulo de rigidez transversal del núcleo es:

Gn = 768 kg/cm2

a) Determinar la carga crítica de pandeo para el estado de carga indicado en el croquis (según x1 ).

b) Determinar la carga crítica cuando la carga actúa en la dirección del eje x2 .


123

SOLUCIÓN del PRÁCTICO Pandeo de Placas Nota: Todos los resultados se dan en [cm] y [kg]

1 Determinación y comparación de la carga crítica de una placa para tres condiciones de apoyo. a) Carga crítica considerando bordes simplemente apoyados

Ec. (39) → 3 2 3 2/ [12 (1 )] 2100000 (0,1) / [12 (1 0,3 )] 192,3D Eh= − = − =ν x x 2 2/ 192,3/60 31,63D bπ π= =x a/b = 45/60 = 0,75 según Figura 6-b m = 1 Ec. (38)-b → 2(1 / 0,75 0,75 /1) 4,34K = + =

Ec. (38)-a → 2 / 4,34 31,63 137,3crítP K D bπ= = =x 137crítP kg=

b) Cotas para la carga crítica para bordes apoyados elásticamente

Figura 8 → 14 14 31,63 442,8crítK P≈ → = =x ........................ 137 < 443crítkg P kg<

c) Disminución porcentual de la carga crítica al considerar un borde libre

Figura 11 → 2,3K = → 2,3 31,63 73crítP = =x → 137 73 100 46,7.... Disminución = 47 %137−

=x

2 Cálculo de la carga crítica de tres placas con igual espesor y material pero distinta geometría y cargas.

Ec. (39) → 3 2 3 2/[12 (1 )] 770000 (0,12) / [12 (1 0,34 ) ] 125,4D E h= − = − =ν x x

a) 60 0,7580

ba= = Ec. (42) → 2

1

0,6 60 0,4580

P b PRP a P

= = =x

x

Ec. (44)-b → 22 2

2 2

(0,75 )(0,75 ) 0,45

m nK

m n

+ =+

→

n = 1 n = 2 m = 1 2,41 8,81

m = 2 3,91 9,64

Ec. (44)-a → 2 2/ 2,41 125,4 /60 49,7crítP K D b= = =π πx x ................................ 50crítP kg=

b) 60 230

ba= = Ec. (42) → 2

1

3 60 630

P b PRP a P

= = =x

x

Ec. (44)-b → 2 2 2

2 2

(4 )4 6

m nKm n

+= →

+

n = 1 n = 2 n = 3 m = 1 2,50 2,29 2,91

m = 2 13,1 10,0 8,93

Hay dos semiondas en el sentido más largo

Ec. (44)-a → 2 2/ 2,29 125,4 / 60 47,2crítP K D bπ π= = =x x .................................. 47crítP kg=

c) Ec. (42) → 2

1

0,6 20 0,1580

P b PRP a P

= = =x

x

20 0,2580

ba= =

Ec. (44)-b → 2 2 2

2 2

[(0,25 ) ](0,25 ) 0,15

m nKm n

+=

+ →

n = 1 n = 2 m = 1 5,31 24,9 m = 2 3,91 21,2 m = 3 3,43 17,9 m = 4 3,48 15,6

Hay tres semiondas en el sentido más largo

Ec. (44)-a → 2 2/ 3,43 125,4 / 20 212,2crítP K D b= = =π πx x ............................... 212crítP kg=


124

3 Cálculo de la carga crítica de una placa con refuerzos. Según (99) del capítulo 1

/[2 (1 )] 750000 /[2 (1 0,35)] 277778G E= + = + =ν x

Ec. (39) → 3 2750000 (0,08) / [12 (1 0,35 )] 36,47D = − =x x

a) Carga crítica de la placa ortótropa 3 3

1 2/12 0,2 (0,8) /12 0,008533... 0I b h I= = = =x .. 3 31 20,8 (0,2) / 3 0,002133..... 0R RJ hb J= = = =x⅓

Ec. (53) → 44 1 1

55 2 2

45 66 1 11 12 2

/ 36,47 750000 0,008533/8 836,5/ 36,47 0 36,47

(1 ) ( / ) 36,47 (277778 0,002133/8) 73,5R

C D EI dC D EI d

C C D D GJ dν ν

= + = + = = + = + =

+ = + − + = + =

x

x

Ec. (52) → 2 264,5 45 / 45,34P m m= + +x → m → 1 2 3 P → 154,8 514,6 630,8

Mínimo para m = 1 → 155crítP kg=

b) Carga crítica considerando una placa de igual peso Área de la sección transversal 32 0,08 4 [0,2 (0,8 0,08)] 3,136A = + − =x x x

Espesor de la placa: 3,136 / 32 0,098h = = → 3 2750000 (0,098) / [12 (1 0,35 )] 67,04D = − =x x

/ 64/32 2a b = = Ec. (38)-b → 2( / 2 2 / )K m m= + → m → 1 2 3 4 K → 6,25 4,00 4,69 6,25

Ec. (38)-a → 2 2/ 4 67 / 32 82,7crítP K D bπ π= = =x x ......Mínimo para m = 2........ 83crítP kg=

c) Incremento porcentual de la capacidad portante debido a los refuerzos

Incremento porcentual [ ](155 83) / 83 100 86,7= − =x ........................ Incremento = 87 %

4 Determinación de la carga crítica de una placa tipo sándwich con bordes simplemente apoyados.

a) Carga crítica considerando carga según el eje x1

Ec. (55) → (5/6) 0,833 0,5 768 320c n nR h G= = =x x

Ec. (60) → ( ) ( )2 212 0,5 750000 0,05 0,5 0,05 5672p p n pD E h h h= + = + =x x x

Ec. (60) → 2 2 2 2/( ) 5672 / (162 320) 0,006666cr D b Rπ π= = =x x

Ec. (60) → / 1,8mb a m= =φ Ec. (59)-b → 2

2

(1,8 1 /1,8 )1 0,00667[1 (1,8 ) ]

m mKm

+=

+ + →

m → 1 2 K → 5,4 13,7

Ec.(59)-a → 2 2/ 5,4 5672 /162 1866crítP K D bπ π= = =x x ........................................... 1866crítP kg=

b) Carga crítica considerando carga según el eje x2

Ec. (55) → 320cR = Ec. (60) → 5672D = [igual que en la parte a)]

Ec. (60) → 2 2 2 2/ ( ) 5672 / (90 320) 0,0216cr D b Rπ π= = =x x Ec. (60) → / / 1,8mb a mφ = = Ec. (59)-b → { }2 2( /1,8 1,8 / ) 1 0,0216 [1 ( /1,8) ]/K m m m= + + +x

Tanteo: → m → 1 2 3 Hay dos semiondas en el sentido más largo K → 5,4 3,86 4,75

Ec. (59)-a → 2 2/ 3,86 5672 / 90 2401crítP K D bπ π= = =x x ...................................... 2400crítP kg=

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