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CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -1-

Capítulo 4

Método de las Fuerzas

4.1- Introducción

Los procedimientos de Análisis Estructural pueden clasificarse en dos grandes métodos

esencialmente diferentes:

a) Método de las Fuerzas

b) Método de Rigidez (o de los Desplazamientos) También existen métodos mixtos en los que las incógnitas son simultáneamente fuerzas y

desplazamientos, pero no serán tratados en este curso.

En muchos casos de aplicación corriente, el Método de las Fuerzas conduce a un sistema

de ecuaciones con un número menor de incógnitas que el de Rigidez y por eso en el pasado se lo

prefería para cálculos manuales. En la actualidad, la mayoría de los programas de computadora

se basan en el Método de Rigidez por ser más sistemático y, por ende, más fácil de programar.

El Análisis Estructural basado en el Método de Rigidez se estudia detalladamente más

adelante en el desarrollo del curso.

Sistemas hiperestáticos

En los cursos de Estática se tratan problemas que involucran estructuras isostáticas, en los

cuales las fuerzas incógnitas se pueden obtener a partir de ecuaciones de equilibrio estático.

El Capítulo 3 se dedicó al cálculo de desplazamientos en sistemas isostáticos a través del

Principio de Trabajos Virtuales. En este caso, la secuencia usada consiste en calcular primero las


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fuerzas y luego los desplazamientos a partir de los diagramas de solicitaciones (M, Mt, Q y N).

En este capítulo se estudia el análisis de sistemas hiperestáticos por el Método de las Fuerzas.

Una estructura resulta hiperestática desde el punto de vista de las reacciones externas

cuando posee más apoyos que los estrictamente necesarios para garantizar las condiciones de

equilibrio. Tal es el caso de las siguientes vigas continuas.

Figura 4.1

Un reticulado con más barras que las estrictamente necesarias para hacerlo indeformable

representa un ejemplo de estructura internamente hiperestática, tal como las ilustradas en la

Figura 4.2.

Figura 4.2

Los dos casos antes presentados pueden combinarse para producir estructuras que resultan

simultáneamente interna y externamente hiperestáticas.

Figura 4.3


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Las siguientes son estructuras inestables, en el sentido que sus vínculos internos y/o

externos son insuficientes para garantizar las condiciones de equilibrio para cualquier sistema de

cargas exteriores.

Figura 4.4

4.2-Método de las Fuerzas

Los fundamentos del Método de las Fuerzas se presentan utilizando como ejemplo el

reticulado hiperestático de la Figura 4.5.

Figura 4.5

Fuerzas incógnitas: 18 fuerzas en barras + 4 reacciones de apoyo = 22

Ecuaciones de equilibrio: 2 ecuaciones por cada uno de los 10 nudos = 20

Por lo tanto, faltan dos ecuaciones para resolver este sistema hiperestático de 2° grado.

Se introduce un “corte” que desconecta el apoyo central del resto de la estructura y se

colocan dos fuerzas 1X (incógnitas) iguales y opuestas, actuando una sobre el apoyo y otra sobre

el reticulado. Si 1X tiene el valor de la reacción de apoyo y el sentido correcto no se producirá

ningún desplazamiento relativo entre la estructura y el apoyo.

Similarmente, se “corta” una de las diagonales del segundo tramo y en su reemplazo se

colocan dos fuerzas 2X (incógnitas) iguales y opuestas actuando sobre las caras del corte. Si el

iP


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valor 2X coincide con el valor de la fuerza en la barra cortada no se producirá desplazamiento

relativo entre las caras del corte.

Figura 4.6

A la estructura isostática resultante (con la barra y el apoyo cortados) se la designará

“estructura isostática fundamental”. Esta estructura con las cargas iP , 1X y 2X se comporta

exactamente igual que el sistema real, y por lo tanto se la denomina “sistema equivalente”. De

esta forma, en lugar de resolver el problema hiperestático real se analiza el sistema isostático

equivalente con las cargas iP , 1X y 2X .

Utilizando el principio de superposición, válido para problemas lineales, se descompone

el sistema equivalente en tres estados de carga:

Figura 4.7

Estos tres estados de carga actuando sobre una estructura isostática pueden analizarse a

través de consideraciones puramente estáticas, tal como se ha hecho en los capítulos anteriores.

Nótese que la barra cortada sólo tiene esfuerzo en el tercer estado.

Dado que las fuerzas 1X y 2X son inicialmente desconocidas, se considera al sistema

equivalente como una superposición, por un lado, del estado que contiene sólo las cargas

iP 1X1X

2X2X

iP1X

2X2X

1X


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exteriores (estado “0”) y, por otro lado, de dos estados con cargas unitarias (estados “1” y “2”

según la Figura 4.8) cuyos esfuerzos deben “escalarse” precisamente por 1X y 2X .

1 2Sistema Equivalente = Estado "0" + X .Estado "1" + X .Estado "2"

Figura 4.8

De esta forma, las deformaciones, reacciones y solicitaciones del sistema

equivalente se obtienen a través de una combinación lineal de las deformaciones,

reacciones y solicitaciones de los estados “0”, “1” y “2”. Debe reconocerse que existe total libertad para la elección de la estructura isostática

fundamental, siendo sólo necesario que sea isostática y estable. Como ilustración de posibles

alternativas, se podría haber elegido alguna de las siguientes:

Figura 4.9

Asimismo debe tenerse presente que si se efectuaran los dos cortes en forma totalmente

arbitraria, la estructura podría resultar inestable, lo cual es inadmisible.

iP1X1X

2X

2XiP

1.X 2 .X


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Supóngase que se han calculado de alguna manera los desplazamientos relativos en los

cortes en los tres estados, por ejemplo, a través del Principio de Trabajos Virtuales.

Figura 4.10

10 : desplazamiento relativo en el apoyo central causado por las fuerzas externas.

20 : desplazamiento relativo entre las caras del corte causado por las fuerzas externas.

11 : desplazamiento relativo en el apoyo central causado exclusivamente por la acción de

las cargas unitarias verticales.

En general:

:ij desplazamiento relativo en el corte “i” causado por las fuerzas unitarias actuando en

el corte “j”.

El primer índice se refiere al corte donde se mide el desplazamiento y el segundo se

refiere al estado de carga que lo produce. Como se demuestra más adelante, los desplazamientos

relativos ij resultan siempre positivos cuando “i = j”. Si las fuerzas unitarias colocadas en un

corte tienden a acercar las caras donde se introdujo el corte, entonces se consideran positivos los

desplazamientos relativos que tienden a acercar dichas caras, y negativos los que las alejan.

Ecuaciones de compatibilidad

Resulta importante observar que se pueden resolver cada uno de los tres estados, en

cuanto al cálculo de las solicitaciones, reacciones y desplazamientos, con los procedimientos

normales de la estática por tratarse de un sistema isostático, y una vez determinadas las

incógnitas hiperestáticas (fuerzas o momentos), el sistema hiperestático se calcula por simple

superposición de los estados básicos mencionados.

10

20

iP

2111

22

12


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Las incógnitas deben resultar tales que aseguren que la combinación lineal de los tres

estados isostáticos reproduzca exactamente al sistema hiperestático. Por ejemplo:

1 2. ."0" "1" "2"

Un desplazamiento Desplazamiento Desplazamiento DesplazamientoX X

en el hiperestático en el estado en el estado en el estado

Una condición que debe garantizarse es que el nudo sobre el apoyo cortado no se desplace

respecto a dicho apoyo en la dirección vertical, es decir que:

10 11 1 12 2. . 0X X (Ec. 4.1)

Otra condición es que las caras del corte de la barra diagonal en la estructura hiperestática

(donde no está cortada) no tengan desplazamientos relativos:

20 21 1 22 2. . 0X X (Ec. 4.2)

Las ecuaciones (Ec. 4.1) y (Ec. 4.2) establecen que los desplazamientos relativos en los

cortes del sistema equivalente isostático son compatibles con lo que ocurre en la estructura real

hiperestática, por lo que se conocen como “ecuaciones de compatibilidad”.

Estas ecuaciones pueden expresarse en forma matricial de la siguiente manera:

1011 12 1

2021 22 2

0.

0XX

(Ec. 4.3)

0. 0F X (Ec. 4.4)

donde “ F ” recibe el nombre de matriz de flexibilidad. Los coeficientes ij son

desplazamientos relativos producidos por fuerzas unitarias: en general, son dimensionalmente

una longitud dividida por una fuerza. Debe reconocerse que la matriz de flexibilidad no es única

para una cierta estructura hiperestática, dado que depende de la selección de las incógnitas

hiperestáticas. La matriz “ F ” se asocia entonces a la elección de las incógnitas hiperestáticas y,

en definitiva, a los “cortes” que se efectúan para obtener el sistema isostático equivalente.

El procedimiento general que se utiliza en el curso para el cálculo de los elementos de la

matriz de flexibilidad ij y los términos independientes 0i consiste en la aplicación del

Principio de Trabajos Virtuales visto en el capítulo anterior.

El cálculo de todos los coeficientes no es necesario dado que el teorema de reciprocidad,

que ya ha sido demostrado, indica que el desplazamiento relativo en el corte “i” producido por

cargas unitarias en el corte “j” es igual al desplazamiento relativo en el corte “j” producido por

cargas unitarias en el corte “i”, y por lo tanto la matriz de flexibilidad F es siempre simétrica.


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De esta forma: ij ji

Además, puede comprobarse analizando las expresiones de trabajos virtuales que todos

los elementos de la diagonal principal de F son “positivos”.

De una manera formal, puede decirse que las 2 ecuaciones de compatibilidad sumadas a

las 20 ecuaciones de equilibrio de fuerzas (dos ecuaciones de proyección por cada nudo)

permiten el cálculo de las 22 incógnitas.

Forma práctica de operar con el Método de las Fuerzas: 1) Se obtiene una estructura isostática fundamental efectuando los cortes necesarios de

acuerdo al grado de hiperestaticidad (esta estructura fundamental debe resultar estable).

2) Se resuelven los estados auxiliares (determinando las solicitaciones).

3) Se calculan los coeficientes de la matriz de flexibilidad ij junto con los términos

independientes 0i por trabajos virtuales, utilizando los diagramas de las solicitaciones y

aprovechando la condición de simetría.

4) Se resuelven las ecuaciones de compatibilidad (Ec. 4.4) y luego se obtiene la

“solución” como combinación lineal de los estados isostáticos auxiliares ya resueltos.

1 2. ."0" "1" "2"

Solución Problema Solución Solución SoluciónX X

hiperestático estado estado estado

La solución puede expresarse como un vector que contiene las reacciones de apoyo, las

solicitaciones y los desplazamientos. La aplicación del Método de la Fuerzas requiere el cálculo

en primera instancia de "fuerzas", mientras que los desplazamientos se calculan a posteriori en

los puntos específicos de interés. Naturalmente, la superposición lineal también resulta válida

para los desplazamientos asociados a los distintos estados básicos considerados.

4.3- Efectos térmicos y defectos constructivos

La aplicación del Método de las Fuerzas para efectos térmicos y defectos de fabricación o

montaje se ilustra analizando el mismo reticulado de 18 barras de la Figura 4.5:


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Figura 4.11

Los esfuerzos en las barras para los tres estados se designan 0 1 2, ,N N N , respectivamente.

Los desplazamientos relativos se calculan por trabajos virtuales, siendo los siguientes los que

constituyen el término independiente del sistema de ecuaciones de compatibilidad: 18

010 1

1

./k k

NNAE l

; 18

020 2

1

./k k

NNAE l

(Ec. 4.5)

Los elementos de la matriz de flexibilidad se obtienen como:

111 1. / k

NNAE l

; 212 21 1. / k

NNAE l

; 222 2.

/ k

NNAE l

(Ec. 4.6)

Supóngase que interesa determinar los efectos que se producen en la estructura por

variaciones térmicas t respecto a la temperatura de montaje. El cambio de temperatura sólo

modifica el estado “0”; vale decir, un nuevo estado de carga no modifica la matriz de flexibilidad

ya desarrollada en el apartado anterior.

10 11

. . .n

kk

N t l

; 20 21

. . .n

kk

N t l

(Ec. 4.7)

La sumatoria para calcular 10 se extiende rigurosamente a todas las barras, y en esta

sumatoria, algunos términos pueden resultar nulos en correspondencia con las barras en las que

los esfuerzos 1N son nulos o no tienen cambio de temperatura.

Si se consideran errores dimensionales de montaje "e" en cada una de las barras, los

términos independientes resultan:

iP


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10 11

.n

kk

N e

; 20 21

.n

kk

N e

(Ec. 4.8)

Los signos deben garantizar consistencia: la barra cuya longitud en el estado "0" es mayor

que la longitud teórica posee signo positivo de “e”.

0Barra traccionada N positivoAumento de temperatura t positivoBarra "larga" "e" positivo

Las variaciones térmicas y los errores constructivos constituyen estados de carga

que no requieren cambiar la matriz de flexibilidad. Una vez calculados los términos de

carga 0i , las incógnitas hiperestáticas se calculan en la forma habitual resolviendo las

ecuaciones de compatibilidad, y la solución completa se obtiene por superposición.

4.4- Método de las Fuerzas en sistemas de alma llena

En las secciones anteriores se presentó el Método de las Fuerzas a través de un reticulado,

pero los conceptos generales pueden fácilmente extenderse al caso de sistemas de alma llena

(elementos resistentes en flexión).

Por ejemplo, considérese el caso de la viga continua de tres tramos de la Figura 4.12, que

resulta hiperestática de segundo grado.

Figura 4.12

El grado de hiperestaticidad constituye un aspecto esencial en el Método de las Fuerzas

dado que determina la cantidad de incógnitas involucradas en la solución.

El número de incógnitas hiperestáticas coincide con el grado de hiperestaticidad, y por lo

tanto determina el tamaño del sistema de ecuaciones (de compatibilidad) a resolver y el número

de coeficientes de flexibilidad involucrados.

Se puede adoptar como estructura isostática fundamental alguna de las variantes indicadas

en la siguiente figura:

iP


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Figura 4.13

Adoptándose como isostática fundamental una viga Gerber, como en los casos e) y f) de

la Figura 4.13, se están eligiendo como incógnitas hiperestáticas a los momentos flectores en los

puntos donde se colocan las articulaciones.

En el caso )g las ecuaciones de compatibilidad deben expresar que el punto B (sobre el

apoyo) tiene desplazamiento vertical nulo y que el giro relativo entre los extremos que concurren

a la articulación B es nulo.

El caso )h resulta tal vez el menos intuitivo. Se eligen como incógnitas hiperestáticas a la

reacción de apoyo C y al esfuerzo de corte en la sección donde se colocan las bielas paralelas.

Debe reconocerse que la Figura 4.13 no agota todas las posibilidades. En las secciones

siguientes se verá que el caso )e resulta el más adecuado para analizar vigas continuas.

Otro caso hiperestático típico lo constituyen los marcos cerrados como el mostrado en la

Figura 4.14. Las solicitaciones no pueden determinarse sólo por consideraciones de equilibrio,

por lo que se adopta como estructura isostática fundamental el marco al cual se le practica un

corte en el punto C.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -12-

Figura 4.14

Figura 4.15

Esta manera de generar el sistema isostático fundamental implica elegir como incógnitas

hiperestáticas a las solicitaciones (corte, normal, flector) en el punto C. El sistema isostático

equivalente puede descomponerse en una combinación lineal de estados unitarios.

Figura 4.16

A los efectos de asegurar que el sistema isostático resulta equivalente al hiperestático

debe garantizarse simultáneamente que:

1) El desplazamiento vertical relativo entre C' y C'' sea nulo

2) El desplazamiento horizontal relativo entre C' y C'' sea nulo.

3) El giro relativo entre las secciones extremas C' y C'' sea nulo.

iP iP

1.X

2.X 3.X

iP

iP


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -13-

Este conjunto de tres condiciones de continuidad de la elástica constituyen las ecuaciones

de compatibilidad que permiten determinar el valor de las incógnitas hiperestáticas.

10 1 11 2 12 3 13

20 1 21 2 22 3 23

30 1 31 2 32 3 33

. . . 0

. . . 0

. . . 0

X X XX X XX X X

(Ec. 4.9)

donde, por ejemplo, 30 es el giro relativo entre las secciones C' y C'' causado por las

cargas datos del problema (estado "0") que se calcula usando el principio de trabajos virtuales:

0 0 030 3 3 3. . . . . .

. . .c

M Q NM dx Q dx N dxE I A G A E

(Ec. 4.10)

Los subíndices en las solicitaciones indican el estado de carga que los define, y la integral

se supone extendida a todos los tramos del marco.

De la misma manera, 12 es el desplazamiento horizontal relativo entre los extremos C' y

C'' causado por el estado de carga "2" que se calcula usando trabajos virtuales:

2 2 212 1 1 1. . . . . .

. . .c

M Q NM dx Q dx N dxE I A G A E

(Ec. 4.11)

Recuérdese que intervienen las solicitaciones del sistema auxiliar y las distorsiones

, , del estado en el cual se requiere el cálculo del desplazamiento.

La resolución analítica de las integrales en las expresiones (Ec. 4.10) y (Ec. 4.11) para el

cálculo de los valores ij requiere expresar las solicitaciones analíticamente en función de x.

También puede utilizarse diagramas y tablas que proveen el valor explícito de la integral

por tramos para casos habituales. Por ejemplo, el caso “triángulo-trapecio” produce:

Figura 4.17

1 21 26

si k k

1( ) xM x is

2 1 2 1( ) xM x k k ks

1k 2kx

s

1k2k

is

s


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -14-

2 121 11 2 1 2 12

0 0 2 3

s s i k k sik ik sx x ii k k k dx x k k x dxs s s s

(Ec. 4.12)

Estas tablas permiten, con cierta práctica, obtener los valores ij que habitualmente se

presentan en la mayoría de los casos. No obstante, debe evitarse trabajar en forma excesivamente

“mecánica” y descuidar cuestiones tales como la elección correcta del tipo de diagrama, o los

signos de los términos cuyo producto se está integrando.

Una vez determinado el valor de las incógnitas hiperestáticas, las solicitaciones se

obtienen por superposición de los estados isostáticos ya conocidos.

0 1 1 2 2 3 3

0 1 1 2 2 3 3

0 1 1 2 2 3 3

( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )

M x M x X M x X M x X M xQ x Q x X Q x X Q x X Q xN x N x X N x X N x X N x

(Ec. 4.13)

Debe tenerse presente que existen otras alternativas para la elección de la estructura

isostática fundamental, por ejemplo:

Figura 4.18

En el caso )a se ha elegido como incógnita hiperestática el momento flector en tres

puntos. Notar que el caso )c no es válido por resultar inestable. En el caso de la viga Vierendell

de la Figura 4.19.a, se obtiene una estructura isostática efectuando un "corte" en cada cuadro.

Figura 4.19

is

21

0

1s MM dxEI EI

s

1k 2k 1 2

1 1 26

si k kEI


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -15-

Nótese que al efectuar un corte en cualquier sección de la Figura 4.19.b quedan definidas

dos partes perfectamente separadas, y por lo tanto se pueden establecer las solicitaciones en

cualquier sección.

Este tipo de viga puede darse en muchas estructuras mecánicas, tales como la carrocería

de vagones de pasajeros, pero su tratamiento por el Método de las Fuerzas resulta desalentador

debido al elevado número de incógnitas. Para el caso de la Figura 4.19, se tienen 5 cortes y por

lo tanto 15 incógnitas hiperestáticas.

El Método de las Fuerzas utilizando cálculos manuales resulta totalmente inadecuado en

casos como el anterior con un elevado grado de hiperestaticidad. En la segunda parte del curso se

verá la formulación de procedimientos (y programas) de cálculos computacionales muy eficaces,

que son independientes del grado de hiperestaticidad y están basados en el Método de Rigidez.

Un caso similar al anterior se presenta cuando se quiere tratar un reticulado con nudos

rígidos (no articulados) como el de la Figura 4.20.a.

Figura 4.20

En un caso como éste correspondería efectuar tantos cortes como triángulos tenga el

reticulado. Aún en este caso tan simple, el número de incógnitas hiperestáticas es excesivamente

elevado (3 incógnitas por cada uno de los cinco cortes total 15 incógnitas). Esto se plantea

sólo a los efectos de ilustrar las limitaciones prácticas del Método de las Fuerzas, ya que su

aplicación al caso de la Figura 4.20 no resulta práctico y es poco conducente.

A esta altura se torna obvia la razón por la que se consideran los nudos perfectamente

articulados. Cuando las cargas están aplicadas en los nudos, el reticulado ideal produce buenos

resultados a pesar de tratarse de una simplificación del caso real, considerando que resulta

impracticable analizar un reticulado a nudos rígidos por el Método de las Fuerzas. Para el caso

de la Figura 4.20 se pasa de un problema isostático a un problema hiperestático de grado 15.

Para el mismo reticulado, pero analizado por el Método de Rigidez, se pasa de un

problema de dos incógnitas de desplazamiento por nudo en el caso del reticulado ideal, a tres

incógnitas por nudo en el caso de nudos rígidos, ya que se agrega el giro de cada nudo como


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -16-

nueva incógnita. Esto se analiza en detalle al estudiar el Método de Rigidez en la segunda parte

del curso.

El procedimiento completo desarrollado en las secciones anteriores para reticulados es

válido para el análisis de sistemas de alma llena tanto en la determinación de las incógnitas

hiperestáticas como en el cálculo de desplazamientos. Sólo es necesario considerar en el cálculo

de los desplazamientos las deformaciones por efecto axial, corte, flexión y torsión.

En tramos donde hay flexión o torsión, la contribución del corte generalmente puede

despreciarse. En el caso de variaciones térmicas a lo largo de un tramo de barra deben tenerse en

cuenta las deformaciones térmicas.

4.5- Desplazamientos prefijados En el caso de una estructura isostática, el movimiento de un apoyo implica sólo un

cambio en la geometría sin que se produzcan esfuerzos asociados a dicha condición.

Figura 4.21

En el caso general de estructuras isostáticas o hiperestáticas, al prefijar un desplazamiento

en un punto que no sea un apoyo, se está introduciendo un grado adicional de hiperestaticidad.

Resulta importante notar entonces que un desplazamiento prefijado en un punto implica

que en ese punto, de alguna manera, se aplica una fuerza incógnita capaz de asegurar dicho valor

del desplazamiento. Por lo tanto:

Un desplazamiento prefijado equivale estructuralmente a agregar un apoyo

El desplazamiento prefijado de un punto representa una restricción al desplazamiento

de dicho punto, y por lo tanto constituye para la estructura un apoyo, que debe considerarse

actuando en la posición final de este desplazamiento. La imposición de un desplazamiento

prefijado en un punto que originalmente no era un apoyo implica, más que la consideración de

un estado particular de carga, una "modificación" de la estructura.

st

it. s it t

h

. mt


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -17-

Una forma conveniente de calcular los esfuerzos que producen los desplazamientos

prefijados consiste en definir las ecuaciones de compatibilidad con la siguiente forma genérica:

01

N

i j ij ij

X

donde N representa al número de incógnitas hiperestáticas. El término independiente Δi

sólo resulta no-nulo cuando se elige como incógnita hiperestática Xi a la reacción de un apoyo

sometido a un desplazamiento prefijado. Por otra parte, el término δi0, para un estado de carga

que sólo involucre desplazamientos prefijados, resulta igual al desplazamiento en la dirección de

la incógnita hiperestática Xi producido por el movimiento de "cuerpo rígido" de los apoyos de la

estructura isostática fundamental.

Considérese el ejemplo de la Figura 4.22, donde el extremo C tiene un desplazamiento

prefijado Δ hacia arriba.

Figura 4.22

La estructura adquiere un grado de hiperestaticidad 1 (uno). Eligiendo como incógnita

hiperestática la reacción en C, la única ecuación de compatibilidad adquiere la siguiente forma:

1 11X

donde δ10 = 0 dado que los apoyos de la estructura isostática fundamental no se mueven,

mientras que Δ1 = Δ. En el sistema isostático equivalente (Figura 4.23), el "corte" no se aprecia

por la acción restitutiva de la fuerza 1X aplicada sobre la viga que garantiza el desplazamiento

impuesto sobre la estructura. En el Estado "0", la estructura permanece recta mientras que el

apoyo C pasa a la posición C'. El sentido asignado a la fuerza unitaria en el Estado "1" es tal que

la fuerza aplicada en la viga tiende a subir el extremo C hacia C'. El valor de 11 siempre resulta

positivo (recuérdese que todos los elementos de la diagonal de la matriz de flexibilidad son

positivos). El signo de Δ surge de comparar el sentido del desplazamiento del apoyo en el Estado

"0" con el sentido de la fuerza unitaria aplicada sobre la viga en el Estado "1" (en este caso

resulta positivo).

l l


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -18-

Figura 4.23

Alternativamente, la estructura isostática equivalente puede definirse eligiendo como

incógnita hiperestática a la reacción del apoyo B. En este caso, Δ1 resulta nulo (el apoyo B no se

mueve) mientras que el término δ10 adquiere un valor igual al desplazamiento de cuerpo rígido

de la estructura isostática, en la sección del apoyo B y en la dirección de su reacción, producido

por el desplazamiento prescripto Δ:

10 1 11 0X

Figura 4.24

El signo de δ10 surge de comparar el sentido del desplazamiento de la viga sobre el apoyo

B con el sentido de la fuerza unitaria aplicada sobre la viga en el Estado "1" (en este caso resulta

negativo).

En las siguientes secciones se demuestra que una elección conveniente de la estructura

isostática fundamental en vigas continuas consiste en introducir articulaciones sobre los apoyos.

En el caso de la Figura 4.24, esto equivale a articular la viga sobre el apoyo B, y de esta forma

los coeficientes Δi resultan siempre nulos, mientras los coeficientes δi0 se calculan como giros

relativos de cuerpo rígido de las barras que concurren a las articulaciones introducidas.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -19-

4.6- Método de Tres Momentos

Este método constituye un caso particular del Método de las Fuerzas, especialmente útil

para estructuras de desarrollo unidimensional tales como vigas continuas.

Cuando se enfrenta por primera vez la solución de una viga continua por el Método de las

Fuerzas, el analista tiende intuitivamente a asociar la hiperestaticidad al exceso de apoyos, por lo

que elige como estructura isostática fundamental a una viga simplemente apoyada suprimiendo

los apoyos redundantes y considerando a las reacciones como las incógnitas hiperestáticas.

11 12 1 1 1 10

21 22 2 2 2 20

1 2 0

1 2 0

00

.0

0

j n

j n

i i ij in i i

n n nj nn n n

XX

X

X

Figura 4.25

donde:

. ..

iij j

M M dxE I

:ij Es el desplazamiento en el nudo "i" debido a una carga unitaria actuando en "j".


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -20-

La ecuación de compatibilidad "i" establece que el desplazamiento del punto sobre el

apoyo suprimido "i" es nulo.

Figura 4.26

En general, se verifica que 0ij , y por lo tanto la matriz de flexibilidad resulta

"llena”, es decir que es necesario calcular la totalidad de los coeficientes. La resolución de las ecuaciones de compatibilidad del Método de las Fuerzas para vigas

continuas se simplifica notoriamente eligiendo como la estructura isostática fundamental al

conjunto de vigas simplemente apoyadas obtenidas introduciendo articulaciones sobre los

apoyos. De esta forma, se obtiene una secuencia repetitiva que facilita el cálculo de coeficientes

de la matriz de flexibilidad, ya que es posible deducir una forma general de los mismos no

requiriendo resolver explícitamente las integrales involucradas en su formulación.

Eligiendo como incógnitas hiperestáticas a los momentos flectores sobre los apoyos, las

ecuaciones de compatibilidad establecen que el "giro relativo" entre los extremos de las barras

que concurren a la articulación introducida es nulo (para mantener la continuidad de la elástica).

ij


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -21-

Figura 4.27

Observando los dos últimos diagramas de momentos iM y jM puede apreciarse que:

0ij si y solo si 1

1

ij i

i

Si "j" es distinto de (i1), (i), (i1); luego ij resulta nulo (de aquí surge la designación

"Tres Momentos"). En consecuencia, la matriz de flexibilidad posee como máximo 3

coeficientes no nulos por cada fila, lo que produce una matriz de tipo “bandeada” con

importantes ventajas numéricas en la resolución de las ecuaciones de compatibilidad.

Figura 4.28

Los únicos elementos no nulos se encuentran sobre la diagonal principal y sus dos

diagonales contiguas. La matriz de flexibilidad F resulta una matriz tridiagonal. A continuación se demuestra que los tres coeficientes no nulos de cada fila de la matriz de

flexibilidad pueden calcularse fácilmente a través de una "expresión genérica" para cada uno de

ellos.

0M

iM

jM

( 1)i i ii ( 1)i i


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -22-

Figura 4.29 (invertir diagramas)

:ii giro relativo entre los extremos de las barras que concurren a la articulación "i"

causado por los momentos unitarios colocados en dichos extremos de barra.

:ij giro relativo entre los extremos de las barras que concurren a la articulación "i"

causado por los momentos unitarios colocados en los extremos de las barras que concurren a la

articulación "j". 2 2

0 0

1 1. . . 1 .. .

i dl l

iii i d d

x xdx dxE I l E I l

3. . 3. .

i dii

i d

l lE I E I

,( 1)0

1 . 1 . ..

dl

i id d d

x x dxE I l l

,( 1) 6. .

di i

d

lE I

,( 1)0

1 . . 1 ..

il

i ii i i

x x dxE I l l

,( 1) 6. .

ii i

i

lE I

Los coeficientes de flexibilidad no necesitan deducirse en cada caso particular, y

sólo se requiere utilizar estas expresiones genéricas para armar la matriz de

flexibilidad indicada en la Figura 4.28. Los términos independientes se obtienen integrando a lo largo de toda la viga.

00

0 0 0

. . ( ) ( ).

i dl ll

i i i dM M dxE I

iM sólo es distinto de cero en dos tramos, de modo que la integral se reduce a estos

dos tramos. Los valores i y d son giros de los extremos de dos vigas simplemente apoyadas

que se encuentran tabulados para los casos habituales. La utilidad de las tablas se amplía cuando

un estado complejo de carga se descompone como combinación de estados más simples.

iM

il

1iM

1iM

dl

i

xMl

1

d

xMl

1i

xMl

d

xMl


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -23-

4.7- Ventajas del Método de Tres Momentos

Resulta importante remarcar que este método es una forma particular del Método de las

Fuerzas, donde las ecuaciones de compatibilidad se plantean de una manera sistemática eligiendo

como incógnitas hiperestáticas iM a los momentos flectores sobre los apoyos. La ecuación de

compatibilidad para el giro en el apoyo "i" resulta:

0

1 1. . . 06. . 3. . 3. . 6. .

i

i i d di i i i d

i i d d

l l l lM M ME I E I E I E I

Figura 4.30

Las ventajas de este procedimiento respecto a otras alternativas de elegir las incógnitas

propias del Método de las Fuerzas se enuncian a continuación.

1- No hace falta deducir los coeficientes de la matriz de flexibilidad en cada caso. La

forma explícita de dichos coeficientes se conoce para tramos de momento de inercia constante.

2- La matriz de flexibilidad tiene un ancho de banda igual a 3 y puede triangularizarse en

pocos pasos, por lo que se facilita la resolución del sistema de ecuaciones de compatibilidad.

3- Los términos independientes se calculan fácilmente combinando el diagrama debido a

un momento unitario en el extremo de la viga con el diagrama de momento flector de una viga

simplemente apoyada. Esto se realiza sólo para 2 tramos adyacentes a cada nudo con incógnita, o

bien los giros i y d se obtienen de tablas.

La matriz de flexibilidad es independiente del estado de cargas que se analice.

Por lo tanto, para solicitaciones externas consistentes en efectos térmicos o

desplazamientos prefijados de los apoyos, la matriz de flexibilidad es la misma que

para cualquier otro tipo de estado de cargas conocidas. Sólo resulta necesario tener en

cuenta su incidencia en el cálculo de los términos independientes 0i .

1iM

il

iM1iM

dl


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -24-

4.8- Efectos térmicos y desplazamientos prefijados

Se considera un efecto térmico t que representa un descenso de temperatura en la

fibra superior del tramo il , que se superpone con las cargas exteriores iP y dP .

Figura 4.31

Sólo resulta necesario agregar la curvatura térmica t (asumiendo una variación lineal en

altura de la variación térmica) a la curvatura producida por las cargas exteriores.

00 0

. . . .. .

i d

i d

l l

i t i i ti i di dP P

M MM dx M dxE I E I

Siendo:

0

. .il

ti ti

x dxl

1 . .2ti t il

En el caso de un desplazamiento prefijado Δ debido al descenso del apoyo "i" debe

considerarse su incidencia en ( 1),0i , ,0i y ( 1),0i .

Figura 4.32

Los giros se calculan "geométricamente" como la tangente de la elástica que resulta de la

deformación de cuerpo rígido de la estructura, en correspondencia con los apoyos sobre los

cuales se introdujeron las articulaciones.

Los giros relativos son positivos cuando tienen el sentido elegido como positivo

para la incógnita actuante en ese apoyo.

il

dl

il

iP

dl

dP

( )t


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -25-

( )i ( )d

Figura 4.33

En este caso, los giros producidos por el descenso de apoyo en la estructura isostática de

la Figura 4.32 son contrarios al sentido de giro de los momentos indicados en los nudos que se

adoptan como positivos para el nudo "i", pero del mismo signo para los nudos "i–1" e "i+1". De

esta forma, se tiene:

( 1),0iil ,0i

i dl l

( 1),0idl

En definitiva, mover un apoyo en una cantidad prefijada no implica un cambio

de la estructura, sino simplemente la introducción de un estado de carga adicional que

no afecta a la matriz de flexibilidad.

4.9- Cálculo de reacciones y trazado de diagramas: Repitiendo un esquema similar a las Figura 4.30 y Figura 4.31 se tiene:

Figura 4.34

1 1i i i ii Pi Pd

i i d d

M M M MR R Rl l l l

Los momentos 1iM , iM y 1iM llevarán el signo que resulta de resolver el

sistema de ecuaciones de compatibilidad. El trazado del diagrama de momentos flectores requiere la superposición de los diagramas

0M multiplicados por las incógnitas hiperestáticas iM (con su signo). A veces resulta más

simple desplazar la línea de referencia del diagrama 0M según los valores obtenidos para las

incógnitas. De esta manera resulta una línea de referencia de forma poligonal.

Ejemplo:

il

iP

dl

dP1iM 1iM iM


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -26-

Figura 4.35

El Método de Tres Momentos también puede aplicarse a estructuras en forma de

poligonal no ramificada cuyos nudos están restringidos de desplazarse. Por ejemplo:

Figura 4.36

Ejercicio Nº 1:

Determinar el esfuerzo en todas las barras del reticulado del croquis. Material: acero


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -27-

Barra

Nº A

[cm²]

l [cm]

.A El

0N 1N 2N 21

.NA El

2

2

.NA El

1 2..

N NA E

l

0 1..

N NA E

l

0 2..

N NA E

l

fN

1 3 375 16800 166,7 0 0 --- --- --- --- --- 166,7

2 4 300 28000 -133,3 0 0 --- --- --- --- --- -133,3

3 4 225 37333 -100 0 -0,6 --- 9,64e-06 --- --- 1,60e-03 -118,5

4 3 300 21000 133,3 0 -0,8 --- 30,47e-06 --- --- -5,08e-03 108,6

5 3 300 21000 -266,7 1,33 -0,8 8,47e-05 10,47e-06 -5,02e-05 -1,69e-02 10,15e-03 -88,2

6 3 375 16800 166,7 -1,67 1 16,53e-05 59,52e-06 -9,92e-05 -1,65e-02 9,92e-03 -56,4

7 3 375 16800 0 0 1 --- 59,52e-06 --- --- --- 30,9

8 3 225 28000 0 0 -0,6 --- 12,86e-06 --- --- --- -18,5

2,50e-04

11

2,025e-04

22

-1,50e-04

12

-3,34e-02

10

1,66e-02

20

Ecuaciones de compatibilidad:

22 3 4A A cm

21 4 5 6 7 8 3A A A A A A cm


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -28-

1

2

2,5 1,5 334,6.

1,5 2,025 166,1XX

1 152,4X

2 30,9X

Los esfuerzos en el hiperestático se obtienen por superposición

0 1 2152, 4 30,9fN N N N

Ejercicio Nº 2:

La fibra inferior del segundo tramo de la viga continua de dos tramos sufre un aumento de

temperatura ΔTI. Asumiendo una variación lineal de temperatura en la altura de la viga, se pide

resolver el problema hiperestático y trazar los diagramas de solicitaciones.

IT


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -29-

Cálculo de 10 :

2

100

.1. . .2

lt

tlx dx

Nótese que el primer tramo gira como cuerpo rígido alrededor de B.

Cálculo de 11 : (despreciando deformación por corte)

2 3

110

1. 2.2. .. 3. .

l x ldxE I E I

La ecuación de compatibilidad establece que el extremo de la viga no debe separarse del

apoyo.

10 11. 0X 10

11

. .3 .4

tE IXl

El estado final se obtiene por superposición:

1Estado Final = Estado "0" + X .Estado "1"

IT

10

11


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -30-

Ejercicio Nº 3:

Calcular los diagramas , ,f tQ M M para el emparrillado plano de sección circular hueca y

forma de triángulo isósceles cargado perpendicularmente en el centro de la base del triángulo.

2.0, 4.

. 0,8. .

J IG EG J E I

Por la simetría respecto al eje “y” se analiza sólo la mitad de la estructura, colocando

sobre el plano de simetría empotramientos deslizantes que restringen el giro alrededor del eje y.

1 .4 t

3 .4 t

t

3 . . .4 tE I

t


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -31-

Se trata de un cuerpo plano con cuatro condiciones de apoyo. Se elige como incógnita

hiperestática el momento flector (momento alrededor del eje y) en el punto de aplicación de la

carga.

2 2 211

1 1 1 88.30. 1 .50. 0,6 .50. 0,8. . . .

Flexión en AC Flexión en AB Torsión en AB

E I E I G J E I

101 1 1 1095..30. 1 . 15. .50. 0,6 . 9. .50. 0,8 . 12.. . . .

Flexión en AC Flexión en AB Torsión en AB

PP P PE I E I G J E I

Se plantea la ecuación de compatibilidad: el giro en C alrededor del eje y es nulo.

10 11. 0X 1095.

.88.

PE IX

E I

12, 44.X P


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -32-

Nótese que la viga AC se encuentra en una situación intermedia entre simplemente

apoyada y biempotrada.

Ejercicio Nº 4:

Resolver el estado de cargas finales en la estructura de la figura y obtener los diagramas

de esfuerzos.

30ºt C 6

4 62

2 62

2 2

130º 11 10 .º

1000 2,1 10

10,0 0,84 10

1,0 0,5c tensor

t CC

KgI cm Ecm

KgA cm Gcm

A cm A cm


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -33-

2 2 2

111 0 0

. . .. . .

i il lni i

i c

N l M Qdx dxA E E I A G

3 3 6 3 511 0,269 10 0, 266 10 4,76 10 0,317 10 5,95 10

Tensores Normal Momento Flector Corte

411 9,1677 10

001

1

. . . ..

n

ii i

N l t l NA E

6 601 6

223,6 447, 2 330 10 447, 2 . 0,790 330 10 282,8 . 10,5 2,1 10

6 2 2 26

200 200 330 10 200 . 0,707 4,1352 10 9,3324 10 4,80 1010 2,1 10

201 9,9981 10

11 01. 0X 01

11

X

109,06X Kg

6. 330 10t


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -34-

Ejercicio Nº 5:

Determinar las reacciones de apoyo en el caso genérico de la viga biempotrada con un

momento concentrado, eligiendo como isostático fundamental al voladizo empotrado en A.

.l

.l .l


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -35-

10 . ..

MlE I

; 20.. . .

. 2M l llE I

; 2

11

1 ..

lE I

; 121 1. ..2 .

l lE I

221 . ... 3

l l lE I

Las ecuaciones de compatibilidad garantizan que el extremo no rota ni se desplaza.

10 1 11 2 12

20 1 21 2 22

. . 0

. . 0X XX X

2

2 3

. . .1.. 2. . .

.. . .. 22. . 3. .

B

B

Ml l M lE IE I E I

M l ll l lR E IE I E I

Resolviendo el sistema resultan los siguientes valores para las incógnitas hiperestáticas

. 3. 1 .BM M 6. . .BMRl

Por superposición de los Estados "0" más BM veces el estado "1" más BR veces el estado

"2", se obtienen las reacciones en A.

. 3. 1 1 .AM M 6. . .BMRl

Recordar el sentido positivo de las fuerzas y momentos

Por ejemplo, sea 0,3 (se invierte el sentido del momento aplicado):

Momentos positivos son antihorarios (+)

Fuerzas positivas hacia arriba


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -36-

Ejercicio Nº 6:

Resolver por el Método de Tres Momentos los casos siguientes:

a)

La incógnita es AM , y se considera como carga exterior al momento en B: .BM P a

10 A (Debido a .BM P a )


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -37-

. . .6. . 6. .Al M l P aE I E I

El momento en B produce en A un giro antihorario que es de signo opuesto al sentido

horario adoptado por la incógnita AM .

La ecuación de compatibilidad es:

. .. 03. . 6. .A

l l P aME I E I

.2A

P aM , es decir que AM resulta positivo.

b) De tablas:

3.24. .Bd

q lE I

3.

24. .Ciq l

E I

2.16. .Cd

P lE I

3

10.

24. .q l

E I

3 2

20. .

24. . 16. .q l P l

E I E I

El sistema de ecuaciones de compatibilidad será:

( )M

.2

P a

3 ..2

P al

3 ..2

P al

.2

P a

3 ..2

P al

3. 1 .2

aPl


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -38-

3

3 2

. 03. . 3. . 6. . 24. ..

. . 06. . 3. . 3. . 24. . 16. .

B

C

l l l q lME I E I E I E I

l l l q l P lME I E I E I E I E I

2. .20 40Bq l P lM

; 2. .

20 10Cq l P lM

Suponiendo: 2. . 0BP q l M

O bien referido a la línea de referencia a horizontal:

.20 40Aq l PR ;

11 21. . .20 40CR q l P

11 3. . .20 20BR q l P ;

1 2. . .20 5DR q l P

Ejercicio Nº 7:

En la viga continua del croquis se pide resolver los siguientes estados de carga usando el

Método de Tres Momentos.

1 1. . .20 10

q l P

1 1. . .2 8

q l P

1 1. . .2 8

q l P

1 3. . .20 5

q l P

1 2. . .20 5

q l P

23 3. . . .40 80

q l P l

2. .5 40

P l q l

BM CM


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -39-

a) Descenso Δ del apoyo “C”.

b) Descenso ΔTI de la temperatura de la fibra inferior del tramo AB.

a) La estructura es hiperestática de primer grado, y se plantea la ecuación de compatibilidad

de giro en el punto B.

11 1 10. 0M

. 03. . 3. . B

l l ME I E I l

2

3 .. .2B

E IMl

Cálculo de reacciones:

3

3. . .2.AE IR

l

; 3

3. . .B

E IRl

; 3

3. . .2.CE IR

l

3

3. . .2.E I

l

3

3. . .2.E I

l

3

3. . .2.E I

l

3

3. . .2.E I

l


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -40-

b)

La flexibilidad es la misma que en el caso a), y sólo cambia 10 .

.. 03. . 3. . 2B

l l lME I E I

3 . . .4BM E I

La incógnita resulta positiva, luego el momento flector es:

Cálculo de las reacciones:

( )M

10


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -41-

Ejercicio Nº 8:

Resolver la viga continua por el Método de Tres Momentos.

4

62

2,00 800

2,1 10 1000

2 12A

l m I cmKg KgE qcm m

cm h cm

La estructura es un sistema hiperestático de segundo grado. Se adopta como incógnitas

hiperestáticas a los momentos flectores sobre los apoyos B y C.

3 . ..4

E Il

3 . ..4

E Il

3 . ..4

E Il

3 . ..4

E Il

t

. tME I


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -42-

0,01ABi l

; 3

3. 1,984 1024. .Bd

q lE I

; 3

3. 1,984 1024. .Ci

q lE I

Las ecuaciones de compatibilidad establecen que no hay giro relativo entre los extremos

de barras que concurren en B y C.

03. . 3. . 6. . .

06. . 3. . 3. .

B Bi Bd

C Ci

l l l ME I E I E I

l l lM

E I E I E I

8 8

8 8

0,0119847,9365 10 1,9841 10.

0,0019841,9841 10 7,9365 10

B

C

M

M

154400BM ; 13600CM

Ad

Bi

Bd Ci

2. 500008

q l

BM CM


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -43-

La máxima tensión por flexión resulta:

2

154400 1158800

6

Kgcm

Ejercicio Nº 9

Calcular las reacciones y trazar los diagramas de esfuerzos de la siguiente viga continua

usando el Método de Tres Momentos y despreciando las deformaciones cortantes.

7 2

4 4

3 10 kN m8 10 m (0.15 0.40)12 kN m10000 kN m2.5 m

EIqkl

Estructura Isostática Equivalente

q

k

X1 X2

q

k

l l

A B C


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -44-

Estado “0”

Estado “1”

q

k

15 kN2q l

Reacciones 15 kN2q l

fM2

9.375 kN.m8

q l

k

1

1 0.4 kNl Reacciones 1 0.4 kN

l

Q0.4

N(compresión en resorte)15( )

N0.4 (tracción en resorte)( )

fM1

Q15

15


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -45-

Estado “2”

Determinación de condiciones de compatibilidad

4 4 410

1 15 0.49.375 1 2.5 3.255 10 6.000 10 9.255 10 rad3EI k

4 4 420

1 15 0.89.375 1 2.5 3.255 10 12.000 10 8.745 10 rad3EI k

25 5 5

112.5 0.4 3.472 10 1.600 10 5.072 10 rad3EI k

25 5 5

222.5 0.82 6.944 10 6.400 10 13.344 10 rad3EI k

5 5 512 21

2.5 0.4 0.8 1.736 10 3.200 10 1.464 10 rad6EI k

1011 12 1 1

2021 22 2 2

16.8904.700

X XX X

Cálculo de reacciones

0 1 1 2 2R R X R X R

15 16.890 0.4 ( 4.700) ( 0.4) 23.636 kN15 16.890 ( 0.4) ( 4.700) 0.8 4.484 kN0 16.890 0 ( 4.700) ( 0.4) 1.880 kN

A

B

C

RRR

N0.8 (compresión en resorte)( )

k

1

0.4 kN Reacciones 0.8 kN 0.4 kN

fM1

Q0.4

0.4


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -46-

0 23.636 4.484 1.880 12 2.5VF

Trazado de diagramas de esfuerzos

9.375 16.890 ( 0.5) ( 4.700) ( 0.5) 3.28 kN.mA BM

Q

23.64

6.361.88

fM

3.28 4.70

16.89

capítulo 4 - uncor · en los cursos de estática se tratan problemas que involucran estructuras...

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