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TEORÍA DE ONDAS ACOPLADASMiguel V. Andrés
Departamento de Física Aplicada, Universitat de València
ÍNDICE1. Introducción2. Acoplo entre resonancias de cavidades
2.1. Acoplo entre dos resonancias2.2. Caso general
3. Acoplo entre modos de guías de onda3.1. Acoplo entre dos modos3.2. Caso general
4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica
5. Conclusión
1. Introducción
2
Angel Franco, "Física con ordenador"
1. Introducción
• Fenómenos físicos caraterísticos: (a) transferencia de energía y(b) el sistema tiene un nuevo conjunto de modos
OSCILADORES ACOPLADOS
• Acoplo entre ondas: - ondas estacionarias: resonancias- ondas guiadas: modos de propagación
1. Introducción• Sistemas acoplados: casos típicos
a) Introducción de una modificación en un sistema inicial dado
b) Dos sistemas independientes que interaccionan al aproximarse
∞
3
TEORÍA DE ONDAS ACOPLADASMiguel V. Andrés
Departamento de Física Aplicada, Universitat de València
ÍNDICE1. Introducción2. Acoplo entre resonancias de cavidades
2.1. Acoplo entre dos resonancias2.2. Caso general
3. Acoplo entre modos de guías de onda3.1. Acoplo entre dos modos3.2. Caso general
4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica
5. Conclusión
2. Acoplo entre resonancias de cavidades
Sistema inicial: εr(r)
( ) HHr 2
1c
2
r
ωε
=
×∇×∇ o
0=∇H
tjt ω−= e)(),( 0 rHrH
• Modos del sistema inicial: ondas no acopladas
• Evolución en función del tiempo sin posibilidad de transferenciade energía entre modos distintos del sistema
HH ωjt
−=∂∂
ijiV
jiji NdV δ20
*0 HH
HHHH == ∫
21i
i WWdVW HHH BHHH +==⇒= ∫∑=
*2
1 41
4
2.1. Acoplo entre dos resonancias• Sistema inicial, , descrito con dos modos: )(~ rrε
111 ~~
~H
Hωj
t−=
∂∂
222 ~~
~H
Hωj
t−=
∂∂
≠)(rrε )(~ rrε
212111 ~~~
~HH
Hjkj
t+−=
∂∂
ω 121222 ~~~
~HHH jkj
t+−=
∂∂
ω
tjt 1~
011 e)(~),(~ ω−= rHrH
tjt 2~
022 e)(~),(~ ω−= rHrH
tjejkt
)~~(0212
01 21~
~ωω −=
∂∂
HH
tjejkt
)~~(0121
02 12~
~ωω −=
∂∂
HH
Transferencia de energía entre los modos iniciales del sistema
2.1. Acoplo entre dos resonancias• ¿Cuáles serán los nuevos modos del sistema?
tjettatat ω−=⇒+= )(),(),(~),(~),( 02211 rHrHrHrHrH
HH ωjt
−=∂∂
211221 )~)(~( kk=−− ωωωω
2112
22121
2,1 2
~~
2
~~kk+
−
±+
=ωωωω
ω
tj
tj
kA
kA
2
1
e~~~
e~~~
0212
210122
0212
110111
ω
ω
ωω
ωω
−
−
−+=
−+=
HHH
HHH
5
2.1. Acoplo entre dos resonancias• Solución de la ecuación característica 211221 )~)(~( kk=−− ωωωω
111~ qSp +=ω
222~ qSp +=ω
12211212,121 2~~~ kyk =−±=⇒= ωωωωωω
S
2.1. Acoplo entre dos resonancias• Ejemplo: acoplo de dos resonancias mecánicas
6
2.1. Acoplo entre dos resonancias• Ejemplo: acoplo entre dos resonancias electromagnéticas
B
2.1. Acoplo entre dos resonancias• Ejemplo: enlace de dos átomos de hidrógeno
7
2.1. Acoplo entre dos resonancias• Ejemplo: átomos / pozos de potencial
Angel Franco, "Física con ordenador"
POZOS DE POTENCIAL(1 o 2 pozos, de anchura 2.5, separación entre 10 y 1)
2.1. Acoplo entre dos resonancias• Fundamentación de las ecuaciones anteriores
- El sistema inicial cumple las ecuaciones
ii
ir c
LL HHr HH
~~~~,)(~
1~2
2ωε
=
×∇×∇≡ o
- El sistema acoplado cumple las ecuaciones
( ) HHr HH 2,1
cLL
2
r
ωε
=
×∇×∇≡ o
02120110~~ HHH aa 11 +=
022202102~~ HHH aa 1 +=
=
2
12
2
2
1
222
2
i
ii
i
i
1
111
aa
caa
LLLL ω
HH
HH
- Si tomando como base del espacio vectorial los modos delsistema inicial
8
2.1. Acoplo entre dos resonancias• Fundamentación de las ecuaciones anteriores
- La ecuación característica del sistema acoplado es
- Los coeficientes de la matriz LH del sistema acoplado son
21122
2
222
2
11 HHHH LLc
Lc
L ii =
−
−
ωω
∫ ∗
−+==
Vkj
rrkjjk
jkjjk dV
cLL 002
2 ~~~11~~
~~~ DDHH HH εεωωδ
ω
- Si consideramos el caso y tomando22 /~ cL iii ω≅H ii ωωω ~2~ ≅+
∗=
−== ∫ 2102
*0
212
221
2
12 d~~~11
2
~~~~2
kVc
LckV
1rr
1 DDH εεωω
ωω
211221 )~)(~( kk=−− ωωωω
2.1. Acoplo entre dos resonancias• Transferencia de energía entre los modos iniciales del sistema
Amplitudes iniciales)0,()0,(~)0,(~
0201 rHrHrH =+
Expresamos la onda inicial en función de los modos del sistema acoplado
)0,()0,()0,( 022011 rHrHrH aa +=
La evolución armónica de los modos del sistema nos determina la onda en cualquier instante t
tjtj eaeat 21 )0,()0,(),( 022011ωω −− += rHrHrH
Expresamos la onda resultante en función de los modos iniciales
),(~),(~),( 0201 ttt rHrHrH +=
9
2.1. Acoplo entre dos resonancias• Transferencia de energía entre los modos iniciales del sistema
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
∆+∆∆∆
−∆∆
∆∆
∆+∆∆∆
=
)0(~)0(~
cossen~
cossen~
)(~)(~
02
01
21
12
02
01
HH
HH
ttjtsenkj
tsenkjttj
tt
2/)~~(~12 ωω −=∆
2/)( 12 ωω −=∆21
~~ ωω =
111~ qSp +=ω
222~ qSp +=ω
PeriodicidadT = π/∆
2.1. Acoplo entre dos resonancias• Transferencia de energía entre los modos iniciales del sistema
Angel Franco, "Física con ordenador"
OSCILADORES ACOPLADOS
%100eles/,~~~max2121212,121 PykTk πωωωω =±=⇒=
(muelle de 10, acoplo de 0.5)
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TEORÍA DE ONDAS ACOPLADASMiguel V. Andrés
Departamento de Física Aplicada, Universitat de València
ÍNDICE1. Introducción2. Acoplo entre resonancias de cavidades
2.1. Acoplo entre dos resonancias2.2. Caso general
3. Acoplo entre modos de guías de onda3.1. Acoplo entre dos modos3.2. Caso general
4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica
5. Conclusión
2.2. Caso general• Descripción del sistema con n modos
∑=
=n
jjiji a
100
~HH
∫ ∗
−+==
Vkj
rrkjjk
jkjjk dV
cLL 002
2 ~~~11~~
~~~ DDHH HH εεωωδ
ω
[ ][ ] [ ]ac
aL 2
2ω=H
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TEORÍA DE ONDAS ACOPLADASMiguel V. Andrés
Departamento de Física Aplicada, Universitat de València
ÍNDICE1. Introducción2. Acoplo entre resonancias de cavidades
2.1. Acoplo entre dos resonancias2.2. Caso general
3. Acoplo entre modos de guías de onda3.1. Acoplo entre dos modos3.2. Caso general
4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica
5. Conclusión
• Modos del sistema inicial: ondas no acopladas
• Propagación en función de z sin posibilidad de transferenciade energía entre modos distintos del sistema
21*
2
1 21 PPdP tt
ii +=×=⇒= ∫∑
=
SheHH
3. Acoplo entre modos de guías de ondas
Sistema inicial:
εr(x,y) ),(,ee),(
yxtzt
tjzj
hhyyx(x,y,z,t)
=+== −
hhhhhH ωβ
( ) tttr
rtrk hh2
t22
0 βεεε =
×∇×
∇++∇ o
HH βjz
−=∂∂
ijiS
tjti Pd δ=×∫ She *
12
• Sistema inicial, , descrito con dos modos:
111 ~~~
HH βjz
−=∂
∂22
2 ~~~HH βj
z−=
∂∂
≠),( yxrε ),(~ yxrε
Transferencia de energía entre los modos iniciales del sistema
3.1. Acoplo entre dos modos),(~ yxrε
212111 ~~~~
HHH
jkjz
+−=∂
∂β 12122
2 ~~~~HH
Hjkj
z+−=
∂∂
β
tjzjyx(x,y,z,t) ωβ ee),(~~1
1−= hH1
tjzjyx(x,y,z,t) ωβ ee),(~~2
2−= hH2
zjezjkzz )~~(
2121 21)(~)(~
ββ −=∂
∂ hh
zjezjkz
z )~~(112
2 12)(~)(~ββ −=
∂∂ hh
• ¿Cuáles serán los nuevos modos del sistema?
tjzj eettatat ωβ−=⇒+= )(),(),(~),(~),( 2211 rhrHrHrHrH
HH βjz
−=∂∂
211221 )~)(~( kk=−− ββββ
3.1. Acoplo entre dos modos
2112
2
21212,1 2
~~
2
~~kk+
−±
+=
βββββ
tjzj
tjzj
kA
kA
ωβ
ωβ
ββ
ββ
ee~~~
ee~~~
2
1
212
21122
212
11111
−
−
−+=
−+=
hhH
hhH
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• Solución de la ecuación característica 211221 )~)(~( kk=−− ββββ
111~ qSp +=β
222~ qSp +=β
12211212,121 2~~~ kyk =−±=⇒= ββββββ
3.1. Acoplo entre dos modos
S
β
• Ejemplo: acoplo de dos ondas electromagnéticas3.1. Acoplo entre dos modos
Fibre
Gould∆
Gould
Fibre
20
10
0
-10
-20-20 -10 0 10 20
20
10
0
-10
-20-20 -10 0 10 20
- Acoplo entre el modo fundamental de una fibra óptica y el plasmón fundamental de una capa metálica cilindríca
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• Ejemplo: acoplo de dos ondas electromagnéticas3.1. Acoplo entre dos modos
dc=30 µm ∆=27 nm next=1.444(—) modos acoplados
(- -) plasmones no acoplados
n0 = β0 / k0, fibran = β / k0, modosm = orden acimutal
Fibre
Gould∆
next
dc
• Fundamentación de las ecuaciones anteriores
- El sistema inicial cumple las ecuaciones
- El sistema acoplado cumple las ecuaciones
=
2
12
2
1
222
2
i
ii
i
i
1
111
aa
aa
LLLL
β
- Si tomando como base del espacio vectorial los modos delsistema inicial
3.1. Acoplo entre dos modos
( )
×∇×
∇++∇== ot
r
rtrtt kLsiendoL
εεεβ ~~~,~~~ 2
02 2
thh
( )
×∇×
∇++∇== ot
r
rtrtt kLsiendoL
εε
εβ 20
2 , 2thh
21211~~
tt1t1 aa hhh +=
222212~~
tt1t aa hhh +=
15
• Fundamentación de las ecuaciones anteriores- La ecuación característica del sistema acoplado es
- Los coeficientes de la matriz L del sistema acoplado son
( )( ) 21122
222
11 LLLL =−− ββ
- Si consideramos el caso y tomando2~iiiL β≅ ii βββ ~2~
≅+
3.1. Acoplo entre dos modos
( ) She dLS
tktjjkjjk ∫ ×+= *2 ~∆~~ δβ
( ) ( )o×∇×
∇−
∇+−= t
r
rt
r
rtrrk
εε
εεεε ~
~~∆ 2220
( ) ∗=∆×== ∫ 21*
2121
212 dh~e~~~2
1~~2
kLkS
t2t11 S
ββββ
211221 )~)(~( kk=−− ββββ
• Ejemplo:El coeficiente de acoplo k12
3.1. Acoplo entre dos modos
∫∝S
t2t12
r2rk Sde~e~)~-( *
12 εε
20
10
0
-10
-20-20 -10 0 10 20
20
10
0
-10
-20-20 -10 0 10 20
Fibre
Gould∆
next
dc
(···) dc = 40 µm(- -) dc = 30 µm(—) dc = 20 µm
16
• Transferencia de energía entre los modos iniciales del sistema
Amplitudes iniciales
00201 ),0,,(~),0,,(~==+ ztyxtyx HHH
Expresamos la onda inicial en función de los modos del sistema acoplado
),0,,(),0,,( 0220110 tyxatyxaz HHH +==
La propagación de los modos del sistema nos determina la onda en cualquier posición z
zjzjz etyxaetyxa 21 ),0,,(),0,,( 022011
ββ −− += HHH
Expresamos la onda resultante en función de los modos iniciales
),(~),(~0201 ttz rHrHH +=
3.1. Acoplo entre dos modos
• Transferencia de energía entre los modos iniciales del sistema
2/)~~(~12 ββ −=∆
2/)( 12 ββ −=∆
111~ qSp +=β
222~ qSp +=β
PeriodicidadL = π/∆
3.1. Acoplo entre dos modos
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
∆+∆∆∆
−∆∆
∆∆
∆+∆∆∆
=
)0(~)0(~
cossen~
cossen~
)(~)(~
2
1
21
12
2
1
hh
hh
zzjzsenkj
zsenkjzzj
zz
21~~ ββ =
z
17
• Ejemplo: transferencia de energía entre dos modos3.1. Acoplo entre dos modos
Fibre
Gould∆
next
dc
dc = 25 µm, ∆ = 26 nmnext = 1.444, l = 4 mm
i ii iii iv v
z=Lwz= 0
Gold coating
Pi Pt
• Ejemplo: transferencia de energía entre dos modos- Longitud característica: L = π/∆
3.1. Acoplo entre dos modos
Fibre
Gould∆
next
dc
dc = 25 µm, ∆ = 33 nmnext = 1.442, λ = 1.32 µm
L/2
l
i ii iii iv v
z=Lwz= 0
Gold coating
Pi Pt
18
• Ejemplo: transferencia de energía entre los modosfundamentales de dos fibras fundidas- Longitud característica: L = π/∆ = π/k12
3.1. Acoplo entre dos modos
1
2
3
41
2
3
4
Dos fibras iguales:
122121 2~~ k=−⇒= ββββ
y en consecuencia: ∆ = k12
( ) 1
212
4 PzsenkP
∆
∆=
L = π / ∆
TEORÍA DE ONDAS ACOPLADASMiguel V. Andrés
Departamento de Física Aplicada, Universitat de València
ÍNDICE1. Introducción2. Acoplo entre resonancias de cavidades
2.1. Acoplo entre dos resonancias2.2. Caso general
3. Acoplo entre modos de guías de onda3.1. Acoplo entre dos modos3.2. Caso general
4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica
5. Conclusión
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3.2. Caso general• Descripción del sistema con n modos
,
∑=
=n
jtjijti a
1
~hh
[ ][ ] [ ]aaL 2β=
( ) She dLS
tktjjkjjk ∫ ×+= *2 ~∆~~ δβ
( ) ( )o×∇×
∇−
∇+−= t
r
rt
r
rtrrk
εε
εεεε ~
~~∆ 2220
TEORÍA DE ONDAS ACOPLADASMiguel V. Andrés
Departamento de Física Aplicada, Universitat de València
ÍNDICE1. Introducción2. Acoplo entre resonancias de cavidades
2.1. Acoplo entre dos resonancias2.2. Caso general
3. Acoplo entre modos de guías de onda3.1. Acoplo entre dos modos3.2. Caso general
4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica
5. Conclusión
20
4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica• Red de Bragg grabada en fibra óptica
Λ=− zyxyxzyx πδεεε 2cos),(),(~),,(
∆z
∫∫∫∆+
Λ≅
−∝
zz
zSV
zdzdxdydVk 02*0102
*0112
~~2cos~~~
~EEDD πδε
εεεε
∫
−=
V1
rr
Vc
k d~~~11
2
~~02
*0
212
12 DDεε
ωω
[ ]zj
itj
ii
jKzjKz
iyxt
Ksiendoz
βω
ππ
−
+−
=⇒=
Λ=+=
Λ
e),(~)(~e)(~),(~
/2,ee212cos
00 erErErE
4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica• Red de Bragg grabada en fibra óptica
Λ=− zyxyxzyx πδεεε 2cos),(),(~),,(
∆z
[ ] ∫∫+∞
∞−
∆++−−− ⋅+∝ dxdyyxdzk
zz
z
zKjzKj2
*1
)()(12 ),(ee 2121 eeδεββββ
Condición de Bragg: K±≈− 21 ββ
- Acoplo al modo fundamental reflejado
- Acoplo a modos de orden superior de la cubierta
21
lambda(nm) vs redt(lin)
wavelength (nm)1544.5 1545.0 1545.5 1546.0 1546.5 1547.0
Tran
smis
sion
(dB)
-25
-20
-15
-10
-5
0
AW AW OnOn(CL=(CL=π)π)
AW AW OffOff
4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica• Ejemplo: red de Bragg grabada en fibra óptica
Acoplo al modo fundamental reflejado:
onmod2λ
=ΛPi
Pr
Pt
1520 1530 1540 1550-18-16-14-12-10-8-6-4-202
Resonancias con modos de orden superior
Resonancia de Bragg
Tran
smita
ncia
(dB
)
Longitud de onda (nm)
0
4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica• Ejemplo: barreras de potencial
Angel Franco, "Física con ordenador"
BARRERAS DE POTENCIAL(barreras de 0.2 y separación 0.5)
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TEORÍA DE ONDAS ACOPLADASMiguel V. Andrés
Departamento de Física Aplicada, Universitat de València
ÍNDICE1. Introducción2. Acoplo entre resonancias de cavidades
2.1. Acoplo entre dos resonancias2.2. Caso general
3. Acoplo entre modos de guías de onda3.1. Acoplo entre dos modos3.2. Caso general
4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica
5. Conclusión
5. Conclusión
• Acoplo generado por una perturbación periódica en una guía− Transferencia de energía ↔ condición de Bragg− ¿Cómo serán los nuevos modos del sistema periódico?
• Acoplo entre dos resonancias y entre dos modos guiados− Transferencia de energía con periodicidad π/∆ ↔ k12− Los modos nuevos del sistema acoplado: separación ↔ k12
∫∝S
t2t1rrk Sde~e~)~-( *12 εε
23
5. Conclusión• Del enlace entre dos átomos al sólido
Angel Franco, "Física con ordenador"
EL SÓLIDO
(pozos de 2.5 y separación 1)
Fin