Notas de ClaseJJSegura

IEMS - GDF2014

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GOBIERNO DEL DISTRITO FEDERALSECRETARÌA DE EDUCACIÒNINSTITUTO DE EDUCACION MEDIA SUPERIOR

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La elaboración de estas notas de clase de Funciones Racionales surge de la necesidad de apoyar a nuestros estudiantes del Instituto de Educación Media Superior del Gobierno del Distrito Federal (IEMS-GDF), con materiales didácticos accesibles para ellos que les ayuden en el desarrollo de sus competencias matemáticas, de acuerdo con el Plan de Estudios vigente.

Los contenidos que integran estas notas de clase son los temas fundamentales de Funciones Racionales que se tratan a nivel de bachillerato. El enfoque que sigo en su desarrollo, es iniciar con situaciones problemáticas que en su solución aparecen modelos matemáticos de funciones de este tipo y que el estudiante intente resolverlas por sí mismo y exponga sus resultados; motivando que surja la necesidad de contar con procedimientos sistematizados que aligeren el trabajo y puedan emplearse en situaciones diversas.

Se incluyen ejercicios y problemas tanto considerados teóricos como de aplicaciones en diferentes campos, tratando que el estudiante capte la belleza de las matemáticas en sí mismas y también las valore como una herramienta imprescindible en el trabajo científico de muchas disciplinas. Estas notas son una aportación para el logro de ese cometido.

J. Javier Segura R.

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JOSÉ JAVIER SEGURA RAMÍREZACTUARIO EGRESADO DE LAFACULTAD DE CIENCIAS, UNAM.DTI ACADEMIA DE MATEMÁTICAS,PLANTEL “FELIPE CARRILLO PUERTO”IZTACALCO, IEMS-GDF.josejavier.segura@iems.edu.mx

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2.1.1 Introducción. ............................................................................................................ 7

2.1.2 Situaciones que dan lugar a funciones racionales. ................................................... 7Practica en casa 1. .....................................................................................................11Actividad 1. ……………………………………………………………………….. 11Practica en casa 2. .....................................................................................................12

2.1.3 Funciones racionales. ..............................................................................................12Actividad 2. .............................................................................................................13Practica en casa 3. .....................................................................................................14Actividad 3. .............................................................................................................14Practica en casa 4. .....................................................................................................14

2.1.4 Funciones racionales del tipo:

f ( x )= ax±b

±c , f ( x )= a(x±b)2 ±c ........................................................................15

Actividad 4. ..............................................................................................................16Practica en casa 5. .....................................................................................................16Actividad 5. ..............................................................................................................18Practica en casa 6. .....................................................................................................18Proyecto de investigación 1. .....................................................................................19

2.1.5 Funciones racionales del tipo:

f ( x )= P (x)Q(x ) , con P(x) y Q(x) lineales o cuadráticas. ......................................19

Actividad 6. ..............................................................................................................23 Practica en casa 7. …………………………………………………………………23

2.1.6 Ejercicios y aplicaciones diversas. ...........................................................................23Actividad 7. ..............................................................................................................26Practica en casa 8. ………………………………………………………………….26Lectura científica. .....................................................................................................27

Bibliografía.........................................................................................................................27

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FUNCIONES RACIONALES

2.1.1 Introducción. En temas anteriores, has tenido oportunidad de profundizar en el concepto de función y de estudiar y analizar situaciones que llevan a la aplicación de modelos matemáticos que involucran diversos tipos de funciones. Asimismo, has trabajado con diversas situaciones que dieron lugar a la aplicación de modelos matemáticos de variación directamente proporcional, por ejemplo, del tipo y = kx, donde k es la constante de proporcionalidad y cuya gráfica, como recordarás, es una línea recta. En este tema, vas a ampliar tu concepto de función, estudiando el comportamiento analítico y gráfico de las funciones racionales, particularmente en situaciones que conducen a la variación inversamente proporcional.

2.1.2 Situaciones que dan lugar a funciones racionales. Es posible que en este momento te estés preguntando qué cosa es una función racional. Ten paciencia; después de trabajar con algunos problemas sencillos, seguramente tú mismo podrás dar una definición de este concepto.

Problema 1. Una persona debe trasladarse en su vehículo de una ciudad A hacia una ciudad B, entre las cuales existe una distancia de 800 km. Desea estimar la velocidad promedio que debe llevar para hacer el viaje en determinadas horas de tiempo.

- Datos e incógnita: Nombremos con letras los datos y las variables que aparecen en el problema.Distancia entre las dos ciudades: 800 km, dato conocido, por lo que es una constante.Velocidad promedio que debe llevar: v, variable incógnita cuyo valor depende del tiempo que se quiera hacer y que se mide en km / h, porque la distancia está dada en km y el tiempo en horas.Tiempo de viaje: t, variable cuyo valor es conocido una vez que la persona establece el tiempo que desea hacer de viaje y se mide en horas (h).

- Análisis de la relación entre las variables: En este problema, la persona puede desear hacer el viaje en 1, 2, 3, 4 o más horas, que son los valores que tomará la variable t. Desde luego, valores como 1 hora resultan ilógicos en el contexto de nuestro problema, pues el vehículo debería llevar una velocidad de 800 km/h; asimismo, valores fraccionarios como 0.5 h o 6.3 h, o también, valores como 20 h o 24 h, pueden considerarse raros y seguramente no serían propuestos por esta persona, pero algebraicamente son valores posibles para t.

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En los ejercicios del 1 al 4, factoriza los polinomios:1. x2 – 4x – 21 2. x2 – 14x + 483. x3 + 12x2 + 35x 4. x3 + 5x2 – 36x

En los ejercicios del 5 al 8, traza la gráfica de la ecuación:5. x = 13 6. y = – 97. y = x – 7 8. x + y = 8

En los ejercicios 9 y 10, usa la división larga para escribir la expresión racional como la suma de un polinomio y otra expresión racional:9. x

2+9 x+20x+3

10. x2+9 x+20x−3

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1. En medicina, la regla de Young es una fórmula que se utiliza para modificar la dosis de medicamento para adultos (a), en mg, con el fin de determinar la dosis para niños (n). Si t es la edad del niño en años, la relación está dada por la expresión: n =

tat+12 . Si un adulto

recibe una dosis diaria de 100 mg de un medicamento, calcula la dosis que recibirían niños de diferentes edades para el mismo tratamiento. Traza la gráfica de esta expresión.

2. Para almacenar desechos radiactivos, se construye un recipiente cilíndrico cuyas paredes tienen un grosor de 6 pulg. El volumen del cilindro exterior mide 16π pie3. a) Expresa la altura h del cilindro interno como función del radio interno r; b) Demuestra que el volumen interno está dado por la expresión

V(r) = π r2 ( 16

(r+0.5)2 −1 ); c) ¿Qué valores de r deben excluirse para calcular V(r)?

PRACTICA EN CASA 8.Resuelve los problemas siguientes y utiliza software para presentar tus resultados al grupo.1. El costo (C), en millones de dólares, por remover un determinado porcentaje (p%) de contaminantes industriales que se descargan en un río, está dado por la expresión C = 255 p

100−p . Traza la gráfica. ¿Sería posible, de acuerdo con este modelo, remover el 100% de

los contaminantes? Justifica tu respuesta.

2. El costo (C), en pesos, de producir x unidades de un artículo está dado por la expresiónC = 0.2 x2 + 10x + 5 , por lo que el Costo promedio de producción CP se obtiene dividiendo el costo entre las unidades producidas: CP =

Cx . Traza la gráfica del costo y del

costo promedio.

3. En psicología, para estimar el porcentaje P de respuestas correctas obtenidas por una

persona al aplicarle n pruebas de cierta tarea, se utiliza la expresión: P = 0.5+0.9(n−1)1+0.9(n−1) .

Traza la gráfica. ¿Qué valor va tomando P a medida que n aumenta?

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BIBLIOGRAFÌA

BARNETT, Raymond, et al. Precálculo: Funciones y Gráficas. Mc Graw-Hill, México, 2000.LARSON, Roland y HOSTETLER, Robert. Álgebra. Publicaciones Cultural, México, 1996.LEITHOLD, Louis. Matemáticas previas al cálculo: Análisis Funcional y Geometría Analítica. Harla,

México, 1996.STOLLBERG, Robert y HILL, Faith. Física, Fundamentos y Fronteras. Publicaciones Cultural, México,

1969.SULLIVAN, Michael. Precálculo. Prentice-Hall Hispanoamericana, México, 1997.SWOKOWSKI, Earl. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica,

México, 2002.TIPPENS, Paul. Física, Conceptos y Aplicaciones. Mc Graw-Hill, México, 1983.

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