CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LAS SECCIONES

1. SOBRE EL MOMENTO DE INERCIA

Eje respecto al cual se ha calcular

La elección del eje respecto al cual se ha de calcular el momento de inercia que

interviene en los cálculos es una de las dudas que se plantean con más frecuencia en

problemas de análisis estructural, y la elección equivocada uno de los errores más

habituales en los problemas.

La figura muestra una viga genérica sometida a dos sistemas de fuerzas repartidas, las q

que actúan en dirección Y y las p que lo hacen en dirección Z. La viga se ha dibujado de

sección rectangular, pero el razonamiento que se va a realizar es válido para cualquier

sección siempre que los ejes Y y Z sean los principales de inercia de ésta. Esto no supone

ninguna limitación, ya que, el cálculo matricial siempre se plantea en ejes principales de

inercia.

La fuerza p origina momentos flectores de eje Y y distribuciones de tensiones X que

varían linealmente con Z y tiene la fibra neutra paralela al eje Y, las cuales pueden

expresarse como:

kZX

Donde K es una constante. Para determinarla se impone que el momento resultante de

la distribución tiene que ser el momento flector que actúa sobre la sección, de la

siguiente manera:

YXY kIdZkdkZdZM

22

Donde:

Y

Y

I

MK Z

I

M

Y

YX

Por otra parte, a la distribución tensional anterior le corresponde una distribución de

alargamientos unitarios dada por:

Z

EI

M

E

ZZ

Y

YX

)(

Que produce una deformación de un prisma elemental de viga (un tramo longitudinal

dX) mostrada en la figura, a partir de la cual se determina la relación de momentos-

curvaturas siguiente:

Y

YY

EI

M

Finalmente, considerando que una rebanada elemental de la viga se deforma como se

acaba de describir mientras el resto permanece rígida y el tramo entre el extremo dorsal

A y la rebanada deformada queda inmóvil, se establece la aportación (diferencial) de la

rebanada en cuestión a los movimientos del punto B como se muestra en la figura:

Sumando las aportaciones de todas las rebanadas elementales entre A y B mediante

sendas integrales, y añadiendo a cada una el efecto en B del movimiento de la barra AB

como sólido rígido, provocada por el movimiento de A, se obtienen las fórmulas de

Navier-Bresse para la flexión estudiada

dXEI

MdX

B

A Y

YA

B

A

YAB

dXXXEI

MLvdXXXLvv

B

A

B

Y

YAAB

B

A

YAAB

Falta añadir, si se quiere tener en cuenta, el efecto de la deformación por cortante. Los

teoremas de Mohr provienen de una interpretación geométrica de estas expresiones.

Queda claro, por tanto, que el momento de inercia que interviene en la flexión originada

por fuerzas paralelas al eje principal Z es IY, es decir, el momento de inercia respecto al

eje perpendicular a las fuerzas exteriores, o paralelo al eje de los momentos (tanto

exteriores como flectores), o paralelo a la fibra neutra de la distribución de tensiones

normales.

Es evidente que si se hubiera empezado el razonamiento con una fuerza q paralela al

eje Y, siguiendo un proceso análogo donde tan sólo cambiaría algún signo, se habría

justificado que el momento de inercia a considerar en este caso es IZ, que también sería

el momento calculado respecto a un eje perpendicular a las fuerzas exteriores, o

paralelo a los momentos o a la fibra neutra.

Finalmente, para obtener la relación de transferencia y la matriz de flexibilidad de una

barra recta de sección constante a partir de los teoremas de Mohr o las fórmulas de

Navier-Bresse, y basándose en una u otra se puede determinar la relación de rigidez. Así

pues, el momento de inercia que hay que considerar en la determinación de esta matriz

es el mismo que el que interviene en las mencionadas fórmulas.

RESUMEN

El momento de inercia que interviene en las expresiones que describen la flexión

originada por fuerzas paralelas a una de los ejes principales de inercia de la sección

transversal (incluida la matriz de rigidez entre estas expresiones) se calcula respecto

a:

El eje principal perpendicular al plano que contiene las líneas de acción de las

fuerzas exteriores o

El eje principal paralelo al eje de los momentos exteriores y de los momentos

flectores, o

El eje principal paralelo a la fibra neutra de la distribución de tensiones

normales.

Las tres definiciones son equivalentes. El eje, además, tiene que pasar por el centro de

gravedad de la sección transversal.

Finalmente, no es cierto que el momento de inercia a considerar sea siempre el mayor

momento principal de inercia de la sección. El momento de inercia a considerar queda

determinado por la posición de la sección transversal y de la dirección de las fuerzas

exteriores, no por el hecho de ser mayor o menor.

SOBRE EL MÓDULO DE TORSIÓN

Determinación del módulo de torsión

Fórmulas

Por lo que respecta a la determinación del módulo de torsión, se han de diferenciar tres

tipos secciones:

Las secciones macizas. Se ha de conocer la fórmula específica que lo determina

para la forma particular de la sección que se está tratando. Si no son

excesivamente alargadas, se suelen comportan bien a torsión; en estos casos se

puede determinar el orden de magnitud del módulo de torsión mediante:

0

2

4

4 I

AJ

Donde A es el área de la sección y I0 es el momento polar de inercia de ésta

respecto al centro de gravedad. Esta fórmula es exacta para secciones elípticas.

Las secciones abiertas de poco espesor. En general, no se comportan bien

sometidas a torsión:

Si se trata de secciones sin ramificaciones, que se transformarían en un

rectángulo muy alargado si pudiéramos estirar la línea media de la pared

hasta convertirla en un segmento de recta, el módulo de torsión se puede

calcular como:

3

3Le

J

Donde L es la longitud de la línea media y e es el espesor de la pared. En

esta categoría se incluyen las secciones de chapa plegada en frío, como

son las secciones en C, Z o Ω.

Si se trata de secciones que se pueden descomponer en rectángulos

alargados el módulo de torsión se calcula como:

2

3

03,022,033,0

i

i

i

ii

ii

i

i

b

e

b

e

ebJ

Siendo 1i

i

b

e

En esta categoría se incluyen los perfiles metálicos laminados.

Las secciones vacías, cerradas o de poco espesor. Se comportan bien sometidas

a torsión.

Si se trata de secciones simplemente conexas (unicelulares, con

un solo hueco en su interior) el módulo de torsión se calcula

mediante la fórmula de Bredt:

e

ds

AJ a

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En la cual Aa representa el área cerrada por la línea media de la

pared, e el grosor de ésta y la integral se extiende a toda la

longitud de la citada línea media (s es la longitud de arco sobre

ella).

Si se trata de secciones múltiplemente conexas (multicelulares,

con más de un hueco interior) el módulo de torsión se determina

por el método Blaise, que podéis consultar en la bibliografía. No

obstante, la sección simplemente conexa obtenida eliminando de

la original todas las paredes que subdividen el hueco interior

proporciona una buena aproximación de J.

Si se trata de una sección formada por un núcleo cerrado de poco

espesor al cual están unidos algunos elementos abiertos y

delgados (como los voladizos laterales en la figura), simplemente

se pueden prescindir de estos elementos abiertos ya que la

influencia que tienen en la torsión es despreciable.

Errores que se han de evitar

Distinguir entre secciones cerradas y secciones que se pueden descomponer en

rectángulos

El carácter de abiertas o cerradas establece la distinción básica entre los diferentes tipos

de secciones de pared delgada, y que la resistencia a la torsión de las primeras es escasa

y la de las segundas es apreciable. Es por eso que una sección cerrada nunca se puede

tratar como una sección abierta que se puede dividir en rectángulos.

SOBRE EL FACTOR DE CORTANTE

¿Qué representan αY y αZ?

En la unidad 1 se ha introducido el factor de cortante como la forma adecuada de

representar la rigidez de la viga frente al cortante (GAQ), o la flexibilidad, que es la

inversa, en la formulación matricial del método de rigidez.

El factor de cortante α se calcula a partir de las rigideces a flexión EI y a cortante GAQ

que intervienen en cada caso concreto.

La nomenclatura es muy sencilla. En el caso del pórtico plano los cortantes son QY, los

momentos flectores MZ, el área de cortante AQY y el momento de inercia IZ, por la cual

cosa es evidente que:

2

12

LGA

EI

QY

ZY

Por otra parte, en el caso del emparrillado plano los cortantes son Qz, los flectores MY,

el área de cortante AQZ y el momento de inercia IY, con lo cual:

2

12

LGA

EI

QZ

YZ

En el caso de la estructura espacial las dos respuestas anteriores, que están

desacopladas, se presentan simultáneamente. En consecuencia, las fórmulas siguen

siendo válidas.