2.2 Muestreo, Submuestreo y Sobremuestreo

Muestreo de señales en tiempo continuo Ref. [2]

Las señales en tiempo discreto pueden originarse de muchas formas, pero más comúnmente se obtienen como representaciones de señales en tiempo continuo. Esto se debe en parte al hecho de que el procesamiento de las señales en tiempo continuo se lleva a cabo frecuentemente mediante el procesamiento en tiempo discreto de secuencias obtenidas mediante el muestreo. En este capítulo discutiremos el proceso del muestreo periódico con cierto detalle, incluyendo el concepto de aliasing cuando la señal no se encuentra limitada en banda o la frecuencia de muestreo no es lo suficientemente alta. Es de particular importancia el hecho de que el procesamiento puede ser implementado a través de un proceso de muestreo, procesamiento en tiempo discreto, y la subsiguiente reconstrucción de la señal en tiempo continuo.

Aunque existen otras posibilidades (ver Steiglitz, 1965; Oppenheim y Jonson, 1972), el método típico para obtener una representación en tiempo discreto de una señal en tiempo continuo es a través del muestreo periódico, donde una secuencia de muestras x[n] es obtenida a partir de una señal en tiempo continuo xc(t) de acuerdo con la relación:

……………………………………...(1)

En la ecuación (1), T es el periodo de muestreo, y su recíproco fS=1/T, es la frecuencia de muestreo, en muestras por segundo.

Nos referimos a un sistema que implemente la operación en la ecuación (1) como un convertidor continuo-discreto ideal (C/D), y lo describimos en forma de diagrama de bloques como se indica en la figura 1:

Figura 1. Representación en diagrama de bloques de unConvertidor continuo-a-discreto ideal (C/D).

Como ejemplo de la relación entre xC(t) y x[n] en la figura 2 se ilustra una forma de onda en tiempo continuo y su correspondiente secuencia de muestras.

C/DxC(t) x[n]=xC(nT)

T

Conversión de un tren de impulsos a una secuencia en tiempo discretoxC(t) x[n]=xC(nT)xS(t)

s(t)

Convertidor C/D

(a)

3

(b)

(c)

Figura 2. Muestreo usando tren de impulsos seguido de la conversión a secuencia en tiempo discreto. (a) Sistema completo. (b) xS(t) para dos

frecuencias de muestreo. La envolvente representa a xC(t). (c) Secuencias de salida para las dos diferentes frecuencias de muestreo.

De manera práctica, la operación de muestreo es a menudo implementada por un convertidor analógico-digital (A/D). Dichos sistemas pueden ser vistos como aproximaciones al convertidor C/D ideal. Importantes consideraciones en la implementación o elección de un convertidor A/D incluyen la cuantización de las muestras de salida, linealidad, la necesidad de circuitos sample-and-hold (muestreador/retenedor), y limitaciones en la tasa de muestreo.

El muestreo es generalmente irreversible; por ejemplo, dada la salida x[n], en general no es posible reconstruir xC(t), la entrada del muestreador, ya que muchas señales en tiempo continuo pueden producir la misma secuencia de muestras de salida. La ambigüedad inherente en el muestreo es de primordial importancia en el procesamiento de señales. Afortunadamente es posible remover esta ambigüedad restringiendo la clase de señales de entrada del muestreador.

Es conveniente representar matemáticamente el proceso de muestreo en las dos etapas mostradas en la figura 2(a). Esto consiste en un modulador de tren de impulsos seguido de la conversión del tren de impulsos en una secuencia. La figura 2(b) ilustra dos señales en tiempo continuo y los resultados del muestreo por tren de impulsos. La figura 2(c) describe las correspondientes secuencias de salida. La diferencia esencial entre xS(t) y x[n] es que xS(t) es, en cierto sentido, una señal en tiempo continuo (específicamente un tren de impulsos) que es cero excepto en múltiplos enteros de T. La secuencia x[n], por otro lado, es indexada en la variable entera n, que en efecto introduce una normalización en el tiempo; por ejemplo, x[n] no contiene información explícita acerca de la frecuencia de muestreo. Aún más, las muestras de xC(t) son representadas por un número finito en x[n] en lugar de áreas de impulsos como en xS(t).

4

Es importante enfatizar que la figura 2(a) es una representación matemática del muestreo, no la representación de ningún circuito físico o sistema diseñado para implementar la operación de muestreo. El que una pieza de hardware pueda ser construida para ser una aproximación del diagrama de bloques de la figura 2(a) es un tema secundario en este punto. Hemos introducido esta representación de la operación de muestreo porque nos lleva a una derivación simple de un resultado clave y porque esta aproximación nos lleva a varios conceptos importantes que son difíciles de obtener a partir de una derivación más formal basada en la manipulación de las fórmulas de la transformada de Fourier.

Representación del muestreo en el dominio de la frecuencia

Para obtener la relación en el dominio de la frecuencia entre la entrada y la salida de un convertidor C/D ideal, consideremos en primer lugar la conversión de xC(t) a xS(t) por medio de la modulación por tren de impulsos. La señal modulada s(t) es un tren de impulsos periódicos:

………………………………………..…………(2)

Donde (t) es la función impulso unitario o delta de Dirac. En consecuencia,

……………………………(3)

Por las propiedades de la función impulso, xS(t) puede ser expresada como:

…………………………….…………(4)

Consideremos ahora la transformada de Fourier de xS(t). A partir de la ecuación (3), xS(t) es el producto de xC(t) y s(t), por tanto la transformada de Fourier de xS(t) es la convolución de las transformadas de Fourier XS(j) y S(j). La transformada de Fourier de un tren de impulsos periódicos es un tren de impulsos periódicos (Oppenheim y Willsky, 1983). Específicamente, S(j) es:

………………………………………...(5)

donde S=2/T es la frecuencia de muestreo en radianes/s. Como:

donde denota la operación de la convolución, se sigue que:

…………………………………..(6)

La ecuación (6) nos proporciona la relación entre las transformadas de Fourier de la entrada y la salida del modulador por tren de impulsos de la figura 2(a). Se puede observar en la ecuación (6) que la transformada de Fourier de xS(t) consiste de copias periódicamente repetidas de la transformada de Fourier de xC(t). Las copias de XC(j) son desplazadas en números enteros de la frecuencia de muestreo y entonces superpuestas para producir la transformada periódica de Fourier del tren de impulsos de muestras. La figura 3 representa una transformada de Fourier limitada en banda donde la mayor componente de frecuencia diferente de cero en XC(j) se encuentra en N: La figura 3(b) muestra el tren de impulsos periódicos S(j), y la figura 3.3(c) muestra XS(j), el resultado de la convolución entre XC(j) y S(j).

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Figura 3. Efecto en el dominio de la frecuencia del muestreo en el dominio del tiempo. (a) Espectro de la señal original. (b) Espectro de la función de muestreo. (c) Espectro de

la señal muestreada con S>2N. (d) Espectro de la señal muestreada con S<2N.

De la figura 3(c) es evidente que cuando:

……………………….…….(7)

Las réplicas de XC(j) no se traslapan y por tanto, cuando se suman en la ecuación (6), se mantiene (con un factor de escala de 1/T) una réplica de XC(j) en cada múltiplo entero de S. En consecuencia xC(t) puede ser recuperada a partir de xS(t) usando un filtro ideal paso bajas. Eso se muestra en la figura 4(a), que muestra al modulador de tren de impulsos seguido de un sistema lineal e invariante en el tiempo con respuesta en frecuencia Hr (j). Para XC(j) como en la figura 4(b), XS(j) puede ser como se muestra en la figura 4(c), donde se asume que S>2N. Como:

………………………………………….(8)

6

Se sigue que Hr (j) es un filtro ideal paso-bajas con una ganancia T y una frecuencia de corte C, tal que:

……………………………………………….(9)

Entonces:

…………………………………………………..(10)

Como se muestra en la figura 4(c).

Si la desigualdad de (7) no se mantiene, por ejemplo, si S2N, las copias de XS(j) se traslapan, por lo que cuando se suman XC(j) no se puede recuperar mediante un filtrado paso bajas. Esto se encuentra ilustrado en la figura 3(d). En este caso, la salida reconstruida xr (t) en la figura 4(a) está relacionada con la entrada original en tiempo continuo por medio de una distorsión llamada aliasing.

7

Figura 4. Recuperación exacta de una señal en tiempo continuoa partir de sus muestras usando un filtro paso bajas ideal.

La figura 5 ilustra el aliasing en el dominio de la frecuencia para el caso simple de una señal coseno. La figura 5(a) muestra la transformada de Fourier de la señal:

……………………………………………..(11)

La parte (b) muestra la transformada de Fourier de xS(t) con 0<S/2, y la parte (c) muestra la transformada de xS(t) con 0>S/2. Las partes (d) y (e) corresponden a la transformada de Fourier de la

8

salida del filtro paso bajas para 0<S/2=/T y 0</T, respectivamente, con C<S/2. Las figuras 5(c) y (e) corresponden al caso de aliasing. Sin aliasing ((b) y (d)), la salida reconstruida xr (t) es:

……………………………………………….(12)Con aliasing, la señal de salida reconstruida es:

……………………………………...(13)

Figura 5. El efecto del aliasing en el muestreo de una señal coseno

Por ejemplo, la señal de mayor frecuencia cos0t ha tomado la identidad (alias) de la señal de menor frecuencia cos(S -- 0)t como consecuencia del muestreo y reconstrucción. Esta discusión es la base del teorema de muestre de Nyquist (Nyquist, 1928; Shannon, 1949), establecido como se indica a continuación.

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Teorema del muestreo de Nyquist. Sea xC(t) una señal limitada en banda con

………..…………………(14a)

Entonces xC(t) se encuentra determinada únicamente por sus muestras x[n]= xC(nT), n=0, 1, 2,…, si

……………………….………………....(14b)

La frecuencia N es comúnmente llamada frecuencia de Nyquist, y la frecuencia 2N que debe ser excedida por la frecuencia de muestreo es llamada tasa de Nyquist.Hasta ahora hemos considerado únicamente el modulador por tren de impulsos de la figura 2(a). Nuestro objetivo eventual es expresar X(ej), la transformada de Fourier en tiempo discreto de la secuencia x[n], en términos de XS(j) y XC(j). Hasta este punto, consideremos una expresión alternativa para XS(j). Aplicando la transformada de Fourier a la ecuación (4), obtenemos:

……………………….....….(15)

Como ………………………………………………...(16)

Y ……………………………………..(17)

Entonces ………………….…..(18)

Consecuentemente de las ecuaciones (6) y (18),

……………………….(19)

o equivalentemente,

……………………..(20)

De las ecuaciones (18)-(20) podemos observar que X(ej) es simplemente una versión escalada en la frecuencia de XS(j) con el escalamiento en frecuencia especificado por =T. Este escalamiento puede ser pensado alternativamente como una normalización del eje de la frecuencia de tal forma que la frecuencia =S, en XS(j) es normalizada a =2 para X(ej).

El hecho de que exista un escalamiento en la frecuencia o normalización en la transformación de XS(j) a X(ej) es directamente asociada con el hecho de que existe una normalización en el tiempo en la transformación de xS(t) a x[n]. Específicamente, como se observa en la figura 2, xS(t) retiene un espaciamiento entre muestras igual al periodo de muestreo T. En contraste, el “espaciamiento” de los valores de la secuencia x[n] es siempre unitario, por ejemplo, el eje del tiempo es normalizado por un factor de T. Correspondientemente en el dominio de la frecuencia, el eje de la frecuencia es normalizado por un factor de fS=1/T.

Ejemplo. La sucesión , fue obtenida al muestrear la señal analógica

, a una tasa de 1000 muestras/s. ¿Cuáles son los posibles valores de 0

que darían como resultado a la sucesión x[n]?

10

Solución.

Cambio de la tasa de muestreo usando procesamiento en tiempo discretoHemos visto que una señal en tiempo continuo xC(t) puede ser representada por una señal en tiempo discreto que consiste de una secuencia de muestras:

……………………………………………(21)

Alternativamente, incluso si x[n] no fue obtenida originalmente mediante muestreo, podemos encontrar una señal en tiempo continuo limitada en banda xr (t) cuyas muestras son x[n]=xC(nT).Es a menudo necesario cambiar la tasa de muestreo de una señal en tiempo discreto, por ejemplo, para obtener una nueva representación en tiempo discreto de la señal en tiempo continuo de la forma:

…………………………………………(22)

Donde T’T. Un acercamiento para la obtención de las secuencias x’[n] a partir de x[n] es reconstruir xC(t) a partir de x[n] y entonces remuestrear xC(t) con un periodo T’ para obtener x’[n]. Frecuentemente este acercamiento no es deseable debido al filtro de reconstrucción analógico no ideal, el convertidor D/A, y el convertidor A/D que debieran ser usados en una implementación práctica. Por tanto, es de interés considerar métodos para cambiar la tasa de muestreo que involucren únicamente operaciones en tiempo discreto.

11

Submuestreo - Reducción de la tasa de muestreo por un factor entero

La tasa de muestreo de una secuencia puede ser reducida “muestreándola”, por ejemplo, definiendo una nueva secuencia:

…………………………...(23)

La ecuación (23) define el sistema descrito en la figura 6, que es llamado compresor de la tasa de muestreo (Crochiere y Rabiner, 1983) o simplemente compresor. De la ecuación (23) es claro que xd[n] puede ser obtenida directamente a partir de xC(t) muestreando con un periodo T’=MT. Además, si XC(j)=0 para ||>N, entonces xd[n] es una representación exacta de xC(t) si /T’=/(MT)>N. Esto es, la tasa de muestreo puede ser reducida por un factor M sin aliasing si la tasa de muestreo original fuera al menos M veces la tasa de Nyquist o si el ancho de banda de la secuencia es primero reducida por un factor M mediante filtrado en tiempo discreto. En general, la operación de reducción de la tasa de muestreo (incluyendo cualquier prefiltrado) será llamada submuestreo.

Figura 6. Representación del submuestreador o muestreador de tiempo discreto.

Como en el caso del muestreo de una señal en tiempo continuo, es útil obtener una relación en el dominio de la frecuencia entre la entrada y la salida del compresor. Esta vez, sin embargo, será una relación entre transformadas de Fourier en tiempo discreto. Aunque pueden usarse varios métodos para obtener el resultado deseado, basaremos nuestro desarrollo en los resultados ya obtenidos para el muestreo de señales en tiempo continuo. En primer lugar recordemos que la transformada de Fourier en tiempo discreto de x[n] = xC(nT) es:

………………………(24)

Similarmente, la transformada de Fourier en tiempo discreto de xd[n] = x[nM] = xC(nT’) con T’=MT es:

……………….……(25)

Ahora, como T’ = MT, podemos escribir la ecuación (25) como:

……………….(26)

Para observar la relación entre las ecuaciones (26) y (24), note que el índice de la suma r en la ecuación (26) puede ser expresado como:

donde k e i son enteros tales que -< k < y 0 i M-1. Claramente r es un entero en el rango de - a , pero ahora la ecuación (26) puede ser expresada como:

……….(28)

Mx[n]

Periodo de Muestreo T

xd[n]=x[nM]

Periodo deMuestreo T’=MT

12

Podemos reconocer el término dentro de los corchetes en la ecuación (28) a partir de la ecuación (24) como:

………..…(29)

Entonces podemos expresar la ecuación (28) como:

………………………...(30)

La analogía entre las ecuaciones (24) y (30) es clara. La ecuación (24) expresa la transformada de Fourier de la secuencia de muestras x[n] (periodo T) en términos de la transformada de Fourier de la señal en tiempo continuo xC(t). La ecuación (30) expresa la transformada de Fourier en tiempo discreto de la secuencia de muestras xd[n] (periodo de muestreo M) en términos de la transformada de Fourier de la secuencia x[n]. Si comparamos las ecuaciones (25) y (30) podemos observar que Xd(ej) puede pensarse como compuesta ya sea por un conjunto infinito de copias de XC(j), escaladas en la frecuencia por medio de =T’ y desplazadas por múltiplos enteros de 2/T’ (ecuación (25)), o M copias de la transformada de Fourier periódica X(ej), escaladas en la frecuencia por un factor M y desplazadas por múltiplos enteros de 2 (ecuación (30)). Cualquiera de las interpretaciones deja en claro que Xd(ej) es periódica con periodo 2 (como todas las transformadas de Fourier en tiempo discreto) y que el aliasing puede ser evitado asegurando que X(ej) está limitada en banda, por ejemplo:

………………………………………(31)

Y 2/M N.

El submuestreo es ilustrado en la figura 7. La figura 7(a) muestra la transformada de Fourier de una señal en tiempo continuo limitada en banda, y la figura 7(b) muestra la transformada del tren de impulsos de muestras obtenidas con un periodo de muestreo T. La figura 7(c) muestra X(ej) y está relacionada con la figura 7(b) a través de la ecuación (18). Como hemos visto, las figuras 7(b) y (c) difieren únicamente en el re-etiquetado del eje de la frecuencia. La figura 7(d) muestra la transformada de Fourier en tiempo discreto de la secuencia submuestreada cuando M=2. Hemos graficado esta transformada de Fourier como una función de la frecuencia normalizada =T’. Finalmente, la figura 7(c) muestra la transformada de Fourier en tiempo discreto de la secuencia submuestrada graficada como función de la variable de frecuencia de tiempo continuo, . La figura 7(e) es idéntica a la figura 7(d) excepto por el re-etiquetado del eje de la frecuencia por la relación =/T’.En este ejemplo, 2/T=4N, por ejemplo, la tasa de muestreo original es exactamente el doble de la mínima tasa necesaria para evitar el aliasing. Por tanto, cuando la secuencia muestreada original es submuestreada por un factor M=2, no se produce aliasing. Si el factor de submuestreo es mayor a 2 en este caso, se producirá aliasing, como se ilustra en la figura 8.

La figura 8(a) muestra la transformada de Fourier en tiempo continuo de xC(t), y la figura 8(b) muestra la transformada de Fourier en tiempo discreto de la secuencia x[n]= xC(nT), cuando 2/T=4N. Por tanto, =N T=/2. Ahora si submuestreamos por un factor M=3, obtendremos la secuencia xd[n]=x[3n]=xC(n3T) cuya transformada de Fourier en tiempo discreto se muestra en la figura 8(c) con la frecuencia normalizada =T’. Note que como MN=3/2, que es mayor a , ocurre aliasing. En general, para evitar aliasing en el submuestreo por un factor M, se requiere que:

………………………………..………….(32)

Si esta condición no se cumple, ocurre aliasing, pero puede ser tolerable para algunas aplicaciones. En otros casos, el submuestreo puede ser realizado sin aliasing si estamos dispuestos a reducir el ancho de banda de la señal x[n] antes de submuestrear. Por tanto, si x[n] es filtrada con un filtro ideal paso bajas con frecuencia de corte /M, la salida [n] puede ser submuestrada sin aliasing, como se ilustra en las

13

figuras 8(d), (e) y (f). Note que la secuencia 0d[n] = 0[nM] ya no representa a la señal en tiempo continuo original xC(t). En su lugar, 0d[n] = 0C(nT’), donde T’=MT, y 0C(t) es obtenida a partir xC(t) mediante un filtrado paso bajas con una frecuencia de corte C=/T’=/(MT).De la discusión anterior podemos observar que un sistema general para submuestrear por un factor M es el que se muestra en la figura 9. Tal sistema es llamado decimador, y el submuestreo mediante filtrado paso bajas seguido de compresión ha sido llamado decimación (Crochiere y Rabiner, 1983).

Figura 9. Sistema general para la reducción de la tasa de muestreo por M.

Mx[n]

Periodo de Muestreo T

0d[n]= 0[nM]

Periodo deMuestreo T’=MT

Filtro paso bajasGanancia=1, F.Corte=/M 0[n]

Periodo deMuestreo T

14

15

Figura 7. Representación del submuestreo en el dominio de la frecuencia

16

17

Figura 8. (a)-(c) Submuestreo con aliasing. (d)-(f) Submuestreo con prefiltrado para evitar aliasing

Sobremuestreo – Incremento de la tasa de muestreo por un factor entero

Hemos visto que la reducción de la tasa de muestreo de una señal en tiempo discreto por un factor entero involucra el muestreo de la secuencia de forma análoga al muestreo de una señal en tiempo continuo. El incrementar la tasa de muestreo involucra operaciones análogas a la conversión D/C. Para comprender esto, consideremos una señal x[n] cuya tasa de muestreo deseamos incrementar por un factor L. Si consideramos la señal en tiempo continuo xC(t), el objetivo es obtener muestras:

……………………………………………...(33)

donde T’=T/L, a partir de la secuencia de muestras:

……………………………………………..(34)

Nos referiremos a la operación del incremento la tasa de muestreo como sobremuestreo. Es claro en las ecuaciones (33) y (34) que:

………………..…(35)

La figura 10 muestra un sistema para la obtención de xi[n] a partir de x[n] usando únicamente procesamiento en tiempo discreto.

Figura 10. Sistema general para incrementar la tasa de muestreo por L.

El sistema de la izquierda es llamado expansor de la tasa de muestreo (Crochiere y Rabiner, 1983) o simplemente expansor. Su salida es:

…………………..……….

(36)

o equivalentemente,

……………………………………...(37)

El sistema de la derecha es un filtro paso bajas en tiempo discreto con una frecuencia de corte /L y ganancia L. Este sistema juega un papel similar al del convertidor D/C ideal. Primero creamos un tren de impulsos de tiempo discreto xe[n] y entonces la filtramos para reconstruir la secuencia.

La operación del sistema de la figura 10 es mejor entendida en el dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier de xe[n] puede expresarse como:

Lx[n]

Periodo de Muestreo T

xi[n]

Periodo deMuestreo T’=T/L

Filtro paso bajasGanancia=L, F.Corte=/Lxe [n]

Periodo deMuestreo T’=T/L

18

………….(38)

Por lo tanto, la transformada de Fourier de la salida del expansor es una versión escalada en la frecuencia de la transformada de Fourier de la entrada, por ejemplo, es remplazada por L por lo que es ahora normalizada por

…………………………………………….………….(39)

Este efecto es ilustrado en la figura 11. La figura 11(a) muestra una transformada de Fourier de tiempo continuo limitada en banda, y la figura 11(b) muestra la transformada de Fourier de la señal deseada xi[n]. Observamos que Xi(ej) puede obtenerse de Xe(ej) corrigiendo la escala de amplitud de 1/T a 1/T’ y removiendo todas las imágenes escaladas en frecuencia de XC(j) excepto aquéllas en múltiplos enteros de 2. Para el caso descrito en la figura 11 esto requiere un filtrado paso bajas con una ganancia de 2 y una frecuencia de corte en /2, como se muestra en la figura 11(d). En general, la ganancia requerida debe ser L, ya que L(1/T)=[1/(T/L)]=1/T’, y la frecuencia de corte debe ser /L.

Este ejemplo muestra que el sistema de la figura 10 realmente proporciona una salida que satisfaga la ecuación (33) si la secuencia de entrada x[n]= xC(nT) fue obtenida mediante muestreo sin aliasing. Dicho sistema es por tanto llamado interpolador ya que rellena las muestras faltantes, y la operación de sobremuestreo es por tanto considerada como sinónimo de interpolación.

Como en el caso del convertidor D/C, es posible obtener una fórmula de interpolación para x i[n] en términos de x[n]. Primero note que la respuesta al impulso del filtro paso bajas en la figura 10 es:

………………………………….………(40)

Usando la ecuación (37), obtenemos:

………………..………..(41)

La respuesta al impulso hi[n] tiene las propiedades:

…………………………….…(42)

Por lo tanto para el filtro paso bajas ideal de interpolación tenemos:

……….(43)

Como se deseaba. El hecho de que xi[n]= xC(nT’) para todo n proviene de nuestro argumento en el dominio de la frecuencia.

En la práctica, los filtros paso bajas ideales no pueden ser implementados con exactitud, pero se pueden diseñar algunas buenas aproximaciones. (ver Schafer y Rabiner, 1973, y Octken et al., 1975). En algunos casos, algunos procedimientos simples de interpolación son adecuados. Ya que a menudo se utiliza interpolación lineal, aunque generalmente no es muy precisa, vale la pena examinar la interpolación lineal en el presente contexto.

19

20

Figura 11. Ilustración de la interpolación en el dominio de la frecuencia

La interpolación lineal se puede obtener mediante el sistema de la figura 10 si el filtro tiene una respuesta al impulso:

………………………...……(44)

Como se muestra en la figura 12 para L=5. Con este filtro, la salida interpolada sería:

………………..

(45)

Figura 12. Respuesta al impulso para interpolación lineal

La figura 13(a) describe a xe[n] y xlin[n] para el caso L=5. De esta figura observamos que xlin[n] es idéntica a la secuencia obtenida mediante interpolación lineal entre las muestras. Note que:

……………………………………….(46)

Por lo que

……………….………………(47)

La cantidad de distorsión en las muestras puede ser calibrado mediante la comparación de la respuesta en frecuencia del interpolador lineal con la del interpolador paso bajas ideal por una interpolación factor de L. Puede demostrarse que:

……………………………………….…(48)

Esta función es graficada en la figura 13(b) para L=5 junto con el filtro paso bajas ideal de interpolación. Es claro en esta figura que si la señal original es muestreada a la tasa de Nyquist, la interpolación lineal no será muy buena ya que la salida del filtro contendrá energía considerable en la banda /L < || . Sin embargo, si la tasa de muestreo original es mucho mayor que la tasa de Nyquist, entonces el interpolador lineal será más efectivo para remover las imágenes escaladas en frecuencia de XC(j) en los múltiplos de 2/L. Esto es intuitivamente razonable ya que si la tasa de muestreo original excede la tasa

21

de Nyquist, la señal no variará significativamente entre muestras, y por tanto la interpolación lineal debe ser bastante precisa.

Figura 13 (a) Ilustración de la interpolación lineal mediante filtrado. (b) Respuesta enfrecuencia del interpolador lineal comparado con el filtro paso bajas ideal de interpolación.

22

Cambio de la tasa de muestreo por un factor no entero

Hemos mostrada como incrementar o reducir la tasa de muestreo de una secuencia por un factor entero. Combinando decimación e interpolación es posible cambiar la tasa de muestreo por un factor no entero. Específicamente, considere la figura 14(a), que muestra un interpolador que reduce el periodo de muestreo de T a T/L, seguido de un decimador, que incrementa el periodo de muestreo por M, produciendo una secuencia de salida 0d[n] que tiene un periodo de muestreo efectivo de T’=TM/L. Eligiendo L y M apropiadamente, podemos aproximar cualquier relación de periodos de muestreo. Por ejemplo, si L=100 y M=101, entonces T’=1.01T.

Si M>L existe un incremento neto en el periodo de muestreo (reducción en la tasa de muestreo) y si M<L, lo contrario es correcto. De la figura 14(a) observamos que los filtros de interpolación y decimación están en cascada, por lo que pueden ser combinados como se muestra en la figura 14(b) en un filtro paso bajas con ganancia L y frecuencia de corte igual al mínimo entre /L y /M. Si M>L, entonces /M es la frecuencia de corte dominante y hay una reducción neta en la tasa de muestreo. Como se discutió en la sección 2.2.2 (submuestreo), si x[n] fue obtenida muestreando a la tasa de Nyquist, la secuencia 0d[n] representará una versión filtrada de la señal original limitada en banda si quieremos evitar el aliasing. Por otro lado, si M<L, entonces /L es la frecuencia de corte dominante y no habrá necesidad de limitar el ancho de banda de la señal por debajo de su frecuencia de Nyquist original.

(a)

(b)

Figura 14 (a) Sistema para el cambio de la tasa de muestreo porun factor no entero. (b) Sistema simplificado en el que los filtros de

decimación e interpolación se encuentran combinados.

Lx[n]

T

xi[n]

T/L

Filtro PBG=L

F.C.=/Lxe [n]

T/L

Filtro PBG=1

F.C.=/MM

0d[n]

MT/L

0[n]

T/LPeriodo de muestreo:

Interpolador Decimador

Lx[n]

T

Filtro PBG=L

F.C.=min(/L, /M)xe [n]

T/L

M0d[n]

MT/L

0i[n]

T/LPeriodo de muestreo:

23

De la siguiente figura:

Considerando que xC(t) tiene una transformada de Fourier triangular tal que XC(j)=0 para ||>400, y amplitud máxima de valor uno. Si T=1/800;

a) Graficar X(ej) y V(ej) acotando puntos de interés en ambos ejes.

b) Sea

Graficar YC(j) acotando puntos de interés en ambos ejes.

Solución

xC(t) v[n]x[n]2

yC(t)y [n]C/D H(ej) D/C

T T

-400 0 400

XC(j)

1

24

25

-300 0 300

XC(j)

1

En el siguiente sistema se muestra XC(j)

donde el filtro está dado por:

y T-1 es el triple de la frecuencia de Nyquist. Graficar las magnitudes de las transformadas de Fourier de x[n], v[n] y [n].

Solución.

xC(t) v[n]x[n]2

w [n]C/D H(ej)

T

26

27