capítulo 2. señales,

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T

Departamento de Telecomunicaciones

SEÑALES, ESPECTROS Y FILTROS

1

Universidad del Cauca

Capítulo 2. Señales,

espectros y filtros

Teoría de Telecomunicaciones

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

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T



2

Introducción

Las señales presentes en los sistemas de comunicaciones

varían con el tiempo, mas sin embargo en ocasiones suele

ser más conveniente analizar las señales en el dominio de

la frecuencia, debido a las componentes que tiene la señal

definida en el tiempo.

A la descripción de la señal en el dominio de la frecuencia

es lo que se conoce como Espectro de la señal.

Un

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3

Señales AC

El análisis de señales implica relacionar aquellos parámetros que

describen su funcionamiento.

Para relacionar dichos parámetros

Se utiliza ondas sinusoidales

Esta representación de señales es importante, porque permite su

análisis en el domino del tiempo y la frecuencia

twAtv 0cos

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4

Señales AC

Aunque estas señales no duren eternamente, para su análisis en

estado estacionario se asume que si, para ello se utiliza una

representación fasorial.

Dada la expresión de Euler:

Se puede representar la señal

como:

Representación espectral

jsene j cos

]Re[cos

]Re[cos

0

0

twj

j

AetwA

e

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5

Convenciones para el análisis espectral

• En todos los diagramas espectrales la variable independiente es la

frecuencia f

• Los ángulos de fase serán medidos con respecto a las ondas coseno, o

lo que es equivalente, respecto al eje real positivo, por lo tanto las ondas

seno necesitan convertirse a coseno utilizando la identidad.

• La amplitud siempre se toma como una cantidad positiva, cunado

aparece un valor negativo, este es absorbido por la fase.

• Los ángulos de fase se expresan en grados, aunque otras cantidades se

expresen en radianes.

90cossin wtwt

180coscos wtAwtA

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6


Ejemplo: Considere la señalt120sin 4 60- 0 4 cos 10 - 7 w(t) t

90-t6024cos 120202 cos 10 t 7cos0 w(t) t

Un

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7


Este espectro se conoce como espectro de líneas unilaterales o de

líneas positivas y pueden obtenerse para cualquier combinación

lineal de señales sinusoidales.

Utilizando la propiedad con z cualquier complejo, se

obtiene otra representación espectral de la señal.

espectro de doble línea

][]Re[ *

2

1zzz

jtwjjtwj

twj

eeA

eeA

twA

AetwA

00

0

22cos

]Re[cos

0

0

Un

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8

Señales periódicas y series de Fourier

Señal Periódica

Una señal periódica es aquella que satisface

Donde To es el periodo de repetición de la función.

Esta ecuación implica que mover la señal hacia izquierda o derecha una cierta

cantidad de periodos, no modifica la forma de la señal.

Eso permite que para analizar el comportamiento de una señal

periódica, baste con analizar el comportamiento de uno de sus

periodos.

0mTtvtv tm

Un

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9


Señal Periódica

Cuando se satisface esta condición de periodicidad, la señal puede

ser representada utilizando una expansión en series de Fourier, las

cuales permiten obtener el espectro de la señal descompuesta en

todos sus componentes.

Sin embargo, debe cumplir una segunda condición y es que tenga

una potencia promedio finita.

El promedio de una función está dada por para

todo momento.

dttvT

tv

T

T

T

2/

2/

)(1

lim)(

Un

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10


Señal Periódica

Pero si la señal es periódica solo basta con analizar un periodo:

Por lo general en los sistemas de comunicaciones se trabaja con

señales de voltaje o corriente, por consiguiente puede determinarse

la potencia promedio a partir de la potencia instantánea.

Si la integral existe se dice que la señal tiene potencia promedio bien definida

dttvT

dttvT

tvT

Tt

t 0

01

1

)(1

)(1

)(00

R

tvti

)()( Rti

R

tvtvti )(

)()()( 2

2

dttvT

tvT0

2

0

2)(

1)(

Un

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11


Series de Fourier

Cumplidas las condiciones, se puede descomponer la señal en sus

componentes, descomponiendo la señal en sumatoria de señales

sinusoidales.

Dada periódica y con potencia promedio bien definida, su

representación mediante series de Fourier está dada por:

donde

Donde son los coeficientes de la serie de fourier.

)(tv

.....2,1,002neCtv

n

tnfj

ndtetv

TC

oT

tnfj

n02

0

)(1

nC

Un

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12


Series de Fourier

Estos coeficientes son cantidades complejas que pueden ser

representados en forma fasorial.

Donde es el argumento de

De esta manera se puede ver la descomposición de la señal en suma

de fasores, donde el n-esimo término esta dado por:

Para enfatizar la representación espectral se toma la notación:

nC

nCj

nn eCCarg

nCarg

tnfjCj

n

tnfj

n eeCeC n 00 2arg2

nCnfC )( 0

Un

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13


Series de Fourier – Implicaciones espectrales

Dada esta representación, representa el espectro de magnitud

como función de y representa el espectro en fase.

Las líneas espectrales se encuentran igualmente espaciadas, deben ser

múltiplos enteros de la frecuencia fundamental , o lo que es mejor,

deben ser armónicos de .

La componente DC es igual al valor promedio de la señal, dado que si

se evalúa con n=0, se obtiene:

nCarg

0nfC

f

0f

0f

tvdttvT

C

oT

)(1

00

Un

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14



Por lo tanto los valores de pueden chequearse inspeccionando

. , lo que resulta práctico porque frecuentemente la integración da

una forma indeterminada.

Si , es una función real en el dominio del tiempo, entonces:

de donde se obtiene que:

el espectro de amplitud tiene simetría par y el espectro de fase simetría impar, se

conoce como la Propiedad Hermitiana.

)0(C

)(tv

nCj

nnn eCCCarg

*

)()(00

nfCnfC )(arg)(arg 00 nfCnfC

)(tv

Un

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15



Realizando reagrupamiento de pares conjugados a excepción C0,

entonces:

Esta expresión se conoce como la Función trigonométrica de Fourier.

Función sinc

1

0000

2

0

1

2

00

arg2cos2

* 00

n

tnfj

n

tnfj

nfCtnfnfCCtv

enfCenfCCtv

fT) Sa( sinc(fT)fTsenfT

eefTj

dteT

fTjfTjT

T

ftj 1

2

11 2/

2/

2

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16


Ejemplo – Tren de Pulsos

El correspondiente espectro de magnitud está dado por:

2/0

2/

t

tAtv

|)()(000

nfsincAfCnnfCn

4/10

f

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17


Ejemplo – Tren de Pulsos

Su espectro de fase se obtiene por observación, debido a que los

coeficientes son reales pero en ocasiones son negativos, luego el

espectro de fase toma valores entre 0, +180.-180.

Su serie de Fourier:

Ejercicio:

4/10

f

twA

twA

twAA

tv 000 3cos3

22coscos

2

4)(

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18


Condiciones de convergencia y fenómeno de Gibbs

Se debe verificar la veracidad de la descomposición de Fourier

Condiciones de Dirichlet

Si una función periódica posee un número finito de máximos,

mínimos y discontinuidades por periodo, y además es absolutamente

integrable, entonces la serie de Fourier existe y converge

uniformemente donde quiera que sea continuo.

Si es cuadrado integrable, entonces tiene un área finita por

periodo, equivalente a la potencia de la señal.

)(tv 2|)(| tv

Un

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19



Con estas condiciones satisfechas, se dice que si se tiene una

sumatoria parcial:

entonces:

En palabras: la diferencia entre la señal y su representación decrementa, conforme

se aumentan términos la sumatoria parcial.

N

Nn

tnfj

nN eCtv 02)(

0

0)()(lim2

T

NNdttvtv

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20



Un

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21


Teorema de Parseval

Este teorema relaciona los coeficientes de la serie de Fourier con la

potencia promedio de la señal representada.

La potencia promedio de una señal puede ser encontrada con la suma del cuadrado

de las magnitudes de las líneas del espectro de la señal

2*

nnn CCCP

00

*)()(1

)(1

0

2

0 TT

dttvtvT

dttvT

P

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22

Señales no periódicas y Transformada de

FourierSeñal no periódica

Son aquellas cuya duración es corta y que no puede ser analizada

mediante series de Fourier, además por sus características tampoco

tienen potencia promedio finita.

Este tipo de señales es analizada utilizando la Transformada de Fourier, y

en este caso se habla de energía bien definida de la señal, dada por:

La existencia de esta integral es la condición para el análisis mediante

la Transformada de Fourier

dttvtE2

)()(

Un

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23


FourierTransformada de Fourier

La transformada surge de la definición de la serie, teniendo en cuenta

que en este caso el periodo es grande y la separación entre

componentes es casi nula convirtiendo en una variable continua0nf f

dfedtetvtv

edtetvT

tv

ftjftj

n

tnfj

T

tnfj

o

22

22

0

)(

)(1

00

Un

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24


FourierTransformada de Fourier

Analizando el resultado anterior, y comparando con la serie, la integral

dentro de los corchetes corresponde a la transformada de Fourier,

quien proporciona el análisis en el dominio de la frecuencia:

Y la transformada inversa sería:

dtetvtvfV ftj 2)()]([)( F

dfefVfVtv ftj 21 )()]([)( F

)()( tvfV

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25


FourierPropiedades de la transformada de Fourier

1. La transformada es una función compleja, entonces es el

espectro de amplitud y es el espectro de fase.

2. El valor de en f = 0 es igual al área neta de .

Comparable con el valor de C(0), que es el valor promedio de .

3. Si es real entonces

se puede afirmar que la función cumple con la simetría Hermitiana.

)( fV

)(arg fV

)( fV )(tv

dttvV )()0(

)(tv

)(*)( fVfV)(tv

)()( fVfV )(arg)(arg fVfV

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26


FourierEjemplo

Dada la función

Que representa un pulso rectangular en el origen

Determine la transformada de Fourier

2/0

2/1)/(

t

tt

Un

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27


FourierEjemplo

Los respectivos espectro serian

La mayor parte de la

información, esta .

concentrada en el intervalo.

Esta relación se utiliza como

una medida del ancho

espectral.

fcAfV sin)(

/1)( fV

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28


FourierSeñales simétricas y causales

Las señales simétricas, muchas veces permiten simplificar el

desarrollo de las integrales de transformación.

Retomando el teorema de Euler, las señales pueden ser expresadas

en función de una componente real y una imaginaria.

Donde

)()()( fjVfVfVoe

dtwttvfVe cos)()( dtwttvfVo

sen)()(

Un

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29


FourierSeñales simétricas

Estas expresiones representan la parte par e impar de sin tener

en cuenta las características de .

Ahora si es real:

Por consiguiente:

Con estas propiedades expuestas y tomando se puede

especificar las propiedades de simetría

)( fV

)(tv

)(tv )()(Re fVfVe

)()(Im fVfVo

)()()()(* fVfjVfVfV oe

fw 2

Un

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30



Siempre que sea simétrica en el dominio del tiempo, se puede

aplicar la siguiente simplificación:

Donde puede ser

)(tv

impartw

partwdttwdttw

dttwdttwdttw

)(0

)()(2)(

)()()(

0

0

0

)(tw wttv cos)(

wttv sen)(

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31



Si tiene simetría par, es par y impar, entonces:

Pero si tiene simetría impar, y:

)(tv wttv cos)( wttv sen)(

0

cos)(2)()( dtwttvfVfV e

)()( tvtv)(tv

0

)(2)()( dtsenwttvjfjVfV o

Un

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32


FourierSeñales causales

Si que tiene sentido para t>0 se dice que es una señal causal,

este tipo de señales no presenta ningún tipo de simetría.

El espectro de este tipo de señales está conformado de una parte

real y una imaginaria, entonces:

Esta integral tiene la forma de la transformada unilateral de Laplace

)(tv

0

2)()( dtetvfV ftj

0

)()]([ dtetvtv stL

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33


FourierSeñales causales

Este resultado indica que si se tiene una señal causal de energía, su

espectro puede determinarse mediante la transformada unilateral de

Laplace.

Ejemplo: Pulso causal exponencial

Sea la señal causal:

00

0)(

t

tAetv

bt

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34


FourierEjemplo: Pulso causal exponencial

Sus espectros:

222 4)(

fb

AfV

b

ffV

2tan)(arg 1

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35


FourierTeorema de Rayleigh de energía

Este teorema es análogo al teorema de Parseval visto en la serie de

Fourier.

Relaciona la energía de con su espectro:

Para un pulso la energía concentrada en sus componentes

principales, será:

)(tv

dffVdffVfVE 2|)(|*)()(

2

/1

/1

22

/1

/1

2 )(92.0sin)(|)(| AdffcAdffVE

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36

Relación entre el dominio del tiempo y la

frecuenciaLas relaciones tiempo – frecuencia, permiten llevar a cabo un

análisis más profundo o simple, de las señales de información.

i) Superposición

Sea , su transformada será:

De manera general:

Cuando no es posible analizar una señal, pero se conoce las señales que la componen.

)()()( 2211 tvatvatv

)]([)]([)]([2211

tvatvatv FFF

k

kk

k

kk fVatva )()(

Un

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37


frecuenciaii) Desplazamiento en el tiempo

Si una señal se retarda en el tiempo, este retardo da origen a una

nueva señal, cuyo espectro es similar al de la señal original con

un desfase de pendiente .

Si entonces

a demás:

Por consiguiente el desplazamiento afecta la fase y no la magnitud

dt2

)()( fVtv dftj

d efVttv2

)()(

)()()(22

fVefVefV dd ftjftj

Un

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38


frecuenciaiii) Cambio de escala

Se ve como un fenómeno de compresión o expansión de una

señal, entonces:

dado:

Si |a| >1 es una versión comprimida de

Si |a| <1 es una versión expandida de

Si a <0 es una versión invertida de

01

)( aa

fV

aatv

)()( fVtv

)(atv )(tv

)(atv )(tv

)(atv )(tv

Un

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del C

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T



39


frecuenciaiv) Dualidad

Esta propiedad permite la creación de un nuevo par de

transformadas a partir de un par conocido.

sean:

Si existe una función relacionada con

Tal que , entonces el nuevo par de transformadas

será:

)()( fVtv

)(tz )( fV

tfVtz )()(

)()]([ fvtzF

)()( fvtV

Un

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del C

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40


frecuenciav) Traslación en frecuencia y modulación

Este es un caso especial de la aplicación del teorema de la

dualidad

Se le conoce también como modulación compleja puesto que al

multiplicar la función por una exponencial, se causa un

desplazamiento en el dominio de la frecuencia

)()(2

c

tfjffVetv c

Un

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del C

au

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T



41



Este teorema trae consigo varios efectos:

Las componentes principales de la señal están concentradas al

rededor de .

A pesar de que tienen banda limitada , tiene un

ancho de banda . Entonces la traslación ha duplicado el ancho

espectral.

no cumple con la propiedad hermitiana, pero tiene

simetría respecto al eje trasladado a .

cf

)( fV w )( cffV

w2

)( cffV

Un

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del C

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T



42



Para efectos reales, construir la señal exponencial no es fácil,

por eso se utiliza la propiedad de Euler:

A este resultado se le conoce como teorema de la modulación

Ejemplo: Pulso RF

)(2

)(2

)cos()( c

j

c

j

c ffVe

ffVe

twtv

twt

Atz ccos)()(

Un

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43


frecuenciaEjemplo: Pulso RF

Aplicando el teorema de la modulación se obtiene:

twt

Atz ccos)()(

)(sin2

)(sin2

)( cc ffcA

ffcA

fZ

Un

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del C

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T



44


frecuenciaDiferenciación e integración

El teorema indica que una diferenciación en el tiempo, tiene

implicaciones en el dominio de la frecuencia:

Y la integral en el dominio del tiempo causa

si

la diferenciación refuerza los componentes de alta frecuencia, mientras que la

integración los atenúa.

)(2)( ffVjtvdt

d)()2()( fVfjtv

dt

d n

n

n

)(2

1)( fV

fjdv

t

0)()0( dvV

Un

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del C

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45


frecuenciaDiferenciación e integración

Existe otro importante teorema, que se desprende de la

diferenciación, el cual indica que dado:

Existe otro par de transformadas tal que:

n

n

n

n

df

fVd

jtvt

)(

)2(

1)(

)()( fVtv

Un

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del C

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T



46


frecuenciaEjercicio

Sea la señal con determine

su transformada de Fourier.

Tomando:

))(()()( Tttvttvtzdd )/()( tAtv

)(22)()()(

Ttfjtfj dd efVefVfZ

)(

21

)(

21)()()(22

21

21

21212121

)(2

)cos(2][

j

j

jjjjj

esenj

eeeeee

)()()()(22 Ttfjtfj dd eefVfZ

Un

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T



47


frecuenciaEjercicio

Haciendo

Finalmente:

Si se hace:

dft

1)(

2Ttf

d

fT21 021

2 ft20

T

dtt

02))sin(2)(sinc()(

ftjefTjfAfZ

00

t T

)()()( 2/2/ tt AAtz

)(sinc)2()( 22 fAfjfZ

Un

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del C

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T



48


frecuenciaConvolución

La convolución hace parte de las herramientas más importantes en

el campo de las comunicaciones, permite relacionar el tiempo de

manera importante simplificando ciertos análisis.

De esta manera, la convolución entre dos funciones que dependen

de la misma variable es:

Cuando las funciones son continuas la integral no tiene

inconvenientes, pero si se presentan discontinuidades se utiliza el

método gráfico.

dtwvtwtv )()()(*)(

Un

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del C

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T



49



Ejemplo para el método gráfico:

i) La integral indica que no se altera pero la función , tiene

un desplazamiento de

tAetv t 0)( TtT

ttw 0)(

)(tv )(tw

TtT

ttw 0

)()(

Un

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T



50



ii) Para tiempos menores a cero las funciones no se traslapan, por lo

tanto la convolución es cero

iii) Pero si la señal se desplaza a un Tt0

t

t TtetT

Ad

T

te

0

01

Un

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del C

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T



51



iv) Para tiempos superiores a T, hay traslape

Y el resultado obtenido:

t

Tt

TtT TteeTT

Ad

T

te )(1

Un

ive

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ad

del C

au

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T



52


frecuenciaConvolución – propiedades

i) Propiedad conmutativa

ii) Propiedad asociativa

iii) Propiedad distributiva

Estas propiedades originan los teoremas de la convolución

)(*)()(*)( tvtwtwtv

)(*)](*)([)](*)([*)( tztwtvtztwtv

)(*)()(*)()]()([*)( tztvtwtvtztwtv

Un

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53


frecuenciaConvolución – teoremas

i) Convolución en el tiempo

ii) Producto en el tiempo

iii) Derivada

iv) Integral

dt

tdwtv

dt

twtvd )(*)(

)](*)([

)()()(*)( fWfVtwtv

)(*)()()( fWfVtwtv

dttwdttvdttwtv )(*)()](*)([

Un

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T



54


frecuenciaConvolución – Pulso trapezoidal

Realizar la convolución de los siguientes pulsos:

Tomando se debe tener en cuenta los puntos sin traslape, de

traslape parcial y traslape total21

Un

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del C

au

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FIE

T



55



El desplazamiento de los pulso de menor duración genera las

siguientes señales.

Si no hay traslape la convolución es cero.

entonces22

12t2

)(21t

Un

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del C

au

ca -

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T



56



En la región de traslape parcial

22)

2()(*)( 212121

212

2

21

2

1ttAAdAAtwtv

t

22)

2()(*)( 212121

212

2

21

1

2ttAAdAAtwtv

t

Un

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T



57



En la región de traslape total

Se obtiene como resultado el pulso trapezoidal

2||)(*)( 21

2212

2

21

2

2tAAdAAtwtv

t

t

)sin)(sin()()(222111

fcAfcAfWfV

Un

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58

Impulso y transformada en el límite

El impulso - propiedades

El impulso es una función generalizada que permite definir

discontinuidades en señales mixtas.

definido bajo la integral

Propiedades:

i) iii)

ii) iv)

1)()( dttdtt

)()(*)( dd ttvtttv

)()()( dd tvdttttv

)()()()( ddd tttvtttv

0)(1

)( ata

at

Un

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59


El impulso en frecuencia

En el dominio de la frecuencia la transformada de una constante es

la función impulso:

Por ser una transformada cumple las propiedades de dicha

transformada:

)( fAA

)( c

tjwffAAe c

)(2

)(2

)cos( c

j

c

j

c ffAe

ffAe

twA

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



60


El impulso en frecuencia

Si se tomase la representación de una función periódica, sería:

Cuya transformada esta dada por:

Lo cual indica que cualquier espectro bilateral, puede ser convertido a un

espectro continuo, permitiendo generar espectros continuos que representen tanto

señales periódicas como no periódicas.

n

tnfjenfCtv 02

0 )(

)()( 00 nffnfCfVn

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



61


El impulso en frecuencia - ejemplo

Sea la señal: twAtwAtwAtvc

t

c

t

c2cos)(cos)(cos

)2(sinc)2(sinc

)(sinc)(sinc)()(

2

22

cc

A

cc

A

cc

A

ffff

fffffffffV

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



62

Función escalón y signo

El escalón

Esta señal es útil para describir niveles de voltaje o corrientes

constantes, esta definido como:

Como se puede notar esta señal es de tipo causal y calcular su

transformada en el limite suele causar cierta dificultad, por este

motivo se analiza mediante la función signo.

00

01)(

t

ttu

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



63


Signo

Como su nombre lo indica esta función describe los valores

positivos y negativos de los ejes.

Para encontrar la transformada de esta función, se debe analizar

como un caso especial de la función:

01

01)sgn(

t

tt

)()()( tvtvtz

0

0)(

te

tetz

bt

bt

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



64


Signo

Por las propiedades de simetría, se obtiene:

Tal que:

Escalón

Con este par de transformadas se puede analizar el escalón:

22 )2(

4)(2)(

fb

fjfVjfZ o

f

jfZt

b)(lim)][sgn(

0F

fjt

1)sgn(

2

1sgn

2

1)( ttu )(

2

1

2

1)( f

fjtu

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



65


Convolución con el escalón

Esta función puede simplificar el desarrollo de integrales y la

determinación de las transformadas:

Lo anterior demuestra que el teorema de la integral es valido solo si V(0)=0

t

dvdtuvtutv )()()()(*)(

)(2

1

2

1)()(*)( f

fjfVtutv

)()0(2

1

2

1)()( fV

fjfVdv

t

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



66

Impulso en el tiempo

Aplicando el teorema de la dualidad, puede obtenerse la

transformada del impulso en el tiempo:

Este resultado permite demostrar la veracidad de la transformada

inversa de Fourier:

AtA )(

dftj

d AettA2

)(

dfedevfV ftjfj 221 )()]([F

ddfev tfj )(2)(

)(*)()()( ttvdtv

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



67

Impulso en el tiempo

Una relación bastante importante es la que existe entre el impulso y

el escalón:

Con los resultados obtenidos y el teorema de la derivación

)(0

1)( d

d

dt

d ttutt

ttdt

)()( dd ttudt

dtt

k

kkn

n

ttAtwtvdt

d)()()(

k

ftj

k

n keAfWfVfj2

)()()2(

derivar la función en múltiples

ocasiones, hasta encontrar la

primera discontinuidad. Entonces la

siguiente derivada ira acompañada

de un impulso .)( kk ttA

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



68

Respuesta de un sistema y filtros

En sistemas electrónicos es muy común construir sistemas de los

cuales se espera alguna determinada respuesta a la aplicación de una

entrada.

Aunque son muchos los factores que afectan a las señales en dichos

sistemas, en este apartado se tendrá en cuanta los sistemas lineales

invariantes en el tiempo o LTI (Linear Time Invariant), que no

almacenan energía.

Sistema

)(tx )(ty

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



69


Respuesta al Impulso e integral de superposición

En los sistemas LTI, la respuesta es obtenida a partir de la entrada,

que se representa como:

Linealidad

Que además indica que satisface el concepto de la superposición:

La invariancia en el tiempo indica que las características del sistema

permanecen constantes en el tiempo

)]([)( txFty

k

kk txatx )()(k

kk txFaty )]([)(

)()]([ dd ttyttxF

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



70



En los sistemas comunes, debido a la presencia de múltiples

elementos, la entrada y la salida del sistema se encuentran

relacionadas mediante una ecuación diferencial lineal de la forma:

Como se puede notar esta expresión no permite determinar a ,

directamente, por este motivo es necesario determinar la respuesta al

impulso.

)()(

......)(

)()(

......)(

001 txbdt

tdxa

dt

txdbtya

dt

tdya

dt

tyda bm

m

mn

n

n

)(ty

)]([)( tFth

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



71



Por las propiedades del impulso una función se puede expresar

como:)(*)()( ttxtx

dtFxdtxFty )]([)()()()(

)()]([ thtF

dthxty )()()(

)(*)()()()( txthdtxhty

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



72



De esta manera, el análisis en el dominio del tiempo depende del

conocimiento de la respuesta al impuso y la habilidad para realizar la

convolución.

Aunque se emplean muchas técnicas para determinar la respuesta al

impulso, una de las más eficientes es utilizar como señal de entrada

al escalón)()( tutx

)]([)( tuFtg

dt

tdgth

)()(

)(*)()( tuthtg

dt

tduth

dt

tdg )(*)(

)(

)()(*)()(

thtthdt

tdg

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



73


Respuesta en el tiempo de un sistema de primer orden

Este circuito representa un sistema de primer orden.

Su respuesta esta dada por:

La respuesta al impulso sea entonces la derivada de

)()()(

txtydt

tdyRC )()1()( / tuetg RCt

)()(/

tuRC

eth

RCt

)(tg

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



74


Función de transferencia y análisis en el dominio de lafrecuencia

Una función de transferencia es la transformada de Fourier de la

respuesta al impulso en el dominio del tiempo.

Por lo tanto para que exista transformada, debe ser una señal

estable que sea transformable.

Sistema LTI

)(tx )(ty

)( fX )( fY

)(th

)(th

)( fH

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



75


Función de transferencia y análisis en el dominio de la frecuencia

El concepto de la función de transferencia proviene de la integral de

superposición, cuando a la entrada del sistema se aplica una señal:

Entonces la respuesta del sistema es:

expresando la salida en forma

fasorial se tiene:

teeAtxtfjj

xx 02

)(

tfjj

x

tfjj

x

fj

tfjj

x

eeAfHty

eeAdehty

deeAhty

txthty

x

x

x

0

00

0

2

0

22

)(2

)()(

)()(

)()(

)(*)()(

xyxy

tfjj

y

fHAfHA

teeAty y

)(arg)(

)(

00

2 0

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



76



En la práctica la entrada y salida tendrían la forma:

Y la relación de amplitud y cambio fase del sistema será:

De manera general la respuesta en el dominio de la frecuencia está

dada por:

con

El resultado es la base del análisis de sistemas en el dominio de la frecuencia.

El espectro de la señal de salida es el espectro de la señal de entrada,

multiplicado por la función de transferencia del sistema.

)2cos()()2cos()( 00 xxxx tfAtxtfAtx

)(arg)( 00 fHfHA

Axy

x

y

)()()( fXfHfY)(arg)(arg)(arg

)()()(

fXfHfY

fXfHfY

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



77



Siendo la entrada una señal de energía, la correspondiente salida será

una señal de energía:

con

Con estos resultados se puede obtener la función de transferencia

por dos caminos diferentes sin involucrar a :

O la respuesta en el estado estable:

dffXfHEy

22

)()(222

)()()( fXfHfY

01

01

)2()2(

)2()2()(

afjafja

bfjbfjbfH

n

n

m

m

)(th

)(

)()(

tx

tyfH

ftjetx 2)(

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



78


Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden

Considere el circuito de primer orden, definido con impedancias

Tomando , la función de

transferencia es:

Entonces, realizando los correspondientes remplazos de impedancia

donde

jwtetx )(

cr

c

ZZ

Z

tx

tyfH

)(

)()(

fRCjfcjR

fcj

tx

tyfH

21

1

2/1

2/1

)(

)()(

)/(1

1)(

BfjfH

RCB

2

1

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



79


Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden

Las relaciones de fase y amplitud serían:

Se puede destacar la relación de amplitud, donde se aprecia que las

componentes de baja frecuencia no se ven muy afectadas ( ),

mientras que las componentes de alta frecuencia ( ) se reducen

significativamente.

2)/(1

1)(

BffH

B

ffH 1tan)(arg

Bf ||

Bf ||

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



80

Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden -

Consideraciones de W y B

Tomando una señal arbitraria con determinado

ancho de banda, tal que sus componentes de alta

frecuencia sean despreciables ( )

1. Si , en este caso el filtro deja pasar las

componentes en frecuencia puesto que .

y de esta manera:


Wf ||

BW

1)( fH

0)(arg fH

)()()()( fXfXfHfY

)()( txty

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



81



2. Si , depende de y , se

puede entonces decir que la salida está

distorsionada porque difiere de la entrada.


BW

)()()()( fXfXfHfY

)()( txty

)( fY )( fX )( fH

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



82



3. Si , se aproxima a su valor en ,

entonces:

Y la respuesta se aproxima a la respuesta del

sistema cuando en la entrada es aplican un

impulso.

Repita el ejercicio cambiando la impedancia capacitiva por

una inductiva, exprésela en términos de


BW )( fY

)()0()( fHXfY

0f

LRf l 2/

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



83

Análisis de diagrama en bloques

Los sistemas de telecomunicaciones, están conformados de

múltiples subsistemas que se encargan de funciones específicas y

cada uno de ellos tiene su respectiva función de transferencia.

Configuración paralelo


)()()(

)()()()()(

)()]()([)(

21

21

21

fHfHfH

fHfXfHfXfY

fXfHfHfY

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



84

Análisis de diagrama en bloques

Configuración cascada

Configuración retroalimentación


)()()(

)]()()[()(

21

12

fHfHfH

fXfHfHfY

)()()(1

)()(

])()()()[()(

21

1

21

fXfHfH

fHfY

fYfHfXfHfY

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



85

Análisis de diagrama en bloques – Ejercicios

1. Determine la función de transferencia de

2. Encuentre el diagrama en bloques tanto en el tiempo como en la

frecuencia, dada la función de transferencia


Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



86

Distorsión de señal en transmisión

Sin importar el tipo de medio de transmisión que enlace el

transmisor y el receptor todos poseen dos características físicas

esenciales: la disipación y el almacenamiento de energía.

Para entender la distorsión, es preciso definir lo que es una

transmisión sin distorsión y sus condiciones.

La señal de salida tiene que tener una proporción en magnitud con la entrada y

un retardo tolerable que no altere la forma de onda.


Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



87


Matemáticamente se tiene:

Comparando con la respuesta de un sistema en frecuencia se tiene:

Entonces el sistema debe multiplicar la entrada por una constante

que puede ser positiva o negativa.


)()( dttKxty

)()]([)( fXKetyfY djwtF

djwtKefH )(

1802)(arg|||)(| mftfHKfHd

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



88


Cabe aclarar que esta condición de transmisión no se presenta para

toda frecuencia, sino para aquellas frecuencias donde opera el

sistema de telecomunicaciones.

Por ejemplo un sistema que trabaje con el espectro de voz

El rango donde se debe tener

transmisión sin distorsión está

entre 200 y 3200.


Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



89


Entonces se puede definir ahora tres tipos de distorsión:

• Distorsión de Amplitud, que ocurre cuando

• Distorsión de Fase, cuando

• Distorsión no lineal, que ocurre cuando el sistema está

compuesto de elementos no lineales.

Los dos primeros se clasifican como distorsiones lineales, descritos

por la función de transferencia de sistemas lineales.

Para el tercer tipo, no existe función de transferencia.


|||)(| KfH

1802)(arg mftfH d

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



90

Distorsión de señal en transmisión – distorsión lineal

La distorsión lineal en el dominio de la frecuencia indica que las

componentes de frecuencia no están en las proporciones correctas,

debido a que la magnitud de la función de transferencia del sistema

no tiene una respuesta constante. Por este motivos se suele llamar

distorsión de frecuencia.

Los casos más comunes son la afección de las componentes de baja

o alta frecuencia, amplificando o atenuando de manera

desproporcionada.


Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



91


Ejemplo en el dominio del tiempo:

Atenuación de altas frecuencias Atenuación de bajas frecuencias


twtwtwtx 000 5cos5/13cos3/1cos)(

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



92


En los sistemas reales conseguir transmisión con cero distorsión es

difícil, y por este motivo los sistemas se diseñan con un grado de

tolerancia.

Cuando la señal experimenta retardos o desfases no lineales, se

genera la distorsión de fase o retardo.

Desfase de -90°


)(2)(arg fftfH d

f

fHftd

2

)(arg)(

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



93


Para visualizar el efecto de la distorsión de retardo, tememos una

función de transferencia de canal de la forma

Si se transmite una señal:

En la salida del canal se obtiene:


gg ftjjftjeAeAefH

2)2(00)(

02)(arg gftfH ftft gd 2/)( 0

tsenwtxtwtxtx cc )(cos)()( 21

])([)(])(cos[)()(0201 gcggcg

ttwsenttxttwttxty

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



94


De la respuesta se puede definir que:

Tal que la respuesta del sistema tiene la forma:

La señal portadora sufre un retardo diferente al que experimenta la

señal, se distinguie: Retardo de portadora o de fase y Retardo de envolvente o

de grupo del canal.

Esta análisis conlleva a los requisitos necesarios para que un canal

pasabanda sea considerado sin distorsión.


dcgc twtwfH 0)(arg

)]([)()](cos[)()( 21 dcgdcg ttwsenttxttwttxty

gdtt

df

fdt

g

)(

2

1

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



95

Distorsión de señal en transmisión – distorsión no lineal

En un sistema no lineal no existe el concepto de función de

transferencia, en lugar de ello se describe los valores instantáneos de

entrada y salida, mediante una curva:

Característica de transferencia

Bajo la condición de señales pequeñas se puede linealizar la función

A la cual puede darse solución mediante la convolución


)]([)( txTty

3

3

2

21)()()()( txatxatxaty

)(*)(*)()(*)()()(321

fXfXfXafXfXafXafY

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



96

Filtro y filtrado

Los filtros son muy comunes en sistemas de comunicaciones por la

posibilidad que proporcionan de evitar la degradación de la señal y

su recepción.

Filtro Ideal : Por definición un filtro tiene características de

transmisión sin distorsión sobre una o algunas bandas de

frecuencia específicas, y repuesta nula para el resto.


casootroen

fffkefH ul

jwtd

0)(

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



97

Filtro y filtrado - Filtro Ideal

Los parámetros y determinan el ancho de banda del filtro

Cuando el filtro se comporta como un filtro pasabajas y su

ancho de banda estará dado por:

Si ahora se toma a y su comportamiento es el de un filtro

pasaaltas.

Y finalmente un filtro el cual deja pasar todas las frecuencias

excepto las de una banda específica.


lfuf

lu ffB

ufB

0lf

0lf uf

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



98

Filtro y filtrado - Filtro Ideal

Este tipo de filtros se consideran ideales, porque sus

características no pueden obtenerse con un número finito de

elementos.

Además, considere el filtro pasabajas ideal:

La respuesta al impulso está dada por:

Note que la respuesta al impulso tiene valores en t menor

a cero, que indica que hay respuesta antes de aplicar señal.


B

tKefH djwt

2)(

)(2csin2)(d

ttBBKth

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



99

Filtro y filtrado - Limitación en banda y tiempo

Se dice que una señal esta limitada en banda si sus compo-

nentes a partir de una frecuencia W son nulas.

Análogamente, se dice que una señal es limitada en tiempo, si existe

durante un intervalo de tiempo finito.

Aunque, la respuesta en frecuencia de una señal limitada en tiempo

no sea limitada en banda, gracias al concepto de los filtros se puede

tomar estas aproximaciones.


WfparafV ||0)(

210)( ttyttparatv

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



100

Filtro y filtrado - Filtros Reales

Para apreciar las aproximaciones obtenidas a partir del filtro ideal, se

debe tomar la relación de amplitudes de un filtro real.

Se puede notar que para el filtro real es lo suficientemente

grande pero no es constante como en el caso ideal, esto se debe a

que en los puntos de corte la magnitud es pequeña pero no cero.


|)(| fH

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



101


Estos puntos de corte se definen por:

Para que no caiga a un nivel tan bajo.

Estos puntos de corte definen el ancho de banda y se conocen

como puntos de potencia mitad o de 3dB.

Además definen tres regiones importantes:

Región de Paso

Región de transición

Región de Parada


|)(| fH

hl fffK

fHfH ,2

|)(|2

1|)(| max

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



102


El filtro más sencillo es un filtro pasabajas de butterworth de orden

n, cuya función de transferencia con ganancia unitaria esta dada por:

B: Ancho de banda de 3dB

:Polinomio complejo de Butterworth

Dichos polinomios están definidos como:


)/(

1)(

BjfPfH

n nP

n

n BfBjfP 22 )/(1|)/(|nBf

fH2)/(1

1|)(|

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



103


Un filtro de primer orden de butterworth, tiene las mismas

características de un filtro RC pasabajas, que es una aproximación

distante al filtro ideal, que mejora a medida que se aumentan

elementos del circuito, aumentando el orden del filtro.

n=3


Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



104


Una relación bastante clara entre la magnitud y la frecuencia, es la

que se obtiene de los diagramas de bode.


Para n=1 la región

transición de 9B.

Para n=10 será de 0.25B

Se puede apreciar que a medida

que crece el orden del filtro H(f)

se aproxima al filtro ideal, sin

embargo en la distorsión de fase

se incrementa causando

inconvenientes.

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



105


Cuando la preocupación es el retardo de fase, una opción más

adecuada son los filtros de Bessel-Thomson, ellos proporcionan un

valor máximo de distorsión lineal de fase, para un número

determinado de n.

Por otro lado los filtros igual rizado, como los de chebyisheb y

elípticos, proporcionan una mejor caída en la región de transición


Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



106

Filtro y filtrado - Filtro de butterworth de Segundo Orden

Este es un filtro pasabajas de segundo orden con ancho de banda:

Con

Entonces:


LCB

2

1

LRC

RC

ZZ

ZfH )(

jwRC

R

jwCR

jwCRZ rc

1/1

/

12

22

21

/1

1)( fLCf

R

Lj

LCwRjwLfH

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



107

Filtro y filtrado - Filtro de Butterworth de Segundo Orden

Comparando con los polinomios de Butterworth

Se debe cumplir


12

21)(B

f

B

fjfH

LCBR

L22

22

C

LR

2

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



108

Filtro y filtrado - Filtro de Butterworth de Segundo Ordenl=input('cual es el valor de su inductancia (mH): ');

c=input('cual es el valor de su capacitancia (mF): ');

L=l/1000;

C=c/1000;

B=1/(2*sqrt(L*C))

R=sqrt(L/(2*C))

f=0:0.1:2*B;

H=1./(1+i*(sqrt(2)*(f./B))-((f./B).^2));

hb=1./(i*sqrt(2))

plot(f,abs(H),B,abs(hb),'bo','LineWidth',2);

grid on

B =22.8218

R =1.0328


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Un

ive

rsid

ad

del C

au

ca -

FIE

T



109

capítulo 2. señales,

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