capitulo_i-_sistema_de_nros_reales

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDESFACULTAD DE INGENIERÍA

MATEMÁTICA BÁSICA I

UNIDAD I

SISTEMA DE NÚMEROS REALESEl sistema de los números reales, comprende el estudio de los axiomas y teoremas y su aplicación en la solución de ecuaciones, inecuaciones y valor absoluto.

I. AXIOMAS Y TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES

1.1 EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES:El sistema de los números reales es el conjunto de los números reales (IR) con las operaciones de adición (+) y multiplicación (.) y una relación de orden “ < “.

1.2 AXIOMASa. AXIOMAS DE IGUALDAD:

a, b, c y d R , se cumplen los axiomas siguientes:1) AXIOMA DE REFLEXIVIDAD :

Todo número real es igual a sí mismo: a = a

2) AXIOMA DE SIMETRÍA: Si un número es igual a otro, entonces el segundo es igual al primero: Si a = b b = a

3) AXIOMA DE TRANSITIVIDAD: Si un número es igual a otro, y este otro es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero:

Si a = b b = c a = c

4) AXIOMA DE ADICIÓN DE LA IGUALDAD: Si a = b c = d a + c = b + d

5) AXIOMA DE MULTIPLICACIÓN DE LA IGUALDAD: Si a = b c = d a c = b d

6) PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES: Todo número real puede ser reemplazado por su equivalente.

b. AXIOMAS DE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES:El sistema de los números reales se construye a partir de los axiomas de la adición y multiplicación.Si a, b y c R se cumplen los siguientes axiomas:

PARA LA ADICIÓN PARA LA MULTIPLICACIÓN1) AXIOMAS DE CLAUSURA:

( a.b ) IR ( a + b ) IR2) AXIOMAS DE CONMUTATIVIDAD

a.b = b.a a + b = b + a3) AXIOMAS DE ASOCIATIVIDAD

( a.b ).c = a. (b.c ) = a.b.c ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c 4) AXIOMAS DE IDENTIDAD O ELEMENTO

NEUTRO:a.1 = 1.a = a

Ing. José A. Navarro Véliz Pág 1

a + 0 = 0 + a = a

5) AXIOMAS DE INVERSOS a . a- 1 = a-1. a = 1

a + ( -a ) = ( -a ) + a = 06) AXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD

( b + c ).a = b.a + c.a a ( b + c ) = a.b + a.c

c. AXIOMAS DE ORDEN a, b y c R se cumplen los siguientes axiomas:

1. AXIOMA DE TRICOTOMÍA: Dados a y b R una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:

a b

2. AXIOMA DE TRANSITIVIDAD: Si : a 0 ac < bcSi: a bc

d. DEFINICIONES1) a 02) a > b a – b > 03) a b a = b a b

1.3 TEOREMAS

a. TEOREMAS RELATIVOS A LA IGUALDAD

1. TEOREMA DE IGUALDAD – ADICIÓN: Si: a = b a +c = b + c ; c R

2. TEOREMA DE IGUALDAD MULTIPLICACIÓN: Si: a = b a.c = b.c ; c R

3. TEOREMA DE CANCELACIÓN - ADICIÓN: Si: a + c = b + c a = b

4. TEOREMA DE CANCELACIÓN – MULTIPLICACIÓN: Si: a.c = b.c c 0 a = b

b. TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES: 1. TEOREMA: a R, se cumple a.0 = 0

2. TEOREMA: a R, se cumple -a = (-1) aCOROLARIO: a.(-b) = - (ab) = (-a) b , a, b R

3. TEOREMA: - (-a ) = a, a R

4. TEOREMA: ( - a ) ( -b ) = a.b , a, b R

5. TEOREMA: a R, a 0 se tiene ( a –1 ) – 1 = a

6. TEOREMA: ( ab ) –1 = a –1. b –1, a, b R donde a 0, b 0 , a.b 0

c. TEOREMAS DE LA RELACIÓN DE ORDEN 1. Si a < c b < d a + b < c + d2. Si a - b

d. OTROS TEOREMAS

DEFINICIÓN DE SUSTRACCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES: a, b R a - b = a + ( - b )

DEFINICIÓN DE DIVISIÓN DE LOS NÚMEROS REALES:

, se tiene:

Se cumplen los siguientes teoremas:

1. TEOREMA:

2. TEOREMA: ,

3. TEOREMA: ,

4. TEOREMA: ,

5. TEOREMA: ,

6. TEOREMA: ,

7. TEOREMA: ,

8. TEOREMA: Si

9. TEOREMA: ,

10. TEOREMA: ,

OBSERVACIÓN : Axioma es un principio claro y evidente que no necesita demostración. Teorema principio que necesita demostración.

ACTIVIDAD 1.1 1. Demuestra los teoremas anteriores aplicando los axiomas y/o teoremas.2. Calcula el valor de “x”, aplicando axiomas y teoremas:

a) x + 4 = 9b) 2x – 6 = 15c) 10 – 4x = 2x + 7

3. Demuestra las igualdades siguientes aplicando axiomas y teoremas:



a) 12 – 4 = 8b) 3 - 4 = - 1 c) – 6 – 7 = - 13d) 7 – 10 = - 3

II. ECUACIONES

Es una igualdad entre expresiones algebraicas, en la que se tiene una o más letras, llamadas incógnitas.

Primer Segundo miembro miembro

Se denomina solución de una ecuación a un valor o conjunto de valores de la incógnita en estudio, para lo cual se verifica la igualdad.

PARTES DE UNA ECUACIÓN

Termino.- Combinación de números y símbolos unidos por operaciones de multiplicación o división.Ejemplo: Dada la expresión: 5x2 + 3x3y3z ; se tiene como términos a: 5x2, 3x3y3z

Factor.- Es cada uno de los componentes de un términoEjemplo: Dada la expresión: 5x2 + 3x3y3z ; se tiene como factores a: 5, x2 – 3, x3y3z

Coeficiente.- Es la parte numérica de un términoEjemplo: Dada la expresión: 5x2 + 3x3y3z ; se tiene como coeficientes a: 5 y 3

Grado de un término.- Es la suma de los exponentes de las variables.Ejemplo: Dada la expresión: 3x3y3z ; el grado del término es 7 ( 3 + 3 + 1)

ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALESTiene una incógnita elevado a la unidad.

1. ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLEFórmula general:

Ejemplos:

a. 2x + 3 = 0

b. 3x – 5 = 0

2. ECUACIONES EQUIVALENTEDos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.Fórmula general: aaax + b = dx + caa




Ejemplos:a. 6x – 5 = 2x + 7 4x = 12

x = 3

ACTIVIDAD 1.2Resolver ordenadamente las siguientes ecuaciones de primer grado1. x – 7 – 9x = 3x – 3 – 7x

2.

3.

4. (x+5)(x+2)–3(4x–3) = (5–x)2

5.

6.

7.

8.

3. ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS – ECUACIONES SIMULTÁNEAS

Fórmula general:a1 x + b1y = c1

a2 x + b2y = c2

Ejemplo: 5x + 2y = 322x – y = 2

MÉTODOS DE SOLUCIÓN:

a. REDUCCIÓN:- Se multiplica a una o a las dos ecuaciones por diferentes

números, de tal manera que se obtenga en una de las incógnitas el mismo coeficiente pero con signos diferentes.

- Se suman ambas ecuaciones

Ejemplo:5x + 2y = 32.........................(1)2x – y = 2.............................(2)

Solución:Multiplicando por dos a la ecuación (2) y sumando ambas ecuaciones, se tiene:

5x + 2y = 32 4x – 2y = 4 9x = 36 x = 4




Reemplazando el valor de (x) en la ecuación (1):

5(4) + 2y = 322y = 12

y = 6

ACTIVIDAD 1.3 Resolver adecuadamente los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de Reducción

b. SUSTITUCIÓN:- De una de las ecuaciones, se despeja una de las variables en

función de la otra.- Se sustituye el valor hallado por la incógnita de la otra

ecuación.

Ejemplo:2x + 4y = 50..............(1)3x + 5y = 66..............(2)

Solución:

Despejando la variable x, en función de la variable y, de la ecuación (1):

.............(3)

Sustituyendo el valor de la variable x en la ecuación (2), se tiene:

150 – 12y + 10y = 132y = 9

Por tanto, se reemplaza la variable y en la ecuación (3)

x = 7

ACTIVIDAD 1.4Resolver adecuadamente los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de sustitución.

1.

2.

3.

4.

5.

6.




c. COMPARACIÓN O IGUALACIÓN:- De cada ecuación se determina el valor de una de las

incógnitas, en función de la otra.- Se igualan las expresiones.

Ejemplo:3x + 2y = 27................(1)2x – 3y = 5..................(2)

Solución:

Despejando la variable x en las ecuaciones (1) y (2)

...............(4)

..................(5)

Igualando las expresiones (4) y (5), se tiene:

54 – 4y = 15 + 9y -13y = -39 y = 3………………….()

Reemplazando () en (4)

ACTIVIDAD 1.5 Resolver adecuadamente los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de igualación.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

d. Ley de Crammer

Dado el sistema:




a1 x + b1y = Ca2 x + b2y = E

Se tiene que determinar:

a. La determinante:

b. Determinante de x

c. Determinante de y

Por tanto:

Ejemplo:Resolver:

Solución: Calculo de la determinante

Calculo de la determinante de X:

Calculo de la determinante de Y:

Por tanto:

ACTIVIDAD 1.6 Resolver adecuadamente los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de ley de cramer.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

4. ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS




Fórmula general:a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Para la solución se aplica el método de reducción.Ejemplo:

3x + 2y – z = 14………………. (1)x – 4y + 2z = -7………………. (2)-2x + y + 3z = -7………………. (3)

Multiplicando a la ecuación (1) por 2; y sumando la ecuación (2)6x + 4y – 2z = 28 …(1)x – 4y + 2z = -7 …(2) 7x = 21 x = 3

De la ecuación (2) y la ecuación (3)x – 4y + 2z = -7 (2) * 1-2x + y + 3z = -7 (3) * 4 x – 4y + 2z = -7-8x + 4y + 12z = -28 -7x + 14z = -35

Si x = 3 -7(3) + 14z = -35 14z = -14 z = -1

Reemplazando los valores de “x” y “z” en (1)

3(3) + 2(y) – (-1) = 14 2y = 4 y = 2

Otra forma de resolver este ejercicio es aplicando la Ley de Cramer.

Dado:a1x + b1y + c1z = Da2x + b2y + c2z = Ea3x + b3y + c3z = F

Se debe Calcular:

a. El Determinante:

b. El Determinante de x:




c. El Determinante de y:

d. El Determinante de z:

Por lo tanto:

ACTIVIDAD 1.7Resolver adecuadamente los siguientes sistemas de ecuaciones.1.

2.

3.

4.

5.

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

El exponente de la incógnita es 2.

Toda ecuación cuadrática tiene 02 raíces o soluciones que satisfacen la igualdad.Se clasifican en completas e incompletas.Completa: ax2 bx c = 0 a 0

Incompleta: ax2 bx = 0 ax2 c = 0

x1 = 0,




MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

1. POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES / FACTORIZACIÓN

ax2 bx c = 0Factorizando:

(x d) (x e) = 0Igualando a cero cada termino

x = d x = e

Ejemplo: x2 + 5x – 6 = 0

Solución:Factorizando se tiene: (x + 6) (x – 1) = 0

x + 6 = 0 x – 1 = 0 x = -6 x = 1

c. s. x = -6 , 1

ACTIVIDAD 1.8

Resolver adecuadamente las de ecuaciones de segundo grado por el método de factorización:

1. x2 – 9 = 02. x2 + x – 6 = 03. 6x2 = 31x + 604. 15x2 = 23x – 45. 3x2 – 8x – 3 = 06. (x – 1)2 = 4

7. (5x – 2)2 = 168. x2 – 5x = 09. (x – 3)3 = x3 – 63

10.

2. POR FÓRMULA

Dado la ecuación: ax2 bx c = 0 ; a 0

Se aplica:

El valor de las raíces depende del valor que tome el binomio b2 – 4ac, llamado discriminante ( ).La discriminante puede ser:

0 Las raíces son reales y desiguales 0 Las raíces son imaginarias y desiguales

= 0 Las raíces son R iguales

ACTIVIDAD 1.9

Resolver adecuadamente las de ecuaciones de segundo grado por el método de factorización:1. x2 + 3x – 4 = 02. 7x2 + 5x – 2 = 03. 3x2 + 4x – 7 = 04. x2 + 3 = 0

5. 2x2 – 3 = 06. 0.01x2 + 0.2x = 0.67. 0.16x2 = 0.8x – 1




8.

9.

10.

3. MÉTODO COMPLETAR CUADRADOSPasos:1. Llevar a la forma 1x2

2. Pasar el término independiente al según miembro3. Sumar a ambos miembros la mitad del coeficiente de x, elevando al

cuadrado

4. Desarrollar, factorizar, aplicando la fórmula

Ejemplo: x2 + x – 20 = 0x2 + x = 20

x1 = 4 x2 = 5c. s. x = -5 , 4

ACTIVIDAD 1.10Resolver adecuadamente las de ecuaciones de segundo grado por el método de completar cuadrados:1. x2 – 7x – 8 = 02. 2x2 – 3x = 143. 3x2 – 9x = 334. x2 -7x + 11 = 0

5. x2 + 8x + 3 = 06. x2 + 8x + 10 = 07. x2 – 10x = 1

OPERACIONES CON LAS RAÍCES DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS

Teorema: “Si la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, con a 0 admite soluciones r y s en R”, se cumplen:

a. Suma de raíces: S = x1 + x2 =

b. Producto de raíces: P = x1 * x2 =




c. Diferencia de raíces: D =

Ejemplo: 1. Si r y s son las raíces de la ecuación x2 – px + q = 0.

Determinar r2 + s2 y r3 + s3

Solución: Por teorema r + s = p, r * s = q

a. r2 + s2 = (r + s)2 – 2r*s = p2 – 2qb. r3 + s3 = (r + 3)3 – 3rs (r + s) = p3 – 3q(p) = p(p2 – 3q)

2. Si a b son las raíces de la ecuación x2 + mx + 2m2 = 0. Determinar el valor de E = a5b7 + a7b5

Solución: a + b = -m a * b = 2m2

E = a5b5 (a2 + b2) E = (a * b)5 * ((a + b)2 – 2ab) E = (2m2)5 * ((-m)2 – 2(2m2)) E = 32m10 * (m2 – 4m2) E = 32m10 (-3m2) E = -96 m12

3. Sean r y s las raíces de la ecuación (m-2)x2 – 2mx + 2m – 3 = 0. Si

, Hallar el valor de r - s

Solución:

Si:

La ecuación es 3x2 – 10x + 7

r - s =

ACTIVIDAD 1.11

Resolver los siguientes ejercicios aplicando el teorema de las raíces:

1 Hallar el valor de K en la ecuación: x2 + (2k + 5)x + k = 0; si una raíz excede a la otra en 3 unidades.

2 Si {r, s} es el conjunto solución de la ecuación ax2 + bx + c = 0; a 0. Determinar el valor de: E = r4s7 + r7s4.

3 Dada la ecuación: (2k + 2)x2 + 4x – 4kx + k – 2 = 0. Determinar el total de sus raíces, sabiendo que estas son inversas.




4 Siendo x1 y x2, las raíces de la ecuación: 5x2 – 23x + 11 = 0. Determinar el valor de:

5 Si la suma de las inversas de las raíces de la ecuación: x2 – mx + 1 = 0; es igual a la inversa de la suma de las raíces. ¿Qué valor asume m?

6 La suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación: x2 + (m – 2)x – (m + 3) = 0, es igual a K. Determine el mínimo valor de K.

7 Determine la ecuación cuadrática, si sus raíces son: .8 Dada las raíces: x1 = 3 y x2 = -5. Indicar la ecuación cuadrática.

ECUACIONES POLI NÓMICASSe llama ecuación poli nómica de grado superior a toda ecuación que tiene la fórmula:

a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an = 0 ; n N / n 3 a0 0

Teorema: 1. Toda ecuación poli nómica de grado “n” tiene exactamente “n” raíces entre

IR y C.2. Toda ecuación poli nómica de grado impar y de coeficientes reales tienen

por lo menos una raíz real.3. Toda ecuación poli nómica de grado n y de coeficientes IR, se puede

representar como la multiplicación indicada de 2 o más factores primos en IR.

1. TEOREMA DE GAUSSEste teorema permite analizar la existencia de alguna raíz racional en una ecuación poli nomial de coeficientes enteros.

P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an = 0

Donde: a0 0 an 0

Si x1 R

p = divisor del término independiente de P(x): an

q = divisor del coeficiente principal de P(x): a0

Ejemplo:1. Resolver: x5 + 3x4 + 2x3 – x2 – 3x – 2 = 0

Solución:

p = (-2) 1 , -1 , 2 , -2 q = (1) 1

1 3 2 -1 -3 -21 1 4 6 5 2

1 4 6 5 2 0-1 -1 -3 -3 -2

1 3 3 2 0-2 -2 -2 -2

1 1 1 0




(x – 1) (x + 1) (x + 2) (x2 + x + 1) = 0

C.s X = {1, -1, -2, , }

2. Determinar las raíces de: x3 – 5x2 + x – 5 = 0

Solución:

p(5) = (1) (-1) (5) (-5) q = (1)

1 -5 1 -55 1 0 5

1 0 1 0

(x – 5) (x2 + 1) = 0

C.s. X = {5, 1i}

ACTIVIDAD 1.12Determinar las raíces de las siguientes ecuaciones poli nómicas:

1. X4 + 2X3 – X2 + 4X – 6 = 02. 2X3 + 3X2 – 11X – 6 = 03. X4 – 4X3 – X2 + 16X – 12 = 04. X5 + 3X4 – 5X3 – 15X2 + 4X + 12 = 0

III. DESIGUALDADES E INECUACIONES

INTERVALOSEs el conjunto de números contenidos entre dos números fijos denominados extremos, los cuales pueden formar parte del intervalo.

x IR / a x b

Dado: a b y a, b R se tiene los siguientes tipos de intervalos:

A. INTERVALO ABIERTOSe denomina así al conjunto de números reales comprendido entre a y b.Se simboliza por:

a , b a , b


a , b = a , b = x IR / a x b

No se considera como parte del intervalo

B. INTERVALO CERRADOEs el conjunto de IR, comprendido entre a y b, incluidos ambos.Se simboliza:

a , b = x IR / a x b

Los puntos pertenecen al intervalo

C. INTERVALO SEMIABIERTO POR DERECHASe llama así al conjunto de números comprendidos entre a y b que incluye al extremo a pero excluye al extremo b.Se simboliza:

a , b a , b a , b = a , b = x IR / a x < b

D. INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDAEs el conjunto de números reales comprendidos entre a y b que excluye al extremo a pero incluye al extremo b.Se simboliza:

a , b a , b = x IR / a x b

E. INTERVALO NO ACOTADO EN UNO O EN AMBOS EXTREMOSSe define:


- a 0 b +

x

- a 0 b +

x

- a 0 b +

X

- a 0 b +

x



a. Intervalo abierto por la izquierda y no acotado por derecha

a , + = x IR / a x a , + = x IR / x a

b. Intervalo cerrado por la izquierda y no acotado por la derecha

a , + = x IR / a x a , + = x IR / x a

c. Intervalo abierto por la derecha y no acotado por la izquierda

- , a = x IR / - x a - , a = x IR / x a

d. Intervalo cerrado por la derecha y no acotado por la izquierda

- , a = x IR / - x a - , a = x IR / x a

e. Intervalo no acotado por izquierda y derecha

- , + = x IR / - x - , + = IR


- 0 a +

x

- a 0 +

x

- a 0 +

x

- 0 a +

x

ACTIVIDAD 1.13

Graficar y expresar en forma de conjuntos por comprensión los siguientes intervalos.

1. -14 , 3

2. 4 , 15

3. 3 , 14

4. -8 , 5

5. -15 , 2

6. -20 , 14

7. - , 6

8. -15 ,

9. -3 , 4

10. 5 , 15

OPERACIONES CON INTERVALOSDado que cualquier intervalo es un conjunto de números IR, es posible efectuar operaciones de UNIÓN (), INTERSECCIÓN (), DIFERENCIA (–), COMPLEMENTO ( C / ´ ), DIFERENCIA SIMÉTRICA (), entre otras operaciones.

Ejemplos:1. Resolver: -5 , 0 -3 , 4

Solución: Graficando

-5 , 0 -3 , 4 = -5 , 4

2. Resolver: -6 , 2 -1 , 4Solución: Graficando

-6 , 2 -1 , 4 =-1 , 2

3. Dado el intervalo C = <-6, 3 >. Determine su complementoSoluciónAnalíticamente: Si C = <-6, 3 > C’ = < -, -6 ] [ 3, >Gráficamente:

C = <-6, 3 > C’ = < -, -6 ] [ 3, >


- 0 +

x

- -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +

- -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 +

- -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 +

4. Determine el intervalo al que pertenece x si: ( x – 5 ) -1 , 3Solución:

-1 , 3-1 x 3

-1 x – 5 3-1 + 5 x – 5 + 5 3 + 5

4 x 8 C.s. x 4 , 8

ACTIVIDAD 1.14Realizar las siguientes operaciones con intervalos

Considerando:

A B A’ B

A B (A B) (A B)’

A B (A – B) ( B – A ) ó (A B) – ( B A )

1. Dado los conjuntos: A = {x IR / x < - , 0] x < - 2 , 6] } ; B = {x IR /

[0 , + > x [-3 , 4] } ; C = {x IR / < -1 , 2> < - , 10> }.

Determinar el conjunto D, sabiendo que: D = { x IR / x ( A B) x (C – A)}.

2. Dado los conjuntos: A = { x U / (6 – x ) <-2 , 2] } ; D = { x U / x B x C } ; B

= { x U / <-3 , 5>}; U = { x IR / x -3 x 3}; C = { x U / x A x

B } ; Determinar: a. (A – D)’ B ; b. (C D’) – A.

3. Dado los conjuntos: P = { x IR / (-2x + 1 x + 2) (x + 2 > -2x + 3 ) } { }: Q = { x

IR / -x + 1 < 3x – 1 } { 2 }. Determinar: (P – Q) Z

4. Dado los conjuntos: A = { x IR / (2x – 1) [ -5 , 1> } { 0 }; B = { x IR / (2 – x ) <-4 , 2> } – { 3 }; Determinar: [ (A – B’) (B – A’ ) ] Z

5. Dado los intervalos: A =<-8 , 5>, B = [ 2 , 9] , C = < -12 , 10 >, D = < - , 13 ]. Determinar: [(A – C) D]’ B’

6. Dado los intervalos: A = [ 4 , 15> , B = < 2 , 9] , C = < -12 , >. Determinar: [(A C)’] - B’

DESIGUALDADESEs la relación que existe entre dos expresiones reales de diferente valor.Los símbolos que se utilizan para expresar una desigualdad son:

“es mayor que” “es menor que” “es menor o igual que” “es mayor que o igual que” “es diferente que”



Si a b son dos expresiones reales, entonces: a b

3.3.1 PROPIEDADES

1. Si a b b a

2. Si a b b c a c

3. I Si a b b c a b c (doble desigualdad)

II Si a b b c a b c

4. Si a b a b a = b

5. Si a b a b a = b

6. Si a 0 -a 0

7. Si a 0 -a 0

3.3.2 TEOREMAS

1. Tricotomia: Dado a b a b a b a = b

2. Transitiva: Dado a, b c : Si a b b c a c

3. Aditiva: Dado a, b c : Si a b a + c b + c

4. Multiplicativa.-

a. Si a b c 0 a.c b.c

b. Si a b c 0 a.c b.c

5. Si

6. Si a 0 a2 0

7. I a.b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)

II a.b. 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)

III a.b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)

IV a.b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)

8.

9. Si a y b tienen el mismo signo y a b a-1 b-1

10. Si a 0 b 0 a2 b2 a b

11.

12.


Sabiendo que:

= Unión

= Intersección



3.3.3 CLASES DE DESIGUALDADa. Desigualdad Absoluta: Se llama también desigualdad

incondicional, se caracteriza por que mantiene el sentido de su signo de la relación para cualquier sistema de valores reales atribuidos a sus variables. x2 + 1 0, x R (x – 1)4 + (x – y + 1)2 + 3 0 x , y R

b. Desigualdades Relativas: Desigualdad condicional es aquella que mantiene el sentido de su signo de relación solo para valores reales particulares atribuidos a su variable. 2x + 5 x + 1 x -1 3x – 2 x + 4 x 3

INECUACIONES

INECUACIONES DE PRIMER GRADOSe llama inecuación de primer miembro a toda inecuación que admite alguna de las siguientes formas:

ax + b 0 ; ax + b ax + b 0 ; ax + b

Donde: a , b IR / a Dado: ax + b 0

Si a 0 x -b/a c.s. x - ; -b/a

Si a 0 x -b/ac.s. x -b/a ,

Ejemplo:1. Resolver: (2x – 1)2 + x(x + 1) + 3 5x(x – 3) + 2(x – 5)

Solución:4x2 – 4x + 1 + x2 +x + 3 > 5x2 – 15x + 2x – 105x2 – 3x + 4 > 5x2 – 13x – 1010x > -14x > -14/10x > -7/5

Graficando:

C.s


-7/5 + -



ACTIVIDAD 1.15Realizar las siguientes inecuaciones de primer grado:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. 2 5 – 3x 11

8. 3(x – 4) + 4x > 7x + 2

9. 3x – 4 4x - 6

10. 5x – 4 (x + 5) > x + 24

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

ax2 + bx + c 0 ; ax2 + bx + c a, b, c IR, a ax2 + bx + c 0 ; ax2 + bx + c

PROPIEDADES

1. x R ax2 + bx + c 0 a 0 b2 – 4ac 0

2. x R ax2 + bx + c 0 a 0 b2 – 4ac 0

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO


( + )

( – )

A. MÉTODO DE LA REGLA DE LOS SIGNOS

Se iguala a cero la expresión; si es fraccionaria, el Numerador y el denominador se igualan a cero por separado.

Los valores obtenidos se representan en la recta numérica. Para la grafica de los puntos se consideran:

Abiertos : si es ó (no interesa si la expresión es o no fraccionaria)

Cerrados : si es ó (si es fraccionario, al numerador se considera cerrado y al denominador abierto).

Se ponen los signos (+) (-) en forma alterna, empezando por la derecha.

El conjunto solución es: Para ó > los intervalos (+) Para ó < los intervalos (-)

Ejemplo:

Resolver

Solución: Igualando a cero los términos de la ecuación:

Graficando los puntos: x = -1/3; -1; 7

Por tanto el Cs. X <-1 , -1/3 > < 7 , + >

Resolver:

B. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

1. MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADO Resolver la inecuación: 2x2 – 6x + 3 0Solución:


-1 -1/3 7

+-+-



Aplicando:

Se tiene:

Graficando:

2. LEY DE LOS SIGNOS DE LA MULTIPLICACIÓNPasos: Factorizar el trinomio de la forma ax2 + bx + c Aplicar:

a.b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)

a.b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)

a.b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)

a.b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)

Ejemplo: Resolver: 2x2 + x – 1 0Solución:

2x2 + x – 1 0Factorizando: 2x -1

x 1

Ordenando en factores: (2x – 1) (x+1) 0


x2 x1- +



Aplicando: a . b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)

(2x – 1) (x+1) (2x – 1 0 x + 1 0) (2x – 1 0 x + 1 0) (x ½ x -1) (x ½ x -1)

Graficando:

x ½ x -1

C.s. = x - , -1 1/2 , +

3. PUNTOS CRÍTICOSDado la inecuación:

ax2 + bx + c 0

Pasos: El coeficiente x2 debe ser positivo Factorizar la inecuación cuadrática y/o aplicar fórmula Hallar los puntos críticos (valores de x) igualando a cero Ubicar los puntos críticos en la recta numérica Denotar los intervalos por los puntos críticos colocando signos

intercalados (si el factor tiene exponente par, el signo + se repite)P (x) 0 los intervalos abiertos + P (x) 0 los intervalos cerrados + P (x) 0 los intervalos abiertos –P (x) 0 los intervalos cerrados –

Ejemplo:1. Resolver: x2 + 5x + 4

Solución:

Factorizando: (x + 4) (x + 1)

Igualando a cero cada factor:x + 4 = 0 y x + 1 = 1 x = - 4 x = -1 (puntos críticos)

Graficando los valores:


- - + + -1 1/2 -1 1/2

- + -1 1/2

x - , 4 -1 ,

ACTIVIDAD 1.16Realizar las siguientes inecuaciones de segundo grado

1. 3x2 – 4x + 1 5

2.

3. 2x2 – 6x + 3 < 0

4. 9x2 + 54 x > - 76

5. -4x2 – 8 < -12x

6. 3x2 – 8x + 11 4(x – 1)

7. 3x2 – 19x + 3 < 0

8. x(3x + 2) < (x + 2)2

9. 3x2 – 5x – 2 > 010. 5x2 – 14x + 9 0


+

– +

- 4 - 1 - +



INECUACIONES CON RADICALES

Sean x y IR

TEOREMAS:

Ejemplos:1. Resolver :

Solución:

ACTIVIDAD 1.17Realizar las siguientes inecuaciones con radicales

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.


ACTIVIDAD 1.18

Realizar las siguientes inecuaciones poli nómicas

1. (x – 1)(x + 2)(x2 – 4x + 6) 0

2. (x + 4)(x + 5) 0

3.

4. (x2 + 7)(x2 + 25)(x2 – 4)(x4 + 3) > 0

5. 2x3 + 7x2 + 7x + 2 > 0

6. 2x4 + 5x3 – 5x – 2 < 0

7. X4 + 2X3 – X2 + 4X – 6 0

8. 2X3 + 3X2 – 11X – 6 0

9. X3 – 3X2 – 13X + 15 > 0

10. X4 – 4X3 – X2 + 16X – 12 < 0

IV. VALOR ABSOLUTO

Se llama VALOR ABSOLUTO de un número real “x” al número no negativo denotado por a y se define por la regla:

x , si x > 0

x = 0 , si x = 0

- x , si x < 0

Ejemplos: -10 = ??

Solución: Como -10 0, entonces: -10 = -(-10) = 10 10 = ??

Solución: Como 10 0, entonces: 10 = 10

x2 - 10x + 400 = ??Solución:

Si x2 – 10x + 400 0Entonces: x2 – 10x + 400 = x2 – 10

Si x2 – 10x + 400 0Entonces: x2 – 10x + 400 = - ( x2 - 10x + 400 )

En realidad x R, x 0, el valor absoluto x es la distancia en el recta numérica entre “0” y “x”.


| 5 |

d = 5

5-6 0

d = 6

| - 6 |



e) TEOREMAS SOBRE VALOR ABSOLUTO

1. a IR : i. | a | ≥ 0 , ii. | a | = 0 a = 0

2. a IR : | a |2 = a2

3. a IR :

4. a IR : | a | = | -a |

5. a,b IR : | a.b | = | a | . | b |

6. a,b IR : b ≠ 0, entonces

7. a,b IR : | a + b | | a | + | b | (Desigualdad triangular)

8. a,b IR : i. | a – b | | a | + | b | ; ii. | a | - | b | | a – b |

9. a,b IR : | a | | b | a2 b2

10. Coralario: a , b IR: | a – b | ≥ | |a| - |b| |

4.1 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

TEOREMAS PARA LAS ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

1. | x | = b (b ≥ 0) (x = b x = - b)2. | x | = | b | x = b x = - b

EJERCICIOS RESUELTOS1. Resolver: 4x + 3 = 7

Solución: Como 7 > 0 entonces:4x + 3 = 7 ó 4x + 3 = -7 4x = 4 ó 4x = -10 x = 1 ó




2. Resolver:

Solución: Como 8 > 0, entonces:

3. Resolver: x2 - 4 = -x + 2Solución: –x + 2 0 x 2 …….. ( )

x2 – 4 = - x + 2 ó x2 – 4 = x -2x2 + x – 6 = 0 ó x2 – x – 2 = 0(x + 3) (x – 2) = 0 ó (x – 2) (x + 1) = 0x = -3 ; x = 2 ó x = 2 ; x = -1Luego: x = -3 ; -1 ; 2 ()Finalmente: :C.S x = -3 ; -1 ; 2

4. Resolver x + 1 = 2x – 3Solución:

1. 2x – 3 0 x … ()

2. x + 1 = 2x – 3 ó x + 1 = -2x + 3 x = 2x – 4 ó x = -2x + 2 i) 2x – 4 0 -2x + 2 0 x 2 ….(1) x 1…..

(I)ii) x = 2x – 4 ó x = -2x + 4 x = -2x + 2 ó

x = 2x – 2

x = 4 ó ó x = 2

X = …..(2) X = …..

(II)Luego:

(1) (2) = 4 …. (m)(I) (II) = …. (n)

m n : ()

C. S.: : x = 4




5. Resolver 5x - 1 x + 12 Solución: 5x - 1 2 x + 12 2

5x – 1 2 – (x + 12)2 = 0 (6x + 11) (4x – 13) = 0

x = - x =

C.S. = -

ACTIVIDAD 1.19Realizar las siguientes ecuaciones con valor absoluto

1. 3 |x – 3|2 – 14 | x – 3 | - 5 = 0

2.

3.

4. | 2X – 1 | = 10 + X

5. Dado A = { x IR / | x2 – 1 | = | x2

+ 1 | } y B = { x IR / | x – 3 | = x + 3 }. Determinar (A B)’.

6. | x2 + 5 | = | | x2 + 6 | - 12 |

7.

8. | 3x – 3 | + | x – 1 | = 4

9. | 2x + 3 | + 4 = 5x

10. | x2 – 4 | = -2x + 4

11. | 5x – 3 | = | 3x + 5 |

12. Dado A = { x IR / | x2 – 1 | = |x2 + 1 | } y B = { x IR / |x – 3|= x + 3 }. Determinar (A B)’.


INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

TEOREMAS DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

1. | x | a (a ≥ 0) (-a x a)2. | x | ≥ a x ≥ a x - a3. Corolario: | x | < a (a > 0) (-a < x < a)4. Corolario: | x | > a (x > a) (x < - a)5. | a | ≥ | b | (a + b)(a – b) ≥ 06. | a | | b | (a + b)(a – b) 07. Corolario: | a | > | b | (a + b)(a – b) > 08. Corolario: | a | < | b | (a + b)(a – b) < 0

EJERCICIOS RESUELTOS1.Resolver: x + x - 1 + x - 2 3

Solución:x + x – 1 + x - 2 x + x - 1 + x - 2 3 3x - 3 3 x - 1 1 -1 x – 1 1 x 0 ; 2

2.Resolver 5x – 2 3x + 4 Solución:

I. 3X + 4 0 x - …………S1

II. 3x + 4 - (3x + 4) 5x – 2 3x + 4 - 2 8x 2x 6

- x x 3

x - ……………S2

III. x S1 S2

Graficando:

C.S. =

ACTIVIDAD 1.20Realizar las siguientes inecuaciones con valor absoluto


3

44

1 3

1.

2. |x2 – 3x + 2 |<x2 +2

3.

4. | | x2 – 1 | - x | 4

5. | x2 – 16| < -4x+ 16

6.

7. |x – 1|>| x | - 2x + 5

8. |2x–1|2 – 6|2x– 1| 16- 5x

9.

10. | x – 3 | + 2 | x + 5 | < 5

11.

12. < | 2x + 1 | < 5

13. 2 - | 4 – 3x | | >



RESUMEN

Para la solución de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables, se puede aplicar uno de los siguientes métodos: sustitución, igualación, reducción y determinantes.

Para determinar las raíces de una ecuación de segundo grado se puede aplicar el método de factorización, formula general o completando cuadrados.

La solución de una inecuación se expresa en términos de intervalos

BIBLIOGRAFÍA

A. Venero (2005) “Matemática Básica I”. Lima Perú. Espinoza Ramos (2005) “Matemática Básica I” Lima Perú. Louis Leithold (1989) “Matemáticas previas al cálculo” Edit. Harla – México. Peterson (2000) “Matemática Básica”. Edit CECSA – México R. Figueroa G (2001) “Matemática Básica I” Lima Perú.




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