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Capitulo 4 METODO DE LAS FUERZAS

4.1 Introduccin

En los captulos anteriores se resolvieron algunas estructuras estticamente indeterminadas aplicando el mtodo de la viga conjugada, Castigliano, Trabajos virtuales etc. En este capitulo se ver el Mtodo de las Fuerzas o de las flexibilidades, siendo este el mtodo mas potente en la resolucin de estructuras estticamente indeterminadas o hiperestticas.

Bases del mtodo

Considerando una estructura de n grados de indeterminacin ya sean estos internos o externos, se efectan n relajamientos de vnculo, reemplazando las reacciones en cada relajamiento por una fuerza incgnita. Se establecen a continuacin las compatibilidades geomtrica entre la estructura original y la estructura relajada. Enseguida se evalan los desplazamientos geomtricos mediante algn mtodo, por ejemplo T.V. ( carga unitaria) formando as un sistema de n ecuaciones con las fuerzas como incgnitas. Una vez resuelto el sistema se determinan las fuerzas y se resuelve la estructura.

En la aplicacin del mtodo, se requiere un buen conocimiento en la evaluacin de los grados de hiperestaticidad de la estructura y en el significado y habilidad en la relajacin de vnculos internos y externos. A estos dos temas se refiere el inicio del capitulo.

4,1 Relajacin de Vnculos de la estructuraPrevio a la relajacin debe determinarse el nmero de vnculos redundantes, para as conocer el nmero de relajamientos que se deben efectuar.

4.1.1 Hiperestaticidad de la estructura

Se denominan vnculos de la estructura a los elementos mecnicos que la ligan a tierra, en este caso vnculo externo V.E, y cuando la liga a otra estructura vnculo interno V.I.

En el caso de anlisis esttico el nmero de vnculos que presenta la estructura, determina su clasificacin.

(a) Si el nmero de vnculos resulta menor al nmero de sus grados de libertad, la estructura tiene comportamiento de mecanismo y a lo ms podr soportar algn caso particular de cargas en un equilibrio inestable.

(b) Si el nmero de vnculos y el nmero de grados de libertad son iguales, la estructura es isoesttica y estable, a no ser que presente una anomala que la haga geomtricamente inestable. Las ecuaciones de equilibrio y las fuerzas incgnitas forman un sistema determinado de ecuaciones.

(b) Si los vnculos son redundantes, o sea mayores que los grados de libertad de la estructura, sta se denomina hiperesttica y es estable, a no ser que presente alguna inestabilidad geomtrica, las ecuaciones de la esttica y las fuerzas incgnitas forman un sistema de ecuaciones indeterminado.

En este ltimo caso se distingue la hiperestaticidad interna, cuando la redundancia de vnculo es interna, o externa cuando los vnculos redundantes son externos, pudiendo tambin considerarse la combinacin de las anteriores.

En resumen: desde el punto de vista de la estabilidad de una estructura, sta se suele clasificar como:

MECANISMO : cuando pierde su forma geomtrica bajo cargas pequeas

ISOESTATICA : estticamente determinada

HIPERESTATICA : estticamente indeterminada

Vnculos externos e internos

El Vnculo es un aparato mecnico que liga una estructura al suelo o a otra estructura restringiendo los grados de libertad de la estructura. A modo de ejemplo una chapa en el plano tiene tres grados de libertad, los movimientos u y v, y el giro w , si se liga con una biela queda con 2 GL si se liga con 2 bielas queda con un GL, y en la fig ( c) queda con 0 GL.

vy,v

w u ( (2

(1 x,u

Los vnculos externos son aquellos que conectan la estructura a tierra y los vnculos internos aquellos que conectan elementos estructurales o sub-estructuras como es una rotula interna o un nudo rgido conectando dos o ms barras. En los problemas planos, los vnculos externos dependiendo de las restricciones de movimiento que provocan se denominan: apoyo de 1.,2., y 3. especie, a los apoyos: rotulado deslizante, apoyo rotulado fijo, y empotramiento.

4.1.2 Formulas de recurrencia

En el caso de estructuras planas, es posible determinar los grados de hiperestaticidad, en la mayora de los casos, por simple inspeccin recurriendo a transformar la estructura en varias subestructuras. Sin embargo, a veces, el grado de complejidad requiere de una mejor herramienta. A continuacin se proporcionan dos formulas que ayudan en los casos de mayor complejidad.

(4.1) e = 3S6 + 2S5 + S4 + a + t 3k3 - 2k2- k1

Donde :

e : grado de hiperestaticidad

S6 : nmero de barras con nudos rgidos en sus extremos

S5 : nmero de barras un extremo con nudo rgido otro extremo articulado

S4 : nmero de barras con nudos articulados en sus extremosa : nmero de reacciones

t : nmero de tirantes

k3 : nmero de nudos rgidosk2 : nmero de nudos articulados k1 : nmero de nudos articulados y deslizanteLa formula se justifica fcilmente, considerando que al aislar una barra de la estructura se generan un cierto nmero de fuerzas internas, por ejemplo en una barra tipo S6 ,son 6 las fuerzas internas, y al aplicar las ecuaciones de la esttica quedan 3 grados de indeterminacin, los cuales son adicionados en la formula.

S6 S5 o

Ma Mb Ma Qa Qb Qa Qb

Na Nb Na Nb

Ejemplo 4.1:

S6 = 3x3 = 9 K3 = 7x3 = 21

S5 = 7x2 = 14 K2 = 3x2 = 6

S4 = 2x1 = 2 K1 = 1x1 = 1

a = = 10

Incgnitas = 35 ecuaciones = 28 e= 7

Una segunda formula considera los grados de libertad de las barras o subestructuras componentes y las restricciones impuestas por los vnculos. El grado e de hiperestaticidad se expresa segn (2)

(4.2) e = nRVE + nRVI - GL

donde:

RVE: restricciones de movimiento por VE

RVI : restricciones de movimiento por VI

GL : suma de los Gl de las barras o subestructuras

Grados de Libertad de las barras o subestructuras: en el plano considerndolas como chapa rigida presentan tres G.L por cada una, luego el nGl corresponde al nmero de barras o subestructuras por tres.

Las restricciones de movimiento por VE corresponden a uno para un apoyo rotulado deslizante, a dos para apoyo rotulado fijo y a tres para empotramiento.

Los V.I. corresponden a nudos rotulado y a nudos rgidos. En el caso general de un nudo rgido uniendo a n barras, se razona diciendo que si las n barras no estuvieran unidas por el nudo rgido, presentaran 3n grado de libertad y cuando se encuentran unidas por un nudo rgido presentan solo 3 G.L, luego las restricciones son : 3n-3.

Restriccin por cada nudo rgido uniendo n barras RVI =3(n-1)

xi (i x (

yi y

GL= 3n GL= 3

Los VI correspondiente a nudo rotulado uniendo n barras: nuevamente, si las barras estuvieran libres presentan 3n GL, al estar unidas por una rotula los GL se reducen a 2+n, luego la restriccin que impone una rotula uniendo a n barras corresponde a la diferencia 3n-2-n

Restriccin por cada nudo articulado uniendo n barras : RVI(A) = 2(n-1)

x (1 GL= x,y, (1 ...... (i.......... (n o

(i

y (n GL = 2 + n

Aplicacin al ejemplo 4.1:

Nmero de barras = 12 G.L = 3x12 = 36

nRVE = 10

RVI(R): con 2 barras = 2x3(2-1)= 6

RVI(R) con 3 barras = 1x3(3-1) = 6

RVI(R) con 4 barras = 1x3(4-1) = 9

RVI(A) con 2 barras = 1x2(2-1) = 2

RVI(A) con 3 barras = 1x2(3-1) = 4

RVI(A) con 4 barras = 1x2(4-1) = 6

TOTAL de Restricciones = 43 e= 43 - 36 = 7

Ejemplo 4.2

Formula (4.1) Formula (4.2)

S6 = 4x3 = 12 K3 = 5x3 = 15 barras = 12 GL= 36

S5 = 6x2 = 12 K2 = 5x2 = 10

S4 = 2x1 = 2 nRVE = 7a = 7 RVI(R) con 4 barras = 1x3(4-1) = 9

e = 33- 25 = 8 RVI(R) con 3 barras = 3x3(3-1) = 18

RVI(A) con 3 barras = 2x2(3-1) = 8

RVI(A) con 2 barras = 1x2(2-1) = 2

e = 44- 36 = 8.4.1.3 Relajamientos

El concepto: relajamiento de vnculo refiere a liberar una o ms de las restricciones de movimiento que impone el vnculo, manifestando la reaccin existente por una fuerza explcita X. Por ejemplo en el caso de los vnculos externos de la viga doblemente empotrada de la figura (a): se relaja el giro (b), en (c) giro y desplazamiento horizontal, y en (d) se relaja todo el primer apoyo quedando una viga isoestatica.

(a) (b) relajamiento del giro (c) relajamiento giro y (d)relajamiento giro

queda explcito el l desplaz.horizontal y desplazamientos

mo. de empotramiento fza. y mo. Fzas. Y mo.

El exceso de vnculos por sobre el mnimo necesario para mantener la estabilidad, se denominan vnculos o reacciones redundantes, en el caso anterior son tres las fuerzas redundantes. A continuacin se muestran otros casos.

Ejemplos de relajamiento en estructuras

En el mtodo de las fuerzas el nmero de vnculos que se deben relajar es tal que finalmente debe quedar una estructura isoestatica y estable o varias estructuras isoestaticas y estables.

La conexin de dos subestructuras mediante una rtula, presenta dos vnculos internos, stos son restriccin de movimientos vertical y horizontal , que generan la interaccin mediante fuerzas vertical y horizontal. trasmitiendo esfuerzo de corte entre las subestructuras,

Se muestra en (a) el marco doblemente empotrado con unin rotulada en la cumbrera, y dos posibilidades de relajamiento (b) y (c)

(a) (b)

X1 X2

(c) X1 X2 X2 X1

En la figura (b), Se han relajado los empotramiento: transformndose, entonces en apoyos rotulados fijos con momento X1, X2 explcitos, quedando un marco triarticulado como estructura base.

En la figura (c) se ha relajado en la rotula interna, quedando dos subestructuras isoestaticas.

La conexin entre subestructuras tambin puede ejercerse mediante una rotula deslizante en la seccin C como se muestra en la viga siguiente (d)

(d)

A B C

D E

Las posibilidades de relajamiento son varias: relajar en C y D, como se muestra en la figura (e) o relajar en C y el empotramiento en E como se muestra en (f).

(e) x1

x1

x2

(f)

x1

x2

x1

g) Una barra presenta tres fuerzas internas M,Q,N que ejercen la interaccin. Tambin puede relajarse internamente como se muestra en las figura (h) e (i)

(g) (h) relajamiento del Mo (i)Mo,Q y N

La metodologa a seguir en el M.F. es primero determinar el nmero de grados de hiperestaticidad que presenta la estructura, lo cual puede hacerse como en los casos anteriores simplemente efectuando relajamientos hasta lograr una o ms de una estructura isoestatica y estable, y en casos ms complejos por aplicacin de las formulas de recurrencia.

Como ejemplo simple se efecta relajamiento de la estructura mostrada en la figura (j)

(j)

S

R

(k)

x2 x1

x3

x5 x4

x6

El marco de nudos rgidos, presenta 6 grados de indeterminacin o hiperestaticidad. Hay varias formas para efectuar el relajamiento, aqu se elige relajar : M,Q,N en las secciones S y R, quedando la estructura dividida en tres subestructuras isostaticas y 6 fuerzas internas como incgnitas figura (k)(l)

El marco de la figura (l) se ha reforzado con 2 diagonales formadas por barras muy esbeltas tirantes, solo son capaces de tomar traccin, si no estuvieran los tirantes, presentara 3 grados de hiperestaticidad y se adiciona un grado por cada tirante, siempre que ambos queden traccionados, lo que es muy raro que ocurra, as que depender del tipo de carga para considerar ; cero, uno o dos grados adicionales.

Nota: las barras esbeltas con extremos diseados para tomar nada o poco momento, y se solicitan con carga axial: se denominan tirantes cuando trabajan en traccin y puntales si son capaces de tomar solo compresin.

Las estructuras de ejemplo del subcapitulo 4.1.2 se pueden relajar como sigue

(m) Relajamiento de la estructura del ejemplo 4.1

(m)

x1 x3 x2 x4

x5 x6

x7

(n) Relajamiento de la estructura del ejemplo 4.2

(n)

x1 x2

x3 x4

x5 x6

x7 x8

( r) Diferentes posibilidades de relajamiento para el marco de la figura ( r)

( r ) (r1 ) ( r2) ( r3)

(r4) incorrecto

4.2 Planteamiento del Mtodo de las Fuerzas

En el planteamiento del mtodo se va a considerar como estructura el marco doblemente empotrado de la figura (T), an cuando el planteamiento se hace extensivo a cualquier estructura con n grados de hiperestaticidad

1) En un primer anlisis se determina el grado de hiperestaticidad de la estructura y se elige entre los posibles relajamientos uno que sea apropiado al problema. La estructura relajada o base debe ser isostatica y estable. El estado ( R ) muestra la estructura base y las fuerzas existentes en los vnculos relajados.

x3

x1

(T) (R) x2 Estructura con 3 GH Estructura base

2) Aplicando el Principio de Superposicin, se descompone en varios estados de carga, el estado (0) para las cargas propiamente tal y un estado de carga por cada una de las fuerzas incgnitas.:

+ x1 +

x3 x1 1 (R) x2 (0) (1)

+ x2 + x3

1

(2) 1 (3)

3) A continuacin se escriben las ecuaciones cannicas.

A partir de la estructura original (T), se condiciona en la estructura relajada (R) la geometra inicial en los puntos de relajamiento, vale decir, los valores iniciales conocidos de desplazamiento en los puntos relajados ((1= a, (2=b, (3=c), y estos a su vez se expresan como la suma de los desplazamientos similares en los estados de carga. Como se aprecia, a continuacin, en las ecuaciones del sistema (1). En el caso especifico del marco que sirve de ejemplo, los desplazamientos son nulos en la ubicacin, direccin y sentido de las fuerzas x1, x2, y x3.(1 = (10 + x1f11 + x2f12 + x3f13 = 0

(2 = (20 + x1f21 + x2f22 + x3f23 = 0 (1)

(3 = (30 + x1f31 + x2f32 + x3f33 = 0

donde : (i0 desplazamiento en la direcc.y sentido de xi debido a la carga (0)

fi j coeficiente de flexibilidad corresponde al desplazamiento en la

direccin y sentido de xi debido a la carga (j) unitaria .

4) Se calculan los coeficientes de flexibilidad, mediante algn mtodo, aqu se aplica el mtodo de la carga unitaria. Como ejemplo se calcula desplazamiento (1, se considera el estado (R ) como virtual y el estado con carga unitaria en la direccin de (1: como estado real:

x3 x1 1

(R) x2 (1)

virtual real

Luego: 1x (1 = al trabajo virtual de las fuerzas internas

1x (1 = MR/EI + N1NR/EA+.)ds

Que al expresarse en base a los estados de carga del estado (R), queda :

MR = M0 + x 1 M1 +x 2M 2 + x 3 M 3

NR = N0 + x 1 N1 +x 2 N 2 + x 3 N 3 etc.

y 1x (1= (M1 M0 /EI ds +x1 (M 1M 1/EI ds + x2 (M 1M 2 /EI ds etc.

Resulta: (1 = (10 + x1f11 + x2f12 + x3f13 Entonces los coeficientes quedan definidos por:

fi j = (( N iN j /EA + M iM j /EI +.) ds

El clculo de las integrales se desarrolla mediante la tabla de integrales del capitulo anterior.

5) Calculado los coeficientes de flexibilidad , se resuelve el sistema (1) y la estructura.

Ejemplo 4.1

Resolver la estructura hiperestatica de la figura y construir el diagrama de momentos flectores. Desestimar el corte y esfuerzo normal en el clculo de los coeficientes de flexibilidad.

P PL P

a d c

L L

L

(0)

b

L

L

2L

x1 + x2

(1) (2)

1

1

1

+x3

(3)

1

(10 + x1f11 + x2f12 + x3f13 = 0

(20 + x1f21 + x2f22 + x3f23 = 0

(30 + x1f31 + x2f32 + x3f33 = 0

(10 = -PL3/EI f11 = 7L3/3EI f12 = 2L3/EI f13 = -5L3/2EI (20 = -5PL3/6EI f22 = 8L3/3EI f23 = -2L2/EI f33 =3L/EI

7L/3 2L -5L/2 x1 -PL 2L 8L/3 -2 x2 = -5PL-5L/2 -2 3L-1 x3 PL2/2

x1 = x2 = x3 =

Ejemplo 4,2 El mismo anterior considerando relajamientos internos

a P d e c

B

Relajando en la seccin e inmediata al nudo c

P x2

x1

x3

Las condiciones geomtricas iniciales en este caso corresponden a los desplazamientos relativos entre las fuerzas relajadas , desplazamientos que son nulos debido a la condicin de continuidad de la estructura , para el corte por ejemplo

(2 =0 desplazamiento vertical relativo

Los estados de carga

p

PL 1 1 2L

x1 x2

(0) (1) (2)

1 L 1

x3

(3)

4.3 Calculo de desplazamientos mediante el Mtodo de las Fuerzas.

Para los efectos de calcular el desplazamiento en un punto determinado de una estructura hiperestatica , se puede resolver mediante Castigliano, aplicando una carga ficticia .

Aplicacin: Resolver el marco de la figura y calcular el desplazamiento horizontal en C

b c b c P f 0

L

a d a d x1 (T) (R)

LSe ha agregado una carga ficticia en c, efectuando relajamiento del vnculo horizontal en d. La estructura se resuelve por simple aplicacin del M.de las F.:

q + x1 + Pf

(0) (1) (f)

(1 = (10 + x1 f 11 = 0 x1 = - (10/ f 11Ahora para el clculo del desplazamiento horizontal en c, se aplica Castigliano

( f = limite ( (1/EI) M (dM/dPf)ds

P( 0 =0

Pero : M = M0 + x1 M1 + Pf Mf

y dM/dPf = M1

Entonces ( f = ( 0f + x1 f 1f

Calculando los coeficientes mediante la tabla resulta:

X1 = ( f =

4.3 Simetra y antisimetra

Cuando la estructura tiene caractersticas de simetra o de antisimetra estructural respecto de un plano, y recibe cargas simtricas o antisimtricas algunas de las fuerzas internas en el plano de simetra resultan nulas. Por tanto, si el relajamiento se hace en dicho plano el nmero de incgnitas se ver disminudo.

.

Estructura simtrica: las que abatidas en el plano de simetra coinciden en trminos geomtricos y mecnicos

Estructura antisimtrica: las que requieren previamente que uno de los espacios sea girado en 180

i

I 2I 2I I

PS

SIMETRICA

I

I I

I

PAS

ANTISIMETRICA

CARGAS SIMETRICAS Y ANTISIMETRICAS

Carga simtrica Carga antisimetrica

Las fuerzas internas en el plano de simetra, tambin se clasifican en fuerzas internas simtricas y antisimetricas:

Plano de simetra seccin

x3

x1 z

x2 y

Resultan: : Mz

: Fuerzas internas simtricas My

N

MT Fuerzas internas antisimtricas Qy

Qz

Cuando la estructura es simtrica y esta sometida a cargas tambin simtricas, el comportamiento de la estructura ser tambin simtrico, vale decir: elstica, diagramas de solicitaciones, reacciones etc. resultan simtricos .por tanto en el plano de simetra las fuerzas internas antisimtricas deberan ser nulas. Un razonamiento similar se aplica cuando la carga es antisimtrica.

Estructura simtrica y

Q=MT =0 en el plano de simetra

Carga simtrica

Estructura simtrica y En el plano de simetra

Carga antisimetrica Mx = Mz = 0

N = 0

Ejemplo: Resolver el marco de la figura:

L/2 1 L/2

P P P P

L/2

L = + x1

L PL/ PL/ L/2

Pl.S (0) (1)

Cargas antisim.

Luego: M=0, N=0

PL/ 2 PL/2 (1 = (10 + x1 f11 = 0 (10 = -4L3P/ 3EI

f11 = 2L3/3EI

x1 = P/ M = PL/ 2

4.4 Resortes, temperatura y relaciones de desplazamiento

Los resortes se incorporan a las ecuaciones considerando el desplazamiento que quedan sometidos y el aporte de energa interna.

P

K ( M

( P = K( M = K( ( U = K(2/2Las barras sometidas a cambios de temperatura sufren dos clase de deformacin:

a) Dilatacin lineal cuando la barra queda sometida al mismo cambio de temperatura en todo su entorno:

( coef.de dilatacin (t cambio de temperatura

todo el medio

L (

Dilatacin ( = ((tL

b) Flexin debido a cambios diferenciales de temperatura, cuando la barra queda sometido a cambios de temperatura diferentes

te cambio exterior de temperatura

tI cambio interior de temperatura

Analizando un elemento

((xte d( a a

h

c c

b b

(x ((xti

La fibra exterior dilata aa = ((x te

La fibra interior bb = ((x ti

La fibra neutra cc = ((x( ti + te)/2

Este tipo de accin trmica produce en la barra.

A) una dilatacin lineal debido a un cambio de temperatura ( ti + te)/2

(a) ( = ((x( ti + te)/2

la misma dilatacin puede ser provocada por una fuerza ficticia (a1) N = AE(( ti + te)/2

B) giro d( de la seccin (b) d( = ((t i - te) (x /h

el giro puede considerarse provocado por un momento ficticio,

(b1) M = E ((t i - te) /h

Tanto, la expresin ficticia de la normal (a1) y del momento (b2): pueden considerarse en el estado (0) de cargas en reemplazo de la dilatacin y la flexion provocada por la temperatura.

Aplicaciones. 4.5 Problemas Propuestos

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_1085431083.unknown

_1085431175.unknown

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