capitulo_4.4_calculo_de_deflexiones_

150 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

Una forma alterna de solucin es trabajar con la viga conjugada de la viga original, como se ilustra al lado. En este caso se utiliza la condicin de que la deflexin en B es cero.

02LFL3

2FM12BB

===

2L

EI8PLL3

2EI2

LM 2A =

16PL3M

A=

como antes.

Ejemplo 4.33

Resuelva la viga mostrada.

Solucin

En la figura anterior se ha utilizado el Principio de superposicin con RB como redun-dante. La deflexin en B es cero:

0L32

2L

EIPL

2L

EIPaL3

22L

EILR

My2

BBB

===

3PL

2Pa

3LR

B+==

PL2

Pa3RB

+=

CLCULO DE DEFLEXIONES 151

L2Pa3RPR

BA==

( )2

PaaLPLRM

BA=+=

Mtodo alterno:

Si se trabaja con la viga indeterminada,

03L

2L

EIPaL3

22L

EIM

M AB ==

2

Pa6

Pa3MA

==

como antes.

Ejemplo 4.34

Resuelva el prtico mostrado anteriormente.


Utilizando simetra y la descomposicin mostrada, resulta:

2/PRRVDVA

==

MMM CB ==

Para la viga:

11

2

11BVBV EI2

MLEI16

PLEIML

21

2L

EI4PL

21R ===

Para la columna:

22BCBC EI3

Mh2h

EIM

32R ===

Como el nudo es rgido:

BCBV =

211

2

EI3Mh

EI2ML

EI16PL

=

+=

+=

1LI3/hI21

8PL

I2/LI3/h1

I16PLM

21121

2

Se puede observar que si I2 es mucho mayor que I1, M tiende a PL/8, que es el valor correspondiente a una viga doblemente empotrada, como deba ser. Tambin se podran haber considerado las reacciones horizontales como redundantes. A continuacin se indica el procedimiento utilizando rea de momentos.


Se tendr entonces al considerar la viga en el primer caso:

1

2

11

1

2

11

EI16hPLh

EI16PL

2L

EI4PL

21

==

==

Y en el segundo:

112 EI2

HhLLEIHh

21

==

1

2

22 EI2LHhh ==

Por el segundo teorema con tangente en B:

2

3

23 EI3

Hhh32h

EIHh

21

=

=

Como el apoyo est fijo debe cumplirse: 321 +=

2

3

1

2

1

2

EI3Hh

EI2LHh

EI16hPL +=

+=

122

1

2

I2/hLI3/h1

I16PLH

+==

121

2

I2/LI3/h1

I16PLHhM como antes.

EJERCICIOS

4.1 Utilice el Teorema de Castigliano para hallar la deflexin vertical en el punto A de la siguiente armadura:

reas (mm2) Cordn superior: 25000 Cordn inferior: 15000 Montantes y diagonales: 36000

E = 200000 N/mm2


4.2 Halle con el Teorema de Castigliano el giro en el apoyo izquierdo y la deflexin en el centro de la luz de la siguiente viga:

b = 300 mm h = 400 mm E = 20000 N/mm2

4.3 Verifique que al aplicar el mtodo del trabajo virtual en los problemas 4.1 y 4.2, resulten las mismas ecuaciones obtenidas por el mtodo de Castigliano.

4.4 Encuentre, por el Teorema de Castigliano o el mtodo del trabajo virtual (carga unitaria), el giro en B y las deflexiones horizontal y vertical en D del prtico mostrado. Considere nicamente los efectos de flexin.

4.5 Utilice el mtodo de energa, Castigliano o trabajo virtual, para resolver las estructuras siguientes. En las vigas y prticos considere nicamente los efectos de flexin.

reas (mm2) Cordn superior: 10000 Cordn inferior: 5000 Diagonales: 8000

E = 200000 N/mm2

(a)


reas (mm2) Barras exteriores: 20000 Barras interiores: 30000

E = 200000 N/mm2

(b)

EI constante

(c)

Dimensiones (b h, mm) Luces extremas: 300 400 Luz central: 300 500

E = 20000 N/mm2

(d)

Dimensiones (b h, mm) Columna: 300 300 Viga: 300 400

E = 19000 N/mm2

(e)


4.6 La viga de la figura tiene 300 mm de ancho y 400 mm de alto. Utilice un mtodo de energa para resolverla y encontrar su deflexin en el centro de la luz.

b = 300 mm h = 400 mm E = 19000 N/mm2

4.7 Resuelva, por el mtodo de la doble integracin, la viga siguiente y dibuje su elstica calculando por lo menos cuatro puntos en cada luz.

EI ( kNm2) AB = 100000 BC = 200000

4.8 Utilice el mtodo de la doble integracin para resolver la viga de la figura y calcular su flecha (deflexin mxima).

b = 300 mm h = 400 mm E = 19000 N/mm2

4.9 Resuelva por el mtodo de la doble integracin con funciones de singularidad, las vigas siguientes. Encuentre en cada caso la deflexin mxima.

b x h = 400 mm 600 mm E = 20000 N/mm2

(a) (b) La viga del ejercicio 4.6. 4.10 Resuelva por el mtodo del rea de momentos o el de la viga conjugada, las vigas siguientes:


EI constante

EI constante

(c) La viga del ejercicio 4.8.

4.11 Utilice el mtodo del rea de momentos o el de la viga conjugada para calcular la flecha de la viga del ejercicio 4.8.

4.12 Resuelva las siguientes vigas por el mtodo del rea de momentos o el de la viga conjugada, y calcule sus deflexiones mximas.

EI = 120000 kN m2

EI = 200000 kN m2


REFERENCIAS

4.1 Kinney, J.S. - Indeterminate Structural Analysis, Addison - Wesley, 1957. 4.2 White, R.N., Gergely, P. y Sexsmith, R.G. - Structural Engineering. Combined

Edition, John Wiley & Sons, 1976. 4.3 Wang, C.K. - Indeterminate Structural Analysis, McGraw-Hill, 1983. 4.4 Norris, C.H., Wilbur, J.B., y Utku, S. - Anlisis elemental de estructuras, 2a.

edicin, McGraw-Hill, 1982. 4.5 Laible, J.P. - Anlisis estructural, McGraw-Hill, 1988. 4.6 Hseih, Y.Y. - Elementary Theory of Structures, 3rd. edition, Prentice-Hall International, 1988. 4.7 West, H.H. - Analysis of Structures, John Wiley & Sons, 1980.

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