CAPÍTULO V 1

CAPÍTULO V

ÍNDICE 5.1 Introducción V-1 5.2 Problemas tridimensionales que pueden ser resueltos como planos V-1 5.3 Planteamiento de Filón para la tensión plana V-3 5.4 Ecuaciones de la elasticidad en coordenadas cartesianas para problemas de deformación plana y de tensión plana V-5 5.5 Función de Airy V-10 5.6 Representación gráfica del estado de tensiones de un punto. Circunferencia de Mohr V-13 5.7 Curvas representativas del estado plano V-21 5.7.1 Isostáticas V-21 5.7.2 Isoclinas V-22 5.7.3 Isocromáticas V-23 5.8 Estado plano termoelástico V-32

CAPÍTULO V 2

CAPÍTULO V ELASTICIDAD EN DOS DIMENSIONES

5-1. Introducción. En capítulos anteriores se ha presentado la teoría de la Elasticidad analizando el estado de tensiones y de deformaciones de un punto de un sólido elástico de la forma más general posible, es decir tridimensionalmente. Sin embargo existen multitud de problemas en ingeniería que pueden ser simplificados y estudiados como si fuesen planos. Hay que destacar que los problemas planos no existen en la realidad sino que es una entelequia o artilugio que se emplea para resolver un problema tridimensional de manera más sencilla. En general existen dos tipos de problemas tridimensionales que pueden ser resueltos como si fuesen planos: Problemas de Deformación Plana y Problemas de Tensión Plana, y cada uno de ellos tiene sus implicaciones en cuanto a geometría y carga se refiere. En este capítulo se analizará en primer lugar las condiciones que tiene que cumplir un sólido, en cuanto a geometría y carga, para ser tratado como problema plano. Luego se analiza completamente el Problema bidimensional restringiendo el estudio al caso de coordenadas cartesianas. 5-2. Problemas tridimensionales que pueden ser resueltos como planos. En general existen dos tipos de problemas cuya geometría y carga permiten que puedan ser tratados como planos: Problemas de Deformación Plana y de Tensión Plana. Problemas de Deformación Plana Sea un sólido de longitud infinita en dirección X3 y de tal forma que la carga es perpendicular a dicho eje y constante a lo largo de él ( la carga en el plano X1 – X2 puede ser cualquiera, la única condición que se exige es que se mantenga a lo largo del eje X3) tal y como trata de mostrar la figura 5-1.

X3

X1

X2

Figura 5-1

CAPÍTULO V 3

En estas circunstancias, y debido a lo infinito de la longitud, cualquier plano perpendicular al eje X3 es de simetría. Las implicaciones que se deducen para los puntos situados en dicho plano son que:

- No tienen desplazamiento en dirección X3. - Los desplazamientos según los ejes X1 e X2 no dependen de la posición del

plano de simetría, sino de las coordenadas del punto en el plano Consecuencia

( )(

0

,

,

3

2122

2111

=

= )=

u

xxuu

xxuu

5-1

Por tanto para este tipo de cuerpos el tensor de deformaciones queda:

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

≡

=

2

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

1

2221

1211

21

21

00000

xu

xu

xu

xu

xu

xu

ij εεεε

ε

Problemas de Tensión Plana: Sea un sólido tal que una de sus tres dimensiones es bastante menor que las otras dos, y además las cargas están aplicadas sobre la cara cuya dimensión es menor y simétricas respecto a la línea media del espesor, tal y como muestra la figura 5-2:

e↓↓ X

Línea media

X3

X2

X1

P1 P1 P1

P1

Figura 5-2

En este tipo de problemas la simplificación que se realiza consiste en suponer nulas las tensiones según el eje X3, es decir: 0333231 === σσσ 5-2 Quedando el tensor de tensiones de la siguiente forma:

CAPÍTULO V 4

=

2212

1211σσσσ

σ ij

Este caso presenta una diferencia fundamental con el anterior y es la siguiente: En un problema de Deformación Plana la hipótesis de anulación de los términos i3ε es rigurosa y matemáticamente correcta, en el presente caso la hipótesis de anulación de la tensiones i3σ es eurística (de hecho en un problema real de tensión plana 03 ≠iσ ). Por tanto es necesario una demostración sobre lo acertado o alejado que está de la realidad la aseveración de la expresión 5-2, asunto que se trata en el siguiente apartado 5-3. Planteamiento de Filón para la Tensión Plana. Filón propuso, en 1903, un planteamiento para justificar la simplificación de la expresión 5-2 (o lo que es lo mismo para justificar la tensión plana), cuya idea fundamental es trabajar con los valores medios de las tensiones y deformaciones en vez de su valor real. A tal fin se hace uso de la figura 5-3 en la que presenta a un sólido y dos puntos, A y B, simétricamente situados respecto al eje X1. Si uno de los puntos tiene coordenadas A(x1,x2,x3), entonces el simétrico será el punto B(x1,x2,-x3). Puesto que la carga debe ser simétrica respecto al eje X1 los desplazamientos cumplirán:

( ) ( )( ) (( ) ( )32133213

32123212

32113211

,,,,,,,,

,,,,

xxxuxxxuxxxuxxxu

xxxuxxxu

−== )=

5-3

X1

2a A

B

• •

X3

X2

Figura 5-3 A continuación se analiza lo que ocurre con las tensiones en ambos puntos. Para ello se amplía la figura 5-3 resultando la figura 5-4:

CAPÍTULO V 5

X3

X1

X2

σ33

σ33 σ31

σ32

σ32

σ31

a

a

Figura 5-4 Si se hace una representación en planta de la figura 5-4 se obtiene la figura 5-5 y en ella, y aras de la claridad del dibujo, se dibuja únicamente σ31

A

B

Caras vistas

σ31

σ31

σ31

σ31

Figura 5-5

Y como puede observarse las caras vistas tienen tensiones iguales pero de sentido contrario. Por tanto se puede afirmar que: ( ) ( )3213132131 ,,,, xxxxxx −−= σσ 5-4 Siguiendo igual razonamiento para el resto de las tensiones (no es mas que aplicar lo visto en el capítulo anterior para el caso de cuerpos simétricos) se obtiene:

( ) ( )( ) ( 3213332133

3213232132,,,,

,,,,xxxxxx

xxxxxx−= )−−=

σσσσ

5-5

Si se halla el valor medio de estas tensiones en el eje X3 resulta:

0),,(21),,(

21 3

3

3

3

332132332131 == ∫∫=

−=

=

−=

ax

ax

ax

axdxxxx

adxxxx

aσσ 5-6

CAPÍTULO V 6

Sin embargo el valor medio de las tensiones normales no es nulo:

0),,(21 3

3

332133 ≠∫=

−=

ax

axdxxxx

aσ 5-7

La aplicación de la condición de contorno para la cara x3 = a y para la cara x3 = - a da como resultado: 0;0;0 333231 === σσσ 5-8 Por otra parte la tercera ecuación de equilibrio, despreciando las fuerzas de volumen, establece que:

03

33

2

32

1

31 =∂∂

+∂∂

+∂∂

xxxσσσ

Si se aplica para un punto del contorno resultará:

03

33 =∂∂

xσ 5-9

ya que tanto 31σ ; 32σ como 33σ son nulas en el contorno. Las conclusiones hasta ahora obtenidas dicen: a) Los valores medios a lo largo del espesor de las tensiones tangenciales σ13 σ23

son nulos. b) El valor medio de tensión normal σ33 no es nulo en el interior del cuerpo, sin

embargo si es nulo en los extremos así como la derivada. Esta última conclusión permite afirmar que si la dimensión del cuerpo en dirección X3 es pequeña el valor medio de σ33 a lo largo de esa dirección es una cantidad despreciable. Por tanto trabajando con valores medios, el tensor de tensiones será:

5-10

=

≈

= *22

*21

*12

*11*

22*21

*12

*11

*33

*22

*21

*12

*11

00000

0000

σσσσσσ

σσ

σσσσσ

σ ij

Ecuación en la que el asterisco significa valor medio

CAPÍTULO V 7

5.4 Ecuaciones de la Elasticidad en Coordenadas Cartesianas para Problemas de Deformación Plana y de Tensión Plana. Se vio anteriormente que en un problema de Deformación Plana el tensor de deformaciones era:

=

2221

1211εεεε

εij y ε13 = ε23 = ε33 = 0

Por tanto aplicando la ley de Hooke, se obtiene

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

02

;02

;2

01

1

1

2323

1313

1212

11223333

33112222

33221111

=====

=+−=

+−=

+−=

GGG

vE

vE

vE

σεσεσε

σσσε

σσσε

σσσε

5-11

despejando σ33 de la tercera ecuación de 5-11 se obtiene:

( )112233 σσσ += v

y sustituyendo este valor en la primera y segunda de 5-11:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]1122

222

22112

11

111

111

σσε

σσε

vvvE

vvvE

+−−=

+−−= 5-12

que en unión de: G212

12σε =

Constituyen la ley de Hooke para problemas de Deformación Plana. Supóngase ahora que se desea escribir las ecuaciones 5-12 (ley de Hooke bidimensional) de igual forma que la tridimensional, es decir:

( )ijkkijij vE

v δσσε −+

=1 5-13

Para ello será necesario definir unos coeficientes elásticos ficticios de valor:

v

vvv

EE−

=−

=1

ˆ1

ˆ2 5-14

CAPÍTULO V 8

para que las ecuaciones 5-12 queden escritas de igual forma que las 5-13, es decir:

( ) 2,1,ˆˆˆ1

=−+

= jivE

vijkkijij δσσε 5-15

Que es la forma en que se suele presentar la ley de Hooke bidimensional en deformación plana. Es necesario recalcar que los coeficientes vyE ˆˆ no son el Módulo de Elasticidad y de Poisson sino coeficientes definidos por conveniencia. En el caso de Problemas de Tensión Plana se cumple que:

0*33

*23

*13*

22*21

*12

*11 ===

= σσσ

σσσσσ ij

Planteando las ecuaciones de Lamé:

( )( )( )

02

02

2

2

*33

*23

*13

*12

*12

*33

*22

*11

*33

*33

*33

*22

*11

*22

*22

*33

*22

*11

*11

*11

===⋅⋅=

=+++=

+++=

+++=

σσσεσ

εεελεσ

εεελεσ

εεελεσ

G

G

G

G

5-16

Despejando de la tercera ecuación de 5-16 : *

33ε

( )*22

*11

*33 2

εελ

λε +⋅+

−=G

y sustituyendo este valor en la primera y segunda de 5-16 se obtiene:

( )(

*12

*12

*22

*11

*11

*11

*22

*11

*11

*11

2

222

222

εσ

εελλεσ

εελλεσ

G

GGG

GGG

=

++

+⋅⋅=

++

+⋅⋅=

)

3

5-17

Que es la expresión de la Ley de Hooke para problemas bidimensionales de Tensión Plana. Supóngase que, al igual que en el caso anterior, se desea escribir las ecuaciones 5-17 de igual forma que las tridimensionales, es decir: ,1,2 =+= jiG ijkkijij δελεσ 5-18

CAPÍTULO V 9

será necesario cambiar los coeficientes elásticos a otros tales como:

G

GGG2

2+

==λλλ

(( 5-19

logrando, de esta forma, que las ecuaciones de Lamé bidimensionales se escriban igual que las tridimensionales:

5-20 2,1,2 *** =+= jiG ijkkijij δελεσ Conclusión: Siempre es posible escribir las ecuaciones bidimensionales de igual forma que las tridimensionales sin mas que cambiar el valor de los coeficientes elásticos por otros ficticios. Esta estrategia tiene un fin claro (como puede deducirse fácilmente del desarrollo realizado) y es que las ecuaciones de la Elasticidad bidimensional sean escritas de la misma forma que las de la Elasticidad tridimensional. A modo de resumen se escriben a continuación las ecuaciones obtenidas hasta el momento de la Elasticidad particularizadas para el caso bidimensional. DEFORMACIÓN PLANA TENSIÓN PLANA

Ecuaciones de Navier

( ) ( ) 0ˆˆˆ ,, =+++ iVijjjji FuGuG λ ( ) ( ) 0,, =+++ iVijjjji FuGuG(((

λ

λλ == ˆGG G

GGG2

2+

==λλλ

((

---------------------------------------- ------------ ------------------------------------- Ley de Hooke:

( ijkkijij vE

v δσσε ˆˆˆ1

−+

= ) ( )ijkkijij vE

v δσσε *** 1 (((

−+

=

vvv

vEE

−=

−=

1ˆ

1ˆ

2 vvEE == ((

---------------------------------------- ------------ ------------------------------------- Ecuaciones de Lamé:

ijkkijij G δελεσ ˆˆ2 += 2,1,2 *** =+= jiG ijkkijij δελεσ((

λλ == ˆˆ GG G

GGG2

2+

==λλλ

((

---------------------------------------- ------------ ------------------------------------- Aunque, para el caso de Tensión Plana, se han escrito las ecuaciones con el asterisco, significando con ello que son valores medios a lo largo del espesor de la pieza, pueden perfectamente ser escritas sin el asterisco y sobreentenderse que son valores medios a lo largo del espesor. De acuerdo con ello la única diferencia entre Tensión Plana y Deformación Plana estribaría en el valor de las constantes elásticas.

CAPÍTULO V 10

Por último, las 6 ecuaciones de compatibilidad tridimensionales se reducen a una exclusivamente en el caso plano:

0

0

0

02

02

02

2

13

1

23

3

12

321

332

1

23

3

12

2

13

231

222

3

12

2

13

1

23

132

112

31

132

23

112

21

332

32

232

22

332

23

222

21

122

21

222

22

112

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

∂−

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

∂−

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

∂−

=∂∂

∂−

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂−

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂−

∂∂

+∂∂

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

εεεε

εεεε

εεεε

εεε

εεε

εεε

------ 0221

122

21

222

22

112

=∂∂

∂−

∂

∂+

∂

∂xxxx

εεε

5-5. Función de Airy. En coordenadas cartesianas y para el caso bidimensional, tanto en tensión Plana como en Deformación Plana, existen diversas funciones potenciales que resuelven el Problema Elástico. Una de las más sencillas, y que a continuación se presenta, es la conocida Función de Airy que emplea soluciones polinómicas y exige que las Fuerzas por Unidad de Volumen son constantes o nulas. A tal fin supóngase la existencia de una cierta función Φ tal que cumpla:

( ) ( ) 122121

2121

1

2222

2

211 xFxF

xxxxVV −⋅−

∂∂Φ∂

−=∂

Φ∂=

∂

Φ∂= σσσ 5-21

Las condiciones que debe cumplir la función Φ así definida para que sea solución de un problema elástico son: a) Que cumpla las ecuaciones de equilibrio b) Que cumpla las ecuaciones de compatibilidad en tensiones (ya que la función se

define en tensiones). - Condición ( a )

( ) ( ) ( ) cumpleFFxxxx

Fxx VVV ⇒=+−

∂∂

Φ∂−

∂∂

Φ∂⇒=+

∂∂

+∂∂ 00 112

21

3

221

3

12

12

1

11 σσ

CAPÍTULO V 11

( ) ( ) ( ) cumpleFFxxxx

Fxx VVV ⇒=+−

∂∂

Φ∂−

∂∂

Φ∂⇒=+

∂∂

+∂∂ 00 222

12

3

212

3

22

22

1

12 σσ

- Condición ( b )

( ) ( ) ( ) ( )001 2

2

2

21

22

2

2

1

12211

2 =

∂

Φ∂+

∂

Φ∂∇⇒=

∂

∂+

∂

∂+−+∇

xxxF

xF

v VVσσ

Lo que significa que la función Φ es biarmónica, es decir: 0 5-22 4 =Φ∇ Por tanto cualquier función que se defina como 5-21 y además sea biarmónica será solución de un problema elástico. La forma más sencilla de la función Φ es un polinomio homogéneo de grado superior o igual a dos. Con esta elección es relativamente sencillo resolver problemas en los que las condiciones de contorno varíen de forma uniforme, lineal, parabólica, etc. Así: Problemas como los que muestra la figura siguiente:

σ = constante τ = constante

Figura 5-6 son resueltos por una función de Airy del tipo:

2221

21 xCxxBxA ++=Φ

- Si el vector tensión varia linealmente en el contorno:

CAPÍTULO V 12

Figura 5-7 Una función de Airy es del tipo:

2221

21

32

2212

21

31 GxxFxExDxxxCxxBxA ++++++=Φ

lo resuelve adecuadamente - Si la variación es parabólica:

Figura 5-8 Una función de Airy del tipo:

2221

21

32

2212

21

31

42

321

22

212

31

41

LxxKxJxIx

xxHxxGxFExxDxxxCxxBxA

+++

++++++++=Φ

Lo resuelve, debiéndose cumplir además que sea biarmónica, es decir:

∇ =4 0Φ

y así sucesivamente. Por último es necesario hacer unas consideraciones sobre las tensiones tangenciales máximas:

CAPÍTULO V 13

- En un estado plano ( en deformación y tensión plana respectivamente) el tensor de tensiones es de la siguiente forma:

=

=*33

*22

*21

*12

*11

2221

1211

0000

0000

0

σσσσσ

σσσ

σσ

σ ijij

Y los círculos de Mohr correspondientes a ambos tensores serán (supuestas positivas las tensiones principales):

σII σIII σI σII σI σIII

( ) DT 3maxτ

( ) DT 2maxτ ( ) DT 3

maxτ

( ) DT 2maxτ

Figura 5-9

Por tanto las tensiones tangenciales máximas, visto el punto elástico en su forma tridimensional, no coinciden con las del estado plano (cuyos valores son menores). 5-6. Representación Gráfica del Estado de Tensiones de un Punto. Círcunferencia de Mohr. Al igual que en el caso tridimensional se realizó una representación gráfica de las tensiones y/o deformaciones intrínsecas a través de lo que se denominó círculos de Mohr. En el caso plano se hace la correspondiente representación de las componentes intrínsecas del vector tensión que se denomina Circunferencia de Mohr. A tal fin considérese un vector n normal a un plano y el vector n´ contenido en el mismo plano. Los cosenos directores son:

( ) ( )αααα cos,´,cos −== sennsenn

Si el tensor de tensiones viene dado en ejes principales las componentes intrínsecas del vector tensión tienen por expresión:

CAPÍTULO V 14

I

II

n

Tσ

Tτ

n´

Tα

Plano

Figura 5-10

( )

ασ

ασ

ασ

ασ

ασασαα

σσ

αασ

2222

22

22cos

2cos

2

coscos

00

,cos

sensen

sensen

senT

IIIIII

IIIII

I

+++

=+=

=

5-23

Sumando y restando: ασ 22

senI± y ασ 2cos2II± , es fácil llegar a:

ασσσσσ 2cos

22IIIIIIT −

++

= 5-24

Por otra parte:

( )

ασσ

αασαασαα

σσ

αατ

22

coscoscos

00

cos,

sen

sensensen

senT

III

IIIII

I

−

=−=

−=

5-25

Entre 5-24 y 5-25 puede eliminarse el ángulo α y obtener un lugar geométrico de los vectores tensión asociados a un determinado tensor de tensiones:

Para ello se pasa al primer miembro el término: 2

III σσ + de 5-24 y se eleva al

cuadrado; luego se eleva al cuadrado 5-25. A continuación se suman y se obtiene:

22

22

22

2cos22

−

+

−

=+

+

− ασσασσσστσ senTT IIIIIIIII

o bien:

2

22

22

−

=+

+

− IIIIII TT σσσστσ 5-26

CAPÍTULO V 15

La ecuación anterior corresponde a una circunferencia en ejes (Tσ, Tτ) cuyo centro está

sobre el eje Tσ y situado a una distancia del origen: 2

III σσ + , siendo el radio:

2III σσ − (ver figura siguiente). Tal circunferencia es conocida como circunferencia de

Mohr, y en general: Dado un tensor de tensiones la circunferencia de Mohr es el lugar geométrico de los infinitos estados tensionales (Tσ, Tτ) correspondientes a los infinitos planos que pasan por un punto.

( )maxτT

σI σII

2III σσ +

Tσ

Tτ

Figura 5-11

Es interesante notar ciertos aspectos de la circunferencia de Mohr: - Considerése un punto P cualquiera de la circunferencia. La proyección del punto P

sobre el eje T (ver figura siguiente) es el punto A, y el centro de la circunferencia es el punto M. Se cumple que:

σ

O

P

M A

β

α

σ II σ I

Figura 5-12

βσσσσσ cos

22IIIIIIMAOMTOA −

++

=+== 5-27

βσσβτ sensenPMTPA III2−

=== 5-28

CAPÍTULO V 16

Si se compara 5-24 con 5-27 puede observarse que para que sean idénticas es necesario que se cumpla que β = 2α, igual conclusión se extrae si se compara 5-25 con 5-28. Por tanto un punto cualquiera de la circunferencia de Mohr representa al estado tensional de un plano de corte cuya normal forma un ángulo α con la dirección principal I o bien un ángulo β = 2α con la dirección principal I (lo usual es emplear el ángulo β ) . Lo anterior visto no es en absoluto artificioso pues pueden seguirse los mismos pasos que en el caso tridimensional. Efectivamente supóngase que se desea hallar (Tσ, Tτ ) dada una dirección determinada ( )γγ senn ,cos1 = . Para ello se levanta una perpendicular al eje Tσ por el punto σI . Se traza un arco cuyo ángulo sea arccos γ hasta que corte a la circunferencia de Mohr. De esta forma se obtendría el punto P de la figura anterior. Las coordenadas del punto P es el estado tensional correspondiente Cuando el tensor de tensiones no viene dado en ejes principales es necesario hallar las tensiones principales. Para ello se sigue el procedimiento habitual consistente en restar un parámetro λ a la diagonal principal e igualar a cero el determinante, obteniendo:

( ) ( ) 00 21222112211

2

2212

1211 =−++−⇒=−

−σσσλσσλ

λσσσλσ

cuyas raíces son:

212

222112211

212

222112211

22

22

σσσσσσ

σσσσσσ

+

−

−+

=

+

−

++

=

I

I 5-29

Las direcciones principales (en este caso es suficiente con obtener una pues la otra es perpendicular) se hallan sustituyendo λ por σI (por ejemplo), multiplicando la matriz por la dirección incógnita e igualando a cero es decir:

12

11

12112212

1211 0)(0

σσσα

σσσσσσ

σσσ

I

II

I

taglm

mlml

−−==

⇒=+−⇒=

−

−

5-30

Estas conclusiones se representan gráficamente en la figura siguiente:

CAPÍTULO V 17

=>

α σ11

σ22

σ12

σI

σII

Figura 5-13 A continuación se comentan particularidades sobre la construcción y aplicaciones de la circunferencia de Mohr. a) Dado el estado tensional de un punto elástico es posible hallar las tensiones y

direcciones principales de forma gráfica:

=>

°

M

A

B

β σ11

σ22

σ12

σ11

σ22 σI

σII

1 2

3 4

Figura 5-14

Para ello se parte de un estado tensional que puede venir dado de forma gráfica (figura 5-14-a), o bien de forma analítica o sea el tensor de tensiones (supóngase que σ22 > σ11 ) En primer lugar se sitúa a escala el valor de σ22 sobre el eje Tσ por dicho punto se levanta la cantidad correspondiente a σ12 obteniendo el punto A. Luego se mide σ11 a igual escala y se sitúa σ12 hacia el lado negativo del eje Tτ obteniendo el punto B. Puesto que ambos puntos, A y B, son representativos de los estados tensionales correspondientes a los planos 1-2 y 2-3: Punto B (plano 2-3) Punto A (plano 1-2): ( ) ( 1,0´0,1 ±== n )n ( ) ( )0,1´1,0 ±== nn

{ }{ } 12

11

´ σσ

σσ

τ

σ

==

==

ijij

ijij

nnT

nnT

{ }{ } 12

22

´ σσ

σσ

τ

σ

==

==

ijij

ijij

nnT

nnT

deben estar situados sobre la circunferencia de Mohr. Además las normales de ambos planos forman 90º por lo que al ser trasladarlas al circulo de Mohr deben formar 180º. Ello significa que si se unen los puntos A y B por una recta, esa debe ser una diagonal

CAPÍTULO V 18

de la circunferencia de Mohr. Puesto que el centro de la circunferencia debe estar sobre el eje σ, concluimos que: el punto de corte de la recta que une A y B con el eje σ es el centro de la circunferencia de Mohr ( punto M de la figura superior) y el radio debe ser la distancia MA o MB. Queda una cuestión pendiente por dilucidar, y es por qué se mide σ12 hacia el lado positivo del eje Tσ para obtener el punto A y sin embargo se mide σ12 hacia el lado negativo del eje Tσ para obtener el punto B. La respuesta se basa recordando que en el capítulo I se estableció por convenio que las tensiones tangenciales eran positivas cuando seguían la dirección positiva de los ejes en las caras vistas. Esta forma de representación obliga a adoptar otro convenio para situar las tensiones tangenciales en la circunferencia de Mohr tal como el siguiente: Se miden sobre el eje positivo de T aquellas tensiones tangenciales que dejen el sólido a derechas, consecuentemente se medirán negativamente aquellas tensiones tangenciales que dejen el sólido a izquierda. Es necesario recalcar que en la representación de Mohr el hecho de que las tensiones tangenciales sean positivas o negativas

τ

sólo significa que al dibujarlas sobre un punto elástico dejan el sólido a derechas o a izquierdas.

Se mide como positiva en la circunferencia deMohr porque deja el sólido a la derecha

Se mide como negativa en lacircunferencia de Mohr porque deja elsólido a la izquierda

Figura 5-15

Una vez dibujado la circunferencia de Mohr, figura 5-16, los valores extremos sobre el eje σ son precisamente las tensiones principales σI y σII. El ángulo β que forma con el eje σ es el doble del que forma con la dirección principal I, de acuerdo con la siguiente figura:

CAPÍTULO V 19

=>

°

M

A

B

β σ11

σ22

σ12

σ11

σ22

1 2

3 4 σI

σI

σII

σII

α = β/2

Figura 5-16

En definitiva el estado tensional correspondiente al plano 1-2 es el punto A de la circunferencia de Mohr y el punto B el correspondiente al plano 2-3. Por tanto situándonos sobre el punto A y girando en el sentido de las agujas del reloj un ángulo β se llega al punto representativo del plano de actuación de σI . O lo que es lo mismo el

ángulo que forma la normal al plano 1-2 con la normal al plano principal es 2βα = .

b) Utilizando la circunferencia de Mohr es sencillo hallar la tensión tangencial máxima de un estado plano. Para ello se hace uso de la figura siguiente:

=>

°

M

A

B

β σ11

σ22

σ12

σ11

σ22 σI

σII

1 2

3 4

( Tτ )max D

Figura 5-17

Y es inmediato observar que el punto D corresponde al punto de tensión tangencial máxima cuyo valor es:

( )2max

IIIT σστ

−=

y el plano donde se produce es tal que forma 45º con la dirección principal I.

CAPÍTULO V 20

c) Existen dos casos particulares que son interesantes de estudiar. Uno corresponde a la situación que se produce cuando σ σI II= − , que se presenta a continuación:

M IσIIσTσ

Tτ

( Tτ )max

Figura 5-18

En este caso el plano donde se produce la máxima tensión tangencial es tal que no se producen tensiones normales, o lo que es lo mismo el punto elástico está sometido a un estado de cortadura pura. La figura siguiente lo aclara de forma gráfica:

M

2

2

1

1 3

3

Tτ

σII

σII

σI

σI

( Tτ) max

( Tτ) max

Figura 5-19 d ) Otro caso interesante es cuando σI = σII entonces la circunferencia de Mohr se reduce a un punto y cualquier dirección es principal.

CAPÍTULO V 21

• σI = σII

Figura 5-20

5-7. Curvas Representativas del estado plano. En este apartado se van a estudiar curvas, mejor familias de curvas, que ayudan a adquirir una visión global del comportamiento de la pieza en su conjunto, y estudiar alguna propiedad que pueda tener el estado tensional que ayude en el diseño de la pieza. Una de las familias más importantes son las Isostáticas. 5.7.1 Isostáticas: Se definen como las envolventes de las tensiones principales. Por tanto cada punto de una pieza bajo estudio tiene dos isostáticas: una corresponde a σI y otra corresponde a σII y además son perpendiculares entre sí. Hay que decir que cada punto de un sólido tiene un estado tensional definido por un tensor de tensiones, y que dependiendo de cómo se oriente el punto estará sometido, o no, a un estado de tensiones principal. Pues bien la curva tangente a todas y cada una de las tensiones principales es una isostática. La forma de obtener la ecuación correspondiente es partiendo del resultado hallado anteriormente del ángulo que la tensión principal forma con la dirección positiva del eje X

αα

σσσα 22211

121

222tagtagTag

−=

−= 5-31

Introduciendo en la expresión

1

2dxdxtag =α

Se obtiene:

011

2

12

22112

1

2 =−

−+

dxdx

dxdx

σσσ

cuya raíces son:

CAPÍTULO V 22

12

12

2211

12

2211

1

2 +

−±

−−=

σ

σσσ

σσdxdx 5-32

La ecuación anterior es una ecuación diferencial cuya integral son dos familias representativas de las denominadas Isostáticas. Se denomina punto singular aquel en que se cumple que: 0122211 == σσσ y Si un punto es singular y además se cumple que: 0122211 === σσσ entonces se dice que es neutro 5.7.2 Isoclinas: Son líneas que unen puntos en que las tensiones principales tienen igual inclinación. La forma de hallarlas es partiendo de la ecuación 6-20 e igualándola a una constante.

α

σI

σII

σ11

σ22 σ12

Figura 5-21

ktagtagTag =

−=

−=

αα

σσσα 22211

121

222 5-33

haciendo:

mTag =α

se obtiene:

011

22

12

2211222211

12 =−−

+→−

=−

mmmm

σσσ

σσσ 5-34

Ecuación en la que dando valores al parámetro m se van obteniendo las distintas isoclinas 5.7.3 Isocromáticas: Son líneas que unen puntos en que la diferencia de las tensiones principales es constante, es decir.

CAPÍTULO V 23

kIII =−σσ 5-35 Dado que la tensión tangencial máxima es:

( )2max

IIIT σστ

−=

Resulta que las isocromáticas son líneas en que la tensión tangencial máxima es constante 5.8 Estado Plano Termoelástico. En el capítulo IV se dedujo el estado termoelástico general. A partir de él se puede particularizar y obtener el caso plano tanto en tensión como en deformación plana. Caso deformación plana termoelástica. Las ecuaciones de comportamiento son:

( )

( )

( ) 01

1

1

3322113333

3322112222

3322111111

=∆+++−+

=

∆+++−+

=

∆+++−+

=

TEv

Ev

TEv

Ev

TEv

Ev

ασσσσε

ασσσσε

ασσσσε

5-36

Despejando σ33 de la tercera y sustituyendo en las otras dos:

( )( )[ ]

( )( )[ ] TTEvEv

Ev

TTEvEv

Ev

∆+∆−++−+

=

∆+∆−++−+

=

αασσσε

αασσσε

11

11

22112222

22111111 5-37

Reordenando y añadiendo las componentes tangenciales da finalmente:

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )

1212

22112222

22111111

1

11

11

σε

ασσσε

ασσσε

Ev

TvvE

v

TvvE

v

+=

∆+++−+

=

∆+++−+

=

5-38

Que representan a las ecuaciones de Hooke termoelásticas plana para el caso de deformación plana. Invirtiéndolas se obtienen las ecuaciones de Lamé en deformación plana:

CAPÍTULO V 24

( )

( )

1212

22112222

22111111

221

2

212

εσ

αεελεσ

αεελεσ

G

Tv

EG

Tv

EG

=

∆−

−++=

∆−

−++=

55-39

Para el caso de Tensión Plana: Se parte de las ecuaciones de Lamé termoelásticas en 3D:

( )

( )

( ) 021

2

212

212

3322113333

3322112222

3322111111

=∆−

−+++=

∆−

−+++=

∆−

−+++=

Tv

EG

Tv

EG

Tv

EG

αεεελεσ

αεεελεσ

αεεελεσ

5-40

Despejando σ33 y sustituyendo en las dos primeras se obtiene, después de algunas manipulaciones, las ecuaciones de Lamé termoelásticas en dos dimensiones para el caso de tensión plana:

( )

( )

1212

22112222

22111111

2211

22

21122

εσ

αεεεσ

αεεεσ

G

Tv

Ev

GvG

Tv

Ev

GvG

=

∆−

−+−

+=

∆−

−+−

+=

5-41

La ley de Hooke para el caso termoelástico en tensión plana es:

( )[ ]

( )[ ]

1212

22112222

22111111

1

1

1

σε

ασσσε

ασσσε

Ev

TEv

Ev

TEv

Ev

+=

∆++−+

=

∆++−+

=

5-42