capitulo iv desarrollo del modelo - uncaeditorial.unca.edu.ar/publicacione on line/digitesis/navarro...

“Las ideas fundamentales de la ciencia son esencialmente sencillas,

y, por regla general, pueden ser expresadas en

un lenguaje comprensible para todos”

Albert Einstein.

CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO

MATEMATICO DE APRENDIZAJE

CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE

115

CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE

APRENDIZAJE

4. INTRODUCCIÓN

En este capítulo se realiza la presentación del modelo matemático de

aprendizaje desarrollado para este trabajo de tesis, mostrando las

características de las distintas variables que participan en el proceso de

aprendizaje. Para ello se consideran los conceptos físicos y biológicos

utilizados en cada caso para analizar la aplicabilidad y las limitaciones que

presenta el modelo.

Asimismo, los conceptos matemáticos asociados al proceso de

aprendizaje pueden utilizarse para describir la dinámica de las variables que

determinan el proceso de excitación - inhibición. Como se trata de un

modelado fenomenológico, es posible asociar partes del modelo con diferentes

parámetros, lo que facilita la comprensión del comportamiento específico de

cada parámetro y sus relaciones con los demás. Sin embargo, puesto que

muchos fenómenos que ocurren en el aprendizaje son aún en parte inciertos,

como se menciona en el Capítulo I, el modelo de aprendizaje a desarrollar es

del tipo caja gris. Esto es, que combina descripciones fenomenológicas

detalladas con descripciones aproximadas, que finalmente serán objeto de

ajustes matemáticos basados en conocimientos previos y datos

experimentales.


116

Por otra parte, en la sección 4.5 se presenta el planteamiento de otro

modelo matemático de aprendizaje con retardo, para describir cómo

evoluciona el alumno en el sistema educativo en las escuelas rurales

presentes en el estudio. Para ello, se planteó un problema de valor inicial que

representa las capacidades adquiridas por los alumnos cursantes, tales

capacidades son proporcionales al número máximo de nuevas capacidades

por adquirir. Esto conlleva a expresiones matemáticas de ecuaciones

diferenciales, para obtener soluciones numéricas de forma rápida y que sean a

la vez estables.

4.1. PLANTEO DEL PROBLEMA

Se asume, desde el sector educativo, la problemática ambiental a través

de la concientización en la comunidad sobre el uso eficiente de los recursos

naturales. Ante las condiciones actuales, la sociedad exige una instrucción en

valores, donde se desarrolle la independencia cognoscitiva de los alumnos,

potenciar la capacidad de organización y representación. Evidenciándose así

el vínculo con el entorno que rodea al alumno, donde vive y como se

desarrolla. [28].

Por tanto, se estudiarán los efectos que se producen en la salud y en el

rendimiento escolar de los estudiantes, como consecuencia del uso no

controlado de agroquímicos en comunidades agrícolas, pertenecientes a la

Provincia de Catamarca. Esta se ubica en la región Noroeste de la Republica

Argentina, entre los 25° 12´ y 30° 04´ de latitud sur y entre los 69° 03´ y 64° 58´


117

de longitud oeste, y sus límites son: al norte la provincia de Salta, al este las

provincias de Tucumán y Santiago del Estero, al sur las provincias de Córdoba

y La Rioja y al oeste la Cordillera de los Andes -Republica de Chile. Tiene una

superficie de 102.602 km2 (2,7% del total nacional) y una población de 367.828

habitantes (datos Censo Nacional 2010) de los cuales 159.703 habitantes

viven en la ciudad capital, Figura 4.1.

Figura 4.1: Ubicación Geográfica de la Provincia de Catamarca

[Fuente: Dirección Provincial de Estadísticas y Censos Departamento Cartografía Estadística]

Está integrada por dieciséis Departamentos con sus respectivas

cabeceras departamentales, y a su vez cada uno de ellos está dividido en

distritos. Para desarrollar este estudio, se tomó como referencia a la región

este de la provincia donde se encuentra el Departamento Santa Rosa, ubicada


118

a 123 km de la Capital con una extensión de 1.424 km2 y una población de

12.034 habitantes, Figura 4.2.

Figura 4.2.: Ubicación geográfica del Departamento Santa Rosa – Prov.

Catamarca – Argentina

Vías de acceso al Departamento Santa Rosa

Se dividió el área de estudio en dos zonas, considerando las regiones

fitogeográficas o ecológicas y el grado de desarrollo de la actividad agrícola, la

cual esta destinada a la producción de granos y oleaginosas, según datos del

Ministerio y de la Dirección de Fiscalización Agropecuaria (2009 - 2010),

58.000has para soja transgénica, 38.000has para trigo y 9000has para

producciones de menor escala, tales como: poroto negro, maíz pisingallo, maní

y otros cultivos como tabaco, tomate y hortalizas. A los efectos de asegurar la

producción agrícola en la zona, se aplican agroquímicos como herbicidas,

insecticidas y acaricidas, cuyo uso en la Provincia de Catamarca se encuentra

regulado mediante la Ley Provincial 4395/86 (Dcto. Reglam. 3175) “Uso de

Departamento Santa Rosa


119

productos químicos”, la que a su vez se encuentra encuadrada dentro de la

Ley Nacional General del Ambiente (2002).

El desarrollo moderno de los grandes monocultivos extensivos como la

soja transgénica, trajo aparejado el incremento de la utilización de

agroquímicos en el Departamento Santa Rosa, ya que su cultivo demanda

alrededor del 46% del total de pesticidas utilizados por los agricultores,

seguido por el maíz con el 10% de pesticidas. Agroquímicos como el glifosato

representa el 37% del total de herbicidas, utilizados en la producción agrícola

argentina. Convirtiéndose con otras sustancias químicas en insumos

estratégicos para poder mantener una economía sustentable, una producción

a gran escala y calidad necesarias para la competencia en el mercado

mundial. Estos son fundamentales hoy en día para luchar contra las plagas,

combatir con éxito los vectores de enfermedades y enriquecer los suelos.

Finalmente son claves para satisfacer las necesidades de alimento y trabajo en

las regiones agrícolas.

Los estudios realizados hasta el presente, sobre los impactos

ambientales y la salud provocados por los agroquímicos, fueron desarrollados

para un determinado nivel de utilización, los que no se corresponden con la

condiciones de uso actual. El cambio de patrón en el manejo de los mismos,

fue provocado por la aparición de malezas o hierbas resistentes a los

principios activos de las mencionadas sustancias. Por lo que, los agricultores


120

debieron incrementar los volúmenes, las condiciones y formas de aplicación

que muchas veces evidencian un exceso muy marcado, promoviendo a su vez

el irracional uso de herbicidas, insecticidas y acaricidas. Si bien, el propósito es

lograr una economía sustentable, que permita dar respuesta a la creciente

demanda del mercado nacional como internacional, olvidándose de los

aspectos relativos al impacto ambiental de las diferentes técnicas y modelos

agrarios propuestos. [15], [31], [32]

Por tanto, en la Provincia de Catamarca se encuentra regulado el uso de

agroquímicos por la Ley Provincial 4395/86 (Dcto. Reglam. 3175) “Uso de

productos químicos”, pero no existe una Ley Nacional de agroquímicos que

regule debidamente el uso de los mismos. En el marco de la normativa actual,

los plaguicidas de uso doméstico, son normados por distintos organismos de

acuerdo a su uso específico para no afectar en la salud humana. Existen

químicos prohibidos por algunos organismos y aceptados por otros, en la que

los criterios de toxicidad difieren en ciertas zonas y por los entes reguladores

de distintas dependencias de variadas jurisdicciones. Las áreas del país más

perjudicadas son las que presentan variedad de actividad agrícola

preponderante, como ocurre en las provincias de Salta, Misiones, Santa Fe,

Mendoza y San Juan, y también en provincias de mayor vulnerabilidad

económica, como la de Catamarca. En ella, la agricultura y especialmente el

cultivo de soja transgénica constituyen, en algunos Departamentos, como el de

Santa Rosa, una posibilidad segura de crecimiento económico sustentable


121

para la población (Ministerio de Producción y Desarrollo de la Provincia de

Catamarca, 2011). Es por ello que se considera de vital importancia poseer

conocimientos sobre los efectos que provoca la sobreutilización de

agroquímicos, para evitar la contaminación directa o indirecta con este tipo de

sustancias tóxicas.

4.1.1. IMPACTO DE LA EXPOSICIÓN DE AGROQUIMICOS SOB RE LA

SALUD HUMANA

Los agroquímicos producen efectos tóxicos agudos y crónicos. Los

impactos de largo plazo (crónicos) sobre la salud humana pueden resultar

tanto a partir de una única exposición a altas dosis de pesticidas, como

también de exposiciones a lo largo de un extenso período de tiempo, aunque

los niveles de exposición sean bajos. A pesar que las personas no manifiestan

haber estado expuestas, las posibles consecuencias futuras pueden surgir

años más tarde, debido a la constante presencia de pesticidas en el ambiente.

Por otro lado, la calidad y la cantidad de datos sobre el riesgo planteado

a humanos por pesticidas individuales varían considerablemente. Determinar

sus causas es con frecuencia extremadamente difícil. Los trastornos del

aprendizaje, conducta y desarrollo en los niños son el resultado de complejas

interacciones entre factores ambientales y genéticos durante los períodos

vulnerables del desarrollo. [28], [32], [33]


122

4.2. METODOLOGIA

Se trabajó con una metodología cualitativo – cuantitativo que permitió

realizar un estudio descriptivo correlacional, de diseño observacional, que

pretende evidenciar y describir la tendencia del coeficiente mental visomotor

de las edades madurativas en la niñez de la muestra. Con este diseño de

investigación, se buscó indagar la relación del test de Bender con la madurez

visomotor y el ajuste emocional vinculados con el aprendizaje. Las muestras

experimentales se tomaron de abril a julio de 2010. [2], [28]

4.2.1. POBLACION DE ESTUDIO

La población está conformada por alumnos comprendidos en una franja

etaria entre 5 a 12 años con 11 meses de edad cronológica, que concurren a

las escuelas rurales de Nivel de Educación Primario del Departamento Santa

Rosa. Se dividió el área de estudio en dos zonas, considerando las regiones

fitogeográficas o ecológicas y el grado de desarrollo de la actividad agrícola.

En ella se sitúan cuatro establecimientos escolares, dos de ellos, las Escuelas

Nº 171 y 378 que poseen un total de trecientos cincuenta alumnos, ubicados

en la región oeste del Departamento que corresponde al Municipio de Los

Altos. Los otros dos establecimientos se hallan en la región este, y son la

Escuela N°8 de Bañado de Ovanta, que tiene ciento cuarenta y cinco alumnos,

y la Escuela N°297 de Lavalle con ciento cincuenta alumnos cursantes.


123

En nuestro estudio se trabajó con los dos últimos establecimientos que

presentaban diferencias en características relevantes. Así se comparó dos

grupos diferentes de alumnos provenientes de entornos socioculturales

similares, pero con la característica que uno de ellos habita en zonas donde

los agroquímicos se usan frecuentemente en la producción agrícola (Localidad

de Lavalle – Departamento Santa Rosa), mientras que el otro grupo proviene

de una comunidad con sistema de producción agrícola de escaso uso de

agroquímicos (Localidad Bañado de Ovanta - Departamento Santa Rosa). Es

decir, se analiza la posible relación entre la aparición de alteraciones en el

comportamiento de los sujetos, el aprendizaje y la presencia de agroquímicos

en su contexto ambiental. [7], [20], [27]

4.2.2. TECNICA E INSTRUMENTO DE RECOLECCION DE DATO S

Se utilizó el Test Guestáltico Visomotor de Bender - Koppitz tal lo

mencionado en el Capítulo I, el cual constituye una herramienta psicométrica

muy utilizada en la praxis educativa, para determinar si el niño presenta el

comportamiento o las habilidades que a su edad y en sus circunstancias se

espera. Para ello, se hace necesario la realización de evaluaciones; como el

coeficiente mental visomotor (CMVM), la edad madurativa visomotor (EMVM),

los estados patológicos funcional u orgánico inducido y los indicadores

emocionales, entre otros, que son objetos de ésta investigación. Además, el

corto tiempo necesario para su aplicación junto con lo accesible de los


124

materiales, su bajo costo y la rapidez de su clasificación, son razones que

justifican su aplicación.

Desde esta perspectiva, es importante aportar elementos científicos al

binomio alumnos – docentes, a fin de tener herramientas para determinar la

existencia de desajustes, causados por la presencia de agroquímicos, entre la

edad madurativa y la edad cronológica, y con ello discriminar entre estos

aspectos: a) problemas de aprendizaje que generan conflictos emocionales y

conductuales; b) problemas emocionales que causarían dificultades de

aprendizaje. [5], [7], [22], [33]

Para ello, se toma en cuenta los siguientes puntos:

� Examinar al niño, que debe realizar una tarea gráfica con modelos a la

vista (reproducir nueve figuras).

� Utilizar como estímulos los nueve patrones geométricos abstractos

empleados por Wertheimer.

� Suponer que la copia de las nueve figuras (Anexo A), está relacionada

con la habilidad para reproducir estructuralmente patrones visuales que

se perciben en forma simultánea, mientras que la imposibilidad de

reproducción es un indicador de disfunción.

� Analizar las figuras utilizando una hoja de protocolo, con un margen

superior que solicita los datos generales sobre el evaluado. En la hoja

de protocolo están contenidos treinta ítems puntuables que evalúan

cuatro características de los dibujos reproducidos por el niño, como son:


125

distorsión, rotación, perseveración e integración de la figura. En la

misma se consignan los ítems, la presencia con 1 y su ausencia con 0,

existiendo una casilla para colocar la sumatoria de los ítems (Anexo A).

Finalmente, la hoja contiene una tabla con los datos normativos para el

sistema de puntuación de la Escala de Maduración de Bender - Koppitz

(Anexo B).

� Determinar el coeficiente mental visomotor (CMVM): que se define como

la tasa de la edad mental visomotora (EMVM) respecto a la edad

cronológica (EC) del sujeto expresado porcentualmente, tal se muestra

en la ec. (4.1), que permite verificar el diagnóstico madurativo según la

tabla de Terman - Merrill (Anexo C) [38]. Esto muestra la interacción

constantemente activa entre la habilidad heredada y la experiencia del

medio que da como resultado que el sujeto sea capaz de adquirir,

recordar, usar sus capacidades visomotoras y entender conceptos

concretos y abstractos.

100×=EC

EMVMCMVM (4.1)

4.2.3. PROCEDIMIENTO

Seguidamente se detallan las diversas actividades realizadas en el

trabajo de campo de esta investigación, desarrolladas dentro del Proyecto de

Investigación “Alteraciones en el aprendizaje y su relación con la presencia de

agroquímicos en el contexto ambiental de los alumnos del Departamento


126

Santa Rosa, Provincia de Catamarca” bajo la dirección de la Dra. Gloria del V.

Quevedo, de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UNCa.

La administración del test se aplicó en los cuatro establecimientos ya

mencionados del Departamento Santa Rosa – Provincia de Catamarca, donde

se desarrolló una estandarización de la administración de la prueba, con el

objetivo de garantizar que los investigadores administraran el test

correctamente y de manera análoga. Para nuestro caso particular, se aplicó el

test en los establecimientos ubicados al Este de dicho Departamento.

El trabajo de campo fue desarrollado por los integrantes del proyecto, en

el que cada investigador tomó un grupo de alumnos que conforman un grado

escolar. Ellos se presentaron con el docente a cargo, quien facilitó la lista de

asistencia de cada grado. A continuación, se hizo una presentación de la

investigación y se dio una breve explicación a los alumnos sobre la misma,

diciendo: “Queremos saber cómo dibujan los niños y las niñas de esta aula,

por lo que les voy a pedir a cada uno de ustedes que me hagan unos dibujos”.

A continuación, se procedió a la presentación formal diciendo su nombre el

evaluador, una vez completado se inició la aplicación.

Cada evaluador ubicó las nueve tarjetas a su izquierda con las figuras

sobre la superficie de la mesa de trabajo, a su derecha había hojas A4, un

cronómetro, lápices, goma de borrar y un sacapuntas.


127

Con todo el material preparado y establecido la información se inició la

aplicación, con esta consigna “Aquí tengo nueve tarjetas con dibujos para que

los copies lo mejor que tú puedas. Aquí está el primero, haz uno igual a este”.

Cuando el examinado terminó, se le pidieron datos como su nombre

completo, fecha de nacimiento, el nombre de la Escuela y la fecha de la

prueba. Cuando este proceso finalizó, el investigador procedió a agradecer al

sujeto su colaboración y en recompensa le entregaba un pequeño presente,

luego, se despidió en la puerta del aula (en cuanto a los datos que no podía

dar el sujeto los proporcionaba el docente).

4.2.4. ANALISIS DE DATOS

A partir de la aplicación del Test Gestáltico Visomotor de Bender a los

grupos de alumnos en estudio, se realiza un análisis mixto (cuantitativo y

cualitativo) para evaluar los errores y/o aciertos obtenidos en la reproducción

de las figuras gestálticas.

• Análisis cuantitativo: se obtiene un puntaje tentativo en relación a

los errores y/o aciertos cometidos en la reproducción de las figuras.

Considerando un Indicador Madurativo siendo algunos de los ítems:

distorsión de la forma, rotación, integración y perseveración.

• Análisis cualitativo: Para analizar el test de Bender [5], se observa la

presencia de otros dos indicadores, como son:


128

a. Indicador Emocional: existen niños que presentan problemas

visomotores acompañados también de problemas emocionales

relacionables. Los niños sin problemas emocionales, sobrellevan mejor

el aprendizaje y buscan mejorar en sus problemas visoperceptor.

Algunos ítems de indicadores emocionales son:

� Orden confuso: cuando las figuras están desparramadas

arbitrariamente en el papel, sin secuencia ni orden lógico,

indica planeamiento pobre e incapacidad para organizar el

material. Es común en niños de cinco a siete años, pero se

relaciona con confusión mental en niños mayores.

� Repaso del dibujo o de los trazos: todo el dibujo o partes del

mismo es repasado con líneas espesas, se asocia con

impulsividad y agresividad.

b. Indicadores de Disfunción Neurológica: el test de Bender es muy pobre

y puede ser un indicador de problemas a nivel cerebral. Es significativo

cuando el puntaje da muy por debajo de la media. Tener en cuenta que

el Bender no es suficiente para indicar una lesión cerebral. Los ítems

que indican lesión son variados para cada figura (por ejemplo: Figura

A: distorsión, desproporción, rotación, etc. Figura 1: se agrega

perseveración, Figura 2: Integración).


129

4.2.4.1. RESULTADOS DE APLICACIÓN DEL TEST GESTALTI CO

VISOMOTOR DE BENDER

A continuación se muestran los resultados obtenidos de la aplicación del

test de Bender que puntúan los “errores” y el diagnóstico madurativo en los

cuatro establecimientos de las zonas de estudio, cuyo ecosistema sufre

alteraciones o desequilibrios producidos por el uso intensivo de agroquímicos,

afectando el estado de salud de los alumnos del Departamento Santa Rosa.

En la Figura 4.3, se muestran los diagnósticos madurativos según la tabla

de Terman-Merrill (Anexo C) de los cuatro establecimientos escolares

correspondientes al jardín de infante hasta tercer grado. El diagnostico

madurativo va desde el indicado con uno, correspondiente a genio, hasta el

indicado con seis, que equivale a debilidad mental leve; siendo estas

situaciones bien diversas en cada establecimiento. En la Escuela N° 8 -

Bañado de Ovanta, dicha distribución de los diagnósticos es homogénea,

debido a la escasa exposición que presentan los alumnos a los sectores de

cultivos que son expuestos a sustancias agroquímicas, mientras que las

Escuelas de Alijilán y Los Altos se hayan ubicados a pocas cercanías de los

cultivos que son tratados con agroquímicos los cuales muestran una

distribución que va creciendo para un diagnóstico madurativo alto. Por otro

lado, los alumnos de la Escuela N° 297- Lavalle son los más afectados en sus

actividades sensoriomotor en la adquisición de capacidades, presentando un

alto porcentaje de debilidad mental posiblemente causado por los efectos


130

directos de los contaminantes agroquímicos que reciben por el desarrollo

agrícola de la región.

0

10

20

30

40

50

0

1

23

45

67

01

23

4

Por

cent

aje

de a

lum

nos

Dia

gnós

tico

Mad

urat

ivo

Escuelas

Bañado de OvantaLavalleAlijilánLos Altos

Figura 4.3: Escala de maduración de los alumnos que cursan jardín infante a 3er grado de las escuelas rurales, evaluándose los “errores” obtenidas al aplicar el Test de Bender.

[Datos aportados por la Dra. Quevedo]

En la Figura 4.4, se muestran los diagnósticos madurativos según la tabla

de Terman-Merrill (Anexo C) de los cuatro establecimientos escolares

correspondientes al cuarto grado hasta el séptimo grado. Aquí también se

indica al diagnóstico madurativo de los alumnos que va desde uno, lo cual

corresponde a genio pero no hay evidencia de registro del mismo, hasta el

indicado con seis, que equivale a debilidad mental leve que resulta sumamente

alto. Evidentemente la situación de la Escuela N° 297 - Lavalle es crítica,

porque los alumnos se ven afectados en forma directa por los efectos nocivos


131

que provoca la contaminación de las sustancias tóxicas presentes en los

cultivos cercanos a dicha escuela, mientras los restantes establecimientos

muestran un porcentaje variable en relación a la adquisición de capacidades

obtenido a través de los estímulos que recibe facilitando las conductas de

aprendizaje, la retención y consolidación de las tareas aprendidas.

Si bien, éste diagnóstico madurativo está evaluado en relación a los

“errores” obtenidos por los alumnos al efectuar el test, esto implica que los

resultados obtenidos son signos de inmadurez de la función visomotora; es

decir que cuanto más alto sea el puntaje obtenido en la evaluación del

protocolo, es menor la madurez visomotora del alumno que ha realizado la

prueba.

0

20

40

60

80

100

0

1

2

34

56

7

01

23

4

Por

cent

aje

de A

lum

nos

Diagn

óstic

o M

adur

ativo

Escuelas

Bañado de OvantaLavalleAlijilánLos Altos

Figura 4.4: Escala de maduración de los alumnos que cursan el 4to a 7mo grado de las escuelas rurales, evaluándose los “errores” obtenidas al aplicar el Test de Bender.

[Datos aportados por la Dra. Quevedo]


132

De este análisis se destaca que para el nivel primario de los cuatro

establecimientos muestran que el nivel cognitivo obtenido por los alumnos es

relativamente bajo. Puesto que el aprendizaje implica alguna forma de

adquisición de información y una modificación en el estado de la memoria del

sujeto, esto lleva a que las entidades mentales resultantes del procesamiento

de la información quedan almacenadas en su memoria, las cuales

proporcionan una respuesta ante los estímulos ambientales incidentes y a las

diferencias fitogeográfica o ecológicas que llevan a que los alumnos se

encuentren afectados de distinta manera, los cuales precondiciona el resultado

de la madurez visomotora evaluada por el test. Por tanto, los procesos

mentales median entre la entrada del estímulo (input) y la expresión de la

respuesta (output). El hecho de desestimar una simple concatenación refleja

entre el estímulo y la respuesta conductual implicó elaborar técnicas y

estrategias para detectar e identificar procesos mentales intermedios,

pretendiendo que los mecanismos cognitivos inherentes a la compleja mente

humana se vuelvan transparentes al entendimiento humano. [14]

4.2.4.2. SELECCIÓN DE DOS ESTABLECIMIENTOS RURALES

Para nuestra investigación se consideró dos de los establecimientos

escolares correspondiente al nivel primario que se hayan ubicados en la región

Este del Departamento Santa Rosa, la Escuela N°8 - Bañado de Ovanta y

Escuela N° 297 - Lavalle. Esta selección se realizó porque dichas regiones

presentan manifiestamente diferencias fitogeográfica o ecológicas,


133

caracterizadas por los tipos de cultivos que presentan y que requieren en

forma continua la utilización de sustancias agroquímicas para el control de

malezas, lo cual genera alteraciones en la adquisición de capacidades de los

alumnos.

En ambos casos se aplicó el Test Gestáltico Visomotor de Bender como

instrumento de registro de la madurez visomotor del aprendizaje, y el sistema

de puntaje de Koppitz (Anexo B) para determinar las capacidades adquiridas

por los alumnos cursantes de ambos establecimientos. Por consiguiente, se

discrimina por grado que cursan los alumnos, llamando 0 al nivel inicial hasta

el séptimo grado, y la edad cronológica (EC) que es la edad real en meses que

tiene el alumno que se halla asistiendo alguno de los cursos desde el nivel

inicial hasta el séptimo grado.

En las Figuras 4.5 y 4.6, se muestran la recta de regresión que relaciona

la edad que poseen los alumnos (expresada en meses) y su distribución por

grado, conforme a las actividades de aprendizaje que se conviertan en parte

activa de las capacidades adquiridas.


134

Grado que cursan. los alumnos0 2 4 6 8

EC

[mes

es]

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

Grado vs Edad [meses] Regresión lineal

Figura 4.5.: Recta de regresión de EC de los alumnos según el grado que cursan. Esc.N°8 Bañado de Ovanta.

Grado que cursan los alumnos0 2 4 6 8

EC

de

los

curs

ante

s [m

eses

]

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Grado vs EC [meses]Regresion lineal

Figura 4.6.: Recta de regresión de EC de los alumnos según el grado que cursan. Esc.N° 297 Lavalle.

Conforme a estos datos, se construyeron las rectas de regresión y en

función de las edades mínimas y máximas esperadas medidas en [meses] de

ambos establecimientos, la cual se supone que el alumno ingresa con edad de

cinco años (sesenta meses) como mínimo y seis años (setenta y dos meses)


135

como máximo y progresa un grado por año la cual se expresan en las ecs.

(4.2) y (4.3). En cuanto a los valores obtenidos de las respuestas del test dada

por los alumnos se muestran en las rectas que contienen a tales datos, donde

las ordenadas al origen muestran una variación mínima cuyas pendientes son

ligeramente superior a 12 meses por grado [meses], y los errores de ambas

recta son del 0.9122% para la Escuela N° 8 - Bañado de Ovanta y 0.7582%

para la Escuela N° 297 – Lavalle.

29625212 .t.y OvantadeBañado.Escregresión += (4.2)

05669462312 .t.y Lavalle.Escregresion += (4.3)

En la Figura 4.7 muestra la regresión obtenida en la ec. (4.2) y se

observan comportamientos dentro de la recta de edades mínimas de un

alumno que ingresa al jardín de infantes con cinco años (sesenta meses) y

crece a razón de un grado por año y la recta máxima al ingresar con seis años

(setenta y dos meses). Esto muestra que los conceptos ya existentes en la

estructura cognitiva del alumno que aprende permiten realizar conexiones que

facilitan un puente cognitivo, para de algún modo exponer o activar nueva

información que ordinariamente estarán subsumidos dentro de la estructura

cognitiva, [14]. Esto lleva al alumno a avanzar en grado en forma cronológica

dependiendo de la influencia de los estímulos ambientales que condicionan

sus resultados en el desempeño escolar.


136

Figura 4.7: Recta de regresión inscripta entre las rectas que modelan las edades máximas y mínimas requeridas por el sistema educativo.

Escuela N° 8 Bañado de Ovanta – Dpto. Santa Rosa.

En la Figura 4.8 se muestra la recta de regresión obtenida en la ec. (4.3),

y se observa también su comportamiento dentro de las rectas de edades

máximas y mínimas de un alumno que inicia el sistema escolar según las

edades requeridas, aunque entre sexto y séptimo grado la recta sale de este

intervalo indicando el retardo cronológico en el alumno, pero en forma leve. Es

decir, la recta estimada se aproxima más a la recta máxima, a punto tal que la

prolongación después del sexto grado la recta de los datos reales atraviesa la

recta de edad máxima. Este aumento de la edad promedio por curso indica

una repitencia de los alumnos. Esta realidad se manifiesta debido a que el

alumno, en ciertas ocasiones, deja la actividad escolar para colaborar con las

tareas familiares vinculadas al sembrado y fumigación de los campos, entre


137

otras; y ulteriormente vuelve al grado correspondiente de cursado pero no

coincide con su EC llevándolo a la repitencia, u en otros casos a situación de

abandono de la escolaridad.

Figura 4.8: Recta de regresión inscripta entre las rectas que modelan las edades máximas y mínimas requeridas por el sistema educativo.

Escuela N° 297 Lavalle – Dpto. Santa Rosa

De igual manera se determinó la media aritmética y la desviación

estándar de la edad de los alumnos por grado, observándose que para la

Escuela N° 8 - Bañado de Ovanta (Figura 4.9), presenta una distribución más

uniforme de los alumnos en relación de su EC con el grado que cursan.

Mientras que la Escuela N° 297 - Lavalle (Figura 4.10), la distribución no es

uniforme, ya que existen alumnos con EC superiores al grado correspondiente.


138

Grado que cursan los alumnos0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

EC

[mes

es]

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Media y Varianza

Figura 4.9: Distribución de edades por grado de la Población total de alumnos Escuela N° 8 Bañado de Ovanta.

Grado que cursan los alumnos

EC

[mes

es]

0

50

100

150

200

250

Media y Varianza

0 1 2 3 4 5 6 7

Figura 4.10: Distribución de edades por grado de la Población total de alumnos Escuela N° 297 - Lavalle.


139

4.2.4.3. COEFICIENTE MENTAL VISOMOTOR (CMVM)

Con la aplicación del test, los resultados obtenidos en los alumnos

comprendidos en la franja etaria de 5 a 12 años con 11 meses permitió evaluar

el desarrollo de la función visomotor del niño obteniéndose un total de

veinticinco capacidades adquiridas respecto a la EC y al CMVM, que están

determinados en términos de la edad mental de los alumnos de las dos

regiones testeadas. Para ello, se procedió a calcular las medias aritméticas de

los CMVM de ambos establecimientos, obteniéndose:

• Escuela N° 8 - Bañado de Ovanta, Dpto. Santa Rosa: en la Figura 4.11,

se muestra que la adquisición de capacidades de los alumnos se inician

con un valor alto al inicio de su escolaridad la cual manifiestan tener

conocimientos previos, y a medida que el alumno avanza en el cursado

de grado este va disminuyendo en forma paulatina debido a la influencia

de la presencia de sustancias agroquímicas en el medio donde se

desarrolla el niño. Asimismo, en quinto grado se observa una abrupta

variación debido a que el alumno deja la actividad escolar para colaborar

con las tareas familiares, lo cual afecta de forma negativa el buen

desempeño del proceso de aprendizaje.


140

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7

Me

dia

Ari

tme

tic

a

Grado de cursado (Esc. N° 8 - Bañado de Ovanta)

Figura 4.11.: Media aritmética del CMVM (Escuela N°8. Bañado de Ovanta)

• Escuela N° 297 – Lavalle, Dpto. Santa Rosa: en la Figura 4.12, se

observa que los alumnos al iniciar su escolaridad manifiestan poseer

conocimientos previamente adquiridos, y que a medida que avanza en

edad y grado la adquisición de nuevos conocimientos va disminuyendo

en forma gradual, con excepción del quinto grado debido al abandono y/o

repitencia por participación directa en la tareas familiares. Es por ello, que

a causa de este efecto se registran en ciertos grados, alumnos con

edades mayores a lo que corresponde al grado de cursado, siendo esto

un factor decisivo que influye en el desarrollo del proceso de aprendizaje

del alumno. Por lo que, los efectos a largo plazo que provocan la

sobreutilización de sustancias agroquímicas en los cultivos de la zona,


141

llevan a que la participación en las tareas educativas del alumno se vean

afectas de manera directa.

Figura 4.12.: Media aritmética del CMVM (Escuela N° 297. Lavalle)

En consecuencia para ambas poblaciones la adquisición de

conocimientos evaluada por este CMVM decrece, cuando se esperaría un

aumento considerando el aspecto formal y sistemático que ofrece el sistema

educativo. Más aún, si se tiene decrecimiento desde 104,5 hasta 67,2 este es

muy marcado, pues baja más de treinta puntos en Bañado de Ovanta, contra

los casi veinte que desciende en Lavalle, donde los valores nunca son

agradables para una adquisición de conocimientos esperado. En ambos casos

la edad de quinto grado estimada, de diez años de edad, es donde el alumno

suele comenzar su participación en las tareas familiares relacionadas a la

fumigación de los cultivos de la zona.


142

Por lo tanto, se propuso una ecuación que modelará la relación entre el

CMVM y la EC en el cursado por grado de los alumnos de estos

establecimientos escolares, definido como:

BECACMVM = (4.4)

Con A y B constantes. A continuación evaluamos la ec. (4.4) a través

de las Figuras 4.13 y 4.14, donde se tomaron los valores de cada una de los

grados para obtener la ecuación que responda a éste modelo. Por tanto, se

obtiene que con B negativo, se expresa una disminución en el CMVM, lo cual

ocurre casi en todo momento salvo en el quinto grado de la Escuela de Lavalle

como veremos más tarde, en donde siendo positivo expresa un incremento del

coeficiente. De hecho que la proximidad a cero indica una regularidad de la

población que se considera. En cuanto al coeficiente A expresa la ordenada al

origen de la curva potencial modelada, y por lo tanto muestra el rango inicial de

tal coeficiente que posteriormente veremos cómo en la Escuela de Bañado de

Ovanta se parte de coeficientes mayores.

En la Figura 4.13, se muestra que en el jardín de infante se comienza

con un decrecimiento muy grande del CMVM y salta muy rápidamente durante

el primero y segundo grado con un decrecimiento mínimo, mientras que en el

quinto grado se observa un decrecimiento menor pero con valores bajo de éste

coeficiente, o sea una regularidad entre los alumnos de ese grado. En los


143

restantes grados terceros, cuarto y sexto se vuelve a observar un

decrecimiento del CMVM, siendo el más notorio este último; mientras que en el

séptimo grado disminuye un poco este decrecimiento del CMVM. Puede

observarse que en el séptimo grado hay una gran variedad de edades que van

desde los ciento treinta dos meses hasta cerca de los ciento noventa y dos

meses siendo la población más numerosa, de manera que la disminución del

CMVM es consecuencia de los cuatro alumnos que presentan edad avanzada

y manifiestan un CMVM próximo a 60, situación que no se da en los otros

grados.

Por tanto, se observa que la ubicación de los puntos por edad en los

distintos grados, presentan una buena organización desde el jardín de infantes

a sexto grado respectivamente. Esto es el resultado de un cambio potencial en

la conducta a nivel intelectual o psicomotor del alumno, que depende de los

estímulos externos que recibe, para generar conexiones a nivel de estructura

cognitiva que le facilitan la incorporan de nuevos conocimientos que estimulan

su propio aprendizaje.


144

Figura 4.13 : Modelo potencial del CMVM en función de la EC por grado correspondiente a la. Esc.N° 8 - Bañado de Ovanta

En la Figura 4.14, se observa que se inicia con el jardín de infantes que

muestra un decrecimiento mínimo, luego se incrementa en primer grado y

disminuye entre segundo y tercer grado tomando el mismo valor del CMVM,

mientras que en cuarto grado vuelve a decrecer dicho coeficiente. En sexto y

séptimo grado nuevamente se reduce aún más este decrecimiento del CMVM.

Un caso muy particular ocurre en el quinto grado en donde por única vez se

presenta un crecimiento de éste coeficiente.

En cuanto a las edades, la gráfica manifiesta un desorden muy notorio

como ser en segundo grado y tercer grado, donde existen alumnos con una

variedad muy grande en cuanto a la edad consecuencia de repitencia en el

sistema educativo. Mientras que los alumnos de séptimo grado también


145

presentan mayoría de edad para el grado correspondiente, lo cual al haber un

curso muy numeroso para la región el problema parece estandarizarse con

estos decrecimientos para los casi ocho alumnos con edad avanzada.

Figura 4.14 : Modelo potencial del CMVM en función de la EC por grado correspondiente a la. Esc.N° 279– Lavalle

De acuerdo a lo que evidencia cada gráfica muestra que algunos

alumnos presentan una madurez visomotora que les permite desarrollar

favorablemente las tareas escolares y que con el tiempo puede superar y/o

compensar sus deficiencias específicas. En consecuencia, la dependencia del

CMVM con la edad tienden a variar, obteniéndose un promedio mayor en la

Escuela N° 8- Bañado de Ovanta que en la Escuela N° 279- Lavalle, debido a


146

que el grupo de alumnos presentan un rango de edades demasiado amplio y la

influencia de factores ambientales afectan de manera directa en su desarrollo

físico e intelectual yuxtaponiéndose con el proceso de aprendizaje. Como

observación inmediata, se tiene que los alumnos con bajo CMVM repiten

grados, como consecuencia de abandonar el cursado para realizar tareas

familiares vinculadas al sembrado y fumigación de los campos con el empleo

de sustancias agroquímicas.

Asimismo en la Figura 4.15, se muestra la evolución global de todos los

alumnos de ambos establecimientos, donde las curvas de ajustes muestran las

mismas tendencias aunque en la Escuela N°8 - Bañado de Ovanta con valores

iniciales mayores al comienzo de la EC, pero con un decrecimiento a una

misma intensidad respecto de la Escuela N° 297 - Lavalle, donde en éste la

curva ajustada muestra una tendencia con valores iniciales bastante bajos

respecto a la EC.


147

Figura 4.15 : Comparación de las regresiones potenciales del CMVM en función EC correspondientes a las Esc.N° 8 Bañado de Ovanta y Esc.N° 297- Lavalle

4.2.5. RESULTADOS

De los resultados obtenidos al aplicar dicho test en los alumnos

comprendidos en la franja etaria de 5 a 12 años con 11 meses, se evaluó el

desarrollo de la función visomotor del niño en función de la edad que poseen y

su distribución por grado que cursan. En los dibujos de las formas gestálticas

obtenidas en los distintos niveles de edad, puede apreciarse con facilidad que

el niño las acepta no como verdades o patrones absolutos de las formas

exhibidas, sino como representación de constelaciones de estímulos, ante las

cuales los diferentes organismos reaccionan y experimentan de distinto modo,

y que la respuesta o experiencia de cada niño es completa y satisfactoria.


148

Por otro lado, coinciden estas apreciaciones con estudios que sostienen

que los trastornos de conducta son alteraciones variadas y estables de la

esfera emocional que resultan de la interrelación de factores negativos internos

y externos, como por ejemplo la presencia de sustancias agroquímicas en el

ambiente, que originan dificultades en el aprendizaje y en las relaciones

interpersonales del sujeto. [1], [2]

4.3. FORMULACION DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZA JE

El aprendizaje es un proceso de naturaleza considerablemente

compleja, cuyo atributo es la adquisición de un nuevo conocimiento, habilidad

o capacidad. Para que dicho proceso pueda considerarse realmente como

aprendizaje, en lugar de una retención pasajera, debe poder manifestarse en

un tiempo posterior y contribuir además a la solución de problemas concretos,

incluso diferentes en su esencia a los que motivaron inicialmente el desarrollo

del conocimiento, tal lo mencionado en el Capítulo II.

Basándonos en el clásico modelo matemático de aprendizaje planteado

por Bassanezi R.C. [3], se establece las relaciones entre las diversas variables

involucradas. Esto hace posible evaluar la capacidad de aprendizaje que

resulta como consecuencia de la asociación mecánica entre estímulo –

respuesta que llegan al niño con un cierto orden y constancia facilitando las

conductas de aprendizaje, la retención y consolidación de la tarea aprendida.

[8], [13], [29], [33].


149

De acuerdo a este concepto, se propone el presente modelo

matemático de aprendizaje, con el objeto de entender cuantitativamente que el

aprendizaje es una consecuencia biofísica de la acción conjunta de

mecanismos que el organismo pone en movimiento, para adaptarse al entorno

donde existe y que evoluciona constantemente. El niño primero asimila, y

luego acomoda lo asimilado. Es como si el organismo explora el ambiente,

toma algunas de sus partes, las transforma y termina luego incorporándolas

sobre la base de la existencia de esquemas mentales de asimilación

previamente realizadas, tal como se verificará en la simulación de Tiempo de

aprendizaje vs Neuronas ocultas ( )mN (ver Capítulo V). Es decir, que el

organismo cambia su propia estructura a nivel del SNC, para adaptarse

adecuadamente a la naturaleza de los nuevos procesos que conllevan a la

realidad objetiva del que aprende. El modelo propuesto es:

( ) ( ) ( )00** ttkeAAAtA −−−−= , (4.5)

Donde ( )tA es el aprendizaje alcanzado para un tiempo t, a partir de un cierto

conocimiento adquirido, *A es la cantidad de aprendizaje máximo estimado

que puede alcanzar el alumno, 0A el aprendizaje con el que inicia el proceso

en el tiempo denominado 0t o sea el conocimiento ya adquirido o conocimiento

previo, y k la tasa de aprendizaje. En consecuencia, este modelo resulta

significante en relación a la actividad cognitiva que se requiere para una


150

efectiva asimilación de conceptos, que implica relacionar en forma integrada

los conocimientos alcanzados en un determinado tiempo, y que lleva a que la

tasa de aprendizaje tienda a aproximarse a cero cuando la cantidad de

capacidad adquirida se hace cada vez más lento, debido a la transposición que

se produce internamente en el cerebro cuando el sujeto se haya expuesto a un

contexto ambiental que afecta su nivel intelectual. [16]

Schilder sostuvo que la gestalt se autoconstruye en el SN y que hay no

sólo “forma” sino “formación”. Existe un constante remodelamiento, un

movimiento de producción, no sólo gestalt sino gestaltung (reconstrucción).

Sostiene, además, que “las guestalten están influenciadas en todos los niveles

por las actitudes y experiencias, así como también por la afectividad y los

complejos específicos”. Siempre en esa línea superadora de lo estático de la

gestalt, formula la idea de que “la organización adquiere su significación final

sólo en relación con situaciones concretas de la vida que adaptan los patrones

a las acciones y a la experimentación de los individuos”. Por eso, ver y

reproducir diseños geométricos no es una tarea simple de aprendizaje; existen

numerosos factores involucrados en este procedimiento. La manera en que

cada individuo maneja cualquier experiencia depende no sólo del desarrollo

biológico alcanzado en el área visomotora, sino de todos los patrones de

conducta que desarrolla. [20, p.14-15]

Dice L. Bender que el objeto externo –en este caso las figuras del test–

no son el único factor de percepción. Las situaciones externas e internas

desempeñan un papel preponderante. La situación externa incluye otros


151

objetos del campo, tanto en el tiempo como en el espacio. Muchas veces la

forma precedente modifica la respuesta en la copia que sigue. Este factor

temporal es tan importante como el espacial en la percepción óptica. La

respuesta no es la que da el organismo al estímulo, sino que es la resultante

de la propia reestructuración del estímulo y esta reestructuración ocurre a

través del factor temporal. El tiempo es fundamental en la organización

perceptiva. [20, p.15]

Para nuestro modelo matemático propuesto, se consideró el tercer tipo

de indicador llamado de ajuste emocional, que se diferencia completamente de

los indicadores madurativo y neurológico. Este ajuste emocional presenta

características o singularidades emocionales permanentes o transitorias que

aparecen en el tamaño de los dibujos, la organización de las figuras, etc. Tales

apariciones fueron de veinticinco tipos diferentes, siendo los indicadores

válidos de lo que hemos denominado “aciertos”.

La evolución de los “aciertos” obtenidos por los alumnos cursantes

respecto a sus EC tomado desde el nivel inicial al séptimo grado, nos permitió

realizar un ajuste a la curva de aprendizaje por el método de mínimos

cuadrados, respecto a los datos obtenidos de las muestras con 25=*A y

250 0 << A entonces desarrollando la ecuación (4.5), se obtiene:


152

( )( ) ( ) tktkA*AlntA*Aln +−−=− 00 Con 0<k (4.6)

Haciendo ( )( )tA*AlnY −= Para ( ) t,tA*A ∀>

( ) 00 tkA*Alnb −−= Para 0A*A > (4.7)

ka =

Se obtiene btaY += , con lo cual el ajuste a aplicar es lineal. Es decir, el

sistema de ecuaciones ha resolver estará formado por dos ecuaciones con dos

incógnitas; siendo las incógnitas a la tasa de aprendizaje, b la diferencia

indicada en la ec. (4.7) y N el total de alumnos testeados.

=+

=+

∑∑

∑∑∑

==

===n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

YNbta

Yttbta

00

000

2

(4.8)

Aplicamos el método de mínimos cuadrados (Anexo D), y resolviendo el

sistema de ecuaciones para ambos establecimientos obtenemos:

• Escuela N° 297 de Lavalle: donde se muestrearon ciento cincuenta

alumnos:

=+=+

124932315017414

1335801174142190536

.ba

.ba


153

La recta ajustada es: t..Y 4010134112303306688823 −=

Ahora buscaremos 0A a partir de mesest 580 =

( )( )

( )( ) 468215747974289036622558

401013411230330668882325

401013411230253306688823

25

00

00

00

00

..expAt

t..expA

t.Aln.

taAlnb

=−=⇒=−−=+−=

−−=

Obteniéndose 468215747.90 =A como el número inicial de

capacidades con el que inicia dicho proceso correspondiente al tiempo

mesest 580 = , a los meses76.10 tiene 0 capacidades, a los meses240 se

obtiene 22.58 capacidades, y con una tasa de aprendizaje de 01013411230.k=

lo cual indica que el niño aprende en forma paulatina a medida que avanza en

EC, tal lo definido en la ec. (4.6), el modelo encontrado se representa en la Fig.

4.16:

( ) ( ) ( )[ ]5801013411230531784251525 −−= t.exp.tA (4.9)

330668882.3

40101341123.0

=−=

b

a


154

Edad cronológica [meses]

0 50 100 150 200 250

Núm

ero

de a

cier

tos

0

5

10

15

20

25

30

Edad Cronologica vs Numero de aciertos A(t)=25 - (15.53178425) exp [0,0101341123 (t - 58)]

Figura 4.16: Regresión lineal del modelo exponencial inhibido EC vs Números de aciertos. Esc.N° 297 Lavalle

• Escuela N° 8 Bañado de Ovanta : correspondientes a la región Este del

Departamento Santa Rosa, donde se muestrearon ciento cuarenta y

cinco alumnos obteniéndose:

=+=+

435221714516363

5623204163631967787

.ba

.ba

739832582.2

90109906816.0

=−=

b

a

La recta ajustada es: t..Y 9010990681607398325822 −=

Ahora buscaremos 0A a partir de mesest 590 =


155

( )( )

( )( ) 903912211609138236222559

010990690739832582225

901099068160257398325822

25

00

00

00

00

..expAt

t..expA

t.Aln.

taAlnb

=−=⇒=−−=

+−=−−=

Por tanto, se determinó 90391221160 .A = como el número inicial de

capacidades con el que inicia dicho proceso en el tiempo mesest 590 = ,

mientras que los meses0 se tiene 9.5 capacidades, a los meses193 posee 23.6

capacidades, y cuya tasa de aprendizaje de 0109906816.0=k tal lo definido en

la ec. (4.6), entonces el modelo obtenido se muestra en la Figura 4.17:

( ) ( ) ( )[ ]5990109906816009608779825 −−= t.exp.tA (4.10)

40 60 80 100 120 140 160 180 2006

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

Edad Cronologica vs Numero de aciertos A(t) = 25 - (8.09608779) exp [0.01099068 (t-59)]

Num

ero

de A

cier

tos

Edad Cronologica [meses]

Figura 4.17 : Regresión lineal del modelo exponencial inhibido EC vs Números de aciertos. Esc.N° 8 Bañado de Ovanta.


156

Finalmente graficando los datos y las regresiones obtenidas Figuras 4.16

y 4.17 mediante la aplicación del Sigmaplot versión 7, se ajustaron los valores

de ( )tA . Mientras que la tasa de aprendizaje k son idénticas en ambos

escuelas, el tiempo 0t presenta una muy pequeña diferencia para cada grupo

que inicia el proceso de aprendizaje, y también se observa diferencias en 0A

de cada población que determina la cantidad inicial de capacidades conocidas.

Por tanto, si comparamos la pendiente a la curva de la intensidad de

crecimiento se observa que en ambos establecimientos presentan un

crecimiento inhibido en la adquisición de capacidades necesario para el

proceso de aprendizaje, la cual yuxtapone la experiencia sensorial que está

representada por los hechos derivados de los estímulos previos. Esto es

evidente ya que las capacidades adquiridas al tiempo de meses58 es mucho

mayor en un caso que en el otro, es decir solo cambia el punto de partida, tal

como se muestra en la Figura 4.18. Por otro lado, la evolución del aprendizaje

en ambas escuelas es muy similar, siendo el desarrollo intelectual de los

alumnos de uno y otro escuela dependiente de la estimulación que se le aporta

a los mismos, tratando que los efectos adversos de las sustancias

agroquímicas no influyan de manera directa. Sin embargo, se evidencia que

los alumnos que asisten a la Escuela N° 297 - Lavalle comienzan muy atrás, lo

que implica que no hay estimulación intelectual en estos alumnos, o que hay

un daño neuronal innato producido quizás en la gestación o los primeros años


157

de vida. Por lo que considero que la primera opción es relevante, pero el hecho

de que la escuela no los equipare a los alumnos puede ser una prueba de lo

segundo.

Figura 4.18: Comparación de los modelos de aprendizaje respecto al tiempo inicial y final estimado de ambos establecimientos

A partir del modelo de aprendizaje ya definido por las ecs. (4.9) y (4.10),

se reformula el modelo como un problema de valor inicial (en adelante PVI)

donde la variable independiente t representa la EC del alumno cursante. Es

decir, el aprendizaje es el desarrollo de la actividad mental requerida para una

efectiva asimilación de conceptos, que implica relacionar y diferenciar en forma

58 59 60 155

9,46821576

16,90391221

19,18826224

22,18130077

25

Núm

ero

de c

apac

idad

es

Tiempo [meses]

Esc. N° 297 (Lavalle)

Esc. N°8 (Bañado de Ovanta)


158

integrada los conocimientos previos tal lo propuesto por Bassanezi [3],

quedando definido dicho PVI por:

( ) ( )( )( )

=

−=

00

*

AtA

tAAkdt

tdA (4.11)

Donde *A es la cantidad de aprendizaje máximo estimado que puede

alcanzar, 0A es el aprendizaje con el que inicia el proceso en el tiempo 0t , o

sea, el conocimiento ya adquirido; y tal PVI tiene como solución a la expresión

dada en (4.5). A medida que la tasa de aprendizaje k se aproxima a la

máxima capacidad de aprendizaje, éste tiende a hacerse cada vez más lento

por efecto de los estímulos externos ya mencionados. Entonces se pueden

definir los modelos matemáticos de ambos establecimientos mediante los

siguientes PVI:

Escuela N° 295 Lavalle.

Dpto. Santa Rosa ( )( )

( )

=

−=

468215747.958

2543010134112.0

A

tAdt

dA

(4.11a)

Escuela N° 8 Bañado de Ovanta Dpto. Santa Rosa

( )( )( )

=

−=

90391221.1659

2590109906816.0

A

tAdt

dA

(4.11b)


159

4.4. MODELO MATRICIAL MEDIANTE PROCESO DE MARKOV DE LA

CAPACIDAD DE APRENDIZAJE

Otro modo cualitativo-cuantitativo de estudiar la evolución del

aprendizaje, que consideramos conveniente aplicar, es el Proceso de Markov,

que permite predecir el comportamiento de un sistema para un periodo futuro,

en base al conocimiento en un estado previo. Por ello es oportuno realizar una

breve presentación de los Procesos de Markov a fin de observar luego las

condiciones y supuestos sobre las que se realizará la aplicación del mismo, el

cual combina elementos de la teoría de probabilidades con el álgebra matricial,

y que en nuestro caso será apropiada en el tratamiento discreto y dinámico.

[6], [39]

Supongamos el caso de una serie de experimentos, cada uno con un

número finito de resultados. En algunos de ellos, las probabilidades de los

resultados son independientes de los que se obtengan en los experimentos

precedentes. En otros, las probabilidades de algunos resultados pueden

depender en alguna forma de los que se consignan en los anteriores. Así, la

probabilidad de un resultado puede depender de todos los experimentos

anteriores en sucesión. En éste caso, la serie de experimentos recibe el

nombre de proceso de Markov. Formalmente se dice:

Definición: Un proceso de Markov es una serie de experimentos en que

cada uno tiene m posibles resultados y la probabilidad de cada


160

resultado depende exclusivamente del que se haya obtenido en el experimento

previo.

La matriz de transición es una representación eficaz que describe el

comportamiento de un proceso de Markov. Supóngase que el proceso tiene m

resultados mutuamente excluyentes , posibles para cada

experimento. El sistema que va a ser modelado puede estar en uno de los m

posibles estados actuales. Un estado corresponde al resultado de un

experimento. Al finalizar un experimento, el sistema se hallará en uno de los m

estados posibles, no necesariamente distinto del que estaba antes del

experimento. La matriz de transición se compone de elementos , los cuales

representan la probabilidad condicional de que el sistema pase de un estado

actual i al siguiente estado j . Es decir que con , obtenemos la

probabilidad de que el experimento se conserva en ese estado.

A continuación se muestra la forma general de una matriz de transición

para este conjunto de experimentos:

=

mmmm

m

m

ppp

ppp

ppp

A

....

................

....

....

21

22221

11211

Los elementos de la matriz de transición satisfacen dos propiedades:


161

1) los elementos deben ser tales que sus probabilidades estén

comprendidas entre cero y uno.

2) la suma de todos los elementos de cada fila debe ser igual a uno.

Analicemos un proceso de Markov donde el sistema puede encontrarse

en cualquier tiempo t en alguno de los mestados posibles. Las probabilidades

de que el sistema esté en alguno de ellos, por ejemplo en un tiempo t pueden

escribirse por medio del vector fila:

),...,,( 21 mt xxxX =

Donde el j-ésimo elemento representa la probabilidad de que el sistema se

halle en el estado j . A este vector se le llama vector de estado.

En los estados actuales de un proceso de Markov , los estados

revisados después del siguiente experimento pueden calcularse mediante la

multiplicación de matrices . Expresión que se conoce como

Proyección de estados futuros, y corresponde a una ecuación recurrente

también conocida como ecuación en diferencias matricial.

De la expresión anterior se puede formar las ecuaciones matriciales

siguientes, a fin de expresar cualquier estado en términos del inicial:

AXX 01 =

2

012 AXAXX ==

..........................

n

n AXX 0=


162

Esta última expresión indica que el vector de estado, describe al sistema

después de n transiciones, y se obtiene como el producto del vector de estado

inicial y la potencia n-ésima de la matriz de transición A.

4.4.1. SUPUESTOS DE LA APLICACIÓN DE PROCESOS DE MA RKOV

De acuerdo a lo presentado, se utilizó tal proceso para desarrollar el

modelo matemático a nuestro problema previamente planteado en la ec. (4.5),

pues permite describir la evolución del sistema a lo largo de cierto tiempo, a

partir de comportamientos transitorios que pueden variar con el tiempo en

forma probabilística. Considerando que los comportamientos que manifiestan

los integrantes del sistema en cada año, a los que se denomina estado, y que

ese estado puede variar a lo largo del tiempo t , reconocemos a esta

información del estado en cada momento mediante un vector denominado

vector de estado.

Por lo tanto, el proceso de Markov se compone de las probabilidades de

que cada individuo, que se halla en un cierto estado en un dado tiempo, pase

al tiempo siguiente a otro estado o permanezca en el mismo. Esta información

se la coloca en forma ordenada en una matriz denominada matriz de

transición, la cual es cuadrada. El orden de la matriz está dado por este

número de estados el cual se expresa en términos de las puntuaciones

obtenidos de la aplicación del test de Bender en los alumnos de las escuelas

rurales de la Provincia de Catamarca. Por tanto, en nuestro estudio se

considera los protocolos del test de Bender que registran los “aciertos”


163

reflejados en la copia de los dibujos, siendo veinticinco los ítems que fueron

con 1 la presencia y 0 la ausencia de aciertos. Una vez obtenido la sumatoria

de los ítems (aciertos) se establece la EMVM de acuerdo a la Escala de

Maduración del Bender (Anexo B), y con esta información se aplica la ec.

(4.1). Con los valores calculados del CMVM se usa la tabla de diagnóstico

madurativo de Terman-Merrill (Anexo C) para verificar cual es el diagnóstico

madurativo correspondiente, siendo estos los que se consideran estados en el

proceso de Markov: genio, superior al término medio, inteligencia normal,

inferior al término medio, limítrofe, debilidad mental leve, debilidad mental

moderada y debilidad mental profunda. Ellos miden los niveles aproximados de

capacidad visomotor del sujeto, que para nuestro modelo serán considerados

como estados, tal como se muestran en las Figuras 4.19 y 4.20.

Vector de estado (grado)

v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

Dia

gnós

tico

mad

urat

ivo

(%)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

GENIO SUPERIOR NORMAL INFERIOR LIMITROFE DEBILIDAD LEVE DEBILIDAD MODERADA DEBILIDAD PROF

Figura 4.19: Escala de maduración de los alumnos de la Escuela N° 297- Localidad Lavalle, evaluarse los “aciertos” obtenidos al aplicar el test de Bender.


164

Vector de estado (grado)

v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

Dia

gnós

tico

mad

urat

ivo

(%)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

GENIO SUPERIOR NORMAL INFERIOR LIMITROFE DEBILIDAD LEVE DEBILIDAD MODERADA DEBILIDAD PROF

Figura 4.20 : Escala de maduración de los alumnos de la Escuela N° 8 – Bañado de Ovanta, evaluarse los “aciertos” obtenidos al aplicar el test de Bender

Es decir que para nuestro estudio, el pasaje de un grado al siguiente se

considera una matriz de transición que expresa el posible cambio de un estado

a otro, según la puntuación mencionada. De esta manera, realizamos la

siguiente suposición:

“Que el grupo de estudio evoluciona de una etapa a otra como si fuera

dinámico, cuando en realidad nuestra información es estática”.

Esta suposición la realizamos: a) por carecer de un seguimiento de

registro de datos de varios años consecutivos del mismo grupo de alumnos, b)

el número de alumnos en cada grado es representativo, donde los diferentes

tamaños de poblaciones son tratados en forma porcentual resultando


165

equivalentes, y c) siendo nuestro estudio desde jardín de infantes hasta

séptimo grado con menos de diez años de duración, según el sistema

educativo se lo considera apropiado para nuestra problemática tratada.

Para ello, necesitamos que cada dos vectores de estado consecutivos

para cada escuela, se identifique una matriz de transición de Tipo Markov. Esto

nos lleva a que definimos un proceso por cada arribo a un nuevo grado, es asi

que debemos determinar siete matrices de Transición, o bien siete procesos de

Markov por cada escuela. Pero tal vez lo más importante es interpretar que la

determinación de cada una de estas matrices se realizara a partir de

información escasa, por lo que se incorporan técnicas y métodos provenientes

de otras áreas de la matemática aplicada; tal como el método de la esquina del

noroeste usado en el problema de transporte de la programación lineal [6]. Es

decir, que a falta de información de una misma población durante los ocho

años se utiliza las ochos poblaciones considerando que cada una evoluciona

en la siguiente. Por ejemplo, los alumnos que están en cuarto grado

evolucionan mediante una matriz de transición al quinto grado. Para ello, se

toman poblaciones porcentuales a fin de igualar los tamaños de poblaciones

de todos los grados, y consideramos a esta población como la misma que ha

evolucionado durante los ocho años, cada una con una matriz de paso o sea

estamos superponiendo siete procesos de Markov. Por ello el presente análisis

se realiza bajo los siguientes pasos y supuestos:


166

i. Se considera como proceso al paso de un grado al siguiente, para

lo cual se cuenta con una matriz de transición de un grado al

siguiente, y con ello de siete matrices por escuela.

ii. En la matriz de transición los elementos señalan el paso de un

estado al siguiente en donde cada estado es una puntuación según

la escala del Test de Bender.

iii. La determinación de la matriz de transición se construirá a partir de

los dos vectores de estados, y no con valores de transición

observados, por carecer de los mismos. Para ello su usará el

recurso de ubicar valores siguiendo el método de la esquina del

noroeste (Anexo E). Obteniéndose una primera matriz que cumple

con la condición operativa de ser de transición, pero sin cumplir

sus elementos con los requisitos que la definen.

iv. En este proceso de construcción de cada matriz de transición

intervienen matrices auxiliares que permitirán expresar cada

elemento de esta matriz en término de los elementos de los

vectores de estado; por lo que en un primer paso los números no

estarán comprendidos entre cero y uno. Posteriormente se

convertirá cada matriz en otra, correspondiente a una población

semejante de tamaño cien, es decir proporcional a las dadas,

considerando que las poblaciones de grados consecutivos no son

de igual tamaño.


167

v. Finalmente a fin de dar cumplimiento a las propiedades de una

matriz de Markov, se asignarán unos en filas nulas, ubicándolos en

la diagonal principal a los efectos de dar neutralidad en el producto

de tal matriz.

vi. Con las matrices de cada proceso de Markov obtenida, que

representan el paso de un grado al siguiente, se estudiará la

estabilidad del proceso.

vii. Finalmente, se obtendrá de las matrices de transición de cada

escuela una única matriz, resultado de la multiplicación de las

matrices anteriores, que represente el paso desde el primer al

último año de vida escolar, y se estudiara la estabilidad de este

único proceso.

Debe observarse que a los diagnósticos madurativos se los considera

bajo el proceso de Markov, y por tanto, contando con la información del grupo

de nivel preprimario como estado inicial y las informaciones de los grupos de

cada grado, a los que representaremos a través de un vector de estado. Estos

se obtienen a partir de los datos representados en las siguientes dos tablas,

correspondientes a las Escuelas N°297 de Lavalle y N°8 de Bañado de

Ovanta, y que en forma porcentual se muestran en las Tablas 4.1b y 4.2b.

Asimismo recordemos que estos dos establecimientos presentan una marcada

diferencia fitogeográfica, en la que los alumnos se hayan influenciados por

contaminantes ambientales. Las suposiciones consideradas son a partir de los


168

datos que registran la distribución de alumnos por cursado clasificados por

nivel de diagnóstico madurativo.

4.4.2. DETERMINACIÓN DE LOS VECTORES DE ESTADOS

Se cuenta con la población de alumnos en cada año, donde se supone

que es global la información que representa a la evolución de un grupo a lo

largo de sus años de escolaridad, desde el nivel inicial hasta séptimo grado.

De esta manera con la información de las Tablas 4.1a y 4.2a se hallan los

vectores auxiliares donde los elementos ijw representan a la

cantidad de alumnos clasificados según el j -ésimo diagnóstico madurativo al

aplicar el test de Bender, en el i -ésimo grado de esta población real.

Partiendo de los datos conocidos y su clasificación según los ocho

diagnósticos madurativos tenemos la Tabla 4.1a, correspondiente a la Escuela

N° 297 - Lavalle:

GRADO GENIO SUPERIOR NORMAL INFERIOR LIMITROFEDEBILIDAD

DEBILDEBILIDAD MODERADA

DEBILIDAD PROFUNDA

0 0 0 2 5 4 0 0

0 0 1 1 8 9 0 0

0 0 1 0 9 7 5 0

0 0 1 0 4 20 0 0

0 0 0 0 1 13 2 0

0 0 0 0 0 12 0 0

0 0 0 0 0 5 5 0

0 0 0 0 0 25 10 0

Tabla 4.1a: Escala de maduración por grado de cursado de los alumnos. Esc.N° 297- Lavalle


169

En forma análoga se muestra en la Tabla 4.2a correspondiente a la

Escuela N°8 - Bañado de Ovanta:

GRADO GENIO SUPERIOR NORMAL INFERIOR LIMITROFEDEBILIDAD


DEBILIDAD PROFUNDA

3 2 2 1 3 2 0 0

1 8 4 2 3 0 0 0

4 3 3 4 5 0 0 0

0 2 4 5 3 1 0 0

0 2 7 6 8 3 0 0

0 0 0 0 3 13 0 0

1 0 0 0 9 12 0 0

0 0 0 0 6 20 2 0

Tabla 4.2a: Escala de maduración por grado de cursado de los alumnos. Esc.N° 8- Bañado de Ovanta

A continuación se muestran a dichos vectores, que representan a cada

población de un determinado grado mediante un vector fila de dimensión ocho,

siendo ellos:

♦ Escuela N° 297 - Localidad de Lavalle – Dpto. Santa Rosa:

( )( )( )( )( )( )( )( )0102500000

05500000

001200000

021310000

002040100

05790100

00981100

00452000

7

6

5

4

3

2

1

0

========

w

w

w

w

w

w

w

w

(4.12)


170

♦ Escuela N° 8 Bañado de Ovanta – Dpto. Santa Rosa:

( )( )( )( )( )( )( )( )022060000

001290001

001330000

00386720

00135420

00054334

00032481

00231223

7

6

5

4

3

2

1

0

========

w

w

w

w

w

w

w

w

(4.13)

Dijimos ya que al ser los tamaños poblacionales diferentes, para

compararlos, planteamos una población proporcional en todos los casos de

tamaño cien. Las Tablas 4.1b y 4.2b relativas a estas poblaciones de cien

alumnos por grado son las siguientes:

VECTOR GENIO SUPERIOR NORMAL INFERIOR LIMITROFEDEBILIDAD


DEBILIDAD PROFUNDA

0 0 0 18 46 36 0 0

0 0 5 5 42 48 0 0

0 0 4 0 41 32 23 0

0 0 4 0 16 80 0 0

0 0 0 0 6 81 13 0

0 0 0 0 0 100 0 0

0 0 0 0 0 50 50 0

0 0 0 0 0 71 29 0

Tabla 4.1.b: Población semejante de tamaño 100 de alumnos de la Escuela N° 297 - Lavalle según la escala de maduración de Bender por grado.


171

VECTOR GENIO SUPERIOR NORMAL INFERIOR LIMITROFEDEBILIDAD


DEBILIDAD PROFUNDA

23 15 15 9 23 15 0 0

6 44 22 11 17 0 0 0

21 16 16 21 26 0 0 0

0 13 27 33 20 7 0 0

0 8 27 23 31 11 0 0

0 0 0 0 19 81 0 0

4 0 0 0 41 55 0 0

0 0 0 0 21 72 0 0

Tabla 4.2.b: Población semejante de tamaño 100 de alumnos de la Escuela N° 8-Bañado de Ovanta según escala de maduración de Bender por grado

La población en cada escuela y en cada grado es distinta, se tomó una

población proporcional a cada una de ellas de tamaño cien, resultando los

vectores iv tal que los elementos se obtienen de la forma:

1008

1∑

=

=

jij

iji

w

wv (4.14)

A continuación, se definen los vectores de estados iv de la siguiente manera:

♦ Escuela N° 297 - Localidad de Lavalle – Dpto. Santa Rosa:

( )( )( )( )( )( )( )( )0297100000

0500500000

0010000000

0138160000

0080160400

02332410400

0048425500

00364618000

7

6

5

4

3

2

1

0

========

v

v

v

v

v

v

v

v

(4.15)


172

♦ Escuela N° 8 Bañado de Ovanta – Dpto. Santa Rosa:

( )( )( )( )( )( )( )( )0772210000

0055410004

0081190000

001131232780

007203327130

0002621161621

000171122446

0015239151523

7

6

5

4

3

2

1

0

========

v

v

v

v

v

v

v

v

(4.16)

4.4.3. CONSTRUCCIÓN DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN

Recordemos que un Proceso de Markov requiere de una matriz de

transición cuadrada con elementos comprendidos entre cero y uno, ambos

incluidos, y que la suma de los elementos de cada fila es igual a uno. Por

tanto, procuraremos construir las matrices de transición con estas propiedades

a partir de los vectores dados. Tal asignación suele hacerse en forma

determinística a partir de los datos del experimento que desea modelarse; para

lo cual, como se dijo antes, debió contarse con la información de cada alumno

en su progreso luego de dos experimentos consecutivos. Por ello se realiza

una asignación a partir de los vectores de estado, reconociendo que esta no es

única. Por lo tanto, se usó la técnica de llenado de la matriz mediante el

método de la esquina del noroeste. El mismo consiste el llenar desde arriba

hacia abajo y desde la izquierda hacia la derecha, partiendo del punto superior

de la izquierda, y asignando valores según los requerimientos, para este caso


173

de la matriz de transición, y de la disponibilidad, en este caso de los vectores

de estado.

Con los vectores se define las matrices kA cuadradas de dimensión

ocho (que corresponden a los 8 diagnósticos madurativos de la escala de

maduración del test de Bender) que expresen la transición del estado ( )1−k al

estado k , es decir del vector de estado 1−kv al kv . Con esta asignación de

valores en estas matrices realizada siguiendo el método de la esquina del

noroeste (Anexo D), se obtienen las siguientes matrices auxiliares, tal como se

detallan a continuación, que si bien son de transición pero no satisfacen la

definición de matrices de Markov:

♦ Escuela N° 297 - Localidad de Lavalle – Dpto. Santa Rosa, ec (4.17):

=

00000000

00000000

003600000

0012340000

00085500

00000000

00000000

00000000

1A

=

00000000

00000000

0232500000

007350000

00050000

00010400

00000000

00000000

2A


174

=

00000000

002300000

003200000

0025160000

00000000

00000400

00000000

00000000

3A

=

00000000

00000000

0136700000

001420000

00000000

00040000

00000000

00000000

4A

=

00000000

001300000

008100000

00600000

00000000

00000000

00000000

00000000

5A

=

00000000

00000000

0505000000

00000000

00000000

00000000

00000000

00000000

6A

=

00000000

0292100000

005000000

00000000

00000000

00000000

00000000

00000000

7A


175

♦ Escuela N° 8 Bañado de Ovanta – Dpto. Santa Rosa, ec.(4.18):

=

00000000

00000000

000150000

0002111000

00000900

000003120

000000150

000000176

1A

=

00000000

00000000

00000000

000170000

00092000

000019300

00000131615

00000006

2A

=

00000000

00000000

00000000

007190000

000120000

000013300

000001600

000008130

3A

=

00000000

00000000

00700000

004160000

0001518000

000052200

00000580

00000000

4A

=

00000000

00000000

001100000

003100000

002300000

0016110000

00080000

00000000

5A

=

00000000

00000000

0055260000

000150004

00000000

00000000

00000000

00000000

6A


176

=

00000000

00000000

074800000

0024170000

00000000

00000000

00000000

00040000

7A

Es inmediato ver que no son matrices de transición de Markov porque

en varias filas no suman uno, y existen elementos mayores que uno.

4.4.4. CONVERSIÓN A MATRIZ DE TRANSICIÓN DE MARKOV

Con estas matrices kA definiremos matrices de transición de tipo

Markov kT , haciendo que cada elemento sea proporcional a la cantidad total

de su fila, esto es:

∑

=

=8

1jij

ijij

a

at (4.19)

De este modo, las matrices de transición definen el proceso evolutivo del

aprendizaje respecto a la cantidad de alumnos desde el nivel inicial hasta el

séptimo grado. Es decir, son aproximadas matrices de tipo Markov pues

contienen filas con todos los elementos nulos, aunque ya todos los elementos


177

están entre cero y uno, tal como se detallan, habiendo dejado sin simplificar las

fracciones para que sea más fácil al lector para identificar la procedencia del

cálculo:

♦ Escuela N° 297 - Localidad de Lavalle – Dpto. Santa Rosa, ec.(4.20):

=

00000000

00000000

00100000

0046

12

46

340000

00018

8

18

5

18

500

00000000

00000000

00000000

1T

=

00000000

00000000

048

23

48

2500000

0042

7

42

350000

00010000

0005

10

5

400

00000000

00000000

2T

=

00000000

00100000

00100000

0041

25

41

160000

00000000

00000100

00000000

00000000

3T

=

00000000

00000000

080

13

80

6700000

0016

14

16

20000

00000000

00010000

00000000

00000000

4T


178

=

00000000

00100000

00100000

00100000

00000000

00000000

00000000

00000000

5T

=

00000000

00000000

02

1

2

100000

00000000

00000000

00000000

00000000

00000000

6T

=

00000000

050

29

50

2100000

00100000

00000000

00000000

00000000

00000000

00000000

7T

♦ Escuela N° 8 Bañado de Ovanta – Dpto. Santa Rosa, ec. (4.21) :

=

00000000

00000000

00100000

00023

2

23

11

23

1000

00000100

0000015

3

15

120

00000010

00000023

17

23

6

1T

=

00000000

00000000

00000000

00010000

00011

9

11

2000

000022

19

22

300

0000044

13

44

16

44

1500000001

2T


179

=

00000000

00000000

00000000

0026

7

26

190000

00021

1

21

20000

000016

13

16

300

00000100

0000021

8

21

130

3T

=

00000000

00000000

00100000

0020

4

20

160000

00033

15

33

18000

000027

5

27

2200

0000013

5

13

80

00000000

4T

=

00000000

00000000

00100000

00100000

00100000

0027

16

27

110000

00010000

00000000

5T

=

00000000

00000000

0081

55

81

260000

00019

15000

19

400000000

00000000

00000000

00000000

6T

=

00000000

00000000

055

7

55

4800000

0041

24

41

170000

00000000

00000000

00000000

00010000

7T


180

Finalmente se redefinen a las matrices de manera que las filas no sean

nulas, y que además entre los elementos sumen uno. Para ello, la propuesta

es colocar en las filas nulas un uno en el lugar de la diagonal principal,

asegurando no modificar los resultados de los productos antes obtenidos. Con

este cambio resultan las siguientes matrices, definidas como iT~

, las cuales son

matrices de transición de Markov:

♦ Escuela N° 297 - Localidad de Lavalle – Dpto. Santa Rosa, ec. (4.22):

=

10000000

01000000

00100000

0046

12

46

340000

00018

8

18

5

18

500

00000100

00000010

00000001

~1T

=

10000000

01000000

048

23

48

2500000

0042

7

42

350000

00010000

0005

10

5

400

00000010

00000001

~2T

=

10000000

00100000

00100000

0041

25

41

160000

00001000

00000100

00000010

00000001

~3T

=

10000000

01000000

080

13

80

6700000

0016

14

16

20000

00001000

00010000

00000010

00000001

~4T


181

=

10000000

00100000

00100000

00100000

00001000

00000100

00000010

00000001

~5T

=

10000000

01000000

02

1

2

100000

00010000

00001000

00000100

00000010

00000001

~6T

=

10000000

050

29

50

2100000

00100000

00010000

00001000

00000100

00000010

00000001

~7T

♦ Escuela N° 8 Bañado de Ovanta – Dpto. Santa Rosa, ec. (4.23):

=

10000000

01000000

00100000

00023

2

23

11

23

1000

00000100

0000015

3

15

120

00000010

00000023

17

23

6

~1T

=

10000000

01000000

00100000

00010000

00011

9

11

2000

000022

19

22

300

0000044

13

44

16

44

1500000001

~2T


182

=

10000000

01000000

00100000

0026

7

26

190000

00021

1

21

20000

000016

13

16

300

00000100

0000021

8

21

130

~3T

=

10000000

01000000

00100000

0020

4

20

160000

00033

15

33

18000

000027

5

27

2200

0000013

5

13

80

00000001

~4T

=

10000000

01000000

00100000

00100000

00100000

0027

16

27

110000

00010000

00000001

~5T

=

10000000

01000000

0081

55

81

260000

00019

15000

19

400001000

00000100

00000010

00000001

~6T

=

10000000

01000000

055

7

55

4800000

0041

24

41

170000

00001000

00000100

00000010

00010000

~7T

Las matrices definidas en las ec. (4.22) y (4.23) presentan las mismas

características anteriores, es decir la recurrencia kkk Tvv~

1−= , por lo que


183

asumen la condición de ser matriz de transición para los vectores de estado y,

más importante aún, son matrices del tipo Markov, en las que se observa que

las dos poblaciones estudiantiles con distintas realidades basadas en las

proximidades de cultivos con contaminantes agroquímicos, tal como se

muestran en las Figuras 4.19 y 4.20, satisfacen el Proceso de Markov con las

matrices finalmente definidas.

4.4.5. CONVERSIÓN A UN ÚNICO PROCESO DE MARKOV

Para determinar si estos procesos de Markov son estables, debemos

ver si sus autovalores son menores a uno. Consideramos que más importante

puede resultar si todo el sistema educativo que se evaluó satisface tales

condiciones, y para ello buscaremos agrupar todos los procesos de una

escuela en un solo proceso a fin de hallar la transformación final de un niño

desde que ingresa hasta que egresa a los siete años. Para ello acoplando las

ecuaciones anteriores podemos expresar la situación del estado final de los

alumnos que egresan del ciclo escolar expresado en términos del que ingresa,

asi se obtienen:

76543210

7654

765

767

~~~~~~~....

~~~

~~

~

TTTTTTTv

TTTv

TTv

Tvv

=

=

=

=

(4.24)


184

De esta manera se agrupa todas las matrices de cada escuela en una

sola a fin de tener un proceso de Markov directo, pues determinaría la

evolución del ciclo como un único proceso. Esto es equivalente a ver la matriz

producto de las siete matrices de transición.

En efecto, tomando las matrices correspondientes a la

Escuela N° 297 - Lavalle resulta:

(4.25)

Donde los autovalores son cero y uno, por lo que la matriz es

neutralmente estable [37, pp 268], y al realizar el producto de esta matriz de

proceso único de Markov consigo misma vemos que es ídempotente (igual a

su cuadrado) por lo que no es necesario estudiar potencias de máximo

exponente para determinar su comportamiento a largo plazo para hallar que es

un sistema en equilibrio. Esto sirve, para realizar un producto con tal matriz de

transición con el vector de estado inicial, resultando un nuevo vector, que nos

da la información que mediante el proceso escolar tendremos la triste realidad

de que la población estudiantil se equilibra en un 71% en debilidad leve y un

29% en debilidad moderada. Esto dado por:


185

(4.26)

Mientras que, para la Escuela N° 8 – Bañado de Ovanta se aplicó el

criterio de estabilidad dado por los valores propios, en este caso son cuatro

distintos, que son:

[ ]320014472071.0,9136267806.0,1,0 (4.27)

Por lo tanto, nuevamente se tiene una estabilidad en el sistema. Tales

valores indica la existencia de una estabilidad que se observa en la potencia

setenta de la matriz única del proceso educativo de Bañado de Ovanta, dada

por:

(4.28)


186

Realizando el producto del vector de estado inicial del proceso

educativo de Bañado de Ovanta por esta matriz que muestra ya el equilibrio,

resulta ( )0,81738192.99,1559716456.0,40266464254.0,0,0,0,0 que representa

el estado estable.

Tales estabilidades indican que en ambas escuelas las situaciones son

críticas, siendo menos notorio el problema en la Escuela N° 297- Lavalle

porque solo se registran dos valores propios correspondientes a las

debilidades mentales, mientras que al menos en la Escuela N° 8 - Bañado de

Ovanta existen algunos en condición del 0,026% de limítrofes y 0,16% de

debilidad mental leve, pero existe un valor muy grande del 99,8% de debilidad

mental moderada, debido a que los alumnos presentan muchos aciertos en la

reproducción de las figuras gestálticas llevando a que el CMVM sea

relativamente bajo. Como consecuencia de esto la predicción que resulta de

aplicar la teoría de las cadenas de Markov para el estudio de un estado estable

según sus valores y vectores propios, nos lleva a que el análisis realizado para

esta escuela no sirvió según la suposición realizada.

4.5. MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE CON RETARDO

La aplicación de la teoría de las ecuaciones diferenciales con retardo [18],

se ocupa de los modelos matemáticos donde la evolución de la variable, en

este caso el aprendizaje A en términos del tiempo, depende en cada instante

t no sólo de ( )tA sino también de los valores de A en instantes anteriores


187

)( τ−t . Así la ecuación diferencial con retardo con 0>τ como parámetro de

retardo, se define como sigue:

( ))(),()´( τ−= tAtAftA (4.29)

A partir del modelo de aprendizaje con crecimiento exponencial inhibido

dado en el PVI continuo, definido en la ec. (4.11), se considera que en los

datos obtenidos existen alumnos encuestados que concurren a grados con

distintas edades, y que están afectados por la influencia de los efectos

ambientales que conlleva a los alumnos a condicionar sus resultados en el

desempeño escolar a medida que avanzan en el grado, lo cual causa retardos

respecto al sistema educativo.

Por lo tanto, el total de la población encuestada fue discriminada según si

carece o no de retardo en el sistema educativo, considerándose como óptimo

el ingreso al nivel inicial en cinco años (sesenta meses), y de allí el avance de

un grado por año de edad; y dentro de los que lo poseen, solo se consideró en

nuestro estudio a los que tienen un año de retardo. De esta manera, se

modelará a cada grupo según un PVI con y sin retardo, realizando

simulaciones para comparar sus comportamientos.


188

4.5.1. PLANTEO DEL MODELO MATEMÁTICO DE APRENDIZAJE CON

RETARDO

Del modelo matemático de aprendizaje propuesto en la ec. (4.5), se

evidencia que existe una relación entre la capacidad sensoriomotriz y las

funciones asociadas al aprendizaje en función del tiempo. Debido a que ambas

escuelas son de carácter rural que llevan a que sus características

fitogeográficas o ecológicas, y el uso de sustancias agroquímicas utilizadas en

la producción agrícola sean diferentes, lleva a que los alumnos presenten un

cierto retardo en el nivel educativo respecto de la edad. Se considera como

óptimo el ingreso al nivel inicial en cinco años (sesenta meses), y de allí el

avance de un grado por año de edad (es decir, la relación según el grado que

cursan y la EC por año). De esta manera, se discriminó a la población

estudiantil en los que no poseían retardo y los que sí presentan esta situación.

[17], [31]

Observación: Se definen los conceptos que utilizaremos a continuación:

Retardo

Vamos a denominar al modelo matemático diferencial con retardo

cuando la función aprendizaje se expresa en términos de la

variable τ , siendo esta última el retardo que presenta la variable

tiempo ( t ).

Retraso Mientras que, el término retraso lo utilizaremos para expresar a la

presencia de alumnos que poseen más edad de la que

corresponde de acuerdo al grado que cursan.


189

A continuación, se detallan para las dos escuelas el análisis del proceso

con retardo en la adquisición de capacidades al ir avanzando en grado por EC:

� MUESTRA 1 (Escuela N° 297- Lavalle):

Dicha escuela posee una muestra de ciento cincuenta alumnos que

fueron modelados mediante la curva de aprendizaje según el modelo

matemático de crecimiento exponencial inhibido, tal como se muestra en la

Figura 4.16.

Por lo tanto, de éste total de alumnos inscriptos se seleccionó a los

ciento seis alumnos que no presentan retraso en el sistema educativo. El

ajuste correspondiente a esta población incluye a un alumno que inicio el

sistema educativo con cincuenta y ocho meses, de manera que la curva de

aprendizaje se define como:

( ) ( ) ( )[ ]5870108062980.0exp503335259.92525 −−−= ttA (4.30)

Asimismo tomando el PVI definido en la ec. (4.11), se determina para la

ec. (4.30) el PVI sin retardo en el sistema educativo, obteniéndose:

( )( )

( )

=

−=

503335259.958

25

A

tAkdt

dA (4.31)


190

Por tanto, en la Figura 4.21 se representa la curva ajustada de

aprendizaje de los alumnos que no tienen retraso en el sistema educativo,

entendiendo por esto, a aquellos alumnos que ingresan al nivel inicial en cinco

años (sesenta meses) y cumplen con la edad programada por grado que

cursan, aunque se considera al alumno que ingreso con cincuenta y ocho

meses (cuatro años y diez meses).

Figura 4.21: Curva de aprendizaje de los alumnos de toda la población en el sistema educativo Escuela N°297 – Lavalle

Consideramos ahora, el análisis de aquellos veintiséis alumnos que

presentan un retraso de solo un año en el sistema educativo, debido a que

recursaron algún grado o bien que iniciaron tardío el ingreso al mismo.

El análisis de estos veintiséis alumnos que presentan un retraso de solo

un año al sistema, puede visualizarse en la Figura 4.22 el esquema donde se

identifica a cada uno de los alumnos en términos de la EC que poseen y el


191

grado que cursan con respecto a lo que correspondería según el sistema

educativo. Por lo tanto, los meses89 del primer alumno que cursa el primer

grado, donde debería tener entre 72 y 84 meses nos muestra un atraso en el

sistema educativo entre el rango de 17 y 5 meses, por lo que el modelo

matemático tendría un retardo de meses17=τ .

Figura 4.22: Esquema descriptivo de la EC de los alumnos en relación al grado de cursado según el sistema educativo. Escuela N°297 – Lavalle

A continuación, haremos una observación respecto a la expresión

( )89−t usada en la ec. (4.32), tal que:

( ) ( ) ( ) 0~7217177289 ttttt −−=−−=+−=− τ


192

Donde meses17=τ es el retardo del modelo matemático propuesto, mientras

que mesest 72~0 = representa la edad legal del alumno de primer grado al iniciar

el ciclo lectivo. De aquí que los meses89 es la edad de nuestro alumno con

menor edad dentro de los que tienen un retraso de un año y que se halla

cursando el primer grado, obteniéndose:

( ) ( ) ( )[ ]89130094321288.0exp14625894.132525 −−−= ttA (4.32)

En la Figura 4.23, se muestra que existen alumnos recursantes o con

ingreso tardío al sistema educativo de un año. Esto es debido a que el niño

colabora en tareas rurales en su comunidad, pero a pesar de estas

contingencias, el niño que asiste a la escuela puede adquirir cierta cantidad de

capacidades luego de un tiempo, dependiendo del estímulo que se le genere

para que pueda incorporar nuevas capacidades, y así lograr equilibrarse con el

resto de sus compañeros que no presentan retardo dentro del sistema

educativo. De esta manera se puede observar en la Figura 4.24, donde se

comparan las tasas de aprendizaje k en el sistema educativo sin y con retardo

en relación a la EC de los alumnos, pues allí ambas curvas presentan una

misma tendencia, es decir que con diferencia de algunos meses, los alumnos

que tienen retardo alcanzan valores de aquellos alumnos que no presentan

retardo. Esto se logra en dicha gráfica si trazamos una paralela al eje X,

observando aproximadamente los doces meses de retardo para una misma


193

capacidad dada. Por ello, decimos que nuestro sistema educativo excede en

su formación enciclopedista, en virtud de un test que es más liberal en su

forma de observar la adquisición de capacidades de aprendizaje.

Figura 4.23: Curva de aprendizaje de los alumnos con retado en el sistema educativo Escuela N°297 – Lavalle


194

Figura 4.24: Comparación de las curvas de ajuste de aprendizaje con retardo en el sistema educativo y de toda la población. Escuela N°297 – Lavalle

Usando el modelo definido en la ec. (4.31), de manera que la ec. (4.32)

se aproxime a un PVI con retardo de meses12=τ , de la forma:

( ) ( )( )

( )

=

−−=

14625894.1389

25

A

tAkdt

tdA τ (4.33)

En los resultados obtenidos en las ecs. (4.31) y (4.33), se observa que

hay una diferencia entre ambos PVI. En la ec. (4.31) responde a que los

alumnos cumplen con la edad programada por grado que cursan. Mientras en

la ec. (4.33) el alumno que posee ochenta y nueve meses en la curva con


195

retardo (Figura 4.24) según el PVI tiene 13,14625894 capacidades, mientras

que para ese misma edad el ajuste de la curva de toda la población (Figura

4.24) es de 13,65; en tanto que el último alumno que posee retraso de un año

cuenta con ciento sesenta y siete meses que en el ajuste total tiene 19,81

capacidades y 19,34 capacidades para el ajuste con retardo.

Esto refleja, que en el proceso enseñanza – aprendizaje se procura lograr

que el alumno consiga alcanzar objetivos específicos de aprendizaje; para ello

se requiere de una planificación que tenga en cuenta las corrientes

psicológicas contemporáneas (conductuales, cognitivas y constructivistas) que

determinan las peculiaridades que mejor se adapten al proceso instruccional

en la situación de aprendizaje y verifican su aplicabilidad. [33]

� MUESTRA 2 (Escuela N° 8 - Bañado de Ovanta)

Dicha escuela posee una muestra de ciento cuarenta y cinco alumnos

que fueron modelados mediante la curva de aprendizaje según el modelo

matemático de crecimiento exponencial inhibido, tal como se muestro en la

Figura 4.17.

Por lo tanto, de éste total de alumnos inscriptos se seleccionó a los ciento

treinta alumnos que no presentan retraso en el sistema educativo. El ajuste

correspondiente a esta población incluye a un alumno que inicio el sistema

educativo con cincuenta y nueve meses, de manera que la curva de

aprendizaje se define como:


196

( ) ( ) ( )[ ]5900140161336.0exp77756314.152525 −−−= ttA (4.34)

Entonces el PVI definido en la ec. (4.11), se determina para la ec. (4.34)

el PVI sin retardo en el sistema educativo, obteniéndose:

( )( )

( )

=

−=

77757314.1559

25

A

tAkdt

dA (4.35)

En la Figura 4.24, muestra la curva de aprendizaje que modela el

comportamiento de los alumnos que no tienen retraso en el sistema educativo,

es decir, la de aquellos alumnos que ingresan al nivel inicial en cinco años

(sesenta meses) y cumplen con la edad programada por grado que cursan,

aunque se considera al alumno que ingreso con cincuenta y nueve meses

(cuatro años y once meses).


197

Figura 4.25: Curva de aprendizaje de los alumnos de toda la población en el sistema educativo. Escuela N° 8 – Bañado de Ovanta

Ahora, analizamos a los nueve alumnos que presentan un retraso de solo

un año en el sistema educativo, debido a la repitencia de grado en el sistema.

De manera análoga a lo realizado anteriormente, se muestra en la Figura

4.26 el esquema de la situación de estos alumnos donde se identifica a cada

uno de ellos en términos de la EC que poseen y el grado que cursan con

respecto a lo que correspondería según el sistema educativo. Dentro de los

alumnos que tienen un retraso de un año, el alumno que posee menor edad

tiene meses100 y cursa el segundo grado, el cual se haya entre el rango de 84

a 96 meses, por lo que su retraso iría de 16 a 4 meses, en el cual el modelo

matemático tendría un retardo de meses16=τ .


198

Figura 4.26: Esquema descriptivo de la EC de los alumnos en relación al grado de cursado según el sistema educativo. Escuela N° 8 – Bañado de Ovanta

Por lo tanto, se considera la observación respecto a la expresión

( )100−t usada en la ec. (4.36), tal que:

( ) ( ) ( ) 0~84161684100 ttttt −−=−−=+−=− τ

Donde meses16=τ es el retardo del modelo matemático propuesto, mientras

que mesest 84~0 = representa la edad del alumno de debería tener para estar en

segundo grado del sistema educativo. De aquí que los meses100 es la edad

que posee el alumno con menor edad dentro del grupo de alumnos que tienen

un retraso de un año y cursan el segundo grado, obteniéndose:


199

( ) ( ) ( )[ ]100290018907440.0exp5409188649.212525 −−−= ttA (4.36)

En la Figura 4.27, se muestra que la información obtenida es muy variada

debido a los pocos datos con que se cuenta. Por lo que la curva de ajuste dista

mucho de la obtenida para toda la población, pues al ser casi paralela al eje de

los tiempos daría una capacidad constante en relación a todos los datos,

cuando en realidad a excepción de los dos alumnos que tienen menos

capacidades adquiridas, mostraría un decrecimiento en el número de

capacidades a medida que aumenta su EC; es decir que los alumnos

recursantes o que ingresan tardío al sistema educativo pierden capacidades a

medida que transcurren los últimos años en la escuela.

Figura 4.27: Curva de aprendizaje de los alumnos con retado en el sistema educativo Escuela N°8 – Bañado de Ovanta


200

Mientras en la Figura 4.28, se comparan las tasas de aprendizaje k en el

sistema educativo de todos los alumnos y de los que presentan retraso en

relación a la EC de los alumnos. Allí, cada una de las curvas presenta distintos

comportamientos, cuya tasa de aprendizaje va de menor a mayor dependiendo

del caso. Es decir, la curva que modela la situación de todos los alumnos

muestra un crecimiento paulatino, mientras que la curva correspondiente a los

nueve alumnos que tienen un retraso de un año, presentan un comportamiento

similar durante todo momento. Más alarmante, es que dicha tasa es mayor a la

totalidad de los alumnos cuando ellos comienza alrededor de los cien meses,

pero cincuenta meses más tarde al permanecer igual la tasa de aprendizaje se

ve superada por la tasa de aprendizaje de la totalidad de los alumnos. Por ello

decimos, que para esta realidad los alumnos que tienen un año más de edad

poseen más capacidad al iniciar su actividad escolar, pero que no evoluciona

por lo que se ve superado por el resto de los alumnos.


201

Figura 4.28: Comparación de las curvas de ajuste de aprendizaje con retardo en el sistema educativo y de toda la población. Escuela N°8 – Bañado de Ovanta

Al igual que antes, usando el modelo definido en la ec. (4.35), de modo

que la ec. (4.36) se aproxime a un PVI con retardo de meses12=τ , donde el

valor de cien meses en la condición inicial del PVI se debe a que el alumno

con ocho años y cuatro meses se halla en segundo grado, lo cual presenta un

retraso de un año, obteniéndose:

( )( )( )

=

−−=

5409188649,21100

25

A

tAkdt

dA τ (4.37)


202

De (4.35) y (4.37) se observa que ambos PVI presentan una marcada

diferencia. En la ec. (4.35) los alumnos cumplen con la edad programada por

grado que cursan. Mientras en la ec. (4.37) el alumno que tiene cien meses en

la curva con retraso (Figura 4.28) según el PVI alcanzan un valor de

21,5409188649 capacidades lo cual implica que no es que sean mejores en su

aprendizaje, sino que estamos comparado alumnos de distintas edades, que

ya han cursado y están repitiendo dicho grado, y por lo tanto algo aprendieron.

Esto lleva a que a medida que avanzan en el cursado, se espera que el

alumno se vaya adaptando en forma paulatina a nuevas capacidades dentro

del proceso de aprendizaje. Pero sin embargo, la curva de la Figura 4.28,

muestra que se detiene ese crecimiento para estos alumnos y posteriormente

se ve superado a lo largo de los años por aquellos alumnos que llevan la edad

correcta dentro del sistema educativo.

4.5.2. MODELO DE APRENDIZAJE MEDIANTE UNA ECUACIÓN

DIFERENCIAL ORDINARIA CON RETARDO

Hasta el momento se trabajó con el modelo de aprendizaje exponencial

inhibido propuesto por Bassanezi [3], en donde se aplicó en toda la población

de cada escuela, observándose que existen en cada caso alumnos que

presentan un retraso en el sistema, esto es, que tienen edad superior a la que

se requiere. Esto llevó a que se separa para su estudio en ambas escuelas a

los que tienen hasta un año o sea doce meses de atraso, mostrándose allí los

resultados.


203

Si bien en la Escuela N° 297 - Lavalle se observaba inmediatamente este

retraso con una gráfica que implicaba un desplazamiento hacia la derecha, con

lo cual se muestra que la capacidad de conocimiento de estos alumnos, la

alcanzan luego de cierto tiempo, resultó llamativo la situación en los alumnos

de la Escuela N° 8 - Bañado de Ovanta, pues los que tienen este retraso de un

año, en ningún momento adquieren nuevos conocimientos, manteniéndose

casi constante con la capacidad que tenían al momento de ingresar a la

escuela.

De este análisis surgió la propuesta de utilizar las ecuaciones

diferenciales ordinarias con retardo (en adelante EDOR) [18], las cuales

evalúan el comportamiento de un fenómeno en un tiempo dado expresándolo

con respecto de un tiempo anterior al tiempo que transcurre. Este retraso o

DELAY, como se usa el término en inglés, implica que existe un tiempo τ que

se denomina retardo. La modelización fue efectuada en Dinámica de Sistema,

y por ello usando el modelo de aprendizaje citado arriba, se planteó otros

retardos relacionados a las otras variables, como se indica a continuación.

Se partió de la curva de datos y se trató de ajustar a una función, la cual

debía ser escrita finalmente como una EDOR. Esto significa, construir una

ecuación diferencial que forme un PVI con nuevas variables y distintos

retardos en el tiempo τ , un retardo β en la tasa de adquisición de

capacidades k , y un retardo α en la capacidad inicial 0A desde donde

manifiesta tener conocimientos. Estos dos últimos son retardos adicionales que


204

hacen a una EDOR, donde α y β son retardos que se ajustaron a los datos, y

por lo que deducimos como solución de este PVI con retardo, obteniéndose:

( ) ( ) ( )( )βατ −−−= kAtAtAftA ,,,´ 0 (4.38)

Asi podemos establecer la comparación entre ambas escuelas, donde el

aprendizaje de los alumnos en relación a su EC por grado que cursan es

relativamente lento. Se evidencia que las tasas de aprendizaje k de ambas

escuelas varían de menor a mayor dependiendo de las condiciones que

presenta el alumno en cada caso. Los valores de 0A son muy elevados como

resultado de que el alumno ingresa tardío al sistema educativo, éste debe

adaptarse al mismo para lograr equipararse con el resto de sus compañeros.

Es decir, el alumno aprende de otros y con los otros, y esa interacción le

permite desarrollar su conocimiento práctico y reflexivo, construyendo e

interiorizando nuevos conocimientos. Este modelo se describe con su

simulación en el Capítulo V.

4.6. FORMULACION DEL MODELO DE RED NEURONAL

Tal lo definido en el Capítulo I sobre el Sistema Funcional Cerebral, esto

nos permite considerar una red neuronal tal como se muestra en la Figura

4.29, donde i representan las entradas, s las salidas y m la capa intermedia

de neuronas. [10], [11], [13], [30]


205

Chialvo y Bak (1999) [10] consideran que las señales de entrada son muy

simples, los datos ingresan por medio de la capa de entrada la cual podría

representar un estímulo visual, luego pasan a través de la capa intermedia y

salen por la capa de salida donde éstas podrían representar una respuesta

motora. Cabe destacar que la capa intermedia puede estar constituida por

varias capas; este modelo está basado en dos principios simples y

biofísicamente admisibles:

a) La actividad: es el disparo de la neurona que se propaga a través de

la mayor conectividad. Así la actividad global se guarda bajo la

dinámica “el ganador toma todo” (winner-takes-it-all).

b) La plasticidad: se produce por los cambios en la fuerza sináptica.

Figura 4.29 : Ejemplo de red neuronal totalmente conectada. Los pesos de las interacciones representas por matrices V, W. [Fuente: Esquema realizado por la autora de esta tesis]

Cada neurona de entrada está conectada con otras de la capa intermedia

mediante una interacción de peso )m,i(V , que representa la fuerza sináptica.


206

Asimismo, las neuronas de la capa intermedia se conectan con las de salida

mediante interacciones de peso )s,m(W . La red debe aprender a conectar

cada entrada con una salida apropiada para una situación arbitrariamente

establecida. Mediante este mecanismo, invocamos la dinámica “el ganador

toma todo”, donde solamente una neurona i con )s,m(W más fuerte responde

en cada paso.

La dinámica del proceso completo es el siguiente:

� Una neurona i es elegida para ser activada.

� La neurona m de la capa intermedia con )m,i(V de más fuerte

interacción dispara. Luego, una neurona de salida con )s,m(W de

interacción más grande recibe este estímulo y dispara.

� Si la neurona de salida s es la correcta para un dado patrón, el sistema

aprendió y se pasa a otro patrón de entrada - salida.

� Y si la neurona de salida s no es correcta, entonces se produce una

redistribución de información hacia las otras neuronas conectadas y

produce que las conexiones sinápticas se refuercen.

� Este proceso continúa hasta que no existen más neuronas receptoras,

sino que las neuronas están conectadas a una terminal nerviosa la cual

activa la secuencia de acción correspondiente.

La ejecución de éste proceso se lo presenta en el Capítulo V, sección

5.2.3, donde la dinámica que se utiliza asegura que las sinapsis están activas


207

en el proceso, es decir, la existencia de capas de neuronas que tienen como

función la potenciación (asegura que la actividad se propague a través de la

conexión más fuerte) o depresión (las neuronas no intervienen en la conexión,

pero podrían llegar a ofrecer una respuesta en al próximo estímulo). Esto está

vinculado con lo que se produce en la fisiología cerebral que concuerda en la

existencia de diferentes zonas del cerebro que responden a funciones

determinadas. Ahora, si este procedimiento se lo enfoca a la memoria, este

consiste en la suma de pesos de las ponderaciones o conexiones de capa de

neuronas relacionadas; donde la activación de las neuronas de entrada por

impulsos nerviosos es obtenido como resultado que la última capa de

neuronas interneuronales u ocultas ofrecen una salida a través de las

neuronas de salidas que provocan la sensación de un recuerdo. [9]

4.7. CONCLUSION

De esta manera, el aprendizaje, por su naturaleza, se lo considera un

proceso de asociación mecánica entre los estímulos aplicados y las respuestas

provocadas por ellos en relación a las condiciones externas existentes, donde

no se toma en cuenta todas aquellas intervenciones mediadoras y

moduladoras de las numerosas variables propias a la estructura interna,

principalmente del SNC del sujeto cognoscente, que aprende. Mientras la

memoria forma parte principal de todo proceso de aprendizaje, definida como

la capacidad de retener y de evocar eventos del pasado, mediante procesos

neurobiológicos de almacenamiento y de recuperación de la información


208

básica en el aprendizaje, siendo éste un fenómeno de carácter biofísico con

profundas implicaciones en lo cultural.

En consecuencia, el uso de herbicidas aplicados por vía aérea causa

graves problemas en la salud de los niños de estas comunidades rurales

influyendo en su potencial humano. Cuando un organismo se expone a

sustancias agroquímicas se desencadena una serie de procesos

extremadamente complejos de metabolización y eliminación cuyas velocidades

son muy difíciles de calcular; provocando intoxicaciones en los niños que lo

llevan a una inmadurez en su desarrollo intelectual. Esto se refleja en los datos

aportados por el Test Gestáltico Visomotor de Bender y la valuación de

Koppitz, que se aplicaron a los alumnos que van desde los cinco a los doce

años del nivel educativo, donde se evalúa tanto su nivel de maduración en la

percepción visomotriz para predecir el nivel intelectual, como los problemas en

el rendimiento escolar cuando éste presenta un retraso en el ritmo de su

marcha en el sistema educativo, es decir la relación grado‐edad, y que se pone

de manifiesto en aquellos que repiten algún grado o bien que se incorporan al

sistema educativo con edad avanzada.

Por otro lado, se aplicó en los procesos de Markov el criterio de

estabilidad dado por los valores propios en ambos establecimientos, el cual

llevó a evaluar el sistema educativo en las condiciones del desempeño del

alumno que ingresa desde el nivel inicial hasta que egresa a los siete años.

Cuyas estabilidades indican que en ambas escuelas las situaciones son

críticas, evidenciándose que los alumnos muestran debilidades mentales


209

debido al bajo CMVM, como consecuencia de la repitencia de grados por

abandonar el cursado para realizar tareas familiares vinculadas al sembrado y

fumigación de los campos con el empleo de sustancias agroquímicas.

Mientras que, es menos notorio el problema en la Escuela N° 297- Lavalle

porque solo se registran dos valores propios correspondientes a las

debilidades mentales, mientras que al menos en la Escuela N° 8 - Bañado de

Ovanta existen algunos en condición del 0,026% de limítrofes y 0,156% de

debilidad mental débil, pero existe un valor muy grande del 99,817% de

debilidad mental moderada, debido a que el alumno presenta muchos aciertos

al representar las figuras gestálticas. Como consecuencia de esto, la

predicción que resulta de aplicar la teoría de las cadenas de Markov para el

estudio de un estado estable según sus valores y vectores propios, nos lleva a

que el análisis realizado para esta escuela no sirvió según la suposición

realizada.

4.8. REFERENCIAS

[1] Aguilar Valdés (1986) Medio ambiente familiar, Hábitos de vida y rendimento académico en niños de primaria. Revista Cubana Hig. Epidemiol.24(2): 157-163.

[2] Avaria M.A. (2005) Aspectos biológicos del desarrollo psicomotor. Revista Pediatría Electrónica. Universidad de Chile. Vol 2, N° 1. ISSN 0718-0918

[3] Bassanezi R.C. (2002), Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. Editoria Contexto São Paulo – ISBN 85-7244-207-3.

[4] Ballesteros Domingo J.J. (2011) How the Terman Scale Measures Intelligence. General Psychometric Model. Revised Rules and Updated Results Psicología Educativa Vol. 17, N°2: 179-193. First online http://dx.doi.org/10.5093/ed2011v17n2a5


210

[5] Bender L. (2008). Test Guestáltico Visomotor (B.G.). Usos y Aplicaciones Clínicas. Buenos Aires: Editorial Paidós (20° edición)

[6] Budnick F. S. (1993) Matemáticas Aplicadas para Administración y Ciencias Sociales. 3ra. Edición. Editorial McGraw-Hill

[7] Casullo M. (1988) El Test de Bender Infantil. Buenos Aires: Guadalupe [8]

Cousino L, Wilder H. (1978) La función visomotora en niños de Santiago de Chile. Revista Latinoamericana de Psicología, vol. 10, N°3: 363 - 375, Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Colombia http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=80510305

[9]

Chadwick C y Antoniejevic N. (1982). Estrategias cognitivas y metacognición. Revista Tecnología Educativa, 7(4): 307- 321.

[10]

Chialvo D.R., Bak P. (1999) Learning from Mistakes Neuroscience. Vol. 90, No. 4: 1137–1148. Elsevier Science Ltd.

[11]

Engel A. B. (1978) Elementos de Biomatemática. Universidad Estadual de Campinas. Brasil

[12]

Forrester J. W. (1992) – La Dinámica de Sistemas y el Aprendizaje del Alumno en la educación escolar. D-4337: 1–22. Traducido por Grupo de Dinámica de Sistemas ITESM, Monterrey-México – Revisión (2000) Barcelona, España

[13]

Gazzaniga M.S. (2009) The Cognitive Neurosciences. Fourth Edition. Massachusetts Institute of Technology.

[14] Galagovsky L.R. (1996) Redes Conceptuales. Aprendizaje, Comunicación y Memoria. Buenos Aires: Lugar Editorial (2da. Edición)

[15]

Hammann A., Segura H. Quevedo G. (2010). Efecto de Glifosato por Contacto Directo en Amynthas hawayanus. V Congreso Iberoamericano de Ambiente y Calidad de Vida, 6° Congreso de Ambiente y Calidad de Vida (Línea Científica) – p: 160. FACEN - UNCa.

[16]

Jernigan T. L., Gamst A.C. (2005) Changes in volume with age—consistency and interpretation of observed effects. Neurobiology of Aging 26:1271–1274. Elsevier Inc.

[17]

Juarez G.A., Navarro S.I. (2005). Ecuaciones en Diferencias con Aplicaciones a Modelos en Sistemas Dinámicos. Editorial Sarquís - ISBN 987-9170-35-0. Catamarca.

[18]

Liz E. (2006) Sobre ecuaciones diferenciales con retraso, dinámica de poblaciones y números primos“. Materials Matemátics. Vol.2006, Treball N° 17: 24. ISSN: 1887-1097 – Universitat Autónoma de Barcelona. www.mat.uab.cat/matmat

[19]

López, H. J. (1990) Temas de Psicología Pedagógica. N°T3: 118‐23. La Habana: Editorial Pueblo y Educación.

[20]

Kacero E. (2007) Test Gestáltico Visomotor de Bender: Una “puesta en espacio de figuras”. Buenos Aires. Editorial Lugar Editorial

[21]

Kandel E.R., Schwartz J.H., Jessell T.H. (1999). Neurociencia y conducta. España. Editorial Prentice Hall.

[22]

Koppitz E.M, (1981). El Test Guestáltico visomotor de Bender. España. Editorial Oikos-tau. Barcelona.


211

[23]

Koppitz E.M. (2008). El Test Guestáltico Visomotor para Niños. Editorial Guadalupe (15° edición).

[24]

Kovacs Z. L. (1997) O cérebro e a sua mente: uma introdução à neurociência computacional. São Paulo: Acadêmica

[25]

Kuno M (1995). Synapse: function, plasticity and neurotrophism. New York. Oxford University.

[26] Luria A. R. (1966) Higher cortical functions in man. Londres. Tavistock

[27]

Navarro S. I., Juárez F., Contreras C., Juarez G. A., Quevedo G. (2010). Modelos Matemático Dinámico de Ingesta por Agrotóxicos V Congreso Iberoamericano de Ambiente y Calidad de Vida, 6° Congreso de Ambiente y Calidad de Vida (Línea Científica) - pp. 321. FACEN - UNCa

[28]

Navarro S. I., Juárez G. A. (2012) Agrotóxicos y aprendizaje. Análisis de los resultados del proceso de aprendizaje mediante un modelo matemático. España Editorial Académica Española ISBN: 978-3-8484-7074-7.

[29]

Navarro S. I., Juárez G.A., Quevedo G.V. (2010). Modelado Matemático del Test de Bender – Koppitz. Revista Electrónica Aportes Científicos desde Humanidades 8: 734 - 743. Editorial Científica Universitaria. UNCa. ISSN: 1851-4464. www.editorial.unca.edu.ar

[30]

Navarro S. I., Juárez G. A., Quevedo G. V. (2010) Sistema Dinámico de un Modelo Neuronal. Revista Electrónica Iberoamericana Educación en Ciencias y Tecnología. Vol.2: 91-105. ISSN 1852-852X. www.exactas.unca.edu.ar

[31]

Navarro S.I. Juarez G.A., Sibona G. J., Quevedo G.V. (2012) Simulación Dinámica con retardo del proceso de adquisición de capacidades sensoriomotriz. Revista Electrónica Iberoamericana Educación en Ciencias y Tecnología. Vol.3 N° 1:177 – 191. ISSN 1852-852X. www.exactas.unca.edu.ar

[32]

Nivia E. (2003) Efectos sobre la salud y el ambiente de herbicidas que contienen glifosato. Ambiente Ecológico. Edición 87. ISSN: 1668-3358. www.ambiente.org.ar

[33]

Ortega García J.A. y col. (2005). Neurotóxicos medioambientales (I). Pesticidas: efectos adversos en el sistema nervioso fetal y postnatal. Acta Pediátrica. España, N° 63; 140-149.

[34]

Rojas Velásquez F. (2001) Enfoques sobre el aprendizaje humano. Dpto. Ciencia y Tecnología del Comportamiento – Universidad Simón Bolívar.

[35]

Salett Biembengut M., Hein N. (2008). Modelo, Modelación y Montaje: Métodos de enseñanza-aprendizaje de matemáticas. Brasil. Dpto. Matemática. CCEN.URB.

[36]

Schuman, L. (1996) Perspectives on instruction. [On-line]. Available: http://edweb.sdsu.edu/courses/edtec540/Perspectives/Perspectives.html

[37] Strang G. (1988) Linear Algebra and its Applications (Third Edition). Harcourt College Publishers.


212

[38]

Terman, L. M. y Merrill, M. A. (1975). Medida de la Inteligencia. Método para el empleo de las pruebas del Stanford-Binet. Tercera revisión Formas L y M reunidas. Traducción y adaptación de Germain, J. Espasa-Calpe S.A. Madrid.

[39]

Torregrosa Sánchez J.R., Jordan Lluch C. (1987) Algebra Lineal y sus aplicaciones. Teorías y Problemas. México: Mc Graw Hill.

[40]

Zapata Ros, M. (2013) Teorías y modelos sobre el aprendizaje en entornos conectados y ubicuos. Bases para un nuevo modelo teórico a partir de una visión crítica del “conectivismo”. Universidad de Alcalá. España.

capitulo iv desarrollo del modelo - uncaeditorial.unca.edu.ar/publicacione on line/digitesis/navarro...

Documents