Glosario de Términos del Capítulo II

• Campo eléctrico• Carga de prueba• Intensidad del campo eléctrico• Punto de origen y punto del campo• Líneas de campo eléctrico• Campo vectorial• Principio de Superposición de Campos eléctricos • Permisividad • Densidad lineal de carga• Densidad superficial de carga• Densidad volumétrica de carga• Dipolo eléctrico• Momento dipolar eléctrico

Capítulo III

LEY DE GAUSS

Objetivos Específicos(Conceptuales,

procedimentales y actitudinales)

Contenidos-Con secuencia lógica y

psicológica-(Conceptuales,

procedimentales y actitudinales)

Estrategias Didácticas Estrategias de Evaluación

Técnicas(aplica el docente)

Actividades(del estudiante)

Recursos(para lograr objetivos)

Actividades del estudiante. En horas(Presencial y a distancia)

3.1 Establecer el concepto de Flujo de un Campo Vectorial

3.2 Establecer la Ley de Gauss para superficies cerradas a través del flujo del campo eléctrico

3.3 Aplicar la Ley de Gauss identificando la simetría más apropiada de acuerdo con la distribución de cargas del sistema

3.4 Determinar el campo eléctrico de un conductor y un aislante en equilibrio electrostático a partir de sus propiedades, aplicando la Ley de Gauss

3.1 Flujo de un Campo Vectorial

3.2 Ley de Gauss3.3 Aplicaciones para

aisladores y conductores

3.4 Campo Eléctrico producido por una placa cargada

3.5 Campo Eléctrico producido por un cilindro largo

3.6 Campo Eléctrico de regiones espaciales con simetría esférica

3.7 Forma diferencial de la Ley de Gauss

InicioMotivación

Desarrollo• Exposición

dialogada• Guía práctica

en el aula• Demostración

Final• Tareas• Estudio de

casos

• Analiza el tema

• Participa en la discusión

• Participa en trabajo grupal

• Realiza tarea en casa

• Atiende demostración• Presenta

resultados• Hace

síntesis final

• Proyector Multimedia

• Computador portátil

• Tablero• Marcadores• Textos• Revistas

especializad.• Internet•Retroproyector• Filminas• Láminas

10 horas en clases y 5 horas en casa

Diagnóstica

Formativa1ª. Prueba Parcial al final de este capítulo III

Sumativa

PROGRAMACIÓN ANALÍTICA POR MÓDULOS

Módulo Nº 3 Título L EY DE GAUSS Duración 1.67 semanas (del 13 al 27 de abril de 2010). Objetivos Terminales: Establecer el principio básico de la Ley de Gauss a partir del flujo del campo eléctrico para diferentes simetrías.

Contenido 3.1 Carga y Flujo Eléctrico

El flujo eléctrico y la Carga encerrada 3.2 Cálculo del Flujo Eléctrico

Flujo de un campo eléctrico uniforme Flujo de un campo eléctrico no uniforme

3.3 Ley de Gauss Carga puntual dentro de una superficie esférica Carga puntual dentro de una superficie no esférica Superficies Gaussianas Forma general de la Ley de Gauss

3.4 Aplicaciones de la Ley de Gauss 3.5 Cargas en Conductores

Prueba experimental de la Ley de GaussCampo en la superficie de un conductor

IntroducciónEsta niña adquiere una carga eléctrica al tocar una esfera metálica con carga.Los cabellos con carga similar a la carga de la esfera en su cabeza, se repelen y se levantan.Si la niña estuviera dentro de una esfera de metal grande y con carga, ¿sus cabellos se levantarían?

Respuesta: No. El campo eléctrico dentro de una cavidad interior de un conductor es igual a cero, por lo que no habrá ningún efecto eléctrico en la niña. (Esto lo veremos en la sección 3.5 de este capítulo). Repasar loa ejemplos 21.10 y 21.11 del Sears (Págs. 730 y 731).

Consideraciones inicialesEn física, las propiedades de simetría de los sistemas constituyen una herramienta importante para simplificar los problemas. Muchos sistemas físicos tienen simetría, por ejemplo, un cuerpo cilíndrico se ve igual luego de hacerlo girar sobre su eje y una esfera de metal con carga se ve igual después de girar alrededor de cualquier eje que pase por su centro.

La Ley de Gauss utiliza las propiedades de simetría de los sistemas para simplificar los cálculos del campo eléctrico. Esta ley es un enunciado fundamental acerca de la relación entre las cargas eléctricas y los campos eléctricos, ya que ayuda a entender cómo se distribuye la carga en los cuerpos conductores.

La Ley de Gauss trata de lo siguiente:Dada cualquier distribución general de cargas, ésta se rodea con una superficie imaginaria que la encierra y luego se observa el campo eléctrico en distintos puntos de esa superficie imaginaria. En resumen, la Ley de Gauss es una relación entre el campo eléctrico en todos los puntos de la superficie y la carga total que esta encierra.

Campo Eléctrico Producido por una Carga Puntual

- +q E

-Q++q

E

+Q

La dirección de la intensidad del campo eléctrico E en un punto en el espacio es la misma que la dirección en la cual una carga positiva se movería si se colocara en ese punto.

EF

q

2r

kQE 2r

kQqF

La magnitud de la intensidad de un campo eléctrico E es proporcional a la fuerza ejercida en el punto con carga q.

Magnitud y Dirección del Campo

Líneas de campo eléctrico para tres diferentes distribuciones de carga

3.1 Carga y Flujo EléctricoEn el capítulo anterior vimos que dada una distribución de cargas, cuál era el campo eléctrico que producía dicha distribución en un punto dado “P”. Tenemos que si se representaba la distribución como un conjunto de cargas puntuales, cada una de las cargas producía un campo eléctrico Eᵢ , y el campo total E en P, se calculaba como la suma vectorial de los campos debidos a todas las cargas puntuales.

Carga y Flujo EléctricoComo relación alternativa entre las distribuciones de carga y los campos eléctricos, podríamos plantearnos la pregunta a la inversa: “si se conoce la disposición del campo eléctrico en una región determinada, ¿qué podemos determinar acerca de la distribución de carga en esa región del espacio? Ejemplo: consideremos la caja de la figura 22.1 como una superficie imaginaria cerrada que puede contener o no una carga eléctrica. ¿Cómo podemos determinar cuánta carga eléctrica (si la hay) se encuentra dentro de la caja?

El Flujo Eléctrico y la Carga encerradaComo sabemos que una distribución de carga produce un campo eléctrico E y que éste ejerce una fuerza F sobre una carga de prueba; procedemos a mover una carga de prueba qₒ en torno a las proximidades de la caja. Con la medición de la fuerza F experimentada por la carga de prueba en diferentes posiciones, podemos elaborar un mapa tridimensional del campo eléctrico E = F/qₒ fuera de la caja. En la figura 22.1 b, podemos apreciar que el mapa obtenido es el mismo que el del campo eléctrico producido por una carga puntual positiva (Figura 21.29 a). A partir de los detalles del mapa es posible determinar el valor exacto de la carga puntual dentro de la caja.

2

o

rkqq

F 2rkq

E2

okq rF

q2

k rE

q

Flujo Eléctrico sobre la superficie de cajas que contienen carga neta positiva o negativa

Para determinar el contenido de la caja, solo se necesita medir E en la superficie de la caja. En a) y b) el campo apunta hacia fuera; en c) y d) E apunta hacia dentro.

Figura 22.2

Flujo Eléctrico si la carga neta dentro de la caja es cero

Si la carga neta dentro de la caja es cero, no hay Flujo eléctrico neto hacia fuera o hacia dentro de la caja.

Flujo Eléctrico

Es la medida del numero de línea de campo que atraviesan ciertas superficie. Cuando la superficie que esta siendo atravesada encierra una carga neta, las líneas que atraviesan tal superficie es proporcional a la carga neta que esta en el interior de ella.

Existe una relación directa entre el signo de la carga neta contenida dentro de la superficie cerrada (positivo, negativo o cero) y el flujo eléctrico neto a través de la superficie de la caja.

Flujo Eléctrico sobre la superficie de cajas que contienen cargas

Existe una relación entre la magnitud de la carga neta contenida dentro de la superficie cerrada y la intensidad del flujo eléctrico neto E sobre la superficie. Tanto en la figura a) como en la b) hay una sola carga puntual dentro de la caja, pero en la b) la magnitud de la carga es el doble de grande, por lo que el flujo neto de E en toda la superficie de la caja se duplica. Esto sugiere que el flujo eléctrico neto a través de la superficie de la caja es directamente proporcional a la magnitud de la carga neta encerrada en la caja. Y es independiente del tamaño de la caja.

Algunas conclusiones de lo visto hasta ahora

Para los casos especiales de una superficie cerrada en forma de caja rectangular y distribuciones de carga constituidas por cargas puntuales o láminas con carga, se tiene lo siguiente:

1. El hecho de que el flujo neto sea hacia el exterior o hacia el interior de una superficie cerrada depende del signo de la carga encerrada.

2. Las cargas afuera de la superficie no provocan un flujo eléctrico a través de la superficie.

3. El flujo eléctrico neto es directamente proporcional a la cantidad neta de carga contenida dentro de la superficie, pero en independiente del tamaño de la superficie cerrada.

Esta observaciones son el planteamiento cualitativo de la ley de Gauss y son válidas para cualquier otra clase de distribuciones de carga y para superficies cerradas de forma arbitraria.

3.2 Cálculo del Flujo eléctrico

Cualitativamente, el Flujo Eléctrico a través de una superficie es la descripción de si el Campo eléctrico E apunta hacia la superficie o desde la superficie hacia fuera. Esto se utilizo para obtener un enunciado cualitativo de la Ley de Gauss: el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada en el interior de dicha superficie. Para aprovechar por completo esta Ley, se necesita saber cómo calcular el flujo eléctrico.

Tener en cuenta que un Campo Eléctrico no es un Flujo, solo se utiliza la analogía con un fluido en movimiento con fines explicativos.

Flujo de un campo eléctrico uniforme

En primer lugar se consideremos un área plana A perpendicular a un plano eléctrico uniforme E.

Se define el Flujo Eléctrico ΦΕ a través de esta área como el producto de la magnitud del campo eléctrico E por el área A:

ΦΕ = EA (3.0)

En términos aproximados se puede imaginar a ΦΕ como las líneas de campo que pasan a través de A. El incremento del área significa que más líneas de campo cruzan el área, por lo que aumenta el flujo; un campo más intenso significa mayor densidad de líneas de E, por lo que hay más líneas que pasan por unidad de área , lo que también incrementa el flujo.

Flujo de un campo eléctrico uniforme

Si el área A es plana pero no perpendicular al campo E , entonces son menos las líneas de campo que la atraviesan. En este caso, el área que se toma en cuenta es la silueta que se observa al mirar en dirección de E. Esta es el área A+ en la figura 22.6b, y es igual a A cos φ. Esto hace que la definición de flujo eléctrico para un campo eléctrico uniforme s generalice a : ΦΕ = EAcosφ (3.1)

A

Flujo eléctrico a través de superficies uniformes con diferentes orientaciones

Como Ecosφ es la componente de E perpendicular al área, la ecuación anterior se expresa como:

ΦΕ = E+A (Flujo eléctrico para E uniforme en superficie plana inclinada) (3.2)

En términos del vector de área A perpendicular al área, el flujo eléctrico se expresa como el producto escalar de E y A:

ΦΕ = E.A (Flujo eléctrico para E uniforme en superficie plana inclinada) (3.3)

Las tres ecuaciones anteriores (3.1), (3.2) y (3.3) expresan el flujo eléctrico para una superficie plana y un campo eléctrico uniforme de maneras diferentes pero equivalentes. La unidad del Sistema Internacional de medidas para el flujo eléctrico es 1 N.m²/C. Observe en la figura 22.6c que si el área está de perfil respecto del

campo, E y A son perpendiculares y el flujo es igual a cero.

Flujo de un campo eléctrico uniforme

La dirección de un vector de área se puede representar con A empleando un vector unitario ň perpendicular al área ; ň significa “normal”. De esta forma: A = Aň (3.4)

Una superficie tiene dos lados, por lo que hay dos direcciones posibles para ň y A . Siempre se debe especificar cuál es la dirección elegida. En la sección 3.1 se relacionó la carga dentro de una caja cerrada con el flujo eléctrico a través de ella. Con una superficie cerrada siempre se elegirá a ň como la que se dirige hacia el exterior, y se hablará del flujo hacia afuera de la superficie cerrada. Así, lo que se llamó “flujo eléctrico hacia fuera” corresponde a un valor positivo de Φᴇ , y lo que se denominó “flujo eléctrico hacia dentro” corresponde a un valor negativo de Φᴇ .

Flujo de un campo eléctrico no uniforme

¿Qué pasa si el campo eléctrico no es uniforme, sino que varia de un punto a otro del área A? O, ¿qué ocurre si A es parte de una superficie curva?. Aquí se divide A en muchos elementos pequeños dA, cada uno de los cuales tiene un vector unitario ň perpendicular a él, y un vector de área dA = ň dA. El flujo eléctrico se calcula a través de cada elemento y los resultados se integran para obtener el flujo total:

Φᴇ = ∫ E cos φ dA = ∫ = ∫ E . dA (3.5)Definición General del Flujo Eléctrico

Esta integral se llama integral de superficie de la componente E+ en el área, o integral de superficie de E . dA . Las diversas formas de la integral expresan el mismo concepto en términos diferentes

E+dA

Flujo de un campo eléctrico no uniforme

En problemas específicos, una forma resulta en ocasiones más conveniente que otra. En el segundo ejemplo que veremos a continuación sobre el Flujo Eléctrico a través de una esfera, se hará uso de la ecuación 3.5.

En la ecuación 3.5 el flujo eléctrico ∫ E+ . dA es igual al valor medio de la componente perpendicular del campo eléctrico, multiplicado por el área de la superficie. Esta es la misma definición del flujo eléctrico a que se llegó en la sección 3.1, ahora expresada en términos más generales. En la siguiente sección “Ley de Gauss”, se verá la vinculación entre el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada, sin importar su forma, y la cantidad de carga encerrada dentro de la superficie.

3.3 LEY DE GAUSS - Introducción

La Ley de Gauss es una alternativa a la Ley de Coulomb. Aunque equivale por completo a la Ley de Coulomb, la Ley de Gauss ofrece una forma distinta de expresar la relación entre la carga eléctrica y el campo eléctrico. Esta ley fue formulada por Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Gauss también realizó contribuciones significativas en la física teórica.

Carga puntual dentro de una superficie esféricaLa ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada (una superficie que encierra un volumen definido) es proporcional a la carga eléctrica total (neta) dentro de la superficie. Vamos a analizar el campo de una carga puntual positiva q.Las líneas de campo se extienden en forma radial hacia fuera en todas direcciones por igual. Colocamos esta carga en el centro de una superficie esférica imaginaria con radio R. La magnitud de E en cada punto de la superficie está dada por :

24 R

qE

o

(3.6)

Carga puntual dentro de una superficie esférica

En cada punto de la superficie, E es perpendicular a ésta, y su magnitud es la misma en todos los puntos como se ilustró en el ejemplo 22.3 que vimos ayer . El flujo eléctrico total es el producto de la magnitud del campo E por el área total A = 4 ᴨ R² de la esfera.

El flujo eléctrico es independiente del radio R de la esfera; sólo depende de la carga q encerrada por la esfera.

En la figura 22.11 vemos que el flujo eléctrico es el mismo para las dos áreas independientemente del radio las esferas.

Cálculo del flujo eléctrico que pasa a través de una superficie no esférica

Carga puntual dentro de una superficie no esférica

Ley de GaussLa intensidad de campo eléctrico producido por una carga q ubicada en el centro de una esfera imaginaria está dada por:

Ekq

r 2

La permisividad del espacio libre se define por:

ep0

12 2 214

885 10= = ´ ×-

kC N m. /

Ley de Gauss: El número total de líneas de fuerza eléctrica que cruzan cualquier superficie cerrada en una dirección hacia afuera es numéricamente igual a la carga total neta contenida dentro de esa superficie.

0εq

k = 1 = 9 x 109 N·m2/C2

4ᴨƐₒ

k = 1 = 9 x 109 N·m2/C2

4ᴨƐₒ

(3.7)

Carga puntual dentro de una superficie no esférica

Carga puntual afuera de la superficie cerrada

FORMA GENERAL DE LA LEY DE GAUSS

FORMA GENERAL DE LA LEY DE GAUSS

Resumen de la Ley de Gauss

• La ley de Gauss constituye una de las leyes fundamentales de la Teoría Electromagnética.

• Se trata de una relación entre la carga encerrada en una superficie y el flujo del campo eléctrico, a través de la misma.

• Constituye un medio para obtener expresiones de campos eléctricos, con suficientes condiciones de simetría.

Superficies gaussianas esféricas

Conclusiones sobre las diferentes formas de la Ley de Gauss

Conclusiones sobre las diferentes formas de la Ley de Gauss

Ejemplo conceptual

Aplicaciones de la Ley de Gauss

Aplicaciones de la Ley de Gauss

Aplicaciones de la ley de Gauss

La densidad de carga es la carga por unidad de área de una superficie:

q

A

Aplicaciones de la Ley de Gauss

Ejemplos a estudiar

Estudiar los ejemplos 22.5 de las páginas 762-763 22.5 de las páginas 763-764 22.7 “ “ “ 764-765 22.8 765 22.9 766 22.10 766-767

3.5 Cargas en conductores

3.5 Cargas en conductores

123. Figura 22.23 Cálculo del campo eléctrico dentro de un conductor con carga

Ejemplo Conceptual

Prueba Experimental de la Ley de Gauss

Prueba Experimental de la Ley de Gauss

Experimento de Faraday - Moderno

Generador Electrostático

Conceptos clave

• Flujo eléctrico• Superficie cerrada• Integral de Superficie• Densidad de carga• Ley de Gauss• Superficie Gaussiana• Densidad de Flujo Eléctrico• Cubeta de hielo de Faraday

Resumen de ecuaciones

EF

q E

kQ

r 2

ep0

12 2 214

8 85 10= = ´ ×-

kC N m. /N E A qn 0

q

A

2r

kQqF E

kQ

r 2