ELASTICIDAD

INTRODUCCION:

Elasticidad es la propiedad mecánica que ciertos materiales proporcionan a los sólidos de sufrir deformaciones reversibles, es decir cuando éstos se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores recuperan la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan.

Otra definición semejante de elasticidad es la capacidad que tiene un cuerpo deformado para recuperar su configuración original cuando dejan de actuar sobre él, el sistema de fuerzas que lo deformó. Esta propiedad de los cuerpos, depende del material del que están hechos.

Los materiales elásticos son en realidad ideales, pero se usan como tales en diseños de ingeniería.

I. CLASES DE MATERIALES ELASTICOS

Las características de los materiales pueden determinar su clasificación en 5 clases: homogéneos, heterogéneos, isotrópicos, ortotrópicos y anisotrópicos.

1.1 Materiales homogéneos.En cuerpo homogéneo las propiedades del material son las mismas en cualquier punto en una dirección particular del cuerpo, es decir, las propiedades del material no son función de la posición en el cuerpo en una dirección particular.

1.2 Materiales heterogéneos.Si las propiedades del material cambian de un punto a otro en la misma dirección, entonces el material es heterogéneo, es decir, las propiedades son función de posición en el cuerpo.

1.3 Materiales isotrópicos.En los materiales isotrópicos las propiedades son las mismas en cualquier dirección en un punto dado, es decir, todos los planos que pasan por un punto en un material isotrópico son planos de simetría de las propiedades del material. Ejemplo: acero, concreto, metales, suelos.

A

B

El material presenta las mismas propiedades mecánicas en cualquier punto del plano.

A

El material presenta las mismas propiedades mecánicas en cualquier plano alrededor de un punto.

El sólido presenta las mismas características mecánicas en todas las direcciones.

Las propiedades mecánicas no son las mismas en las diferentes direcciones

Un material isotrópico puede ser homogéneo o heterogéneo. Un cuerpo isotrópico homogéneo tendrá todos los planos de simetría de las propiedades del material en cualquier punto, por ejemplo, el módulo de Young del material será el mismo en cualquier punto y en cualquier dirección. Un cuerpo isotrópico heterogéneo, es aquel que tendrá todos los planos de simetría de las propiedades del material en un punto dado, pero cualquier propiedad el material tendrá diferente valor en cualquier otro punto, sin embargo en ese otro punto las propiedades del material van tener el mismo valor en cualquier dirección.

1.4 Materiales anisotrópicos. En un cuerpo anisotrópico las propiedades del material van a ser diferentes en todas la direcciones en cualquier punto, es decir, no hay planos de simetría de las propiedades del material en cualquier punto dentro del cuerpo. Las propiedades del material son función de la dirección en un punto determinado. Ejemplo: madera, cuarzo, cristales.

Por lo tanto en un cuerpo anisotrópico homogéneo las propiedades del material en una dirección particular serán iguales en cualquier otro punto en la misma dirección. Mientras que en un cuerpo anisotrópico heterogéneo, las propiedades del material en una dirección particular, serán diferentes en cualquier otro punto en la misma dirección.

1.5 Materiales ortotrópicos. Un material ortotrópico tiene tres diferentes propiedades en tres diferentes direcciones perpendiculares entre si, y tiene solo tres planos perpendiculares entre si que definen

∆F

∆A

la simetría de las propiedades del material. Un material ortotrópico, tendrá tres diferentes propiedades del material en las direcciones X, Y, Z. Por ejemplo, el módulo de Young se tendrá que definir en tres direcciones. Un material ortotrópico también puede ser homogéneo o heterogéneo. En un cuerpo ortotrópico homogéneo, las propiedades del material en una dirección particular serán las mismas en todos los puntos dentro del cuerpo, mientras que en un cuerpo ortotrópico heterogéneo las propiedades del material en una dirección particular serán diferentes en cualquier otro punto del material en el cuerpo.

II. ELASTICIDAD Y LEY DE HOOKE.

Sea un sistema de fuerzas F aplicada a un sólido deformable.

Un elemento de área ΔA, queda solicitado por un elemento diferencial de fuerzas ΔF

Al cociente ΔF / ΔA se le denomina ESFUERZO O FATIGA

Si ΔA → 0, entonces,

Esfuerzo o Fatiga = Esfuerzo o Fatiga = dF/dA.

Si la distribución de fuerzas es uniforme, Esfuerzo o fatiga = F/A.

El esfuerzo o fatiga toma nombres especiales de acuerdo a la dirección de la fuerza F (normal o tangencial).

Además, a medida que se aplica la fuerza F sobre un sólido deformable, ésta genera una deformación en el sólido ΔL. Existe una relación directamente proporcional entre la intensidad de la fuerza F y la deformación en dirección de la fuerza que ésta produce. Esta relación la da la ley de Hooke.

F α ΔL

F = k ΔL ,

Donde k: constante de rigidez del material del sólido deformable.[k]: FL-1; [k]: N/m; Kg-f/cm; Din/cm

Así mismo, la ley de Hooke puede expresarse en función del esfuerzo o fatiga y de la deformación. Así:

F = E ΔL

F /A (FL-2)F (F)

ΔL (L)

m = K

ΔL/L (adimens)

m = E

Curva Fuerza- deformación Curva Esfuerzo -deformación unitaria

Φ0

Φ

Φ

Φ0

TRACCION COMPRESION

A L Donde E: constante de elasticidad del material del sólido deformable (módulo de elasticidad o módulo de Young).

III. CLASES DE ESFUERZOS Y MODULOS ELASTICOS

De acuerdo a la dirección de la carga aplicada sobre una sección del sólido, los esfuerzos pueden ser:

Fuerza: Axial o normal.Esfuerzo σ: Axial o Normal

Fuerza: Tangencial.Esfuerzo: τ Cortante o de Cizalladura

3.1 Esfuerzo Axial o Normal. Módulo Elástico o Módulo de Young.

σ = F/A;

γ

δ

ε = ΔL / L

σ = E ε Aquí:

σ: Esfuerzo normal o axial. (FL-2)

ε: Deformación unitaria longitudinal (adimensional)E: Módulo de elasticidad o módulo de Young. (FL-2)

σ = E ε F/A = E ΔL / L

E = FL / A ΔL … MODULO DE YOUNG.

La variación en el diámetro, genera también una deformación unitaria transversal.

εt = Δφ / φ

La relación entre la deformación transversal y la deformación longitudinal unitarias nos da el MODULO DE POISSON.

υ = | εt / ε|

- εt = υ ε

NOTAS:

o Si la fuerza axial es a tracción, ε >0 y εt < 0.

o Si la fuerza axial es a compresión, ε <0 y εt > 0.

o Las deformaciones unitarias, ε y εt siempre tienen signos contrarios.

o Si P no es constante, P(x), entonces ΔL = FL / EA = ∫ P(x) dx / EA

3.2 Esfuerzo Cortante o de Cizalladura. Módulo de Rigidez o Módulo de Corte.

τ = F/A;

γ= δ / h, para γ pequeños.

F

ΔL

W

W = U int = ½ F ΔL

τ = G γ, donde:

τ: Esfuerzo cortante o de cizalladura (FL-2)

γ: Deformación angular o distorsión (radianes)G: Módulo de corte o de rigidez. (FL-2)

τ = G γF/A = G δ/h

G = Fh / A δ … MODULO DE CORTE O DE RIGIDEZ.

3.3 Módulo Volumétrico K. Llamado también módulo de compresibilidad y se calcula al generase una deformación volumétrica.

Deformación Volumétrica = ΔV / V.

K = F/A = -PV -ΔV / V ΔV

Comúnmente, K ≈ 1012 dinas/cm2.

Los módulos elásticos estudiados están relacionados entre sí, cumpliéndose que:

E = 3K (1-2υ) = 2G (1+υ) = 9KG / (3K+G)

IV. ENERGIA DE DEFORMACION

El trabajo que realizan las fuerzas externas al deformar a los sólidos, se almacena al interior de éstos en forma de energía, la cual se conoce como energía de deformación.

4.1 Energía Interna de Deformación por Fuerza Axial.

U int = WU int = ½ F ΔL

U int = ½ F (FL / EA)

U int = ½ F2L / EA

NOTA:o Si P no es constante, P(x), entonces U int = ∫ P2(x) dx / 2EA

4.2 Energía Interna de Deformación por Fuerza Cortante.

U int = WU int = ½ F ΔL; δ = ΔL; h = L

U int = ½ F (FL / GA)

U int = ½ K F2L / GA

En este caso, K: coeficiente que depende de la forma de la sección del sólido. Así:

SECCION K DETALLE

1. Rectangular, triangular, cuadrada.

2. Circular.

3. Perfiles

1.20

10/9

1

NOTA:o Si P no es constante, P(x), entonces U int =K ∫ P2(x) dx / 2GA

EJEMPLOS DE APLICACIÓN.

1. Un alambre de acero de 2m de longitud y 1mm de diámetro, ¿Cuánto se estirará si se le cuelga una masa de 5 Kg? E= 2x1010 N/m2.

R: 6.24 x 10-4 m.

2. Un cubo de material homogéneo de 3cm de lado que se encuentra sujeto a un placa está soportando una fuerza de 0.20N paralela a la superficie superior. La fuerza jala a la superficie 0.15cm hacia un lado. Encuéntrese el módulo cortante del material del cubo.

R: 0.44 x 104 N/m2.

3. El módulo cortante para un material es de 5 x 1010 N/m2. Si se aplica una fuerza cortante de 200 N a la superficie superior de un cubo de este metal que tiene 3cm de lado. ¿Cuánto se desplazará la superficie superior del cubo?.

R: 13.3 x 10-8 m.

4. Una barra de acero ABC transmite una fuerza axial de tracción de modo que el cambio total de la longitud es 0.6mm. Calcular en cada tramo el cambio de

longitud y de diámetro. E = 200GPa; υ = 0.3.R: ΔLAB = 2.328 x 10-4 m; ΔLBC = 3.675 x 10-4 m. ΦAB = -1.86 x 10-6 m.

ΦAB = -2.864 x 10-6 m.

5. La barra AB soporta una carga axial como indica la figura. Hallar: a). La sección mínima si el material pude soportar un esfuerzo máximo de 2.1 x 101

Tn/m2 (proponer el área de diseño). b). El esfuerzo si se diseña con A=0.25 x 0.60m.

R: A = 0.143m2 (0.30 x 0.50m). σ = 2.1 x 101 Tn/m2.

6. Una barra de sección cuadrada de 1”x1” se alarga en consecuencia de aplicar una fuerza axial P. El alargamiento total es 2”. Si el volumen de la barra no cambia, encontrar las deformaciones unitarias transversal y longitudinal aceptando que las deformaciones unitarias transversales son iguales en ambas direcciones.

R: εtb = -8.2306x10-3 = εth.

7. Una barra prismática homogénea está suspendida por uno de sus extremos. El material es de comportamiento lineal elástico con E = 2 x 104 KN/cm2. Calcular el alargamiento producido por una carga P = (L-x) A γ (A: sección transversal de la barra; γ: peso propio de la barra). Hallar también la energía de deformación interna.

R: ΔL= γ L2 / 2E; U= L3/3 ( Aγ2 / 2E)

8. Calcular U normal si E, A, Q, constantes; A = bxh= 30x50 cm; L=5m.

R: 16.67 Q2 / E.

9. Calcular U normal si E, A, constantes; F axial = Px a lo largo de L.

R: P2L3 / 6EA

10. Calcular U cortante para la viga que se muestra.