C A P I T U L O I

1,1, DEFINICIONES Y CLASIFICACIÓN DE LAS E,D,

Def,1,1,1,- Una Ecuación Diferencial es una ecuación que contiene derivadas,

Ejs,1.1,1.- Algunas ejemplos de E,D, son los siguientes

a) ,. - "S representa la E,D, de la caída de un cuerpo,

2 d X 2

b) —sTp— + w X = O representa la E,D, del Kovimiento Armónico dt"^ o- n

Simple,

c) \7*.6< r 9 - ^ - o Esta E,D, es conocida con el nombre de ecua-^^ ^ ción de Laplace,

Como sabemos que existen dos formas de derivar,las E.D. las dividimos en dos

clases;E,D, Ordinarias y E,D, Parciales.

Def,1,1,2.- Si una E,D, contiene derivadas totales (ordinarias) pero no contie*-

ne derivadas parciales,la ecuación es llamada E,D, Ordinaria.

En otras palabras,ima E.D, Ordinaria es la que contiene derivadas

totales (ordinarias) de una o más funciones con respecto a una so­

la variable independiente,

Ejs,l,1.2,- a) J ' = f(x) donde f(x) es cualquier función de x.

í>) X + yy'= O

c) _ ¿ ^ r . . . 1 3 / 2

dz^ = (^ ^cg)^]

d) a-||- + t > - ^ - = c a,b,c ctes

e) d^x d^y , ,

dz dz-

f) PQ(X) ¿ J _ + P^(x) d^"^y + + P (x) d^ +Pn(x) y = Q(x) dx^ dx^-1 • ' ^

g) (1-x^) ¿2. + 2x d ^ + n(n + l)y = O ,2 dx dx

3 2

dx^ ^ I¡^ á 6Ln X) y = e

De todas estas E.D, Ordinarias,la f) jugará un papel muy importante

en nuestro estudio y es conocida como la E.D, Lineal de orden n.

Def,1,1,3.- Si una E, D, contiene derivadas parciales pero no contiene deriva­

das totales,la ecuación es llamada E.D, Parcial.

En otras palabras,Una E.D, Parcial es la que contiene derivadas de

una o más variables dependientes con respecto a más de una variable

independiente,

E j s . 1 , 1 , 3 . - O.) a ' f i - S -* ¿ ^ ] -O^^^ 'a = - ^ V n Ho fr, 4 .< ^ . \ dx} ^ i ^ J ' '** ^f E,D, de t r a n s m i s i ó n del c a l o r

K l ^ J y T j ^yi E.D. de Onda.

Nota,1,1,1,- En las clases en que están divididas las E,D, no incluiremos aque­

llas que sean identidades tales como

f ( sen ax ) = a cos ax , |^(UV) = U g + V f

Nota.1.1.2,- El símbolo

ffr) donde m,k son enteros positivos,es conocida como la derivada ordi­

naria de y con respecto a x de orden m y grado k.La variable depen­

diente y es una función de la variable independiente x.

También el símbolo

donde r,s son enteros no negativos y n,k,r+s enteros positivos tal

que r+s = n es conocida como la derivada parcial de u con respecto

a X e y de orden n y grado k.La variable dependiente u es una fun­

ción de las Variables independientes x e y .

Como trabajaremos con ecuaciones,se hace necesario otra clasificación de las

E.D,

Def,l.l,/4,- El orden de una E.D, es el de la más alta derivada contenida en la

ecuación, dy 2 Ejs,l,l,if,- a) ^ = 3x de primer orden

b) f(x,y) + g(x,y) JÍ' = O de primer orden

c) f ( x ) ^ + g ( x ) ^ + ^ ( ^ ^ S * jíx^y ^ p(x) de cuarto orden

dx d Y d) a^r + b" y = cf(t) de segundo orden

dt

® (^) = ^1 ^ " dx ^ / ' ^ segundo orden

f) I J ^ 4 I J ^ -f = K de segundo orden

Def,l,l,5«- El grado de una E,D,algebraica en sus derivadas,es el grado alge­

braico de la más alta derivada contenida en la ecuación.

Ejs,l,l,5,- ^^ ^ ^ = w ^^ segundo grado

.2„ 3; > ^ = \ 7 - < ^ Para encontrarle el grado a esta E,D, es necesario expresarla

como una E,D, algebraica en sus derivadas,entonces

( £ l )3 1 ( dji )4 dx 2

( ^ )^- ( 4í )^ = 1 de tercer grado dx" "^

dx V dx^

Para encontrale el grado a esta E,D, es necesario expresarla

como una E,D, algebraica en sus derivadas,entonces H2,, 2 r , 2 1 / 2 1 3

( ) = 1 . ( ) I . dx L dx J ?J

= 1 * 3( )l/2 , 3 ¿ ^ . ( 4 )^/^ TT dx2 ' dx*

por tanto j2 2 ,2 ,2 1/2 r ^2-1

dx' dar dx L dx" J

elevando al cuadrado para eliminar el radical obtenemos 2

[ dx" dx J dx L dx J

luego el grado de la E,D. es k

Para encentar el grado ( y ei orden) de esta E.D, es necesario

encontaar la derivada parcial con respecto a x de la expresión

que está dentro del corchete,por tanjo

^x ^x ^x^ ^ pero KCT) es una función de T por eso aplicamos la regla de

derivación en cadena obteniendo

>T U x / ^^'" ''j>;<v ¿y-

Luego el grado de esta E.D, es 1 y su orden es 2,

Nota,1,1,3,- Obsérvese que todas las E.D, tienen orden(Porque?) mienstras que

no todas tienen grado pues la E,D,

— ^ + ^ = edx , 2 dx dx

no tiene grado ya que no se puede expresar como una ecuación al­

gebraica en sus derivadas pues dy d . ,d2..2 '(d;¿:)3 ( di n ^ T ^ dx .'-dx ^ W ^ ^ ^ ' dx ^ ^ edx = 1 + "YT + —27 —JT" ñi— De lo anterior se deduce que si se tiene una E.D, en la cual uno

de sus términos tiene desarrollo en serie en términos de alguna

derivada,la E.D, no tiene grado definido.

EJERCICIOS 1,1

Para cada una de las siguientes E.D, determine si es una E.D. Ordinaria o una

E.D. Parcial y encuentre el orden y grado respectivo.

^ = P(x) + Q(x)y + S(x)y^

(¿I )^ ^ ¿ f = s - 3t dt- dt'

( ¿I )3/2 = '^/^^ )•*

( 2x + y )dx + ( X -3y )dy = O

y " + xy + sen(y') = 1 - x

¿H rE(x) ¿^1 = W(x) d x .

'E(X) ^ " dx"^^

;4)'/3 = ^ f i . ( g ) ^ ' dx *- J

y' + x^ + 5 = cos( y " )

(¿x)^/^ = \ / i . ( £ | ) i / ^ ¿ dx- ^ dx^

y' + X = ( y - xy')~-^

y' + X = ( y - x y " ) " ^

y"- X = ( 1 - x y " ) - ^

(¿i \; 2 dx

)'/3 = f77^ i )'/ '

18)

19)

20)

dx L K dx" 4 ^

dx^

1 + dx'

••• ^ r y ' 1 + ^ = g(x) ]

e^^í ^ " ^ - x ( 1 . y " ) ^ / ^ = ( y " ) ^

8

1.2. FORMACIÓN DE LAS E.D. ORDINARIAS

Def.1.1,- Cualquier relación que no contiene derivadas entre las variables de

una E,D, que satisface idénticamente dicha ecuación es llamada una

solución de la E.D,

Ejs, 1.2,1,- a) y = ax" + bx~ - JC_ es solución de la E,D, 3

x^y"+ 2xy'- 12y = 2x^

ya que 2 — 5 2 y' = 3ax - ¿fbx - T x

y"* 6ax + 20bx"^ - |

Luego

x^y" + 2xy'+ -12y = 6ax^ + 20bx~^ - | x^ + 6ax^ - 8bx"^

- I x^ - 12ax^ - 12bx"* + hx^

= 2x2

b) V(x,y) = e ~'^cos(y-2x) es solución de la E.D,

porque

Tx^ ' " >x¿Y ay'

^ = 2e2^~ycos(y-2x) + 2e2^"ysen(y-2x)

^ = -e2''~ycos(y-2x) - e2''~ysen(y-2x)

1 ^ = 2[2e2^"ycos(y-2x) + 2e2^"ysen(y-2x)J

+ 2[2e2''-ysen(y-2x) - 2e2''-ycos(y-2x)J

= 8e ~'sen(y-2x)

i ^ = -[.e2x-y,os(y-2x) - e2^-ysen(y-2x)J

-[-®^''"^sen(y-2x) + e2x-ycos(y-2x)'

= 2e ~^sen(y-2x)

¿íTy" "If^ ''"^cos(y-2x) + 2e2^-ysen(y-2x2]

- Íe^^-^sen(y.2x) - 2e2^-^003(y.2x7j

= -4e ^-y sen(y-2x)

reemplazando estas expresiones en la E,D. observamos que se

cumple la identidad.

c) Encontfiar la solución de la siguiente E.D. ¿^ = siy

De la E.D. obtenemos ^ = adx y por lo tanto

de donde obtenemos

Ln(y) = ax + Ln(C)

o sea r f y \

Ln( ; ) = ax

luego y = Ce

d) Si tenemos la E.D. — ^ = O observamos que dx

1) y = K K cte 2) y = ax a cte

2 3) y = bx b cte

Zf) y = cx c cte

son soluciones de la E.D. dada.Además,cualquier combinación

linesil de estas cuatro soluciones es también solución de la

E.D. por tanto,la solución general de dicha ecuación es

y = Ax^ + Bx^ + Cx + D

donde A,B,C,D son constantes.

Def,1.2.2.- El conjunto formado por todas las soluciones de una E.D. es llama­

do solución general de la ecuación.

Veamos ahora como una función dada en términos de un parámetro es también so­

lución de una E.D,

Ej,l,2,2,- Demostrar que x = a( z - sen z )

y = a( 1 - cos z )

donde a es, diferente de cero, constsuite es solución de la E,D. 1 + ( y')2 + 2yy" = O

Derivando aimbas funciones con respecto a z tenemos dx , , V dy

r— = a( 1 - cos z ) dz ~ ^sen z como v' - ^ - dy / dx

^ ~ dx " dz^ dz entonces ,_ sen z

" ~ 1 - cos z además ** _ d ,d^ .

" dxMx^

10

entonces usando la regla de derivación en cadena encontramos

±_ ( djr X 2 ,, d_ / d . \ _ d _ , d 2 _ v d z _ dz dx _ ( 1 - cos z )cos z -sen z.

^ ^ d x ^ d x ' ' - d z ^ d x ' ' d x dx ~ , . . Z ^ di ( 1 - cos z )

a( 1 - cos z ) cos z - 1 1

_ , _ 2 a( 1 - cos z ) a( 1 - cos z )

luego 2

1 + (y')2 H- 2yy" = 1 + ^^^-^^ 2 " ^^^ ^ - ^°^ ^ ) ( 1 - cos z ) a( 1 - cos z )

2 2 1 - 2cos z + cos z + sen z - 2 + 2cos z

( 1 - cos z ) O

2 ( 1 - cos z )

= O

Ej.1.2.3.- Demostrar que ^ ^ ^^^^^^^ ^ ^^^^^^^

c.,c constantes,es solución de

y" + 3y' -^y = o

sabiendo que y = y.(x), y = yp(x) son soluciones de dicha E.D.

Como y = y,(x) , y = yp(x) son soluciones de la E.D. dada tenemos

y / ' + 3 y i ' - Wyy = 0

^ 2 " •" ^ ^ 2 ' - ^y2 = ° Sea y = c^y^ + C2y2

en tonces ^ . ^ ^^^^, ^ ^^^^,

y " = c ^ y ^ " + C 2 y 2 "

luego y , , ^ ^y,_^y ^ ^ ^ y ^ , , ^ ^ ^ y ^ , , ^ 3 ( V / + C2y2')

- ki c^y^ + C2y2 )

= c^( y ^ " + 3 y / * ¿+yi ) + c^{ y ^ " + 3 y ¿ ' ' ky^ )

= c , . 0 +C2.O

= O

11

En muchas de las aplicaciones en donde se utilizan las E.D, no siempre se de­

sea encontrar la solución generaüL sino una determinada solución que satisfaga

ciertas condiciones.Estas condiciones auxiliares a menudo especifican los valo­

res de la función y algunas de sus derivadas en uno o más puntos,

Ej,l,2.if,- La E,D, ( y ' )-^ = y donde y(o) = O tiene como solución a la

expresión ¿ ^2/3 ^ . + Q

pero como y(o) = O entonces C = O y por tanto la solución que pasa

por el punto (0,0) es , ^ ,^ 2 y - = X

o sea 27y2 = 8x^

Es fácil demostrar ( hágalo!) que esta ecuación paca por el punto

(0,0) y satisface la E.D. dada.

Las E.D. y el conjunto de condiciones auxiliares en un mismo punto constituyen

un problema de valores iniciales o problema de Cauchy.La razón de lo anterior

se debe a que en muchas aplicaciones la variable independiente representa el

tiempo y las condiciones especifican el tiempo en el cual empieza el proceso.

Los problemas para los cuales no se dan los valores de las derivadas en un miaao

punto sino los valores de la función en puntos diferentes se llamein Problemas

de Contorna,

De aihora en adelante procuraremos hallar la solución general o una solución

particular de las E,D, dadas por lo que podemos cuestionarnos lo siguiente:

a) EXISTENCIA. Dada una E,D,,existe solución que la satisfaga incluso bajo

ciertas condiciones dadas?.

La respuesta es negativa pues en el caso que se nos dé la E.D.

|y'( + fy| = -5

observamos que esta E.D, no tiene solución.

Si tenemos la E,D, . ,. + 1 . _ g

y queremos encontrar una solución que pase por el punto (o,5)

vemos que esta E,D, no tiene solución pues la única que satis­

face dicha E,D, es la función y = O que no cumple la condición

impuesta,

b) UNICIDAD. Si existe la solución,ésta es única?.

La respuesta también es negativa pues la expresión y = cx es

solución de la E,D, y' = c y sin embargo y = cx + 1 también lo

es,

c) DETES14INACIÓN, Si hay una o más soluciones,como las determinamos?.

12

Pues bien,el éniasis del curso recae sobre la parte c);sobre las dos primeras

daremos a conocer ciertos teoremas importantes.

Para ello debemos tener presente las etapas que existen para resolver un deter­

minado problema que son:

1) Formulación Matemática del problema,jue consiste en

la identificación de las variables dependientes e independientes,

2) Resolución de la E,D,,que consiste en la resolución

de la ecuación sometiéndola a las condiciones impuestas por el problema física

Si no se pueden obtener soluciones exactas se determinarán soluciones aproxima­

das, (Aquí utilizaremos los teoremas de Existencia y Unicidad )

3) Interpretación científica de las soluciones,que sig­

nifica comprender lo que materialmente sucede

Veamos ahora como obtener una E.D, a partir de una relación dada,

Ej,l,2,3.- Hallar una E.D, que tenga dentro de sus soluciones a la expresión

y = Ae + Be"" + C

Para obtener la E,D. deseada,procederemos de la siguiente manera;

Si derivamos la expresión dada eliminamos la constante C por tanto

y' = 2Ae2^ + Be^

si obtenemos la segunda y tercera derivada tenemos

y" = ifAe ^ + Be^

y'" = QAe^^ + Be^

de donde concluímos que

y'" - y" = ¿tAe ^

y y" - y' = ^ke^^

o sea que y'" - y" = 2(y" - y')

o lo que es lo mismo y'" - 3y" + 2y'= O

que es la E.D. buscada,

Ej,1.2,6,- Hallar la E,D, cuya solución es

y = c.sen x + C-x

Si derivamos la expresión dada dos veces podemos eliminar la constan­

te c_ por tanto ,

2. ^ y = c . c o s x + c _

y"= -c- sen x

de ésta última logramos ,* r c = -~i ' sen X

reemplazando c. en la primera derivada podemos despejar Cp,o sea

C2 = y' -(- y " )cos X sen X

13

C2 = y + y"ctg X

reemplazando c. y c_ en la ecuación original tenemos

y = -y" + ( y' + y"ctg X ) x

= -y"( 1 - X ctg X ) + xy'

luego la E.D, buscada es

y" ( l - x ctg X ) - xy' + y = O

Nota,1,2.1.- Nótese que el procedimiento utilizado en los dos ejemplos anterio­

res se basa en la eliminación de las constantes arbitrarias y por

tanto es necesario derivar tantas veces como constsintes aparezcan

en la expresión dada,obteniéndose así una E.D. cuyo orden es igual

al número de constantes,Existen ecuaciones que satisfacen E.D. cu­

yo orden es menor al número de constantes contenidas en la ecuaci'ón

dada tal es el caso de la expresión t 2 2

^ y - 2axy - bx = 0

que satisface la E.D, xy' - y = O

-Nota,1 ,2,2,- Antes de describir una técnica general para obtener una E.D, Ordii-

naria de orden n de la familia de curvas planas dada por la ecuación í(x,y,c^,C2 ,c^) = O

haremos énfasis en un resultado básico del álgebra. Sea un sistema lineal de n ecuaciones con n-1 incógnitas x ,x ,,..

,,,..,X, dadas por

> a..X. = b.

j = l

i = 1,2,3...... • » n

donde las a.. y las b. son constantes o cantidades que son indepav ij " 1 ^

dientes de las n-1 incógnitas,entonces,si n ecuaciones lineales con

n-1 incógnitas tiene solución es porque

Mi

'21

"ni

M2 '"13

Í22 ^2.1

"n2 n3

Mn-1

2n-1

nn-1 n

= O

Nótese que el anterior resultado no asegura que si el determinante

es cero necesariamente el sistema dado tiene una solución pues

el siguiente determinante

H 2

2

2

1

2

3

es igual a cero y sin embargo el sistema

X + • 2y = 1

X + 2y = 2

X + 2y = 3

no tiene solución.

Aplicando este resultado al ejemplo 1,2,6, tenemos

y -c.sen x - CpX = O

y' -c.cos X - c^ = 0 -c.cos X - c

y"* c seB X + O.C = O que es un sistema lineal formado por tres ecuaciones y dos incógnitas (c-,Cp)

entonces,si este sistema tiene solución es porque

y - s e n x - x

- 1

O

y - c o s X

sen X

= O

luego

y sen x - y ' x s e n x + y " (sen x - xcos x ) = O

que es e q u i v a l e n t e a l a ya ob t en ida pues b a s t a d i v i d i r l a por sen x pa ra ob tene r

y " ( 1 - xc tg X ) - y ' x + y = O

Veamos ahora como podemos resolver algunas E,D,

Ej,1,2,7.- Hesolver la siguiente E.D, ( y')^ - y^ = 1

Observamos que la E.D, dada es de primer orden y grado dos por tanto

despejaremos la primera derivada de la siguiente manera

( y')2 = 1 * y^

+ /, 2x1/2 v' = -(1 + y ) ' ob re nOiOi

De esta expresión dos soluciones que satisfacen la misma E.D. luego

entonces

dy + dx

( 1 y^)^/^

dy

( 1 + y2)l/2

í Mx

15 la primera integral la resolvemos por medio de la sustitución trigo­

nométrica y = tg z obteniendo

( 1 f ' ' 2 1/2 =Ln|(l .y2)^/2.yl

por lo que

o sea

Ln\( 1 + y^)^/^ + y| = - ( X - A )

+ ( X - A ) y . ( 1 y^)^/^ = e

es su solución general,

Al comenzar" este curso,decíamos que las E,D, tienen aplicación en problemas

prácticos,veamos uno de ellos,

Ej,l,2,8,- Una partícula se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad v

y la resistencia del aire produce un retardo kv siendo v la veloci­

dad de la partícula en el tiempo t.Hállese la altura máxima que al­

canza la partícula y el tiempo que tarda en alcanzarla.

Como la partícula va hacia arriba,la gravedad y

la resistencia del aire contrarrestan el movimia*-

to y por tanto el retardo total de la partícula

está dado por

g + kv

Sea s el espacio recorrido por el cuerpo cuando

alcanza la velocidad v entonces,la aceleración

del cuerpo en ese instante será dv _ / dt ~ " + kv )

entonces

y por tanto

- í — ^ — = h y g + kv y

- ¿ Ln •] g + kv I + A = t

Según los datos del problema cuando t = 0,v = v esto Implica que

¿Ln U kv I o'

de donde se deduce que

t = - f Ln I g + kv I + i Ln I g + k vJ = J: Ln k k k

g + kvo

g + kv

16

Sabemos que la velocidad es cero cuando la partícula alcanza la alta­

ra máxima,entonces 1 , I S + kv I

t . = ,— Ln máx k

ahora,como 1 ' S t = ¿Ln + kv I

entonces g + kv ^ . = e

luego

g + kv

+ kv = ( g + kv )e~

- ' k ® k

pero ds ^ = dt

así que ^^ _ C g + kv. . -kt

integrando obtenemos

[ S ^ i ^ )e- * - f] dt

3 _( ^J_kv^)e-i^t . £ t + B

k^ ^

y como t=o entonces s = O,tenemos

B _ fi + k VQ k^

por lo que

s=( -í-^)( 1 - e- *) - f t k

pero s * se obtiene cuanto t es máximo,por lo tanto

= C^^)(l-jfl^;-^Ln|^^|

- ^ 2 - 1 ^ ^ 1

máx ..

_ Xa

\ 17

Supongamos ahora que tenemos una E.D, de orden n,para ello escogemos la más

sencilla ,n

dx

y busquemos su solución general,entonces

d ^ = d ^ ( d 2. X , n dx , n-1 dx dx

por tanto ,n-1 d ( -—f ) = f(x)dx

integrando encontramos d = yf(x)dx + A dx"-'

n-1 r

—f = k donde /f(x)dx es una expresión dada en términos de x sin término independien—

te,pero

, n-1 - dx *" - n-2 '' - '^^^^ ^ dx ax

entonces al integrar obtenemos otra constante que llamaremos B,luego

: í[ íf(x)dxl dx + IA ¿ ^ - | = II If(x)dx| dx + lAdx + B

Si proseguimos en esta forma,obtendremos n constantes.

De lo anterior podemos concluir que bajo ciertas condiciones una E,D. de orden

n tiene en su solución general n constantes arbitrarias y que ésta solución ga*-

neral es única,cualquier otra solución es un caso particular de la obtenida.En

otras palabras,la solución general de una, E.D. tiene tantas constantes arbitra­

rias como indique el orden de la ecuación.Una solución cualquiera de dicha e-

cuación que no posea dichas constantes arbitrarias o que contenga un número me­

nor es llamada una solución particular.

18

EJERCICIOS 1 .2 .

Demostrar que l a s s i g u i e n t e s r e l a c i o n e s son s o l u c i o n e s de l a s E.D. e s c r i t a s a l

f r e n t e .

1

2

3

h 5

6)

7

8

9

10

11

12

13

Ln(y) = c^e + c^e~^-^r^ -

y = e sen(bx)

y = sen( x - c )

y = cx + f ( c )

(x - c^)2* (y - C2)^ = a^

X X

u = e xcos(y) - e y sen(y)

u = e^^ "^ ' 'cos(2xy)

u = tg-^ ( I ) u = L n ( x 2 . y 2 ) l / 2

m u = ] ^ c cos(nx) senh(ny)

n=l . 2 . 2 ^ 2 v l / 2 u = ( x + y + z )

y y " - ( y ' ) ^ = y^Ln(y)

y " - 2ay'+ ( a^ + b^)y = O

y"+ k[l - y2- (y')2]y'+ y =

y = xy ' + f ( y ' )

a|y"l = Ij + (y')2]^/2

u = sen(mx) cos(ny) e

sen( X + a t )

2 v l / 2 -(m + n )

+ Ln ( X - a t )

O

sen( X + a t ) . - / , 4. \ . y = e + Ln( x + a t ) + ¿ 1 :.a}-£l

cos ( X - a t ) + senh ( x - a t )

De l o s e j e r c i c i o s I 3 ) y 14) puede c o n c l u i r s e que

Y ( x , t ) = F(x + a t ) + G( X - a t ) es so luc ión de

* 15) y = 6 sen (2x -3 t ) + 8sen(ifX-6t) + 2sen(2x+3t)

16) u = r ^ s e n ( 3 e )

Se puede generalizar diciendo que u =

I; 17)

n= V

c r sen(n9) n e s so luc ión de

= e " ^ ^ ^ cosClTx)

Se puede g e n e r a l i z a r d ic iendo que

f\sO cos(nTrx) es sol de

c ,

'9 ,

Se puede generalizar diciendo que ^ >2_2.

n=l es solución de

c^e"^^"^/^^ TT * sen[(n-l/2)Trx"]

es solución ae , \-xX* \ i -n l

19) P = A sen(ir|) sen(TT^) cosíirc(a"^+b"^) /^tj "f?^ ' L > '- ^^/U''

Se puede generalizar diciendo que r s

P = r* » .

,A

21 ZI c^sen(Tr^)sen(rf^) eos rjrc(a-WáTVjV]

es solución de "

Encontrar una E,D,0, que tenga dentro de sus solucioneá a laS siguientes expre­

siones

20) ay^ = bx^ + cx + d . ^

21) r = b - acos(z)

22) y(c - tg(x)) = ctg(x)+ 1

23) y = c.sen(ax) + c cos(ax) X 2x —X

Zk) y = a + be + ce + de

25) a-^(x-h)^ + b-^(y-h)^ = 1

Resolver las siguientes E.D.

26) y' = X ( 1 + X )" ^ / ^ y(o) = O

27) y' = 1 + y~^ y(l) = O

28) (y')^ = 1 - x^ y(o) = 1

29) (y')^= 2xy' + 1 y(o) = O

Sugerencia:Utilizar la fórmula de la ecuación cuadrática,

30) Si se tiene g = i,( _ ) ( _ )

donde k,a,b,son constantes y a es diferente de b,demuéstrese que

X = ab L be'''-^»)" - a i

sabiendo que x(o) = O

EJERCICIOS 1.1

1) E,D,0 . Orden 1 Grado 1

2) E.D.O. " 1 " 1

3) E.D.O. " 3 " 2

4) E.D.O. " 2 " 9

5) E.D.O, " 1 " 1

6) E,D,0, " 2 " no def in ido

7) E,D.O, " k " 1

8) E.D,0, " 2 " 2

9) E,D.O. " 2 " no def in ido

10) E.D.P. " 2 " 2

11) E.D.P. " 2 " 2

12) E.D.O. " 3 " 5

13) E.D.O. " 1 " ¿f

U ) E.D.O. " 2 " if

15) E.D.O. " 2 " 6

16) E.D.O. " 2 •' 10

17) E.D,0. " 2 " 3

18) E,D,0, " k " 2

19) E,D,0, " h " 2

20) E,D,0, " 2 " 1 2

EJERCICIOS 1.2.

20) y y ' " + 3 y ' y " = O

i - ^°^^^^ dQ 21) sen(©) ^ - cos(9) ^ = O d9'

22) y ' - ( 1 + y^) = O

23) y " + a^y = o

2íf) y " " - 2 y ' " - y " + 2y ' = O

25) (x-y)(y')^(y"')^ - [3(x-y)y'(y")^ + 3(y')^y" - 3(y')^y"j y ' "

+ 9 ( y ' ) ^ ( y " ) ^ = o

26) 3y = 4 - 2 ( 2 - x ) ( l + x ) ^ / ^

27) y = t g (y - X + 1 )

28) 4 ( y - l ) ^ =[^x( l - x^ ) ^ / ^ + s e n " \ x ) J ^

29 ) (2y-x2)2 = f x i ] + x ^ ) ^ / ^ + Ln j x + ( 1 + x^ )'2. I

y y