capítulo i completo.circuitos 2

Catedra: Circuitos Elctricos II

Profesor: Diego Anbal Arias Cazco Carrera de Ingeniera Elctrica

Universidad Politcnica Salesiana

Tema: Fasores y Corriente Alterna

Periodo 46 Quito, 30/4/15

Introduccin

30/4/15 Universidad Politcnica Salesiana Prof. Diego Arias

2 Analisis Senoidal Valores eficaces

Fasores Elementos Pasivos de un circuito

Impedancia Admitancia

Circuitos RLC

Leyes de kirchhoff -fasores

Un circuito elctrico o red elctrica es un conjunto de elementos combinados de tal forma que existe la posibilidad que se origine la corriente elctrica. Existen elementos denominados activos que son las fuentes o generadores que suministran la energa elctrica. Los elementos pasivos disipan o almacenan la energa elctrica.

Circuito Serie Paralelo, mixto con Z

!!!CIRCUITO!ELCTRICO!EXCITACIN!!FUENTES! RESPPUESTA!!TENSIONES!Y!CORRIENTES!!

El objetivo del anlisis de redes es calcular las respuestas conociendo las la exitacin y la topologa del circuito elctrico. El objetivo de la sntesis de redes es determinar los componentes de un circuito elctrico cuando se conoce la excitacin y la respuesta del mismo. Para esto es necesario representar un sistema fsico por un modelo elctrico equivalente. Si la funcin de excitacin es sinusoidal se obtiene circuitos excitados con corriente alterna sinusoidal C.A. que es es de mucha importacin, debido a que es la base para la generacin, transporte y distribucin de la energa elctrica.

Introduccin





Circuitos RLC


La representacin matemtica del comportamiento de un circuito hace uso de ecuaciones diferenciales q comprende dos partes. Solucin del Sistema homogneo: denominada respuesta natural o propia del circuito y

que es independiente del tipo de excitacin. Solucin particular de la ecuacin diferencial: que se denomina respuesta forzada que

depende del tipo de excitacin. Los circuitos pasivos que contiene resistencias, la respuesta natural debe ser necesariamente amortiguada, y viene caracterizada por en trminos exponenciales decrecientes. Mientras la respuesta no sea despreciable se dice que el circuito funciona en rgimen transitorio y cuando al cabo de un tiempo la respuesta tiende a cero, se dice que funciona en rgimen permanente. El origen de todos los fenmenos elctricos es la existencia de la carga elctrica q(t) y el movimiento de la misma.


Introduccin





Circuitos RLC


Ondas Unidireccionales: Tiene una nica polaridad. Ejemplo es la onda de corriente continua de magnitud constante que se tiene en la figura.

Ondas Bidireccionales o de Corriente Alterna: Son ondas en las cuales su magnitud

toma valores negativos y positivos. Su polaridad va cambiando en el tiempo. En la figura se muestra la onda y=y(t).

Ondas no peridicas: son aquellas ondas que no tienen ciclos de repeticin. Tambin se les conoce como ondas arbitrarias.


Introduccin





Circuitos RLC


Ondas peridicas: Son las que se repiten a intervalos iguales de tiempo y en el mismo orden.

Periodo: Es el tiempo necesario para repetirse el ciclo y se representa por T. Su unidad es el tiempo (segundos). Frecuencia: Es el inverso del periodo. Su unidad en Hercios (Hertz) (HZ).


! = 1!!

Anlisis Senoidal





Circuitos RLC


Una seal senoidal o sinusoidal a(t), tensin v(t), o corriente i(t), se puede expresar matemticamente segn sus parmetros caractersticos mostrados en la figura, como una funcin del tiempo por medio de la siguiente ecuacin:


A0: es la amplitud en voltios o amperios (tambin llamado valor mximo o de pico), : a pulsacin en radianes/segundo, t: el tiempo en segundos, y : el ngulo de fase inicial en radianes.

Valores Medios y Eficaz





Circuitos RLC



Valor instantneo (a(t)): Es el que toma la ordenada en un instante t, determinado. Valor Medio: Es el promedio integral de un periodo T. Es decir, el valor medio en un ciclo. Su expresin matemtica es: Es valor del rea que forma con el eje de abscisas dividido por su perodo. El valor medio se puede interpretar como el componente de continua de la oscilacin sinusoidal. El rea se considera positiva si est por encima del eje de abscisas y negativa si est por debajo. Como en una seal sinusoidal el semiciclo positivo es idntico al negativo, su valor medio es nulo. Valor eficaz (A): El valor eficaz se define como el valor de una corriente (o tensin) continua que produce los mismos efectos calricos que su equivalente de alterna. Es decir que para determinada corriente alterna, su valor eficaz (Ief) ser la corriente continua que produzca la misma disipacin de potencia (P) en una resistencia(R). Matemticamente, el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como la raz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantneos alcanzados durante un perodo:

Valor Eficaz





Circuitos RLC



Es el valor cuadrtico medio conocido tambin por las iniciales, RMS (en ingles, Root Mean Square) y que significa el valor medio del cuadrado de la funcin en un periodo T. Su expresin es:

En el caso de las ondas que representan corrientes, estos valores tienen un significado importante. El valor medio indica el valor constante Imed de una corriente continua que produce la misma cantidad de electricidad en el periodo T que la onda peridica. Mientras que, el valor eficaz indica el valor constante I de una corriente continua que produce la misma cantidad de calor en el periodo T que la corriente peridica, al circular por una resistencia R.

Anlisis Fasorial


9 Analisis Senoidal Valores eficaces Fasores

Elementos Pasivos de un circuito


Circuitos RLC



Una funcin sinusoidal puede ser representada por un nmero complejo cuyo argumento crece linealmente con el tiempo, al que se denomina fasor o representacin de Fresnel, que tendr las siguientes caractersticas: Girar con una velocidad angular . Su mdulo ser el valor mximo o el eficaz, segn convenga.

Al fasor simplifica el anlisis. Matemticamente, un fasor puede ser definido fcilmente por un nmero complejo, por lo que puede emplearse la teora de clculo de estos nmeros para el anlisis de sistemas de corriente alterna.

Anlisis Fasorial





Circuitos RLC



El comportamiento de una onda en el dominio del tiempo es un fasor o un vector giratorio en el dominio de la frecuencia, es plasmado en un plano complejo o diagrama fasorial, un eje real y uno imaginario, los fasores utilizados para el diagrama son vectores giratorios a una velocidad angular. Los componentes de un fasor son:

Magnitud, la cual hace referencia a la amplitud de la seal Proyeccin, la cual se refiere al valor tomado en el eje Y en cada instante de tiempo. Velocidad angular, esta indica que tan rpido hace un giro de 360 grados.

Anlisis Fasorial





Circuitos RLC



Ejemplo:

Las cantidades complejas suelen escribirse en forma polar, en vez de exponencial, como por ejemplo:

Voltajes: Corriente:

Esta representacin compleja abreviada recibe el nombre de fasor:

Dominio del Tiempo a Dominio de la Fecuencia





Circuitos RLC



Transformacin del Dominio del Tiempo a Dominio de la Fecuencia





Circuitos RLC



Vector giratorio y sus proyecciones: horizontal (coseno) y vertical(seno)





Circuitos RLC



La parte interna del parntesis representa la posicin del vector en t=0. Mientras el termino ejwt cuyo modulo es 1 indica el movimiento del vector. Este termino hace que gire el vector. Se denomina fasor a:

Representacin Fasorial del Voltaje y la Corriente





Circuitos RLC



La idea de utilizar vectores giratorios para representar seales sinusuoidales debido a que permite ver con sencillez el desfase entre diferentes magnitudes sinusuoidales e interpretar geometricamente las operaciones efectuadas sobre las magnitudes que representan. Por ejemplo considere los siguientes valores instantneos de tensin y corriente:

Corresponde a los valores fasoriales:

En la Figura a se representa con valores eficaces. Ambos fasores giran a ala misma velocidad angular . Siempre tendrn la misma posicin relativa. El desfase de los fasores es: =u-i, lo que indica q la tensin se adelanta a la corriente. En la figura b se desplaza a una posicin relativa con tiempo de inicio diferente.

Ejercicio





Circuitos RLC



Calcular la suma de las tensiones instantneas: Utilizando fasores equivalentes mximos. Representar: a) Diagrama fasorial b) Diagrama en el tiempo

Elementos Pasivos de un Circuito





Circuitos RLC



Son aquellos componentes de los circuitos que disipan o almacenan energa elctrica y constituyen por ello los receptores o cargas de una red. Estos elementos son modelos matemticos lineales e ideales de los elementos fsicos. Disponen las siguientes caractersticas: a) Disipacin de la Energa elctrica (R: resistencia) b) Almacenamiento de energa en campo magntico (L: Coeficiente de auto induccin. ). c) Almacenamiento de energa en el campo en campo elctricos. (C: Capacidad) Los trminos:

Resistencia o resistor = Caracteriza a R pura Bobina o Inductor= Caracteriza a una Inductancia L Condensador= Caracteriza a una Capacidad C

Los Elmentos R,LC se suponen ideales, lo que quiere decir que sus propiedades son nicas. Adicional, las relaciones entre tensin y corriente son lineales (ecuaciones diferenciales lineales). El sentido de la corriente no modifica la respuesta del elemento. El termino pasivo significa que los elementos no contienen generadores y en consecuencia no puede aparecer tensiones o corrientes en sus terminales si no se aplica una fuente externa.

Resistencia





Circuitos RLC



Resistencia es el elemento pasivo que disipa energa. Su unidad es ohmios (). Existe variedad de resistencias: carbn, hilos bobinados, liquidas, etc. Hay especiales: resistencias variables con la tensin (VDR), variables con la luz (fotoresistores), Resistencias que disminuyen con la temperatura (termistores),. Resistencias variables en baja tensin se les conoce como potencimetros. En el caso de resistencias bobinadas hay que considerar aparte del efecto R, el efecto de induccin. Esto ser importante cuanto sea la frecuencia de la corriente. Circuito equivalente de una resistencia real. Aparte de especificar el valor resistencia, es necesario especificar la mxima potencia que es capaz de transformar en calor por efecto joule sin calentarse, o tambin indicar la mxima corriente admisible. En electrnica se utiliza un cdigo de colores.

Resistencia





Circuitos RLC



Ejemplo:

Resistencia





Circuitos RLC



El valor para cobre recocido a 20C es: 1,7241*10-8 .m. La resistencia varia con la temperatura de acuerdo a lo siguiente:

R2 es la resistencia a la temperatura T2, R1 es la resistencia a la temperatura T1, es el coeficiente con el cual la resistencia varia su temperatura, para el cobre 3,93*10-3. De acuerdo a la LEY de OHM: Esta ecuacin es valida solo para polaridades en el cual la corriente entra por el terminal de mayor potencial hacia el terminal de menor potencial. Se tiene un consumo de potencia igual a: Esta expresin representa la potencia disipada por efecto joule. El inverso de la resistencia se denomina conductancia y se designa con la letra G, es decir: G=1/R. Su unidad es Siemens(S). En EEUU esta unidad es mho.

Resistencia





Circuitos RLC



Bobina Inductancia





Circuitos RLC



Es el elemento del circuito capaz de almacenar energa magntica. Las bobinas se construyen enrollando un conductor alrededor de un ncleo, que puede ser o no de material ferromagntico. Cuando Fluye una corriente por la bobina se establecen lneas de campo magntico (induccin B) y el nmero total de estas lneas que atraviesan la seccin del ncleo, se denomina flujo magntico y se representa por (t), su unidad es Webers.

Bobina Inductancia





Circuitos RLC



La bobina alimentada con corriente continua (CC) acta como si fuese un cortocircuito.

Asociado al valor de la inductancia L, la bobina tambin presenta una resistencia debido a que esta formada por un conductor enrollado sobre un ncleo, incluiso a una determinada frecuencia puede aparecer un efecto de capacidad entre espiras. En la siguiente figura se representa una bobina en el dominio del tiempo. La relacin aplicada entre el voltaje aplicado u(t) y la corriente i(t) es igual a:

Bobina Inductancia





Circuitos RLC



La relacin anterior en el dominio de la frecuencia (sustituyendo el operador derivada por jwt) es:

De modo que los valores instantneos u(t) e i(t) en una inductancia son:

Bobina Inductancia





Circuitos RLC



Condensador





Circuitos RLC



Es un dispositivo capaz de almacenar energa elctrica. Esta formado de dos capas paralelas de seccin S, denominadas armaduras, separadas una distancia d en las que existe un dialectico o un aislante de permiabilidad .

Al aplicar una diferencia de potencial u(t) entre las placas se produce un campo elctrico en el interior del condensador E, que provoca una separacin de las cargas q(t) que aparece en las placas, que son iguales y en sentidos opuestos. El valor de carga almacenada q(t) es proporcional al valor de tensin u(t). La constante de proporcionalidad es la capacidad del condensador y se mide en Faradios (F).

Condensador





Circuitos RLC



En la prctica un condensador suele presentar unas perdidas representada por una resistencia presentada en paralelo. Un condensador alimentado con corriente continua (estacionaria) se comporta como un circuito abierto. En la siguiente figura se muestre un condensador en el dominio del tiempo.

Condensador





Circuitos RLC



En relacin al diagrama anterior, en el dominio de la frecuencia, reemplazando el operador integral por 1/j se tiene:

La tensin es proporcional a la corriente, a travs de 1/jC= -j/C :

En el dominio del tiempo:

En fasores:

Impedancia y admitancia complejas





Circuitos RLC



En Resumen, las ecuaciones fasoriales U=f(I) de los elementos pasivos son:






Circuitos RLC



Se denomina Impedancia: A la expresin compleja Z(j), cociente que se obtiene de la relacin entre el fasor voltaje y el fasor corriente. La impedancia es un numero complejo, pero no es un fasor, ya que no corresponde a una funcin sinusoidal en el dominio del tiempo con en el caso de la tensin y corriente. La Z se medir en ohmios:

Es un nmero real Es un nmero imaginario puro con argumento en /2 Es un nmero imaginario puro con argumento en -/2

La impedancia se puede expresar en forma binmica o rectangular: La componente real es la componente resistiva, y l a parte imaginaria es la componente reactiva (o simplemente reactancia). Tanto Z, R y X se mediran en ohmios. Una inductancia presenta una reactancia positiva (X>0), y un capacitor presenta una reactancia negativa (X






Circuitos RLC



Por consiguiente, se tiene el tringulo de impedancias:

La inversa de la impedancia se denomina admitancia Y y se cumple: La parte real se denomina conductancia (G) y la parte imaginaria se denomina susceptancia (B). Y,G y B se mide en siemens y proviene del cociente entre la corriente y una tensin.






Circuitos RLC



Considerar: que el G no es el inverso de la resistencia, excepto en una resistencia pura. El B no es el inverso de la reactancia, excepto en un circuito reactivo puro (R=0). Las expresiones de las admitancias de los elementos pasivos simples:






Circuitos RLC



Circuitos RLC





Circuitos RLC



Leyes de Kirchhoff





Circuitos RLC

Leyes de kirchhoff fasores


Las ecuaciones bsicas de los circuitos se formularon a partir de dos lemas sencillos que fueron

expresados por primera vez por Gustav Kirchhoff en 1845. Primera Ley: (Conservacin de la carga elctrica). Segunda Ley: (Conservacin de la energa)

Primera Ley: Se conoce como la ley de las corrientes de Kirchhoff, y se aplica a los nodos de una red. La corriente total que entra al nodo debe ser igual a las que sale. La suma algebraica es cero.

Primer Ley de Kirchhoff





Circuitos RLC



La suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier superficie cerrada es igual a cero.

Segunda Ley de Kirchhoff





Circuitos RLC



Es conocida como la ley de las tensiones de kirchhoff. En cualquier instante la suma

algebraica de todas las tensiones a lo largo de un camino cerrado es igual acero.

Resumen: 1. Nudos 2. Mallas

Circuitos Serie





Circuitos RLC



Resistencias:

Bobina:

Condensador: Divisor de tensin:

Circuitos Paralelo





Circuitos RLC



Divisor de corriente:

Resistencias:

Condensador:

Bobina:

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