Capítulo 6.

Superposición de ondas. Paquetes de onda.

Introducción: En este capítulo profundizaremos el estudio de fenómenos asociados con la superposición de ondas, luego continuaremos en los Capítulo 9 y 10 con el estudio de interferencia y difracción de ondas, pero haciendo hincapié en ondas luminosas. Comenzaremos estudiando el fenómeno de pulsación o batido. Lo estudiaremos en el caso simple de la superposición de dos ondas armónicas con frecuencias muy parecidas. Este fenómeno aparece en muchos procesos físicos, quizás el más familiar es la pulsación que escuchamos al afinar una guitarra, cuando intentamos que las dos cuerdas suenen con la misma frecuencia (ver ejercicio 3). La característica fundamental del fenómeno de pulsación es la de transferencia de energía de un sistema a otro en forma cíclica. Supongamos que tenemos dos diapasones que resuenan en frecuencias próximas. Si inicialmente hacemos vibrar a uno de ellos, transcurrido un tiempo, veremos que el otro diapasón comienza a vibrar también, mientras que el primero disminuye su amplitud de oscilación, se ha transferido energía de uno al otro, a través del aire. Luego de un tiempo, el primer diapasón casi deja de vibrar mientras que el segundo vibra con gran amplitud. Más tarde comienza un proceso inverso, es decir, el segundo diapasón disminuye su amplitud de vibración y el primero la aumenta. Este proceso continúa cíclicamente hasta que toda la energía se disipa, es decir, la energía de vibración se transfiere de un diapasón al otro en forma cíclica, disipándose lentamente. Como siempre, aunque estudiamos los fenómenos en casos simples y casi sin importancia, en realidad estamos pensando en situaciones mucho más complejas, como por ejemplo, en fenómenos cuánticos, donde la pulsación aparece comúnmente asociada a pulsaciones de la función de onda (onda de probabilidad), entre dos estados. Un ejemplo “misterioso” de pulsaciones cuánticas se halla en la física de partículas, en donde una partícula llamada kaón representa un estado complejo de dos “partículas” (estados), que pulsan “como si existiesen un rato cada una”. Posteriormente nos abocaremos al estudio de paquetes de onda. Ya hemos comentado que las ondas armónicas no tienen realidad física, ya que se extienden infinitamente en el espacio y no tienen ni comienzo ni fin en el tiempo. Las ondas que observamos en la naturaleza, en general, ocupan una región finita del espacio, y tienen un origen en el tiempo. Sin embargo veremos que es posible modelar a una onda real (paquete de onda) por medio de una superposición infinita de ondas armónicas. Finalmente estudiaremos el efecto Doppler, fenómeno físico que nos resulta muy familiar, más aún a aquellos que vivimos cerca de la vía del tren (o en ella). Si ponemos atención a la sirena de un tren comprobaremos que escuchamos un tono distinto cuando el tren viene hacia nosotros que cuando se va. Para ser más precisos, cuando el tren se acerca a nosotros escuchamos a la sirena más aguda, mientras que cuando se aleja la escuchamos más grave. Más notable resulta este efecto

137

cuando lo que escuchamos es una propaganda emitida desde un avión. Éste fenómeno es utilizado en la medición de velocidades de automóviles (policía) y aviones en movimiento (ejército). Los ejercicios recomendados son el 8, 9, 10 y 12. 1. Guía Teórica. Pulsaciones. La interferencia de dos ondas armónicas de frecuencias diferentes pero muy próximas, produce el interesante fenómeno conocido como batido o pulsación. Consideremos dos ondas sonoras armónicas de igual amplitud A , pero con frecuencias angulares ω y ω diferentes1 2 , y veamos como se comporta la onda en un punto concreto del espacio (por ejemplo, el oído), a lo largo del tiempo. Antes, detengámonos un momento en estudiar el problema de como “sumar” las dos ondas. Supongamos que las dos ondas provienen de dos parlantes distintos que emiten en estéreo. Si sólo el parlante número 1 se halla encendido, y consideramos que emite ondas ondas, podemos modelar su función de onda por:

( )txkAtx sen),( 111 ω+=Ψ (1) donde puede representar la variación de presión o densidad del aire (viaja hacia la izquierda por comodidad).

1Ψ

Si ahora apagamos el parlante 1 y encendemos el 2 obtenemos otra onda, ( )txkAtx sen),( 222 ω+=Ψ (2).

donde, como dijimos, las frecuencias de las ondas sonoras, que emiten los parlantes, difieren entre sí (por simplicidad no tomaremos en cuenta los desfasajes iniciales). Finalmente prendemos los dos parlantes a la vez, la pregunta del millón es ¿La onda resultante, de la superposición de las perturbaciones producidas por ambos parlantes, puede modelarse por la suma de las ondas 1Ψ y 2Ψ ?, es decir, ¿la función de onda,

( ) ( )txkAtxkAtxtxtx sen sen),(),(),( 221121 ω++ω+=Ψ+Ψ=Ψ (3) describe correctamente el problema físico?. La respuesta es: no necesariamente. Resulta difícil creerlo, sobre todo teniendo en cuenta nuestra educación tradicional que nos estructura a actuar sistemáticamente, estamos acostumbrados a pensar que “si se suman dos efectos, entonces, se suman sus consecuencias”, lo cual en la mayoría de los casos es incorrecto. Ésta frase es sólo cierta si el problema que analizamos puede modelarse por una ley dinámica lineal, que en la mayoría de los casos no sirve para representar la realidad. Comentario al margen: Ejemplo con conejos: Podemos dar un ejemplo que nada tiene que ver con las ondas, el del crecimiento de poblaciones de, por ejemplo, conejos. Supongamos que en un determinado hábitat cerrado colocamos un cierto número inicial de conejos, y a partir de ese momento estudiamos como evoluciona la población. En un principio, observamos que los conejos comienzan a reproducirse casi exponencialmente. Pero vemos que, luego de transcurrido cierto tiempo, la sobrepoblación resulta tal que comienzan a escasear el espacio y los alimentos y, por ende, disminuye la capacidad reproductora de los conejos. De esta forma, la población de los conejos llega a un punto en que ya no crece, estabilizándose en un número máximo que llamamos número límite. Éste número depende fuertemente de las condiciones ambientales (espacio, alimentos, etc..).

138

¿Qué tienen que ver los conejos con la suma de las ondas?, la respuesta la podemos encontrar si pensamos en estas tres situaciones: • Primera situación: Supongamos que tenemos cuatro hábitat iguales, y en cada uno

de ellos colocamos un número de conejos igual a un cuarto del numero de conejos límite. Como todavía el número de conejos esta lejos del límite, en cada uno de los hábitat, ellos siguen divirtiéndose y reproduciéndose casi exponencialmente.

• Segunda situación: Juntamos los conejos en sólo dos hábitat (de cuatro pasamos a dos). Es decir, en cada hábitat colocamos un número de conejos igual a la mitad del número límite. Todavía el numero de conejos esta lejos del límite en cada caso, por ello, siguen reproduciéndose casi exponencialmente, y todavía vale aproximadamente la regla de tres simple, es decir, si en un hábitat ponemos el doble de conejos entonces habrá el doble de reproducciones.

• Tercera situación: Juntamos ambas poblaciones de conejos en uno solo de los hábitat. Por consiguiente, el número de conejos ha llegado al número límite, y ya no van a poder divertirse como antes. Ya no vale la regla de tres simple, es decir, si en un hábitat ponemos el doble de conejos no habrá, en este caso, el doble de reproducciones, en particular, casi no habrá reproducciones.

Podemos concluir que, el hecho de sumar los conejos no siempre se manifiesta en una suma en las reproducciones. Esto se debe a que la dinámica de poblaciones no sigue una ley lineal. Vamos a suponer que el medio donde se propaga la onda es lineal (la aproximación resulta adecuada en el caso de ondas sonoras de pequeña amplitud), o sea, la dinámica del sistema puede describirse a partir de ecuaciones lineales, como por ejemplo la ecuación lineal de ondas que hemos estudiado en el Capítulo 4. Por consiguiente, la suma de las dos ondas (ecuación 3) es la solución del problema físico. Nos interesa conocer el comportamiento de la onda en las cercanías del oído, por simplicidad supondremos que el oído se halla en la posición x = 0 , y por consiguiente,

( ) ( )Ψ Ψ Ψ( , ) ( , ) ( , ) sen senx t t t A t A= = + = +0 0 01 2 1ω t2ω (4) Supongamos que Ψ representa las variaciones de la presión del aire respecto de la presión ambiental, es decir, Ψ( , ) ( )x t p t= =0 , por consiguiente, la amplitud representa la amplitud de las oscilaciones de presión, por lo cual le cambiamos el nombre . De esta forma, reescribimos a la expresión 4 como,

A

A p= 0

[ ])sen()sen()()()( 21021 ttptptptp ω+ω=+= (5) Para analizar al fenómeno de pulsación resulta conveniente escribir la expresión anterior de otra manera, usando la identidad trigonométrica:

( ) ( )sen sen cosθ θθ θ θ θ

1 22 1 1 22

2 2+ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sen ,

verifique que es posible reformular la expresión 5 como:

p t p t t( ) cos ( ) sen ( )= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 12

120 2 1 1 2ω ω ω ω ⇒

( ) ( )p t p t t( ) cos senmod= 2 0 ω ω p (6)

139

donde hemos definido ω ω ωp = +12 1 2( ) (frecuencia promedio) y ( )ω ωmod = −

12 2 1ω

(frecuencia de modulación). Ahora analizaremos el caso concreto en que las frecuencias angulares ω1 y ω2 son diferentes pero muy próximas, y por ende ωmod es muy pequeña comparada con la frecuencia media ω , o sea, p

ω ωmod << p

En este caso tendremos que el factor ( )cos modω t varía mucho más lentamente que

, es decir, mientras que (sen ωp t ) ( )sen ωp t completa varios períodos de oscilación

varia muy levemente, en el mismo tiempo. Por consiguiente podemos pensar que la onda

(cos modω t )p t( ) está oscilando con una frecuencia ωp y que su amplitud está variando

lentamente. En la figura 1 se muestra una representación gráfica de las ondas y , y de la onda resultante . Como ejemplo, hemos elegido los valores ω

1p 2p

21 ppp += 1 = 5 , y ⇒ ω y ω 2 = 6 p0 = 1 p = 5 5, ωmod = 0 5, .

Haga los gráficos mostrados en la figura 1 con ayuda del Mathematica, el programa es: w1=5; w2=6; tmax=16; p1[t_ ]=Sin[w1 t]; p2[t_ ]=Sin[w2 t]; Plot[{p1[t],p2[t]},{t,0,tmax}, PlotRange->{-2,2},Ticks->None, PlotPoints->500,AspectRatio->.7, PlotStyle->{{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}, {RGBColor[.2,1,0],Thickness[0.001]}}] Plot[{p1[t]+p2[t],2 Cos[0.5(w2-w1) t], -2 Cos[0.5(w2-w1)t]},{t,0,tmax}, PlotRange->{-2,2},PlotPoints->50, Ticks->None, PlotPoints->500, PlotStyle->{{RGBColor[0,0,0],Thickness[0.001]}, {RGBColor[1,0,0],Thickness[0.001],Dashing[{0.03}]}, {RGBColor[1,0,0],Thickness[0.001],Dashing[{0.03}]}}]

140

De la figura, observamos que ( )cos modω t modula la amplitud de la onda. En general se habla de que la onda tiene una amplitud modulada:

p1 y p2

t

cos(ωmod t)

3ππ 5π

t

p=p1 + p2

Figura.1: Pulsación. Representación gráfica de las ondas y , y de la 1p 2p onda resultante 21 ppp +=

(A t p tmod mod( ) cos= 2 0 ω ) (7) con lo cual puede expresarse como p t( )

( )p t A t t( ) ( ) senmod= pω (8) Observe, comparando las dos figuras, que los máximos de amplitud se logran en los tramos en donde las dos ondas 1 y están momentáneamente en fase, mientras que los mínimos en los tramos en que se encuentran desfasados 18 .

p p2

0o

El oído: El oído es capaz de distinguir dos frecuencias, ω1 y ω2 , como dos tonos distintos sólo cuando éstas difieren en más de un 6% aproximadamente, es decir, en el caso en que las frecuencias difieren en más del 6% nuestro oído prefiere la expresión (5). En caso contrario, el oído, percibe un tono de frecuencia promedio ω , cuya amplitud varía en el tiempo (Pulsación o Batido) es decir, en el caso en que las frecuencias difieren en menos del 6% nuestro oído prefiere la expresión (8).

p

El oído (más el cerebro) no distingue los valores positivos de los negativos de , sólo distingue si la magnitud de es grande o pequeña. Por esa razón,

decimos que el oído actúa como un detector de ley cuadrática, es decir, es sensible al cuadrado de la amplitud de la onda. tiene dos máximos para cada ciclo de modulación, por consiguiente la frecuencia de repetición para la secuencia “fuerte,

A tmod ( ) A tmod ( )

A tmod ( )2

141

débil, fuerte, débil....” es dos veces la frecuencia de modulación. Esta repetición de valores grandes de se denomina frecuencia de pulsación: A tmod ( )2

ω ω ω ωpuls = = −2 2mod 1 (9)

Algebraicamente puede verse así: ( )A t pmod mod( ) cos20

2 24= ω t y usando la identidad

trigonométrica ( )[ ]co ⇒ s ( ) cos2 12

1 2θ θ= + ( )[ ]A t p tmod mod( ) cos20

22 1 2= + ω ⇒

( )[ ]A t p tmod ( ) cos20

22 1= + ω puls

Es decir, oscila alrededor de su valor promedio con una frecuencia que es el doble que la frecuencia de modulación.

A tmod ( )2

2. Actividad: Pulsaciones entre cuerdas de guitarra no idénticas débilmente acopladas. Consiga una guitarra. Afine las dos cuerdas más bajas a la misma frecuencia. Puntee una cuerda y observe la otra atentamente (Deben estar afinadas a la misma frecuencia, lo más exactamente posible). Ahora puntee la otra y observe. ¿Se transfiere completamente la energía de una cuerda a la otra durante el proceso de pulsaciones? ¿Puede lograrse que la energía se transfiera completamente mejorando el afinado? Describa lo que observa. ¿Cuál es la explicación?. 3. Repaso. Considere el sistema de dos masas iguales acopladas por resortes de constante elástica (resortes que ligan a las paredes) y (resorte central, de acoplamiento entre las masas), de longitud relajada a , como se muestra en la figura 2.

mk q

0

q k

b a

L

k Fig.2

Para oscilaciones longitudinales alrededor del equilibrio: a) Halle las ecuaciones de movimiento (ecuaciones de Newton), para las masas m y

. Resp.

a

mb

( )( )

m k q

m q k

t t t t

t t t t

a a b a

b b a

&& ( ) ( ) ( ) ( )

&& ( ) ( ) ( ) ( )

Ψ Ψ Ψ Ψ

Ψ Ψ Ψ Ψ

= − + −

= − − −

b

b) Encuentre las coordenadas normales de oscilación. Haga un esquema de la forma en que oscila cada modo (configuración del modo). Ayuda: debe hacer el cambio de variables adecuado para desacoplar las ecuaciones diferenciales (Ψ y Ψ ). 1 2

Resp. ( )111ba1 cos )()()( δ+ω=Ψ+Ψ=Ψ tAttt y ( )222ba2 cos )()()( δ+ω=Ψ−Ψ=Ψ tAttt c) Halle las frecuencias de los modos normales de oscilación. (ω1 y ω2 ).

Resp. ω y 12 =

km

ω22 2=

+k qm

d) Halle la solución general de las ecuaciones de movimiento para cada masa (Ψ y Ψa b).

Resp. ( ) ( )Ψ Ψ Ψa 1 2 ( ) ( ) ( ) cos cost t tA

tA

t= + = + + +11 1

22 22 2

ω δ ω δ

( ) ( )Ψ Ψ Ψb 1 2 ( ) ( ) ( ) cos cost t tA

tA

t= − = + − +11 1

22 22 2

ω δ ω δ

142

e) Suponga que inicialmente desplaza la masa “a” una distancia 2 hacia la derecha y la suelta (velocidad inicial cero), mientras que la masa “b” permanece en reposo, es decir, Ψ , Ψ

A

( )0 0= , & ( )Ψa 0 0= y & ( )Ψb 0 0= . ( )0 2= Aa b

Halle las amplitudes y las fases adecuadas en la solución de Ψ ( )t y Ψ ( )t . a b

Ayuda: Como las velocidades iniciales de ambas masas valen cero entonces las fases y δ valen cero, halle δ1 2 A1 y . A2

Resp. ( ) ( )Ψa ( ) cos cost A t A t= +ω1 ω2 y ( ) (Ψb ( ) cos cost A t A t= −ω ω1 2 ) f) Pulsaciones: Ahora vamos a estudiar las pulsaciones que se producen en éste

sistema. Definimos una frecuencia angular promedio:

ω ω ωp = + = ++⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

12

12

21 2( ) K

MK q

M

y una frecuencia angular de modulación:

ω ω ωmod = − =+

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

12

12

22 1( ) K q

MKM

,

a partir de ellas, vuelva a escribir las soluciones de las ecuaciones de movimiento pero ahora en función de ω y p ωmod , muestre que las soluciones para cada masa tienen la siguiente forma,

donde Ψa mod ( ) ( ) cos( )t A t t= pω A t A tmod mod ( ) cos( )= 2 ω donde B tΨb mod ( ) ( ) sen( )t B t t= pω A tmod mod ( ) sen( )= 2 ω Podemos imaginar las ecuaciones anteriores como las representaciones de una

oscilación a la frecuencia ωp con amplitudes o BA tmod ( ) tmod ( ) que no son constantes y varían con el tiempo (ver guía teórica 1). Observe que y B t están desfasados 90 , con lo cual, cuando una masa oscila con gran amplitud la otra lo hace con pequeña amplitud.

A tmod ( ) mod ( )o

Ayuda, usar la relación trigonométrica: cos( ) cos( ) cos( ) sen( ) sen( )a b a b a b± = m g) Supongamos que las dos masas están débilmente acopladas entre sí, es decir, la

constante de acoplamiento del resorte central es mucho más pequeña que la de los resortes que las unen a las paredes, es decir q k<< . Verifique que para q k<< (a primer orden en el desarrollo de Taylor) se cumple:

ω 22 1=

+≈ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

K qM

KM

qK

,

de esta forma, para q k<< , se cumple que ω ω1 2≈ (se dice que las frecuencias está casi degeneradas).

h) Usando lo anterior, verifique que:

ω p ≈ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

KM

qK

12

y ωmod ≈qK2

⇒ ω ωmod p<< para q<<K.

En un caso así, las amplitudes y A tmod ( ) B tmod ( ) varían muy poco durante la mayor parte de lo que llamamos oscilaciones rápidas del cos( )ωp t . Las oscilaciones con estas características se las conoce como oscilaciones cuasiarmónicas (Pulsaciones).

i) Dibuje cualitativamente, en un mismo gráfico, como varían Ψa ( )t y Ψb ( )t en función del tiempo.

j) Halle la energía cinética correspondientes a las dos masas. k) Halle la energía potencial correspondientes a las dos masas. l) Halle la energía total de cada masa y E ta ( ) E tb ( ).

143

m) Ahora queremos analizar como se transfiere energía de una masa a la otra. Siguiendo con la aproximación de acoplamiento débil entre las dos masas desprecie la energía potencial almacenada en el resorte central, y calcule el promedio de las energías

y EE ta ( ) tb ( ) sobre un ciclo rápido. Ayuda: El promedio sobre un ciclo rápido se obtiene haciendo la aproximación de

que y se mantienen constantes (aproximadamente) durante un ciclo

rápido

A tmod ( ) B tmod ( )

τπ

ω=

2

p e integrando dttEE )( 1

0 ∫τ

τ>=< .

Resp. Las energías promediadas sobre un ciclo rápido son: E mAa p = 2 2 2 2ω ωcos ( )tmod y E mAb p = 2 2 2 2ω ωsen ( )tmod

p

, Se puede verificar que las energías cinéticas promedios (sobre un ciclo rápido), de

las masas “a” y “b”, son exactamente la mitad de las energías totales halladas). Note que la energía fluye de una masa a la otra. n) Otra forma de ver que la energía fluye de un lado al otro es definiendo la energía

total, y usando

(verifique), resulta fácil despejar, E E t E t MA= +a b

2=( ) ( ) 2 ω ( )E t E t E ta b = )( ) ( ) cos (− −ω ω2 1

([ ]E t E ta =12

) ( ) cos (1 2 1+ −ω ω ) y ( )[ ]E t E tb =12

) ( ) cos (1 2 1− −ω ω

o) Halle la frecuencia con que fluye la energía de un lado a otro (frecuencia de pulsación). Resp. ω ω ωpulsacion = −2 1 ,

4. Guía teórica: Transmisión de ondas de radio AM. El sistema oído-cerebro humano puede detectar sonidos de frecuencias en el rango de a . Si se intentara transmitir ondas de radio (electromagnéticas) cuya variación estuviera gobernada directamente por las frecuencias sonoras, tendríamos un sistema con mucho ruido. Una fuente grande de ruido sería la corriente alterna domiciliaria de , que produciría un sonido grave permanente.

Hz20 kHz20

Hz50

Para solucionar este problema se han ideado diferentes formas de transmitir información, las más comunes son las transmisiones de amplitud modulada (AM) y de frecuencia modulada (FM). Onda AM: Se parte de una onda armónica de frecuencia fija, propia de cada radio, llamada onda portadora, que en el caso de las radios AM toma valores entre a

. La onda portadora no lleva información, consiste simplemente en una onda armónica (idealización) de frecuencia

Hz500Hz1600

pω . La manera en que se logra transmitir la información sonora es variando la amplitud de la onda portadora al son de la música (modulando). En la figura 3, ha modo de ejemplo, hemos representado una onda portadora de frecuencia modulada por una onda armónica (sonido puro de un diapasón) .

kHzp 100=ω

kHzm 10=ω

144

Amplitud

t

A partir del gráfico de la figura 3, vemos que la onda resultante, en una dada posición

del espacio, puede representarse como (verifique), 0=x

Onda modulante. Onda portadora

Figura.3: Onda de Amplitud Modulada (AM)

( )[ ] ( )ttaAt pm ωω+=Ψ cos cos 1 )( (1) A partir de la expresión anterior y del gráfico, podemos reescribir a la onda como,

( )Ψ( ) ( ) cost A t t= mod pω (2) donde hemos definido,

( )[ ]A t A a tmod m( ) cos= +1 ω (3) y de esta forma, enfatizamos el hecho de que la onda oscila esencialmente con frecuencia , pero con una amplitud que varía lentamente en el tiempo (al son de la música).

pω

Luego, esta onda es detectada por el radio receptor, sintonizado a la frecuencia portadora. Un sistema de filtrado permite eliminar la onda portadora, recuperando la onda sonora de frecuencia . mω Banda de transmisión de la onda AM: La expresión 1 puede escribirse también como,

( ) ( ) ( )ttaAtAt pmp ωω+ω=Ψ coscos cos )( (4) usando la identidad trigonométrica,

( ) ( ) ( ) ([ ]β−α+β+α=βα coscos21coscos )

reescribimos 4 como,

( ) [ ]( ) [ ]( )taAtaAtAt mpmpp cos 21 cos

21cos )( ω+ω+ω−ω+ω=Ψ (5)

En esta última expresión, se observa que la onda modulada puede expresarse como suma de tres ondas armónicas de frecuencias,

ω ωp − m, ωp y ω ωp m+ La frecuencia central es la de la onda portadora ωp , mientras que a los costados aparecen dos frecuencias nuevas ω ωp m− y ω ωp m+ . En el caso general en que se transmite un sonido más complejo que el de un diapasón, podemos concluir, que la información de la onda AM se halla contenida sobre un ancho de frecuencias, centrada en la frecuencia de la portadora. El ancho de la banda de frecuencias está determinada por la máxima frecuencia sonora transmitida, si suponemos que esta es aproximadamente 20 , entonces la onda modulada tiene frecuencias que están en el rango de,

kHz

ω ω ωp p p− < < +20 20kHz kHz

145

y el ancho de banda resulta ser, ∆ω= 40kHz

Debido a esto, las frecuencias portadoras, correspondientes a las diferentes radioemisoras, deberían estar separadas entre sí por lo menos en ∆ω= 40kHz para que no se mezclen. Ondas FM. En la onda AM, la información se halla en la amplitud de la onda, por esta razón, variaciones de esta amplitud debido a otros fenómenos ajenos a la radio (ruido), determinan una disminución de la calidad del sonido. Por ello, se ha ideado otro método de transmisión de información que consiste en modular la frecuencia de la onda portadora (al son de la música), en lugar de modular la amplitud. La amplitud se mantiene constante. El radio receptor, recupera la información transformando estas variaciones de frecuencia en variaciones de amplitud recuperando la onda modulante. Con este sistema se logra disminuir enormemente el ruido, ya que no hay información guardada en la amplitud, y el ruido puede filtrarse (electrónicamente) en forma mucho más eficiente. La frecuencias de radio FM se hallan entre los 80 MHz a 110MHz , aproximadamente. Este rango de frecuencias se halla dentro del rango de absorción, de ondas electromagnéticas, de la ionosfera, por esta razón las radios FM sólo pueden escucharse a distancias cortas de la radioemisora, ya que no se puede usar las reflexiones de la onda en la ionosfera para abarcar distancias mayores. 5. Guía Teórica. Velocidad de Modulación y de Grupo. Superposición de dos ondas armónicas de propagación. Examinemos dos ondas de frecuencias ω1 y ω2, irradiadas por un mismo transmisor, por simplicidad de igual amplitud:

( )Ψ1 1( , ) senx t A k x t= − 1ω y ( )Ψ2 2( , ) senx t A k x t= − 2ω (1) La onda resultante (si las ecuaciones dinámicas son lineales) es la suma de las dos funciones de onda:

( ) ( )Ψ Ψ Ψ( , ) ( , ) ( , ) sen senx t x t x t A k x t A k x t= + = − + −1 2 1 1 2ω ω2 Podemos seguir los mismos pasos dados en la guía teórica 1, cuando estudiamos pulsaciones, y reescribir a la función de onda como una onda de propagación casi sinusoidal modulada en amplitud (cuasiarmónica):

( ) ( )Ψ Ψ Ψ( , ) ( , ) ( , ) , senmodx t x t x t A x t k x t= + = −1 2 p pω (2) donde hemos definido (verificar):

( )A x t A k x tmod ( , ) cos= −2 mod modω (3)

ω ω ωp = +12 1 2( ) , k k kp = +

12 1 2( ) (4)

( )ω ωmod = −12 2 1ω ( )k kmod = −

12 2 1k (5)

Note la diferencia con el ejercicio 2, antes la pulsación la analizamos en un determinado punto del espacio (el oído), ahora vemos que la pulsación se propaga.

146

Velocidad de modulación. Ahora nos preguntamos algo muy importante, ¿a qué velocidad se propaga la modulación?, o sea, ¿a qué velocidad se propaga la información?. Supongamos que ω ωmod << p. Entonces la salida del transmisor, en x = 0 , tiene la forma de oscilación modulada en amplitud que se muestra en la figura 1 de la guía teórica 1. Ahora queremos analizar la velocidad con que se propaga, por ejemplo, la cresta de la onda modulante , que se obtiene cuando A x tmod ( , ) = 2 A ( )cos k x tmod mod − =ω 1 . El coseno vale 1 cuando su argumento cumple,

k x tmod mod − =ω 0 ∀t (6) De esta forma, si transcurre un tiempo dt debemos desplazarnos una distancia dx adecuada para reencontrar la cresta de la onda, de tal forma que siga anulándose el argumento del coseno, es decir,

( ) ( )k x dx t dtmod mod ++ − =ω 0 (7) usando 6 y 7 (restando 7 menos 6) vemos que debe cumplirse,

k dx dtmod mod − =ω 0 (8) Por lo cual, concluimos que la cresta se propaga con la velocidad de modulación:

vdxdt k k k kmod

mod

mod

= = =−

−=

ω ω ω2 1

2 1

∆ω

∆ (9)

La velocidad con que se propaga la modulación (o la información) no necesariamente va a concordar con la velocidad de fase o velocidad de propagación de la onda armónica. En el caso particular de un medio lineal donde la relación entre f y λ (relación de dispersión) viene dada por vf =λ (o lo que es lo mismo, ), donde v es la velocidad de fase, y no depende de la longitud de onda, entonces se cumple que la velocidad de modulación concuerda con la velocidad de fase, es decir,

kv =ω

vk k

v k v kk k

vmod

=−−

=−−

=ω ω2 1

2 1

2 1

2 1 (10)

En los medios dispersivos, es decir, aquellos medios en donde la velocidad de propagación, o de fase, depende de su longitud de onda,

f v λ λ= ( ) , (11) cada onda armónica se propaga con una velocidad de fase distinta, la velocidad con que se propaga la modulación no concuerda con la de fase, y por esta razón, en medios dispersivos, la onda se irá deformado a medida que avanza. Velocidad de grupo. En la mayoría de los casos interesantes ω1 y ω2 difieren muy poco entre sí. En el límite en que esa diferencia resulta infinitesimal, vemos en la expresión 9, que el cociente de las frecuencias y los números de onda tiende a,

vk

ddkkmod = ⎯ →⎯⎯→

∆ω

∆ ∆ 0

ω (12)

En este límite, la velocidad de modulación recibe el nombre de velocidad de grupo,

v ddkgrupo =ω

(13)

La información se propaga a la velocidad de grupo. En particular la música se propaga a la velocidad de grupo. Un transmisor de radio de amplitud modulada (AM), emite ondas que pueden ser consideradas como una superposición de componentes armónicas (análisis de Fourier) que ocupan una cierta banda de frecuencias ∆ω centrada en la frecuencia promedio ω . En el caso de una estación de radio AM con (por p

147

ejemplo) una frecuencia promedio (portadora) de y un ancho de banda de , el ancho de banda resulta pequeño comparado con la frecuencia promedio,

entonces la velocidad de grupo

kHz1000kHz20

v ddkgrupo =ω resulta una buena aproximación para la

velocidad con que se propaga la información. El análisis anterior puede generalizarse a todo tipo de información transmitida por medio de ondas. Puede demostrarse que la información no se propaga, en general, con la velocidad de fase sino con la velocidad de grupo. Si la relación de dispersión es ω= v k , entonces, la velocidad de fase no depende de la longitud de la onda, es decir, todas las ondas armónicas se propagan con la misma velocidad, por consiguiente, concuerda la velocidad de grupo con la velocidad de fase, ya que,

vddk

vgrupo = =ω

(14)

En este caso se dice que la onda es no dispersiva, ya que todas las ondas viajan juntas manteniendo la forma a medida que se desplazan en el espacio y en el tiempo. Como veremos en cursos posteriores, en Teoría de la Relatividad, la relación de dispersión para ondas de partículas (funciones de ondas cuánticas), es un poco más complicada, la relación entre y k resulta ser, ω

ω= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟k c

m c2 22 2

h

(15)

donde m es la masa en reposo de la partícula, c es la velocidad de la luz y h es la constante de Plank. Observe que ahora la velocidad de fase no resulta igual para todas las longitudes de onda, ya que,

v fk

cm c

kc

m c= = = +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +

λω

λ22 2 2 2

221

h h (16)

por lo cual, cada onda armónica posee una velocidad propia dependiente de su longitud de onda. Por consiguiente, una onda formada por muchas ondas armónicas superpuestas se dispersa a medida que avanza en el espacio-tiempo, ya que cada onda avanza con una velocidad distinta. La información se propaga a la velocidad de grupo, que, en el caso relativista, resulta,

vddk

c k cvgrupo = = =

ω

ω

2 2

(17)

De observar la expresión 16, podemos concluir que, en el caso de ondas de partículas relativistas, la velocidad de fase resulta mayor que la velocidad de la luz (verifíquelo),

v c> esto contradice, a primera vista, la teoría de la relatividad. Esta contradicción se salva teniendo en cuenta que una onda real no puede ser descripta por una onda armónica (ideal), sino que a lo sumo puede ser modelada por una superposición de ondas armónicas (como veremos en la próxima guía teórica). Por consiguiente, la onda real no se propaga a la velocidad de fase (mayor que c), sino que

148

lo hace a la velocidad de grupo, que como podemos observar de la expresión 17 resulta menor que la velocidad de la luz,

vgrupo c< (18) 6. Guía Teórica. Paquetes de onda. Integral de Fourier. Hasta ahora hemos estudiado ondas cuya característica principal es la de ser periódicas en el espacio y en el tiempo. En la Naturaleza no siempre nos encontramos con este tipo de ondas. En particular las ondas armónicas representan una idealización ya que se extienden indefinidamente en el espacio y el tiempo, sin principio ni fin. En la Naturaleza es más habitual la aparición de ondas no periódicas, pulsos ondulatorios o trenes de ondas o también llamados paquetes de ondas, con principio y fin. Mientras que las ondas armónicas tienen una frecuencia y longitud de onda característica, los pulsos de onda no. En el Capítulo 5 vimos que cualquier onda periódica, de longitud de onda λ1, podía descomponerse en una suma infinita de ondas armónicas con longitudes de onda

, y frecuencias características (armónicos), que se obtienen a partir de la relación de dispersión. En el caso de un pulso de ondas también puede representarse como una superposición de ondas armónicas, pero resulta necesario contar con una distribución continua de frecuencias. Es decir, un pulso esta compuesto por una superposición continua de ondas armónicas de diferente frecuencia.

λ λn = 1 / n f n

Por ejemplo, sea Ψ la función de onda (no periódica), que representa a un pulso (para simplificar el estudio la analizamos en un dado punto del espacio, por ejemplo ). Esta onda se puede expresar como:

( )t

0=x

∫∫∞∞

ωωωωωω=Ψ

0

0

)cos( )B(+ )sen( )A()( dtdtt (Integral de Fourier) (1)

Las funciones continuas y A( )ω B( )ω se llaman coeficientes de Fourier de . Notar la analogía entre la integral de Fourier y el desarrollo de Fourier (estudiado en el capítulo anterior, para el caso de ondas estacionarias), donde se ha reemplazado la suma sobre frecuencias discretas por una integral que barre todas las frecuencias en forma continua y pesadas por los coeficientes

Ψ( )t

A( )ω y B( )ω . Espectro de frecuencias: Como ejemplo, vamos a construir un pulso o paquete de onda, a partir de elegir los coeficientes de Fourier como,

A( )ω = ∀ω0 y ( )BB

para todo otroω

ω ω ω

ω=

< <⎧⎨⎩0

2 si

1 (2)

donde B es una constante y y 1ω 2ω son dos frecuencias cualquiera. En la figura 4 hemos representado al coeficiente )(ωB (espectro de frecuencias). Como ejemplo, se han tomado los valores 1=B , 51 =ω y 62 =ω .

149

B=1 ω

1 2 3 5 6 7 4 Un gráfico de los coeficientes de Fourier A( )ω y B( )ω .en función de se conoce con el nombre de espectro de frecuencias.

ω

Figura.4: Espectro de frecuencias

A partir de estos coeficientes y de la integral de Fourier (ec. 1), es posible obtener la función de onda del pulso, resultando (verificar),

[ ]Ψ( )

sen( ) sen( )t

B t

t=

− ω ω2 t1 (3)

En la figura 5 hemos graficado )(tΨ , vemos que la función de onda tiene un valor significativo para valores del tiempo cercanos al cero, amortiguándose a medida que el tiempo aumenta, debido a que t figura en el denominador de la expresión de la función de onda. La onda existe significativamente, en el punto 0=x , sólo durante un intervalo pequeño de tiempo. Amplitud

Tiempo

Figura 5: Pulso de onda. Gráfico de la función Ψ.

150

Notar que y el tiempo durante el cual dura el pulso, con gran amplitud, es desde a t aproximadamente. En general se toma como parámetro distintivo, del

tiempo que dura el pulso, la mitad del período mencionado, es decir

∆ω= 1t ≈ −6 ≈ 6

∆t ≈ 6. A partir de esto, notamos que en el ejemplo se satisface la relación aproximada,

π≈∆ω∆ 2 t o ∆ ∆f t ≈1 (4) Esta relación es característica de un paquete de ondas. Nos dice que la distribución de frecuencias de las funciones armónicas que constituyen el paquete de ondas y el tiempo de duración del mismo ω∆ t∆ resultan inversamente proporcionales,

t∆π

≈ω∆2 (5)

es decir, si el pulso es corto ( chico), la onda se compone de un ancho rango de frecuencias ( grande), mientras que si el pulso es largo, es pequeño el ancho de frecuencias necesario para describir la función de onda.

∆t∆ω

En particular, si la onda no es un pulso sino una onda armónica, corresponde a infinito y , ya que, la onda posee una frecuencia única. ∆t 0=ω∆

La relación 4, no es general, sólo se satisface si las ondas armónicas que componen el pulso poseen fases adecuadas. Se puede demostrar, que la relación general entre y resulta, ω∆ t∆

∆ω∆ t ≥ 2π o ∆ ∆f t ≥ 1 (6) Nosotros hemos analizado a la onda en una posición fija x = 0 , si extendemos el estudio a todo el espacio hallamos (no lo haremos aquí) que existen relaciones, similares a la 4 y a la 6, que relaciona la extensión en el espacio del pulso ∆x y el ancho de los números de onda ∆k , la relación resulta,

∆ ∆k x ≥ 2π (7) Para ampliar el tema recomendamos la lectura del libro Ondas, Curso de Física de Berkeley, Vol. 3. Cuando estudiemos “física cuántica”, veremos que las relaciones dadas en 7 se relacionan con el “principio de incerteza de Heisenberg”, pero en este caso, las magnitudes relacionadas son la posición y el impulso lineal de la partícula,

∆ ∆x p ≥ h (8) donde, es la constante de Plank. Esta relación de incerteza, es propia de una teoría ondulatoria (teoría cuántica), y una de las consecuencias es que si determinamos la posición de la partícula con gran exactitud (

h

x∆ chico) entonces el impulso se halla muy indeterminado ( grande), y viceversa. p∆ Como no puede transportarse información mediante una sola armónica, que no tiene principio ni fin en el tiempo, la transmisión de impulsos cortos depende de la capacidad de transmitir un intervalo amplio de frecuencias. Si un paquete de ondas ha de mantener su forma cuando se desplaza, todas las ondas armónicas que componen el paquete deben moverse a la misma velocidad. Un medio en que la velocidad de las ondas es independiente de su longitud de onda, o de su frecuencia, se denomina medio no dispersivo. A veces la velocidad de la onda en un medio dispersivo depende sólo ligeramente de la frecuencia. En estas condiciones, un paquete de onda cambia su forma lentamente durante su propagación.

151

La velocidad del centro del paquete, no es la misma que las velocidades de fase de cada onda armónica. El paquete como un todo se mueve con la velocidad de grupo definida anteriormente. 7. Recomendado. Un pulso luminoso (fotón) tiene una extensión temporal ∆ . Sabiendo que la velocidad de la luz es

t s= −10 8 egc km

seg≅ 300000 y que la relación de dispersión es ω= k c. , a) ¿Qué significa que dure ∆t s= eg−10 8 . b) ¿Cuál es el ancho de frecuencias ∆ω que forman el pulso?. c) ¿Cuál es el ancho ∆k ?. d) ¿Cuál es la extensión espacial del pulso ∆x ?. e) Si el pulso tiene una longitud de onda principal, o central, o media λm = 500nm , halle

. Cuidado ∆λ ∆λ∆

≠2π

k, medite.

f) Optativo. Repita el cálculo suponiendo que el fotón es una partícula relativista con masa m.

8. Guía teórica. Efecto Doppler. El efecto Doppler es un fenómeno físico que nos resulta muy familiar, más aún a aquellos que vivimos cerca de la vía del tren (o en ella). Si ponemos atención a la sirena de un tren comprobaremos que se escucha un tono distinto cuando el tren viene hacia nosotros que cuando se va. Para ser más precisos, cuando el tren se acerca a nosotros escuchamos la sirena más aguda, mientras que cuando se aleja la escuchamos más grave. Más notable resulta este efecto cuando lo que escuchamos es una propaganda emitida desde un avión. Éste fenómeno tiene aplicaciones técnicas en la medición de velocidades de automóviles (policía) y aviones en movimiento (fuerza aérea). Para entender conceptualmente el fenómeno vamos ha analizar un ejemplo concreto. Supongamos que dos niños se hallan jugando en la vereda. Uno de los niños (Fede), se encuentra parado mirando como Gabriela anda en bicicleta. Los niños tienen una bocina que emite una onda sonora de período T seg= 0 001, y frecuencia f Hz= 1000 . Vamos a analizar detenidamente como varía el tono del sonido en dos situaciones que en principio parecen simétricas pero que como veremos no lo son. Fuente en reposo y Receptor en movimiento: Supongamos que Fede toca la bocina (fuente sonora), mientras Gabi se le acerca con su bicicleta a una velocidad v ., tal como muestra la figura 6. m

segGabi = 2

Tuu

Figura 6: Efecto Doppler. Los sonidos se escuchan más agudos cuando nos acercamos a la fuente emisora.

vG

Como tanto la fuente sonora como el niño se hallan en reposo respecto del aire, Fede percibe el sonido con el mismo tono con que es emitido, o sea, con el mismo período y frecuencia,

152

T T sFede = = 0 001, eg Hz, y f fFede = = 1000 (1) y también con la misma longitud de onda, que podemos obtener a partir de la relación de dispersión, sabiendo que la velocidad de propagación de la onda es la velocidad del sonido v , m

segS ≅ 340

λ λFedeS

Fede

= = =v

fm0 34, (2)

Este resultado puede visualizarse pensando lo siguiente: Luego de emitirse una cresta de onda, esta se propaga a la velocidad del sonido vS

mseg= 340 . Transcurrido un período

T seg= 0 001, se emite la siguiente cresta. Por lo tanto, la primera cresta ha logrado alejarse una distancia igual a λ = =v T mS 0 34, (ver figura 7). En la figura 7 se muestra un esquema de las crestas de onda en un determinado instante, y se identifica la longitud de onda correspondiente. Vemos que las crestas de onda se alejan de la fuente a la velocidad del sonido v , mientras que Gabi se acerca con velocidad v

S

. G

vG=2m/seg

λ=0,34m

vS=340m/seg

Gabriela se acerca hacia la fuente sonora, debido a esto escucha un tono más alto, o sea, mayor frecuencia. Para demostrarlo analizaremos nuevamente el problema desde el punto de vista de Gabi, es decir, desde un sistema de referencia fijo en ella (sistema de referencia móvil):

Figura 7: Esquema de los frentes de onda correspondientes a una fuente en reposo respecto del aire.

• Desde el punto de vista de Gabriela, la longitud de onda no cambia ya que dentro del

marco de la Mecánica Clásica (no relativista) las longitudes medidas por un sistema en reposo y otro en movimiento concuerdan (Relatividad de Galileo). Por consiguiente,

λ λ λGabi Fede= = = 0 34, m (3) Esto último no es cierto cuando las velocidades son comparables con la velocidad de

la luz. En ese caso la Mecánica Clásica ya no es válida y es necesario apelar a la Teoría de la Relatividad.

• En el sistema en reposo respecto del aire (Fede), las crestas de las ondas se alejan de la fuente a velocidad v mientras que Gabi se acerca con velocidad vS G . Pero desde el punto de vista de Gabi (sistema de referencia móvil), ella esta quieta y las crestas se le acercan con una velocidad mayor que la velocidad del sonido. De acuerdo a la relatividad clásica, esta velocidad resulta,

velocidad de propagación en el sistema de referencia móvil Gabi v v mseg ( S G) = + = 342 (4)

Otra forma de pensar el resultado anterior, es observando que el fenómeno es equivalente a que Gabi estuviera en reposo y el sonido se aproximase a ella, pero con viento de velocidad vG (en la misma dirección que el sonido).

153

• Al cambiar la velocidad, con que la onda se propaga, cambia la frecuencia ya que la relación entre longitud de onda y frecuencia es,

fvelocidad de propagación en el sistema m vil v v

HzGabiGabi

S G ó= =

+≅

λ λ1005 88, (5)

De esta forma, Gabi escucha un tono levemente superior al original de la bocina ( f Hz= 1000 ). De la ecuación 5, comprobamos que mientras mayor es la velocidad con que se acerca Gabi, mayor resulta la frecuencia con que escucha el sonido (más agudo).

Usando la ecuación 2, podemos reescribir la ecuación 5, en la forma,

fv v v v

vf

fv v

vf

vv

Hz f f HzGabiS G S G

S

S G

S

G

SFede =

+=

+=

+= +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≅ > = =

λ1 1005 88 1000, (6)

Note que la frecuencia no depende de la distancia que separa a los niños, sólo depende de la frecuencia

fGabi

f con que emite la fuente, de la velocidad del sonido v y de la velocidad de la bicicleta v

S

G (Es muy común pensar que la frecuencia está variando a medida que se acercan la fuente y el receptor, lo cuál no es cierto). A partir de 6 podemos calcular el período de la onda según lo percibe el receptor en movimiento (Gabi),

T Tv

v vT TG

S

S GFede=

+< =. (7)

Cuando Gabi pasa junto a Fede y comienza a alejarse con su bicicleta, ver figura 7, sucede el fenómeno inverso al estudiado, es decir, la frecuencia que percibe el receptor móvil ( ) resulta menor que la frecuencia propia de la bocina, o sea, Gabi escucha un sonido más grave.

f iGab

vG

Tuu

Figura 8: Efecto Doppler. Los sonidos se escuchan más graves cuando el receptor se aleja de la fuente emisora.

Este fenómeno resulta simple de interpretar siguiendo un razonamiento similar al anterior, la única diferencia es que el receptor (Gabi) ahora se aleja con velocidad vG y por consiguiente, visto desde un sistema fijo a Gabi, las crestas de las ondas se acercan a ella con una velocidad menor que la del sonido (viento contrario), igual a, velocidad de propagación en el sistema de referencia m vil Gabi v v m

seg ó S G( ) = − = 338 (8) por consiguiente,

fvelocidad de propagación en el sistema m vil v v

HzGabiGabi

S G ó= =

−≅

λ λ994 12, (9)

y a partir de la ecuación 2,

fv v v v

vf

fv v

vf

vv

f fGabiS G S G

S

S G

S

G

SFede =

−=

+=

−= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ < =

λ1 (10)

154

Comparando las ecuaciones 6 y 10, comprobamos que sólo cambia el signo de vG . Fuente en movimiento y Receptor fijo: Analicemos ahora otro ejemplo, que en principio pareciera ser el simétrico del caso anterior, pero no lo es. Supongamos ahora que la que toca la bocina es Gabi y no Fede, ver figura 9.

vG

Tuu

Figura 9: Efecto Doppler. Los sonidos se escuchan más agudos cuando la fuente emisora se acerca a nosotros.

En este caso la fuente o emisor del sonido está en movimiento (Gabi), mientras que el receptor está en reposo (Fede). En principio uno podría apelar a la celebre frase “todo es relativo, nada es absoluto” y creer que da lo mismo quién se mueve y que lo importante sólo es la velocidad relativa. Esto no es cierto, ya que nos estamos olvidando de un elemento importante del sistema. El sistema no está formado sólo por Gabi y Fede sino que también por el aire, medio sobre el cual se propaga el sonido. Al tener en cuenta el aire, vemos que no resulta lo mismo que la fuente se mueva respecto del aire, a que no se mueva, como no es lo mismo que el sonido se propague en un medio en reposo a que se propague con viento. En el caso de la propagación de la luz, si resultan equivalentes ambas situaciones, ya que se propaga en el vacío, pero el cálculo se complica ya que resulta necesario apelar a la teoría de la relatividad. El cálculo a realizar es equivalente al anterior, salvo que ahora la onda se origina en el sistema de referencia móvil (Gabi), el cual se desplaza respecto del medio de propagación (el aire en reposo). Los puntos ha tener en consideración son: • Gabi percibe el sonido con el mismo tono con que es emitido, o sea, con el mismo

período y frecuencia, , y T T sGabi = = 0 001, eg Hzf fGabi = = 1000 (10)

• Como dijimos en el caso anterior, dentro del marco de la Mecánica Clásica, las

longitudes no cambian al ser medidas en diferentes sistemas de referencia, por lo tanto, se cumple,

λ λ λGabi Fede= = ′ (11) donde hemos primado a la longitud de onda ( ′λ ) para recalcar que no es igual a la

longitud de onda que tendría si la fuente se hallase en reposo respecto del aire , ver figura 11. ′ ≠ =λ λ 0 34, m

• La longitud de onda se modifica respecto a la de una onda emitida por una fuente

en reposo respecto del aire. Para entender este fenómeno observemos la figura 11, y tratemos de calcular la distancia existente entre dos crestas de onda, o sea la longitud de onda.

155

Si la fuente sonora (bocina) se halla en reposo con el aire, ya hemos hallado en 2

que, la longitud de onda es λ = =v T mS 0 34, . La fuente sonora demora un tiempo T seg= 0 001, en desplegar un ciclo completo de la onda, esta se propaga a la velocidad del sonido v m

segS = 340 , por lo tanto, las crestas se separan una de otra una distancia igual a λ = =v T mS 0 34, (ver figura 11).

En cambio, si la fuente se halla en movimiento (acercándose), luego de emitirse una cresta de onda y transcurrido un período T , la cresta recorre una distancia

, pero la fuente también ha avanzado, en esa misma dirección, una distancia d vv T mS = 0 34,

T m= =G 0 002, , por consiguiente al salir la siguiente cresta, ambas distan entre sí (ver figura 11):

′ = − = < =λ λv T v T m mS G 0 338 0 34, , (12) A partir de 12, obtenemos,

( )′ = − =−

=λ T v vv v

fm S G

S G 0 338, (13)

Esto también lo podemos entender pensando que, para Gabi (sistema móvil), el aire esta en movimiento (viento) con velocidad Gv− , por lo cual, el sonido se propaga hacia adelante a una velocidad menor (respecto de Gabi), velocidad de propagación en el sistema de referencia móvil Gabi v v ( S G) = − (14)

La longitud de onda (hacia adelante), en el sistema móvil, la obtenemos a partir de la relación de dispersión

′ = =−

λvelocidad de propagación en el sistema móvil

fv v

f S G (15)

que concuerda con lo obtenido en 13. • Una vez calculada la longitud de onda ′λ , a partir de la relación de dispersión

podemos calcular la frecuencia con que percibe el sonido el receptor en reposo (Fede), es decir,

fvelocidad de propagación en el sistema en reposo v

FedeFede

S = =

′λ λ (16)

donde claramente, a pesar de originarse la onda en una fuente en movimiento, la velocidad con que se propaga la onda en el sistema en reposo es simplemente la velocidad del sonido v . De 16 obtenemos, S

fv v

v vf

fv

v vHz f HzFede

S S

S G

S

S G

=′= − =

−≅ > =

λ1005 92 1000, (17)

A partir de 17 podemos calcular el período de la onda según lo percibe el receptor en reposo (Fede),

T Tv v

vT

vv

T TFS G

S

G

SGabi =

−= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ < =. 1 (18)

Las ecuaciones 17 y 18 confirman que “si la fuente sonora se acerca al receptor, el sonido se escucha más agudo”, al igual de lo que sucedía cuando el receptor se acercaba a la fuente. Pero note, comparando las ecuaciones 6 y 17, que los resultados difieren levemente. La diferencia es debida a que la onda se propaga en el aire, medio que se

156

halla en reposo respecto a uno de los participantes, por lo cual la situación no resulta simétrica. Para velocidades vG pequeñas respecto a la velocidad del sonido, las expresiones 6 y 17 dan aproximadamente los mismos resultados. Para comprobar esto, reescribimos a la ecuación 17 en la forma,

f fv

v vf

v v vv v

fv vv v

vv v

fv

v vFedeS

S G

S G G

S G

S G

S G

G

S G

G

S G

=−

=− +

−=

−

−+

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1 (19)

y cuando v vG S<< se puede aproximar,

f fv

v vf

vvFede

G

S G

G

S

= +−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1 1 (20)

que concuerda con lo obtenido en 6 para la fuente en reposo, salvo por el intercambio Fede-Gabi. Cuando Gabi pasa junto a Fede y comienza a alejarse con su bicicleta (figura 10), resulta fácil comprobar que la frecuencia con que Fede percibe los pulsos es menor que la de emisión , se escucha más grave. fff =< GF

Tuu

Figura 10: Efecto Doppler. Los sonidos se escuchan más graves cuando la fuente emisora se aleja de nosotros.

vG

En la figura 11, se muestra un esquema de los frentes de onda correspondientes a las dos situaciones estudiadas. Si la fuente se halla en movimiento vemos que, en el sentido del movimiento, la longitud de onda disminuye a λ = 0 338, m, mientras que en el sentido contrario la longitud de onda aumenta a λ = 342m . La fuente de sonido demora un tiempo T seg= 0 001, en desplegar un ciclo completo de la onda armónica, pero en ese tiempo la fuente se mueve una distancia

, por lo cual, la onda que avanza hacia atrás disminuye su longitud de onda en 0 0 , mientras que la que avanza hacia adelante aumenta en 0 . v T mG . ,= 0 002

02, m 002, m

λ=0,34m

Fuente en reposo respecto del aire.

λ′=0,338 λ′′=0,342

Fuente en movimiento respecto del aire.

Figura 11: Esquema de los frentes de onda correspondientes a una fuente en reposo y otra en movimiento.

vG=2m/seg

157

Visto desde el sistema de referencia fijo en Gabi, el sonido se propaga hacia atrás con una velocidad mayor que v (ya que Gabi se aleja de las crestas emitidas, ver figura 11), o sea,

S

velocidad de propagación en el sistema de referencia móvil Gabi v v ( S G) = + (21) y la longitud de onda (hacia atrás) de la onda, en el sistema móvil, la obtenemos a partir de la relación de dispersión

′′ = =+

=λvelocidad de propagación en el sistema móvil

fv v

fm

S G 0 342. (22)

que como esperábamos, es mayor que la longitud de onda hacia adelante. A partir de la relación de dispersión calculamos la frecuencia con que percibe el sonido el receptor en reposo detrás de la fuente, es decir,

fvelocidad de propagación sist reposo v

fv

v vHz fFede

Fede

S S

S G

(= =

′′=

+≅

. ),

λ λ994 15 < (23)

en donde comprobamos que la frecuencia percibida por el receptor es menos a la frecuencia de emisión. Comparando las ecuaciones 17 y 23, comprobamos que sólo cambia el signo de vG . El efecto Doppler es utilizado en la medición de las velocidades de automóviles (policía) y aviones en movimiento (fuerza aérea). Se envía una onda sonora hacia el móvil, luego se detecta la onda reflejada y se la compara con la original. Como la diferencia de frecuencias es muy chica (velocidades relativas bajas) es posible determinar la variación de la frecuencia a partir de medir las pulsaciones que se producen al superponer ambas señales. Luego de obtener la variación en la frecuencia de la señal, se obtiene la velocidad del móvil. Otro ejemplo muy conocido de efecto Doppler es el del corrimiento al rojo observado en las señales electromagnéticas provenientes de galaxias lejanas, efecto que probaría que las galaxias se están alejando de la tierra (Big Bang). Las señales provenientes de galaxias que se alejan, llegan a nosotros con una frecuencia menor que la frecuencia con que fueron emitidas. Por ejemplo, si desde una galaxia, que se aleja, se emite luz naranja, es posible que llegue a nosotros de color rojo (menor frecuencia). El nombre corrimiento al rojo sólo expresa esta disminución de las frecuencias, no que se transformen siempre en rojo. El corrimiento es comprobado a partir del análisis de la luz proveniente de la galaxia. Estudiando su espectro, podemos encontrar series de franjas correspondientes a elementos conocidos, por ejemplo hidrógeno. Todos los estudios, hasta el momento realizados, verifican un corrimiento al rojo de los espectros. En el caso de la luz, los cálculos que hemos hecho (para evaluar el efecto Doppler) no son válidos, ya que resulta necesario aplicar la teoría de la relatividad. ¿Qué sucede si la velocidad del sistema móvil supera la velocidad del sonido?. Como ejemplo, analicemos el caso en que la fuente se halla en movimiento y el receptor en reposo (figura 6). En la expresión 7 y su equivalente la 18, hemos obtenido la relación entre los períodos percibidos en cada sistema, por ejemplo, en el caso de una fuente sonora (Gabi) en movimiento obtuvimos (ec. 18),

T Tv v

vT

vvF

S G

S

G

S

=−

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟. 1 (18)

158

¿Qué sucede si en lugar de ser Gabi la que se mueve tocando la bocina, es un avión que genera un terrible ruido con sus turbinas?. Y ¿qué sucede si el avión se mueve a velocidades supersónicas, es decir, con velocidad mayor al sonido v v ?. Avión S> En ese caso pareciera que la expresión 18, deja de tener sentido, ya que,

1 0−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ <

vv

G

S

y por consiguiente, el períodoTF, percibido por el receptor en reposo, nos da negativo, lo cual no tiene sentido. Claramente la cuenta que hicimos no tiene validez para velocidades superiores al sonido. Para fijar ideas de lo que sucede en este caso observemos la figura 12. La fuente se desplaza a mayor velocidad que el sonido, por lo cual, los frentes de onda (esféricos en la figura) quedan detrás, no hay ondas delante de la fuente. Los frentes de onda se acumulan detrás de la fuente, formando un cono. Esta onda de choque, produce un estruendo impresionante cuando es percibido por el receptor.

En la figura 12, la línea punteada delimita el cono donde se halla contenida la onda de choque. Cualquier persona que se halle dentro del cono, ya ha escuchado el sonido, mientras que aquellas personas que se hallan fuera, aún no la han escuchado.

Figura 12: Onda de choque. La velocidad de la fuente emisora de ondas, es mayor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio.

θv>vS

El ángulo θ (ver figura 12) puede hallarse fácilmente a partir de la velocidad de la fuente y la velocidad del sonido, verifique que se satisface,

( )sen θ =vvS

A medida que aumenta la velocidad de la fuente, disminuye el ángulo del cono. Este tipo de onda de choque se observa comúnmente en ríos cuando avanza una lancha con una velocidad mayor a la correspondiente a la propagación de las ondas en el agua. Otro ejemplo es el de un latigazo, el chasquido que se escucha corresponde a la formación de una onda de choque debida que la velocidad de la tira de cuero supera la velocidad del sonido. 9. Recomendado. La frecuencia de la bocina de un coche es 400 . Si el coche se mueve (con respecto al aire en reposo) hacia un observador estacionario con una velocidad v m (alrededor de 120 ),

Hz

sC = 34 / eg km h/a) ¿Qué longitud de onda mide el observador?. Resp. λ = 0 765, m b) ¿Qué frecuencia?. Resp. f Hz= 444 .

159

c) Repita los ítems anteriores pero ahora considerando que el auto se aleja del observador. Saque conclusiones.

Tomar como velocidad del sonido en el aire 340m seg/ . 10. Recomendado. La frecuencia de la bocina de un coche es 400 . Si el coche está parado,

Hz

a) ¿Qué longitud de onda mide un observador que se mueve a través del aire (en reposo) hacia el coche a v m ?. Resp. sC = 34 / eg λ no cambia.

b) ¿Qué frecuencia?. Resp. f Hz= 440 . c) Repita los ítems anteriores pero ahora considerando que el observador se aleja del

auto. Saque conclusiones. Tomar como velocidad del sonido en el aire 340m seg/ . 11. Cuando un tren que se mueve a 90 se acerca a un oyente estacionario, toca su silbato, que tiene una frecuencia de 630 .

km h/Hz

a) Cuál es la longitud de onda de las ondas sonoras delante del tren?. Resp. λ = 0 5, mb) Qué frecuencias escucha el observador?. Resp. f Hz= 680 . Tomar como velocidad del sonido en el aire 340m seg/ . 12. Recomendado. Medidas astronómicas precisas han demostrado que la luz proveniente de dos puntos extremos del sol tienen una frecuencia ligeramente diferente. Suponiendo que esos puntos son A y B, mostrados en la figura 13, y suponiendo que la luz proveniente del punto A tiene una longitud de onda menor que la que proviene de B, ¿Qué nos dice sobre el movimiento del sol?.

Fig.13

A B Bibliografía : • Física Vol. 1, Tipler. Ed. Reverté. • Física, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill. • Introducción al estudio de la mecánica, materia y ondas. U. Ingard y W.L.

Kraushaar, Ed. Reverté. • Física, Mecánica, ondas y termodinámica Vol. 1, D.E.Roller and R.Blum. Ed.

Reverté. • Ondas, Curso de Física de Berkeley, Vol. 3 Ed. Reverté. • Física, Mecánica Vol. 1, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana. • Física Vol. 1, Feynman. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.

160