Capítulo 4

Fenómenos Determinísticos: Es aquél fenómeno del cual podemos predecir qué resultado obtenemos antes que ocurra. En estos fenómenos, las causas, o condiciones, determinan los efectos o resultados. Ejemplo: El monto que se obtiene al final de un periodo, conocido el capital y la tasa de interés. Otro ejemplo puede ser que se conoce que a 100 cº hierve el agua, el efecto de la fuerza de gravedad

Fenómenos Aleatorios: Son aquellos cuyo resultado no se puede predecir con exactitud, si no que puede tomar un conjunto de resultados posibles. Por ejemplo: La tirada de una moneda, cantidad de material defectuoso en un lote de artículos producidos por una maquina, Edad de una persona, errores cometidos en un libro de contabilidad, etc.

Espacio Probabilistico: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Cada uno de los resultados posibles recibe el nombre de evento.

Evento: Es cualquier subconjunto del espacio muestral o probabilistico y se clasifica de la siguiente manera:

a) Evento Imposible: No contiene ningún elemento o resultado. (Conjunto vacío)b) Evento Simple: Cada evento contiene un solo elemento.c) Evento Compuesto: Cada evento contiene más de un elemento.d) Evento Cierto: Contiene todos los eventos simples.

La probabilidad: Cuando el espacio muestral es finito o infinito numerable, todos los subconjuntos del espacio muestral son eventos. Con todos los eventos o subconjuntos asociados a un espacio muestral S formamos una clase o Familia de eventos F. En esta clase están incluidos por supuesto los eventos simples, los eventos compuestos, el evento imposible y el espacio muestral S. Los axiomas o postulados de la Teoría de la Probabilidad son los siguientes:

a) Axioma 1: Positividad: A cada evento, perteneciente a una familia de eventos F, le corresponde un numero real no negativo, llamado probabilidad del evento A, denotado como P (A), en donde P (A) 0

b) Axioma 2: Certeza: La probabilidad del espacio muestral S es igual a 1.

c) Axioma 3: De la suma: Si los eventos A1, A2, A3,…. Son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno cualquiera de ellos es igual a la suma de sus respectivas probabilidades.

P (A1 U A2 U A3 U….) = P (A1) + P (A2) + P (A3) +……..

Características:

1) Los que tienen probabilidad son los eventos definidos como conjuntos de resultados posibles de un fenómeno aleatorio.

2) La probabilidad de un evento es en realidad una medida relativa de la posibilidad de que se presente un evento.

3) La definición axiomática provee una representación abstracta de la probabilidad, pero no nos dice cómo se obtiene su valor, o sea, cómo se obtiene ese numero que se llama probabilidad del evento.

Teoría de Probabilidades

Teoría Clásica o de Laplace: Por lo general se le asigna a Laplace el enunciado de la definición clásica basada en el principio de la razón insuficiente La noción clara es: “La teoría del azar consiste en reducir todos los acontecimientos del mismo genero a un cierto casos igualmente posibles, es decir, tales que estemos totalmente inseguros sobre su existencia, y en determinar el numero de casos favorables al acontecimiento cuya probabilidad se busca.

Probabilidad: Numero de Casos Favorables = n A Numero de Casos Posibles. n

Criticas:

a) Salvo en experimentos o fenómenos simples, no es fácil la determinación de los casos posibles y de los casos favorables.

b) Que no siempre se pueden reducir todos los acontecimientos a un número de casos igualmente posibles.

Enfoques Frecuenciales:

a) Primer enfoque frecuencial: El primer enfoque frecuencial define a la probabilidad como el valor del limite de las frecuencias relativas un numero infinitamente grande de observaciones.

P (A) = lim n A n n

Criticas:

1) El enfoque esta basado en la posibilidad de existencia y en la definición de un colectivo.2) La probabilidad es el resultado de un proceso de límites, o sea que se requiere la existencia de un límite.

b) Segundo enfoque frecuencial: se fundamenta en la observación del comportamiento de las frecuencias relativas cuando crece el número de experimentos. Cuando n crece los valores de las frecuencias relativas tienden a agruparse alrededor de una cantidad fija, que representamos como p, y que llamamos probabilidad de un evento.

Características:

1) Se fundamenta en la regularidad estadística.2) El valor de la probabilidad se estima mediante las frecuencias relativas.3) Se basa en la experiencia.4) Requiere un número de experimentos suficientemente grande.

Criticas:

a) No siempre es posible realizar un gran número de experimentos.

b) Que no se puede aplicar cuando hay que determinar la probabilidad de eventos para los cuales no se cuenta con frecuencias conocidas de presentación.

c) Enfoque Subjetivo:

Según este enfoque la probabilidad mide la confianza que un individuo tiene sobre la verdad de una proposición particular; en otras palabras la probabilidad mide el grado de creencia que una persona tiene con respecto a la presentación de un evento dado.Dentro del enfoque subjetivo encontramos también la llamada probabilidad psicológicas

Propiedades de la Probabilidad:

1) Si representamos con n A la frecuencia de presentación del evento A con n experiencias, entonces podrá asumir valores entre 0 y 1 inclusive.

0 P(A) 1

2) La probabilidad de un evento cierto es igual a uno.

P (A) = P (S) = 1

3) La probabilidad de un evento imposible es cero.

P () = 0

4) Si en evento A se presenta n A veces en n experiencias, no se presenta en n – n A veces. Las frecuencias relativas de A y de “no A” son las probabilidades cuya suma es igual a la unidad.

_ P (A) + P (A) = 1

5) Si A y B son eventos, y se cumple que A está totalmente incluido en B, la probabilidad de B menos A es igual a la probabilidad de B menos la probabilidad de A.

P (B – A) = P (B) – P (A)

6) Si A y B son eventos y A está totalmente incluido en B, la probabilidad de A es menor o igual a la probabilidad de B.

P (A) P (B)

Eventos mutuamente excluyentes:

Se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes cuando no se pueden presentar juntos, o sea cuando no tienen elementos en común. Cuando los eventos A y B tienen puntos en común, es decir cuando se pueden presentar juntos, se dice que no son mutuamente excluyentes.

S S

Mutuamente Excluyentes No mutuamente excluyentes A B =

Probabilidad Total: Este teorema nos dice de que la probabilidad de que se presente por lo menos uno de los dos eventos A y B, en un experimento aleatorio, cuando estos eventos no son mutuamente excluyentes, es igual a la probabilidad de que se presente el evento A, mas la probabilidad que se presente el evento B menos la probabilidad de que se presenten A y B juntos. Cuando los eventos A y B son mutuamente excluyentes A y B no pueden presentarse juntos y la probabilidad P(A B) = 0.

S S

Mutuamente Excluyentes No mutuamente excluyentes A B = P (AB) = 0 Eventos No Mutuamente excluyentes: P(A U B) = P (A) + P (B) – P (AB) Eventos Mutuamente excluyentes: P(A U B) = P (A) + P (B)

Probabilidad Condicionada: Es la probabilidad de que se presente el evento A dado que se ha presentado B. Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes, se pueden presentar juntos, siendo n A, la frecuencia de presentación de A, n B la de B y n AB la de A y B. La frecuencia relativa de presentación del evento n AB en los casos en que se presento B es:

n AB , entonces la probabilidad de que se presente A dado B es P (A/B) n B

P (A/B) = P (AB) P (B) S

No mutuamente excluyentes

En el caso de que se sabe que el evento A se presentó y se quiere conocer la probabilidad de presentación del evento B P (B/A) = P (AB)

P(A)

S

No mutuamente excluyentes

Probabilidad Compuesta: Esta probabilidad se presenta cuando se quiere averiguar la probabilidad de que ocurran dos sucesos Ay B. En este teorema el caso general es cuando los sucesos A y B son dependientes y en caso particular cuando son independientes.

Probabilidad de Ay B: P (AB) = P (A / B). P (B) Probabilidad de Ay B: P (AB) = P (B / A). P(A)

Eventos Independientes: Dos eventos son independientes cuando la presentación de un de ellos no influye en la presentación del otro. Se dice que son independientes si y solo si P (AB) = P (A). P (B). En el caso que no se cumpla esta condición se dice que los eventos son dependientes es decir que la probabilidad de presentación de uno cualesquiera de ellos, si influye en la probabilidad de presentación del otro evento.

Por lo tanto si los eventos A y B son independientes y no mutuamente excluyentes entonces se cumple que la probabilidad condicionada es la siguiente:

P (A/B) = P(A) y P (B/A) = P (B)

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes se cumple que: P (A/B) = P (B/A) = 0

Teorema de Bayes:

S

E 1 A E m

E 2

E 3 E r + 1

E r

Este teorema nos permite inferir la forma cómo se ha producido un evento en el pasado, utilizando las probabilidades a priori. Nos conduce a la probabilidad de que un evento en el pasado haya sucedido de determinada manera teniendo en cuenta el resultado de otros eventos, de los que se conoce sus probabilidades a priori.Este teorema, también llamado teorema de probabilidad de las causas, se aplica cuando se ha presentado el evento A que únicamente puede presentarse como consecuencia de las causas E1, E2, E3,..........., E m mutuamente excluyentes, y se quiere saber si la que ha actuado es una causa determinada: E r.La probabilidad P (E r) es una probabilidad a priori del evento E r, en cambio la probabilidad P (E r / A), de que haya actuado la causa E r al presentarse A, es una probabilidad a posteriori.

P (E r / A) = P (A / E r) P (E r) m P (A/ E i) P (E i) i = 1

Capitulo 5: Variable Aleatoria:

Variable aleatoria: Es una función que es aplicado sobre el espacio probabilistico y que asigna a cada evento un número real. De esta forma cualquiera sea el experimento siempre será posible expresar numéricamente el resultado del mismo.

Clasificación:

a) Variable aleatoria discreta: Es aquella variable que simbolizamos con x que asume valores finitos o infinitos numerables. El conjunto de valores se denomina Recorrido o rango de la variable denotado con R x. Discreta finito numerable: x 1, x 2, x 3,……., x n Discreta infinito numerable x 1, x 2, x 3,………..

b) Variable aleatoria continua: Es aquella que puede asumir todos los valores reales en un intervalo a x b debido a la infinidad de puntos que contiene.

Análisis de la variable aleatoria Discreta:

Función de probabilidad La función de probabilidad P (x i) cuando la variable es discreta se denomina también función de cuantía e indica la probabilidad en un punto x = x i. Esto significa que para cada evento del espacio probabilistico asociado a una variable aleatoria discreta existe una función de probabilidad.

Condiciones:

1) 0 ≤ P (x i) ≤ 1

2) P (x i) = 1

Gráfica: P (x i)

x i Función de Distribución o de Acumulación: simbolizada con F (x) permite obtener las probabilidades acumuladas en el intervalo x i x

F (x) = p (x i) x i x

Gráfica F (x)

x i

Gráficamente la función de distribución presenta puntos de discontinuidad por la izquierda cuando x = x i.

Condiciones:

1) F (x) es una función monótona creciente (no decreciente) y además continua a la derecha de cada punto. Es creciente porque es la suma de cantidades no negativas y es continua por derecha porque lim F(x) = F (x i) x x i +

2) F ( ) = 1 porque es la función de acumulación en todo el recorrido de x

3) F (-) = 0 porque es la función de acumulación puntual de la x

Análisis de la Variable Aleatoria Continua:

Se dice que la variable aleatoria es continua si existe una función de probabilidad no negativa f (x) 0 denominada función de densidad que satisface, para todo valor de x, la siguiente relación para determinar la función de distribución F (x).

x F (x) = f (x) d x -

F(x) 1 ojiva

0 x

Condiciones:

1) F (x) es una función monótona creciente

- 2) F (-) = f (x) d x = 0 -

3) F () = f (x) d x = 1 -

Esperanza matemática: Se denomina esperanza matemática al valor medio (promedio) o valor esperado de una variable aleatoria. nVariable Discreta: E (x) = x i P (x i) finito numerable i = 1

E (x) = x i P (x i) infinito numerable i = 1

Variable continua E (x) = x f (x) dx -

Propiedades:

1) La esperanza matemática de una constante es igual a la constante.

2) La esperanza matemática del producto entre una constante y una variable aleatoria es igual al producto de la constante por la esperanza matemática de la variable aleatoria.

3) La esperanza matemática de la suma entre una variable aleatoria y una constante es la suma de la esperanza de la variable aleatoria y l a constante en cuestión.

4) La esperanza matemática de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de las esperanzas matemáticas de cada una de las variables:

5) La esperanza matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de las esperanzas matemáticas de cada una de las variables aleatorias.

Varianza: La varianza de una variable aleatoria es la esperanza matemática del cuadrado de los desvíos de los valores que asume la variable aleatoria respecto de su esperanza. V (x) = E (x – E(x)) 2

nVariable Discreta: E (x) = (x i - E (x)) 2 p (x i) i = 1

Variable continua E (x) = (x - E(x)) 2 f (x) dx -

Propiedades:

1) La varianza es positiva V (x) 0

2) La varianza de una constante es nula

3) La varianza del producto de una constante por una variable aleatoria es igual al cuadrado de la constante multiplicada por la varianza de la variable aleatoria.

4) La varianza de la suma de una variable aleatoria y una constante es igual a la varianza de la variable aleatoria.

5) La varianza de una variable aleatoria es igual a la diferencia entre la esperanza de los cuadrados de la variable y el cuadrado de la esperanza de dicha variable.