capítulo 4.- modelo numérico

Capítulo Capítulo

Modelo matemáticoModelo matemático"Ya pronto se acerca

el fatal momento;¿tranquila lo esperas?

¡Temblando lo espero!"Manuel Paso

Sumario del capítulo

4. INTRODUCCIÓN

4.1. DOMINIO DE LA SIMULACIÓN NUMÉRICA

4.2. VISIÓN GENERAL DEL MODELO

4.3. HIPÓTESIS DE PARTIDA

4.4. CONCEPTOS GENERALES

4.4.1. ECUACIÓN DE DISPERSIÓN

4.4.2. EL NÚMERO DE ONDA

4.4.3. OBLICUIDAD

4.4.4. CELERIDAD DE GRUPO

4.4.5. VELOCIDAD ORBITAL

4.4.6. DISIPACIÓN DE ENERGÍA

4.4.6.1. Disipación debida a fricción con el fondo

4.4.6.2. Disipación debida a rotura de oleaje

4.4.7. ENERGÍA DEL OLEAJE

4.4.8. TENSIÓN DE RADIACIÓN

4.4.9. SET-UP

4.4.10. CORRIENTES INDUCIDAS POR EL OLEAJE

4.4.10.1. Corriente euleriana en ondas de Stokes

4.4.10.2. Corriente lagrangiana en ondas de Stokes

4.4.10.3. Modelo de undertow de Okayasu, Watanabe e Isobe (1.990)

4.4.10.3.1. Introducción

MODELO NUMÉRICO17/4/AA : 21:20

4

CCAPÍTULOAPÍTULO 4. - M 4. - MODELOODELO MATEMÁTICOMATEMÁTICO

4.4.10.3.2. Variación vertical de la tensión cortante media y la viscosidad

4.4.10.3.3. Variación vertical del undertow

4.4.10.4. Modelo de undertow de Cox y Kobayashi (1.997)

4.4.10.5. Corrientes integradas en la vertical (modelo 2DH)

4.4.10.5.1. Ecuación de continuidad

4.4.10.5.2. Ecuaciones del momento

4.5. EL MODELO DE BATTJES Y JANSSEN (1.978)

4.5.1. DESCRIPCIÓN DE LA EVOLUCIÓN DE LA ALTURA DE OLA

4.5.1.1. Fracción de olas rotas

4.5.1.2. Simplificación de la formulación de Qb

4.5.1.3. Evaluación del resto de los parámetros

4.5.1.3.1. Altura de ola en rotura

4.5.1.3.1.1. Criterio de Miche (1.951) y Hamada (1.951)

4.5.1.3.1.2. Criterio de Miche (1.954)

4.5.1.3.1.3. Criterio de Weggel (1.972)

4.5.1.3.1.4. Criterio de Thornton y Guza (1.983-86)

4.5.2. INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DE ENERGÍA Y MOMENTO

4.5.2.1. Ecuación de la energía

4.5.2.2. Ecuación del momento

4.5.3. CONSIDERACIONES

4.6. EL MODELO DE DALLY, DEAN Y DALRYMPLE (1.985)

4.6.1. FUNDAMENTOS

4.6.2. VENTAJAS E INCONVENIENTES RESPECTO DEL MODELO BJ78

4.7. MODELO DE LARSON (1.995)

4.7.1. INTRODUCCIÓN

4.7.2. DESARROLLO TEÓRICO

4.8. APLICACIÓN DEL MODELO DE LARSON (1.995) AL MODELO D3

4.8.1. INTRODUCCIÓN

4.8.2. APLICACIÓN DEL MODELO

4.9. MODELO DE TRANSPORTE SÓLIDO

4.10. MODELO MORFODINÁMICO

MODELO MATEMÁTICO17/4/AA : 21:202

MMODELACIÓNODELACIÓN DEDE LALA DINÁMICADINÁMICA DELDEL PERFILPERFIL DEDE PLAYAPLAYA

4. INTRODUCCIÓN

4.1. Dominio de la simulación numérica

La zona espacial donde se ejecutará la simulación es el perfil transversal de la playa.

La figura 4.1 define las coordenadas espaciales y la posición del perfil.

Tabla 3.1.- .- Dominio de la simulación numérica

En la figura 4.1, la oblicuidad1 inicial se representa por 0, y se mide en el contorno

del modelo, supuesto en profundidades indefinidas2.

Las zonas en el perfil se pueden clasificar por medio de su profundidad relativa,

definida como según sigue:

Profundidades reducidas: e < 0.05

Profundidades intermedias: 0.05 < e < 0.5

Profundidades indefinidas: e > 0.5

1 A efectos del presente modelo, se define la oblicuidad como el ángulo formado por la ortogonal al oleaje y la dirección del perfil de la playa

2 Es decir, donde la profundidad es mayor que una semilongitud de onda

MODELO NUMÉRICO17/4/AA : 21:20 3


4.2. Visión general del modelo

La primera tarea a llevar a cabo en cualquier problema que involucre la

hidrodinámica del perfil de playa y su variación bajo la acción del oleaje consiste en el

cálculo de la evolución de la altura de ola - media cuadrática o significante, dependiendo

del tipo de modelo de que se trate -, o bien el periodo del oleaje y la densidad de energía,

promediada en el tiempo, en cada uno de los puntos en que se discretiza el perfil para su

modelación.

Tabla 3.2.- .- Definición de ejes y magnitudes

Este trabajo se divide aquí en dos partes: transformación de oleaje e hidrodinámica.

La primera parte tratará de la descripción del campo de oleaje a lo largo del perfil; en la

segunda, se calcularán las corrientes debidas al oleaje en cada punto.

Una vez terminada la definición del oleaje en el perfil se estará en condiciones de

utilizar un modelo de transporte para evaluar el movimiento de sedimentos y poder

calcular así la evolución del perfil. Este problema será objeto de posteriores publicaciones.

Lo que resulta evidente es la necesidad de disponer de un modelo de oleaje de rápida

ejecución, dado que habrá de recalcularse el campo de oleaje cada vez que se modifique el

perfil por efecto del transporte sólido. Es por tanto, preferible utilizar modelos sencillos y

de fácil manejo, siempre y cuando su precisión sea razonable.

En este libro, el modelo de transformación de oleaje que se utiliza es el debido a

Battjes y Janssen (1.978), que por su sencillez y facilidad de manejo resulta ideal para

utilizar con fines didácticos. En el epígrafe siguiente se indican algunas ideas



fundamentales relativos al modelo, dejando para los posteriores la exposición de conceptos

básicos.

4.3. Hipótesis de partida

El modelo matemático que se utilizará como herramienta básica supone asumidas las

siguientes hipótesis de partida:

Uniformidad en la dirección longitudinal. Esto implica que para toda función F

involucrada en el proceso, se verifica que . Es decir, se supone que no hay

variación alguna en el sentido longitudinal. Concretamente, que la playa es cilíndrica, o

lo que es lo mismo, que todos los perfiles son exactamente iguales.

Validez de la teoría lineal.

Condiciones estacionarias. Debido a ello, se verifica que para cualquier función F

involucrada en el proceso,

El periodo del oleaje se mantiene constante a lo largo del perfil, salvo que se produzca la

rotura.

4.4. Conceptos generales

4.4.1. Ecuación de dispersión

La longitud de onda se calcula asumiendo la teoría de oleaje de pequeña amplitud.

Sus hipótesis básicas son:

Pequeños valores de las relaciones H/L y H/d

La profundidad y el periodo de oleaje son constantes

Bidimensionalidad del fenómeno en el plano x-z

Las olas son periódicas y con forma constante

El fluido es incompresible

El agua del mar es un fluido ideal sin viscosidad

En estas condiciones, la relación de dispersión (que describe la dependencia de la

celeridad con la frecuencia del oleaje) puede ser escrita como:

2 = g·k·tanh(k·d) [4.1]



y, dado que /T y k =/L ello conduce a:

[4.2]

La ecuación [4.6] ha de ser resuelta por iteraciones, dado que el número de onda, k,

es una función de la longitud de onda, L. Por otra parte, si se elimina la función

hiperbólica, que puede ser escrita como:

[4.3]

entonces la expresión para la longitud de onda será:

[4.4]

donde L0 es la longitud de onda en profundidades indefinidas, obtenida como

, y Li y Li-1 son, respectivamente, las iteraciones i-ésima y (i-1)-ésima de la

función L. El final del cálculo se verifica cuando se alcanza un determinado criterio de

convergencia, previamente admitido (por ejemplo: cuando ).

Cuando una corriente U, cuya representación vectorial es , actúa sobre

una playa, aparece un nuevo término, denominado como , que intenta tomar en

consideración la interacción entre ésta y el oleaje. Se denomina frecuencia relativa, y su

relación con la frecuencia absoluta, , viene dada por la relación de Doppler, que se

escribe como:

[4.5]

donde es el vector número de onda, como se definirá más adelante (ver 4.6.2). La

ecuación [4.9] puede escribirse como:

= + U·k·cos a + V·k·sen [4.6]

Si únicamente actúa la corriente longitudinal, la ecuación [4.10] se transforma en

= + V·k·sen [4.7]



La ecuación [4.11] es útil igualmente para modelar la acción que el oleaje ejerce

sobre sí mismo, a través de la corriente longitudinal que genera.

4.4.2. El número de onda

El número de onda es un vector cuya dirección es la del oleaje propagándose hacia la

costa. Se puede definir como el gradiente de fase del oleaje, , es decir: , lo que

implica su irrotacionalidad3. Su módulo depende del valor de la longitud de onda, según la

relación siguiente:

[4.8]

4.4.3. Oblicuidad

La irrotacionalidad del vector número de onda implica que, dado que sus

componentes son (k cos , k sen ), donde k se ha definido previamente (ecuación [4.12]),

ello significa que

[4.9]

Dado que se ha asumido uniformidad en la dirección longitudinal, no hay variación

en la dirección y, y por tanto el segundo sumando es nulo. Por tanto:

[4.10]

La ecuación [4.14] es conocida como Ley de Snell. El valor de la constante es

perfectamente conocido, como es trivial comprobar. Será cte = k0·sen 0.

Por tanto, el valor de la oblicuidad en cada punto resulta ser:

[4.11]

4.4.4. Celeridad de grupo

La celeridad de grupo se refiere a la velocidad de propagación del oleaje. Dado que

la dirección de propagación está definida por el vector número de onda, , el vector

celeridad de grupo se puede escribir en función de su módulo, Cg, como

3 Pues deriva de un potencial (ver ecuación [4.4])



[4.12]

El módulo del vector es , resultando:

[4.13]

4.4.5. Velocidad orbital

La velocidad orbital en las proximidades del fondo se calcula con el fin, entre otros,

de obtener la disipación de energía del oleaje debida a la fricción con el fondo. Su

formulación, en función de la frecuencia relativa, , la altura de ola media cuadrática,

Hrms, la profundidad, d y el número de onda, k, se puede escribir como:

[4.14]

que debe ser evaluada en cada punto.

Dado que la interacción oleaje - corriente no se suele considerar en la primera etapa

de cálculo4, puede considerarse = en la primera iteración, obtenida ésta última a partir

de la relación de dispersión, según .

Una vez se ha obtenido la corriente, la frecuencia debe ser corregida con el término

de velocidad, según [4.9] y realizar una segunda iteración.

4.4.6. Disipación de energía

La disipación de energía del oleaje se verifica de varias maneras. En el presente libro

trataremos las más básicas: por fricción con el fondo y por rotura del oleaje. A su vez, la

disipación de energía por rotura presenta muchas particularidades, siendo cada una de

ellas, con frecuencia, objeto de estudios y ponencias.

A pesar de las simplificaciones que aquí se emplean, y que se consideran necesarias

en una primera toma de contacto con el problema, no se estima que se pierda eficacia, dado

que durante la construcción de un modelo es sencillo implementar nuevas subrutinas y

módulos que lo perfeccionen.

4 Se calcula inicialmente suponiendo que no existe corriente. Se obtiene ésta con los resultados y se procede al recálculo con la corriente obtenida.



4.4.6.1. Disipación debida a fricción con el fondo

Tolman (1.972) definió la siguiente expresión para la disipación de

energía del oleaje por fricción con el fondo:

[4.15]

en la que son:uorb : velocidad orbital de las partículas cerca del fondo5

fw : parámetro de fricción

El valor de fw fue obtenido por Nielsen (1.992) como:

[4.16]

En las ecuaciones [4.20], r es el parámetro de Nikuradse, obtenido en función del

tamaño medio de las partículas, como

r = 2.5·D50 [4.17]

4.4.6.2. Disipación debida a rotura de oleaje

Battjes y Janssen (1.978)6 utilizaron una ecuación para evaluar la

disipación de energía debida a la rotura del oleaje que suponía éste

como irregular, y con una distribución de alturas de ola en cada registro

siguiendo la distribución de probabilidad de Rayleigh. La disipación es,

lógicamente, proporcional a la fracción de olas rotas en cada punto,

denominada Qb por ellos. Es precisamente para el cálculo del Qb para lo

que se asume la función de distribución de Rayleigh.

La expresión del Qb se indica más adelante.

Respecto a la aproximación para el cálculo de la disipación de

energía en sí misma, la formulación utilizada por Battjes y Janssen en el

modelo BJ se basa en la originariamente sugerida por Le Méhauté

(1.962), que modeliza un bore turbulento; Stoker (1.957) calculó la

disipación media de energía como:

5 Calculada, por ejemplo, según 4.6.56 Véase 4.5



[4.18]

La figura 4.3 aclara la terminología empleada en [4.22]. En este caso Q representa el

volumen por unidad de área a lo ancho del bore.

Tabla 3.3.- .- Bore empleado para describir la rotura en spilling

En la formulación anterior, B es un coeficiente O(1). Intenta

aproximar las diferencias entre los distintos tipos de rotura; es

considerado como una función de las proporciones de la zona de

espuma de la ola en su lado de tierra (en el que se verifica el proceso de

rotura).

Hwang y Diboky (1.970) sugirieron una de las más simples

definiciones para Q:

[4.19]

donde C es la celeridad y L la longitud de onda.

Battjes y Janssen redujeron la dependencia con la profundidad, asumiendo que se

verifica aproximadamente.

Así las cosas, la expresión final que utiliza el modelo BJ para la disipación de

energía debido a la rotura del oleaje se puede escribir como:

[4.20]

De la forma de la expresión [4.24] se desprende que el modelo BJ asume que

únicamente las olas que se encuentran en proceso de rotura disipan energía.

En caso de interacción con la corriente longitudinal, el valor de habrá de ser

sustituido por , según lo indicado en 4.6.17.

7 Epígrafe sobre la ecuación de dispersiónMODELO MATEMÁTICO

17/4/AA : 21:2010


El valor de Hm hace referencia a la máxima altura de ola compatible con las

condiciones del punto de cálculo8. Más adelante se proporciona la expresión utilizada en el

modelo, según el criterio de Miche.

Southgate (1.997) propone otra expresión, en función del valor de la altura de ola

media cuadrática en el nodo:

[4.21]

En la ecuación anterior, f(Qb) se define como:

[4.22]

El valor de la constante es aquí también del orden de la unidad. Esta ecuación toma

en consideración el valor de la altura de ola media cuadrática en el punto de forma directa

y no sólo a través de la definición de Qb, con lo que parece ser más realista. Por otra parte,

también influye la forma de la ola, a través del número de onda, así como también la

profundidad en el punto, también de forma directa y no sólo de forma implícita en Qb,

como la altura de ola.

4.4.7. Energía del oleaje

Para oleaje irregular, la densidad de energía por unidad de área se puede escribir

como:

[4.23]

Svendsen (1.984) sugirió que la energía Er transportada por el roller debe ser

tomada en consideración. Así, la energía total del oleaje sería E t = E + Er. La energía del

roller debe ser incluida también en la formulación de la tensión de radiación9, añadiendo el

término , en función de las componentes10 del vector número de onda con la

misma simbología utilizada anteriormente.

Rivero et al. (1.993) propusieron la siguiente formulación para Er:

8 Es decir, a la altura de ola en rotura9 Ver epígrafe siguiente10 Ver epígrafe 4.6.3: K1=k·cos ; K2=k·sen



[4.24]

en la cual = O(1) es un parámetro de calibración, constante en el caso de oleaje irregular,

y función del parámetro de Iribarren11 (intenta tomar en consideración el tipo de rotura).

4.4.8. Tensión de radiación

Con objeto de obtener una idea del significado físico de la tensión de radiación12,

véanse las figuras 4.4 y 4.513

El flujo instantáneo de la cantidad de movimiento a través de una unidad de área

vertical es:

[4.25]

La ecuación anterior es homogénea en sus unidades. En efecto, las ecuaciones

dimensionales de ambos sumandos son:

El segundo sumando de la expresión se denomina presión dinámica, y se debe al

movimiento del fluido. Sus dimensiones son las mismas que las de la presión. Si se

extiende Fim desde el fondo (z = -h) hasta la superficie libre (z = ) se obtiene el flujo total

de momento, S, cuya expresión es:

[4.26]

En [4.30] el primer sumando se debe a la presión y el segundo, al movimiento

generado por el oleaje.

11 Definido por la ecuación [2.2]12 Se hablará de tensor de radiación en el caso tridimensional13 Cf. Longuet-Higgins y Stewart (1.964)



Tabla 3.4.- .- Presiones en un flujo estático

El flujo total medio del momento lineal durante un ciclo de oleaje puede ser obtenido

promediando [4.30] durante un periodo.

En los ejes principales, la componente del tensor de radiación en la dirección de

propagación del oleaje, Sss, se define como la media temporal del flujo de momento lineal

que se produce en presencia de oleaje menos el que se produce en ausencia de la acción

de las olas. Esto se puede escribir, siendo d la profundidad media, la elevación del mar

sobre la media, p0 la presión hidrostática y u la velocidad de la corriente, como:

[4.27]

donde Snn es la componente en la segunda dirección principal.

Tabla 3.5.- .- Presiones en un flujo en movimiento

En el capítulo 214, en la referencia al trabajo de Longuet-Higgins y Stewart (1.964)

se dio una definición15 más física e intuitiva de la tensión de radiación, como la fuerza

impulsora de la corriente próxima a la orilla.

14 Ver el apartado 2.3.615 Cf. Horikawa (1.988)



Tabla 3.6.- .- Tensión de radiación y set-up

A partir de la teoría lineal, Sss y Snn se pueden calcular (despreciando los términos de

orden superior al tercero), como

[4.28]

y extendiendo al caso tridimensional, en que es preciso aplicar el concepto de tensor de

radiación como ente que engloba las tensiones de radiación en las direcciones xx, yy y xy,

se puede escribir con notación tensorial como:

[4.29]

en sus ejes principales, y

[4.30]

en las direcciones de los ejes coordenados.

Asumiendo la teoría lineal, la expresión para las componentes del tensor de radiación

en el caso de incidencia oblicua del oleaje se puede escribir también como:

[4.31]



En la ecuación [4.22] ij es la delta de Kronecker. El resto de las variables que

intervienen en la expresión es conocida por haberse utilizado anteriormente.

Escrita de forma más explícita y compacta, la ecuación [4.22] queda:

[4.32]

El parámetro G se define como:

[4.33]

Cuando se propaga un oleaje de pequeña amplitud en la dirección x, la componente

transversal del tensor de radiación, Sxx, se puede desarrollar como sigue (teniendo en

cuanta que en este caso i = j = 1, y que por tanto ij =1):

[4.34]

Así, teniendo en cuenta la definición del vector número de onda y sus componentes,

se tendrá, en función de la oblicuidad, :

[4.35]

4.4.9. Set-up

El set-up es una elevación (y el set-down la correspondiente depresión) de la

superficie del mar como consecuencia de la rotura del oleaje. La figura 4.6 ilustra el

concepto físico.

El set-up es una de las consecuencias de la acción del tensor de radiación en el perfil

de playa. Su variación se compensa con el movimiento en vertical del nivel del mar. La

ecuación diferencial que gobierna el proceso es la ecuación de balance de momentos:

[4.36]

En la ecuación anterior (x) representa la elevación del nivel del mar.



4.4.10. Corrientes inducidas por el oleaje

Las corrientes inducidas por el oleaje se entienden a menudo como puramente

oscilatorias. Sin embargo, a partir de mediciones del campo de velocidades se ha mostrada

la existencia de componentes promediadas en el tiempo.

La magnitud de estas componentes constantes es generalmente mucho menor que la

de las oscilatorias. Sin embargo, debido a que su efecto es acumulativo, su contribución al

transporte neto de sedimentos puede ser significativa.

4.4.10.1. Corriente euleriana en ondas de Stokes

En un tanque de oleaje, si se imagina una sonda ubicada directamente sobre el nivel

medio del agua al paso de una onda senoidal, sólo se mostrará mojada durante una parte

del periodo, durante el cual mostrará velocidades horizontales y dirigidas hacia la playa.

Por tanto, la velocidad Euleriana integrada en el tiempo en este punto será no nula y

dirigida en la dirección de la propagación del oleaje. Algo similar ocurrirá entre un punto

ubicado entre el seno de la ola y el nivel medio.

El flujo euleriano neto es igual a , y es el total, puesto que bajo el seno de la ola

la velocidad media en el periodo es nula.

En la mayoría de los casos existe una playa al final del tanque de oleaje; esto hace

que la corriente neta en la dirección a tierra sea nula. Esta condición se consigue

simplemente superponiendo una corriente uniforme y constante en dirección al mar al

campo senoidal de velocidades:

[4.37]

Esta corriente se conoce comúnmente como corriente de Stokes.

4.4.10.2. Corriente lagrangiana en ondas de Stokes

Un oleaje puramente senoidal resulta en una componente media lagrangiana positiva

en todo la profundidad. La velocidad lagrangiana neta se debe cualitativamente a dos

propiedades del campo de oleaje inducido por una ola senoidal:

La velocidad hacia la costa de una partícula en una onda senoidal en la zona

superior de su trayectoria es mayor que la que posee hacia el mar en la zona

inferior de ella.MODELO MATEMÁTICO

17/4/AA : 21:2016


La partícula se mueve con la ola durante el movimiento hacia la costa y en

sentido opuesto durante su movimiento hacia el mar; por ello, se mueve durante

más tiempo hacia la costa.

La velocidad lagrangiana neta así obtenida se refiere frecuentemente a la velocidad

de transporte de masa y su distribución sobre la profundidad, y se escribe, en función de la

coordenada vertical, z, como:

[4.38]

En la ecuación anterior son:

Uorb Amplitud de la velocidad orbital cerca del fondo

c Celeridad de la onda

Frecuencia ( )

De forma similar al caso euleriano, para conseguir una corriente cuya integración en

el periodo sea nula, se ha de superponer una corriente uniforme dirigida hacia el mar, con

lo cual el campo final de velocidades queda:

[4.39]

En la ecuación anterior, D simboliza la profundidad total.

4.4.10.3. Modelo de undertow de Okayasu, Watanabe e Isobe

(1.990)

4.4.10.3.1. Introducción

Los modelos clásicos de undertow no son aplicables en general a zonas fuera de las

de rotura en la región más próxima a la línea de orilla. Para obtener un modelo aplicable en

toda la zona de surf es preciso incorporar una descripción precisa de la atenuación de

energía del oleaje y su distribución o generación de turbulencia basados en el mecanismo

de rotura. Los modelos de transformación de oleaje existentes hasta 1.990 no tomaban en

consideración la energía de los vórtices formados en las crestas de las rompientes (los

roller)



Okayasu, Watanabe e Isobe (1.990) incorporaron estos efectos a su modelo, que es el

utilizado por DPP2, y que a continuación se expone.

4.4.10.3.2. Variación vertical de la tensión cortante media y la viscosidad

La tensión de Reynolds y el coeficiente de viscosidad se evalúan cuantitativamente a

partir de la disipación de energía por medio de análisis dimensional.

Battjes (1.975) obtuvo el valor siguiente de la turbulencia:

[4.40]

La tensión cortante horizontal integrada en la vertical, m, y la viscosidad integrada

en la vertical, m, se escriben como:

[4.41]

En la expresión anterior, las dos constantes, C y C se toman, respectivamente, como

0.02 y 0.03.

Se supone que tanto la tensión cortante, , como la viscosidad, , son funciones

lineales de la profundidad z’ [ver Okayasu et al. (1.988)], y así:

[4.42]

[4.43]

En las ecuaciones anteriores, dt es la profundidad en los senos de las olas. De ellas se

deduce que:

[4.44]



[4.45]

[4.46]

4.4.10.3.3. Variación vertical del undertow

Si bien la viscosidad molecular, , es mucho menor que la viscosidad del fluido

(eddy), e en la zona de surf, no puede ser despreciada incluso en la zona offshore, en las

proximidades del fondo. La viscosidad total ha de ser definida, por tanto, como:

[4.47]

Utilizando el modelo de viscosidad eddy la relación entre la tensión tangencial

horizontal media, , y la velocidad en dirección a la orilla, U, es:

[4.48]

Si se sustituyen ahora las ecuaciones que definen la tensión tangencial y la

viscosidad en la anterior, se obtiene:

[4.49]

En la ecuación anterior, C1 es una constante de integración que se obtiene en

términos del flujo de masa realizado por el oleaje en rotura, Mt, como:

[4.50]

El flujo de masa, como es sabido, puede evaluarse a partir de la energía potencial del

oleaje, como

[4.51]

La energía potencial se calcula en función del nivel de agua, , como:

[4.52]



En la ecuación de Mt, la expresión Ev representa la energía almacenada en los

vórtices. De esta forma, la energía total será la suma de la energía del oleaje (aquí

representada como E) y Ev. El flujo de energía Ev satisface la ecuación:

[4.53]

Como se ha indicado, DB, es la disipación unitaria de energía por rotura, a través de

los fenómenos de turbulencia, y TB representa la tasa de transferencia de energía del oleaje

a los vórtices, por unidad de longitud y anchura, expresada como:

[4.54]

La ecuación del undertow se modifica como a continuación se indica, con objeto de

lograr continuidad en los límites de la zona de surf, obteniendo así la distribución vertical

propuesta por Longuet-Higgins (1.953):

[4.55]

[4.56]

Los valores de los segundos términos de los segundos miembros de las ecuaciones

que definen a’ y b’ son mucho menores que los de los primeros en la zona más próxima a

la orilla. El parámetro a representa la amplitud del oleaje.

4.4.10.4. Modelo de undertow de Cox y Kobayashi (1.997)16

Cox y Kobayashi presentaron un modelo de undertow en 1.997 (ver nota al pie) que

combina el perfil parabólico convencional con un perfil logarítmico en la capa límite, en la

que el perfil de undertow ha sido comprobado utilizando los datos de Cox et al. (1.996).

16 Cfr. COX, D.T.; KOBAYASHI, N. (1.997): A kinematic undertow model with a logarithmic boundary layer. Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering 123 (6), 354 - 360



Adicionalmente, Cox y Kobayashi (1.998)17, como el flujo medio bajo el valle de una

ola (que es un dato de entrada al modelo de undertow) puede ser predicho a través del

conocimiento de la altura de ola media cuadrática.

4.4.10.5. Corrientes integradas en la vertical (modelo 2DH)

Este apartado muestra la forma de evaluar las corrientes inducidas por el oleaje. No

obstante, la obtención aquí realizada no permite calcular el transporte transversal, puesto

que se trata de corrientes integradas en la vertical, por lo que no sirven para obtener la

distribución vertical de velocidades (ver apartado anterior), ni para evaluar la aportación de

la asimetría del oleaje. Se trata del modelo 2DH, que se utilizará a efectos de calcular la

velocidad de corriente a efectos de interacción con el oleaje. El modelo de corrientes 2DV,

empleado para el modelado del perfil transversal propiamente dicho, se ha expuesto en el

apartado relativo al undertow.

Las corrientes inducidas por el oleaje se pueden obtener a partir del concepto de

conservación de masa18 y momento. Las ecuaciones que definen matemáticamente esos

conceptos se muestran en los apartados siguientes.

4.4.10.5.1. Ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad se puede escribir como sigue, en su expresión más

general:

[4.57]

Si se aplican aquí las simplificaciones de uniformidad longitudinal y condiciones

estacionarias, las derivadas respecto de y y respecto de t se anulan, según lo establecido en

4.5, quedando la ecuación siguiente:

[4.58]

Esta ecuación significa que el flujo de masa promediado en el tiempo es constante en

el perfil. Dado que este flujo es nulo en la línea de orilla y fuera de la zona dominada por la

rotura del oleaje, parece que debería ser U = 0 en todo el perfil. Es evidente que esto sólo

ocurre si se asume la hipótesis de uniformidad longitudinal.

4.4.10.5.2. Ecuaciones del momento17 Cfr. COX, D.T.; KOBAYASHI, N. (1.998): Application of an undertow model to irregular waves

on plane and barred beaches. Journal of Coastal Research, 14 (4), 1314 - 132418 Ecuación de continuidad



Las ecuaciones del momento referidas, respectivamente a la dirección normal a la

orilla (eje x) y a la paralela a dicha línea (eje y) son:

[4.59]

donde los nuevos símbolos empleados representan:

Fi : componentes de las fuerzas inducidas por el oleaje

<> : tensión cortante media en el fondo

Rij : componentes del tensor de tensiones de Reynolds, integradas en la vertical

y promediadas en el tiempo.

La formulación del tensor de Reynolds es:

[4.60]

En la ecuación [4.40], U son las componentes de la velocidad y x, las coordenadas.

La dirección de ambas viene definida por el subíndice, que será i para la dirección x y j

para la dirección y. El coeficiente t representa la viscosidad19.

Para evaluar la fuerza inducida por la acción del oleaje se puede utilizar la siguiente

expresión:

[4.61]

Si la pendiente es pequeña y se tiene en cuenta la hipótesis de uniformidad

longitudinal, la ecuación [4.41] resulta ser:

[4.62]

La tensión cortante promediada en el tiempo se puede escribir20:

19 Cf. Rivero (1.995)20 Cf. Puerto (1.996)



[4.63]

donde W es:

[4.64]

La función b se escribe:

[4.65]

La oblicuidad se representa por .

4.5. El modelo de Battjes y Janssen (1.978)

El modelo de Battjes y Janssen (1.978)21 proporciona el campo de oleaje irregular,

calculando en cada punto de perfil la altura de ola media cuadrática, Hrms, en función de los

datos de partida. La fracción de olas rotas, Qb, permite la evaluación de la disipación de

energía por rotura de oleaje.

El primer punto positivo: el modelo BJ es eficiente desde el punto de vista del

esfuerzo computacional (como antes se indicó, este es un punto de primordial importancia

si se desea calcular el movimiento de arenas en el perfil), proporcionando predicciones

razonablemente precisas.

Como una de las primeras cuestiones negativas, algunas autores afirman que el

modelo BJ no proporciona una descripción precisa de la fracción de olas rotas. Sin

embargo, puede decirse que calcula razonablemente bien22 la pérdida de energía fuera de la

zona de surf, siendo muy útil en estas posiciones.

Por otra parte, otra de las deficiencias del modelo BJ estriba en el hecho de que la

distribución de la altura de ola Hrms no constituye una buena representación de la altura de

ola medida según la función de distribución de probabilidad, a consecuencia de su

truncamiento en el punto de rotura. Sin embargo, los ensayos de validación realizados por

numerosos autores muestran una aproximación razonable.

A pesar de los inconvenientes descritos, el modelo BJ permite realizar la predicción

de la transformación del oleaje sobre un perfil de playa. El estado del mar utilizado como

21 En lo sucesivo, BJ22 Cf. Nairn (1.990)



dato de entrada al modelo está representado por la altura de ola media cuadrática, Hrms, y

su periodo asociado, T. Se asume que el estado del mar responde a un espectro de energía

con poca dispersión de frecuencias, y unidireccional23.

El modelo BJ se basa en dos conceptos principales:

La distribución de altura de ola en cualquier profundidad se puede describir por

una distribución truncada de Rayleigh

La integración simultánea de las ecuaciones de energía y momento en dirección

a la orillaEn cualquier caso, el segundo de los conceptos indicados implica que el modelo BJ

describe la evolución de una serie de oleaje regular (dado que utiliza la ecuación de la

energía, que se refiere a una única ola), pero aplica el concepto de disipación de energía a

una serie de oleaje irregular (lo que se deduce del primer concepto).

4.5.1. Descripción de la evolución de la altura de ola

4.5.1.1. Fracción de olas rotas

Como se indicado anteriormente, la distribución de Hrms puede ser descrita por una

distribución de Rayleigh truncada.

Tabla 3.7.- .- Ejemplo de aproximación de la ecuación [4.38]

Expresado de otra forma, se supone que las olas que no han roto siguen esa

distribución, truncada a la máxima altura de ola, Hm, físicamente compatible con la

profundidad en cada punto (es decir, la altura de ola en rotura). Se supone que todas las

olas rotas tienen esa altura, y así, están representadas por una función delta.

La fracción de olas rotas, Qb, se calcula según Collins (1.992) y Battjes (1.972)

como:23 Cf. Nairn (1.990)



[4.66]

Para simplificar su resolución, la primera de las ecuaciones [4.46] se puede escribir:

[4.67]

que puede ser resuelta por iteraciones sucesivas. Como ejemplo, el gráfico siguiente

muestra el proceso de aproximación para un punto en que Hm = Hrms = 3.0 m, y se utiliza un

valor inicial Qbi = 0.00.

Tabla 3.8.- .- Evaluación de Qb por métodos numéricos

La expresión [4.49] corresponde al área bajo la distribución de Rayleigh truncada en

Hb.

4.5.1.2. Simplificación de la formulación de Qb

La expresión [4.49] no es eficiente si se tiene en cuenta el hecho de que para una

malla de 100 x 100 nodos (por ejemplo), ha de resolverse 10.000 veces, lo que supone en

torno a 60.000 cálculos durante el proceso.



Tabla 3.9.- .- Valores de Qb interpolados

Si se dibuja un gráfico en ejes [Qb, y], en el que se representen la recta y = (Qb -1)

por un lado y la familia de curvas , para valores de entre 0 y 1, se

obtiene la figura 4.8.

En esta figura, los puntos de intersección de la recta con la familia de curvas

muestran los valores del parámetro Qb para los distintos valores del cociente de alturas de

ola.

Ajustando después una curva a estos puntos se obtiene una relación entre la fracción

de olas rotas y el cociente de alturas de ola mucho más rápido de evaluar y con un error

reducido.

Los puntos obtenidos se dibujan en una gráfica (figura 4.9) y se ajustan por medio de

una función de regresión.

Los valores de Qb están acotados entre 0 y 1. Representan la fracción de olas rotas en

un registro de oleaje, por lo que no es lógico que tome un valor fuera de ese intervalo.

Lógicamente, por la propia definición de las alturas de ola involucradas, la altura de ola

media cuadrática ha de ser siempre menor que la máxima altura de ola compatible con la

profundidad. Esto implica que , y para este intervalo, la solución a la

ecuación [4.60] supone que , como se representa en la figura 4.9.



QB

0.1 00.2 0,0070.3 0,0410.4 0,1070.5 0,2030.6 0,3240.7 0,4590.8 0,630.9 0,811.0 1

Tabla 4.1.- Interpolación de Qb

Se han dibujado estos valores en una gráfica, obteniendo la curva de la figura 4.9. se

procedió después a ajustar varias curvas a estos puntos, obteniendo los resultados que

muestra la tabla 4.3

Función ajustada Coeficiente de correlación

Error

Qb = 1.3743312 + 1.3755224·cos(1.4921932x + 2.9452849)

0.9999776 0.0029196

Qb = -0.0083666664 + 0.28161456x - 3.3409797x2 + + 16.133501x3 - 26.853899x4 + 21.524038x5 - 6.7361111x6

0.9999861 0.0032534

Qb = (-0.0084624934·2.3220693+3.3390885x2.7020624)//( 2.3220693+x2.7020624)

0.9999395 0.0047980

Qb = -0.0035833333 - 0.17947727x + 1.1958333x2 0.9997201 0.00954970.9999395 0.0047980

Tabla 4.2.- Algunos ajustes a la función Qb

De entre las funciones ajustadas a la muestra, la que mejor se ajusta es el polinomio

de sexto grado, con un coeficiente de correlación r = 0.9999861 y un error s = 0. 0032534.

No obstante, cualquiera de las funciones representadas en la tabla 4.3 presentan un ajuste

suficientemente aproximado, por lo que cualquiera de ellas puede ser utilizada.

Una función más sencilla es la MMF Model, con unos coeficientes de correlación y

error similares:

[4.68]

Con esto se eliminan las iteraciones necesarias para resolver la ecuación [4.50], con

lo que el esfuerzo computacional en la obtención del Qb se puede dividir por 6, teniendo así

un esquema mucho más eficiente.



4.5.1.3. Evaluación del resto de los parámetros

4.5.1.3.1. Altura de ola en rotura

4.5.1.3.1.1. Criterio de Miche (1.951) y Hamada (1.951)

Ambos investigadores llegaron, independientemente, a la expresión siguiente:

[4.69]

En la ecuación anterior, tanto L como d se miden en el punto en estudio.

4.5.1.3.1.2. Criterio de Miche (1.954)

Como se ha indicado en párrafos anteriores, esta aproximación supone que una ola

rota tiene una altura igual a Hm. Su valor puede ser evaluado de diversas formas. Aquí se

ha utilizado el criterio de Miche (1.954), en función del parámetro de calibración :

[4.70]

Battjes y Stive (1.985), a partir de una serie de ensayos de laboratorio, desarrollaron

la expresión siguiente para permitir el cálculo del parámetro de calibración:

[4.71]

que, según se ha visto, varía ligeramente con el peralte del oleaje en profundidades

indefinidas (para el rango de datos ensayados). En esos ensayos no se encontraron

relaciones entre y la pendiente de la playa.

4.5.1.3.1.3. Criterio de Weggel (1.972)

Existen otros criterios de rotura, como el de Weggel (1.972), desarrollados para

oleaje monocromático, que muestran una relación entre peralte y rotura de oleaje. Parece

que el oleaje irregular se comporta de modo semejante. Es el criterio de rotura utilizado por

Southgate (1.989).

Modificada posteriormente por el CERC, figura en el Shore Protection Manual

como:



[4.72]

Los parámetros “a” y “b” se formulan en función de la pendiente, m, y de un nuevo

parámetro empírico, a’, como sigue:

[4.73]

[4.74]

El parámetro a’ fue determinado empíricamente por Wieggel como a’ = 0.78. Sin

embargo, posteriormente, Southgate (1.989) vio la necesidad de aumentarlo, tomando un

valor a’ = 1.18.

El efecto físico de a’ estriba en retrasar el comienzo de la rotura.

4.5.1.3.1.4. Criterio de Thornton y Guza (1.983-86)

Otros datos, proporcionados por Thornton y Guza (1.983 / 1.986), permitieron a

Nairn (1.990) encontrar una expresión similar a la de Battjes y Stive:

[4.75]

Con respecto a la fracción de olas rotas, quizá otras distribuciones de altura de ola

son más realistas que la de Rayleigh, tomando en consideración el hecho de que las olas

rotas tienen una altura de ola diferente de Hm, como las propuestas por Kuo y Kuo (1.974)

y Goda (1.975). En cualquier caso, la distribución utilizada muestra suficiente precisión

para el tipo de modelo propuesto. No ha de perderse de vista el hecho de que este tipo de

modelo hidrodinámico ha de formar parte de otro más complejo (el de evolución del perfil)

y que ha de ser corrido numerosas veces (cada vez que el perfil se modifica), lo que hace

necesaria una gran sencillez no exenta de robustez y precisión suficiente.

Thornton y Guza (1.983) utilizaron una aproximación más realista separando olas

rotas y no rotas, utilizando también una distribución de Rayleigh. Sin embargo, Nairn

(1.990) criticó esta nueva aproximación, argumentando el hecho de no existir datos

suficientes para validarla.



4.5.2. Integración de las ecuaciones de energía y momento

4.5.2.1. Ecuación de la energía

La ecuación de conservación del flujo de energía, que constituye el corazón del

modelo, se puede escribir como:

[4.76]

donde D representa la disipación total de energía.

Siguiendo a Betherton y Garret (1.969) se puede demostrar que, cuando una

corriente interactúa con el oleaje, la densidad de energía varía, pero un nuevo parámetro

permanece constante; este parámetro es denominado acción de las olas, y se representa por

[4.77]

Esta magnitud se propaga con una celeridad , donde U es la velocidad de la

corriente que interactúa con el oleaje. En estas condiciones, la ecuación [4.51] queda, en

términos vectoriales:

[4.78]

en la que D incluye, como antes, todo tipo de disipación de energía.

Desarrollando la ecuación en el sistema de referencia mostrado en la figura 4.2 se

tiene:

[4.79]

donde Do recoge todas aquellas formas de disipación de energía no tratadas en el presente

capítulo, que han sido la debida a fricción don el fondo (Df) y por rotura del ,oleaje (Db).

Aplicando las hipótesis de uniformidad longitudinal e inexistencia de corriente

transversal (U = 0), la ecuación anterior queda finalmente:

[4.80]

que es la ecuación con la que se trabajará para construir el modelo DPP24.

24 Dinámica del Perfil de Playa.MODELO MATEMÁTICO

17/4/AA : 21:2030


Así, una vez integrada la ecuación diferencial y obtenida la corriente longitudinal

generada por el oleaje, se deberá rehacer el cálculo modificando la frecuencia relativa en

los siguientes términos:

[4.81]

4.5.2.2. Ecuación del momento

La ecuación del momento viene dada por [4.37]. En ella, Sxx es la tensión de

radiación, componente del tensor de radiación en la dirección normal a la orilla. El

segundo sumando incluye la profundidad, d, y la elevación de la superficie del mar, ,

cuyo cálculo permitirá conocer el set-up producido por el oleaje. La suma de ambos

factores dará la profundidad total, d + .4.5.3. Consideraciones

El modelo BJ está relacionado con la definición de variación (energética o espectral).

Considera el estado del mar como un único tren de ondas unidireccional, caracterizado por

dos elementos: la altura de ola media cuadrática, Hrms, y su periodo asociado, T.

Según Nairn (1.990), los parámetros de altura de ola pueden ser determinados

utilizando una definición de varianza en la que las expresiones se derivan de la asunción de

que los desplazamientos libres de la superficie constituyen un proceso gausiano de banda

estrecha. La varianza es equivalente a la energía espectral total de un registro de oleaje

determinada a través de una transformación de Fourier. Esta aproximación a la definición

de los parámetros de altura de ola es implícita en el modelo BJ, llevando a las siguientes

expresiones:

[4.82]

[4.83]

en la cual es la raíz cuadrada de la varianza de la superficie y el subíndice m0 se refiere

al momento de orden cero del espectro.

Dado que la energía total permanece constante en el modelo BJ, la altura de ola H rms

determinada a partir de la varianza de la energía no está influida por la transferencia de

energía entre las frecuencias armónicas altas.



El modelo BJ no provee una definición realista de la fracción de olas rotas (Qb), pero

por otra parte parece proporcionar una aproximación razonable de la pérdida de energía25

fuera de la zona de surf, lo que es útil para los puntos allí localizados.

El modelo BJ presenta, entre otras, la gran ventaja de una gran eficiencia

computacional, al tiempo que proporciona predicciones con un grado de precisión

razonable.

Otra desventaja del modelo BJ estriba en su reducida utilidad para modelizar perfiles

barrados, debido al hecho de presentar una mala definición del oleaje en los senos de las

barras. Su propia definición hace que su principal campo de validez se centre en las playas

monotónicas. Así, es muy difícil modelizar el cambio de perfil de temporal a bonanza con

el modelo.

4.6. El modelo de Dally, Dean y Dalrymple (1.985)26

4.6.1. Fundamentos

El modelo D3 se basa en una formulación similar a la del modelo BJ en cuanto a la

ecuación base del movimiento: el flujo de energía.

[4.84]

En la ecuación anterior el significado de las variables de nueva aparición es el

siguiente:

: Coeficiente empírico de decay

F : Flujo de energía (= E·Cg) [N·m/m·s]

Fs : Flujo de energía estable [N·m/m·s]

El coeficiente de decay controla la disipación de energía, en tanto que el flujo de

energía estable determina qué cantidad de disipación de energía es necesaria para que se

alcancen las condiciones de estabilidad una vez la rotura se ha iniciado. A este respecto, la

condición de ola estable se refiere a un estado en el cual cesa la disipación de energía

debida a la rotura, y por tanto cesa este proceso y la ola se recompone.

El flujo de energía estable se expresa como sigue:

25 Relativa a los fenómenos representados por las técnicas de saturación de energía espectral26 En adelante, denominado D3



[4.85]

expresión en la cual Es es la densidad de energía estable [N·m/m2]. La altura de ola estable

se define como una fracción de la profundidad, a través de un coeficiente empírico, :

[4.86]

El modelo D3 introduce, por tanto, dos nuevos parámetros: y . Los valores de

estos coeficientes parecen variar poco en un amplio rango de condiciones, tanto en campo

como en laboratorio. Dally, Dean y Dalrymple recomiendan adoptar los siguientes valores:

= 0.15 y = 0.4, a partir de ensayos de laboratorio.

Durante la validación del modelo con los datos obtenidos por Kajima et al. (1.983) se

vio que estos coeficientes podrían ser dependientes de la pendiente del fondo. Sin

embargo, no pudo desarrollarse ningún tipo de ecuación que los relacionase.

4.6.2. Ventajas e inconvenientes respecto del modelo BJ78

La ventaja más notable que el modelo D3 presenta sobre el BJ78 consiste en que, por

su propia definición, funciona razonablemente bien tanto sobre perfiles monotónicos como

sobre perfiles barrados. Sobre estos últimos, la definición de la variación del flujo de

energía en función de la energía de la ola estable, permite la reformación de la ola rota una

vez se alcanzan las condiciones oportunas para ello. Así, una ola puede romper,

regenerarse y romper de nuevo, repitiendo el proceso las veces necesarias, en función de

las condiciones batimétricas.

Por otra parte, los modelos basados en oleaje regular tienden a acentuar las

características de los perfiles, por el hecho de que el oleaje rompe una y otra vez sobre el

mismo punto, cuya profundidad es la rotura, db.

Para evitar este último inconveniente, manteniendo las ventajas del modelo, Larson

(1.995)presentó un modelo de oleaje irregular que implementó con el D3 en su modelo

existente, SBEACH. Más adelante se expone su desarrollo teórico.

4.7. Modelo de Larson (1.995)

4.7.1. Introducción

Como se ha indicado en 4.6.2 Larson desarrolló un modelo de oleaje irregular con el

objeto de eliminar el inconveniente que presenta el modelo D3 respecto a funcionar con

oleaje monocromático.



Su fundamento consiste básicamente en conseguir una altura de ola media cuadrática

que represente a las tres fracciones de olas presentes en un registro:

Olas que aún no han roto

Olas rotas

Olas que han roto y se han formado de nuevo para volver a romper cuando se

den las oportunas condiciones.

4.7.2. Desarrollo teórico

Larson asume que el oleaje, más allá del punto de rotura, puede ser descrito por

medio de una función de distribución de Rayleigh (Longuet-Higgins, 1.95227). Esta función

de distribución se puede escribir como:

ecuación 4-1.- Función de distribución de Rayleigh

La ecuación 4-1 muestra la probabilidad de que una ola tenga una altura menor o

igual que H.

Dentro de un registro, es conocido que la altura de ola media cuadrática se puede

escribir como:

ecuación 4-2.- Altura de ola media cuadrática

Supóngase ahora que coexisten, en la zona de surf, olas rotas, y no rotas, en número

números m y n, respectivamente. Evidentemente, N = m + n, y sus fracciones serán

y

Si dentro del grupo de olas no rotas se incluyen también aquellas que ha dejado de

romper, es decir, las que se han reformado tras su rotura, se tendrá que n = u + r, siendo u

el número de las no rotas y r el de las reformadas. Se introducen dos nuevos coeficientes:

27 Cfr. LONGUET-HIGGINS, M.S. (1.952): On the statistical distribution of the heights of sea waves. Journal of Marine Research 11, 245-266



y siendo, obviamente, N = m + u + r, y + + = 1. Todos estos valores

son función de punto, y por tanto, de la coordenada transversal a la orilla, dado que sus

valores dependen de la profundidad del punto de cálculo.

Para cada uno de los tres grupos de olas se pueden definir su alturas de ola medias

cuadráticas, según la ecuación 4-2, es decir:

ecuación 4-3.- Altura de ola media cuadrática de las olas rotas

e igualmente para las demás, con lo cual:

ecuación 4-4

Y finalmente, se puede escribir:

ecuación 4-5

Utilizando la ecuación 4-4, todas las olas del registro se pueden definir en términos

de una altura de ola media cuadrática.

4.8. Aplicación del modelo de Larson (1.995) al modelo D3

4.8.1. Introducción

Como se ha visto en 4.6, Dally, Dean y Dalrymple (1.985), propusieron un modelo

de transformación de oleaje en la zona de surf, asumiendo que la disipación de energía por

medio de la rotura del oleaje es proporcional al exceso de flujo de energía sobre un valor,

denominado estable, que depende únicamente de la profundidad.

La aplicación del modelo de Larson (1.995) al D3 permite utilizar las propiedades

del oleaje irregular en una descripción matemática del proceso de transformación que ha

arrojado comparaciones favorables con datos de campo y laboratorio.


4.8.2. Aplicación del modelo

Asumiendo una distribución de Rayleigh en la zona offshore, representada por un

grupo de N olas, en las que coexisten las rotas y las no rotas, estas se propagan a través de

la zona de surf según:

[4.87]

[4.88]

correspondiendo las ecuaciones anteriores a olas no rotas y rotas, respectivamente, con las

definiciones dadas en 4.6.1. En este caso, Fi corresponde al flujo de energía de cada ola

individual y d es la profundidad total (incluyendo el set-up). La constante se toma igual a

0.15.

Como ya se sabe, los parámetros físicos involucrados en el proceso son:

[4.89]

[4.90]

[4.91]

[4.92]

[4.93]

Así las cosas, las ecuaciones generales de gobierno del modelo, si se dividen por

1/8g, quedan:

[4.94]

[4.95]


La primera de ambas ecuaciones se refiere a la zona offshore, y la segunda, a los

puntos en que ya se ha iniciado la rotura.

Dado que el modelo D3 es "wave by wave", las ecuaciones anteriores se refieren a

cada ola. Por tanto, si se suman las ecuaciones para las n(x) olas no rotas y las m(x) olas

rotas, se obtiene:

[4.96]

[4.97]

Si se suman ahora ambas, y recordando que es N = n(x) + m(x) x, se tendrá una

única ecuación para todo el grupo de olas. Dado que además Cg y d son únicamente

funciones de x y que N es una constante, se puede escribir:

[4.98]

Si se dividen ahora por N ambos miembros de la ecuación, se obtiene:

[4.99]

donde es la fracción de olas rotas ( = m/N).

Anteriormente (epígrafe 4.7.2) se han visto las relaciones existentes entre las alturas

de ola media cuadrática del registro completo de oleaje, la de las olas rotas, las no rotas y

las reformadas. Esta relación se puede escribir: ·Hm2 = Hrms

2 - (1 - ·Hn2, y entonces, la

ecuación anterior queda:

[4.100]

Si se introduce ahora el concepto de flujo de energía y

4.9. Modelo de transporte sólido

Los procesos físicos involucrados en el tema del transporte sólido son lo

suficientemente complicados como para requerír por sí sólos un tratamiento específico

(puede verse, por ejemplo, Mei, 1.990; Dean y Dalrymple, 1.991; Dingemans, 1.994;

Fredsoe y Deigaard, 1.992; Nielsen, 1.992).


Este apartado no pretende significar una revisión de estos procesos ni de las

diferentes formas de tomarlos en consideración, bastando para ello lo contenido en el

capítulo 2. Aquí se utilizará un modelo sencillo que permita, sin embrago, alcanzar el fin

perseguido.

La ecuación que proporcione el transporte sólido puede ser muy diversa, pero

siempre ha de indicar que el transporte transversal es una función de las propiedades del

sedimento, del perfil transversal, del oleaje que se propaga sobre él, y de las condiciones de

contorno.

En este trabajo se utilizará la ecuación de transporte sólido propuesta por Larson y

Kraus (1.989), utilizada en su modelo SBEACH.

Tabla 3.10.- .- Esquema de definición de las cuatro zonas de transporte sólido que se consideran

Para ello se utilizará el esquema mostrado en la Tabla 3.10.-.

Se distinguen cuatro regiones diferentes a lo largo del perfil transversal, según lo

mostrado en la Tabla 3.10.-, antes citada. Estas regiones presentan diferentes relaciones de

transporte sólido, definidas en diferentes conceptos de dinámica litoral, generalmente

aceptados, en ellas. A continuación se definen los rasgos característicos de cada una de

ellas:

Región de pre-rotura. Se extiende entre el límite del perfil transversal y el punto de

rotura. El límite del perfil se entiende definido por la profundidad, calculada

según los métodos en uso. En la Tabla 3.10.- se indica como zona I. En esta

zona el transporte sólido está dominado por el que ocurre en la zona de rotura,


en la que el flujo de transporte se dirige principalmente hacia la costa. Sin

embargo, los procesos físicos que lo dominan son muy diferentes a ambos

lados de los límites de la región.

Región de transición. Indicada como zona II en la Tabla 3.10.-, se extiende entre los

puntos de rotura y plunging.

Región de olas rotas. Se extiende entre el punto de plunging y aquel en que se

verifica el cese del proceso de rotura. Se indica en la Tabla 3.10.- como zona

III. En esta zona se produce la mayor parte de la disipación de la energía del

oleaje, como consecuencia de los procesos de rotura. A lo largo del perfil se

pueden alternar varias regiones de los tipos II y III si se producen varias

roturas sucesivas.

Región de swash. Esta zona ha de definirse forzosamente, debido a las diferentes

características que presenta el transporte sólido inducido por los procesos de

swash, que lo hacen diferir notablemente de los verificados en la zona de surf.

En esta zona, el transporte sólido depende principalmente de las

características del bore en el run-up, así co o también de la pendiente local y

de las características del sedimento. El límite de esta región puede ser

considerado sin problemas como el punto en que se deja de verificar el

transporte sólido transversal

El transporte sólido en la zona I ha sido estudiado intensivamente, tanto mediante

estudios de campo como de laboratorio, encontrándose modelos como los de Inman

(1.957), Dingler e Inman (1.977), Nielsen (1.979) o Sunamura (1.981) que indican que el

transporte sólido se encuentra gobernado principalmente por la dinámica de los ripples.

Existen formulaciones más sofisticadas, como las de Madsen y Grant (1.977) y Sato y

Horikawa (1.987), basadas en experimentos realizados en laboratorio, que describen el

transporte sólido en microescalas temporales y espaciales que no concuerdan con la

aproximación que se busca en este trabajo.

Cuando la ola se aproxima a la zona de rotura adquiere una forma más acorde con la

teoría cnoidal, que muestra olas muy peraltadas con valles poco profundos pero muy

anchos. Esto produce una asimetría notable en el plano vertical, que se traduce también en

una gran asimetría del campo de velocidades, tanto mayor cuanto más alta es la ola. Esto

causa diferencias entre el movimiento hacia la orilla y hacia el mar. Dado que las


corrientes más intensas se producen hacia la orilla, hacia allí se dirigirá el material más

grueso, lo que causa una gradación en los tamaños del sedimento28.

4.9.1. Formulación del transporte sólido

La distribución del transporte sólido se evalúa utilizando la zonificación del perfil

mostrada en la Tabla 3.10.-.

Predomina el transporte sólido hacia la orilla cuando se forma el perfil de calma,

mientras que en el perfil de erosión es el transporte hacia el mar el que domina. Esta

aproximación es buena si el perfil no se encuentra muy próximo a su forma de equilibrio,

en cuyo caso podrían coexistir ambos tipos detransporte en diferentes regiones del mismo.

Tanto Moore (1.982) como Kriebel (1.982) utilizaron formulaciones de transporte

para la zona de surf, en las que el transporte sñoido es proporcional al exceso de disipación

de energía por unidad de volumen sobre una disipación de equilibrio en la cual el perfil no

sufre cambios significativos. Dean (1.977) mostró que un perfil de equilibrio deriva del

concepto de disipación constante de energía por unidad de volumen de agua desde el punto

de rotura y dirigida hacia la orilla, corresponde a una forma de tipo exponencial con

exponente m= 2/3:

[4.101]

Para la región III, en la que se verifica la mayor parte de la disipación de energía, se

ha elegido la siguiente ecuación que gobierna el transporte sólido:

[4.102]

en la que son:

K Coeficiente empírico de transporte sólido

D Disipación unitaria de energía

Deq Disipación unitaria de energía en equilibrio

Coeficiente de transporte para el término dependiente de la pendiente

28 Cfr. Ippen e Eagleson (1.955)


4.10. Modelo morfodinámico

El modelo morfodinámico pretende mover el perfil a expensas del transporte sólido

calculado mediante el modelo descrito en el punto 4.9.

La ecuación que gobierna el modelo es la misma de continuidad, pero en este caso

aplicada al perfil transversal, esto es:

[4.103]

En otras palabras, la ecuación anterior (en la que p es la porosidad del material),

indica que el gradiente transversal de transporte sólido se emplea en mover el perfil, sin

pérdida de material.

El procedimiento consiste en evaluar, en cada escalón de tiempo, el transporte sólido

en todo el perfil, actualizando éste inmediatamente después. En esta actualización ha de

intervenir asimismo una subetapa en la cual se compruebe su estabilidad estática


capítulo 4.- modelo numérico

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