Download - Capítulo 4.- Modelo numérico
Capítulo Capítulo
Modelo matemáticoModelo matemático"Ya pronto se acerca
el fatal momento;¿tranquila lo esperas?
¡Temblando lo espero!"Manuel Paso
Sumario del capítulo
4. INTRODUCCIÓN
4.1. DOMINIO DE LA SIMULACIÓN NUMÉRICA
4.2. VISIÓN GENERAL DEL MODELO
4.3. HIPÓTESIS DE PARTIDA
4.4. CONCEPTOS GENERALES
4.4.1. ECUACIÓN DE DISPERSIÓN
4.4.2. EL NÚMERO DE ONDA
4.4.3. OBLICUIDAD
4.4.4. CELERIDAD DE GRUPO
4.4.5. VELOCIDAD ORBITAL
4.4.6. DISIPACIÓN DE ENERGÍA
4.4.6.1. Disipación debida a fricción con el fondo
4.4.6.2. Disipación debida a rotura de oleaje
4.4.7. ENERGÍA DEL OLEAJE
4.4.8. TENSIÓN DE RADIACIÓN
4.4.9. SET-UP
4.4.10. CORRIENTES INDUCIDAS POR EL OLEAJE
4.4.10.1. Corriente euleriana en ondas de Stokes
4.4.10.2. Corriente lagrangiana en ondas de Stokes
4.4.10.3. Modelo de undertow de Okayasu, Watanabe e Isobe (1.990)
4.4.10.3.1. Introducción
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CCAPÍTULOAPÍTULO 4. - M 4. - MODELOODELO MATEMÁTICOMATEMÁTICO
4.4.10.3.2. Variación vertical de la tensión cortante media y la viscosidad
4.4.10.3.3. Variación vertical del undertow
4.4.10.4. Modelo de undertow de Cox y Kobayashi (1.997)
4.4.10.5. Corrientes integradas en la vertical (modelo 2DH)
4.4.10.5.1. Ecuación de continuidad
4.4.10.5.2. Ecuaciones del momento
4.5. EL MODELO DE BATTJES Y JANSSEN (1.978)
4.5.1. DESCRIPCIÓN DE LA EVOLUCIÓN DE LA ALTURA DE OLA
4.5.1.1. Fracción de olas rotas
4.5.1.2. Simplificación de la formulación de Qb
4.5.1.3. Evaluación del resto de los parámetros
4.5.1.3.1. Altura de ola en rotura
4.5.1.3.1.1. Criterio de Miche (1.951) y Hamada (1.951)
4.5.1.3.1.2. Criterio de Miche (1.954)
4.5.1.3.1.3. Criterio de Weggel (1.972)
4.5.1.3.1.4. Criterio de Thornton y Guza (1.983-86)
4.5.2. INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DE ENERGÍA Y MOMENTO
4.5.2.1. Ecuación de la energía
4.5.2.2. Ecuación del momento
4.5.3. CONSIDERACIONES
4.6. EL MODELO DE DALLY, DEAN Y DALRYMPLE (1.985)
4.6.1. FUNDAMENTOS
4.6.2. VENTAJAS E INCONVENIENTES RESPECTO DEL MODELO BJ78
4.7. MODELO DE LARSON (1.995)
4.7.1. INTRODUCCIÓN
4.7.2. DESARROLLO TEÓRICO
4.8. APLICACIÓN DEL MODELO DE LARSON (1.995) AL MODELO D3
4.8.1. INTRODUCCIÓN
4.8.2. APLICACIÓN DEL MODELO
4.9. MODELO DE TRANSPORTE SÓLIDO
4.10. MODELO MORFODINÁMICO
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MMODELACIÓNODELACIÓN DEDE LALA DINÁMICADINÁMICA DELDEL PERFILPERFIL DEDE PLAYAPLAYA
4. INTRODUCCIÓN
4.1. Dominio de la simulación numérica
La zona espacial donde se ejecutará la simulación es el perfil transversal de la playa.
La figura 4.1 define las coordenadas espaciales y la posición del perfil.
Tabla 3.1.- .- Dominio de la simulación numérica
En la figura 4.1, la oblicuidad1 inicial se representa por 0, y se mide en el contorno
del modelo, supuesto en profundidades indefinidas2.
Las zonas en el perfil se pueden clasificar por medio de su profundidad relativa,
definida como según sigue:
Profundidades reducidas: e < 0.05
Profundidades intermedias: 0.05 < e < 0.5
Profundidades indefinidas: e > 0.5
1 A efectos del presente modelo, se define la oblicuidad como el ángulo formado por la ortogonal al oleaje y la dirección del perfil de la playa
2 Es decir, donde la profundidad es mayor que una semilongitud de onda
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CCAPÍTULOAPÍTULO 4. - M 4. - MODELOODELO MATEMÁTICOMATEMÁTICO
4.2. Visión general del modelo
La primera tarea a llevar a cabo en cualquier problema que involucre la
hidrodinámica del perfil de playa y su variación bajo la acción del oleaje consiste en el
cálculo de la evolución de la altura de ola - media cuadrática o significante, dependiendo
del tipo de modelo de que se trate -, o bien el periodo del oleaje y la densidad de energía,
promediada en el tiempo, en cada uno de los puntos en que se discretiza el perfil para su
modelación.
Tabla 3.2.- .- Definición de ejes y magnitudes
Este trabajo se divide aquí en dos partes: transformación de oleaje e hidrodinámica.
La primera parte tratará de la descripción del campo de oleaje a lo largo del perfil; en la
segunda, se calcularán las corrientes debidas al oleaje en cada punto.
Una vez terminada la definición del oleaje en el perfil se estará en condiciones de
utilizar un modelo de transporte para evaluar el movimiento de sedimentos y poder
calcular así la evolución del perfil. Este problema será objeto de posteriores publicaciones.
Lo que resulta evidente es la necesidad de disponer de un modelo de oleaje de rápida
ejecución, dado que habrá de recalcularse el campo de oleaje cada vez que se modifique el
perfil por efecto del transporte sólido. Es por tanto, preferible utilizar modelos sencillos y
de fácil manejo, siempre y cuando su precisión sea razonable.
En este libro, el modelo de transformación de oleaje que se utiliza es el debido a
Battjes y Janssen (1.978), que por su sencillez y facilidad de manejo resulta ideal para
utilizar con fines didácticos. En el epígrafe siguiente se indican algunas ideas
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fundamentales relativos al modelo, dejando para los posteriores la exposición de conceptos
básicos.
4.3. Hipótesis de partida
El modelo matemático que se utilizará como herramienta básica supone asumidas las
siguientes hipótesis de partida:
Uniformidad en la dirección longitudinal. Esto implica que para toda función F
involucrada en el proceso, se verifica que . Es decir, se supone que no hay
variación alguna en el sentido longitudinal. Concretamente, que la playa es cilíndrica, o
lo que es lo mismo, que todos los perfiles son exactamente iguales.
Validez de la teoría lineal.
Condiciones estacionarias. Debido a ello, se verifica que para cualquier función F
involucrada en el proceso,
El periodo del oleaje se mantiene constante a lo largo del perfil, salvo que se produzca la
rotura.
4.4. Conceptos generales
4.4.1. Ecuación de dispersión
La longitud de onda se calcula asumiendo la teoría de oleaje de pequeña amplitud.
Sus hipótesis básicas son:
Pequeños valores de las relaciones H/L y H/d
La profundidad y el periodo de oleaje son constantes
Bidimensionalidad del fenómeno en el plano x-z
Las olas son periódicas y con forma constante
El fluido es incompresible
El agua del mar es un fluido ideal sin viscosidad
En estas condiciones, la relación de dispersión (que describe la dependencia de la
celeridad con la frecuencia del oleaje) puede ser escrita como:
2 = g·k·tanh(k·d) [4.1]
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CCAPÍTULOAPÍTULO 4. - M 4. - MODELOODELO MATEMÁTICOMATEMÁTICO
y, dado que /T y k =/L ello conduce a:
[4.2]
La ecuación [4.6] ha de ser resuelta por iteraciones, dado que el número de onda, k,
es una función de la longitud de onda, L. Por otra parte, si se elimina la función
hiperbólica, que puede ser escrita como:
[4.3]
entonces la expresión para la longitud de onda será:
[4.4]
donde L0 es la longitud de onda en profundidades indefinidas, obtenida como
, y Li y Li-1 son, respectivamente, las iteraciones i-ésima y (i-1)-ésima de la
función L. El final del cálculo se verifica cuando se alcanza un determinado criterio de
convergencia, previamente admitido (por ejemplo: cuando ).
Cuando una corriente U, cuya representación vectorial es , actúa sobre
una playa, aparece un nuevo término, denominado como , que intenta tomar en
consideración la interacción entre ésta y el oleaje. Se denomina frecuencia relativa, y su
relación con la frecuencia absoluta, , viene dada por la relación de Doppler, que se
escribe como:
[4.5]
donde es el vector número de onda, como se definirá más adelante (ver 4.6.2). La
ecuación [4.9] puede escribirse como:
= + U·k·cos a + V·k·sen [4.6]
Si únicamente actúa la corriente longitudinal, la ecuación [4.10] se transforma en
= + V·k·sen [4.7]
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La ecuación [4.11] es útil igualmente para modelar la acción que el oleaje ejerce
sobre sí mismo, a través de la corriente longitudinal que genera.
4.4.2. El número de onda
El número de onda es un vector cuya dirección es la del oleaje propagándose hacia la
costa. Se puede definir como el gradiente de fase del oleaje, , es decir: , lo que
implica su irrotacionalidad3. Su módulo depende del valor de la longitud de onda, según la
relación siguiente:
[4.8]
4.4.3. Oblicuidad
La irrotacionalidad del vector número de onda implica que, dado que sus
componentes son (k cos , k sen ), donde k se ha definido previamente (ecuación [4.12]),
ello significa que
[4.9]
Dado que se ha asumido uniformidad en la dirección longitudinal, no hay variación
en la dirección y, y por tanto el segundo sumando es nulo. Por tanto:
[4.10]
La ecuación [4.14] es conocida como Ley de Snell. El valor de la constante es
perfectamente conocido, como es trivial comprobar. Será cte = k0·sen 0.
Por tanto, el valor de la oblicuidad en cada punto resulta ser:
[4.11]
4.4.4. Celeridad de grupo
La celeridad de grupo se refiere a la velocidad de propagación del oleaje. Dado que
la dirección de propagación está definida por el vector número de onda, , el vector
celeridad de grupo se puede escribir en función de su módulo, Cg, como
3 Pues deriva de un potencial (ver ecuación [4.4])
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CCAPÍTULOAPÍTULO 4. - M 4. - MODELOODELO MATEMÁTICOMATEMÁTICO
[4.12]
El módulo del vector es , resultando:
[4.13]
4.4.5. Velocidad orbital
La velocidad orbital en las proximidades del fondo se calcula con el fin, entre otros,
de obtener la disipación de energía del oleaje debida a la fricción con el fondo. Su
formulación, en función de la frecuencia relativa, , la altura de ola media cuadrática,
Hrms, la profundidad, d y el número de onda, k, se puede escribir como:
[4.14]
que debe ser evaluada en cada punto.
Dado que la interacción oleaje - corriente no se suele considerar en la primera etapa
de cálculo4, puede considerarse = en la primera iteración, obtenida ésta última a partir
de la relación de dispersión, según .
Una vez se ha obtenido la corriente, la frecuencia debe ser corregida con el término
de velocidad, según [4.9] y realizar una segunda iteración.
4.4.6. Disipación de energía
La disipación de energía del oleaje se verifica de varias maneras. En el presente libro
trataremos las más básicas: por fricción con el fondo y por rotura del oleaje. A su vez, la
disipación de energía por rotura presenta muchas particularidades, siendo cada una de
ellas, con frecuencia, objeto de estudios y ponencias.
A pesar de las simplificaciones que aquí se emplean, y que se consideran necesarias
en una primera toma de contacto con el problema, no se estima que se pierda eficacia, dado
que durante la construcción de un modelo es sencillo implementar nuevas subrutinas y
módulos que lo perfeccionen.
4 Se calcula inicialmente suponiendo que no existe corriente. Se obtiene ésta con los resultados y se procede al recálculo con la corriente obtenida.
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4.4.6.1. Disipación debida a fricción con el fondo
Tolman (1.972) definió la siguiente expresión para la disipación de
energía del oleaje por fricción con el fondo:
[4.15]
en la que son:uorb : velocidad orbital de las partículas cerca del fondo5
fw : parámetro de fricción
El valor de fw fue obtenido por Nielsen (1.992) como:
[4.16]
En las ecuaciones [4.20], r es el parámetro de Nikuradse, obtenido en función del
tamaño medio de las partículas, como
r = 2.5·D50 [4.17]
4.4.6.2. Disipación debida a rotura de oleaje
Battjes y Janssen (1.978)6 utilizaron una ecuación para evaluar la
disipación de energía debida a la rotura del oleaje que suponía éste
como irregular, y con una distribución de alturas de ola en cada registro
siguiendo la distribución de probabilidad de Rayleigh. La disipación es,
lógicamente, proporcional a la fracción de olas rotas en cada punto,
denominada Qb por ellos. Es precisamente para el cálculo del Qb para lo
que se asume la función de distribución de Rayleigh.
La expresión del Qb se indica más adelante.
Respecto a la aproximación para el cálculo de la disipación de
energía en sí misma, la formulación utilizada por Battjes y Janssen en el
modelo BJ se basa en la originariamente sugerida por Le Méhauté
(1.962), que modeliza un bore turbulento; Stoker (1.957) calculó la
disipación media de energía como:
5 Calculada, por ejemplo, según 4.6.56 Véase 4.5
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[4.18]
La figura 4.3 aclara la terminología empleada en [4.22]. En este caso Q representa el
volumen por unidad de área a lo ancho del bore.
Tabla 3.3.- .- Bore empleado para describir la rotura en spilling
En la formulación anterior, B es un coeficiente O(1). Intenta
aproximar las diferencias entre los distintos tipos de rotura; es
considerado como una función de las proporciones de la zona de
espuma de la ola en su lado de tierra (en el que se verifica el proceso de
rotura).
Hwang y Diboky (1.970) sugirieron una de las más simples
definiciones para Q:
[4.19]
donde C es la celeridad y L la longitud de onda.
Battjes y Janssen redujeron la dependencia con la profundidad, asumiendo que se
verifica aproximadamente.
Así las cosas, la expresión final que utiliza el modelo BJ para la disipación de
energía debido a la rotura del oleaje se puede escribir como:
[4.20]
De la forma de la expresión [4.24] se desprende que el modelo BJ asume que
únicamente las olas que se encuentran en proceso de rotura disipan energía.
En caso de interacción con la corriente longitudinal, el valor de habrá de ser
sustituido por , según lo indicado en 4.6.17.
7 Epígrafe sobre la ecuación de dispersiónMODELO MATEMÁTICO
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MMODELACIÓNODELACIÓN DEDE LALA DINÁMICADINÁMICA DELDEL PERFILPERFIL DEDE PLAYAPLAYA
El valor de Hm hace referencia a la máxima altura de ola compatible con las
condiciones del punto de cálculo8. Más adelante se proporciona la expresión utilizada en el
modelo, según el criterio de Miche.
Southgate (1.997) propone otra expresión, en función del valor de la altura de ola
media cuadrática en el nodo:
[4.21]
En la ecuación anterior, f(Qb) se define como:
[4.22]
El valor de la constante es aquí también del orden de la unidad. Esta ecuación toma
en consideración el valor de la altura de ola media cuadrática en el punto de forma directa
y no sólo a través de la definición de Qb, con lo que parece ser más realista. Por otra parte,
también influye la forma de la ola, a través del número de onda, así como también la
profundidad en el punto, también de forma directa y no sólo de forma implícita en Qb,
como la altura de ola.
4.4.7. Energía del oleaje
Para oleaje irregular, la densidad de energía por unidad de área se puede escribir
como:
[4.23]
Svendsen (1.984) sugirió que la energía Er transportada por el roller debe ser
tomada en consideración. Así, la energía total del oleaje sería E t = E + Er. La energía del
roller debe ser incluida también en la formulación de la tensión de radiación9, añadiendo el
término , en función de las componentes10 del vector número de onda con la
misma simbología utilizada anteriormente.
Rivero et al. (1.993) propusieron la siguiente formulación para Er:
8 Es decir, a la altura de ola en rotura9 Ver epígrafe siguiente10 Ver epígrafe 4.6.3: K1=k·cos ; K2=k·sen
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[4.24]
en la cual = O(1) es un parámetro de calibración, constante en el caso de oleaje irregular,
y función del parámetro de Iribarren11 (intenta tomar en consideración el tipo de rotura).
4.4.8. Tensión de radiación
Con objeto de obtener una idea del significado físico de la tensión de radiación12,
véanse las figuras 4.4 y 4.513
El flujo instantáneo de la cantidad de movimiento a través de una unidad de área
vertical es:
[4.25]
La ecuación anterior es homogénea en sus unidades. En efecto, las ecuaciones
dimensionales de ambos sumandos son:
El segundo sumando de la expresión se denomina presión dinámica, y se debe al
movimiento del fluido. Sus dimensiones son las mismas que las de la presión. Si se
extiende Fim desde el fondo (z = -h) hasta la superficie libre (z = ) se obtiene el flujo total
de momento, S, cuya expresión es:
[4.26]
En [4.30] el primer sumando se debe a la presión y el segundo, al movimiento
generado por el oleaje.
11 Definido por la ecuación [2.2]12 Se hablará de tensor de radiación en el caso tridimensional13 Cf. Longuet-Higgins y Stewart (1.964)
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MMODELACIÓNODELACIÓN DEDE LALA DINÁMICADINÁMICA DELDEL PERFILPERFIL DEDE PLAYAPLAYA
Tabla 3.4.- .- Presiones en un flujo estático
El flujo total medio del momento lineal durante un ciclo de oleaje puede ser obtenido
promediando [4.30] durante un periodo.
En los ejes principales, la componente del tensor de radiación en la dirección de
propagación del oleaje, Sss, se define como la media temporal del flujo de momento lineal
que se produce en presencia de oleaje menos el que se produce en ausencia de la acción
de las olas. Esto se puede escribir, siendo d la profundidad media, la elevación del mar
sobre la media, p0 la presión hidrostática y u la velocidad de la corriente, como:
[4.27]
donde Snn es la componente en la segunda dirección principal.
Tabla 3.5.- .- Presiones en un flujo en movimiento
En el capítulo 214, en la referencia al trabajo de Longuet-Higgins y Stewart (1.964)
se dio una definición15 más física e intuitiva de la tensión de radiación, como la fuerza
impulsora de la corriente próxima a la orilla.
14 Ver el apartado 2.3.615 Cf. Horikawa (1.988)
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Tabla 3.6.- .- Tensión de radiación y set-up
A partir de la teoría lineal, Sss y Snn se pueden calcular (despreciando los términos de
orden superior al tercero), como
[4.28]
y extendiendo al caso tridimensional, en que es preciso aplicar el concepto de tensor de
radiación como ente que engloba las tensiones de radiación en las direcciones xx, yy y xy,
se puede escribir con notación tensorial como:
[4.29]
en sus ejes principales, y
[4.30]
en las direcciones de los ejes coordenados.
Asumiendo la teoría lineal, la expresión para las componentes del tensor de radiación
en el caso de incidencia oblicua del oleaje se puede escribir también como:
[4.31]
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MMODELACIÓNODELACIÓN DEDE LALA DINÁMICADINÁMICA DELDEL PERFILPERFIL DEDE PLAYAPLAYA
En la ecuación [4.22] ij es la delta de Kronecker. El resto de las variables que
intervienen en la expresión es conocida por haberse utilizado anteriormente.
Escrita de forma más explícita y compacta, la ecuación [4.22] queda:
[4.32]
El parámetro G se define como:
[4.33]
Cuando se propaga un oleaje de pequeña amplitud en la dirección x, la componente
transversal del tensor de radiación, Sxx, se puede desarrollar como sigue (teniendo en
cuanta que en este caso i = j = 1, y que por tanto ij =1):
[4.34]
Así, teniendo en cuenta la definición del vector número de onda y sus componentes,
se tendrá, en función de la oblicuidad, :
[4.35]
4.4.9. Set-up
El set-up es una elevación (y el set-down la correspondiente depresión) de la
superficie del mar como consecuencia de la rotura del oleaje. La figura 4.6 ilustra el
concepto físico.
El set-up es una de las consecuencias de la acción del tensor de radiación en el perfil
de playa. Su variación se compensa con el movimiento en vertical del nivel del mar. La
ecuación diferencial que gobierna el proceso es la ecuación de balance de momentos:
[4.36]
En la ecuación anterior (x) representa la elevación del nivel del mar.
MODELO NUMÉRICO17/4/AA : 21:20 15
CCAPÍTULOAPÍTULO 4. - M 4. - MODELOODELO MATEMÁTICOMATEMÁTICO
4.4.10. Corrientes inducidas por el oleaje
Las corrientes inducidas por el oleaje se entienden a menudo como puramente
oscilatorias. Sin embargo, a partir de mediciones del campo de velocidades se ha mostrada
la existencia de componentes promediadas en el tiempo.
La magnitud de estas componentes constantes es generalmente mucho menor que la
de las oscilatorias. Sin embargo, debido a que su efecto es acumulativo, su contribución al
transporte neto de sedimentos puede ser significativa.
4.4.10.1. Corriente euleriana en ondas de Stokes
En un tanque de oleaje, si se imagina una sonda ubicada directamente sobre el nivel
medio del agua al paso de una onda senoidal, sólo se mostrará mojada durante una parte
del periodo, durante el cual mostrará velocidades horizontales y dirigidas hacia la playa.
Por tanto, la velocidad Euleriana integrada en el tiempo en este punto será no nula y
dirigida en la dirección de la propagación del oleaje. Algo similar ocurrirá entre un punto
ubicado entre el seno de la ola y el nivel medio.
El flujo euleriano neto es igual a , y es el total, puesto que bajo el seno de la ola
la velocidad media en el periodo es nula.
En la mayoría de los casos existe una playa al final del tanque de oleaje; esto hace
que la corriente neta en la dirección a tierra sea nula. Esta condición se consigue
simplemente superponiendo una corriente uniforme y constante en dirección al mar al
campo senoidal de velocidades:
[4.37]
Esta corriente se conoce comúnmente como corriente de Stokes.
4.4.10.2. Corriente lagrangiana en ondas de Stokes
Un oleaje puramente senoidal resulta en una componente media lagrangiana positiva
en todo la profundidad. La velocidad lagrangiana neta se debe cualitativamente a dos
propiedades del campo de oleaje inducido por una ola senoidal:
La velocidad hacia la costa de una partícula en una onda senoidal en la zona
superior de su trayectoria es mayor que la que posee hacia el mar en la zona
inferior de ella.MODELO MATEMÁTICO
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La partícula se mueve con la ola durante el movimiento hacia la costa y en
sentido opuesto durante su movimiento hacia el mar; por ello, se mueve durante
más tiempo hacia la costa.
La velocidad lagrangiana neta así obtenida se refiere frecuentemente a la velocidad
de transporte de masa y su distribución sobre la profundidad, y se escribe, en función de la
coordenada vertical, z, como:
[4.38]
En la ecuación anterior son:
Uorb Amplitud de la velocidad orbital cerca del fondo
c Celeridad de la onda
Frecuencia ( )
De forma similar al caso euleriano, para conseguir una corriente cuya integración en
el periodo sea nula, se ha de superponer una corriente uniforme dirigida hacia el mar, con
lo cual el campo final de velocidades queda:
[4.39]
En la ecuación anterior, D simboliza la profundidad total.
4.4.10.3. Modelo de undertow de Okayasu, Watanabe e Isobe
(1.990)
4.4.10.3.1. Introducción
Los modelos clásicos de undertow no son aplicables en general a zonas fuera de las
de rotura en la región más próxima a la línea de orilla. Para obtener un modelo aplicable en
toda la zona de surf es preciso incorporar una descripción precisa de la atenuación de
energía del oleaje y su distribución o generación de turbulencia basados en el mecanismo
de rotura. Los modelos de transformación de oleaje existentes hasta 1.990 no tomaban en
consideración la energía de los vórtices formados en las crestas de las rompientes (los
roller)
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Okayasu, Watanabe e Isobe (1.990) incorporaron estos efectos a su modelo, que es el
utilizado por DPP2, y que a continuación se expone.
4.4.10.3.2. Variación vertical de la tensión cortante media y la viscosidad
La tensión de Reynolds y el coeficiente de viscosidad se evalúan cuantitativamente a
partir de la disipación de energía por medio de análisis dimensional.
Battjes (1.975) obtuvo el valor siguiente de la turbulencia:
[4.40]
La tensión cortante horizontal integrada en la vertical, m, y la viscosidad integrada
en la vertical, m, se escriben como:
[4.41]
En la expresión anterior, las dos constantes, C y C se toman, respectivamente, como
0.02 y 0.03.
Se supone que tanto la tensión cortante, , como la viscosidad, , son funciones
lineales de la profundidad z’ [ver Okayasu et al. (1.988)], y así:
[4.42]
[4.43]
En las ecuaciones anteriores, dt es la profundidad en los senos de las olas. De ellas se
deduce que:
[4.44]
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[4.45]
[4.46]
4.4.10.3.3. Variación vertical del undertow
Si bien la viscosidad molecular, , es mucho menor que la viscosidad del fluido
(eddy), e en la zona de surf, no puede ser despreciada incluso en la zona offshore, en las
proximidades del fondo. La viscosidad total ha de ser definida, por tanto, como:
[4.47]
Utilizando el modelo de viscosidad eddy la relación entre la tensión tangencial
horizontal media, , y la velocidad en dirección a la orilla, U, es:
[4.48]
Si se sustituyen ahora las ecuaciones que definen la tensión tangencial y la
viscosidad en la anterior, se obtiene:
[4.49]
En la ecuación anterior, C1 es una constante de integración que se obtiene en
términos del flujo de masa realizado por el oleaje en rotura, Mt, como:
[4.50]
El flujo de masa, como es sabido, puede evaluarse a partir de la energía potencial del
oleaje, como
[4.51]
La energía potencial se calcula en función del nivel de agua, , como:
[4.52]
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En la ecuación de Mt, la expresión Ev representa la energía almacenada en los
vórtices. De esta forma, la energía total será la suma de la energía del oleaje (aquí
representada como E) y Ev. El flujo de energía Ev satisface la ecuación:
[4.53]
Como se ha indicado, DB, es la disipación unitaria de energía por rotura, a través de
los fenómenos de turbulencia, y TB representa la tasa de transferencia de energía del oleaje
a los vórtices, por unidad de longitud y anchura, expresada como:
[4.54]
La ecuación del undertow se modifica como a continuación se indica, con objeto de
lograr continuidad en los límites de la zona de surf, obteniendo así la distribución vertical
propuesta por Longuet-Higgins (1.953):
[4.55]
[4.56]
Los valores de los segundos términos de los segundos miembros de las ecuaciones
que definen a’ y b’ son mucho menores que los de los primeros en la zona más próxima a
la orilla. El parámetro a representa la amplitud del oleaje.
4.4.10.4. Modelo de undertow de Cox y Kobayashi (1.997)16
Cox y Kobayashi presentaron un modelo de undertow en 1.997 (ver nota al pie) que
combina el perfil parabólico convencional con un perfil logarítmico en la capa límite, en la
que el perfil de undertow ha sido comprobado utilizando los datos de Cox et al. (1.996).
16 Cfr. COX, D.T.; KOBAYASHI, N. (1.997): A kinematic undertow model with a logarithmic boundary layer. Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering 123 (6), 354 - 360
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MMODELACIÓNODELACIÓN DEDE LALA DINÁMICADINÁMICA DELDEL PERFILPERFIL DEDE PLAYAPLAYA
Adicionalmente, Cox y Kobayashi (1.998)17, como el flujo medio bajo el valle de una
ola (que es un dato de entrada al modelo de undertow) puede ser predicho a través del
conocimiento de la altura de ola media cuadrática.
4.4.10.5. Corrientes integradas en la vertical (modelo 2DH)
Este apartado muestra la forma de evaluar las corrientes inducidas por el oleaje. No
obstante, la obtención aquí realizada no permite calcular el transporte transversal, puesto
que se trata de corrientes integradas en la vertical, por lo que no sirven para obtener la
distribución vertical de velocidades (ver apartado anterior), ni para evaluar la aportación de
la asimetría del oleaje. Se trata del modelo 2DH, que se utilizará a efectos de calcular la
velocidad de corriente a efectos de interacción con el oleaje. El modelo de corrientes 2DV,
empleado para el modelado del perfil transversal propiamente dicho, se ha expuesto en el
apartado relativo al undertow.
Las corrientes inducidas por el oleaje se pueden obtener a partir del concepto de
conservación de masa18 y momento. Las ecuaciones que definen matemáticamente esos
conceptos se muestran en los apartados siguientes.
4.4.10.5.1. Ecuación de continuidad
La ecuación de continuidad se puede escribir como sigue, en su expresión más
general:
[4.57]
Si se aplican aquí las simplificaciones de uniformidad longitudinal y condiciones
estacionarias, las derivadas respecto de y y respecto de t se anulan, según lo establecido en
4.5, quedando la ecuación siguiente:
[4.58]
Esta ecuación significa que el flujo de masa promediado en el tiempo es constante en
el perfil. Dado que este flujo es nulo en la línea de orilla y fuera de la zona dominada por la
rotura del oleaje, parece que debería ser U = 0 en todo el perfil. Es evidente que esto sólo
ocurre si se asume la hipótesis de uniformidad longitudinal.
4.4.10.5.2. Ecuaciones del momento17 Cfr. COX, D.T.; KOBAYASHI, N. (1.998): Application of an undertow model to irregular waves
on plane and barred beaches. Journal of Coastal Research, 14 (4), 1314 - 132418 Ecuación de continuidad
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CCAPÍTULOAPÍTULO 4. - M 4. - MODELOODELO MATEMÁTICOMATEMÁTICO
Las ecuaciones del momento referidas, respectivamente a la dirección normal a la
orilla (eje x) y a la paralela a dicha línea (eje y) son:
[4.59]
donde los nuevos símbolos empleados representan:
Fi : componentes de las fuerzas inducidas por el oleaje
<> : tensión cortante media en el fondo
Rij : componentes del tensor de tensiones de Reynolds, integradas en la vertical
y promediadas en el tiempo.
La formulación del tensor de Reynolds es:
[4.60]
En la ecuación [4.40], U son las componentes de la velocidad y x, las coordenadas.
La dirección de ambas viene definida por el subíndice, que será i para la dirección x y j
para la dirección y. El coeficiente t representa la viscosidad19.
Para evaluar la fuerza inducida por la acción del oleaje se puede utilizar la siguiente
expresión:
[4.61]
Si la pendiente es pequeña y se tiene en cuenta la hipótesis de uniformidad
longitudinal, la ecuación [4.41] resulta ser:
[4.62]
La tensión cortante promediada en el tiempo se puede escribir20:
19 Cf. Rivero (1.995)20 Cf. Puerto (1.996)
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MMODELACIÓNODELACIÓN DEDE LALA DINÁMICADINÁMICA DELDEL PERFILPERFIL DEDE PLAYAPLAYA
[4.63]
donde W es:
[4.64]
La función b se escribe:
[4.65]
La oblicuidad se representa por .
4.5. El modelo de Battjes y Janssen (1.978)
El modelo de Battjes y Janssen (1.978)21 proporciona el campo de oleaje irregular,
calculando en cada punto de perfil la altura de ola media cuadrática, Hrms, en función de los
datos de partida. La fracción de olas rotas, Qb, permite la evaluación de la disipación de
energía por rotura de oleaje.
El primer punto positivo: el modelo BJ es eficiente desde el punto de vista del
esfuerzo computacional (como antes se indicó, este es un punto de primordial importancia
si se desea calcular el movimiento de arenas en el perfil), proporcionando predicciones
razonablemente precisas.
Como una de las primeras cuestiones negativas, algunas autores afirman que el
modelo BJ no proporciona una descripción precisa de la fracción de olas rotas. Sin
embargo, puede decirse que calcula razonablemente bien22 la pérdida de energía fuera de la
zona de surf, siendo muy útil en estas posiciones.
Por otra parte, otra de las deficiencias del modelo BJ estriba en el hecho de que la
distribución de la altura de ola Hrms no constituye una buena representación de la altura de
ola medida según la función de distribución de probabilidad, a consecuencia de su
truncamiento en el punto de rotura. Sin embargo, los ensayos de validación realizados por
numerosos autores muestran una aproximación razonable.
A pesar de los inconvenientes descritos, el modelo BJ permite realizar la predicción
de la transformación del oleaje sobre un perfil de playa. El estado del mar utilizado como
21 En lo sucesivo, BJ22 Cf. Nairn (1.990)
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CCAPÍTULOAPÍTULO 4. - M 4. - MODELOODELO MATEMÁTICOMATEMÁTICO
dato de entrada al modelo está representado por la altura de ola media cuadrática, Hrms, y
su periodo asociado, T. Se asume que el estado del mar responde a un espectro de energía
con poca dispersión de frecuencias, y unidireccional23.
El modelo BJ se basa en dos conceptos principales:
La distribución de altura de ola en cualquier profundidad se puede describir por
una distribución truncada de Rayleigh
La integración simultánea de las ecuaciones de energía y momento en dirección
a la orillaEn cualquier caso, el segundo de los conceptos indicados implica que el modelo BJ
describe la evolución de una serie de oleaje regular (dado que utiliza la ecuación de la
energía, que se refiere a una única ola), pero aplica el concepto de disipación de energía a
una serie de oleaje irregular (lo que se deduce del primer concepto).
4.5.1. Descripción de la evolución de la altura de ola
4.5.1.1. Fracción de olas rotas
Como se indicado anteriormente, la distribución de Hrms puede ser descrita por una
distribución de Rayleigh truncada.
Tabla 3.7.- .- Ejemplo de aproximación de la ecuación [4.38]
Expresado de otra forma, se supone que las olas que no han roto siguen esa
distribución, truncada a la máxima altura de ola, Hm, físicamente compatible con la
profundidad en cada punto (es decir, la altura de ola en rotura). Se supone que todas las
olas rotas tienen esa altura, y así, están representadas por una función delta.
La fracción de olas rotas, Qb, se calcula según Collins (1.992) y Battjes (1.972)
como:23 Cf. Nairn (1.990)
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MMODELACIÓNODELACIÓN DEDE LALA DINÁMICADINÁMICA DELDEL PERFILPERFIL DEDE PLAYAPLAYA
[4.66]
Para simplificar su resolución, la primera de las ecuaciones [4.46] se puede escribir:
[4.67]
que puede ser resuelta por iteraciones sucesivas. Como ejemplo, el gráfico siguiente
muestra el proceso de aproximación para un punto en que Hm = Hrms = 3.0 m, y se utiliza un
valor inicial Qbi = 0.00.
Tabla 3.8.- .- Evaluación de Qb por métodos numéricos
La expresión [4.49] corresponde al área bajo la distribución de Rayleigh truncada en
Hb.
4.5.1.2. Simplificación de la formulación de Qb
La expresión [4.49] no es eficiente si se tiene en cuenta el hecho de que para una
malla de 100 x 100 nodos (por ejemplo), ha de resolverse 10.000 veces, lo que supone en
torno a 60.000 cálculos durante el proceso.
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CCAPÍTULOAPÍTULO 4. - M 4. - MODELOODELO MATEMÁTICOMATEMÁTICO
Tabla 3.9.- .- Valores de Qb interpolados
Si se dibuja un gráfico en ejes [Qb, y], en el que se representen la recta y = (Qb -1)
por un lado y la familia de curvas , para valores de entre 0 y 1, se
obtiene la figura 4.8.
En esta figura, los puntos de intersección de la recta con la familia de curvas
muestran los valores del parámetro Qb para los distintos valores del cociente de alturas de
ola.
Ajustando después una curva a estos puntos se obtiene una relación entre la fracción
de olas rotas y el cociente de alturas de ola mucho más rápido de evaluar y con un error
reducido.
Los puntos obtenidos se dibujan en una gráfica (figura 4.9) y se ajustan por medio de
una función de regresión.
Los valores de Qb están acotados entre 0 y 1. Representan la fracción de olas rotas en
un registro de oleaje, por lo que no es lógico que tome un valor fuera de ese intervalo.
Lógicamente, por la propia definición de las alturas de ola involucradas, la altura de ola
media cuadrática ha de ser siempre menor que la máxima altura de ola compatible con la
profundidad. Esto implica que , y para este intervalo, la solución a la
ecuación [4.60] supone que , como se representa en la figura 4.9.
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QB
0.1 00.2 0,0070.3 0,0410.4 0,1070.5 0,2030.6 0,3240.7 0,4590.8 0,630.9 0,811.0 1
Tabla 4.1.- Interpolación de Qb
Se han dibujado estos valores en una gráfica, obteniendo la curva de la figura 4.9. se
procedió después a ajustar varias curvas a estos puntos, obteniendo los resultados que
muestra la tabla 4.3
Función ajustada Coeficiente de correlación
Error
Qb = 1.3743312 + 1.3755224·cos(1.4921932x + 2.9452849)
0.9999776 0.0029196
Qb = -0.0083666664 + 0.28161456x - 3.3409797x2 + + 16.133501x3 - 26.853899x4 + 21.524038x5 - 6.7361111x6
0.9999861 0.0032534
Qb = (-0.0084624934·2.3220693+3.3390885x2.7020624)//( 2.3220693+x2.7020624)
0.9999395 0.0047980
Qb = -0.0035833333 - 0.17947727x + 1.1958333x2 0.9997201 0.00954970.9999395 0.0047980
Tabla 4.2.- Algunos ajustes a la función Qb
De entre las funciones ajustadas a la muestra, la que mejor se ajusta es el polinomio
de sexto grado, con un coeficiente de correlación r = 0.9999861 y un error s = 0. 0032534.
No obstante, cualquiera de las funciones representadas en la tabla 4.3 presentan un ajuste
suficientemente aproximado, por lo que cualquiera de ellas puede ser utilizada.
Una función más sencilla es la MMF Model, con unos coeficientes de correlación y
error similares:
[4.68]
Con esto se eliminan las iteraciones necesarias para resolver la ecuación [4.50], con
lo que el esfuerzo computacional en la obtención del Qb se puede dividir por 6, teniendo así
un esquema mucho más eficiente.
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4.5.1.3. Evaluación del resto de los parámetros
4.5.1.3.1. Altura de ola en rotura
4.5.1.3.1.1. Criterio de Miche (1.951) y Hamada (1.951)
Ambos investigadores llegaron, independientemente, a la expresión siguiente:
[4.69]
En la ecuación anterior, tanto L como d se miden en el punto en estudio.
4.5.1.3.1.2. Criterio de Miche (1.954)
Como se ha indicado en párrafos anteriores, esta aproximación supone que una ola
rota tiene una altura igual a Hm. Su valor puede ser evaluado de diversas formas. Aquí se
ha utilizado el criterio de Miche (1.954), en función del parámetro de calibración :
[4.70]
Battjes y Stive (1.985), a partir de una serie de ensayos de laboratorio, desarrollaron
la expresión siguiente para permitir el cálculo del parámetro de calibración:
[4.71]
que, según se ha visto, varía ligeramente con el peralte del oleaje en profundidades
indefinidas (para el rango de datos ensayados). En esos ensayos no se encontraron
relaciones entre y la pendiente de la playa.
4.5.1.3.1.3. Criterio de Weggel (1.972)
Existen otros criterios de rotura, como el de Weggel (1.972), desarrollados para
oleaje monocromático, que muestran una relación entre peralte y rotura de oleaje. Parece
que el oleaje irregular se comporta de modo semejante. Es el criterio de rotura utilizado por
Southgate (1.989).
Modificada posteriormente por el CERC, figura en el Shore Protection Manual
como:
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[4.72]
Los parámetros “a” y “b” se formulan en función de la pendiente, m, y de un nuevo
parámetro empírico, a’, como sigue:
[4.73]
[4.74]
El parámetro a’ fue determinado empíricamente por Wieggel como a’ = 0.78. Sin
embargo, posteriormente, Southgate (1.989) vio la necesidad de aumentarlo, tomando un
valor a’ = 1.18.
El efecto físico de a’ estriba en retrasar el comienzo de la rotura.
4.5.1.3.1.4. Criterio de Thornton y Guza (1.983-86)
Otros datos, proporcionados por Thornton y Guza (1.983 / 1.986), permitieron a
Nairn (1.990) encontrar una expresión similar a la de Battjes y Stive:
[4.75]
Con respecto a la fracción de olas rotas, quizá otras distribuciones de altura de ola
son más realistas que la de Rayleigh, tomando en consideración el hecho de que las olas
rotas tienen una altura de ola diferente de Hm, como las propuestas por Kuo y Kuo (1.974)
y Goda (1.975). En cualquier caso, la distribución utilizada muestra suficiente precisión
para el tipo de modelo propuesto. No ha de perderse de vista el hecho de que este tipo de
modelo hidrodinámico ha de formar parte de otro más complejo (el de evolución del perfil)
y que ha de ser corrido numerosas veces (cada vez que el perfil se modifica), lo que hace
necesaria una gran sencillez no exenta de robustez y precisión suficiente.
Thornton y Guza (1.983) utilizaron una aproximación más realista separando olas
rotas y no rotas, utilizando también una distribución de Rayleigh. Sin embargo, Nairn
(1.990) criticó esta nueva aproximación, argumentando el hecho de no existir datos
suficientes para validarla.
MODELO NUMÉRICO17/4/AA : 21:20 29
CCAPÍTULOAPÍTULO 4. - M 4. - MODELOODELO MATEMÁTICOMATEMÁTICO
4.5.2. Integración de las ecuaciones de energía y momento
4.5.2.1. Ecuación de la energía
La ecuación de conservación del flujo de energía, que constituye el corazón del
modelo, se puede escribir como:
[4.76]
donde D representa la disipación total de energía.
Siguiendo a Betherton y Garret (1.969) se puede demostrar que, cuando una
corriente interactúa con el oleaje, la densidad de energía varía, pero un nuevo parámetro
permanece constante; este parámetro es denominado acción de las olas, y se representa por
[4.77]
Esta magnitud se propaga con una celeridad , donde U es la velocidad de la
corriente que interactúa con el oleaje. En estas condiciones, la ecuación [4.51] queda, en
términos vectoriales:
[4.78]
en la que D incluye, como antes, todo tipo de disipación de energía.
Desarrollando la ecuación en el sistema de referencia mostrado en la figura 4.2 se
tiene:
[4.79]
donde Do recoge todas aquellas formas de disipación de energía no tratadas en el presente
capítulo, que han sido la debida a fricción don el fondo (Df) y por rotura del ,oleaje (Db).
Aplicando las hipótesis de uniformidad longitudinal e inexistencia de corriente
transversal (U = 0), la ecuación anterior queda finalmente:
[4.80]
que es la ecuación con la que se trabajará para construir el modelo DPP24.
24 Dinámica del Perfil de Playa.MODELO MATEMÁTICO
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MMODELACIÓNODELACIÓN DEDE LALA DINÁMICADINÁMICA DELDEL PERFILPERFIL DEDE PLAYAPLAYA
Así, una vez integrada la ecuación diferencial y obtenida la corriente longitudinal
generada por el oleaje, se deberá rehacer el cálculo modificando la frecuencia relativa en
los siguientes términos:
[4.81]
4.5.2.2. Ecuación del momento
La ecuación del momento viene dada por [4.37]. En ella, Sxx es la tensión de
radiación, componente del tensor de radiación en la dirección normal a la orilla. El
segundo sumando incluye la profundidad, d, y la elevación de la superficie del mar, ,
cuyo cálculo permitirá conocer el set-up producido por el oleaje. La suma de ambos
factores dará la profundidad total, d + .4.5.3. Consideraciones
El modelo BJ está relacionado con la definición de variación (energética o espectral).
Considera el estado del mar como un único tren de ondas unidireccional, caracterizado por
dos elementos: la altura de ola media cuadrática, Hrms, y su periodo asociado, T.
Según Nairn (1.990), los parámetros de altura de ola pueden ser determinados
utilizando una definición de varianza en la que las expresiones se derivan de la asunción de
que los desplazamientos libres de la superficie constituyen un proceso gausiano de banda
estrecha. La varianza es equivalente a la energía espectral total de un registro de oleaje
determinada a través de una transformación de Fourier. Esta aproximación a la definición
de los parámetros de altura de ola es implícita en el modelo BJ, llevando a las siguientes
expresiones:
[4.82]
[4.83]
en la cual es la raíz cuadrada de la varianza de la superficie y el subíndice m0 se refiere
al momento de orden cero del espectro.
Dado que la energía total permanece constante en el modelo BJ, la altura de ola H rms
determinada a partir de la varianza de la energía no está influida por la transferencia de
energía entre las frecuencias armónicas altas.
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CCAPÍTULOAPÍTULO 4. - M 4. - MODELOODELO MATEMÁTICOMATEMÁTICO
El modelo BJ no provee una definición realista de la fracción de olas rotas (Qb), pero
por otra parte parece proporcionar una aproximación razonable de la pérdida de energía25
fuera de la zona de surf, lo que es útil para los puntos allí localizados.
El modelo BJ presenta, entre otras, la gran ventaja de una gran eficiencia
computacional, al tiempo que proporciona predicciones con un grado de precisión
razonable.
Otra desventaja del modelo BJ estriba en su reducida utilidad para modelizar perfiles
barrados, debido al hecho de presentar una mala definición del oleaje en los senos de las
barras. Su propia definición hace que su principal campo de validez se centre en las playas
monotónicas. Así, es muy difícil modelizar el cambio de perfil de temporal a bonanza con
el modelo.
4.6. El modelo de Dally, Dean y Dalrymple (1.985)26
4.6.1. Fundamentos
El modelo D3 se basa en una formulación similar a la del modelo BJ en cuanto a la
ecuación base del movimiento: el flujo de energía.
[4.84]
En la ecuación anterior el significado de las variables de nueva aparición es el
siguiente:
: Coeficiente empírico de decay
F : Flujo de energía (= E·Cg) [N·m/m·s]
Fs : Flujo de energía estable [N·m/m·s]
El coeficiente de decay controla la disipación de energía, en tanto que el flujo de
energía estable determina qué cantidad de disipación de energía es necesaria para que se
alcancen las condiciones de estabilidad una vez la rotura se ha iniciado. A este respecto, la
condición de ola estable se refiere a un estado en el cual cesa la disipación de energía
debida a la rotura, y por tanto cesa este proceso y la ola se recompone.
El flujo de energía estable se expresa como sigue:
25 Relativa a los fenómenos representados por las técnicas de saturación de energía espectral26 En adelante, denominado D3
MODELO MATEMÁTICO17/4/AA : 21:2032
MMODELACIÓNODELACIÓN DEDE LALA DINÁMICADINÁMICA DELDEL PERFILPERFIL DEDE PLAYAPLAYA
[4.85]
expresión en la cual Es es la densidad de energía estable [N·m/m2]. La altura de ola estable
se define como una fracción de la profundidad, a través de un coeficiente empírico, :
[4.86]
El modelo D3 introduce, por tanto, dos nuevos parámetros: y . Los valores de
estos coeficientes parecen variar poco en un amplio rango de condiciones, tanto en campo
como en laboratorio. Dally, Dean y Dalrymple recomiendan adoptar los siguientes valores:
= 0.15 y = 0.4, a partir de ensayos de laboratorio.
Durante la validación del modelo con los datos obtenidos por Kajima et al. (1.983) se
vio que estos coeficientes podrían ser dependientes de la pendiente del fondo. Sin
embargo, no pudo desarrollarse ningún tipo de ecuación que los relacionase.
4.6.2. Ventajas e inconvenientes respecto del modelo BJ78
La ventaja más notable que el modelo D3 presenta sobre el BJ78 consiste en que, por
su propia definición, funciona razonablemente bien tanto sobre perfiles monotónicos como
sobre perfiles barrados. Sobre estos últimos, la definición de la variación del flujo de
energía en función de la energía de la ola estable, permite la reformación de la ola rota una
vez se alcanzan las condiciones oportunas para ello. Así, una ola puede romper,
regenerarse y romper de nuevo, repitiendo el proceso las veces necesarias, en función de
las condiciones batimétricas.
Por otra parte, los modelos basados en oleaje regular tienden a acentuar las
características de los perfiles, por el hecho de que el oleaje rompe una y otra vez sobre el
mismo punto, cuya profundidad es la rotura, db.
Para evitar este último inconveniente, manteniendo las ventajas del modelo, Larson
(1.995)presentó un modelo de oleaje irregular que implementó con el D3 en su modelo
existente, SBEACH. Más adelante se expone su desarrollo teórico.
4.7. Modelo de Larson (1.995)
4.7.1. Introducción
Como se ha indicado en 4.6.2 Larson desarrolló un modelo de oleaje irregular con el
objeto de eliminar el inconveniente que presenta el modelo D3 respecto a funcionar con
oleaje monocromático.
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CCAPÍTULOAPÍTULO 4. - M 4. - MODELOODELO MATEMÁTICOMATEMÁTICO
Su fundamento consiste básicamente en conseguir una altura de ola media cuadrática
que represente a las tres fracciones de olas presentes en un registro:
Olas que aún no han roto
Olas rotas
Olas que han roto y se han formado de nuevo para volver a romper cuando se
den las oportunas condiciones.
4.7.2. Desarrollo teórico
Larson asume que el oleaje, más allá del punto de rotura, puede ser descrito por
medio de una función de distribución de Rayleigh (Longuet-Higgins, 1.95227). Esta función
de distribución se puede escribir como:
ecuación 4-1.- Función de distribución de Rayleigh
La ecuación 4-1 muestra la probabilidad de que una ola tenga una altura menor o
igual que H.
Dentro de un registro, es conocido que la altura de ola media cuadrática se puede
escribir como:
ecuación 4-2.- Altura de ola media cuadrática
Supóngase ahora que coexisten, en la zona de surf, olas rotas, y no rotas, en número
números m y n, respectivamente. Evidentemente, N = m + n, y sus fracciones serán
y
Si dentro del grupo de olas no rotas se incluyen también aquellas que ha dejado de
romper, es decir, las que se han reformado tras su rotura, se tendrá que n = u + r, siendo u
el número de las no rotas y r el de las reformadas. Se introducen dos nuevos coeficientes:
27 Cfr. LONGUET-HIGGINS, M.S. (1.952): On the statistical distribution of the heights of sea waves. Journal of Marine Research 11, 245-266
MODELO MATEMÁTICO17/4/AA : 21:2034
MMODELACIÓNODELACIÓN DEDE LALA DINÁMICADINÁMICA DELDEL PERFILPERFIL DEDE PLAYAPLAYA
y siendo, obviamente, N = m + u + r, y + + = 1. Todos estos valores
son función de punto, y por tanto, de la coordenada transversal a la orilla, dado que sus
valores dependen de la profundidad del punto de cálculo.
Para cada uno de los tres grupos de olas se pueden definir su alturas de ola medias
cuadráticas, según la ecuación 4-2, es decir:
ecuación 4-3.- Altura de ola media cuadrática de las olas rotas
e igualmente para las demás, con lo cual:
ecuación 4-4
Y finalmente, se puede escribir:
ecuación 4-5
Utilizando la ecuación 4-4, todas las olas del registro se pueden definir en términos
de una altura de ola media cuadrática.
4.8. Aplicación del modelo de Larson (1.995) al modelo D3
4.8.1. Introducción
Como se ha visto en 4.6, Dally, Dean y Dalrymple (1.985), propusieron un modelo
de transformación de oleaje en la zona de surf, asumiendo que la disipación de energía por
medio de la rotura del oleaje es proporcional al exceso de flujo de energía sobre un valor,
denominado estable, que depende únicamente de la profundidad.
La aplicación del modelo de Larson (1.995) al D3 permite utilizar las propiedades
del oleaje irregular en una descripción matemática del proceso de transformación que ha
arrojado comparaciones favorables con datos de campo y laboratorio.
MODELO NUMÉRICO17/4/AA : 21:20 35
4.8.2. Aplicación del modelo
Asumiendo una distribución de Rayleigh en la zona offshore, representada por un
grupo de N olas, en las que coexisten las rotas y las no rotas, estas se propagan a través de
la zona de surf según:
[4.87]
[4.88]
correspondiendo las ecuaciones anteriores a olas no rotas y rotas, respectivamente, con las
definiciones dadas en 4.6.1. En este caso, Fi corresponde al flujo de energía de cada ola
individual y d es la profundidad total (incluyendo el set-up). La constante se toma igual a
0.15.
Como ya se sabe, los parámetros físicos involucrados en el proceso son:
[4.89]
[4.90]
[4.91]
[4.92]
[4.93]
Así las cosas, las ecuaciones generales de gobierno del modelo, si se dividen por
1/8g, quedan:
[4.94]
[4.95]
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La primera de ambas ecuaciones se refiere a la zona offshore, y la segunda, a los
puntos en que ya se ha iniciado la rotura.
Dado que el modelo D3 es "wave by wave", las ecuaciones anteriores se refieren a
cada ola. Por tanto, si se suman las ecuaciones para las n(x) olas no rotas y las m(x) olas
rotas, se obtiene:
[4.96]
[4.97]
Si se suman ahora ambas, y recordando que es N = n(x) + m(x) x, se tendrá una
única ecuación para todo el grupo de olas. Dado que además Cg y d son únicamente
funciones de x y que N es una constante, se puede escribir:
[4.98]
Si se dividen ahora por N ambos miembros de la ecuación, se obtiene:
[4.99]
donde es la fracción de olas rotas ( = m/N).
Anteriormente (epígrafe 4.7.2) se han visto las relaciones existentes entre las alturas
de ola media cuadrática del registro completo de oleaje, la de las olas rotas, las no rotas y
las reformadas. Esta relación se puede escribir: ·Hm2 = Hrms
2 - (1 - ·Hn2, y entonces, la
ecuación anterior queda:
[4.100]
Si se introduce ahora el concepto de flujo de energía y
4.9. Modelo de transporte sólido
Los procesos físicos involucrados en el tema del transporte sólido son lo
suficientemente complicados como para requerír por sí sólos un tratamiento específico
(puede verse, por ejemplo, Mei, 1.990; Dean y Dalrymple, 1.991; Dingemans, 1.994;
Fredsoe y Deigaard, 1.992; Nielsen, 1.992).
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Este apartado no pretende significar una revisión de estos procesos ni de las
diferentes formas de tomarlos en consideración, bastando para ello lo contenido en el
capítulo 2. Aquí se utilizará un modelo sencillo que permita, sin embrago, alcanzar el fin
perseguido.
La ecuación que proporcione el transporte sólido puede ser muy diversa, pero
siempre ha de indicar que el transporte transversal es una función de las propiedades del
sedimento, del perfil transversal, del oleaje que se propaga sobre él, y de las condiciones de
contorno.
En este trabajo se utilizará la ecuación de transporte sólido propuesta por Larson y
Kraus (1.989), utilizada en su modelo SBEACH.
Tabla 3.10.- .- Esquema de definición de las cuatro zonas de transporte sólido que se consideran
Para ello se utilizará el esquema mostrado en la Tabla 3.10.-.
Se distinguen cuatro regiones diferentes a lo largo del perfil transversal, según lo
mostrado en la Tabla 3.10.-, antes citada. Estas regiones presentan diferentes relaciones de
transporte sólido, definidas en diferentes conceptos de dinámica litoral, generalmente
aceptados, en ellas. A continuación se definen los rasgos característicos de cada una de
ellas:
Región de pre-rotura. Se extiende entre el límite del perfil transversal y el punto de
rotura. El límite del perfil se entiende definido por la profundidad, calculada
según los métodos en uso. En la Tabla 3.10.- se indica como zona I. En esta
zona el transporte sólido está dominado por el que ocurre en la zona de rotura,
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en la que el flujo de transporte se dirige principalmente hacia la costa. Sin
embargo, los procesos físicos que lo dominan son muy diferentes a ambos
lados de los límites de la región.
Región de transición. Indicada como zona II en la Tabla 3.10.-, se extiende entre los
puntos de rotura y plunging.
Región de olas rotas. Se extiende entre el punto de plunging y aquel en que se
verifica el cese del proceso de rotura. Se indica en la Tabla 3.10.- como zona
III. En esta zona se produce la mayor parte de la disipación de la energía del
oleaje, como consecuencia de los procesos de rotura. A lo largo del perfil se
pueden alternar varias regiones de los tipos II y III si se producen varias
roturas sucesivas.
Región de swash. Esta zona ha de definirse forzosamente, debido a las diferentes
características que presenta el transporte sólido inducido por los procesos de
swash, que lo hacen diferir notablemente de los verificados en la zona de surf.
En esta zona, el transporte sólido depende principalmente de las
características del bore en el run-up, así co o también de la pendiente local y
de las características del sedimento. El límite de esta región puede ser
considerado sin problemas como el punto en que se deja de verificar el
transporte sólido transversal
El transporte sólido en la zona I ha sido estudiado intensivamente, tanto mediante
estudios de campo como de laboratorio, encontrándose modelos como los de Inman
(1.957), Dingler e Inman (1.977), Nielsen (1.979) o Sunamura (1.981) que indican que el
transporte sólido se encuentra gobernado principalmente por la dinámica de los ripples.
Existen formulaciones más sofisticadas, como las de Madsen y Grant (1.977) y Sato y
Horikawa (1.987), basadas en experimentos realizados en laboratorio, que describen el
transporte sólido en microescalas temporales y espaciales que no concuerdan con la
aproximación que se busca en este trabajo.
Cuando la ola se aproxima a la zona de rotura adquiere una forma más acorde con la
teoría cnoidal, que muestra olas muy peraltadas con valles poco profundos pero muy
anchos. Esto produce una asimetría notable en el plano vertical, que se traduce también en
una gran asimetría del campo de velocidades, tanto mayor cuanto más alta es la ola. Esto
causa diferencias entre el movimiento hacia la orilla y hacia el mar. Dado que las
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corrientes más intensas se producen hacia la orilla, hacia allí se dirigirá el material más
grueso, lo que causa una gradación en los tamaños del sedimento28.
4.9.1. Formulación del transporte sólido
La distribución del transporte sólido se evalúa utilizando la zonificación del perfil
mostrada en la Tabla 3.10.-.
Predomina el transporte sólido hacia la orilla cuando se forma el perfil de calma,
mientras que en el perfil de erosión es el transporte hacia el mar el que domina. Esta
aproximación es buena si el perfil no se encuentra muy próximo a su forma de equilibrio,
en cuyo caso podrían coexistir ambos tipos detransporte en diferentes regiones del mismo.
Tanto Moore (1.982) como Kriebel (1.982) utilizaron formulaciones de transporte
para la zona de surf, en las que el transporte sñoido es proporcional al exceso de disipación
de energía por unidad de volumen sobre una disipación de equilibrio en la cual el perfil no
sufre cambios significativos. Dean (1.977) mostró que un perfil de equilibrio deriva del
concepto de disipación constante de energía por unidad de volumen de agua desde el punto
de rotura y dirigida hacia la orilla, corresponde a una forma de tipo exponencial con
exponente m= 2/3:
[4.101]
Para la región III, en la que se verifica la mayor parte de la disipación de energía, se
ha elegido la siguiente ecuación que gobierna el transporte sólido:
[4.102]
en la que son:
K Coeficiente empírico de transporte sólido
D Disipación unitaria de energía
Deq Disipación unitaria de energía en equilibrio
Coeficiente de transporte para el término dependiente de la pendiente
28 Cfr. Ippen e Eagleson (1.955)
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4.10. Modelo morfodinámico
El modelo morfodinámico pretende mover el perfil a expensas del transporte sólido
calculado mediante el modelo descrito en el punto 4.9.
La ecuación que gobierna el modelo es la misma de continuidad, pero en este caso
aplicada al perfil transversal, esto es:
[4.103]
En otras palabras, la ecuación anterior (en la que p es la porosidad del material),
indica que el gradiente transversal de transporte sólido se emplea en mover el perfil, sin
pérdida de material.
El procedimiento consiste en evaluar, en cada escalón de tiempo, el transporte sólido
en todo el perfil, actualizando éste inmediatamente después. En esta actualización ha de
intervenir asimismo una subetapa en la cual se compruebe su estabilidad estática
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