CAPÍTULO 3: FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DEL MODELO

DINÁMICO.

3.1 ANTECEDETES GENERALES

En este capítulo se presentan las herramientas de formulación numérica, que se

utilizarán para resolver el modelo dinámico de un edificio aislado en su base,

incluyendo el comportamiento bilineal de los aisladores elastoméricos. Se considera un

análisis plano del edificio.

La figura 3 muestra el modelo utilizado de la superestructura con aislamiento sísmico

y las variables a considerar.

Fig.3 Sistema estructural aislado de 𝑛 GDL.

𝑢𝑏

𝑘1

𝑘2

𝑘3

𝑘𝑛−1

𝑐𝑏 , 𝑘𝑏

𝑘𝑛

𝑚𝑛

𝑚𝑛−1

𝑚3

𝑚2

𝑚1

𝑚𝑏

�̈�𝑔

ℎ1

ℎ3

ℎ𝑛

𝑢2

𝑢1

𝑢3

𝑢𝑛−1

𝑢𝑛

ℎ2

3.2 FORMULACIÓN TEÓRICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

DESACOPLADA

Las expresiones matemáticas que gobiernan el efecto de la energía sísmica en la

respuesta de edificios, se rige por la ecuación de equilibrio dinámico, esta se escribe de

la siguiente manera:

𝐹𝐼 + 𝐹𝑉 + 𝐹𝐸 + 𝐹𝑁𝐿 = 0 Ec. (3.1)

Donde,

𝐹𝐼 : 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠.

𝐹𝑉 : 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜.

𝐹𝐸 : 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠.

𝐹𝑁𝐿 : 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.

El modelo dinámico completo está en equilibrio si lo están cada una de fuerzas. Tanto

las fuerzas de amortiguamiento como las restitutivas (elásticas) son opuestas al

movimiento del sistema y son las responsables del movimiento oscilatorio de la

estructura y que está no acelere indefinidamente (De la Llera, 1998).

La teoría lineal del aislamiento de base ha sido explicada en detalle por Naeim y Kelly

quienes han sido de los personajes más representativos en el desarrollo de la teoría en

torno a este tema.

Para el desarrollo de las bases de la teoría se analizará un edificio de 𝑛 grados de

libertad, que es la extensión de la teoría a los edificios, de la cual se pueden tomar dos

idealizaciones:

a) La primera idealización es suponer un cuerpo rígido con una masa “𝑚𝑏” sobre

un sistema de aislamiento, este sistema tiene una rigidez “𝑘𝑏” y un

amortiguamiento “𝑐𝑏”. (figura 3).

La ecuación de movimiento de la masa asociada al sistema de aislamiento, queda

expresado de la siguiente forma:

𝐹𝐼(𝑏)

= 𝑚𝑏 . �̈�𝑏(𝑎𝑏𝑠)

+ 𝑟𝑏𝑇 . 𝑚𝑠. �̈�𝑠

(𝑎𝑏𝑠) Ec. (3.2)

Las fuerzas elásticas

𝐹𝐸(𝑏)

= 𝑘𝑏 . 𝑢𝑏 Ec. (3.3)

Fuerzas viscosas

𝐹𝑉(𝑏)

= 𝑐𝑏 . �̇�𝑏 Ec. (3.4)

Fuerzas no lineales

𝐹𝑁𝐿(𝑏)

= 𝑓𝐷(�̇�, 𝑢, 𝑡) Ec. (3.5)

Aceleración del sistema de aislación con respecto a la base:

�̈�𝑏(𝑎𝑏𝑠)

= �̈�𝑏 + 𝑟𝑔. �̈�𝑔 Ec. (3.6)

Aceleración de la superestructura con respecto a la base:

�̈�𝑠(𝑎𝑏𝑠)

= �̈�𝑠 + (�̈�𝑏 + 𝑟𝑔. �̈�𝑔). 𝑟𝑏 Ec. (3.7)

Luego, reemplazando las ecuaciones (3.1), (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) en (3.1) la ecuación

diferencial de la interfase queda escrita de la siguiente forma:

𝑚𝑏 . �̈�𝑏(𝑎𝑏𝑠)

+ 𝑟𝑏𝑇 . 𝑚𝑠. �̈�𝑠

(𝑎𝑏𝑠)+ 𝑘𝑏 . 𝑢𝑏 + 𝑐𝑏 . �̇�𝑏 + 𝑓𝐷 = 0 Ec. (3.8)

Reemplazando las ecuaciones (3.6) y (3.7) en (3.8), queda:

𝑚𝑏 . (�̈�𝑏 + 𝑟𝑔. �̈�𝑔) + 𝑟𝑏𝑇 . 𝑚𝑠. (�̈�𝑠 + (�̈�𝑏 + 𝑟𝑔. �̈�𝑔). 𝑟𝑏) + 𝑘𝑏 . 𝑢𝑏 + 𝑐𝑏 . �̇�𝑏 + 𝑓𝐷 = 0 Ec. (3.9)

Reordenando se tiene:

(𝑚𝑏 + 𝑟𝑏𝑇 . 𝑚𝑠. 𝑟𝑏). �̈�𝑏 + 𝑟𝑏

𝑇 . 𝑚𝑠. �̈�𝑠 + 𝑘𝑏 . 𝑢𝑏 + 𝑐𝑏 . �̇�𝑏 + 𝑓𝐷 = −(𝑚𝑏 + 𝑟𝑏𝑇 . 𝑚𝑠. 𝑟𝑏). 𝑟𝑔. �̈�𝑔

Ec. (3.7)

b) La segunda idealización que podemos hacer es la de un sistema de 𝑛 masas

“𝑚𝑠” concentradas en cada piso de la estructura. La superestructura tiene una

rigidez “𝑘𝑠” y un amortiguamiento “𝑐𝑠”. (figura 3)

Las fuerzas inerciales

𝐹𝐼(𝑠)

= 𝑚𝑠. �̈�𝑠(𝑎𝑏𝑠)

Ec. (3.2)

Las fuerzas elásticas

𝐹𝐸(𝑠)

= 𝑘𝑠. 𝑢𝑠 Ec. (3.3)

Fuerzas viscosas

𝐹𝑉(𝑠)

= 𝑐𝑠. �̇�𝑠 Ec. (3.4)

No se consideran fuerzas no lineales actuando en la superestructura, sólo en la interfase

de aislamiento. Por lo tanto,

𝐹𝑁𝐿(𝑠)

= 0 Ec. (3.5)

Luego, reemplazando las ecuaciones (3.1), (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) en (3.1) la ecuación

diferencial de la interfase queda escrita de la siguiente forma:

𝑚𝑠. �̈�𝑠(𝑎𝑏𝑠)

+ 𝑘𝑠. 𝑢𝑠 + 𝑐𝑠. �̇�𝑠 = 0

Reemplazando la ecuación (3.19) en (3.11), se tiene:

𝑚𝑠. (�̈�𝑠 + (�̈�𝑏 + 𝑟𝑔. �̈�𝑔). 𝑟𝑏) + 𝑘𝑠. 𝑢𝑠 + 𝑐𝑠. �̇�𝑠 = 0

Reordenando se tiene:

𝑚𝑠. 𝑟𝑏 . �̈�𝑏 + 𝑚𝑠. �̈�𝑠. + 𝑘𝑠. 𝑢𝑠 + 𝑐𝑠. �̇�𝑠 = − 𝑚𝑠. 𝑟𝑏 . 𝑟𝑔. �̈�𝑔

La ecuación de movimiento de la interfase de aislamiento es:

(𝑚𝑏 + 𝑟𝑏𝑇 . 𝑚𝑠. 𝑟𝑏). �̈�𝑏 + 𝑟𝑏

𝑇 . 𝑚𝑠. �̈�𝑠 + 𝑘𝑏 . 𝑢𝑏 + 𝑐𝑏 . �̇�𝑏 + 𝑓𝐷 = −(𝑚𝑏 + 𝑟𝑏𝑇 . 𝑚𝑠. 𝑟𝑏). 𝑟𝑔. �̈�𝑔

Por analogía con la Ecuación (2.16), la ecuación de movimiento de la superestructura

aislada cuando los desplazamientos son referidos al nivel de aislación, puede ser escrita

como:

𝑚𝑠. 𝑟𝑏 . �̈�𝑏 + 𝑚𝑠. �̈�𝑠. + 𝑘𝑠. 𝑢𝑠 + 𝑐𝑠. �̇�𝑠 = − 𝑚𝑠. 𝑟𝑏 . 𝑟𝑔. �̈�𝑔

Por tanto, la ecuación diferencial de movimiento del sistema completo es:

[𝑚𝑇 𝑟𝑏

𝑇. 𝑚𝑠

𝑚𝑠. 𝑟𝑏 𝑚𝑠

] [�̈�𝑏

�̈�𝑠] + [

𝑐𝑏 00 𝑐𝑠

] [�̇�𝑏

�̇�𝑠] + [

𝑘𝑏 00 𝑘𝑠

] [𝑢𝑏

𝑢𝑠] + [𝐹𝑁𝐿

(𝑏)

0] = − [

𝑚𝑇

𝑚𝑠. 𝑟𝑏

] . 𝑟𝑔. �̈�𝑔

También se puede escribir de la siguiente manera:

𝑀 �̈� + C �̇� + 𝐾 𝑢 + 𝐹𝑁𝐿 = −𝑀𝑟𝑔. �̈�𝑔

Donde [𝑀], [𝐶] y [𝐾] son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, {𝐹𝑁𝐿} son

las fuerzas no lineales, 𝑚𝑇= (𝑚𝑏 + 𝑟𝑏𝑇 . 𝑚𝑠. 𝑟𝑏) es la masa total del sistema, {�̈�}, {�̇�} y

{𝑢} son las aceleraciones, velocidades y desplazamientos de la estructura, aceleración

del terreno, {𝑟𝑏} Vector que corresponde al número de pisos sobre el sistema de

aislamiento {1,1,1 … 1}𝑛𝑥1, {𝑟𝑔} es el vector de colocación del input {�̈�𝑔}, y {�̈�𝑔} es el

la excitación a la que está sometida el sistema estructural. 𝑛 es el número de pisos

para el marco plano en nuestro caso.

La ventaja del sistema de coordenadas usado en el planteamiento del equilibrio es que

permite la separación entre el amortiguamiento del sistema de aislación y el

amortiguamiento de la superestructura.

3.2.1 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES

Para resolver la respuesta de un sistema estructural incluido el aislamiento sísmico, se

ha propuesto un procedimiento de cálculo que parte de la representación de estado de

las ecuaciones del movimiento. Este procedimiento, denominado “método de espacio

de estado”, formula un modelo en tiempo discreto a través de la solución analítica de

la ecuación del movimiento en espacio de estado.

Para el análisis de la respuesta se utiliza el desplazamiento y velocidad, como variables

independientes del sistema. La resolución de la ecuación de estado se determina

mediante el algoritmo de diferenciación numérica Runge - Kutta, lo que permite

analizar el comportamiento de la estructura junto con los aisladores sísmicos.

La ecuación del movimiento (3.19) puede escribirse en la forma de ecuación de estado

siguiente:

𝑢 ̈ = − 𝑀−1𝑐 �̇� − 𝑀−1 𝑘 𝑢 − 𝑀−1 𝐹𝑁𝐿 − 𝑀−1 𝑀𝑟𝑔 �̈�𝑔

Donde el vector de estado y, de dimensión 2n, se define en la forma:

𝑦 = [𝑢�̇�

] ; Variable auxiliar.

�̇� = [�̇��̈�

] ; Derivada variable auxiliar.

La ecuación del movimiento (3.20) puede ser formulada en espacio de estado mediante:

donde los vectores z y zg y las matrices F , Gg y G son