24

CAPITULO 3

DEFINICIÓN Y ECUACIONES DEL SISTEMA

3.1 Introducción

En el capítulo anterior se pudo observar varios métodos de balanceo. A

continuación se muestra en la figura 3.1, el sistema rotor-elementos libres que es

propuesto en esta tesis con el cual se expondrá el método de autobalanceo.

Figura3.1. Sistema rotor-elementos libres

A partir de la figura 3.1:

2,1 RR – Radio de los tambores

yxyx kkkk 2211 ,,, – Coeficiente de rigidez en dirección x, y de los rodamientos

yxyx nnnn 2211 ,,, – Coeficiente de amortiguamiento en dirección x,y de los rodamientos

25

Debe tomarse en cuenta que los valores de 222111 ,, nnn mmm corresponden a los

valores de masa necesarios para representar el desbalanceo estático y dinámico.

3.2 Ejes de coordenadas

Para poder llevar a cabo el análisis del sistema, es necesario utilizar tres sistemas de

coordenadas para poder encontrar las ecuaciones diferenciales para cada grado de

libertad. Los ejes coordenados son los siguientes:

ZYX ,, –Eje de coordenadas fijo (no gira con el rotor). Su origen es el punto O que

representa el c.g.

zyx ,, – Eje de coordenadas móvil el cual vibra con el rotor mas no gira con él. Su origen

es el punto O’. Dicho punto representa la nueva ubicación del c.g. cuando el sistema se

encuentra vibrando.

111 ,, zyx – Eje de coordenadas que gira con el rotor.

En la figura 3.2 se muestran los ejes coordenadas fijos y móviles.

Ahora, para poder obtener las ecuaciones que rigen el movimiento del sistema, es

necesario aclarar que dichas ecuaciones están basadas en los ejes x, y, z ya que a partir

de estos ejes tenemos la seguridad que se mueven según vibre el sistema.

26

Otro punto importante es que los valores de desplazamiento y velocidad para x, y

deben ser proyectados en los ejes x, y, z ya que éstos se encuentran expresados en

términos de los ejes fijos X, Y, Z.

Figura 3.2 Ejes de coordenadas fijos (X,Y,Z) y móvil (x,y,z)

Según la figura 3.2 se obtiene:

oooo xxyxx sen.....

coscos ==+= yyy (3.1)

oooo yyyxy sen.....

coscos =Q=Q+-= y (3.2)

27

Según las ecuaciones anteriores se puede observar que el desplazamiento y

velocidad para x,y es aproximadamente el mismo para los dos sistemas coordenados

debido a que la magnitud de los ángulos con que rotan los ejes es muy pequeña.

Figura3.3 Ejes coordenados móviles y rotacionales

ia = ángulo de posición del elemento libre

tw = ángulo de rotación

3.3 Grados de libertad

En el sistema se tienen 8 grados de libertad, 4 del rotor y los restantes

corresponden a cada uno de los elementos libres. Para el sistema propuesto en esta tesis,

se tienen 2 elementos libres en cada tambor, a menos que se indique algo diferente.

28

qT = ],,,,[ iyx ay Q ,i=1,2,3…n (3.3)

donde ),( yx representan las coordenadas del c.g. del rotor

3.4 Ecuación de Lagrange

El uso de la ecuación de Lagrange es sumamente útil para el análisis dinámico del

sistema debido a que facilita el trabajo al no tener que estar buscando la magnitud y

sentido de cada una de las fuerzas que actúan tanto sobre el rotor como en cada uno de

los elementos libres. En la referencia [16] se puede observar todo el desarrollo para

obtener la ecuación de Lagrange:

FQ iiii

iq

V

q

T

q

T

dt

d-=

∂

∂+

∂

∂-

˜˜˜

¯

ˆ

ÁÁÁ

Ë

Ê

∂

∂.

(3.4)

3.4.1 Energía Cinética

La energía cinética total está formada por la energía del rotor y la energía de los

elementos libres.

Â+==

=

4

1

n

iirotor TTT (3.5)

29

( )2222.2.*

2

1

2

1

2

1yxzrotor BAyxMT www +++˜

¯

ˆÁË

Ê+= (3.6)

=*

M Masa del rotor y los tambores

A = Momento de inercia del rotor y los tambores con respecto al eje z

B = Momento de inercia del rotor y los tambores con respecto al eje x,y

Â=

+=n

iimMM

1

* (3.7)

..cos Q@Q= ywx (3.8)

.yw =y (3.9)

wywyww ªQ+@Q+=..

senz (3.10)

Sustituyendo tenemos:

˙˚

˘ÍÎ

Ș¯

ˆÁË

Ê+Q++˜

¯

ˆÁË

Ê+= 2.2.22.2.*

2

1yw BAyxMTrotor (3.11)

Ahora, para los elementos libres:

30

2

21

iii VmT = (3.12)

rVV iio ¥W+=ÆÆÆ

(3.13)

kji iirrr

˜¯

ˆÁË

Ê++˜

¯

ˆÁË

Ê+˜

¯

ˆÁË

ÊQ=W

Æ ...awy (3.14)

( )[ ] ( )[ ] kzjtsenRitRr iiiiiirrrr ⋅+⋅++⋅+= awawcos (3.15)

ri - Vector de posición del i-ésimo elemento libre

( )iii tRx aw += cos (3.16)

( )iii tsenRy aw += (3.17)

lz ii = (3.18)

Por lo tanto, las componentes del vector de posición

( )iix tRr aw += cos (3.19)

( )iiy tsenRr aw += (3.20)

31

zr iz = (3.21)

La representación del vector de posición queda delimitada como:

kji rrrr zyxirrrr ++= (3.22)

De la velocidad de translación se obtiene:

kjyixV o

rrrr⋅+⋅+⋅= 0

.. (3.23)

2222 VVVV ziyixii ++= (3.24)

Por lo tanto:

( ) ( ) iiiii

ii

ztsenRtR

kji

kjyixV

awaw

awy

++

˜¯

ˆÁË

Ê+Q+⋅+⋅+⋅=

Æ

cos

0.....

rrr

rrr (3.25)

( )( )iiiixi tsenRzxV awawy +˜¯

ˆÁË

Ê+-+=

... (3.26)

( )( ) ztRzyV iiiiiyi

....cos Q-+˜

¯

ˆÁË

Ê+-+= awawy (3.27)

32

( ) ( )iiiizi tRtsenRV awaw +Y-+Q= cos..

(3.28)

Por lo tanto,

2222 VVVV ziyixii ++= (3.29)

Â+==

=

4

1

n

iirotor TTT (3.30)

( )( )

( )( )

( ) ( )

Â

ÔÔÔÔ

˛

ÔÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔÔ

Ó

ÔÔÔÔ

Ì

Ï

ÔÔÔÔ

˛

ÔÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔÔ

Ó

ÔÔÔÔ

Ì

Ï

˙˘

ÍÎ

È+-+Q

+˙˚

˘ÍÎ

ÈQ-+˜

¯

ˆÁË

Ê+-+

+˙˚

˘ÍÎ

È+˜

¯

ˆÁË

Ê+-+

+˙˚

˘ÍÎ

Ș¯

ˆÁË

Ê+Q++˜

¯

ˆÁË

Ê+=

=

n

i

iiii

iiiii

iiii

i

tRtsenR

ztRzy

tsenRzx

m

BAyxMT

1

2..

2....

2...

2.2.22.2.*

cos

cos2

1

2

1

awyaw

awawy

awawy

yw

(3.31)

3.4.2 Energía Potencial

33

Las siguientes 4 ecuaciones corresponden a los desplazamientos de los soportes

en dirección x y dirección y. Se puede ver que debido a los ángulos de vibración son

pequeños, los desplazamientos son aproximados.

Q-ª 11 zyy o (3.32)

Q-ª 22 zyy o (3.33)

y11 zxx o +ª (3.34)

y22 zxx o -ª (3.35)

[ ]ykxkykxkV yxyx222

222

211

2112

1+++= (3.36)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]222

222

211

2112

1Q-+++Q-++= zxkzxkzykzxkV yxyx yy (3.37)

3.3.3 Fuerzas conservativas y no conservativas

34

Las 2 ecuaciones siguientes corresponden a las fuerzas generadas por el

desbalanceo estático y dinámico respectivamente.

2wMePo = (3.38)

2wMdM o = (3.39)

tsenPPox w= (3.40)

tPPoy wcos= (3.41)

( )ew -= tsenMM oox (3.42)

( )ew -= tMM ooy cos (3.43)

La ecuación (3.44) muestra el vector de fuerzas generalizadas producidas por el

desbalanceo estático y dinámico.

[ ]MMPPQ oyoxoyoxT ,,,= (3.44)

La ecuación (3.45) presenta las fuerzas de amortiguamiento, las cuales, son

obtenidas de la energía disipada en el sistema en la ecuación (3.46)

35

˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍ

Î

È

Q∂

∂

Y∂

∂

∂

∂

∂

∂=

....,,,

DD

y

D

x

DRT (3.45)

 Â= =

+˙˙

˚

˘

ÍÍ

Î

È

˜˜¯

ˆÁÁË

ÊQ-+˜

˜¯

ˆÁÁË

Ê+=

2

1 1

2.2..2..

21

21

j

n

iiiijyjjxj Rnznzn yxD ay (3.46)

.

1q

DFi

∂

∂= (3.47)

3.5 Ecuaciones del sistema

Para xq =1 :

( )( )Â=

*

Ô

Ô˝¸

ÔÓ

ÔÌÏ

˙˚

˘ÍÎ

È+˜

¯

ˆÁÁË

Ê+-++=

∂

∂ n

iiiiii tsenRzxmxM

x

T

1

....

.awawy (3.48)

( )( ) ( )Â=

*

˙˙

˚

˘

ÍÍ

Î

È+˜

¯

ˆÁÁË

Ê+-+-++=

˜˜

¯

ˆ

ÁÁÁ

Ë

Ê

∂

∂ n

iiiiiiiii tRtsenRzxmxM

x

T

dt

d

1

2.........

.cos)( awawaway

(3.49)

( ) ( )yy zxkzxkxV

xx 2211 +++=∂∂

(3.50)

36

0=∂∂

xT

(3.51)

˜¯

ˆÁË

Ê++˜

¯

ˆÁË

Ê+=

∂

∂ .

2

.

2

.

1

.

1.yy zxnzxn

x

Dxx (3.52)

tMeQ ww cos21 = (3.53)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )Â˙˙˚

˘

ÍÍÎ

È+˜

¯

ˆÁË

Ê++++=+

+++++++Â+˜¯

ˆÁË

ÊÂ+

=

==

*

n

iiiiiixx

xxxxxxn

iii

n

ii

ttsenRmtMezkzk

znznkkxnnxzmxmM

1

2...22211

2211

.

2121

.

1

....

1

coscos awawawawwy

yy

(3.54)

Para yq =2 :

( )( )˛˝¸

ÓÌÏ

˙˚

˘ÍÎ

ÈQ-+˜

¯

ˆÁË

Ê++Â+=

∂

∂

=

* ...

1

2.

cos ztRymyMy

Tiiiii

n

iawaw (3.55)

37

( )( )

( )

Â

ÔÔÔ

˛

ÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔ

Ó

ÔÔÔ

Ì

Ï

ÔÔ

˛

ÔÔ

˝

¸

ÔÔ

Ó

ÔÔ

Ì

Ï

Q-+˜¯

ˆÁË

Ê+

-+˜¯

ˆÁË

Ê+

+=˜

˜

¯

ˆ

ÁÁÁ

Ë

Ê

∂

∂

=

* n

i

iiii

iii

i

ztsenR

tRymyM

y

T

dt

d

1 ..2.

....2..

.

cos

awaw

awa (3.56)

( ) ( )Q-+Q-=∂∂

zykzykyV

yy 2211 (3.57)

0=∂

∂

y

T (3.58)

˜¯

ˆÁË

ÊQ-+˜

¯

ˆÁË

ÊQ-=

∂

∂ .

2

.

2

.

1

.

1. zynzyny

Dyy (3.59)

tsenMeQ ww 22 = (3.60)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) +˜¯

ˆÁË

Ê++Â +-=

+Q-+Q-++++Â Q-˙˘

ÍÎ

ÈÂ+

==

==

*

n

iiiii

n

iiiii

yyyyyyyyn

iiii

n

i

tsenRmtRmtsenMe

zkzkznznykkynnzmymM

1

2.

1

..2

22112211

.

21

.

211

....

1

cos awawawaww

(3.61)

Para Q=q3 :

38

( )

( )( ) [ ]

( ) ( )

( )[ ]

Â

ÔÔÔÔ

˛

ÔÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔÔ

Ó

ÔÔÔÔ

Ì

Ï

ÔÔÔÔ

˛

ÔÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔÔ

Ó

ÔÔÔÔ

Ì

Ï

+

˙˘

ÍÎ

È+-+Q

+-˙˚

˘ÍÎ

ÈQ-+˜

¯

ˆÁË

Ê++

+Q+˜¯

ˆÁË

ÊQ+=

Q∂

∂

=

n

i

ii

iiii

iiiii

i

tsenR

tRtsenR

zztRy

mBAT

1

..

...

..

.cos

cos

aw

awyaw

awaw

yyw

(3.62)

( )( ) ( )

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

( )[ ]

Â

ÔÔÔÔÔÔ

˛

ÔÔÔÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔÔÔÔ

Ó

ÔÔÔÔÔÔ

Ì

Ï

ÔÔÔÔÔÔ

˛

ÔÔÔÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔÔÔÔ

Ó

ÔÔÔÔÔÔ

Ì

Ï

+

˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍ

Î

È

+˜¯

ˆÁË

Ê+++

-+˜¯

ˆÁË

Ê+Q-+Q

+-

˙˙˚

˘

ÍÍÎ

ÈQ-+˜

¯

ˆÁË

Ê+-+˜

¯

ˆÁË

Ê+

+Q+˜¯

ˆÁË

Ê=

˜˜

¯

ˆ

ÁÁ

Ë

Ê

Q∂

∂

=

n

i

ii

iiii

iiii

i

iiiiii

i

tsenR

tsenRtR

tRtsenR

z

ztsenRtRy

mBAT

dt

d

1

....

....

.2.....

...

.

cos

cos

cos

aw

awawyawy

awawaw

awawawa

yw

(3.63)

( )( ) ( )( )222111 zzykzzykV

yy -Q-+-Q-=Q∂

∂ (3.64)

0=Q∂

∂T (3.65)

( ) ( )2

.

2

.

21

.

1

.

1.zzynzzyn

Dyy -˜

˜¯

ˆÁÁË

ÊQ-+-˜

˜¯

ˆÁÁË

ÊQ-=

Q∂

∂ (3.66)

39

( )eww -= tMdQ cos23 (3.67)

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )˜˜

¯

ˆ

ÁÁ

Ë

Ê+˜

¯

ˆÁË

Ê+-++-=

+Q++-˙˚

˘ÍÎ

ÈÂ ++˜

¯

ˆÁË

Ê+

-˙˚

˘ÍÎ

È++Â +˜

¯

ˆÁË

Ê+Q++

-Â +-˙˘

ÍÎ

ÈÂ ++Q+Â-

=

=

=

===

n

iiiiiiii

yyyyn

iiiii

yyn

iiiiiyy

n

iiii

n

iiiiii

n

i

tsentRzmtMd

zkzkzkzkyAtRm

znzntsenRmznzny

tsenRmtsenRzmBzmy

1

2...2

222

2112211

1

.2.

222

211

1

.2.

2211

.

1

2..

1

2221

..

1

..

coscos

2cos

2

25.0

awawawaeww

wawawy

awaw

awyaw

(3.68)

Para y=q4 :

( )( ) ( )

( ) ( )Â

ÔÔÔ

˛

ÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔ

Ó

ÔÔÔ

Ì

Ï

ÔÔÔ

˛

ÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔ

Ó

ÔÔÔ

Ì

Ï

˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍ

Î

È

˙˘

ÍÎ

È+-+Q

+-+˜¯

ˆÁË

Ê+-+

+=Q∂

∂

=

n

i iiii

iiiiii

ii tRtsenR

tRtsenRzx

zmB

T

1..

...

.

. cos

cos

awyaw

awawawy

y

(3.69)

40

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )[ ] ( )

( ) ( )

Â

ÔÔÔÔÔÔÔ

˛

ÔÔÔÔÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔÔÔÔÔ

Ó

ÔÔÔÔÔÔÔ

Ì

Ï

ÔÔÔÔÔÔÔ

˛

ÔÔÔÔÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔÔÔÔÔ

Ó

ÔÔÔÔÔÔÔ

Ì

Ï

˙˘

ÍÎ

È+-+Q

˙˚

˘ÍÎ

È+˜

¯

ˆÁË

Ê+++-

˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍ

Î

È

+˜¯

ˆÁË

Ê+-+

++Q˜¯

ˆÁË

Ê+++Q

+

˙˙˚

˘

ÍÍÎ

È+˜

¯

ˆÁË

Ê+-+-+

+=˜

˜

¯

ˆ

ÁÁÁ

Ë

Ê

∂

∂

=

n

i

iiii

iiiii

iiiii

iiiii

iiiiiii

i

tRtsenR

tsenRtR

tsenRtR

tRtsenR

tRtsenRzxz

mBT

dt

d

1

..

.

....

....

2.......

..

.

cos

cos

cos

cos

cos

awyaw

awawaw

awyawawy

awawaw

awawaway

yy

(3.70)

( )( ) ( )( )22211 zzxkzzxkV

xix Q-+-=Q∂

∂y (3.71)

˜¯

ˆÁÁË

ÊQ=

Q∂

∂ .wA

T (3.72)

( ) ( )2

.

2

.

21

.

1

.

1.zzxnzzxn

Dxx ˜

¯

ˆÁÁË

Ê-+˜

¯

ˆÁÁË

Ê-=

Q∂

∂yy (3.73)

( )eww -= tsenMdQ 24

(3.74)

41

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ˜˜

¯

ˆ

ÁÁ

Ë

Ê-˜

¯

ˆÁË

Ê++++-=

++++˙˚

˘ÍÎ

È+Â ˜

¯

ˆÁË

Ê+-+

+˙˚

˘ÍÎ

ÈÂ +˜

¯

ˆÁË

Ê++Q-+

+˙˘

ÍÎ

È+Â +-+Â +Q-Â

=

=

=

===

n

iiiiiiii

xxxxiiin

iixx

n

iiiiixx

n

iiiii

n

iiii

n

iii

ttsenRzmtsenMd

zkzkzkzkxtsenRmznzn

tRmAznznx

BtRzmtsenRmzmx

1

2...2

222

2112211

2

1

.222

211

.

1

..

2211

.

1

222..

1

2..

1

..

)cos()(

2

2cos

cos25.0

awawawaeww

yawawy

awaww

awyaw

(3.75)

4...3,2,1,4 ===+ niq ii a

( )[ ] ( )( )

( )[ ] ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ÔÔ˛

ÔÔ˝

¸

ÔÔÓ

ÔÔÌ

Ï

+Q

-˜¯

ˆÁË

Ê+++-+++-

=Â

ÔÔÔ

˛

ÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔ

Ó

ÔÔÔ

Ì

Ï

ÔÔÔ

˛

ÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔ

Ó

ÔÔÔ

Ì

Ï

˙˙˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍÍÍ

Î

È

˙˚

˘ÍÎ

ÈQ-+˜

¯

ˆÁË

Ê+-++

+˙˚

˘ÍÎ

È+˜

¯

ˆÁË

Ê+-++-

=∂

∂

=

iii

iiiiiiiii

i

n

iiiiiiii

iiiiii

i

i

tRz

RtsenRztRytsenRxm

ztRzytR

tsenRzxtsenR

mT

aw

awawyawaw

awawyaw

awawyaw

a

cos

cos

coscos

.

2....

1

.

....

...

.

(3.76)

42

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )ÔÔÔÔÔ

˛

ÔÔÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔÔÔ

Ó

ÔÔÔÔÔ

Ì

Ï

+Q˜¯

ˆÁÁË

Ê+++Q-

+˜¯

ˆÁÁË

Ê+++++˜

¯

ˆÁÁË

Ê+

-+++˜¯

ˆÁÁË

Ê+-+-

=˜˜˜

¯

ˆ

ÁÁÁ

Ë

Ê

∂

∂

iiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiii

i

i

tsenRztRzR

tRztsenRztsenRy

tRytRxtsenRx

mT

dt

d

awawawa

awyawawyawaw

awawawaw

a....

2..

...

....

......

.

cos

cos

coscos

(3.77)

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ÔÔÔÔÔÔ

˛

ÔÔÔÔÔÔ

˝

¸

ÔÔÔÔÔÔ

Ó

ÔÔÔÔÔÔ

Ì

Ï

˙˚

˘ÍÎ

È+-+Q

˙˚

˘ÍÎ

È+˜

¯

ˆÁÁË

Ê+++Q˜

¯

ˆÁÁË

Ê+

+˙˚

˘ÍÎ

ÈQ-+˜

¯

ˆÁÁË

Ê+-+

˙˙

˚

˘

ÍÍ

Î

È+˜

¯

ˆÁÁË

Ê+-

+˙˚

˘ÍÎ

È+˜

¯

ˆÁÁË

Ê+-+

˙˙

˚

˘

ÍÍ

Î

È+˜

¯

ˆÁÁË

Ê+-

=

∂

∂

iiii

iiiiii

iiiiiiii

iiiiiii

i

tRtsenR

tsenRtR

ztRzytsenR

tsenRzxtR

T

awyaw

awyawawaw

awawyawaw

awawyawaw

a

cos

cos

cos

cos

..

....

....2.

...2.

(3.78)

0=∂∂

i

Va

(3.79)

irivi FFF += (3.80)

.2iiiiv RnF a= (3.81)

43

iiiiiir rRfmF /2.˜¯

ˆÁË

Ê+= aw (3.82)

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) iiiiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiii

iiiiiiiiiii

iiiiiiiiiiii

FttsenRmtRm

tsenRmttsenRm

ttsenRmttsenRm

tsenRzmtsenRzm

tRzmtRzm

ytsenRmtsenRm

xtRmtRmtzm

tsenzmytRmxtsenRmRm

-˙˚

˘ÍÎ

È++˜

¯

ˆÁË

Ê++Q˙

˚

˘ÍÎ

È+˜

¯

ˆÁË

Ê+

+Q˙˚

˘ÍÎ

È+˜

¯

ˆÁË

Ê+-Q˙

˚

˘ÍÎ

È++˜

¯

ˆÁË

Ê+

-++˜¯

ˆÁË

Ê++++˜

¯

ˆÁË

Ê+

+Q˙˙˚

˘

ÍÍÎ

È+˜

¯

ˆÁË

Ê+++˜

¯

ˆÁË

Ê+

-˙˙˚

˘

ÍÍÎ

È+˜

¯

ˆÁË

Ê+-+˜

¯

ˆÁË

Ê+

+˙˙˚

˘

ÍÍÎ

È+˜

¯

ˆÁË

Ê+++˜

¯

ˆÁË

Ê+

+˙˙˚

˘

ÍÍÎ

È+˜

¯

ˆÁË

Ê+-+˜

¯

ˆÁË

Ê++Q++

+++++=

2.2...2.

..2.2.2.

23.2

3.

.2..

.2..

.2..

.2....

........2

coscos

cos

coscos

coscos

coscoscos

cos

yawawawyawaw

yawawawawaw

awawawawawaw

awawawaw

yawawawaw

awawawaw

awawawawaw

yawawawa

(3.83)

44

En resumen:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )Â˙˙˚

˘

ÍÍÎ

È+˜

¯

ˆÁË

Ê++++=+

+++++++Â+˜¯

ˆÁË

ÊÂ+

=

==

*

n

iiiiiixx

xxxxxxn

iii

n

ii

ttsenRmtMezkzk

znznkkxnnxzmxmM

1

2...22211

2211

.

2121

.

1

....

1

coscos awawawawwy

yy

(3.84)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) +˜¯

ˆÁË

Ê++Â +-

=+Q-+Q-++++Â Q-˙˘

ÍÎ

ÈÂ+

==

==

*

n

iiiii

n

iiiii

yyyyyyyyn

iiii

n

i

tsenRmtRmtsenMe

zkzkznznykkynnzmymM

1

2.

1

..2

22112211

.

21

.

211

....

1

cos awawawaww

(3.85)

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )˜˜

¯

ˆ

ÁÁ

Ë

Ê+˜

¯

ˆÁË

Ê+-++-=

+Q++-˙˚

˘ÍÎ

ÈÂ ++˜

¯

ˆÁË

Ê+

-˙˚

˘ÍÎ

È++Â +˜

¯

ˆÁË

Ê+Q++

-Â +-˙˘

ÍÎ

ÈÂ ++Q+Â-

=

=

=

===

n

iiiiiiii

yyyyn

iiiii

yyn

iiiiiyy

n

iiii

n

iiiiii

n

i

tsentRzmtMd

zkzkzkzkyAtRm

znzntsenRmznzny

tsenRmtsenRzmBzmy

1

2...2

222

2112211

1

.2.

222

211

1

.2.

2211

.

1

2..

1

2221

..

1

..

coscos

2cos

2

25.0

awawawaeww

wawawy

awaw

awyaw

(3.86)

45

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) Â

˜˜˜˜

¯

ˆ

ÁÁÁÁ

Ë

Ê

-˜¯

ˆÁË

Ê+

+++-=+

+++˙˚

˘ÍÎ

È+Â ˜

¯

ˆÁË

Ê+-+

+˙˚

˘ÍÎ

ÈÂ +˜

¯

ˆÁË

Ê++Q-+

+˙˘

ÍÎ

È+Â +-+Â +Q-Â

=

=

=

===

n

iii

ii

iiixx

xxiiin

iixx

n

iiiiixx

n

iiiii

n

iiii

n

iii

t

tsenRzmtsenMdzkzk

zkzkxtsenRmznzn

tRmAznznx

BtRzmtsenRmzmx

12.

..

2222

211

22112

1

.222

211

.

1

..

2211

.

1

222..

1

2..

1

..

)cos(

)(

2

2cos

cos25.0

awaw

awaewwy

awawy

awaww

awyaw

(3.87)

3.6 Simplificación de las ecuaciones (3.84-3.87) por medio de la sustitución

twt =

Para hacer el análisis numérico mucho más sencillo, en todas las ecuaciones

obtenidas, se introduce twt = además de dividir cada una por 2w .

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )Â˙˙˚

˘

ÍÍÎ

È+˜

¯

ˆÁË

Ê++++=+

+++++++Â+˜¯

ˆÁË

ÊÂ+

=

==

*

n

iiiiiixx

xxxxxxn

iii

n

ii

senRmMezkzk

znznxkkxnnzmxmM

1

2.

2

..

22112

.

2211212

.

21

..

1

..

1

cos11

cos1

111

ataw

atatyw

ywww

y

(3.88)

46

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )Â˙˙˚

˘

ÍÍÎ

È+˜

¯

ˆÁË

Ê+++-=Q+

-Q+-++++Â Q-˙˘

ÍÎ

ÈÂ+

=

==

*

n

iiiiiiiyy

yyyyyyn

iii

n

ii

senRmMesenzkzk

znznykkynnzmymM

1

2.

2

..

22112

.

2211212

.

211

....

1

11

cos1

111

ataw

atatw

www

(3.89)

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )˜˜

¯

ˆ

ÁÁ

Ë

Ê+˜

¯

ˆÁË

Ê+-++-=

Q+++-˙˚

˘ÍÎ

ÈÂ ++˜

¯

ˆÁË

Ê+

-Q˙˚

˘ÍÎ

È++Â +˜

¯

ˆÁË

Ê+++

-Â +-Q˙˘

ÍÎ

ÈÂ +++Â-

=

=

=

===

n

iiiiiiii

yyyyn

iiiii

yyn

iiiiiyy

n

iiii

n

iiii

n

iii

senRzmMd

zkzkyzkzkARm

znznsenRmyznzn

senRmsenRzmBzmy

1

2.

2

..

222

211222112

.

1

.2

.222

211

1

.2.

2211

1

2....

1

2221

1

..

11

coscos

112cos1

1

2111

25.0

ataw

ataet

wwywata

w

ataww

atyat

(3.90)

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) Â

˜˜˜˜

¯

ˆ

ÁÁÁÁ

Ë

Ê

-˜¯

ˆÁË

Ê+

+++-=+

+++˙˚

˘ÍÎ

È+Â ˜

¯

ˆÁË

Ê+-+

+Q˙˚

˘ÍÎ

ÈÂ +˜

¯

ˆÁË

Ê++-+

+˙˘

ÍÎ

È+Â +-+Â +Q-Â

=

=

=

===

n

iii

ii

iiixx

xxiiin

iixx

n

iiiiixx

n

iiiii

n

iiii

n

iii

senRzmsenMdzkzk

xzkzksenRmznzn

RmAxznzn

BRzmsenRmzmx

12.

2

..

222

2112

22112

.2

1

.222

2112

.

1

.

22211

.

2

1

222..

1

2..

1

..

)cos(11

)(1

121

1

2cos111

cos25.0

ataw

ataety

w

wyata

w

atawww

atyat

(3.91)