capÍtulo 3. definiciÓn de los modelos....

Capítulo 3.

Definición de los modelos. Aplicación del análisis modal y respuesta sísmica en ANSYS.

Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 26

CAPÍTULO 3.

DEFINICIÓN DE LOS MODELOS.

APLICACIÓN DEL ANÁLISIS MODAL Y

RESPUESTA SÍSMICA EN ANSYS.

Capítulo 3.



3.1. GEOMETRÍA DEL MODELO.

En primer lugar, se procede a hacer una representación en planta de la distribución de

columnas en la superficie del edificio. Se parte de las mediciones tomadas sobre el terreno, en

cuanto a distancias entre columnas y en cuanto a diámetro de las mismas. Se utiliza el

programa AUTOCAD [10]. En el capítulo anterior, se puede apreciar la Figura 7, donde se

representa la planta del edificio con la numeración de columnas.

Partiendo de dicho plano, se toman dos módulos representativos de la parte más

antigua y heterogénea de la antigua Mezquita (Mezquita primitiva de Abderramán I) y de la

parte más homogénea (Última ampliación de Almanzor), respectivamente. Estos pequeños

módulos constan de seis columnas (enfrentadas tres a tres) y nos servirán para estudiar en

primera instancia el comportamiento de un modelo básico de cada una de las partes

mencionadas. Se eligen en particular estos modelos por ser las partes más claramente

diferenciadas de la antigua Mezquita en cuanto a materiales, geometría y distribución de

elementos, y a fin de comparar su comportamiento.

Basándonos de nuevo en las medidas tomadas in situ, construimos los modelos.

Específicamente, se trabaja con las columnas 258, 259, 260, 270, 271, 272, según la

numeración del plano para el modelo Abderramán I, y con las columnas 45, 46, 47, 65, 66, 67.

Se pretende construir unos modelos formados por líneas correspondientes a la

geometría de cada parte, para luego importarlos en ANSYS [11] y proceder al análisis dinámico,

que es lo que nos ocupa.

Una vez se realiza el modelo en CAD, se transforma a formato IGES, el cual es legible

por parte de ANSYS [11].

Para construir dichos modelos se toman también varias simplificaciones:

o En los modelos los arcos superior e inferior serán representados como arcos

de medio punto.

Figura 16: Geometría del modelo básico de Abderramán I en AutoCAD

Capítulo 3.



o Se prescinde de la caracterización de las basas, capiteles y cimacios se incluyen

en las columnas y se consideran con las mismas características de éstas.

o A los arcos de la parte de Abderramán I, que presentan alternancia de

materiales, se creará un “material ficticio” con características intermedias

entre la fábrica y la piedra caliza, y se le asignará a dichos arcos.

o Se recuerda que el modelo se compone de líneas, por tanto habrá que traducir

las medidas tomadas de forma que en el modelo se representen las líneas

medias de los distintos elementos de la estructura.

Partiendo de los modelos básicos de un módulo, se extenderá la geometría con

operaciones de simetría para crear modelos de cuatro, nueve y dieciséis módulos contiguos.

Además, a los modelos compuesto por nueve y dieciséis módulos, también se les

añadirá el muro exterior según en dos lados según corresponda para cada zona de la Mezquita.

3.2. NUMERACIÓN EN LOS MODELOS.

Se procede a establecer una numeración para referirse de aquí en adelante a los

elementos que componen los modelos, de cara a las explicaciones pertinentes en el análisis

modal y sísmico.

Esta numeración de soportes y naves será la misma tanto para los modelos de la parte

de Abderramán I como a los modelos de la zona de Almanzor.

Se numera como se aprecia en las figuras siguientes. La fila de soportes número uno

será la más próxima al origen y la numeración avanza al alejarse del origen. Los soportes de

cada fila son numerados crecientemente según se alejan del origen. Las naves entre cada fila

de columnas serán numeradas análogamente.

• Modelos básicos:

Figura 17: Numeración modelos básicos

Capítulo 3.



• Modelos de cuatro módulos:

• Modelos de nueve módulos sin muro exterior:

• Modelos de nueve módulos sin muro exterior:

Figura 18: Numeración modelos de cuatro módulos.

Figura 19: Numeración modelos de nueve módulos sin muro.

Figura 20: Numeración modelos de nueve módulos con muro exterior. Derecha: Modelo Abderramán I. Izquierda: Modelo Almanzor

Capítulo 3.



• Modelos de dieciséis módulos sin muro exterior:

• Modelos de dieciséis módulos sin muro exterior:

Notar que en los modelos donde se añaden los muros exteriores, la

disposición de los mismos es distinta para el modelo Abderramán I y el modelo

Almanzor. Se trata de ajustarse a la realidad.

Nótese también que se añaden los muretes, que son la conexión entre

las arquerías y el muro trasero. La última columna se encuentra absorbida en

el murete, y por tanto el último arco descansa mayormente en el mismo.

Figura 21: Numeración modelos de dieciséis módulos

Figura 22: Numeración modelos de dieciséis módulos con muro. Derecha: Modelo Abderramán I. Izquierda: Modelo Almanzor

Capítulo 3.



• Modelo General.

Por último se conectan los módulos de la parte antigua (Abderramán I)

y la parte moderna (Almanzor) para componer el modelo General. Las

columnas son numeradas análogamente a los modelos anteriores, no se refleja

en la figura por falta de espacio.

3.3. DEFINICIÓN DEL MODELO EN ANSYS

3.3.1. Modelo Abderramán I – Parte Antigua Mezquita.

Se trabaja siempre en unidades del Sistema Internacional.

Los tipo de elemento usados son: BEAM188 y SHELL181.

Se definen seis modelos de materiales, las características de los mismos son

extraídas de la Enciclopedia de los Materiales de Buschow, entre otros autores [23]:

1) Mármol: � = 2790 �� ; � = 60000 �� ; � = 0.26

Usado en las columnas 258 (fila 1, soporte 1), 260 (fila 1, soporte 3),

271 (fila 2, soporte 2).

2) Granito: � = 2790 �� ; � = 20000 ��; � = 0.28

Usado en las columnas 259 (fila 1, soporte 2), 270 (fila 2, soporte 1),

272 (fila 2, soporte 3).

3) Piedra caliza: � = 2700 �� ; � = 2500 ��; � = 0.25

Usado en las pilastra entre el arco inferior y superior , en los muros que

corren sobre las arquerías y en los muros exteriores.

Figura 23: Numeración modelo general.

Capítulo 3.



4) Madera: � = 600 �� ; � = 11000 ��; � = 0.2

Usado en el techo.

5) Caliza + fábrica ladrillo: � = 2350 �� ; � = 1500 ��; � = 0.22

Usado en los arcos (inferior y superior).

Se definen también las secciones de los elementos:

1) Columna1: Circular, R=0.2m.

Asignada a columna 258 (fila 1, soporte 1).


Asignada a columnas 259 (fila 1, soporte 2), 270 (fila 2, soporte 1)


Asignada a columnas 260 (fila 1, soporte 3), 271 (fila 2, soporte 2), 272

(fila 2, soporte 3).

4) Arco inferior: Cuadrada, B=H=0.55m.

5) Pilar intermedio: Rectangular, B=0.37m, H=1.1m.

6) Arco superior: Rectangular, B=1.1m, H=0.55m.

7) Pared (Shell): Espesor=1.1m.

8) Techo (Shell): Espesor=0.4m.

En la sección tipo techo se le aplica una masa añadida de 100 kg/m2

debida al peso de la cubierta y las tejas.

El tamaño de los elementos de la malla será de 0.25m.

Las uniones entre los distintos elementos se suponen rígidas. Los extremos

inferiores de las columnas se consideran perfectamente empotrados al suelo.

Figura 24: Modelo básico Abderramán I ANSYS, materiales y secciones de los elementos

Capítulo 3.



En la Figura 24 se muestran los materiales y las secciones que se le asignan a

cada elemento de la estructura.

Como se ha dicho antes, este es el modelo básico que se extenderá por

operaciones de simetría para formar los modelos más grandes. Al muro se le asigna

como material la piedra caliza y como sección, pared (número 7), de espesor 1.1 m.

3.3.2. Modelo Almanzor – Última ampliación Mezquita:

Se procede de igual manera para este caso.

Se trabajrá también siempre en unidades del Sistema Internacional.

En este caso hay que introducir en el modelo una particularidad de la

estructura, que es un apoyo de plomo de dos centímetros de espesor situado entre el

fuste de la columna y el capitel.

Los tipos de elemento usados son: BEAM188, SHELL181 y COMBIN14.

Se definen cinco modelos de materiales (características obtenidas de [23]):

1) Mármol gris: � = 2790 �� ; � = 50000 ��; � = 0,27

Usado en todas las columnas.

2) Piedra caliza: : � = 2700 �� ; � = 2500 ��; � = 0,25

Usado en los arcos inferior y superior, pilastras y muros.

3) Madera: � = 600 �� ; � = 11000 ��; � = 0,2

Usado en el techo.

4) Plomo: � = 11340 �� ; � = 16000 ��; � = 0,44

Usado en los elementos de apoyo entre columna y capitel.

Se define una constante real para el elemento COMBIN14, se introduce el valor

de la constante de rigidez, que tomará valor K=2·108 N/m ó K=2·109 N/m (se estudiarán

ambos casos) y el valor de la constante de amortiguamiento C=10000 N·s/m.

Se definen también las secciones de los elementos:

1) Columna: Circular, R=0.2m.

Asignada a todas las columnas.

2) Arco inferior: Rectangular, B=0.55m, H=0.50m.

3) Pilar intermedio: Rectangular, B=0.50m, H=1.10m.

4) Arco superior: Rectangular, B=1.20m, H=0.55m.

5) Pared (Shell): Espesor=1.20m.

6) Techo (Shell): Espesor=0.40m.

En la sección tipo techo se le aplica un total de masa añadida de 325

kg/m2 debida al peso de la cubierta y las tejas (100 kg/m2), y a la

Capítulo 3.



bóveda de escayola adherida por debajo (estimación, escayola � = 900 ��, espesor = 0.25m, carga distribuida = 225 kg/ m2).

El tamaño de los elementos de la malla será de 0.25m.

Los extremos inferiores de las columnas se consideran perfectamente

empotrados al suelo.

En este modelo de Almanzor, además, es necesario introducir unas ecuaciones

de restricción para en ambos extremos del elemento muelle para asegurarnos del

correcto funcionamiento del modelo. Estas ecuaciones vinculan los movimientos en

“X” y en “Y” de los extremos del muelle, esto es:

�� − �� = 0�� − �� = 0 Siendo i y j los nodos extremos del muelle.

En la Figura 25 se pueden ver los materiales y secciones asignados a las

distintas partes de la estructura para el modelo básico Almanzor.

De manera análoga al modelo Abderramán I, este modelo básico se extenderá

por operaciones de simetría para formar los modelos más grandes.

Al muro se le asigna como material la piedra caliza y como sección, pared

(número 5), de espesor 1.20 m.

Figura 25: Modelo básico Almanzor ANSYS, materiales y secciones de los elementos

Capítulo 3.



Notar también que cuando se compone el modelo General, cada parte

mantiene sus materiales y secciones correspondientes, y el techo y muro de enlace

toman las características atribuidas a dichos elementos en el modelo Almanzor.

3.4. ANÁLISIS MODAL.

El objetivo del análisis modal en la mecánica estructural es determinar las frecuencias

naturales y modos de vibrar de un objeto o estructura durante vibración libre.

El modelo matemático general para el cálculo dinámico de estructuras se refleja en un

sistema de ecuaciones con N grados de libertad del tipo (véase [12],[13],[14]):

! "#$ + !&"#' + !("# = ) (1) Donde:

! " es la matriz de masa, !&" es la matriz de amortiguamiento,

!(" es la matriz de rigidez, * es el vector fuerza.

# es el desplazamiento, #' es la velocidad, #$ es la aceleración.

Para el estudio de la vibración libre (sin solicitaciones), se busca resolver el siguiente

sistema:

! "#$ + !("# = 0 (2)

Se realiza un análisis modal para un sistema de N grados de libertad, por tanto, de la

observación de la ecuación anterior y de la realidad de la vibración libre de una estructura, es

claro que deben ensayarse soluciones de tipo armónico:

# = #+ · -(/012) (3)

Donde 4567 es un vector de amplitudes que no varía con el tiempo, 8 es una

frecuencia angular y 9 un ángulo de desfase inicial.

Sustituyendo la solución propuesta en la ecuación anterior, tenemos:

(!(" − ! "8:) · #+ = + (3)

El sistema homogéneo tiene una solución de 4567 por cada frecuencia natural 8� . Esta

solución está determinada salvo un factor al tratarse de un sistema homogéneo. Sólo hay N-1

componentes independientes en cada uno de los 4567 que es solución del sistema.

Estas soluciones de #+ son los autovectores correspondientes a cada autovalor e

indican la forma de vibración de la estructura (modos de vibración). Puede determinarse la

forma en que vibra el sistema, pero no su amplitud.

Capítulo 3.



Se suele escribir #+de manera que la amplitud de la primera componente sea 1 y

llamarle ;� al modo i.

;� =<=>

1;:�;?�⋮;A�BCD (4)

En ANSYS se utilizará como método de extracción de modos el Método Block Lanczos.

Se tomará un número representativo de modos, y se comentarán los resultados.

3.5. ANÁLISIS SÍSMICO.

El Análisis Espectral es un procedimiento de análisis dinámico aproximado en el que la

respuesta de la estructura se obtiene mediante una combinación adecuada de las

contribuciones modales, las cuales están caracterizadas por la máxima respuesta de cada

modo afectadas por un factor denominado coeficiente de participación modal, el cual indica la

extensión en que cada modo contribuye a la respuesta total de la estructura.

Se utiliza el método de la superposición modal, por tanto en primer lugar se tienen que

realizar el análisis modal del que se extraen la forma del modo (;�) y la frecuencia

correspondiente 8�. Para proceder con el análisis sísmico, según describen Clough y Penzien [13], se parte

de la ecuación de movimiento del sistema de de N grados de libertad, que puede ser

formulada expresando el equilibrio de las fuerzas efectivas asociadas con cada uno de los

grados de libertad. En general, cuatro tipos de fuerzas estarán involucradas en cualquier punto

i: la carga aplicada externamente, en este caso la excitación sísmica pi (t), y las fuerzas

asociadas al movimiento, esto es, inercia fIi, amortiguamiento fCi, y la elástica fKi. Por lo tanto,

para cada uno de los grados de libertad, el equilibrio dinámico se puede expresar así:

EFG + EHG + EIG = JG(K) EF: + EH: + EI: = J:(K) EF? + EH? + EI? = J?(K) …

(5)

En forma matricial:

! "#$ + !&"#' + !("# = M(K) (6)

Donde: M(K) es el vector de las cargas variantes respecto del tiempo. ! ", !&", !(", #, #' , #$ ya fueron definidos en el apartado anterior.

La ecuación anterior representa un conjunto de ecuaciones diferenciales simultáneas.

Es posible llevar a cabo una transformación de coordenadas que desacople dichas ecuaciones

Capítulo 3.



para reducirlas a un conjunto de ecuaciones diferenciales independientes, así el análisis se

reduce a resolver cada ecuación individualmente.

Este procedimiento se utiliza para cálculos de respuesta dinámica. Para cualquier

componente modal ui, los desplazamientos están dados por el producto de la forma del modo ;� por la amplitud modal Yi.

# = ;G�G + ;:�: +⋯+ ;A�A (7)

En forma matricial: # = OP (8)

Sustituyendo en la ecuación de movimiento, se obtienen N ecuaciones desacopladas:

QR! "QP$ + QR!&"QP' + QR!("QP = QRM(K) (9)

Como se ha dicho, la anterior ecuación representa un conjunto de ecuaciones

desacopladas, por tanto la ecuación para cada modo i puede expresarse así:

��$� + &��'� + (�� = ��(K) (10)

Reescribiendo:

�S$ + 28�T��S' + 8�:�� = ��(K) � (11)

Donde:

� = Q�U! "Q� -> Masa generalizada modo i.

&� = Q�U!&"Q� = 28�T� � -> Amortiguamiento generalizado modo i.

(� = Q�U!("Q� = 8�: � -> Rigidez generalizada modo i.

��(K) = ;�UM(K)-> Carga generalizada modo i.

En este caso, la carga dinámica es un sismo, por tanto, es una carga aleatoria, por ello

se utilizan métodos estadísticos para definirla. En particular, como se verá más adelante, se

acude a la norma correspondiente [15], que establece un espectro normalizado de respuesta

elástica correspondiente a un oscilador lineal simple con un amortiguamiento de referencia del

5% respecto al crítico, al que en este caso se le aplica la modificación en función del

amortiguamiento.

La respuesta total del sistema de múltiples grados de libertad puede ser obtenida

resolviendo las N ecuaciones desacopladas y superponiendo sus efectos. Cada ecuación es la

ecuación de movimiento un sistema de un grado de libertad y puede ser resuelta en el

dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.

Capítulo 3.



Concretamente el método de la superposición modal se basa en que la respuesta ante

una vibración compleja se puede expresar como combinación de ciertos modos naturales de la

estructura, donde los más significativos suelen ser los primeros.

Con los modos y frecuencias naturales obtenidas previamente, se calcula la respuesta

para cada modo individual de la estructura al aplicar el espectro de respuesta, es decir se

solucionan las N ecuaciones (11). La respuesta del sistema es:

# = ;G�G + ;:�: +⋯+ ;A�A (12)

Esta solución puede encontrarse por varios métodos (véase [13]), en particular, la

integral de Duhamel provee una solución general de las ecuaciones para cualquier función de

las fuerzas exteriores aplicadas a la estructura. Además, los valores máximos de la respuesta

para cada ecuación modal pueden obtenerse fácilmente usando el diagrama apropiado de

respuesta espectral. Sin embargo, la superposición de valores máximos presenta un problema.

En realidad, estos valores modales máximos no ocurren, en general, simultáneamente, como

lo requiere la transformación de las coordenadas, ecuación (8). Para superar esta dificultad es

necesario usar un método aproximado de combinación de modos.

Existen muchos criterios de combinación de modos: Criterio SRSS (square root of the

sum of the squares),CQC (Complete Quadratic Combination), grouping, etc. En este caso, se

usará una combinación cuadrática modificada para el caso de frecuencias próximas (grouping),

conforme al apartado 3.6.2.4. de la NCSE-02 [15].

Para mayor desarrollo teórico del análisis dinámico, consúltese el libro de Clough y

Penzien [13].

3.5.1. Aplicación del espectro sísmico en ANSYS.

Para realizar el análisis en ANSYS, se introduce en dicho programa el espectro

de la excitación facilitado por la norma NCSE-2[15].

• Los datos del terreno para Córdoba capital son:

- Aceleración básica: 0.05g

- Coeficiente participación: K=1.1

- Construcción importancia especial: ρ=1.3

- Tipo de terreno IV: C=2.

- Coeficiente de amortiguamiento respecto del crítico 5% (Dado por la

norma).

- Coeficiente de amplificación del terreno:

� · �V = 1.3 · 0.05W = 0.065W ≤ 0.1W � Y = HG.:Z = 1.6

• Espectro de respuesta elástica α(T):

Coeficiente de participación: K=1.1

Periodos característicos del espectro: TA=K·C/10=0.176

Capítulo 3.



0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

4.000

0.000 5.000 10.000 15.000

Ace

lera

ció

n [

m/s

2 ]

Frecuencia [Hz]

Aceleración

TB=K·C/25=0.704

Si T<TA α(T)=1+1.5 · T/ TA

Si TA≤T≤ TB α(T)=25

Si T> TB α(T)=1.1·2/T

• Corrección con el factor β:

αi = α(Ti) · β si Ti≥TA

αi=1+(2.5 β – 1) · Ti/ TA si Ti≤ TA

Donde: Corrección del amortiguamiento:� = [Z:\7.] = 1.443

Coeficiente de comportamiento por ductilidad: ^ = 1

_ = �̂ = 1.443

• Espectro de la respuesta en función de la frecuencia:

Como se ha comentado anteriormente, para proceder al análisis sísmico

espectral en ANSYS, primeramente hay que hacer un análisis modal para obtener los

T (s) 0.000 0.176 0.704 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000 3.000

α(T) 5% 1.000 2.500 2.500 2.750 2.200 1.833 1.571 1.375 1.222 1.100 0.733

α(T) 2% 1.000 3.608 3.608 3.968 3.175 2.646 2.268 1.984 1.764 1.587 1.058

Tabla 2: Espectro en función del período.

Tabla 3: Espectro en función de la frecuencia.

Frecuencia (Hz) 0.001 1.420 5.682 6.500 7.250 8.000 8.750 9.500 10.250 11.000 11.750 12.500

α(T) 2% 0.003 3.608 3.608 3.279 3.043 2.852 2.693 2.560 2.445 2.347 2.261 2.185

aceleración 0.003 3.677 3.677 3.342 3.102 2.907 2.745 2.609 2.492 2.392 2.304 2.227

Figura 26: Espectro de aceleraciones.

Capítulo 3.



diez primeros modos de vibración. Seguidamente se introduce el espectro, y se

resuelve mediante el método de superposición modal.

Se introducirá la aceleración en dirección X y posteriormente en dirección Y,

para cada modelo.

Como resultado, se sacarán los coeficientes de participación de cada modo y

las masas efectivas. Precisamente evaluando las masas efectivas correspondientes a

cada modo, se determina el número mínimo de modos a considerar según la norma,

esto es, el análisis se debe incluir un número suficiente de modos de vibración que

aseguren que el 90% de la masa total movilizada por el sismo está participando en el

análisis. Otra condición para seleccionar el número de modos (según la norma NCSE-2

[15]) sería considerar todos aquellos modos de período superior a TA, que en este caso

tiene un valor de TA=0.176 s, lo que se traduce a considerar aquellos modos con

frecuencia natural por debajo de 5.681Hz. También se obtendrán los desplazamientos

máximos registrados en la aplicación del sismo.

Sabiendo que la solución se compone como una superposición de los modos

de vibración por su correspondiente coeficiente de participación, es lógico pensar que

los desplazamientos máximos sean gobernados por el modo dominante, que a su vez

es excitado por la aceleración cuya frecuencia coincide con la frecuencia natural

correspondiente. Por lo que esperablemente los desplazamientos máximos deben ser

del mismo orden o superior que los desplazamientos provocados estáticamente por

una fuerza equivalente a dicha aceleración.

Por lo tanto, con objetivo de comprobar la anterior deducción y evaluar hasta

qué punto puede ser una buena aproximación de los resultados del análisis sísmico,

adicionalmente, se realizará un análisis estático para los modelos sin muro, donde sí

que se tendrá un modo claramente dominante (como se verá en el capítulo del análisis

sísmico). Dicho análisis estático se llevará a cabo aplicando a la estructura en la

dirección en cuestión (X ó Y) una carga de inercia de valor igual a la aceleración que le

corresponde en el espectro a la frecuencia que excita el modo dominante.

3.5.2. Comprobaciones.

Siguiendo la pauta marcada por CTE DB-SE [16], se considerará la combinación

de cargas para el Estado Límite Último para comprobar si se alcanzan tensiones de

colapso en alguno de los elementos de la estructura en el caso del sismo como acción

accidental. En palabras del propio Código Técnico [16]: “En caso de que la acción

accidental sea la acción sísmica, todas las acciones variables concomitantes se tendrán

en cuenta con su valor casi permanente. […] En este tipo de situación extraordinaria,

todos los coeficientes de seguridad son iguales a 0 si su efecto es favorable, o a la

unidad si es desfavorable”. En cuanto a los valores de aceleración a introducir, se dice

en el CTE [16]: “Las acciones accidentales se representan por un valor nominal. Este

valor nominal se asimila, normalmente, al valor de cálculo”.

Capítulo 3.



`a�,� + � + bc +`Ψ:,� · e�,��fG�gG

Siendo a�,� las acciones permanentes, P el pretensado (no es el caso), bc las

acciones accidentales (sismo en este caso) y Ψ:,� · e�,� las acciones variables

multiplicadas por el coeficiente de simultaneidad (no se consideran cargas variables en

este caso).

Una vez se obtienen las tensiones, deberán compararse con un criterio de

rotura adecuado a los materiales en cuestión. En un proceso de diseño, en dicho

criterio se introduce las resistencias minoradas de los materiales correspondientes, ya

que se trata de una comprobación en condiciones últimas. Se recuerda que el valor de

cálculo de la resistencia, se obtiene de dividir el valor característico entre el coeficiente hi, esto es jc = j�/hi. Para la diversidad de materiales que se están

considerando, no hay normas definidas en referencia a los coeficientes de minoración

que deben utilizarse. Por lo tanto se ha consultado una publicación del Grupo Español

de IABSE 0, donde se expone para materiales en construcciones históricas los rangos

de resistencia y las incertidumbres son tan grandes, que "en la práctica, es imposible

definir unos valores tipo de tales coeficientes. Cada caso concreto requerirá, pues,

dosis de buen juicio y pacto entre la propiedad y el equipo técnico", posteriormente se

recomienda como valor comúnmente usado, hi = 1.5. Sin embargo, en el estudio que

aquí se presenta, como se ha mencionado, no se aborda el diseño, sino que es un

trabajo de investigación, donde se pretende analizar una estructura ya existente, y por

tanto para comparar con la realidad no es necesario minorar la resistencia.

Los criterios seleccionados son el de Willam-Warnke [18], indicado para

materiales frágiles (mármol, granito, caliza, fábrica), y el criterio de Hoffman [22] para

materiales ortótropos (madera del techo).

El criterio de Willam-Warnke [18] se formula de la siguiente manera:

E = 13l · mGno +p25 · 1q(r) · st:no − 1 ≤ 0

Donde mG es el primer invariante del tensor de tensiones, t: es el segundo

invariante de la parte desviadora del tensor de tensiones, no es la resistencia a

compresión uniaxial del material y r es el ángulo de Lode, dado por:

r = G? · cos1G x?√?: · zz{/{| ;

r}!0°, 60°" Se define también q(r):

q(r) = 5(r) + �(r)�(r)

Capítulo 3.



Donde:

5(r) = 2 · qo · (qo: − q0:) �(r) = qo · (2q0 − qo) · �4(qo: − q0:) · ��:r + 5q0: − 4q0qo

�(r) = 4 · (qo: − q0:) · ��:r + (qo − 2q0):

Los escalares qo y q0 describen los vectores de posición en las posiciones r = 0° y r = 60° y pueden ser expresados en términos de no (resistencia a

compresión uniaxial), n0 (resistencia a tracción), nV (resistencia a compresión

equibiaxial).

qo = p65 · � nV · n03 · nV · n0 + no · (nV − n0)�

q0 = p65 · � nV · n0no · (2nV + n0)� El parámetro z viene dado por:

l = nV · n0no · (nV − n0) Para la aplicación de este criterio, se necesita conocer los siguientes

parámetros de los materiales estudiados: no (resistencia a compresión uniaxial), n0 (resistencia a tracción), nV (resistencia a compresión equibiaxial). En el caso de una

estructura de semejante antigüedad, cuyos materiales y técnicas constructivas quedan

lejos del rigor definido actualmente, se debe recurrir a bibliografía especializada en el

tema. Aún así, existen diferencias marcadas según la referencia que se consulte, por

tanto, las incertidumbres y los rangos que se manejarán son amplios. En particular,

para obtener los datos que se presentan a continuación en la Tabla 4 se han utilizado

las fuentes [19],[20],[23],[24]. Así mismo, se seguirán las indicaciones de la norma

española de edificación en cuanto a la fábrica [17], donde se expone que la resistencia

a tracción de la fábrica debe tomarse como 1/10 del valor de la resistencia a

compresión uniaxial. En esta norma, en particular en el Anejo C, se da una fórmula

aproximada para estimar la resistencia característica a compresión de la fábrica a

partir de la resistencia de las piezas y de la del mortero:

E� = ( · EV7.�Z · E7.:Z

Donde:

EV: Resistencia a compresión de la pieza base.

E: Resistencia a compresión del mortero.

Capítulo 3.



K: Constante que para este caso toma el valor de 0.6, ya que se cumple que E ≤ 20 �� y E ≤ 0.75EV.

Material �� [MPa] �� [MPa] �� [MPa]

Mármol 140 10 140

Granito 200 15 200

Caliza (pilastras)

120 4 120

Fábrica caliza + ladrillo (arcos Abderramán I)

5 0.5 5

Fabrica caliza (arcos Almanzor, muros )

17 1.7 17

Mortero 2.5 - -

En la Tabla 4 se resumen las resistencias características que se tomarán para

cada material.

Dada la incertidumbre acerca de las propiedades reales de los materiales de la

estructura en cuestión, en todos los casos se hacen elecciones por el lado de la

seguridad, esto es se tiende a tomar los valores más pequeños de resistencia. En la

línea de este comentario, se toma la resistencia biaxial de igual valor a la resistencia a

compresión uniaxial (tomando la aproximación de Mohr), aunque en la práctica la

primera siempre es mayor (1.2 veces mayor aproximadamente).

En cuanto a la comprobación de rotura del techo, hay que decir aunque

existen varios criterios de fallo para madera y materiales ortótropos, la mayoría son

difíciles de aplicar en situaciones de tensiones en tres dimensiones. El criterio de

Hoffman [22] es esencialmente el criterio de Hill [21], modificado para considerar

distintas tensiones máximas permitidas en tracción y en compresión. Su formulación

es la siguiente:

&G�n�� − n��: + &:(n�� − n��): + &?�n�� − n��: +

+&]n�� + &Zn�� + &�n�� + &�n��: + &�n��: + &�n��: = 1

Con:

&G = G��,��,�� − G:��,��,�; &: = &? = G:��,��,�;

&] = G��,� − G��,�; &] = &Z = G��,�� − G��,��;

&� = &� = &� = G��{

Donde:

n��son las componentes del tensor de tensiones.

Tabla 4: Propiedades mecánicas de los materiales. Resistencias características.

Capítulo 3.



E0,7 y E0,�7 son la resistencia a tracción en dirección paralela y perpendicular a

la dirección de las fibras.

Eo,7 y Eo,�7 son la resistencia a compresión en dirección paralela y

perpendicular a la dirección de las fibras.

E� es la resistencia a cortante de la madera.

En la Tabla 5 se presentan los valores de resistencia, que se toman de la

bibliografía [25], sabiendo que se trata fundamentalmente de madera de pino.

��,+ [MPa] ��,�+ [MPa] ��,+ [MPa] ��,�+ [MPa] �� [MPa]

Madera de pino

80 3.2 50 5.4 10

Tabla 5: Resistencias características de la madera.

Para proceder a aplicar el criterio de Willam-Warnke y el criterio de Hoffman,

se extraen los ficheros con las tensiones y se llevan a una hoja de cálculo, en la cual se

introducen las ecuaciones correspondientes y los datos necesarios para comprobar en

cada punto si se da el estado tensional necesario para alcanzar la rotura teórica del

material o no. Se recuerda que las resistencias características de la Tabla 4 y la Tabla 5

no serán minoradas.

Por otro lado, del análisis expuesto en el apartado precedente, también se

obtendrán los desplazamientos horizontales máximos de la estructura, que serán

comparados con los desplazamientos máximos admitidos en Estado Límite de Servicio

dados por el Documento básico – Seguridad Estructural del Código Técnico de

edificación [16]. Citando dicho documento: “Cuando se considere la integridad de los

elementos constructivos, susceptibles de ser dañados por desplazamientos

horizontales, tales como tabiques o fachadas rígidas, se admite que la estructura global

tiene suficiente rigidez lateral, si ante cualquier combinación de acciones

característica, el desplome (véase Figura 27) es menor de: a) desplome total: 1/500 de

la altura total del edificio; b) desplome local: 1/250 de la altura de la planta, en

cualquiera de ella”.

Figura 27: Desplome. Ilustración extraída de [16]

Capítulo 3.



Sabiendo que aproximadamente la altura total del modelo Abderramán I es

8.40 m y la del modelo Almanzor es 8.00 m, la comprobación quedaría así:

- Modelo Abderramán I: 5 � ≤ �.]7Z77 = 0.0168¡. - Modelo Almanzor (K=2·109 N/m): 5 � ≤ �.77Z77 = 0.016¡. La comprobación de servicio, se hace a nivel orientativo y comparativo con los

valores exigidos en la norma actual, a pesar de que es evidente que la estructura en

cuestión no fue diseñada a efectos sísmicos en su momento, y se considera que en

caso de que se produjese una acción accidental no estaría en servicio. Esta

comprobación se realizará sólo en los modelos básicos y en el modelo general.

capÍtulo 3. definiciÓn de los modelos....

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