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Cálculo de incertidumbres de calibraciones

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3.- Cálculo de incertidumbres de calibraciones

3.1.- Generalidades

La incertidumbre asociada a la calibración Ucal, se calculará según lo recogido en el

procedimiento general para el cálculo de incertidumbres.

Se procederá al cálculo de Ucal cada vez que se calibre el equipo para el parámetro en

cuestión. Se determinará la incertidumbre en tantos puntos como patrones se utilicen para

definir la curva de calibrado.

Los resultados de las medidas de las calibraciones se anotarán en los formatos

correspondientes que incorporan los procedimientos específicos de calibración, y con estos

valores se procederá a la determinación de la incertidumbre por parte del técnico que realice la

calibración. El registro y resultado de las mismas, se documentará y será archivado junto a los

registro de calibración correspondientes. El Anexo A contiene cada uno de estos formatos.

El cálculo de la incertidumbre se hace necesario debido a múltiples factores que varían

durante y entre los análisis, y que pueden modificar el valor del resultado analítico. A partir

de la obtención de dicha incertidumbre, se define un intervalo dentro del cual se encuentra el

verdadero valor del mensurado con una alta probabilidad (aproximadamente de 95%).


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3.2.- Procedimiento para el cálculo de la incertidumbre de la

calibración del espectrofotómetro de ultravioleta visible Perkin

Elmer modelo Lambda 2

Diferentes factores afectan al cálculo de la incertidumbre como son los errores

aleatorios y sistemáticos, los certificados de calibración de patrones empleados, correcciones,

etc. Tras un estudio del proceso se han considerado los siguientes parámetros como los de

mayor peso, y las contribuciones asociadas a ellos se exponen a continuación:

- La incertidumbre debida a la precisión. Corresponde a la variabilidad experimental

del método analítico y en ella se incluyen las fuentes de incertidumbre asociadas a todas las

etapas del método analítico pero consideradas de una forma global. Esta incertidumbre puede

calcularse a partir de la desviación estándar (sr) que se obtiene en el análisis de los materiales

de referencia empleados para la calibración. Se tiene que:

22rprecisión su =

- La incertidumbre debida al proceso de verificación de la trazabilidad se considera

asociada a asegurar que el método proporciona resultados trazables. Esta incertidumbre se

calcula con la siguiente expresión:

22

2

+

=n

s

k

Uu rCRM

adtrazabilid

El primer término de la expresión corresponde al cuadrado de la incertidumbre

estándar del material de referencia utilizado para calibrar (es decir, corresponde con la

incertidumbre expandida del material de referencia dividida por el factor de cobertura k) y el

segundo término corresponde a la incertidumbre del valor medio obtenido al analizar n veces

el material de referencia, siendo sr la desviación estándar que se obtiene en el análisis.


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Si el patrón se prepara a partir de un reactivo sólido, la concentración se determina

según:

V

mC =

donde:

- C es la concentración

- m es la masa de reactivo sólido

- V es el volumen

Considerando despreciables las contribuciones al cálculo de la incertidumbre debida a

la pureza analítica del reactivo, ya que es muy alta y a la medida del volumen, la

incertidumbre asociada a cada patrón se calcula según:

V

UU b

CRM ='

donde UCRM’ es la incertidumbre del patrón y Ub la incertidumbre asociada a la balanza

analítica utilizada al pesar la masa de reactivo sólido.

Si por el contrario, se utilizan soluciones patrón cuya concentración viene expresada

como:

C ± T mg/l

la incertidumbre vendrá dada por:

3

2'

TUCRM =

Con los cálculos anteriores obtendríamos la incertidumbre de nuestro patrón de

partida. Para preparar las soluciones patrón que se utilizan en la calibración del equipo hay


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que realizar varias diluciones. Así despreciando de nuevo la contribución debida a la medida

de volúmenes, la incertidumbre de dichas soluciones patrón vendrá dada por:

·....'

··''

ooCRMCRM

V

V

V

VUU =

donde V es el volumen tomado de patrón y Vo el volumen final.

- Otros términos que influyen el cálculo de la incertidumbre son los debidos al sesgo

(diferencia entre la concentración certificada del material de referencia, CRMx , y el valor

medio que se obtiene al analizarlo, x ) y a la resolución del equipo (RE) que se pueden

calcular como sigue:

2

2

3

−=

xxu CRM

sesgo

2

2

32

= Eresolución

Ru

Además de estas contribuciones, habrá que tener en cuenta la existencia de las debidas

a las magnitudes de influencia:

- Condiciones ambientales. El equipo se instalará en una sala amplia, limpia, bien

ventilada y confortable, y cuya temperatura no deberá ser inferior a 10ºC ni superior a 35ºC,

debiéndose evitar los cambios bruscos de temperatura entre el día y la noche. Se procurará

que el ambiente esté limpio de polvo, sobre todo de naturaleza agresiva, así como de cualquier

tipo de vibraciones originadas por cualquier clase de maquinaria.

En base a todo lo anterior la incertidumbre combinada para la calibración se obtiene

con la siguiente expresión:


39

2222

22

323

+

−+

+

+= ECRMrCRMrc

Rxx

n

s

k

Usu

La incertidumbre expandida se podrá calcular como:

ccal ukU ⋅=

Las fórmulas anteriores se han implementado en una hoja de cálculo que facilita la

determinación de la incertidumbre y que además genera un formato que se registra como

documento del Sistema de Calidad (Anexo A). Como se puede observar en este Anexo (RE-

11-b) en la calibración realizada para la determinación de ortofosfatos se ha obtenido

siguiendo el procedimiento descrito anteriormente una incertidumbre de calibración máxima

de 0.007 mg/l. En este proyecto fin de carrera se ha establecido como criterios para aceptar las

calibraciones, obtener un coeficiente de correlación para la curva de calibración superior a

0.959 y que la incertidumbre de la calibración sea inferior al 5% del valor del patrón de mayor

concentración. Se puede comprobar que la incertidumbre obtenida es inferior a este valor, por

lo que se considera apta la calibración realizada.


40


calibración de los conductivímetros de campo WTW modelo LF-

330 y WTW modelo 330i

Según el procedimiento general para el cálculo de incertidumbres en la calibración,

para este procedimiento se tienen las siguientes contribuciones a la incertidumbre total:






22rprecisión su =




22

2

+

=n

s

k

Uu rCRM

adtrazabilid









41



2

2

3

−=

xxu CRM

sesgo

2

2

32

= Eresolución

Ru



2222

22

323

+

−+

+

+= ECRMrCRMrc

Rxx

n

s

k

Usu


ccal ukU ⋅=

En el Anexo A se adjunta la hoja de calibración de conductivímetro de campo (RE-11-

c), donde se puede comprobar que la incertidumbre de calibración (0.8 ms/cm) cumple el

control de calibración, por lo que la calibración será apta.


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calibración de electrodos selectivos (potenciómetro Orion 920 A y

electrodos de ión selectivo y de referencia)










22rprecisión su =




22

2

+

=n

s

k

Uu rCRM

adtrazabilid




segundo término corresponde a la incertidumbre del valor medio obtenido al analizar n (en

nuestro caso n=3) veces el material de referencia, siendo sr la desviación estándar que se

obtiene en el análisis.


43





2

2

3

−=

xxu CRM

sesgo

2

2

32

= Eresolución

Ru

- Contribución debida a las magnitudes de influencia. El equipo se instalará en una

sala amplia, limpia, bien ventilada y confortable, y cuya temperatura no deberá ser inferior a

10ºC ni superior a 35ºC, debiéndose evitar los cambios bruscos de temperatura entre el día y

la noche. Se procurará que el ambiente esté limpio de polvo, sobre todo de naturaleza

agresiva, así como de cualquier tipo de vibraciones originadas por cualquier clase de

maquinaria.



2222

22

323

+

−+

+

+= ECRMrCRMrc

Rxx

n

s

k

Usu


ccal ukU ⋅=

Este desarrollo matemático se ha implementado en una hoja de cálculo que facilita la

determinación en el laboratorio. Como puede comprobarse en el Anexo A RE-11-d, la

incertidumbre de calibración máxima (Umax=0.081 mg/l) es menor de 2 mg/l, que es la

incertidumbre máxima permitida, por lo que se cumple el control de calibración.


44


calibración de los pH-metros de campo y de laboratorio

En este caso se han considerados tras el estudio de proceso, las siguientes

contribuciones a la incertidumbre total de la calibración del procedimiento:






22rprecisión su =




22

2

+

=n

s

k

Uu rCRM

adtrazabilid











45

2

2

3

−=

xxu CRM

sesgo

2

2

32

= Eresolución

Ru



2222

22

323

+

−+

+

+= ECRMrCRMrc

Rxx

n

s

k

Usu


ccal ukU ⋅=

Para el control de la calibración mediante la incertidumbre en este procedimiento se va

a diferenciar entre pH-metro de campo (Anexo A RE-11-e) y pH-metro de laboratorio (Anexo

A RE-11-f), que aunque en los dos casos se cumple, como se puede comprobar, en el pH-

metro de campo la incertidumbre máxima de calibración tiene que ser menor de 0.2 unidades

de pH (es 0.08 unidades de pH, luego se cumple) y en el de laboratorio tiene que ser menor de

0.1 unidades de pH (es 0.06 unidades de pH, que también se cumple).


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calibración del medidor de temperatura Crison 636








calcularse a partir de la desviación estándar (sr) que se obtiene de las medidas obtenidas

utilizando el medidor de temperatura a calibrar. Se tiene que:

22rprecisión su =




22

2

+

=n

s

k

Uu CRM

adtrazabilid





el material de referencia, siendo s la desviación estándar que se obtiene de las medidas

realizadas utilizando el medidor de temperatura patrón.


y a la resolución del equipo (RE) que se pueden calcular como sigue:


47

2

2

3

∆= xusesgo

2

2

32

= Eresolución

Ru

donde n

x

n

xx

n

jj

n

ii ∑∑

== −=∆ 11 , siendo xi las medidas realizadas con el medidor de temperatura a

calibrar y xj las realizadas con el medidor de temperatura patrón.



2222

22

323

+

∆+

+

+= ECRMrc

Rx

n

s

k

Usu


ccal ukU ⋅=

En el Anexo A RE-11-g aparecen los resultados de la calibración del medidor de

temperatura, donde el control de la calibración se basa en la incertidumbre de la calibración.

En esta calibración la incertidumbre máxima de calibración es 0.25 ºC que es menor de 0.5

ºC, que es lo máximo permitido que se ha establecido en este trabajo para que se cumpla el

control de calibración, por lo que la calibración se considera apta.


48


calibración de los oxímetros WTW-330 y Crison OXI 330

En el procedimiento general para el cálculo de incertidumbres se recogen las siguientes

contribuciones a la incertidumbre total de la medida:






22rprecisión su =




22

2

+

=n

s

k

Uu rCRM

adtrazabilid











49

2

2

3

−=

xxu CRM

sesgo

2

2

32

= Eresolución

Ru



2222

22

323

+

−+

+

+= ECRMrCRMrc

Rxx

n

s

k

Usu


ccal ukU ⋅=

En este procedimiento se tiene que cumplir que las incertidumbres de calibración sean

inferiores a una incertidumbre máxima de 0.5 mg/l, en los resultados de la calibración que

aparece en el Anexo A RE-11-p se puede comprobar que se cumple el criterio adoptado, la

incertidumbre máxima de calibración obtenida ha sido de 0.23 mg/l.


50


calibración de material de vidrio

Tras un estudio del proceso se han considerado los siguientes parámetros como los de

mayor peso, y las contribuciones asociadas a ellos se exponen a continuación.






22rprecisión su =




22

2

+

=n

s

k

Uu rCRM

adtrazabilid






Considerando la contribución asociada a la balanza analítica utilizada, y despreciando

el error que pudiese generar la determinación de la temperatura, se tiene:

( )( )20·111 −−⋅

−⋅

−⋅= tUU

B

A

AwbCRM γ

ρρ

ρρ


51

donde:

- Ub es la incertidumbre asociada a la balanza analítica en gramos.

- ρw es la densidad del agua en mg/ml.

- ρA es la densidad del aire en mg/ml.

- γ es el coeficiente de dilatación cúbica en ºC-1.

- t es la temperatura del agua en ºC.



2

202

3

−=

VVu n

sesgo

2

2

32

= Eresolución

Ru

donde:

- Vn es el valor del material de referencia.

- 20V es la media de las medidas realizadas con el material de referencia.



22

20

22

22

323

+

−+

+

+= EnrCRMrc

RVV

n

s

k

Usu


ccal ukU ⋅=

Este procedimiento se ha implementado en hojas de cálculo y se ha utilizado para la

calibración del material volumétrico del laboratorio. A título de ejemplo en el Anexo A


52

aparece el cálculo de la incertidumbre para una bureta. Como control de aceptación para esta

calibración se ha adoptado como criterio que la incertidumbre máxima sea inferior a 3 veces

la resolución de la bureta. Como se observa en el Anexo A RE-11-i la incertidumbre máxima

es 0.03 ml inferior a 0.06 ml (la resolución es 0.02 ml) y por tanto se concluye que la

calibración es correcta y que la bureta se puede utilizar en el laboratorio.


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calibración de termómetros

El cálculo de la incertidumbre se ve afectado por diferentes factores como son los

errores aleatorios y sistemáticos, los certificados de calibración de patrones empleados,

correcciones, etc. Tras un estudio del proceso se han considerado los siguientes parámetros

como los de mayor peso, y las contribuciones asociadas a ellos se exponen a continuación.




calcularse a partir de la desviación estándar (sr) que se obtiene de las medidas realizadas

utilizando el termómetro a calibrar. Se tiene que:

22rprecisión su =




22

2

+

=n

s

k

Uu CRM

adtrazabilid





el material de referencia, siendo s la desviación estándar que se obtiene de las medidas

realizadas utilizando el termómetro patrón.




54

2

2

3

∆= xusesgo

2

2

32

= Eresolución

Ru

donde n

x

n

xx

n

jj

n

ii ∑∑

== −=∆ 11 , siendo xi las medidas realizadas con el termómetro a calibrar y xj

las realizadas con el termómetro patrón.

- Contribución debida a las magnitudes de influencia. La sala de calibración se

mantiene a 20 ± 5°C. Al operar con el instrumento en campo, la temperatura máxima con la

que podremos encontrarnos estará en torno a 40°C y la mínima a 0°C, con lo que la variación

máxima que podemos tener respecto a la temperatura de calibración es de ±25°C. Por tanto,

teniendo en cuenta el coeficiente de variación del equipo con la temperatura C, tendremos:

C)(3

C· =

2

2 °

∆ máxt

Tu

Nota: El coeficiente de temperatura proporcionado por el fabricante depende del intervalo de

temperatura donde se utiliza. Se tomará el máximo para todo el rango.



2

max

2222

22

3323

∆⋅+

+

∆+

+

+=TCRx

n

s

k

Usu ECRM

rc



55

ccal ukU ⋅=

En este procedimiento se han adoptado dos controles de calibración, uno para 0 ºC y

otro para 100 ºC, como puede comprobarse en el Anexo A RE-11-j. La incertidumbre de la

calibración para 0 ºC es 0.31 ºC, que está muy lejos del límite máximo que es 2 ºC, por lo que

el control de calibración se cumple. El valor de la incertidumbre para 100 ºC es de 0.40 ºC

que también cumple el criterio de aceptación para este punto (3% del valor de la temperatura).


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calibración de las balanzas analíticas y granatarios

El cálculo de la incertidumbre de este procedimiento se basa en lo establecido en el

procedimiento general para el cálculo de incertidumbres, y tras un estudio del proceso se han

considerado los siguientes parámetros como los de mayor peso, y las contribuciones asociadas

a ellos se exponen a continuación:






22rprecisión su =




22

2

+

=n

s

k

Uu rCRM

adtrazabilid






- Contribución asociada a la deriva de temperatura. Los laboratorios de las distintas

áreas de ensayo, disponen de un sistema centralizado de climatización capaz de mantener la

temperatura y humedad ambiental sin cambios bruscos. El efecto de estas variables en las


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masas patrones calibradas es despreciable. Por otro lado, si existiera una contribución debida

a la deriva de la escala de la balanza con la variación de temperatura (ver especificaciones

técnicas del fabricante), su contribución máxima para el intervalo de temperatura especificado

por el fabricante (∆T) puede estimarse.

2

2

3

⋅∆⋅=∆

iT

XTDu

donde D es la deriva de la balanza, ∆T es la diferencia entre el rango de temperaturas que da

el fabricante de la balanza y iX la media de las medidas realizadas sobre la masa patrón Xi.





2

2

3

−=

xxu CRM

sesgo

2

2

32

= Eresolución

Ru



22222

22

3233

+

−+

⋅∆⋅+

+

+= ECRMirCRMrc

RxxXTD

n

s

k

Usu


ccal ukU ⋅=


58

El desarrollo matemático realizado se ha implementado en hojas de cálculo que

permiten obtener la incertidumbre de calibración de forma cómoda (Anexo A RE-11-k y RE-

11-n). Aplicando el método desarrollado se ha obtenido unas incertidumbres para la

calibración de balanza analítica de 0.18 mg y 0.0046 g (según el rango) y para el granatario de

0.07 g, 0.30 g y 0.49 g (según el patrón).

Se han establecido dos criterios para aceptar la calibración de la balanza analítica, para

el rango entre 50 mg y 1000 mg la incertidumbre máxima tiene que ser menor de 0.5 mg y

para rango entre 1 g y 100 g que tendrá que ser menor de 0.005 g. Se comprueba en el Anexo

A RE-11-k que se cumple, y por lo tanto la calibración es apta, para los dos rangos.

Para los granatarios se tiene que cumplir, para que la calibración sea apta, que la

incertidumbre de calibración sea menor que el 0.2% del patrón. El cálculo de incertidumbres

aparece en el Anexo A RE-11-n, y se puede comprobar que se cumple el criterio para todos

los patrones.


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calibración del espectrofotómetro de absorción atómica

Se han considerado para este proceso las siguientes contribuciones a la incertidumbre

total:






22rprecisión su =




22

2

+

=n

s

k

Uu rCRM

adtrazabilid






Para el primer término (cuadrado de la incertidumbre estándar del material de

referencia utilizado para calibrar), en particular, para las medidas que se efectúen según el

procedimiento específico de ensayo empleado en el laboratorio de aguas, hay que tener en

cuenta que no existen en el mercado patrones similares a los utilizados para trazar la curva de


60

calibrado (metales en matriz metilsobutilcetona). Por tanto, son preparados en el laboratorio a

partir de materiales de referencia.

El proceso de preparación comprende una dilución para llevar el patrón al mismo

rango de concentraciones de las muestras que se van a medir; una extracción de los metales de

la fase acuosa a la orgánica y una separación de dichas fases.

No se tiene en cuenta el aporte de los dos últimos pasos a la incertidumbre del patrón

final obtenido, UCRM, ya que al sufrir muestras y patrones el mismo tratamiento y presentar

matrices y concentraciones similares, podemos considerar que los errores cometidos serán

prácticamente iguales en ambos y quedarán compensadas al medir utilizando la curva de

calibrado.

En cuanto a la dilución, la concentración del patrón obtenido viene dada por:

CRMCRM V

VCC ⋅=

donde:

- C es la concentración del material de referencia de partida.

- V es el volumen tomado de dicho material.

- VCRM es el volumen final del patrón.

La expresión de la incertidumbre asociada a la concentración del patrón final obtenido,

viene dada por:

2

2

2

2

2

2

2

CRMVCRM

CRMV

CRMC

CRMCRM u

V

Cu

V

Cu

C

CU

+

+

=δδ

δδ

δδ

Se puede considerar que las incertidumbres aportadas por el material de vidrio de

precisión al medir los volúmenes V y VCRM y designadas por uV y uVCRM, son despreciables

frente a la aportada por la concentración del material de referencia UC, así queda:


61

2

2

2

2

2

2

CCRM

CRM

CCRM

CRM

uV

VU

uC

CU

=

=δ

δ

En caso de que la concentración del material de referencia venga dada por los límites

superior e inferior o tolerancia, (T), uC vendrá dada como:

32

TuC =

con lo que UCRM será:

32

T

V

VU

CRMCRM ⋅=





2

2

3

−=

xxu CRM

sesgo

2

2

32

= Eresolución

Ru




62

2222

22

323

+

−+

+

+= ECRMrCRMrc

Rxx

n

s

k

Usu


ccal ukU ⋅=

Además de estas contribuciones, habrá que tener en cuenta la existencia de las debidas

a las magnitudes de influencia:

* Interferencias:

- Químicas: Se eliminan bien usando una llama a más alta temperatura o añadiendo

algún agente a la muestra a analizar, por lo que no se va a considerar su influencia en el

cálculo de la incertidumbre.

- Ionización: Se elimina añadiendo a la muestra elementos fácilmente ionizables. No

se considera su contribución a la incertidumbre.

- Matriz: se elimina cuando las características físicas de la muestra son similares a las

del patrón, por lo que no se considerará su contribución a la incertidumbre.

- Por último, los errores debidos a emisiones espectrales o background, se eliminan

mediante las técnicas correspondientes y no se considerarán en el cálculo de la incertidumbre.

* Condiciones ambientales

El equipo de absorción atómica se instalará en una sala amplia, limpia, bien ventilada

y confortable, y cuya temperatura no deberá ser inferior a 10ºC ni superior a 35ºC, debiéndose

evitar los cambios bruscos de temperatura entre el día y la noche. Se procurará que el

ambiente esté limpio de polvo, sobre todo de naturaleza agresiva, así como de cualquier tipo

de vibraciones originadas por cualquier clase de maquinaria.


63

* La posible influencia de otros factores como posición de la llama,

alineamiento, etc., se eliminan al trazar la curva de calibrado cada vez que se mide.

Para la incertidumbre de calibración del espectrofotómetro de absorción atómica el

criterio de validez adoptado es que la incertidumbre máxima sea menor que el 10% de la

concentración del mayor patrón. Para estas incertidumbres se han creado dos registros que

permiten calcular la incertidumbre (Anexo A RE-11-l y RE-11-m) para dos casos, el primero

de ellos se mide en absorbancia (mediante absorción atómica con llama aire-acetileno y

absorción atómica previa extracción con APDC/MIBC) y el segundo es para el caso en el que

se mide directamente en concentración con el equipo, el cual realiza la calibración de manera

interna. En el Anexo A aparece a título de ejemplo el cálculo de incertidumbres para el Mn:

- RE-11-l (Absorción Atómica de llama):

xcrm,max= 2000.00 µg/l ⇒ 10%* xcrm,max= 200.00 µg/l

Ucal,max= 40.86 µg/l < 200.00 µg/l ⇒ Se cumple el criterio.

- RE-11-l (Absorción Atómica con APDC/MIBC):



- RE-11-m (Absorción Atómica directa en concentración):



En la Tabla 2 se puede observar las incertidumbres máximas de calibración para el

análisis de distintos metales en agua que se han obtenido en este proyecto:


64

METALAbsorción Atómica de llama Absorción Atómica con APDC/MIBC

Cd 10.02 0.77

Cr 31.17 N/A

Cu 22.51 0.27

Fe 51.49 1.34

Mn 40.86 0.90

Ni 25.41 1.51

Pb 60.52 1.71

Zn 8.79 3.07

1.31

0.08

1.36

0.45

0.29

0.19

MEDIDAS EN ABSORBANCIA PASADAS A CONCENTRACIÓN MEDIDA DIRECTA EN CONCENTRACIÓN

0.14

0.41

( )l/gµ ( )l/gµ )/( lmg

Tabla 2: Incertidumbres máximas de calibración para distintos metales en agua

capÍtulo 3.-cÁlculo de incertidumbres de...

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