capítulo 1(mayo 07)
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MANUAL DE EJERCICIOS DE MATEMÁTICA PARA LA EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
PRIMERA PARTE
INDICE
1. Sistematización sobre los conjuntos numéricos
1.1 Introducción
1.2 La ampliación de los conjuntos numéricos
1.3 Operaciones racionales con números reales
1.4 Operaciones irracionales con números reales: radicación y logaritmación
1.4.1 Radicación
1.4.2 Operaciones con radicales
1.4.3 Logaritmación
1.4.4 El trabajo con la calculadora
1.5 Ejercicios del capítulo
2. Ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales y cuadráticas
2.1 Introducción
2.2 Trabajo con variables
2.3 Ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales
2.3.1 Ecuaciones lineales
2.3.2 Funciones lineales
2.3.3 Inecuaciones lineales
2.4 Ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas
2.4.1 Ecuaciones cuadráticas
2.4.2 Funciones cuadráticas.
2.4.3 Inecuaciones cuadráticas
2.5 Ejercicios del capítulo
3. Ecuaciones, funciones e inecuaciones racionales enteras y fraccionarias. Sistemas de ecuaciones.
3.1 Introducción
3.2 Ecuaciones, funciones e inecuaciones racionales enteras y fraccionarias
3.2.1 Ecuaciones racionales enteras y fraccionarias
3.2.2 Funciones racionales enteras y fraccionarias
3.2.3 Inecuaciones racionales enteras y fraccionarias
3.3 Sistemas de ecuaciones
3.3.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables
3.3.2 Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables
1
3.3.3 Sistemas con ecuaciones no lineales
3.4 Ejercicios del capítulo
4. Geometría plana y elementos de trigonometría.
Introducción
4 .2 Propiedades y relaciones entre las figuras geométricas elementales
4.2.1 Triángulos y cuadriláteros
4.2.2 Circunferencia y círculo
4.2.3 Algunas construcciones geométricas elementales.
4.3 Igualdad de figuras geométricas
4.4 Semejanza de figuras geométricas
4.4.1 Teorema de las transversales
4.4.2 Semejanza de triángulos
4.5 Grupo de teoremas de Pitágoras
4.6 Razones trigonométricas
4.7 Resolución de triángulos cualesquiera
4.8 Ejercicios del capítulo
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1. Sistematización sobre los dominios numéricos
1.1 Introducción
La Aritmética surge por la necesidad de contar, repartir, distribuir, intercambiar, realizar cálculos, en resumen, para desarrollar las actividades diarias. El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar los objetos. Inicialmente se contaba con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras, conos de abetos, etc. Por ejemplo calculus en su traducción del latín significa cuenta con piedras.
Muchos procedimientos pueden ser considerados como manifestaciones de cálculo, pero es el cálculo aritmético el que ha merecido principal atención. Con la utilización de más y más números surgieron y se desarrollaron sus símbolos y los propios números formaron sistemas. Gradualmente se perfeccionaron y unificaron los sistemas de numeración.
La escritura en el sistema decimal posicional con el cero apareció por primera vez en el año 500 a.n.e. en la India y fue introducida en Europa por los árabes a partir del siglo VIII por eso nuestras cifras se llaman indoarábigas.
La cuestión sobre las relaciones y mutuas influencias de la Matemática de la India, Grecia, China y los países árabes aún no está suficientemente claro. En Matemática se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.
Es a través del Liber abaci de Leonardo de Pisa (1170 – 1240), que se difundió la representación decimal de los números, utilizando para ello las cifras o los guarismos arábigos.
El sistema de numeración decimal o de base 10, es utilizado actualmente en todos los países, como el resultado de un largo proceso de desarrollo histórico. Existen otras bases, por ejemplo, en América los Incas tenían un sistema de numeración de base 20, los babilonios de base 60.
Leibniz (filósofo, matemático y estadista alemán) en el siglo XVII descubre el sistema binario (base 2) y la posibilidad de infinitos sistemas de numeración.
La base de nuestro sistema de numeración es 10 (decimal) consta de 10 dígitos,
(0, 1, 2, 3, 4, 5, …..9) y con ellos podemos escribir todos los números. Este sistema se llama decimal y es posicional porque con cada 10 unidades de un orden se forma una unidad del orden inmediato superior.
En la actualidad cuando mencionamos la palabra cálculo, la mayoría de las personas la asocian a la realización de las operaciones aritméticas fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división, entre otras).
En el mundo de hoy, con el uso de las computadoras y otros medios auxiliares de cálculo, es posible realizar un número elevado de operaciones matemáticas con rapidez y seguridad. El uso adecuado y racional de estos medios (que es uno de los retos que debemos enfrentar) depende en gran medida del conocimiento de los conceptos, leyes y procedimientos matemáticos que seamos capaces de dominar.
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1.2. La ampliación de los dominios numéricos.
Conjuntos y sus relaciones
Consideremos un conjunto como una colección de objetos. Los componentes individuales del conjunto se llaman elementos. Los conjuntos se denotan generalmente con letras mayúsculas del alfabeto latino, y sus elementos, con letras minúsculas. El cardinal de un conjunto A caracteriza el número de elementos de dicho conjunto y se denota con #A.
La relación de pertenencia es la que se establece entre elementos y conjuntos y se utilizan los símbolos ∈ (pertenece) y ∉ (no pertenece).
Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si y solo si, cada elemento de A es un elemento de B. Se escribe A ⊂ B. Se dice que el conjunto A está incluido en el conjunto B.
Dos conjuntos son iguales si y solo si, todo elemento de uno es elemento del otro. Si A y B son dos conjuntos iguales, entonces se escribe A = B y se cumple que A ⊂ B y B ⊂ A, entonces E = F y se dice que E es un subconjunto propio de F.
Por ejemplo, si N es el conjunto de los números pares y { }Nk,km:NmM ∈=∈= 2 , entonces N ⊂ M y M ⊂ N y se cumple M = N.
0,2,4,… son elementos de estos conjuntos.
En ocasiones se utiliza el símbolo ⊆ para denotar que un conjunto puede ser subconjunto propio o igual a otro.
Los Diagramas de Venn permiten ilustrar las relaciones y las operaciones con conjuntos. Un diagrama tal puede ser cualquier figura geométrica plana que represente a un conjunto determinado, referido a un conjunto mayor que lo contiene al cual llamaremos Conjunto Universo (U).
Representación gráfica de la inclusión de conjuntos.
Intuitivamente un conjunto infinito es aquel en que no es posible contar sus elementos. Un conjunto infinito A es aquel en que se puede establecer una correspondencia 1 -1 o biunívoca de A en un subconjunto propio de este. Un conjunto es finito si y solo si no es infinito.
Son ejemplos de conjuntos los siguientes:
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U P P = Q
Q
a) Los habitantes de un país.
b) El número de rectas que pasan por un punto.
d) Los países del Caribe con tres banderas.
¿Cuántos elementos tienen estos conjuntos?, ¿cuáles son finitos?, ¿cuáles infinitos?
a) En este caso, en tiempo determinado es posible contar sus elementos, por ejemplo en Cuba los datos del último censo (realizado en el 2002) el número de habitantes es de 11 250 979(según el anuario estadístico del 2004), luego es un conjunto finito.
b) Como debes recordar, por un punto pueden pasar infinitas rectas, entonces este conjunto es un conjunto infinito.
c) Este conjunto no posee elementos, ninguno de los países del Caribe cumplen esta condición, entonces el conjunto es vacío o nulo y se denota con φ; también se puede representar con { }.♦
■Escribe dos ejemplos de conjuntos finitos y dos ejemplo de conjuntos infinitos, que se relacionen con el entorno (la escuela, la familia la asignatura de física, química u otra)
Un conjunto puede determinarse nombrando cada uno de los elementos que lo integran o por la propiedad que tienen los elementos que lo integran.
Ejemplo 1
Dados los conjuntos M y N en notación tabular
M = { 2, 7, 12, 17, 22,…} P = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…}
a) Escribe el conjunto M en notación descriptiva
b) Expresa el conjunto P en notación constructiva.
Resolución:
a) ¿Qué relación existe entre sus elementos?
Habrás observado que la diferencia entre ellos es 5, o sea, al primer elemento de este conjunto se le van adicionando los múltiplos de 5, es decir, son de la forma 5n +2(n ∈N)
M : Conjunto de los números naturales de la forma 5n + 2 con n ∈N .
b) P= { p∈N: p = 2n + 1, n∈N:}
Se lee: El conjunto P está formado por los números naturales p, tales que p = 2n + 1 con n∈N.
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Operaciones con conjuntos
Intersección de conjuntos: La intersección entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B. Se escribe A ∩ B.
Unión de conjuntos: La unión entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, o a ambos. Se escribe A ∪ B
Diferencia de conjuntos: La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Se escribe A \ B.
Complemento de un conjunto: Sea U un conjunto universo y A, un subconjunto de U, el complemento de A al que llamaremos AC es el conjunto de elementos de U que no son elementos de A. Se escribe AC=U\A.
Ejemplo 2
Sean los conjuntos:
A = {2,3,5,7,11…} B = {0,2,4,6,8,10...} C = {4,16, 36}
a) Describe los conjuntos dados.
b) Determina A∩ B, A ∪ B y C \ B.
c) Escribe un conjunto P que sea complemento de C.
Resolución:
a) A: Conjunto de los números primos
B: Conjunto de los números pares
C: Conjunto formado por tres cuadrados perfectos.
b) Como al conjunto intersección pertenecen los elementos comunes de estos conjuntos, entonces:
• A∩ B = {2} porque es el único número primo par
Como al conjunto unión pertenecen todos los elementos de ambos conjuntos, tenemos:
• A ∪ B = N \ {1}
Como al conjunto diferencia pertenecen todos los elementos que están en C y no en B, entonces:
• C \ B.= φ o bien C \ B = { }, es decir, la el conjunto diferencia es el conjunto vacío.
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Como el conjunto Universo (U) sería el de todos los cuadrados perfectos, al complemento de C le corresponden los elementos de U que no están en C, luego P = { 1; 49; 64; 81; 100…..} ♦
Ejemplo 3
En una entrevista a un grupo de médicos cubanos estos manifestaron que cada uno de ellos había participado al menos en una misión internacionalista en el continente africano o en América Latina. En los países de África cumplieron misión 26 de ellos, mientras que 23 cumplieron misión en América Latina. Si 19 de ellos participaron en ambos continentes, determina el número de médicos que solo ha participado en uno de los dos continentes y el total de médicos.
Resolución:
Los datos dados plantean que en África cumplieron misión 23 médicos y en Ámérica Latina, 26; si hay 19 que cumplieron misión en los dos continentes entonces tendremos:
A: Conjunto de médicos que cumplieron misión en África
B: Conjunto de médicos que cumplieron misión en América Latina
#A = 23
#B = 26
#(A∩B) = 19
26 - 19 = 7 habían cumplido misión solo en A. Latina
23 -19 = 4 habían cumplido misión sólo en África
y el grupo entrevistado era de 30 médicos, pues 4+7+19=30. Otra posibilidad de averiguar esto hubiera sido adicionar 26 +23 y sustraer 19 al resultado. ♦
Ejemplo 4
En un grupo de 22 jóvenes se realizó una encuesta sobre sus preferencias para el empleo del tiempo libre, de la cual se obtuvo que 9 de ellos gustan del teatro, 13 de la televisión y 10 del cine. Sin embargo, solo gustan de la televisión 5 jóvenes, mientras que a tres les gustan las tres opciones, pero por otra parte, 4 de ellos gustan del teatro y de la TV y solo a dos les gusta el teatro y el cine.
a) ¿A cuántos de estos jóvenes, solo les gusta el teatro?
b) ¿A cuántos les gusta solamente la TV y el cine?
c) ¿A cuántos jóvenes del grupo seleccionado no les gustan estas opciones recreativas?
Resolución:
7
B A194 7
En el texto del ejercicio se puede observar que hay estudiantes que participan en más de una actividad.
Para ayudar a la comprensión del ejercicio vamos a realizar la modelación del mismo utilizando los conocidos diagramas de Venn:
Sea:
#T: cantidad de alumnos que
gustan del teatro
#C: conjunto de alumnos
que gustan del cine
#V: conjunto de alumnos
que prefieren la TV
#T= 9, #C:=10, #V=13, #(T∩C)=2, #(T∩V)=4, #(T∩C∩V)=3
Además se da como información que a 5 les gusta nada más la televisión.
Sustrayendo a las cantidades totales de cada actividad la cantidad de jóvenes que participan en más de una actividad, se puede dar respuesta a las preguntas realizadas:
a) No existe ningún estudiante que participe solo en teatro, porque solo son 9 los que gustan del teatro, pero compartida con otra opción recreativa.
b) Como #V=13, #(T∩V)=4, #(T∩C∩V)=3 y a 5 les gusta nada más la televisión, solo un joven gusta de la televisión y el cine.
c) Como el total de estudiantes es 22, obtenemos:
22 - (5 + 4 + 3 + 1 + 2 + 4) = 22 – 19 = 3, lo cual quiere decir que solo hay 3 jóvenes que no gustan de ninguna de las opciones. ♦
Dominios numéricos
En la práctica para resolver numerosas tareas requerimos trabajar con números. Digamos que necesitamos conocer la cantidad de personas que han asistido a una fiesta, campismo u otra actividad. Entonces recurrimos a los números naturales que sirven fundamentalmente para contar y para ordenar, pero que además permiten realizar las operaciones de adición y multiplicación sin restricciones.
Si por ejemplo, necesitamos extraer de un almacén cierta cantidad de libretas para entregar a la matrícula completa de una escuela, ¿cuál es la primera condición necesaria para que podamos realizar esta acción con éxito? Es necesario saber si la cantidad de libretas existente en el almacén es igual o mayor a la matrícula de esa escuela, de lo contrario, no es posible cumplir con lo propuesto.
Si se quisiera repartir el número de libretas existente en el almacén en partes iguales, suponiendo que la cantidad fuera mayor, entonces el dividendo (la
8
4 3 2
4
C
V T
5
cantidad de libretas), tendría que ser múltiplo del divisor (la cantidad de alumnos). Podríamos preguntarnos además, ¿qué ocurre si el número de libretas no es múltiplo de la cantidad de alumnos? Sucedería que la división no es exacta, quedaría un resto.
¿A qué conclusión podemos arribar?
Los números naturales no bastan para resolver problemas matemáticos y prácticos; por ejemplo los problemas de distribución, de medición y otros nos dan una idea clara de la necesidad de ampliar sucesivamente los dominios numéricos.
La insuficiencia del conjunto de los números naturales para resolver la división, determina la necesidad de ampliarlo. Surgen de este modo los números
fraccionarios Q+ que pueden representarse como una fracción, b
a es
decir el cociente indicado de dos números naturales con b ≠ 0.
Resulta evidente que en el caso de los números naturales basta tomar b = 1 para representarlos como una fracción, por tanto el conjunto de los números fraccionarios contiene a los naturales.
La imposibilidad de efectuar la sustracción sin restricciones en el conjunto de los números naturales obliga a realizar una nueva ampliación, para ello se introduce el dominio de los números enteros.
En particular al conjunto de los números naturales y sus opuestos se le denomina conjunto de los números enteros y se denota por Z:
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
Para resolver las limitaciones de los dominios mencionados anteriormente se
construyen los números racionales que pueden representarse de la forma q
p
donde p y q son números enteros y q es distinto de cero. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.
Además, desde grados anteriores vimos la insuficiencia de resolver ecuaciones en el dominio de los números racionales, como las ecuaciones de la forma x2 – 2 = 0; de esta y otras insuficiencias, como la existencia de magnitudes inconmensurables, se obtuvo la necesidad de introducir los números irracionales, que se denotan por I.
¿Qué relación existe entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales?
Los conjuntos numéricos con las operaciones y relaciones definidas en ellos es lo que se conoce como dominios numéricos. En la construcción de un nuevo dominio hemos partido siempre de ciertas insuficiencias del dominio anterior, manteniendo las operaciones y relaciones definidas anteriormente (principio de permanencia).
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El conjunto de los números reales está conformado por la unión de los racionales e irracionales, simbólicamente: Q∪ Ι = ℜ
Te sugerimos completar el siguiente cuadro resumen:
Dominios numéricos Operaciones realizables
( sin limitaciones )
Restricciones o limitaciones de las operaciones
Naturales (N)
Adición ,sustracción y multiplicación
Adición, multiplicación y división
Racionales (Q) Radicación de números que no tienen raíz exacta
Radicación de índice par
de números negativos
Radicación de índice par
de números negativos
Analicemos en el siguiente diagrama de Venn las relaciones entre los dominios numéricos estudiados:
Como se observa en el diagrama, el dominio de los números naturales (N), es un subconjunto del dominio de los números enteros (Ζ), de los racionales (Q) y de los reales ( ℜ ). Simbólicamente: N⊂ Ζ ⊂ Q ⊂ ℜ.
Los números naturales o los números enteros, se expresan en notación decimal
como 2 = 2,0
( se lee: 2 coma período cero) o simplemente dos.
Los números racionales se expresan en notación decimal como:
10
ℜ
NℵΖ Q+
Q
Ι
075,075,04
3 == ( Se lee: cero coma siete cinco o cero coma siete cinco
período cero)
61,0...16666,06
1 =≈ (Se lee: cero coma uno seis período seis)
Observa que las expresiones decimales finitas se pueden considerar como expresiones decimales periódicas con período cero.
¿Qué tipo de expresiones decimales representan a los números irracionales?
Veamos:
π ≈ 3,141 592 653 509 793 238…
...41422135,12 ≈
6 2,4494897...≈
Como puedes observar estas expresiones decimales no son periódicas, luego,
¿ a qué conclusión podemos llegar?
Ejemplo 1
Ubica los números : -15; 104 ; 0,1 6 ;-2,5; 3 ; - 1,4267….en .el diagrama representado, teniendo en cuenta el conjunto numérico más restringido al cual pertenecen.
Resolución:
Con seguridad los has ubicado de la siguiente manera:
Para ello tuvimos que tener en cuenta la caracterización de cada dominio numérico. ♦
Ejemplo 2
Escribe, en los espacios en blanco, según convenga: ∈; ∉; ⊂; ⊄
a)3
4 ____ b) ____
11
ℜ
ℵΖ Q+
Q Ι
3 - 1,4267..
-15104 610,
-2,5
Toda expresión decimal periódica representa un número racional. Toda expresión decimal no periódica representa un número irracional.
a) 15 ____ d) _____
Resolución:
a) 3
4 ∈ b) ⊄ c) 15 ∉ d) ⊂ ♦
Para analizar el orden en el dominio de los números racionales o reales resulta conveniente definir qué se entiende por valor absoluto de un número a que se denota |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a –a si es negativo. En símbolos:
si a ≥ 0, |a| = a
si a < 0, |a| = –a
Nótese que –a no es un número negativo. Por ejemplo: 254,− = 4,25.
Ahora te recordaremos algunos aspectos importantes sobre los números reales:
A cada punto de una recta se le puede hacer corresponder de forma única un número real y viceversa.
Son positivos los números reales mayores que cero y negativos sus opuestos.
El cero no es ni positivo ni negativo, luego el opuesto del cero es el propio cero
Si al referirte al conjunto de los números reales positivos quieres incluir al cero entonces debes nombrarlo como los números reales no negativos. ¿Cómo denominarías al conjunto de números reales negativos que incluyen al cero?––––––––––––––––––––––––––––––––––
Para ordenar un grupo de números reales debes tener en cuenta que:
- de dos números reales cualesquiera es menor el que esté más a la izquierda en la recta numérica;
- de dos números reales positivos es mayor el que tiene mayor módulo.
- de dos números reales negativos es mayor el que tiene menor módulo.
- el cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo.
Ejemplo 3
. Dados los números racionales siguientes:
I. − 2; 0,7; 230; −0,9; 0,1; − 2,7; − 329.
II. − 150; − 10; 0,6; − 0,5; 15,5; 130; −4
1.
a) ¿Cuál es el mayor?
b) ¿Cuál es el menor?
c) ¿Cuál es el que tiene mayor módulo?
d) ¿Cuál es el que tiene menor módulo?
12
Resolución:
a) I. (230) II. (130) b) I. (- 329) II. (- 150)
c) I. ( -329) II. (-150) d) I. (0,1) II.
−4
1
Ejemplo 4
Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:
− 3,5 ; −2
1 ; 2,6 ; −
5
8 .
Resolución:
Para representar estos números racionales, primero trazamos una recta y situamos un punto al cual se le hace corresponder el cero; luego se determinan segmentos de igual longitud a la derecha y a la izquierda del cero.
♦
Ejemplo 5
En la siguiente recta están representados los números 0, a, b, c y d.
(Todas las subdivisiones son iguales)
a) Responde Verdadero (V) o Falso (F).
–––– d > b –––– – 3c > – b –––– – d > a –––– 4 a < b
b) Decide si es posible que se cumpla:
–––– b = 2 a + c –––– d = c + a –––– b ≠ a – 3 –––– – c – d = 2 a + b
Resolución:
a) F, F, V, V. b) No, Sí, Sí, Sí ♦
Operaciones con intervalos.
Anteriormente vimos que a cada número real le corresponde exactamente un punto de la recta y viceversa. Sin embargo, con los números racionales no
13
sucede así. Si estos últimos los representáramos en la recta numérica existen puntos de ella a los que no les corresponde ningún número racional.
Los intervalos son subconjuntos de números reales. Sean a y b dos números reales. Entonces:
Un intervalo cerrado [a; b] de extremos a y b es un segmento en el que se incluyen estos extremos: [a; b] = {x ∈R: a ≤ x ≤ b}
Un intervalo abierto (a; b) de extremos a y b: (a; b) = { x ∈R: a < x < b}
Un intervalo semiabierto de extremos a y b puede ser (a, b] o [a, b): (a; b] = { x ∈R: a <x≤b} (se excluye a y se incluye b)
[a; b) = {x ∈R: a ≤ x < b} (se incluye a y se excluye b)
En particular:
(-∞; b] = {x ∈R: x ≤ b}. Es el conjunto formado por todos los números reales menores o iguales que b.
(-∞; b) = {x ∈R: x < b}. Es el conjunto formado por todos los números reales menores que b.
(a; ∞) = {x ∈R: x > a}. Es el conjunto de todos los números reales mayores que a. [a; ∞) = {x ∈R: x ≥ a}. Es el conjunto formado por todos los números reales mayores o iguales que a.
Ejemplo1
Representa los siguientes conjuntos usando la notación de intervalos:
a) El intervalo que comprende los valores reales, mayores que –5 y menores que 7.
b) El conjunto de valores mayores o iguales a – 4 y menores que cero.
c) Los valores reales no negativos.
Resolución:
a) No se incluyen los extremos, luego su representación es la siguiente: ( -5 ; 7)
Nota: Como notación para el intervalo abierto también se puede utilizar el corchete hacia fuera, por ejemplo en este caso sería ] [7;5− .
b) En este caso, se incluye al -4, entonces el intervalo se representa como [ )0;4−
c) Son todos los valores reales positivos y el cero que no tiene signo, por eso se utiliza la expresión no negativa, además ese conjunto es ilimitado hacia la derecha, es decir, [ )+∞;0 ♦
Ejemplo 2.
Escribe en notación constructiva los siguientes intervalos:
a) ( )3;− +∞ b) [ ]5;1− c) ( ]2;∞−
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Resolución:
a) ( )3;− +∞ ={ ℜ∈x : x > – 3} b) [ ]5;1− = { ℜ∈x : -1 ≤ x ≤5 }
c) ( ]2;∞− = { ℜ∈x : x ≤ 2} ♦
Ejemplo 3
Expresa los siguientes conjuntos como intervalos
a) { ℜ∈x : x< -3 } b) { ℜ∈x : -6 ≤ x ≤1 } c) { ℜ∈x : - 2 ≤ x <1}
Resolución:
a) ( )3;−∞− b) [ ]1;6− c) `[ 12;− ) ♦
Ejemplo 4
Representa gráficamente los siguientes intervalos:
a) );( 12− b) [ ]2;3− c) ( ]3;2−
Resolución:
a) );( 12− En la recta no se incluyen los extremos, por eso estos puntos no se sombrean.
b) [ ]2;3− Recuerda que si en el intervalo, se incluyen los extremos, gráficamente estos se sombrean
c) ( ]3;2− En el intervalo no se incluye uno de los extremos.
♦
Ejemplo 5
Sean los intervalos A= );( 12− , B= [ ]2;3− y C = ( ]3;2−
a) Determina A∩ B, A ∪ B, B \ A y C \ A.
b) Escribe un conjunto P que sea complemento de C.
Resolución:
a) A∩ B =(–2;1) A ∪ B = B B \ A = [ ]2;3−− ∪ [ ]2;1 C \ A = [ ]3;1
Ejercicios (epígrafe 1.2)
1. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifica las falsas.
a).-4,5 ∈ Q b).5 ∈ Z c).0,8 ∈ N d). ¼ ∉ Z
e).N ⊂ Z f).Q ⊄ R g).Z ⊂ Q h).Q ⊂ N.
15
-3 2
-2 3
- 2 1
2. Completa utilizando los símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊄, de forma tal que se obtenga una proposición verdadera.
a).3 ½ ____ N b).-5,24 ____ Q `c). 5 ____ R d).-8 ____ Z
e).Z ____ N f).Q ____ Z g).N ____ R h).R ____ Z.
Fundamenta tu respuesta.
3. Coloque en el espacio en blanco el signo de relación correspondiente
(<;= ; >).
a) 0 3 b) 0 − 5 c) 2 − 1
d − 3 − 12 e) − 1,8 − 1,9 f) 3
2
10
15
g) − 1,6 1,6 h) 0,85 0,9 i) −
4
3 − 2
4. Dadas las siguientes listas de números:
L1: − 1,75; − 8; 10
1; 1; − 0,5; − 1,6
L2: − 3; − 2,8; 0,2; − 24
1 ; −
2
3 ; −
π
π
a) Ordena L1 comenzando por el menor y L2 comenzando por el mayor.
b) Representa cada lista de números en rectas numéricas diferentes.
5.. En un curso hay 25 alumnos que juegan fútbol, 20 que juegan baloncesto y 15 que no practican estos deportes. Si el curso tiene 50 alumnos, entonces los alumnos que juegan tanto fútbol como baloncesto son:
___15 ____ 10 ____ 5 ____ 20 ____ 35.
6. Escribe en notación tabular el conjunto M = {x ∈N \ -3,4 < x ≤ 8,286}.
8. Escribe en notación constructiva el conjunto T = {1, 3, 6, 10, 15}.
10. Escribe en notación descriptiva al conjunto de los números naturales pares, comprendidos entre 14 y 72 sin incluirlos.
11. Define en forma descriptiva el conjunto {1, 2, 4, 8, 16}.
12. Escribe los siguientes conjuntos en forma constructiva:
a) Conjunto de todos las x tales que x es mayor que 5.
b) Conjunto de todos las x tales que x sea igual a 5 ó mayor que 5.
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c) Conjunto de todos las x tales que x sea menor que -2 ó mayor que 4.
13. -Coloca el signo ; o \ según convenga si:
a) ( 3;10 ) ___( 4; 12 ) = ( 3; 12)
b) ( 3;5 ) ____ [ ]5;3 = φ
c) [ ]10;7 ___ ( 7;10) = {7; 10}
d) [ )1;3− ____( 1;2) = φ
14- Enlaza las operaciones de la columna A con las respuestas correctas en la columna B:
A B
a) ( ) ( )2;5 3;8∩
(1; 4)
b) ( ) ( )2;4 0;6− ∩ [3; 5]
c) [ ) ( )1;12 1;4∩ φ
d) ( ] [ )1;5 3;+∞ (0; 4)
e) ( ) [ ]3;01; −∞− . (3; 5)
15.- Dados los conjuntos:
M = {x ∈ R: x ≤ 12} ,
N = {x ∈ R: x ≥ 4}
P = {x ∈ R: -4 ≤ x ≤ 5,6}
Q: Conjunto de los números naturales impares.
Determina:
a). M ∩ N. b). M ∩ P. c). M ∩ Q. d). N ∩ P
e). N ∩ Q. f). P ∩ Q. g). M ∩ N ∩ P. h)). M ∩ N ∩ Q.
i). N ∩ Q ∩ P.. j). M ∪ N k). M ∪ P. l). M ∪ Q.
m). N ∪ P. n). N ∪ Q. ñ). P ∪ Q. o). M ∪ N ∪ P.
p). M \ N. q). M \ P. r). M \ Q. s). N \ P.
t). N \ Q. u). P \ Q. v). Mc. w). Nc.
x). Pc. y). Qc. z). (M ∩ N)c.
16. Apoyándote en un diagrama, ilustra que:
a). A \ B = A \ (A ∩ B).
b). A \ B = (A ∪ B) \ B.
c) A \ B= A ∩ BC
17
17. A continuación aparece representado un diagrama de Venn. Con los datos que se presentan en él elabora un ejercicio de situaciones no matemáticas que debe ser analizado en el aula con el resto de tus compañeros.
18. Si sabes que los conjuntos K y L son tales que (K ∪ L) \ L = K. ¿Qué conclusión puedes obtener de esta información?
19. Para la filmación de unas aventuras juveniles se realiza una convocatoria, con las siguientes condiciones:
- las muchachas deben tener de 18 a 25 años de edad y medir entre 1,25 m a
1,55 m.
- los muchachos deben tenar de 20 a 25 años y medir de 1,55 metros a 1,60 metros.
a) Traduce del lenguaje común al algebraico los intervalos indicados para cada sexo, en dicha convocatoria. Llámale “e” a los elementos de la edad y “m” a la estatura exigida
1.3 Operaciones racionales con números reales.
En este epígrafe repasarás y profundizarás las operaciones fundamentales con números reales, así como sus propiedades para poder aplicarlas a la resolución de problemas de la práctica y de otras ciencias.
Ejemplo 1
Realiza las operaciones indicadas, de ellas puedes afirmar que;
A) las tres son iguales
(I) 0,75 –2
2
1
:
6
5
8
3 − B) las tres son desiguales
(II) (0,75 – 2
2
1
) : 6
5
8
3 − C) solo (I) = (II)
(III) (0,75 – 2
2
1
) :( 6
5
8
3 − ) D) solo (I) = (III)
E) solo (II) = (III)
Resolución:
18
4122
63
31 8
(I) 0,75 –2
2
1
:
6
5
8
3 − Debes recordar el orden de las operaciones
= 0,75 – 4
1 :
6
5
8
3 − (1. la potenciación)
= 0,75 – 3
8
4
1 • – 6
5 (2. la división y multiplicación)
= 0,75 – 3
2–
6
5 (3.la adición y sustracción)
= 4
3–
3
2–
6
5 =
12
1089 −−=
4
3
12
9 −=−
(II) (0,75 – 2
2
1
) : 6
5
8
3 − (1. los signos de agrupación
( 2. la potenciación)
= ( 4
1
4
3 − ) : 6
5
8
3 − (3. la división y multiplicación)
= 2
1
6
5
3
8 −• (4. la adición y sustracción)
= 2
1
6
3
6
58
6
5
3
4 ==−=−
Si tienes en cuenta lo explicado en (I) y (II) podrás efectuar (III) cuya respuesta
es 12
11− (¡compruébalo!) La respuesta es la B) ya que (I) ≠ (II) ≠ (III) ♦
¿Qué debes tener en cuenta para efectuar operaciones combinadas con números reales?
Para efectuar operaciones combinadas con números reales:
• Se efectúan las operaciones indicadas entre signos de agrupación
( paréntesis, corchetes, llaves)
• Se realizan la potenciación y la radicación en el orden en que aparecen.
• Se efectúan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.
• Se realizan las sumas algebraicas que resulten al final.
Ejemplo 2.
Vamos a suponer que Esther tiene un sobrepeso para su edad (212 libras) y debe realizar una dieta orientada por el médico, durante cuatro semanas. En la
primera semana perdió 12,0 libras, en la segunda 3 21 más, pero la tercera
semana coincidió con las fiestas de fin de año y aumentó 8,75 libras .Si en la cuarta semana hace un esfuerzo y pierde 6 libras y 8 onzas ¿Cuál seria su
19
peso en kilogramos, al terminar la dieta? Expresa el resultado con la mayor exactitud posible.
Resolución:
Debemos sustraer varias veces y en una de las ocasiones adicionar, luego estamos en presencia de una adición de números reales.
¡Cuidado! Las cantidades están expresadas en unidades de medida diferentes, por tanto es necesario convertir a una única unidad para realizar la suma.
Conocemos que 1 libra contiene 16 onzas, tenemos que preguntarnos qué parte de una libra son 8 onzas. Es evidente que representa la mitad luego, 6 libras y 8 onzas, se puede expresar como 6,5 libras, luego la operación seria la siguiente:
212 –12– 3,5 + 8,75 – 6,5
Aplicando la propiedad asociativa se suman las cantidades con signos iguales y se coloca el mismo signo es decir:
= ( 212 + 8,75 ) + ( –12 –3,5 – 6,5)
= 220,75 – 22 = 198,75
Como la respuesta debe ser en kilogramos y 1 kilogramo equivale a 2,2 libras, entonces para determinar cuántos kilogramos de peso tiene ahora se divide esta cantidad por 2,2, es decir, 198, 75 : 2,2 = 90, 34 kg .
Comprueba si el resultado que se obtiene es lógico y correcto.
.Respuesta: Al terminar la dieta Esther pesará aproximadamente 90,3 kg♦
Para la adición de números reales debemos tener en cuenta:
• Si tienen signos iguales: Se suman los módulos de ambos números y al resultado se le pone el mismo signo.
Por ejemplo: a) 3,72 + 15,8 = 19,52 b) – 3,72 – 15,8 = – 19,52.
• Si tienen signos diferentes: Se restan los módulos de ambos números y al resultado se le pone el signo del que tiene mayor módulo.
Por ejemplo: a) 3,72 – 15,8 = –12,08 b) – 3,72 + 15,8 = 12,08
Si dos números son opuestos su suma es igual a cero.
Para la adición de números reales se cumple:
• Conmutatividad de la adición: a + b = b + a.
• Asociatividad de la adición: (a + b) + c = a + (b + c)= a+b+c.
• Hay un número y sólo uno (cero), tal que a + 0 = 0 + a = a, para cualquier valor de a (elemento neutro para la adición).
• Para todo número a existe un único número que se denota por –a tal que a + (-a) = 0 (opuesto de a)
La sustracción es la operación inversa de la adición.
Para multiplicar dos números reales debes tener en cuenta:
20
• Se multiplican sus módulos.
• Si los factores tienen signos iguales, el producto es positivo y si los factores tienen signos diferentes, el producto es negativo.
Por ejemplo: a) (– 2,5). (– 100 )= 250 b) 2,5. (– 100 ) = – 250.
Para la multiplicación de números reales se cumple:
• Conmutatividad de la multiplicación: a. b = b. a.
• Asociatividad de la multiplicación: (a. b).c = a (b. c)=a. b.c.
• Hay un número y sólo un número (uno), de modo que a. 1 = 1. a = a,
para cualquier valor de a (elemento neutro para la multiplicación)..
• Para todo número real a ≠ 0 existe un único número a
1 tal que a.
a
1= 1.
(recíproco de a )
• Distributividad de la multiplicación respecto a la adición:
a (b + c) = a. b + a. c
Para dividir dos números reales a y b con b ≠ 0:
•Se halla el cociente de sus módulos.
•Si el dividendo y el divisor tienen signos iguales, el cociente es positivo y si el dividendo y el divisor tienen signos diferentes, el cociente es negativo.
La división de números racionales es la operación inversa a la multiplicación.
Ejemplo 3
Halla el valor numérico de la expresión d
cba .−para a = – 2; b = –
4
1; c = 16
y d = 3
Resolución:
¿Qué significa hallar el valor numérico? Para hallar el valor numérico de una expresión, se sustituyen las variables que aparecen por los valores dados
d
cba .−=
3
)16)(41()2( −−−
=3
)4()2( −−−=
3
42 +−=
3
2♦
Ejemplo 4.
Simplifica y calcula:
{ 912 – ( –412 . 2 – 4564 ) } : ( 1102 – 1002)
Resolución:
Para determinar la respuesta correcta deben calcularse las operaciones combinadas que aparecen en los signos de agrupación comenzando por la izquierda se resuelve el producto que aparece en el paréntesis
21
(-412. 2 – 4564 ) = – 824 – 4564 = – 5388 Como esta precedido de un signo
negativo resulta: 912 – ( –412 . 2 – 4564 ) = 912 + 5388 = 6300 esta cantidad hay que dividirla por el termino que está en el paréntesis de la derecha
( 1102 – 1002) ¿Cuál es la vía más racional para calcular esta diferencia?
Si observas que es una diferencia de cuadrados procederías de la siguiente forma: (1102 – 1002) = (110 + 100)( 110-100) = 210.10 = 2100 finalmente resulta 6300: 2100 = 3 .♦
Los números fraccionarios posibilitan establecer relaciones de comparación mediante el llamado tanto por ciento, que significa cuántos tantos se toman de cada cien. Para denotar su significado se utiliza el símbolo %.
Por ejemplo, el 1 % significa que se toma 1 de cada cien, así si la cantidad total de donde se toma el 1 % es 500 se tomarán 5, y si la cantidad total es 50, el 1% es 0,5.
Para determinar tasas de natalidad, mortalidad, entre otros ejemplos que se pueden mencionar, se utiliza el tanto por mil, que se denota como %0
Por ejemplo, el 3 %0 significa que se toma 1 de cada mil, así si la cantidad total de donde se toma el 3 %0 es 3000 se tomarán 9, y si la cantidad total es 1500, el 3 %0 es 4,5.
Ejemplo 5
Según transcurre el embarazo, la ganancia de peso de la mujer es el resultado del crecimiento del feto, la placenta, el líquido amniótico y los tejidos maternos. El feto representa aproximadamente el 25% de la ganancia total, la placenta alrededor del 5% y el líquido amniótico el 6 %. ¿Qué ganancia total de peso habrá tenido una embarazada que por concepto de tejido materno ha aumentado durante la etapa pregestacional 10,5 kg?
Resolución:
El crecimiento del feto, de la placenta y del líquido amniótico representan el 36% de la ganancia total (25% + 5% + 6%), luego el aumento del tejido materno (10,5kg) constituye el 64% de dicha ganancia.
Debemos calcular la ganancia total (T)
416
10064
510
510100
64
,T
.,
T
,T
≈
=
=
Respuesta: La ganancia total de peso que ha tenido la embarazada es de 16,4kg.♦
Potenciación
22
Las propiedades de las potencias son muy utilizadas en Física y otras ciencias,
por ejemplo, nn
1a
a−= (a≠0; n∈N) se emplea en:
a) 1 sm (velocidad) b) 1 2s
m (aceleración) c) 1 2
kg.m
s (fuerza)
quedaría:
a). 1m·s–1 b). 1m·s– 2 c) kg.m.s–2·
Observa que el concepto potencia se fue generalizando durante los estudios de Secundaria Básica, tal como indica el diagrama siguiente:
*Nn*,Ra
a.aa
*Ra 1a1nn
0
∈∈=
∈=−
*N ,n*Raa
1a
n
n
∈∈
=−
Teniendo en cuenta lo que conoces de las propiedades de las potencias enlaza un elemento de la columna A con su correspondiente en la columna B.
Sean a, b, r y s (a > 0, b > 0) números reales cualesquiera, entonces se cumple:
A B
ar ⋅ as (a : b)r
ar : as ars
ar ⋅ br ar – s
ar : br ar + s
(ar)s (a ⋅ b)r
Nota: Observa que estas propiedades se cumplen para las operaciones de multiplicación y división de potencias.
Ejemplo 6
El mayor embalse del país es el Zaza, en la provincia de Sancti Spíritus, con 1020000000 m3. ¿.A cuántos litros equivale la capacidad del embalse?
Resolución:
Resulta más ventajoso expresar 1020000000 m3 en notación científica,
es decir , de la forma N .10 K ( con 1≤ N < 10 y k ∈ Z)
luego 1020000000 m3 = 1,02. 109 m3.Además debes recordar que 1 litro equivale a 1 dm3, entonces se debe convertir
23
los metros cúbicos a decímetros cúbicos, aplicando las propiedades de la
potencia ya conocidas, es decir, 1,02⋅109 m3 = 1,02⋅109. 10 3 dm3
= 1,02⋅1012 dm3
Respuesta: El embalse del Zaza tiene 1,02⋅1012 litros de capacidad.♦
El cálculo con potencias de exponente entero y sus propiedades, lo conoces desde grados anteriores, lo que recordaremos a través de algunos ejemplos.
Ejemplo 7.
Descomponer todas las potencias en factores:
a). 133 b). 2b5 c). ( -4)3 d).b + c4 e). -24
Resolución:
a) Aplicando la definición de potencia tenemos que: 133 = 13.13.13
b) 2b5 = 2. b.b.b.b.b ¿a quién afecta el exponente? sólo afecta a la b
c) ( – 4)3 =( – 4) (–4) (– 4)
d) b + c4 = b + c. c. c .c
e) –24 = – 1(2.2.2.2) ¿a quién afecta el exponente? sólo al 2 el signo indica el opuesto ¿qué semejanza y diferencia existe entre el inciso c y e? ♦
Ejemplo 8
Indica sin efectuar, cuáles de las siguientes potencias son <; > ó = a cero:
a). (– 4)53 b). ( – 4)42 c). – 442
Resolución:
a) ( – 4)53 como la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es menor que cero, es decir
( – 4)53 < 0.
b) ( – 4)42 la base es negativa pero de exponente par, luego ( – 4)42 > 0
c) – 442 la base de la potencia es positiva y el exponente es par, pero se indica el opuesto de la potencia, luego – 442 < 0 .♦
Ejemplo 9
SI A = ( 252 : 52 ) 3
5
1
y B =
88
023
6:2
2.198.2 +−
entonces que relación existe
entre A y B
Resolución:
Se pide la relación que existe entre dos cantidades, representadas en este caso por A y B lo que significa determinar si son iguales o cuál de ellas es mayor o menor que la otra ,luego debemos efectuar las operaciones indicadas
24
4
2
140
4900)b 8
47
2
4
7
1
749
125
25−
−
− ·)c
1286432
441622
3502
1
·::·
)d,
( )( )
( )16
1
2
1
1072
107
1072
107
1014
10049
140
49004444
44
4
222
4
2
4
2
=====··
·
)··(
·
·
·)b
244925
725
7
75
7
7·7
5
5
)7(
7·)7(
)5(
)5(
7
1
7·49
125
25)c
2
8
102
8
414
6
8
81
472
23
42
8
47
2
4
−=−=−=
−=
−=
−=
−
−
−−
−
−
−
A = ( 252 : 52) 3
5
1
en el primer paréntesis tenemos potencias de igual
exponente luego se dividen las bases, y se mantiene el exponente, mientras que en el segundo aparece potencia de potencia, es decir,
A =( 252 : 52 ) 3
5
1
= 52. 35
1= 52.5-3 = 5 –1 =
5
1
B= 88
023
6:2
2.198.2 +−
= ( )11
8
3
88
3
8
63
33
3
3
27
3:1
192
6:2
1192.2 ===+=•+−−
−
luego A< B♦
Ejemplo 10
Calcula aplicando las propiedades de las potencias:
a) 1202
Resolución:
a) 1202 = (12· 10)2 se descompone en factores convenientemente la base
= 122· 102 se aplica la propiedad del producto de potencia de igual
exponente.
= 144· 100
= 14400
Se expresó cada base en potencia convenientemente
Se aplicó la potencia de potencia
Se aplicó el cociente y el producto de potencia de igual base.
25
1286432
441622
3502
1
·::·
)d,
27
350
64322
4416
):·(
:)·(·
,
=
256
1
2
12
2
2
2
2
2
4
2
44
22
44
2
12
464
88
5
3
5
512
5
51
5
351
27
3503
27
350
=====
====
−−−
−
−
,
,,,,
))((
:
·
:)(
)·(
:
En este ejemplo existen otras vías de solución. ¡Búscalas! ♦
Ejercicios (epígrafe 1.3)
1. Estima el lugar de la coma decimal en el resultado de las siguientes operaciones:
a) 25,65.104,2 = 267273
b) 0,55.320,18 = 176099
c) 1300,55:12,5 = 1084 1356,25:12,5=1085
2. Sea A = 9
2:
3
4 y B = −
3
7 entonces A + B es igual a:
___ − 3
11 ___. 3
3
2 ___ − 8
3
1 ___. 8
3
1
3. Sean P = 2
5
5
6
3
7 ⋅+ y Q = 4,8. Entonces P:Q es igual a:
____ 0,9 ____ 3,5 ____ 9
10 ____
10
47
4. Calcula el valor de :
a) a + b. c para a = − 3
7, b =
4
5 y c = 64,0
b) a2 – b:c, para 1
a 32
= b = 7,5 y 3
C4
=
5. En la expresión m = 4 a + 3b + 4
7c Sustituye las variables a, b y c por
números naturales tales que obtenga para m un número:
a) natural.
26
b) entero negativo.
c) fraccionario.
6. 100 g de un alimento reportan 300 calorías.¿Cuántas calorías reportan 30 g del mismo alimento?
___90 ___. 100 ___. 900 ___. 1000
7. Se tiene una placa metálica con un área de 3240 mm2, la que expresada
en cm2 es equivalente a:
___ 324,0 cm2 ___. 32 400 cm2 ___C. 324 000 cm2 ____32,40 cm2
8. El promedio de los 15 alumnos del grupo A en la comprobación de Matemática fue de 92 puntos y en el grupo B que tiene la misma cantidad de alumnos que el grupo A el promedio fue de 86 puntos. El promedio entre esos dos grupos fue de:
___ 87 ___ 90 ___89 ___ 92
9. Se dispone de un saco de frijoles cuyo peso es de 55 kg. Entonces el peso en g es:
___5,5 g ___55 000g ___5 500 g ___550 000g
10. Si A = (28⋅29):219, entonces A es igual a:
___–4 ___¼ ___– ¼ ___ 4
11. Si M =23
2424
21
73 ⋅ , el valor numérico de M es:
___21
10___21 ___2147 ___2125
12. El producto de 34⋅10048, se expresa en notación científica como:
___34⋅1096 ___3,4⋅.10481 ___3,4⋅1051 ___3,4⋅1097
13. Si un médico de la familia recibe en su consultorio el resultado de un análisis de sangre de una de sus pacientes, con la presentación siguiente:
Eritrocitos: 4 500 000 000 000 por Litros.
Leucocitos: 11 000 000 000 por Litros.
Nota: Para representar estos resultados es usual emplear la notación científica.
a) Represente estos resultados en la forma usual.
b) Investigue si los resultados son normales.
14. Calcular:
a), 2,48 + 1,12:0,4 – (3,2)2 b). [(½ - 0,2):3 + (0,3)2 – 2-2]·102
c). (0,4 + 3
1):(2,2 -
3
2) +
23
12 - 20050 d). 0,0075·[(0,1)-1]2
27
e).
+
⋅−−
−+−
5
734,17
10162
4
322
26,676,8
)2
1
3
16(65
f). 3
2:
3
2
2
1
− - 0,75 + 2-1
g). (-½)2 + 05,0
12,0
8
13
⋅ + 0,0055·102 h). 3
1
2
12
)2(5,01443 22
−
−+⋅+− :
26
3
i). ( )1)2(
5
2
3
11010
000002,0)19(:8,32,5
2
23
+−
−−
⋅+−+ −−
15. Calcula el valor de K en cada caso:
a). K =
⋅
+− −14537
36
102
)0002,0(36,1 :3,5 b). K =
−
−⋅ 02
12
15
385
3:5,310
)3,0(
)3,0(
c). K = 29,12:
⋅⋅ −
35
1836
75
921d). K =
+
⋅⋅ −
3
12
2163
6186521998
441999
:4,25
16 Hallar el valor numérico en cada caso:
a). M = 3
2 x para
18,9
)( 15
1717
=−⋅⋅
yyx
yx, y = 4,5 b). N =
2320
55 1,0)(
xxx
x −⋅
para x = 0,5
c). R = - 2928
30
:
)(−
⋅+ba
ba
b
a para a = ¼ y b = -0,4
d). P = a ( )abba 22 − + (b – a)(b + a2b) para a = ½ y b = -2
e). S = 22
33223
6
1262
nm
nmnmnm +− para m = 3 y n = -1,5
17. Halla el valor de a en cada uno de los siguientes casos:
a). 100151
198300
47
52100
725
735
50
4,15,2
⋅⋅=⋅ −−
a
aab).
5,1
8
4
)2( 39
201
80120
=−
⋅a
aa
18 Para la estimación del peso de un niño entre 3 y 12 meses se utiliza la fórmula siguiente: Peso (kg) = [Edad (meses) + 11] : 2,2. ¿Cuántas libras debe pesar un niño de 4 meses?
19. Existen diferentes fórmulas para el cálculo de la talla de un niño conocida su edad, entre las que se encuentra la fórmula de Weech utilizada para niños entre 2 y 14 años:
Estatura (cm) = [(2,5 · edad en años) + 30] · 2,54
a) ¿Qué estatura aproximada debe tener un niño de 10 años?
b) Un niño de 9 años mide 1,35 m. Compruebe si su estatura está acorde a su edad.
28
20. En una Secundaria Básica el 40% de los alumnos de un grupo de 15 alumnos practican ajedrez. ¿Cuántos alumnos de ese grupo no practican ajedrez?
___4 ___9 ___6 ___12
22. Se quiere cercar un terreno rectangular que mide 40 m de largo y 100 d m de ancho. ¿Cuántos metros de cerca hay que utilizar?
___50 m ___200 m ___100 m ___400 m2
23. A una persona le disminuyen sucesivamente el salario en un 10%, 5% y 15%. ¿Cuál es el porcentaje de disminución del salario original?
___27,3% ___14,4% ___15% ___40%
24. A una persona le aumentan sucesivamente el salario en un 20%, 25% y 55%. ¿Cuál es el porcentaje de aumento del salario original?
___33,3... ___27 ___132,5 ___135
25. Una caja de cartón en forma de cubo tiene una arista de 10 cm. Si se aumenta la longitud de cada arista en un 10%, ¿en cuánto aumenta su volumen?
___10 cm3 ___21 cm3 ___100 cm3 ___331 cm3
26 El 30% de las vacas de una vaquería fueron inseminadas el lunes. El martes se inseminaron 28, y aún quedó la mitad por inseminar. ¿Cuántas vacas se inseminaron el lunes?
27 El perímetro de un terreno rectangular es de 52,2 m y uno de sus lados excede al otro en 11,96 m. Halla las longitudes de los lados del terreno.
28 El promedio de las edades de 4 hombres es 48. Si ninguno de ellos tiene menos de 45 años. ¿Cuál es la máxima edad que puede tener uno cualquiera de ellos?
29 El radio de la base de un cilindro circular recto se aumenta en un 25%, mientras la altura se disminuye en un 20%. Determine en qué tanto por ciento varía el volumen del cilindro.
30 De una muestra de 121 pacientes asmáticos, se sabe que hay grupos de fumadores, no fumadores y ex fumadores.
a) Si el 78 % corresponde a no fumadores.¿Cuántos pacientes son no fumadores?
b) Qué porciento del total de pacientes representan los 21 fumadores?
c) ¿Cuántos pacientes son ex -fumadores?
31. Dos pueblos A y B distan entre si 360 km. De A sale un automóvil hacia B a 65 km/h, en el mismo instante en que otro automóvil sale de B hacia A a 55 km/h. ¿Qué tiempo tardarán en encontrarse y a qué distancia de B se encontraran?
32 Alberto compra un producto y se lo vende a María con una ganancia del 10%. Pasado un tiempo María se lo vende nuevamente a Alberto perdiendo ella un 10%. ¿Qué porciento de ganancia tuvo Alberto en la venta?
29
33. El radio de las ruedas motrices de una locomotora mide 0,43 metros. ¿Cuántas revoluciones habrán dado para recorrer una distancia de 547 kilómetros?
33. Un cerdo para engordar, de 35 kilogramos en adelante, consume 40 kilogramos de maíz por cada 10 kilogramos que aumenta su peso. Al subir el precio del maíz en el mercado mundial de 2,5 dólares a 9 dólares los 100 kg, ¿en cuánto aumentará el precio de la ceba de los animales hasta 100 kg?
34. Una habitación de 6 metros de largo por 6 de ancho y 2 de alto, contiene una cantidad de aire que pesa 350 kilogramos en números redondos. ¿Qué peso de aire contendrá, en condiciones similares, un recinto de 24 metros de largo, 18 de ancho y 2,3 de alto?
35 Un obrero puede ejecutar en una jornada 7
3 de una tarea dada y otro
realiza solamente 9
2 de la misma. ¿Qué tiempo demorarán en hacer la tarea
entre los dos juntos?
36. Un pintor se demora en pintar una casa 4 días, y otro lo hace en 5 días. El dueño de la casa necesita tenerla pintada en 2 días, ¿podrán cumplir con esa necesidad entre los dos pintores o necesitará otro?
37. Los accidentes del tránsito son una de las causas principales de muerte en nuestro país. El año pasado perdieron la vida por esta causa 8223 personas del total de 19354 personas lesionadas. ¿Qué tanto por ciento murieron por accidentes de tránsito?
39. Según las estadísticas de una cierta universidad, de 1000 estudiantes, 105 pretenden estudiar medicina; de ellos, 23 no se gradúan. ¿Qué tanto por ciento de estudiantes aspiran a ser médicos, y que por ciento de esos lo logran?
40. Un comerciante vendió dos artículos a $7.75 cada uno,, en uno de ellos perdió el 25% de lo que le había costado, y en el otro el 25%. En definitiva, ¿salió ganando o perdiendo en el negocio y en cuánto?
41. Se tienen tres llaves, la primera llena ¼ del tanque en un minuto, la
segunda 8
1 del tanque en un minuto y la tercera
9
1 del tanque en un
minuto.
a) ¿Qué parte del tanque llenan las tres llaves juntas en un minuto?
b). Si la capacidad del tanque es de 864 litros y las tres llaves están abiertas durante dos minutos. ¿Cuántos cm3 le faltan por llenar al tanque?
42 Una granja agropecuaria tiene 40 hectáreas laborables, de ellas el 20% están cultivadas, la mitad de las restantes se dedica a pastos y el 25% de las restantes están dedicadas a un organopónico. ¿Cuántas hectáreas están sin cultivar?
43 En un control de matemática, realizado a un grupo de alumnos, todos los examinados aprobaron y sus resultados se comportaron de la siguiente forma, el 10 % obtuvo 8 puntos, el 40% obtuvo 9 puntos, el 20% obtuvo 7 y los 27 restantes obtuvieron 10 puntos.
30
a). ¿Cuántos alumnos se examinaron?
b). Representa en un gráfico los resultados.
44. Un alumno llevó al campismo 2 litros de pasta de mango concentrada con solo un 10% de agua. ¿Cuántos litros de agua deberá agregarle para que la mezcla tenga un 50% de agua?
45. En un almacén había guardado cierto número de sacos de arroz, el que se distribuyó de la siguiente forma, la tercera parte se envió a las provincias damnificadas por un ciclón, el 25% de los que quedaban se vendió a la
población y las 3
2 partes de los restantes paso a la reserva del estado y
aun quedan 100 sacos en el almacén. ¿Cuántos sacos había inicialmente en el almacén?
46. A una fiesta se invitó a cierto número de personas, entre adultos, niños y
jóvenes, los niños que participaron representan 6
1 de los invitados, los
adultos representan el 20% de los invitados, los jóvenes representan el doble de los niños participantes. Si no asistieron a la fiesta 18 jóvenes y todos los niños y adultos invitados a la misma fueron. ¿Cuántas personas fueron invitadas a la fiesta?
47. Un tanque tiene una capacidad de 800 l de agua, una de sus llaves vierte
10 minl y estuvo abierta durante una hora, la otra llave vierte 20 min
l y
estuvo abierta 5 min. ¿Cuantos litros de agua quedan en el depósito?
48. Un alpinista como parte de su entrenamiento tiene que escalar a la cima de
una montaña de 1500 m de altura. En la subida recorre 9
5 de la distancia
en 25 minutos y para bajar necesita seis minutos más que el 20 % de lo que demoró en subir. ¿Qué tiempo demoró en subir y bajar la montaña si no se detuvo?.
49. En una pecera del Acuario Nacional de Cuba hay 144 peces de cuatro
especies diferentes. La tercera parte son Golfish y las 4
3 del resto son
Colisables. Si se conoce que los Polinesios son el triplo de los Escalares. ¿Qué cantidad de peces de cada especie hay en esa pecera?
51. En una fiesta hay solo hombres y mujeres, ¼ de las mujeres fueron con sus esposos y las demás fueron solas. Si en la fiesta hay 10 matrimonios. ¿Cuántas personas hay en total?
52. El clobetasol es un medicamento que se encuentra entre los medicamentos dermatológicos. Cada 100 g de crema contiene 0, 05 g de propionato de clobetasol y se debe usar en tratamientos cortos para dermatosis inflamatorias, tales como la eczema.
a) Si se tiene en un recipiente 355 g de crema. ¿Qué cantidad de gramos de propionato de clobetasol existe en el recipiente?
31
b) Si para un adulto puede usarse 50 g a la semana y el tratamiento dura 14 días. ¿Qué cantidad de tubos necesita usar si cada tubo contiene 25 gramos?
c) ¿Qué cantidad de propionato de clobetasol contiene un tubo?
53. De los 40 profesores que tiene un departamento de Matemática, el 20% de ellos sus edades se encuentran entre los 50 y los 55 años, el 50% de los otros, sus edades oscilan entre 35 y 45 años y. El 25% del resto son los más jóvenes.
a)¿Cuántos trabajadores no están considerados en ninguno de los rangos?
b)¿Qué por ciento representan los más jóvenes de la cantidad inicial?
54. En el año 2006, una brigada cafetalera recogió cierta cantidad de latas de café en tres días. El primer día recogió el 25% del total, el segundo día
3
2 del resto, quedando para el tercer día 80 latas de café por recoger.
a)¿Cuántas latas recogió los dos primeros días?
b). Si con la cantidad recogida en esos tres días cumplieron la norma de la semana; qué cantidad de latas deberán recoger el resto de la semana para sobrecumplir en un 20%.
55. En los Juegos Olímpicos de Sydney 2000 en el medallero, Australia, Cuba y España ocuparon el 4to, 9no y 25to lugar por países respectivamente. Las
medallas que alcanzó Cuba son la 32
1 partes de las 928 medallas que se
otorgaron en dichos Juegos y representan el 50% de las que obtuvo Australia. Si entre los tres países alcanzaron 98 medallas y el número de medallas de oro de Cuba es igual al número de medallas de plata que alcanzó e igual al número de preseas que ganó España. ¿Cuántas medallas de oro, plata y bronce obtuvo Cuba?
56. El costo del consumo eléctrico de una casa en un mes se desglosa de la siguiente manera:
30% por la cocina y el calentador eléctrico,
5
3 por los aires acondicionados,
$84.00 al año por la luz y demás equipos.
a) ¿Cuál es el consumo eléctrico del mes si el consumo eléctrico es constante?
b). Si en un mes se ahorra el 40%, ¿a cuánto asciende el costo del mes?
57. Un jardín de forma rectangular tiene un perímetro de 48 metros, que representan un 20% más que el perímetro de la base de un edificio de forma rectangular que tiene 12 metros de largo. Determina el ancho que tiene la base del edificio.
58. La capacidad máxima de un camión de carga es de 4,5 toneladas, pero por desperfectos mecánicos la misma disminuyó en un 40%. ¿Qué cantidad
32
de viajes deberá realizar como mínimo el camión para transportar 16,2 toneladas de mercancías desde un almacén a una tienda?
59
60. Según el pronóstico de crecimiento de la población mundial, para finales del 2005 dicha población creció a 6 500 millones de personas, de las cuales
5 266 millones vive en países subdesarrollados.
a) ¿Qué por ciento representan las personas que viven en países subdesarrollados con respecto al total de las personas que vivieron en nuestro planeta al concluir el año 2005?
b) Hoy existen en el mundo 852 millones de personas que viven en la extrema pobreza. ¿Qué por ciento representan estas personas con respecto al total de habitantes que hubo en el planeta al finalizar el año 2005?
33
1.4 Operaciones irracionales con números reales: radicación y logaritmación.
1.4.1. Radicación
Conoces el cálculo con potencias de exponente entero y sus propiedades. También estudiaste que la radicación es una operación inversa de la potenciación.
En la práctica existen problemas que para resolverlos debes ampliar tus conocimientos sobre las potencias, por ejemplo:
Ejemplo 1
En un tipo de levadura, el factor de crecimiento cada 20 minutos es 3. En el momento de iniciar el control hay 30 células de levadura. Si la ecuación que describe el crecimiento de la
levadura es 303y 20
t
⋅= ¿Qué
número de células existirán a los 30 minutos de comenzada la medición?
Resolución:
¿Cómo resolver el problema?
Con los conocimientos que posees hasta el momento, no puedes darle
solución, ya que al sustituir t = 30, en el factor 20
t
3 resulta 2
3
20
30
33 = que es
una potencia de exponente racional, y su resultado es un número irracional.
Veamos a qué es igual 2
3
3
Se debe tener en cuenta que una potencia de exponente racional es una raíz, es decir,
n mn
m
a a = (m; n ∈ Ζ ; n > 1)
luego, 32
3
33 = = 27 ≈ 5,2.
Como al iniciar el control hay 30 células de levadura, resulta que el número de
células a los 30 minutos se obtiene mediante la expresión 303y 20
t
⋅= 30+ (I)
sustituyendo en (I) obtenemos y = •2
3
3 30 + 30 ≈ 5,2. 30 + 30 =186
Respuesta: Existirán aproximadamente 186 células a los 30 minutos ♦
• ¡Elabora una tabla con los datos del ejemplo para las dos primeras horas de control !
34
crecimiento de la levadura
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 20 40 60 80 100
120
tiempo minutos
nú
mer
o d
e cé
lula
s
En el ejemplo anterior calculamos 27 , luego, en general ¿A qué llamamos raíz n – ésima de “a ”?
Se llama raíz n – ésima de a, a todo número real x que satisface la ecuación
xn = a o (a∈R y n ∈ℵ, n >1). Si la ecuación no tiene solución, a no tiene raíz
n – ésima.
xan = donde : n (índice), a: radicando, x : raíz
Los números reales negativos no tienen raíz n- ésima cuando n es par.
Si n es impar, todo número real a tiene raíz n- ésima del mismo signo que a.
Observa que si n a x= , entonces por definición xn = a . Elevando ambos
miembros a la potencia 1
n, resulta que
1nx a= , por tanto
1n na a= . En general:
mn mn
mn mn
a a a R,a 0,m,n Z,n 1
0 0 0 m,n Z,m 0,n 1
= ∈ > ∈ >
= = ∈ > >
Nota que esta definición no niega la anterior de potencia. Es importante que analices por qué se hacen restricciones al dominio de definición del radicando
y del índice de la raíz. Para cualquier número real a0 para el cual n0a tenga
sentido resulta: nn0 0 a a= .
En virtud de que ( ) nn aa 22 =± , al extraer una raíz de índice par se obtienen dos soluciones. Es por ello que se establece el convenio siguiente: Cuando se calcule la raíz de índice par de un número positivo, se tomará la raíz positiva o aritmética. En general: kkn
n
aa =22
.
En particular para m = n = 2 se tiene que:
aa =2 porque:
aa =2 si a ≥ 0,
aa −=2
si a < 0
Ejemplo 2
Escribe las potencias como raíces:
a). 3
2
7 b). 4
1
81− c).
21
9
2
Resolución:
35
a). 3
2
7 = 33 2 497 = b) 4
1
81− = 4 81
1=
3
1
c). 2
1
9
2
=
9
2=
9
2=
3
2 ♦
Ejemplo 3
Escribe las siguientes raíces como potencia:
a). 5 b). 3 25 c). 364−
Resolución:
a). 5 = 21
5 b). 3 25 = 3
2
5 c). 364− = 2
3
64 − ♦
Ejemplo 4
Calcula aplicando propiedades de las potencias y escribe el resultado como raíces:
a) 2
1
2
1
25 • b) 3
1
3
1
4:20 c) ( ) 7
2232
d) ( ) 2
1
2
1
1
− e). 60,5·360,25 f) 3
22,04
38,04
1
3.3333 −− ⋅⋅⋅
Resolución:
a) 2
1
2
1
25 • )( 101025 2
1
2
1
==•= b) 3
1
3
1
4:20 )( 33
1
3
1
554:20 ==
c) ( ) 7
2232 = [ ] [ ] [ ] 7 20
7
207
2107
225 222)2( ===
d) ( ) 2
1
2
1
1
− = ( ) 4
4
1
11 −=− No tiene solución en ℜ, ya que el índice es par y el
radicando negativo.
e) 60,5·360,25 = 60,5·(62)0,25 = 60,5·60,50 = 666.6 2 ==
f) 3
22,04
38,04
1
3.3333 −− ⋅⋅⋅ = 33 23
2
933 == ♦
.
Ejemplo 5 (Agricultura).- Un ejemplo de la utilización de estas propiedades en la vida práctica se muestra en el siguiente problema:
36
En la figura se muestra un vertedor de agua que se utiliza con fines agrícolas
FIGURA
La ecuación Q = 1,83( l -0,2h ) h 32
permite calcular el caudal de agua Q (3m
s)
de un canal cuyo vertedor tiene un ancho l (dm) y una altura de agua h (dm).
¿Cuál es el caudal de agua de un canal cuyo vertedor tiene 5,0 dm de ancho, si la altura del agua es de 8,0 dm?
Resolución:
Q = 1,83( l -0,2h ) h 3
2sustituyendo los valores
Q= 1,83( 5 – 0,2. 8) 8 32
Q=1,83 ( 5-1,6). 3 28
= 1,83(3,4). ( )3 232
= 1,83.(3,4) 2 2 =1,83.3,4.4 ≈ 24,9 3dm
s= 0,0249
3m
s
Respuesta: El caudal de agua es aproximadamente de 0,0249 3m
s.♦
Escribe utilizando la terminología matemática las propiedades de los radicales.
Para todos los números reales a y b (a >0, b>0) y todos los números enteros
m y n (n >1 , m >1) se cumple que:
1. n n na. b a.b= : La raíz n- ésima de un producto a. b es igual al producto de las raíces n – ésimas de los factores.
2. n n na : b a : b=:_____________________________________________________________________________________________________________________
3. ( ) mn mn a a= ___________________________________________________
____________________________________________________________________
4. m nn m nma a a= = _______________________________________________
_____________________________________________________________________________
37
CanalVertedor
5. kn nkm ma a= ____________________________________________________
_________________________________________________________________________________
Simplificación de radicales
¿Cuándo se pude decir que un radical está simplificado?
Un radical está simplificado cuando:
(1). Su índice no tiene factores comunes con el exponente del radicando.
(2). Se han extraído del radical todos los factores que tienen raíces exactas.
(3). Su radicando no es fraccionario.
Ejemplo 6
Simplifica: a) 9 67 b) 20 32 c) 258. d) 5 73
Resolución:
a) 9 67 Como el máximo común divisor de 6 y 9 es 3, se divide ambos por 3,
es decir, 9 67 = 33 2 497 =
b) 20 32 Descomponiendo en factores primos el 32, resulta 20 32 = 20 52 y como el máximo común divisor de 5 y 20 es 5, dividimos el índice y el exponente por 5, obteniéndose 20 52 = 4 2
Los incisos a) y b) corresponden al caso (1), observa que es importante para simplificar tener el radicando expresado en forma de potencia.
c) 258. Descomponiendo en factores primos el 8, resulta 258. = 2352
¿Qué factores se pueden extraer?¿Por qué?
Se pueden extraer del coeficiente 8 y de la variable, porque sus exponentes son iguales o mayores al índice, luego 258. = 2352 = 252 22 . = 10 2
d) 5 73 = =5 25 5 33 . 3 5 23
Los incisos c) y d) corresponden al caso (2) ♦
El caso (3) lo estudiaremos después de las operaciones con radicales.
Ejemplo 7
Compara los siguientes radicales:
4 3 ; 6 5 y 3 2
Fundamenta.
Resolución:
a) Para compararlos debemos transformar todas las raíces a un índice común, Sería sugerente buscar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices, en este caso m.c.m (4; 3; 6) = 12. En cada caso se divide el m.c.m. por el índice de cada radical para obtener el factor por el cual hay que multiplicar tanto el índice como el exponente de la potencia que figura en el radicando. Luego:
38
4 3 = 1212 3 273 = ; 1212 26 2555 == ; 1212 43 1622 ==
¿Cuál de las raíces es la mayor? Evidentemente es 12 27
¿Cuál es la menor? 12 16
Fundamentación: Al tener igual índice comparamos los radicandos, es decir
27 >25>16, luego 12 27 >12 25 > 12 16 ♦
Ejemplo 8
Compara los siguientes radicales:
b)36
2
1
y
3
4
1
Fundamenta.
Resolución:
Si observamos las raíces con detenimiento nos percatamos que los radicandos
son iguales:3326
4
1
2
1
2
1
=
=
.
. Pudiéramos pensar que entonces la raíz de
índice 3 es menor que la de índice 2, pero no es cierto. Para verificarlo, transformemos las raíces para que tengan un índice común. Se obtendría:
36
2
1
=
4
1
2
1
2
12
612
=
=
y
8
1
2
1
2
1
4
1
4
13
618
693
=
=
=
=
.
Es decir, 3
4
1
<3
6
2
1
.
Si q
p
n
m < , entonces q
p
n
m
aa < para a>0 y q
p
n
m
aa > para 0<a<1.
1.4.2. Operaciones con radicales.
Con los radicales podemos realizar las mismas operaciones que efectuamos con los números reales.
Ejemplo 1.- Efectúa:
a) 6 23825322 ++−+
b) 802108275320300 ++−+
Resolución:
a) ¿Qué semejanzas y diferencias existen entre los términos de la suma?
Debemos observar que todos los términos de la suma son raíces de índice 2, pero tienen diferentes radicandos.
¿Cómo deben ser los radicales para realizar la adición?
Tienen que tener igual índice e igual radicando a los que se denominan radicales semejantes.
Son radicales semejantes 6 2, 5 2, 2− y 2 3,8 3 .
39
Podemos adicionarlos como sigue:
( ) ( )383222526 +++− = 2 3102 + .
b) Si observamos cada uno de los radicales, tienen igual índice, pero los radicandos todos son diferentes y no están simplificados. Pasemos a simplificar aquellos radicales donde esto sea posible, para ver si hay radicales semejantes entre ellos y se pueden reducir.
Descomponiendo en factores primos cada uno de los radicandos resulta:
5.22.3.223.535.23.10 432222 ++−+
=10 54.233.2.235.3523 ++−+
= 10 58312315523 ++−+
= 51037 + ♦
Observemos que para realizar una adición (sustracción) de radicales una condición necesaria es que: los índices y los radicandos sean iguales, es decir, que los radicales sean radicales semejantes.
¿Cómo se realiza la multiplicación o división de radicales?
Analicemos el siguiente ejemplo
Ejemplo 2
Calcula:
a) 5.3 b) 2 33 64.9 c) x243 2 ⋅ (x≥0) d) 4
4
8
32 e)
3 2
4 5
x
x(x>0)
Resolución:
a) 5.3 = 2
1
2
1
53 ⋅ es un producto de potencias de igual exponente, por lo
tanto, multiplicamos las bases y mantenemos el mismo exponente.
15152
1
=
¿Cómo proceder de manera directa aplicando propiedades de los radicales?
5.3 = 155.3 =
Como los radicales tienen el mismo índice, se multiplican los radicandos manteniendo el mismo índice. El resultado es un radical simplificado.
b) ¿Qué característica tienen los factores?¿Cómo proceder?
Los radicales tienen igual índice, por lo que se debe aplicar la misma propiedad que en el ejercicio anterior.
2 33 64.9 = 2.4 33 548 69 =⋅
En el resultado no se ha obtenido un radical simplificado, entonces al simplificar se obtiene 333 33 224 238 238 548 =⋅=⋅=
40
c) ¿Qué diferencia hay entre este ejemplo y los anteriores?
La diferencia es que los índices de los radicales son distintos, entonces, ¿cómo proceder para realizar el cálculo?
Debemos transformarlos a un índice común. Como el mínimo común múltiplo de los índices es 6, tenemos que ampliar el índice de ambos radicales a 6:
x243 2 ⋅ = 6 36 4 )2(4 x⋅ .
Aplicando el mismo procedimiento que en los incisos a) y b), resulta:6 356 3116 336 86 336 42 22 2 22 2)2( xxxx ==⋅=⋅ = 6 3x322
El resultado es un radical simplificado.
d) ¿Qué características tienen el dividendo y el divisor?¿Cómo proceder?
En este caso se trata de la división de dos radicales con el mismo índice.
4
4
8
32 = 22)2(48:32 2
1
4
124
1
4
1
4
1
====
Aplicando la propiedad se dividen los radicandos manteniendo el mismo
índice, 4
4
8
32 = 44 4
8
32 = , como el resultado no es un radical simplificado
procedemos en consecuencia de la siguiente forma: 2 2 4 4 24 == y con esto se culmina el cálculo.
e) ¿Qué características tienen ahora el dividendo y el divisor?
Se trata de radicales cuyos índices son diferentes, luego, es necesario transformarlos para llevarlos a un índice común. Como el mínimo común múltiplo de 4 y 3 es 12 , aplicando propiedades se obtiene:
3 2
4 5
x
x =
12 8
12 15
x
x = =12
8
15
x
x 12 7x
Como es un radical simplificado se concluye el cálculo pedido.♦
Seguramente observaste que al calcular con radicales resulta ventajoso aplicar las propiedades y que la respuesta siempre debe ser un radical simplificado.
Ejemplo 3.
Calcula aplicando propiedades : a) 3 b) 5 35 b b
Resolución:
a) ¿Qué propiedades de las potencias se pueden aplicar para realizar el cálculo pedido? Veamos:
3 = 44
12
1
2
1
33)3( ==
.
De manera análoga se puede proceder utilizando propiedades de los radicales:
3 = 4 3 , es decir, se multiplican los índices de los radicales y se mantiene el radical.
41
b) Este ejercicio se puede hacer por dos vías distintas. La más racional consiste en tratar de introducir la variable b en la raíz interna, quedando
5 5 35 bb ⋅ = 25 85 5 8 bb = . ♦
Para realizar las operaciones con radicales debes tener en cuenta que:
• En la adición los radicales tienen que ser semejantes. Para ello es necesario en ocasiones extraer o introducir factores en el radicando y simplificar o ampliar el índice del radical a los efectos de obtener radicales semejantes.
• En la multiplicación y la división, si los índices son iguales, se aplican las
propiedades n n na. b a.b= y n n na : b a : b= ; si los índices no son iguales, se transforman a uno común aplicando la propiedad
kn kmn m aa = .
• En la extracción de una raíz de una raíz encuentra aplicación
fundamentalmente la propiedad m nn m nma a a= =
Racionalización de denominadores.
¿Qué significa racionalizar un denominador?
Racionalizar un denominador significa eliminar los radicales del denominador. En esta parte solamente vamos a trabajar con denominadores que sean monomios o binomios, en lo que aparecen radicales.
Ejemplo 1.
Racionaliza los denominadores siguientes:
a) 3
2 b)
103
7 c) 3 2
5 d)
a2
1(a>0)
Resolución:
a) En el denominador de la fracción aparece 3 , una raíz con índice dos, luego para eliminarla es necesario multiplicar numerador y denominador por 3 , de esta forma se igualan el índice y el exponente al que está
elevado el número 3. Se procede entonces de la siguiente forma: =•3
3
3
2
3
32
3
32
33
3.22
==
42
b)103
7 en este caso se procede de forma similar
2
7 10 70 70
303 10. 10 3 10= = observa que se amplia la fracción solo por la raíz.
c) 3 2
5 El índice de la raíz que aparece en el denominador es tres, luego para
eliminar la raíz del denominador se multiplica el numerador y el denominador
por 3 22 , quedando 2
45
2
45
22
25 3
3 3
3
3 23
3 2
==•
d) Una vía: 4a
a22
a2
a24
a2
a2
a2
4
a2
1 ==•=
Otra vía sería : 4a
a
aa
a
aaaaa
22
.
.222288
2
16
2
1 ====== ♦
En el ejemplo anterior los denominadores contienen un solo radical, se trata de denominadores monomios que se racionalizan muy fácilmente. Veamos cómo simplificar cuando el denominador es un binomio y aparece al menos una raíz en el mismo.
Para racionalizarlos se hace uso del concepto siguiente:
La expresiones ba + y ba − con a>0, b > 0 se llaman conjugadas.
Ejemplo 2
Racionaliza:
a) 23
1
− b)
35
2
+ c)
1
6
+a, 1−>a
Resolución:
¿Qué diferencia existe en relación con el ejemplo anterior?¿ De qué forma debemos proceder si el denominador es un binomio?¿Por qué es posible proceder así?
La diferencia es que en el denominador aparecen binomios con al menos una raíz.
Si un denominador binomio se multiplica por su conjugada, se eliminan los radicales, dado que ( ba + )( ba − ) = 22 ba − = a – b ( con a >0, b > 0)
a)23
1
− hay que ampliar la fracción multiplicando por la conjugada del
denominador :
231
23
43
23
)2()3(
23
)23).(23(
)23.(122
−−=−
+=−+=
−+=
+−+
b) 35
2
+ en este caso se procede de forma similar al ejercicio anterior:
43
( )( )
( ) ( ) 2
6
2
10
2
610
35
610
35
352
35)35(
)35(222
−=−=−−=
−
−=−+
−
c)1
6
+a para racionalizar este cociente es necesario ampliar la fracción
multiplicando por 1+a , debe observarse bien la diferencia, estamos en presencia de la raíz de una suma y no de una suma de raíces, luego
( )( )( )
( )( )
( )1
16
1
16
11
162 +
+=+
+=++
+a
a
a
a
aa
a ♦
Ejemplo 3:
Efectúa:
1227432
1 3 +++
Ten en cuenta para la respuesta que 3 ≈ 1,73
Resolución:
1227432
1 3 +++
6 32 34 3 2 3
4 3
−= + +−
2 3 4 3 2 3 2 5 3= − + + = +
2 5(1,73) 10,65 10,7≈ + = ≈
Es importante que tengas en cuenta que:
Para racionalizar un denominador que sea un binomio puede ocurrir que:
I. Aparezca un término que sea un radical y uno que no lo sea.
II. Aparezcan dos términos que sean radicales.
En estos casos se multiplica y divide la fracción por un binomio que es el conjugado del denominador de la fracción dada, al realizar la multiplicación en el denominador aparecerá una diferencia de cuadrados por lo que se elimina el radical del denominador, y se resuelve hasta dejar simplificada totalmente la fracción.
¿Por qué término habrá que multiplicar el numerador y el denominador de la
fracción a
An (a>0) para poder racionalizar su denominador?¿Por qué
44
expresión habrá que multiplicar a ba
A33 −
para este mismo fin? ¿Y
ba
Ann ±
?
1.4.3 Logaritmación.
Conocemos que la radicación es una operación inversa de la potenciación, pero
¿es la única operación inversa de la potenciación? Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1
Halla el valor de x en: a) 53 = x b) x3 = 64 c) 2x = 32
Resolución:
a) x = 125 ; porque 53 = 5⋅5.5 = 125 , (conocida la base y el exponente hallamos la potencia ).
b) x = 4 ; porque 4.4.4 = 64 , es decir, 43 = 64 (conocido el exponente y la potencia hallamos la base , luego, mediante la operación de radicación resulta que 4643 =
c) x = 5 ; porque 2. 2. 2. 2. 2. = 32, entonces 25 = 32 (conocida la base y la potencia hallamos el exponente ) ♦
Es sugerente preguntarse ¿La potenciación o la radicación nos permiten calcular el exponente de una potencia, conocida la base? No, es necesario por tanto definir una nueva operación, la logaritmación, que es también una operación inversa de la potenciación.
Esta operación encuentra múltiples aplicaciones, por ejemplo, para medir el llamado pH, indicador del nivel de acidez de una disolución, que es igual al valor opuesto del logaritmo de la concentración de los iones hidronio en la disolución. También se usa para medir la diferencia de la intensidad de dos sonidos: Si IA e IB son las intensidades de dos sonidos A y B expresadas en
watts/cm2, la expresión B
A
I
Ilog10 mide en la unidad llamada decibel (db) la
diferencia de intensidad en los sonidos A y B. Estos y otros ejemplos atestiguan la importancia de poder realizar esta operación.
Definición:
Dada una base a > 0, a ≠1 y un número b > 0, se llama logaritmo de b en base a y se denota loga b al número c al cual hay que elevar la base para obtener el número: ac = b.
Simbólicamente la definición anterior se escribe: loga b = c si y solo si ac = b
Si sustituimos c = loga b en ac = b por tanto resulta que:
a loga b = b ( Identidad fundamental logarítmica )
45
Podemos concluir que: La radicación y la logaritmación son operaciones inversas de la potenciación, lo cual se resume en el siguiente esquema.
Ejemplo 1
Escribe en notación logarítmica las siguientes expresiones exponenciales:
a) 25 = 32 b) 10–2 = 0,01 c) 33
1
55 = d) 33,4 = 41,90
Resolución:
a) log2 32 = 5 b) log10
0,01 = – 2 c) log5 =3 5
3
1 d) log3
41,90 = 3,4 ♦
Nota: En el caso de la base 10 (decimal) puede no escribirse, es decir, en el inciso b) resultaría log 0,01 = – 2.
Ejemplo 2
Expresa en forma exponencial los siguientes logaritmos:
a) log2 16 = 4 b) log 5 125 = 3 c) log 0,5 8 = – 3 d) log 3 3 = 2
e) log77 = 1 f) log11 1= 0
Resolución:
a) 24 = 16 b) 53 = 125 c) (0,5)–3 = 8 d) 332 =
e) 71 = 7 f) 110 = 1 ♦
En general : log a a = 1 (para a > 0, a ≠1) log a 1 = 0 (para a > 0)
Ejemplo 3
Calcula aplicando la definición de logaritmo:
a) 128log2 b) 3log3 c) 100log
d) 001,0log e) 1log4 f)4
1log2
g) 2,0log5 h) log3 ( – 3) i) log–2 1
46
Resolución:
a) 128log2 = 7; 27 = 128 b) 3log3 =1; 31 = 3 c) 100log = 2; 102=100
d) 001,0log = −3; 10 –3 = 0,001 e) 1log4 = 0; 40 = 1
f) 4
1log2 = – 2; 2– 2 =
4
1 g) 2,0log5 = – 1; 5 –1 = 0,2
h) No existe, porque – 3 < 0 (el argumento tiene que ser positivo)
i) No existe, porque – 2 < 0 (la base tiene que ser positiva y desigual de 1) ♦
Ejemplo 4
Para medir el nivel de acidez de una disolución se usa como medida el llamado
( )3pH logc H O+= − . El pH compatible con la vida se encuentra entre 6,8 y
7,8. Si la disolución tiene un pH menor que 7, ¿se podrá clasificar como ácida o base?
Halle el pH de una disolución en la cual la concentración de los iones hidronio
es c(H30+)= 10– 3 mol · L– 1
Resolución:
( ) ( )33pH logc H O log10 3 3+ −= − = − = − − = . La disolución es ácida,
pues el pH es menor que 7. ♦
Aclaración: Cuando el pH es menor que 7 la disolución es ácida, si es mayor que 7 es básica y si es igual a 7 se considera neutra. Esta es una de las aplicaciones de los logaritmos.
Cuando el logaritmo es de base 10 se le denomina logaritmo común o vulgar y se omite la indicación de la base escribiendo simplemente blog en vez de
b10log .
Cuando la base del logaritmo es el número irracional e se le denomina logaritmo natural o neperiano en honor a John Napier, matemático escocés quien publicó en 1614 las primeras tablas para su cálculo. Se escribe ln b en lugar de loge b.
Exceptuando los números que son potencias de exponente entero de la base, en los demás casos es difícil la determinación directa del logaritmo de un número dado. Por este motivo se emplean tablas con las cuales se pueden efectuar cálculos de logaritmos al menos de forma aproximada o se recurre al uso de la calculadora.
1.4.4 El trabajo con la calculadora
47
La mayoría de nosotros utilizamos calculadoras, por ejemplo, al hacer uso de las incorporadas a las computadoras. A ellas accedemos cuando dentro del menú de la barra de Inicio pinchamos Programas, después Accesorios y por último Calculadora. Ellas tienen una historia muy antigua que se remonta aproximadamente al milenio III a.n.e. con el ábaco, la cual te sugerimos que investigues en Microsoft Encarta.
Sin embargo, a veces no sabemos aprovechar todas las posibilidades que ellas nos brindan o trabajamos solo con la calculadora estándar en que se opera solo con números en notación decimal. Si en el menú de la calculadora pinchamos la opción Ver apreciaremos que tenemos acceso también a una calculadora científica. Esta permite no solo el cálculo de las operaciones básicas, sino también de potencias, de valores de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, entre otras facilidades. Algunas calculadoras científicas pueden programarse, realizar representaciones gráficas de funciones y hacer cálculos simbólicos. Con ellas se puede trabajar sobre la
base de distintos sistemas de numeración: hexadecimal, decimal, octal, binario, entre otros.
Un sistema de numeración de base m (m ≥ 2) permite representar todo número natural N ≥ 1 como
N = anmn + an–1mn–1 + … + a0m0.
El exponente n y los coeficientes ai (i=0,…n) están determinados de forma única por N y m, de modo que n ≥ 0, an ≠ 0 y 0 ≤ ai ≤ m –1(i=0,…n). Esta representación del número N se denomina m- ádica y se acostumbra a escribir también (an an–1… a0)m. En el sistema decimal omitimos los paréntesis y toda referencia a la base 10. Así el número 524=5. 102 + 2.10 + 1 se escribe simplemente 524 y no (524)10.
48
Ejemplo 1:
El sistema de numeración binario es de base 2 y permite representar todo número entero no negativo como:
N = an2n + an–12n–1 + … + a020,
donde los coeficientes solo pueden tomar los valores 1 ó 0. Así el número 10 se representa como (1010)2, pues
10 = 1.23 + 0.22 + 1.21 + 0.20
Las operaciones aritméticas con números en base 2 son muy sencillas. Las reglas básicas son: 1 + 1 = 10 y 1 × 1 = 1. El cero cumple las mismas propiedades que en el sistema decimal: 1 × 0 = 0 y 1 + 0 = 1. La adición, sustracción y multiplicación se realizan de manera similar a las del sistema decimal:
El sistema de numeración octal es de base 8. ¿Cómo representarías el número 10 en este sistema de numeración?
En el sistema hexadecimal, de base 16, los coeficientes a i (i =0,…15) son tales que 0 ≤ ai ≤ 15. Dado que solo contamos con los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 se acostumbra utilizar las letras A, B, C, D, E, F para el caso en que ai es igual a 10, 11, 12, 13, 14 ó 15 respectivamente. De modo que el número 10 se representa como (A)16. Esto lo puedes comprobar escribiendo en la calculadora el número 10 en el sistema decimal y después haciendo clic donde dice Hex para indicar hexadecimal.
En los sistemas numéricos binario, octal y hexadecimal,, la calculadora presenta únicamente los dígitos inferiores de una respuesta cuando los resultados contienen más dígitos de los que permite el tamaño de presentación. Este comportamiento es similar a cómo se realizan los cálculos en los sistemas informáticos. Por eso cuando se trabaja en estos sistemas hay que tener en cuenta el tamaño de presentación, que puede ser de tipo Byte, Word, Dword y Qword que representan en 8, 16, 32 y 64 bits el número mostrado.
En el menú de Ayuda de la calculadora de la computadora se ofrece la siguiente explicación:
Para convertir un valor a otro sistema numérico:
1. En el menú Ver, haga clic en Científica.
2. Escriba el número que desea convertir. 3. Haga clic en el sistema numérico al que desea convertirlo. 4. Haga clic en el tamaño de presentación que desee utilizar.
También en el menú de Ayuda de la calculadora de la computadora puedes encontrar la siguiente información para trabajar con números almacenados en memoria:
• Para almacenar el número mostrado, haga clic en MS.
49
• Para recuperar un número almacenado, haga clic en MR. • Para borrar la memoria, haga clic en MC. • Para sumar el número mostrado al número ya almacenado en memoria,
haga clic en M+. Para ver el nuevo número, haga clic en MR.
Cada vez que se ordene almacenar un número este remplazará al que se encuentre en la memoria.
Ejemplo 2:
Calcular 1.1622 +15.162.
Podemos proceder pinchando las teclas siguientes:
En la pantalla aparecerá el número 309 485 009 821 345 068 724 784 896 (separado por comas), el cual podrás copiar y pegar en tu hoja de trabajo yendo a la opción Edición de la computadora. Su representación en notación hexadecimal es (1000000000000000000F00)16. En la computadora aparece 00 en el tamaño de presentación de tipo Byte y F00 en los restantes.
Es conveniente tener en cuenta lo que se expresa en el recuadro siguiente:
• Cuando convierta un número decimal con posiciones decimales a otro sistema numérico, se eliminará la parte decimal del número, convirtiéndolo en un número entero.
50
16 x^y 1522 MS * 16 x^y 2 = M+ MR=
• Los números convertidos a decimales a partir de notación hexadecimal, octal o binaria se muestran como enteros positivos.
Haciendo clic en el botón derecho del mouse podemos averiguar el cálculo que se puede efectuar con cada tecla.
Ejemplo 3:
Calcular 2,6 + 3. ln 24,5
Resolución:
Comenzamos marcando Dec (decimal) y pinchamos las teclas en el orden siguiente:
Nótese que hemos escogido una vía racional que respeta el orden operacional. De otra forma hubiéramos tenido que utilizar la tecla para almacenar.
En el ejemplo siguiente, apreciaremos cómo se utiliza la tecla Inv. para el cálculo de la raíz cuadrada. Se calcula primero la razón trigonométrica seno para un argumento en notación decimal y después para un argumento en notación sexagesimal y por último se adicionan.
Ejemplo 4:
Calcular π+5sen +sen 5300
Resolución:
Observe que debajo de la columna de la memoria aparece una tecla que tiene escrito pi. Comenzamos entonces marcando Dec (decimal) y Radián y pinchamos las teclas en el orden siguiente:
Cambiamos entonces a Sexagesimal y continuamos
Una expresión decimal, aún siendo finita, no puede ser representada por regla general como una expresión binaria finita, sino por una infinita. Lo mismo ocurre con los restantes sistemas de numeración.
En las calculadoras de las computadoras que utilizamos hoy en día las operaciones tienen una precisión de 32 dígitos como mínimo.1 La calculadora
1 Véase en la Ayuda de la calculadora de cualquier ordenador lo que aparece en relación con “descripción de la precisión extendida”.
51
530 sin M+ MR
x^2 sin MS = Inv5+pi
==
3 Ln *24,5 += 2,6 =
almacena los números racionales como fracciones para mantener esta precisión. Sin embargo, los errores se acumulan durante las operaciones repetidas sobre números irracionales. Por ejemplo, la calculadora truncará pi en 32 dígitos, de forma que las sucesivas operaciones efectuadas sobre pi perderán precisión a medida que aumente el número de operaciones. Para superar esta limitación se pueden representar los números en notación exponencial.
Veamos cómo se pueden realizar cálculos estadísticos.
Para realizar un cálculo estadístico:
1. En el menú Ver, haga clic en Científica.
2. Escriba el primer grupo de datos y haga clic en Sta para abrir el Cuadro de estadísticas.
3. Haga clic en RET para volver a la Calculadora y en Dat para guardar el valor.
4. Escriba el resto de los datos y haga clic en Dat después de escribir cada dato.
5. Haga clic en Ave (promedio de los valores guardados en el Cuadro de Estadísticas), en Sum (Suma de los valores) o en s (desviación estándar).
Ejemplo 5:
Determinar la media aritmética de los valores siguientes:
45, 47, 51, 44, 47, 46, 47, 47, 48, 44, 46, 48, 51, 49, 49
Después de teclear cada dato se pincha la tecla Dat. Haciendo clic en Ave obtenemos la media aritmética.
Si queremos que aparezca el cuadro de estadísticas hacemos clic en Sta. Para eliminar un valor de la lista se puede hacer clic en CD o bien se pueden eliminar todos los valores haciendo clic en CAD. Al hacer clic en Cargar, el número mostrado en la pantalla de la Calculadora cambia por el número seleccionado en el Cuadro de estadísticas.
Ejercicios (epígrafe 1.4)
1. Determina la veracidad o falsedad de las proposiciones siguientes:
a) La operación de radicación se puede realizar de manera ilimitada en R.
b) La operación de extracción de raíces de índice par de números positivos está determinada unívocamente.
52
c) La operación de extracción de raíces de índice impar de números negativos está determinada unívocamente.
d) La operación de elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación es una transformación equivalente.
2. De las siguientes igualdades diga cuáles son verdaderas y cuáles falsas.
A.____ 333 3.26 = B.____ 53 aa = C.____ 555 347 +=
D.____ 44 3 4025 = E.____ 7
47 4 33 =
3. Indica cuál de las afirmaciones siguientes es falsa. Escribe la igualdad para obtener una proposición verdadera.
____ 2318 = ____ ababa =2 ____ 33 2216 −=− ___2
33
2
27 =
4. Al ordenar de forma creciente los siguientes radicales 6 8 ; 3 23 ; 4 32 , se obtiene la siguiente lista:
A.____ 6 8 ; 3 23 ; 4 32 B.____ 3 9 ; 4 32 ; 6 64
C.____ 6 8 ; 4 32 ; 3 9 D.____ 3 9 ; 4 8 ; 6 32
5. Compara:
a). 45 5 10 y b). 36 5y 16
6. Simplifica los siguientes radicales.
a) 162 b) 3 40 c) 5 972 d) 6 448
e) 4 729 f) 10 32 g) 6 625 h) 12 256
7. Compara los siguientes radicales.
a) 2 y 3 b) 4
2
1 y 4
5
1 c) 34 y 35
d) 5 y 3 2 e) 5 7 y 4 1,2 f) 3
1 y 5
2
1
g) 3 y 3 2 h) 5 , 3 2 y 6 32
8. Simplifica los siguientes radicales.
a) 4 144 b) 15 532a c) 12 24729x
d) 3
3
2 e) ( )
baba
−− 2
( con a > b)
53
9. El resultado de efectuar 5620 − es:
.____ 52− ____ 5610 − ____ 54 ____ 54−
10. Al calcular: .a + a9 ; a ≥ 0 el resultado que se obtiene es:
____ .3 ____ 440 .3a ____3 .3a ____4 .a
11. Efectúa:
a) 33 4554. b) 55 816.
c) 777 32228 .. d) 12 39 8 55
e) 3 39 : 75 f) 5 60 : 6 5
g) 4 6 :3 18 h) 4 72 : 8 32
i) 7 225 : 5 5 j) 3 2 : 23
k) 4 3 : 3 4
12. Expresa simbólicamente qué propiedades de las potencias y/o las raíces se aplicaron en cada unos de los pasos de la resolución de los ejercicios siguientes:
a) 410 3 100+
= 10 3 10 4 10+ = ______________________________________________
b)1
41
3 22
− −
43 2 2= − __________________________________________________
42 2= ________________________________________________________
c)15
15
15
6523
3
3
33
=,______________________________________________
1= _________________________________________________
d)
4 45 5
42
0,3 0,3
0,3 0,3= ______________________________________________
4
30,3= ______________________________________________________
13. Efectúa las siguientes operaciones:
a) 23252 −+ b) 444 3234318 ⋅+⋅+⋅−
c) 33 47 ⋅ d) 555 3282 ⋅⋅
e) 33 7:14 f) 55 16:2
54
14. Calcula:
a) ( ) 2323 + b) 333 623:18 ⋅+
c) 444 23:27 ⋅ d) 354153 ⋅−
15. Calcular:
a). 3 104 122 6 ⋅⋅ b). (8 + 4 2 )(2 - 2 )
c). (3 + 4 3 )(4 - 3 3 ) d). 21620012 33 ⋅⋅
e) . ( )12 20 + : ( )3 5 +
16. Calcula:
a). 8:364 b). ( ) 923 1251250 ⋅ c). 33 224 ⋅
d). 2 6 35 xx + e). 4 4518 + f). 1033 32241881 +−−
17. Calcula y simplifica:
a). 2
1
2:72 b). 1125443605 4 ++− c). 3 202 ⋅
d). ( ) 62
3 16:18 e). 44 1250183 +⋅ f). ( )
64
1
164 623 ⋅
g). ( ) 3
13 6255 ⋅ h). 2:2562 i). ( ) 4
34
27
26 ⋅
j). ( )( )25521 −− k). ( )( )3434 +−
18. Calcular:
a). 18 + 50 - 128 b). 2 27 - 3 48 + 75
c). 54 + 2 150 - 3 96 d). 96 - 54 24 +
e). yybya 222 50c - 8 8 + f). 272 - 753 12 +
g). 333 54 - 686 128 + h). 5 50 - 183 72 +
19. Calcula, considerando como dominio de definición de las variables los números reales positivos.
a) 12a 75a - 192 +a b) 333 80a - 20a5 45 +a
c) 43
115 -
3
117 3 + d) 222 z
a -
y
a +
x
a
e) ( ) ( ) zzx 22 y -x y ++ f) 450 392 - 288 +
g) 333 1082 - 5003 256 + h) 4 33 4 403 - 625
20. Calcula:
55
a). 2 3627 ⋅ ⋅ 3 618 ⋅ b). 15 65
148 ⋅
c). 28123 ⋅⋅ d). 4 6472 ⋅
e). (7 52 - 7 )(2 57 7 + ). f). ( )( )5 3253 - 34 +
g). ( )( )3 - 515 8 + h). (x + x 3 + 1)(x 3 + 1)
21. Simplifica la expresión 4
444
14
3
65104105
⋅−⋅−⋅ .
22. Calcula:
a). 3 503238218 −++ b). 108375248327212 ++−−
c) 312751,027
6
527
13 +−− d) ( ) 375327212 ⋅+−
e) ( ) 52:12534520 +− f) ( ) 3 2:18284 −
g) ( )4 073107250 +−+ h) 25,1243 44 ⋅+
i) 4 7683
27 ⋅ j) 3333
1
32417157
1625
10
1108 −++
23. Simplifica:
a). 5
2 b).
56
1 c). 3 4
6 d).
7
1
e). 6
2 f). 5 225
2 g). 3 9
27 h).
4 36
3
i). 4 32
5
cba (a, b, c > 0) j). 4 108
1
a (a > 0) k). yx
yx
++
(x + y )>0)
l). 21
2
+ m). 212
4
+ n). 32
4
−
24. El valor de a + b⋅c para a = 7,6 3 , b = - 3, c = 3
2,1 es:
A.____ 38,8 B.____ 34,6 C.____ 2,332,7 − D. ____ 34
25. El valor de a – b⋅c para a = 25,3 b = 6 c = 2
3 es:
A.____ – 12,5 B.____ – 25,5 C.____ 925,3 − D.____25,14
56
26. Al racionalizar y simplificar 4a6
24 para a>0
A.____ a B.____ a
a4 C.____
a
a2 D.____ 4
27. El resultado de calcular 508422
2 3 +++
es aproximadamente:
A.____ 13,1 B.____ 13,3 C.____ 15,5 D.____ 13
28Calcula:
a). 400006
3 ⋅ b). 5
62520 + c). 3:
31
6
+−
d). 3 202 ⋅ e). ( )2250 −
30. Calcula:
a). 5
12 - 20 5 + b).
5
6
4
3
8
5 ⋅⋅ c). 33 33
2
5
2 ⋅⋅
d). 33
4
3
2
1
3
2 ⋅⋅ e). 343
10
3
9
25
2
7 ⋅⋅
29. Exprese en notación logarítmica;
a) 33 = 27 b) 26 = 64 c) 2-2= 0,25 d) 60= 1 e) 7 7 2
1
=
f) 51= 5 g) 10-2= 0,01 h) 10 1,88997= 77,62 i) 100,84135= 6,94
30. Exprese en notación exponencial:
31. Calcular:
a) log2 16 b) log3 1
27 c) log3 (-1) d)
log 132
log 2 9 log 1+ −
e) log10 100 − log10 0001
1 f) log15 1 + log2
8
1 − log5 125
g) log2 8 + 5
1log5
5
1
32. Calcula aplicando la definición de logaritmo:
a) log381 b) log1111 c) log20,5 d) log2512 e) log 0,1 f) log91
g) log3243 h) log7343 i) 16log2 j) log927 k) 5,1log33 l) 7log24
110log)a = 664log)b 2 = 4256log)c 4 =
01log)d2
1 = 5100000log)e = 5,02log)f 4 =
0y 1,b 0,b
>≠>=mylog)g b 69897,05log)h = 500001,0log)i −=
57
33. Halle el valor de la variable en:
34. Calcula con auxilio de la calculadora:
a) 5364 3 ,),(ln +
b) log34,2+ 502log
c) 327250 ln,ln + l
d)000240
1
5693
1
,loglog
−−
e)070
40
0270
5
,ln
,ln
,ln−
a) 13x = 169b) 2x =
4
1
c) 103 x = 1 000
d) 32 x = 27e) 25x =
125
1
f) 9x = 243
g) 8 2 x = 128 h) 2 x · 4 = 32 i) 3 2 x + 1 = 1
j) 7 x + 9 − 49 x = 0 k) 33,03,0 −=y l)3x+2.33=243.
m) 27
13 =y
n) 10 2 x = 0,1o) 4 x
1− =
2
1
58
35. Dado el pH de una disolución, encuentre la concentración de sus iones
Hidronio , sabiendo que: c (H30+) = 10− pH
Calcula la concentración de iones Hidronio que contiene una disolución cuyo pH es 6.
36. En acústica se estudia que la percepción del sonido por el oído humano es proporcional al logaritmo de su intensidad. Si IA e IB son las intensidades de dos sonidos A y B expresadas en watts/cm2, la
expresión: B
A
I
Ilog10 mide, en la unidad llamada decibel (db), la
diferencia de intensidad en los sonidos A y B. Si la razón 2
1
I
I de las
intensidades empleadas en el habla es de 251, ¿cuál es la variación de intensidad de la palabra hablada? log 251 = 2,4.
Nota: Se considera que un sordo necesita para escuchar algún mensaje 100 db. Una conversación normal se puede medir aproximadamente con una intensidad de 50 db, el murmullo en 20 db y la música rock en 120 db.
1.6 Ejercicios del Capítulo
1. Marca con una cruz la proposición verdadera:___Las expresiones decimales periódicas son números irracionales.___La operación de extracción de raíces de índice par de números positivos está determinada unívocamente.___La operación de sustracción se puede realizar de manera ilimitada en el conjunto Z de los números enteros.___El conjunto R de los números reales está formado por los números fraccionarios y sus opuestos.
2. Completa:
2.1 Si se toma1
3, después
2
5 y luego,
2
15 de la unidad . La parte que
queda es –––––
2.2 La octava parte de 210 es: ––––––––––––
2.3 El valor de la expresión A = 3,75 – 0,5 : 1,25 + 11 es –––––
2.4 Si 55 metros de un tipo de sutura utilizada en heridas superficiales cuesta $4,40, ¿cuánto cuestan 75 metros?––––––––––
2.5 Un pomo de vegetales en conserva pesa 250 gramos, ¿cuántos kilogramos
pesan cinco cajas, si en cada caja caben 100 pomos como estos? ––––––––––
3. Seleccione la respuesta correcta subrayando la misma.
El promedio de M y N donde M = 64 – 18: 4
36 y N =
12
33
4
5 + es:
__ 66 ___ 33 ____ 4 ó ___ ninguna de los anteriores
59
4. Completa la siguiente tabla:
A B C A .•
C
C : B B – C : A C – 3A : 2B
7 − 5 −3
−
5
2
0,6 −3,5
−8
5 −
0,15
−4
0,3 2,34 −4
1
5. Completa el cuadro siguiente realizando las operaciones indicadas.
2
1 · – 4
− · :
0,910
24
+ – 10
60
6. Sustituye y calcule: 3 |a|+ 5 |b| − |c|; para a = − 2; b = −1; c = − 8
7. El valor numérico de la expresión n – p :q para n = – 0,02, p = 4
1 y q =
– 2 es:0,52 – 0,12 0,46 0,48
8. El valor numérico de la expresión a – b : c para a = 1, b = 3,2 y c = 2
1
es:– 4, 4 5,6 – 5,4 0,6
9. Determine el conjunto numérico más restringido al cual pertenecen los números obtenidos al calcular los valores de a y b si:
a = − 4,72 – 6,8 × 7,1 + 4,8 : 0,2 y b = 35
1 –
3
4: 6
3
4 –
5
3 + 0,7
Fundamenta tu respuesta.
10. El valor numérico de la expresión q
pnm •− para m = – 2, n = –
4
1,
p = 16 y q = 3 es:
___3
28___
3
2___–
3
28___– 2
11. . El valor numérico de la expresión d
cba
•− para a = – 1, b = 2
1, c = 8
y d = – 2 es:
___ − 3 ___ − 6 ___ 1 ___ − 1
12. Representa gráficamente los conjuntos siguientes y escríbalos en notación de intervalo:
a) A ={x∈ R :–5 <x<7}
b) B ={x∈ R : x ≤2 }
c) C ={x∈ R : –4
1<x ≤3,5}
d) D ={x∈ R : x >2}
e) E= {x∈ R : x ≤1}
13. Realiza las siguientes operaciones entre los conjuntos que se indican:
a) [2;7] (3;5) b) [–2;–0,5] \ [0;+∞]
c) [4;+∞]\ (1;4) d) (2; 3,5) [–1;6] e) [–2;3] [0;4,6)
14. Verifica si las siguientes igualdades son verdaderas:
61
a) (–5)2 : (–5)5 = − 15 b) (0,75)2 = 16
9 c) (−4)2 + (−4)3 = (−4)5
d) 5
1
5
1.
5
143
=
−
e) 64
1
4
13
=
− f) 9
27
35
=−
g) 4
2
9
9−
−
= 81 h) 44
2
3
1
3
3−− +−
= 810 i) ( )222
2710
121316
9.920:20
−−+
≈ -4,
85
15. Selecciona en cada caso la respuesta correcta:
a) Al simplificar la fracción 23
3
254
310
⋅⋅
se obtiene la fracción irreducible:
46
33
52
352
⋅⋅⋅
40
352
35 ⋅
No se puede simplificar porque los
factores que intervienen son distintos.
b) El resultado de calcular 2
56
10
101010 ⋅− es igual a:
210− 010100
10
c) Al simplificar la fracción 3
323 828 −⋅ se obtiene:
83 ( )727 323 −⋅3
22
0
16. Halle el valor de x para que se cumpla:
a) 162 =x b) 49
12 =x
c) 27
13 −=x d) 34 =x
e) 2568 =x f) 14412 =x
17. El diámetro de la Luna es aproximadamente m1034,0 7⋅ , y el de la Tierra es m107,12 6⋅ . Escriba los datos en notación científica. ¿Cuántas veces mayor es el diámetro de la Tierra que el de la Luna?
18. Si calculamos el valor numérico de:
62
a) 6262 52
4,1:987A −− ⋅
= y lo expresamos en notación científica, obtenemos:
7,5 · 1060 7,05 · 1060 7,5 · 1062 7,05 · 1064
b) 1543 1010
5,2:760−− ⋅
=M y lo expresamos en notación científica, obtenemos:
34. 1060 3,04. 1058 3,04. 1060 3,4 . 10–58
19. ¿Cuántos dígitos tiene el número N si N = 212 · 58 ?
20. Racionaliza las expresiones siguientes:
a). 6
3 b). 3 4
2 c).
3 2
5 - 4
+ d).
2 2
3
+ e). 3 5
14
+
f). 2 3
2 - 3
+
21. Simplifica los radicales siguientes:
a). 3 128 + - 14583 6
3
54
2 3 ⋅b). 108 123
2 - 3
5 ++
c). 10 - 4
6 -
40 7
9
+ d). 2 3
211 12
++
e). 5 2
510 23
++
f). 12
48 - 42 - 12
22. Simplifica la expresión A = 5108
36122
⋅++− aa .
23. Calcula 34
3819
++
.
24. Simplifica: 15054223
3 −++
25. Racionaliza los siguientes radicales.
a) 3
2 b) 3 2
5 c) 5 3
3
d) 12
3
+ e) 23
4
−−
f) 23
2
−
26. Racionaliza :
a). 4
8
1253
25 b). n n 122
2− c).
12
1
−
27. Prueba que:
63
a) 333 66
56
3
1
4
3 =+ b) 2
1
328
625=
++
c) ( ) ( ) 022555549 4434 2=−−−−
28. Efectúa considerando el dominio de definición de las variables el conjunto de los números reales positivos.
a) aab 1535 ⋅ b) ( )252 ba − c) ( )( )5353 +− mm
d). 4 52
nm
nm + e). 10 3
13
3
3
202
5x
x ⋅+
29. Hallar el valor de x en cada caso:
a). 3x = 3 b).22
12 =x
c). ( ) 28
25 x=
d). x73218 333 =⋅
30. Halla el valor numérico de A si:
a) A = log749 – ( 10log55 - 250,5) b) A = 98 8log -
41
log
1
2 + log5
3 125
c) A = 2 log0,5 2 · 5log28 d) A = log3 81 3 + log3
3
31. Determina el valor de x y expresa el resultado como un radical en:
a) x · 3
1
t = 5
2
t b) 240,5 : x = 120,5 c) x : 23,5 = 53,5 d) 110,4 · x0,4 = 1210,4
32. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x3 − 8 = 0
b) x2 − 625 = 0
c) x3 − 512 = 0
d) 2x = 128
e) 8x = 512
f)49
17 =x
g) 4 000110 =x
h) 822 =x
i) 2,012
16
14 =+x
j) 92 10log9 =x
k) 3
9991
0003
819
3 =x
x
64
33. Si 3log9=A y 81log3
=B Prueba que: 2
3
4
12 −=− BA
34. Calcula:
a)729log
256log:
3
2
81
16
9
4−
b)0012
00010002
715
253
49
1log
5
1 ⋅⋅−
c)0052
00620062
23
10
2516log8
⋅−+−
d)256
1log
2255
10125343581792
358
+⋅⋅
⋅−
e) 3200010001
00020002
16log949
73 −⋅
⋅
f) 14
1416
5 002,0
8,010625log −⋅
g)5016
3515
32 52
51093log84log
⋅⋅−−
h)0052
00720062
53
721
25
1log:0001,0log
−⋅+−
35. En el año 2005 el número de personas infectadas por el VIH asciende a 3, 94. 106, nivel record en la historia. En el año 2004 fueron infectados 4,9. 105 personas de acuerdo con los datos de la OMS. En ese año la enfermedad del SIDA causó la muerte a 3,1 · 105 personas.
a) Determine la razón entre los infectados por el virus en los años 2005 y 2004.
b) ¿Qué significado tiene esta razón?
c) Si al finalizar el 2005 la población fue de alrededor de 6, 5 · 10 9 personas y suponiendo que no aumentan las personas con el SIDA; ¿cada cuántas personas aproximadamente existirá una con SIDA mundialmente?
36. Para el tratamiento de la urticaria se usan los antialérgicos y entre estos medicamentos se encuentra la ciproheptadina clorhidrato en tabletas, donde cada tableta tiene una masa de 4 mg.a) ¿Qué cantidad de tabletas diarias debe tomar un niño con esta afección
si se le debe suministrar 4
1 mg por kg de peso al día, conociendo que el
niño pesa 24 kg?
b) Si la urticaria le duró tres días y 12 h. ¿Cuántas tabletas se empleron para su tratamiento?
65
37. Un deportista debe mantener su peso en 58 kg con vista a una importante competencia. Para ello debe correr 10 pistas diarias durante 20 días con el fin de eliminar el equivalente a 3 500 mL de líquido. Consideremos que el peso especifico del líquido es igual al del agua, o sea, 1kg/dm3 y que la pista es de 400 m.a) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido al cabo de los 20 días?
b) ¿Cuál era el peso en kilogramos del atleta antes de comenzar el entrenamiento?
38. Un tanque lleno de agua posee dos desagües, uno grande y otro pequeño. Si se abre el grande, el tanque se vacía en una hora; si se abre el pequeño, en tres horas. Bajo la condición de que a intervalos iguales de tiempo fluyen hacia afuera masas iguales de agua, ¿en qué tiempo se vacía el tanque si se abren los dos desagües simultáneamente?
39. Algunos científicos del siglo XX aseguraron que el agua dulce será el recurso natural más disputado del planeta. El agua contaminada y su insuficiente saneamiento cobra cada año 12 millones de vidas. Conociendo que la población mundial es de aproximadamente 6055 millones de habitantes.
a) Calcule el por ciento de personas que muere por insuficiente saneamiento del agua.
b) Diga algunos procedimientos para hacer el agua apta para el consumo humano.
40. La superficie terrestre está distribuida del modo siguiente:
Regiones km2 (miles)
África 30 000
América 42 000
Antártica 13 000
Asia 44 000
Australia y Oceanía 9 000
Europa 10 000
Determina qué porcentaje representa cada región de la superficie terrestre.
41. . El insomnio es el trastorno del sueño más frecuente, reportándose tasas que oscilan entre el 23 % y el 51 % de la población en diferentes países. Este trastorno, constituye un problema serio de salud para el 17 % de los que lo padecen.
a) ¿Cuántos cubanos podrían estar afectados por el insomnio?
b) ¿Para cuántos cubanos podría ser este trastorno un problema serio de salud?
El número de habitantes de Cuba es de 11 250 979 (según el anuario estadístico del 2004)
66
42. La masa total de un recipiente lleno de agua (masa del recipiente y del agua) es de 2000 g. Si se vierte el 20 % del agua, la masa total disminuye a un 88%. ¿Cuál es la masa del recipiente vacío?38.Una disolución al 15 % contiene 45 g de soluto.
a) ¿Cuántos gramos de disolución se tienen?b) Si se añaden a la disolución 0,055 kg de solvente, ¿cuál será ahora el tanto por ciento de soluto en la disolución?c) Si a partir de la disolución inicial se quiere obtener una disolución al 20 %, ¿cuántos gramos de soluto se deben añadir a la disolución?
43. En el diagrama a continuación se describe cómo se distribuyeron las horas totales de emisión por televisión en el año 2002, atendiendo a las siguientes categorías: Programas nacionales (sin incluir Universidad para Todos y Tele - clases), Programas extranjeros, Universidad para Todos y Tele - clases.
Marque con una cruz la proposición verdadera:1)____En el año 2002 hubo un total de 23 881 horas de emisiones televisivas.2)____Los programas nacionales representaron aproximadamente un 76 % del total de horas de emisiones televisivas.3)____Diariamente se emitieron como promedio más de 80 horas por televisión.4)____Las horas de Universidad para Todos y de Tele – clases representaron ese año menos del 10 % del total de emisiones televisivas.
44. En el siguiente gráfico de pastel se ha descrito el comportamiento de la flora amenazada en nuestro país por categorías, según el Anuario Estadístico de Cuba del año 2004, página 47:
67
Marque con una cruz la proposición falsa:
____El 26% aproximadamente de la flora amenazada se considera en peligro.
____Aproximadamente una de cada cuatro especies amenazadas se considera vulnerable.
____El número de especies amenazadas sobrepasa las once centenas.
____ La cantidad de especies extintas y en peligro representa más de un tercio del total de especies amenazadas.
45. En el año 2004 en Cuba ocurrieron 127 077 nacimientos y hubo una tasa de mortalidad infantil de 5,8 por cada 1 000 niños nacidos vivos, ¿cuántos niños sobrevivieron a su nacimiento?
46. La gráfica muestra el comportamiento de determinados grupos de riesgo entre los que se encuentra la obesidad, el tabaquismo, el alcoholismo y las ETS, en un universo poblacional de 62 700 personas.
a) ¿Qué tanto por ciento representa la población sin riesgo?
b) Representa los datos en una tabla que contenga la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa porcentual.
c) ¿Qué cantidad de personas se encuentran expuestas a riesgo de hipertensión por exceso de peso corporal?
d) ¿Cuántos de cada 100 personas del universo poblacional tiene una ETS?
e) ¿Cuál es la tasa de alcohólicos por cada 1 000 personas del universo poblacional?
68
Flora amenazada (Número de especies amenazadas por categoría)
Raras, 154
Otras, 400 En peligro, 306
Vulnerables, 289
Extintas, 25
47. En la siguiente tabla se refleja la distribución de la fuerza laboral femenina por categoría ocupacional en el 2002 según el anuario estadístico de ese propio año:
Categoría Miles de trabajadoresObreros 362,9Ténicos 577,2Administrativos 125,2De Servicios 349,2Dirigentes 101,3Total 1 515,8
¿Qué conclusiones se pueden extraer de esta tabla?
48. Una finca dedicada a la siembra de cítricos tiene una extensión de 853 hectáreas. Por cada m² se cosechan como promedio 205 toronjas para la exportación y se desechan 9 de cada ciento. ¿Cuántas unidades se comercializan?
49. Un auto parte de la ciudad A a las 8:00 A.M. y llega a la ciudad B a las 11:A.M. A las 12:00 M. parte de regreso a la cuidad A y se encuentra a la 1:00 P.M. con otro auto, que partió a las 11:30 A.M de la ciudad A. La velocidad promedio del segundo auto es de 64 km/h. Supongamos que ambos autos han mantenido una velocidad constante.a) Determina la distancia entre el punto de encuentro y la ciudad A.
b) Averigua la distancia entre las ciudades A y B.
c) ¿Cuál es la velocidad promedio del primer auto?
d) ¿cuál es la hora de llegada del segundo auto a la ciudad B?
50. Tres bombas de agua A, B, C trabajan con potencias diferentes. Si las tres trabajan simultáneamente llenan un depósito de agua en una hora. Una mañana se ponen las tres bombas en marcha a las 8:00 A. M.; a las 8:30 A. M. era desconectada la bomba A, de modo que las bombas B y C demoran hasta las 9:20 A. M. en llenar juntas el depósito. Al día siguiente el depósito debe ser llenado solo con la bomba A. ¿Cuánto durará el llenado?
51. Se dispone de 200g de una disolución salina compuesta de 150 g de agua y 50 g de sal, así como de una balanza y de suficiente cantidad de agua y sal. Es posible modificar la disolución solo de las dos maneras siguientes:
• Pesando previamente una cantidad de agua o de sal que después se añade a la disolución o,
• Extrayendo una cantidad determinada de disolución que se puede pesar con la balanza.
¿Cómo es posible obtener, a partir de la disolución original, 200 g de una disolución salina que contenga exactamente 40 g (60 g) de sal?
69