Capítulo 10 Capítulo 10 Test de Test de

HipótesisHipótesis

Capítulo 10 Capítulo 10 Test de Test de

HipótesisHipótesis

Contraste de HipótesisContraste de HipótesisContraste de HipótesisContraste de HipótesisContrastar una Hipótesis Estadísticamente es juzgar si Contrastar una Hipótesis Estadísticamente es juzgar si cierta propiedad supuesta para una población es cierta propiedad supuesta para una población es compatible con lo observado en una muestra de ella.compatible con lo observado en una muestra de ella.

Tipos de Hipótesis:Tipos de Hipótesis: Hipótesis AlternativasHipótesis Alternativas Hipótesis AnidadasHipótesis Anidadas

Alternativas: Hipótesis A Alternativas: Hipótesis A v/s Hipótesis B, donde A y v/s Hipótesis B, donde A y B no pueden cumplirse B no pueden cumplirse simultáneamente. simultáneamente.

Anidadas: Hipótesis A y B, Anidadas: Hipótesis A y B, donde A es un caso especial donde A es un caso especial de B.de B.

Contraste de HipótesisContraste de Hipótesis•Hipótesis Simple: El parámetro tiene un único valor.•Hipótesis Compuesta: El parámetro tiene varios valores.

Hipótesis Nula: (H0) es la hipótesis que se contrasta. Esta hipótesis se mantendrá a no ser que los datos indiquen lo contrario. Esta hipótesis nunca se considera probada aunque puede ser rechazada por los datos.

Hipótesis Alternativa: (H1) es la hipótesis contrapuesta a H0.

Elementos de una Prueba de HipótesisElementos de una Prueba de Hipótesis

1.- Hipótesis Nula (H0), Hipótesis Alternativa.2.- Estadística de Prueba (Discrepancia).3.- Región de Rechazo (Región Crítica).4.- Regla de Decisión.

DefinicionesDefinicionesPrueba (Contraste) de Hipótesis Estadística: es una regla (Procedimiento) para decidir si rechazamos una hipótesis H0.

Estadística de Prueba: Es una función de la muestra. Interesa que contenga el máximo de información sobre H0. Es en base a la información contenida en esta función que decidiremos respecto de la aceptación o rechazo de H0.

Región Crítica: Define los valores del estadístico de Prueba para los cuales se contradice H0.

DefinicionesDefiniciones

Regla de Decisión: Procedimiento que acepta o rechaza H0, dependiendo del valor del estadístico de Prueba.

Nivel de Significación: Este valor determina un valor crítico c : P ( d > c / H0 ) = . El procedimiento de selección de “c” a partir de tiene varias críticas:

i. El resultado del Test depende mucho de .

ii. Dar sólo el resultado del Test no permite diferenciar el grado de evidencia que la muestra indica a favor o en contra de H0.

DefinicionesDefiniciones

Nivel crítico p: Se define el nivel crítico p del contrate como la probabilidad de obtener una discrepancia mayor o igual que la observada en la muestra bajo H0.

donde:

: valor observado p : depende de la muestra

0Hddp /ˆPr

d̂

Consideremos H0: 0 v/s H1: 1 Sea : Estado de Naturaleza = 0 1

: Espacio de Información = C CC Regla de Decisión: x C H0 es F

x CC H0 es V

Error tipo I: Rechazar H0 (cuando es verdadero)Error tipo II: Aceptar H0 (cuando es falso)P(Error tipo I) = P ( C ) = , 0

P(Error tipo II) = P (CC) = , 1

Fijada la región crítica C podemos definir:C: 0,1 C() = P (C) Función Potencia

En la práctica interesa que , sean pequeños.

Un método para construir un Test apropiado es:

1.- Fijar C : P ( C ) dado Sea = {C : P ( C ) }

2.- Elegir C : P ( CC ) = sea mínimo para C .

Toda región C región crítica : P ( C ) si y P ( C ) máxima 1, se dice Región Crítica Óptima.

Test de Comparación de MediasTest de Comparación de Medias

Supuesto: Independencia

1XE 211 ,NX

222 ,NY "YE

21XVar

22YVar

~~

Caso Normal: Estadística de Prueba

2

22

1

21

21

nn

YXZ

21

21

11nn

S

YXt

P

i conocidosi desconocidos

pero iguales

donde

• Para el caso de i desconocidos y distintos no hay solución exacta.

Región crítica C se modifica

2

11

21

222

211

nnSnSn

SP

2

22

1

21

021

nS

nS

YXt

nn

21

2211

wwtwtw

t'

1

21

1 nS

w 2

22

2 nS

w

)( 11211 ntt )( 12212 ntt

EjemploEjemplo

Una v.a. X tiene una ley de Probabilidades dada por:

X 1 2 3 4 5 6Bajo H0 p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6Bajo H1 p 2/15 1/6 1/5 1/5 1/6 2/15

Regla: Se decide rechazar H0 si X = 3 ó 4

Determinar: = Error tipo I ; = Error tipo II y la Potencia del Test

SoluciónSolución

= PHo ( C )= PHo ( 3 , 4 ) = 2/6 = 1/3

= PH1 ( CC )= PH1 ( 1 , 2 , 5 , 6 ) = 1 - 2/5 = 3/5

C () = P (C) = 1 - = 2/5

ResumenResumen

Hipótesis Estadística de Prueba

10 sv /

00 sv /0

nX

z

0

nS

Xt

0

( conocido)

( desconocido)

idem

21

220

2 sv /2

12

21

2 2

12

1

22

22 1

n

Sn

idem

Hipótesis Estadística de Prueba

2121 sv /2

22

1 con

2

21

21

2121

21

nn

P

t

nnnn

S

XX

22

21

22

21 sv /

10 ppsvpp /

1122

21

21 nnFS

S,

asdesconocid

2121 sv /2

22

1 con

2

2

22

1

21

2121

21

nn

P

t

nS

nS

S

XX

asdesconocid

101 00

0 ,Npnp

npX

ProblemaProblemaUn nuevo dispositivo de filtrado se instala en una planta química. Antes y después de su instalación una m.a. respectiva arrojó la siguiente información del porcentaje de impurezas:

Antes Después

¿ El dispositivo de filtrado ha reducido el porcentaje de impurezas significativamente ?

8

17101

512

1

21

1

n

S

y

,

,

9

7394

210

2

22

2

n

S

y

,

,

DesarrolloDesarrollo

211210 :/: HsvH

22

21 Si

2

21

21

212121

nn

P

t

nnnn

S

yyt

0HBajo 480

4909932

7217

210512

21

21

210 ,

,,,,,

PP Snnnn

S

yyt

7397

15031466

1573948171017

211

21

222

211 ,

,,,

nn

SnSnSP

Nivel de significancia =0,05 t0,975(15)gl = 2,131

Región crítica C = ] - ; -2,131 ] [ 2,131 ; [

t0 CC Se acepta H0

Es decir, el dispositivo nuevo no reduce significativamente el porcentaje de impurezas.

Región crítica C = ] 0 ; 0,204 ] [ 4,53 ; [

F0 CC Se acepta H0 : 12 = 2

2

211210 :/: HsvH

:0HBajo 1122

21

0 210681

739417101

nnFS

SF ,,

,,

050, 2040870250 ,),(, F 534879750 ,),(, F