Conteo

ConteoCaptulo 1 GrimaldiContenidosIntroduccinReglas de la sumadel productoPermutacin sin repeticionescon repeticioneselementos repetidoscircularCombinacinsin repeticionescon repeticionesCoeficiente binomialMultinomial

Ejercicios2Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoIntroduccinIncertidumbreinformacin masiva nos rebasavarias opciones juntas causan una explosin de posibilidades

Ocupamos mtodos que nos ayuden a saber de cunto estamos hablando.3Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoConteoCombinatoriaEnunciar la cantidad de opciones, posibilidades, maneras, patrones, objetos con ciertas caractersticas, etc.

Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo4ConteoAplicaciones enTeora de cdigosProbabilidad y estadsticaAnlisis de algoritmos

Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo5ReglasConceptos bsicos de conteoMatemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo6Regla de la sumaSi una primera tarea puede realizarse de m formas, mientras que una segunda tarea puede realizarse de n formas,

y no es posible realizar ambas tareas de manera simultnea,

entonces, para llevar a cabo cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas.mn7Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoRegla de la sumaSociologa(40)Antropologa(50)|Sociologa| + |Antropologa|=

40 + 50=90Regla de la sumaMaestroA (5)MaestroB (3)|MaestroA MaestroB| = x5 x 8MaestroA (5)MaestroB (3)MaestroA (5)

MaestroB (3)Regla del productoSi un procedimiento se puede descomponer en las etapas primera y segunda,

y si existen m resultados posibles de la primera etapa

y, si para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa,

entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden dado, de mn formas.

Principio de eleccin10Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoEjemplo 1Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo11

Ejemplo 2Principio de eleccinComit AComit Bab123PermutacionesEl orden importa.Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo13PermutacinDisposicin lineal de objetos, dada una coleccin con n de stos.

14Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoEjemplo 1Permutaciones de COMPUTER

Tomando cuatro letras sin repeticiones

Dos letras sin repeticiones

15Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoEjemplo 2Considerando {az, AZ, 0-9, #,$,+,*}

Cuntas contraseas de 5 caracteres son posibles si no se repite ningn caracter?

16Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoPermutacin con repeticiones

Permutaciones de COMPUTER

Tomando cuatro letras84=4,096Tomando dos letras82=6417Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoOtro ejemploCadenas de 3 letras con {a,b}

Maneras de escoger la primer letraManeras de escoger la segunda letraManeras de escoger la tercer letra18Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoCuntos colores son posiblesutilizando el esquemaRGB?Cuntos son posiblesutilizando representacin hexadecimal?19Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoDisposiciones con elementos repetidosExisten n1 objetos (indistinguibles) de un primer tipo, n2 objetos de un segundo tipo, y nr objetos de un r-simo tipo, Ej. BALL, PEPPER

20Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoEjemplosDisposiciones en BALL

Disposiciones en PEPPER

21Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoEjemploDisposiciones en BALLn=4t1=B, n1=1t2=A, n2=1t3=L, n3=2

22Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoEjemploDisposiciones en PEPPERn=6t1=P, n1=3t2=E, n2=2t3=R, n3=1

23Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoEjemploDisposiciones en MASSASAUGA

n=10t1=M, n1=1t2=A, n2=4t3=S, n3=3t4=U, n4=1t5=G, n5=1

24Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo

Disposiciones circularesSi seis personas, designadas como A, B, ,F se sientan en torno de una mesa redonda, cuntas disposiciones circulares diferentes son posibles, si las disposiciones se consideran iguales cuando una puede obtenerse de otra mediante una rotacin?Ejemplo: ABEFCD = BEFCDA25Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoDisposiciones circulares6 rotaciones por cada disposicin.

Ejemplo:ABEFCD / BEFCDA / EFCDAB / FCDABE / CDABEF / DABEFC /

Por tanto, si d = disposiciones circulares

26Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoDisposiciones circularesOtra manera de resolver el problema:Dejar A fijoCalcular las disposiciones lineales de BF (=5!)27Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoDisposiciones circularesSupongamos ahora que las personas deben sentarse alternando sexos (hombre-mujer).

Igual, se deja A fijo (mujer 1)3 maneras de escoger cmo se sentar el hombre 12 la mujer 22 el hombre 21 la mujer 3 1 el hombre 3

28Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoCombinacionesSelecciones. No importa el orden.Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo29Combinaciones (sin repeticin)Seleccin de n objetos sin tener en cuenta el orden.

Combinaciones de n en r,

Combinaciones de n tomando r30Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoEjemplo 1Obtener 3 cartas de una baraja normalA, J, R = A, R, J = R, J, A = J, R, A = J, A, R = R, A, J

31Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoEjemplo 2Ejemplo: Tienes 4 amigos y escoges 2 para llevar al baile.C(4,2) = 6{a1, a2} / {a1, a3} / {a1, a4} / {a2, a3} / {a2, a4} / {a3, a4}

32Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoEquivalenciaC(n, r) = C(n, n-r)Ejercicio: Demuestra esta equivalencia.

33Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoCombinaciones con repeticin

34Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoEjemplo 1Escoger una docena de donas.

Hay 20 tipos diferentes.

(Suponemos que hay al menos una docena de cada tipo.)Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo35

n=20, r=12Teorema del binomioCoeficiente binomial

Para (x + y)nSe desea saber el coeficiente de los diferentes trminos.

Ejemplo:(x + y)2 = c1x2y0 + c2x1y1 + c3x0y2 = c1x2 + c2xy + c3y2

c1 = ? / c2 = ? / c3 = ?36Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoTeorema del binomio

CorolarioEjemplo 1Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo38

Ejemplo 2Calcular el coeficiente de x5y2 en (x + y)7

Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo39

Teorema multinomialPara (x1 + x2 + x3 ++ xt)n

EjemplosPara (x + y + z)7, calcular el coeficiente de x2y2z3

x3y0z4

Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo41

PractiquemosMatemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo42EjercicioProporciona ejemplos de los conceptos vistos .

Nivel 1 = Ejemplo didctico (5 puntos)

Nivel 2 = Ejemplo didctico en ciencias computacionales (10 puntos)

Nivel 3 = Ejemplo relacionado con un problema terico o con un caso prctico actual (20 puntos)43Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo43EjercicioSe espera al menos un ejercicio por tema:Reglas de suma y productoPermutacionesCombinaciones

Calificacin mxima: 200

Puede ser en equipo.44Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoEjercicioSe espera al menos un ejercicio por tema:Reglas de suma y productoPermutacionesCombinaciones

Calificacin mxima: 200

Puntos extra: de cuntas maneras puedes resolver este ejercicio para obtener una calificacin mayor o igual a 80?Puede ser en equipo.45Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoEjercicioAlgunas opciones para investigarOptimizacin combinatoriaFsica de partculas (checar Cap. 1 Grimaldi)Teora de grafosAutmatas celularesProblemas NP-completosCriptografa46Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: ConteoResumenMatemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo47ReferenciasGrimaldi, Ralph P (2003). Matemticas Discreta y Combinatoria: Una Introduccin con Aplicaciones. Mxico: Addison Wesley Longman. 3a. Edicin.

Matemticas Discretas para el Diseo Geomtrico: Conteo48