capitulo 1 adelanto 2

42CAPITULO 1. INTEGRALES: DEFINICION Y PRIMEROS EJEMPLOS

1.5. Integrales de funciones lineales

Con la expresion funciones lineales nos referimos a funciones de la forma

f(x) = ax+ b, x ∈ R, (1.21)

donde a y b son dos constantes. La denominacion para este tipo de funcionesesta justificado porque su grafico es una lınea recta en el plano (x, y). Lasencilla geometrıa que tiene el grafico de estas funciones permite abordar elcalculo de sus integrales con metodos de la geometrıa elemental. Al mismotiempo, ofrecen suficiente variedad de comportamientos como para que suestudio sea interesante y puedan modelar una cierta variedad de situaciones.

1.5.1. Estudio de un ejemplo particular

Nuestra estrategia para abordar el estudio de las integrales de funcioneslineales sera comenzar por un ejemplo, para luego generalizar sus caracterısti-cas mas importante. Para distintos valores de x calcularemos

F (x) =

∫ x

2

(

5

2− t

2

)

dt. (1.22)

El integrando en (1.22) es la funcion

f(t) =5

2− t

2(1.23)

cuyo grafico aparece en la Figura 18.

1

2

3

−1

1 2 3 4 5 6

Figura 18.El grafico de 5

2− t

2

Ejemplo 21 Comenzamos por evaluar la integral

∫

5

2

(

5

2− t

2

)

dt.

1.5. INTEGRALES DE FUNCIONES LINEALES 43

El integrando es positivo en el intervalo [2, 5] y se anula en t = 5, de modo queesta integral es simplemente igual al area del triangulo que aparece destacadoen la Figura 19.

1

2

3

−1

1 2 3 4 5 6

Figura 19.El triangulo definido por f sobre el intervalo [2, 5]

La base del triangulo tiene longitud

5− 2 = 3

y su altura es

f(2) =5

2− 2

2=

3

2.

Por lo tanto∫

5

2

(

5

2− t

2

)

dt =1

2× 3× 3

2=

9

4.

Observacion 8 Si pensamos la integral (1.22) como una funcion de su ex-tremos superior de integracion, el valor que acabamos de calcular es F (5).Lo usaremos mas adelante como verificacion de un calculo general. ♠ ♣

Ejemplo 22 Algo mas interesante es el calculo de

∫

4

2

(

5

2− t

2

)

dt.

En este caso hay que evaluar el area del trapecio que mostramos en la Figura20.


1

2

3

−1

1 2 3 4 5 6

Figura 20.El trapecio definido por f sobre el intervalo [2, 4]

La base del trapecio mide4− 2 = 2,

en tanto que sus alturas son

f(2) =3

2, f(4) =

5

2− 4

2=

1

2,

de modo que el area del trapecio es

1

2

(

3

2+

1

2

)

× 2 = 2.

Este numero es el valor de la integral.

Ejercicio 49 Evaluar la integral de f entre 4 y 5 y verificar que es igual ala diferencia de la integral entre 2 y 5 menos la integral entre 2 y 4. ♣

El calculo que hemos hecho para los valores particulares x = 5 y x = 4puede hacerse esencialmente de la misma manera para todo x entre 2 y 5.En todo este intervalo la integral (1.22) es el area de un trapecio que tienecomo base el intervalo [2, x]. La longitud de la base es x − 2. La altura deltrapecio sobre 2 es

f(2) =3

2.

La altura sobre x es

f(x) =5

2− x

2.

El area del trapecio es

F (x) =1

2

(

3

2+

5

2− x

2

)

(x− 2) =1

2

(

4− x

2

)

(x− 2)

=(8− x) (x− 2)

4.

(1.24)


Podemos quedarnos con esta expresion para F (x) o hacer los productos paraescribirlo en la forma tradicional de presentarlo como un polinomio. Encon-tramos

F (x) =−x2 + 10x− 16

4= −1

4x2 +

5

2x− 4. (1.25)

Observacion 9 Verificaciones. La definicion de F implica que F (2) = 0.En la forma factorizada (1.24) se hace evidente que al sustituir x por 2 seobtiene el valor 0. En (1.25) ya no esta obvio, pero la cuenta

F (2) = −1

4× 22 +

5

2× 2 = 0,

arroja el resultado que esperamos.

Ya habıamos calculado F (5) = 9/4 en el ejemplo 21. La formula (1.36)arroja el valor

F (5) = −1

452 +

5

25− 4 = −25

4+

25

2− 4 =

25

4− 16

4=

9

4,

en acuerdo con nuestro calculo previo.

Ejercicio 50 Verificar el valor F (4). ♠ ♣

Cuando x es menor que 2 el calculo de la integral (1.22) todavıa implicaevaluar el area de un trapecio. Pero como el extremo superior de la integrales menor que el inferior, la integral toma un valor negativo, igual al opuestodel area.

Ejemplo 23 Calcularemos la integral

∫

1

2

(

5

2− t

2

)

dt = −∫

2

1

(

5

2− t

2

)

dt.

La integral del miembro de la derecha es el area del trapecio encerrado bajoel grafico de f entre 1 y 2:

1× 1

2×(

2 +3

2

)

=1

2× 7

2=

7

4.


1

2

3

−1

1 2 3 4 5 6

Figura 21.El trapecio para la integral entre 2 y 1

Por lo tanto,∫

1

2

(

5

2− t

2

)

dt = −7

4.

Para el caso general con x < 2 tenemos que evaluar el area de un trapeciocon el intervalo [x, 2] como base que tiene longitud 2−x. El area del trapecioque tenemos que considerar es entonces

1

2

(

3

2+

5

2− x

2

)

(2− x).

Pero F (x) es justamente el opuesto de esta area, por la convencion segun lacual

∫ x

2

f(t)dt = −∫

2

x

f(t)dt.

Tenemos entonces

F (x) = −1

2

(

3

2+

5

2− x

2

)

(2− x) =1

2

(

3

2+

5

2− x

2

)

(x− 2). (1.26)

Observemos el hecho notable de que esta formula es exactamente la mismaformula (1.35). El formalismo del calculo integral es tal que maneja bien lossignos y asigna correctamente el valor a la integral. Cuando cambia el signode la diferencia x−2 entre los dos extremos de la base del trapecio encerradobajo el grafico de la funcion, tambien tiene que cambiar el signo de la integral.

Observacion 10 Al desarrollar (1.26) volveremos a obtener la expresion

F (x) = −1

4x2 +

5

2x− 4


para x ≤ 2. Podemos verificar esta expresion con nuestro calculo anteriorpara el valor de la integral en x = 1.

F (1) = −1

4x2 +

5

2x− 16

4

∣

∣

∣

x=1

= −1

4+

5

2− 16

4=

−1 + 10− 16

4= −7

4. (1.27)

Reencontramos el resultado que ya conocıamos. ♠

Cuando x ≥ 5 la geometrıa de la situacion cambia: la evaluacion de laintegral requiere el calculo de areas de dos triangulos diferentes. Uno de ellosesta por encima del eje horizontal, el otro por debajo. Escribimos

F (x) =

∫ x

2

(

5

2− t

2

)

dt =

∫

5

2

(

5

2− t

2

)

dt+

∫ x

5

(

5

2− t

2

)

, dt.

1

2

−1

1 2 3 4 5 6 7

x

Figura 22.

El primer sumando del miembro de la izquierda es justamente

F (5) =9

4,

de modo que

F (x) =9

4+

∫ x

5

(

5

2− t

2

)

dt, x ≥ 5. (1.28)

La integral en el miembro de la derecha se evalua determinando el area deltriangulo. La base es el intervalo [5, x] que tiene longitud x−5. La altura deltriangulo esta determinado por el valor 5/2− x/2 que la funcion toma en x.Como este numero es negativo en el intervalo en que estamos trabajando, yatiene en cuenta el signo que hay que asignar al area segun la definicion deintegral. Por lo tanto

∫ x

5

f(t)dt =1

2(x− 5)

(

5

2− x

2

)

= −x2

4+

5

2x− 25

4. (1.29)


Usando esta expresion en (1.28) encontramos

F (x) = −1

4x2 +

5

2x− 16

4, (1.30)

que es exactamente la misma formula que aparece en (1.36).

Observacion 11 No es una casualidad que las formulas (1.36) y (1.30) con-tengan la misma expresion para F . Aunque en x = 5 se produce un cambioen la geometrıa de la situacion, la convencion acerca del signo con el quedeben tomarse las areas en el calculo de integrales hace que no se vea ninguntipo de singularidad en las formulas. En el ejercicio 51, pagina 48 se discuteesto con detalle.

1.5.2. La forma general de la integral de funciones li-neales

El objetivo de esta seccion es mostrar que cualquier integral de funcioneslineales, de la forma

∫ y

x

(at+ b)dt,

donde a y b son constante y x e y numeros cualesquiera, puede evaluarse porla formula,

∫ y

x

(at+ b)dt =1

2(ax+ ay + 2b) (y − x), (1.31)

que es una generalizacion de la formula del area del trapecio, consistente. conla convenciones de signos que hemos adoptado para la integral. Equivalente-mente, tambien por

∫ y

x

(at+ b)dt =ay2

2− ax2

2+ by − bx, (1.32)

que puede obtenerse directamente de (1.31), operando.

Ejercicio 51 Mostrar que, en la situacion de la figura 23, siempre se tieneque

(b− a)h

2+

(c− b)j

2= (c− a)

h+ j

2.


a b c

h

j

Figura 23.

Observar que el miembro de la derecha en la formula del ejercicio 51 tienela misma forma que el calculo del area de un trapecio de base c− a y alturash y j. Esta formula no tiene sentido como area de un trapecio, porque j esnegativa, pero sı lo tiene cuando tomamos areas con signos en el contextodel calculo de integrales. El ejercicio viene a decirnos que podemos manejaruna situacion como la que aparece en la figura 22 con las mismas formulasque usamos para el trapecio de la figura 24.

Ejercicio 52 Mostrar la validez de la formula (1.31) para cualquier eleccionde a, b, x e y.

Ejercicio 53 Mostrar que la formula (1.31) puede escribirse como

∫ y

x

(at+ b)dt =

(

a

(

x+ y

2

)

+ b

)

(y − x).

Interpretar el miembro de la derecha como el area de un rectangulo. ¿Comoesta construido ese rectangulo?

Ejercicio 54 Mostrar que para cualquier valor de x se tiene que

F (x) =

∫ x

2

(

5

2− t

2

)

dt =

∫

5

2

(

5

2− t

2

)

dt+

∫ x

5

(

5

2− t

2

)

dt =9

4−1

4(x−5)2.

1. Interpretar geometricamente este resultado.


2. Hallar el valor maximo que alcanza F (x) y el punto x en que lo alcanza.

3. Hallar todos los puntos en que F (x) toma el valor 1.

4. Hallar todos los puntos en que F (x) toma el valor 3.

Ejercicio 55 Definimos

F (x) =1

2+

∫ x

0

(1 + t)dt.

1. Calcular una formula explıcita para F (x).

2. Hallar todos los puntos en que F (x) se anula.

3. Hallar el valor mınimo m y el valor maximo M que F toma en elintervalo [−5,−2] y los valores de x en que se alcanzan.

4. Encontrar un valor x0 que permita escribir

F (x) =

∫ x

x0

(1 + t)dt.

Interpretar geometricamente el resultado.

Ejercicio 56 Definimos

G(x) =

∫ x

1

(1 + t)dt.

1. Calcular una formula explıcita para G(x).

2. Hallar todos los puntos en que G(x) se anula.

3. Calcular la diferencia G(x) − F (x) con la funcion del ejercicio 55. In-terpretar geometricamente el resultado hallado.

1.6. Integrales de funciones lineales a trozos

En esta seccion discutiremos con cierto detalle las propiedades de la fun-cion

F (x) =

∫ x

2

(

t

4+

7

4− 3

4|1− t|

)

dt, x ∈ R. (1.33)

1.6. INTEGRALES DE FUNCIONES LINEALES A TROZOS 51

En particular, se hallara su grafico, se buscaran los valores en que F tomavalores seleccionados y se estudiaran problemas de maximos y mınimos sobreintervalos.

Pasamos a calcular ahora formulas y algunos valores funcionales destaca-dos para F (x), apuntando a construir graficos de la funcion y a poder resolverproblemas de hallar extremos y raıces.

Teniendo en cuenta que

|1− t| ={

1− t, si t ≤ 1,t− 1 si t ≥ 1,

podemos expresar f en la forma

f(t) =

{

t+ 1, si t ≤ 1,

− t

2+

5

2, si t ≤ 1.

(1.34)

Los detalles de este calculo estan desarrollados en la pagina 134, de la seccion.1 y culminan en la formula 6. En cualquier caso, recomendamos al lectorverificar que es capaz de reproducirlos por su cuenta y de hacer todas lasverificaciones necesarias para asegurarse de que el resultado es correcto.

1.6.1. Calculo de la integral

El caso 1 ≤ x

Para 2 ≤ x ≤ 5, la integral es igual al area del trapecio que destacamosen la figura 24

1

2

3

−1

1 2 3 4 5 6−1 x

Figura 24.

La base del trapecio es el intervalo [2, x], que tiene longitud x − 2. Laaltura del trapecio sobre 2 es

f(2) =3

2.


La altura sobre x es

f(x) =5

2− x

2.

El area del trapecio es

F (x) =1

2

(

3

2+

5

2− x

2

)

(x− 2) =1

2

(

4− x

2

)

(x− 2) =(8− x) (x− 2)

4.

(1.35)Haciendo las cuentas

F (x) =−x2 + 10x− 16

4= −1

4x2 +

5

2x− 4. (1.36)

Observacion 12 Verificaciones. La definicion de F implica que

F (2) = 0.

La geometrıa del problema hace facil calcular

F (5) =1

2× 3× 3

2=

9

4,

que es el area de un triangulo. Sustituimos en la formula (1.36),

F (2) = −1

422 +

5

22− 4 = −1 + 5− 4 = 0;

F (5) = −1

452 +

5

25− 4 = −25

4+

25

2− 4

=25

4− 16

4=

9

4.

Aunque ya no se trata exactamente del area de un trapecio, la formula(1.36) es valida para la integral entre 2 y x de la funcion lineal

− t

2+

5

2, (1.37)

para cualquier valor de x (ver la seccion 1.5), por lo que es valida para laintegral de F (x) para x ≥ 1, porque sobre todo el intervalo [2, x] la funcionf(t) coincide con la expresion (1.37).

Cerramos esta seccion haciendo el calculo de

F (1) = −1

4x2 +

5

2x− 16

4

∣

∣

∣

x=1

= −1

4+

5

2− 16

4=

−1 + 10− 16

4= −7

4. (1.38)


Tranquiliza verificarlo evaluando el area del trapecio encerrado bajo elgrafico de f entre 1 y 2:

1× 1

2×(

2 +3

2

)

=1

2× 7

2=

7

4.

Resta multiplicar por −1 el valor del area, en funcion de la convencion designo para la integral. De modo que el resultado en (1.38) es correcto.

1

2

3

−1

1 2 3 4 5 6−1

3

2

Figura 25.

El caso x ≤ 1

Usando la igualdad

∫ x

2

f(t)dt =

∫

1

2

f(t)dt+

∫ x

1

f(t)dt

escribimos

F (x) = F (1) +

∫ x

1

f(t)dt.

Ya habıamos calculado

F (1) = −7

4.

Sabemos ademas que para x ≤ 1 vale la igualdad

f(x) = 1 + x, x ≤ 1.

Por lo tanto

F (x) = −7

4+

∫ x

1

(1 + t)dt.


Evaluamos la integral del miembro de la derecha usando la formula del “areadel trapecio”, que ya hemos observado que es valida para la integral, inclu-so cuando nuestras convenciones de signo hacen que no estemos calculandorealmente areas:

∫ x

1

(1 + t)dt =1

2(x− 1)(2 + 1 + x) =

1

2(x− 1)(3 + x) =

x2

2+ x− 3

2.

1

2

−1

1 2 3 4−1−2

Figura 26.

Por lo tanto

F (x) =x2

2+ x− 13

4(1.39)

A modo de resumen, podemos escribir

F (x) =

x2

2+ x− 13

4, si x ≤ 1;

−x2

4+

5

2x− 16

4, si x ≤ 1;

(1.40)

1.6.2. Crecimiento y decrecimiento

Ya hemos determinado algunos valores particulares de la funcion F :

x F (x)

1 −7

42 0

59

4

.

Conocerlos, permite ubicar en el plano (x, y) algunos puntos del grafico de F .


1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6−1−2

F (x)

f(x)

−7

4

9

4

b

b

b

Figura 27.

Para continuar construyendo el grafico podrıamos seguir calculando pun-tos y dibujando. De hecho, calculando una cantidad suficientemente alta depuntos puede conseguirse un grafico de muy buena calidad. Esto es algo queuna computadora logra en menos de un segundo, especialmente cuando sedispone de formulas explıcitas como (1.40). Nosotros usaremos un procedi-miento diferente, mas apropiado para un ser humano, por el que trataremosde entender algunos rasgos esenciales del grafico.

La primera observacion es que F (x) es creciente en los intervalos en quef(x) es positiva, y decreciente cuando f(x) es negativa. Observemos que

F (5) > F (2). (1.41)

La razon es que la integral va ‘acumulando’ el area signada que vamos en-contrando bajo el grafico de f , y la diferencia entre F (5) y F (2) es

F (5)− F (2) =

∫

5

2

f(t)dt.

Como en el intervalo [2, 5] la funcion f esta por encima del eje Ox y encierraun area positiva, resulta la desigualdad (1.41).

Este argumento es completamente general: para dos valores a y b cuales-quiera vale

F (b)− F (a) =

∫ b

a

f(t)dt,


y puede razonarse igual que hicimos para a = 2, b = 5: si a < b y f es positivaentre a y b, entonces F (b) > F (a). Si f es negativa entre a y b, tambien laintegral sera negativa y F (b) < F (a).

Observacion 13 Ademas del signo de la variacion, podemos conjeturar conque velocidad esta variando F : cuando f es muy grande, la funcion F varıarapido. La razon es que las areas encerradas bajo el grafico son esencialmentedel orden de magnitud del tamano del intervalo sobre el que se integra, porel tamano de la funcion. Desarrollaremos este estudio con detalle cuandoanalicemos la derivada F ′ de la funcion F .

Esta discusion, sugiere que ubiquemos sobre el grafico de F los puntos quecorresponden a valores de x en que f cambia de signo, porque allı esta cam-biando el crecimiento de F . Ya conocıamos F (5). Calculamos entonces

F (−1) =(−1)2

2− 1− 13

4= −15

4.

Con los puntos que conocemos, el conocimiento de que para x < −1 lafuncion F es decreciente, creciente entre −1 y 5 y luego nuevamente decre-ciente, ya podemos esbozar el grafico de F . Como las formulas para F sonpolinomios de segundo grado, sabemos ademas que se trata de dos arcos deparabola. El esquema aparece en la figura 28

1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6−1−2

F (x)f(x)

F (x)

Figura 28.


Es interesante escribir la funcion F para x ≥ 1 en terminos de sus in-crementos desde su valor F (5). Estos incrementos corresponden geometrica-mente en areas de triangulos, figuras especialmente simples que dan lugar aformulas simples. Escribimos entonces

F (x) = F (5) +

∫ x

5

f(t)dt = F (5) +

∫ x

5

(

5

2− t

2

)

dt, x ≥ 1.

La integral es facil de evaluar, como el area (signada) de un triangulo con(5, 0) como uno de su vertices, como ya lo hicimos en 1.29 y reescribimos:

∫ x

5

(

5

2− t

2

)

dt =1

2(x− 5)

(

5

2− x

2

)

= −1

4(x− 5)2.

Concluimos

F (x) =9

4− 1

4(x− 5)2, x ≥ 1. (1.42)

Naturalmente, esta formula es exactamente la misma que la segunda formulaen (1.40), pero ordenada de una manera diferente. Observemos que el cua-drado aparece restando de 9/4 y solo se anula en x = 5, lo que hace evidenteque en x = 5 esta expresion alcanza un maximo que vale 9/4.

Hemos obtenido la expresion (1.42) por medio de un argumento geometri-co: escribiendo la integral desde un punto en que el calculo se simplificaba alcalculo de areas de triangulos. Esto produjo una forma simple, en forma deuna constante mas un cuadrado. Notablemente, este mismo resultado puedeconseguirse con argumentos puramente algebraicos, a partir de la tecnica decompletar cuadrados, que permite escribir cualquier expresion de la formaax2 + bx+ c como una suma de cuadrados.

Sabemos que

F (x) =x2

2+ x− 13

4, x ≤ 1.

Escribimos

F (x) =1

2

(

x2 + 2x− 13

2

)

, x ≤ 1

para trabajar a partir una expresion con coeficiente uno en x2. Como

x2 + 2x+ 1 = (x+ 1)2

sumamos y restamos 1 para hacer aparecer este cuadrado perfecto:

F (x) =1

2

(

x2 + 2x+ 1− 1− 13

2

)

=1

2

(

(x+ 1)2 − 15

2

)

, x ≤ 1.


Un poco mas de manipulaciones, en busca de la sencillez de la formula,conduce a

F (x) =1

2(x+ 1)2 − 15

4, x ≤ 1, (1.43)

en la que F (x) aparece escrito como la suma de −15/4 (su valor en −1) masun coeficiente por el cuadrado de la diferencia entre x y −1. Para x ≤ 1, elsumando con el cuadrado es exactamente la integral entre −1 y x de f , comoel lector podra verificar,

Por este procedimiento encontramos que F tiene en x = −1 un mınimolocal, y una forma sencilla que hace facil construir la grafica de F para x ≤ 1.

Ejercicio 57

1. Reencontrar la formula (1.42) usando para x ≥ 5 el procedimiento decompletar cuadrados que nos permitio hallar la formula (1.43).

2. Obtener la formula (1.43) usando para x ≤ 1 el mismo argumentogeometrico, de evaluar el area de un trapecio como la diferencia deareas de dos triangulos, que empleamos para hallar la formula (1.42).

1.6.3. Ceros de F y otros valores destacados

Cuando el estudio de una funcion viene de algun problema practico, sueleser interesante responder la pregunta de donde alcanza la funcion cierto valorprefijado. Comenzaremos por determinar los puntos en que F se anula.

La construccion de F implica que F se anula en x = 2. Una rapidainspeccion al grafico de la funcion F nos permite hallar practicamente sincalcular otra raız: para x ≥ 1 el grafico de f tiene simetrıa respecto al punto(5, 0). El valor del area del triangulo bajo el grafico de f entre 2 y 5, esigual al valor del area del triangulo encerrado entre el grafico de f y el ejeOx entre 5 y 8, pero este nuevo triangulo esta por debajo del eje. Esperamosentonces que F (8) sea igual a 0. Evaluando en x = 8 la formula para F validaen x ≥ 5, obtenemos

F (8) = −82

4+

5

2× 8− 16

4= −16 + 20− 4 = 0.

No puede haber ya mas raıces de F a la derecha de 1, porque una formulacuadratica a lo sumo puede originar dos raıces, y ya las hemos encontrado.

Busquemos ahora las raıces a la izquierda de 1. Igualamos

F (x) = 0,


usando la expresion

F (x) =1

2(x+ 1)2 − 15

4, x ≤ 1.

El hecho de que en esta formula la x solo aparezca dentro del cuadradosimplificara las cosas. Planteamos

1

2(x+ 1)2 − 15

4= 0,

que es equivalente a

(x+ 1)2 =15

2.

Tomando raız resulta

x+ 1 = ±√

15

2,

por lo que

x = −1±√

15

2. (1.44)

La raız cuadrada de 15/2 es aproximadamente igual a 2,74. De las dos deter-minaciones de x en (1.44), la que corresponde al signo de + es mayor que 1,y cae fuera del rango en que la formula con la que estamos trabajando tienevalidez para F . De modo que F tiene una tercera raız en

x = −1−√

15

2≃ −3, 84,

y ya no hay otras raıces, aparte de 2 y 8.

Ejercicio 58 Hallar todos los valores de x en que F

1. toma el valor −13/4.

2. toma el valor 9/4.


1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5

F (x)f(x)

9

4

−13

4

bb

bb

b b

Figura 29.

Otro problema interesante asociado con una funcion es ubicar sus valoresmınimo y maximo en un intervalo dado, y los puntos donde estos valoresextremos se alcanzan. Vamos a buscar el valor mınimo m y el valor maximoM para F , en el intervalo [−6, 6]. Los extremos pueden estar ubicados enx = −1 o x = 5, en que la funcion F tiene extremos relativos producidos porsu cambio de crecimiento, o en los extremos del intervalo. Un rapido analisisnos avisa que F (6) no aportara gran cosa. Antes de empezar a calcular, yasabemos que

F (−1) < 0 < F (6) < F (5), (1.45)

por lo que no puede haber allı un extremo.

Ejercicio 59 Calcular F (6) y comprobar a traves de un examen directo quelas desigualdades en (1.45) son verdaderas.

Sabemos que F (−6) es mayor que F (−1). De modo que el mınimo es

m = F (−1) = −15

4,

y se alcanza solo en x = −1.Solo nos resta comparar F (−6) con F (5) para ver cual de ellos es mayor.

Evaluamos

F (−6) =1

2(−6 + 1)2 − 15

4=

25

2− 15

4=

35

4.


Como

F (−6) =35

4>

9

4= F (5),

concluimos que el maximo de la funcion en [−6, 6] es

M =35

4,

y se alcanza en x = −6, el extremo izquierdo del intervalo.

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6

F (x)f(x)

Figura 30.

Ejercicio 60 Hallar el menor valor natural de b que haga que el mınimo de Fen el intervalo [−6, b] este en b. Para ese valor, hallar el valor del mınimo.

Ejercicio 61 Hallar los valores de la constante c que hacen que

G(x) = c+ F (x)

tenga exactamente dos raıces. Para cada uno de los valores de c hallados,calcular las dos raıces de G.

1.6.4. Ejercicios

Ejercicio 62 Para la funcion f cuyo grafico se representa en la figura 31,


1

2

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

Figura 31.calcular la integral

∫

2

−2

f(x) dx.

Ejercicio 63 1. Para la funcion cuyo grafico esta representado en la Fi-gura 32 y para cada valor de x ∈ R, calcular

F (x) =

∫ x

0

f(t) dt.

2. Graficar F (x).

3. Mostrar que para cualquier valor de las constantes a y b se satisfacenlas igualdades

∫ b

a

f(t) dt = F (b)− F (a).

Interpretar geometricamente este resultado.

4. Calcular la pendiente del grafico de F . ¿Como se relaciona esta pen-diente con la funcion f?

5. Repetir las partes 1 a 3 para la funcion que se representa en la figura 33.¿Que nueva situacion se encuentra ahora cuando se intenta considerarpara esta funcion la pregunta que se plantea en la parte 4? ¿Que ocurrecuando se intenta determinar la pendiente del grafico de F?


1

2

−1

−2

1 2 3−1−2−3

Figura 32.

1

2

−1

1 2 3−1−2

Figura 33.

Ejercicio 64

Sea f la funcion definida por

f(x) =

{

t+ 3, t ≤ 1,1− t, t ≥ 1,

1. Calcular∫

−1

−2

f(t) dt,

∫

0

−2

f(t) dt,

∫

2

−2

f(t) dt.

2. Definimos

F (x) =

∫ x

−2

f(t) dt.

Calcular

F (2), F (0), F (−1), F (−2).

3. Para x ≤ −1, calcular F (x).

4. Para x ≥ −1, calcular F (x).

5. La funcion F , ¿es continua en x = −1?

6. Hallar todos los valores de x en que F (x) se anula.

Ejercicio 65 Sea f la funcion cuyo grafico aparece en la figura 34.


1

2

−1

1 2 3 4 5−1

Figura 34.

Hallar el valor mınimo m y el valor maximo M que la funcion

F (x) =

∫ x

0

f(t) dt

toma en el intervalo [−1, 9].

Ejercicio 66

1. Para x ∈ [0, 4], calcular la funcion

F (x) = 10 +

∫ x

0

(−5)dt.

Dibujar el grafico de F sobre el intervalo [0, 4].

2. Una barra recta de 4 m de longitud apoyada en sus extremos soportauna carga distribuida de 5 daN/m. Esta equilibrada por reaccionesverticales de 10 daN en cada uno de sus dos apoyos. Calcular el cortanteen cada punto x de la barra, donde x indica la distancia en metros asu extremo izquierdo. Graficar el cortante.

3. La trayectoria de un movil que se desplaza sobre una lınea recta sedescribe por medio de una coordenada p que indica su posicion relativaa un cierto origen O desde el que se mide p. El valor de p es positivocuando el movil esta a la derecha del origen, y negativo cuando esta ala izquierda. Si el movil parte de una posicion inicial p(0) = 10 m yretrocede durante 4 segundos con una velocidad de −5 m/s (las ve-locidades son negativas cuando retrocede y positivas cuando avanza),hallar la funcion p(t) que describe la posicion p en funcion del tiempo tpara t ∈ [0, 4]. Graficar p sobre este intervalo.


4. Comparar entre sı las tres partes anteriores de este ejercicio.

Ejercicio 67

1. Para x ∈ [0, 10], calcular la funcion

F (x) =

∫ x

0

3t dt.

Dibujar el grafico de F sobre el intervalo [0, 10].

2. Una barra recta de 10 m de longitud esta empotrada en su extremode la derecha y recibe desde abajo una presion que va creciendo lineal-mente a medida que nos alejamos del extremo de la barra, de un modotal que la pieza queda sometida a un esfuezo distribuido de 3x daN/m,que la empuja hacia arriba (la situacion es irreal como problema decalculo de estructuras, pero nos ayudara a ilustrar el punto que pre-tendemos mostrar con estos ejemplos) . Calcular el cortante en cadapunto x de la barra, donde x indica la distancia en metros a su extremoizquierdo. Graficar el cortante. ¿Cual tiene que ser la reaccion verticaldel empotramiento, para equilibrar la carga de la barra?

3. Un movil parte del reposo en una posicion inicial p(0) = 0 m y durante10 segundos avanza acelerandose de manera constante, de modo queen el instante t su velocidad es de 3t m/s. Hallar la funcion p(t) quedescribe la posicion p en funcion del tiempo t para t ∈ [0, 10]. Averiguara que distancia esta del origen cuando t = 10.

4. Comparar entre sı las tres partes anteriores de este ejercicio.

Ejercicio 68 Para las funciones f y g definidas por

f(x) =

{

x/2− 3, x < 4,x− 5, x ≥ 4,

g(x) =

{

0, x < 4,x, x ≥ 4,

calcular las funciones

F (x) =

∫ x

0

f(t) dt; G(x) =

∫ x

0

g(t) dt,

y graficarlas.

Ejercicio 69 Calcular la integral∫

3

1

2

|1− x| dx.

Respuesta: A. −15

8. B.

15

8. C.

17

8. D.

55

8.


Ejercicio 70

1. Graficar la funcion

f(t) = 2− |t+ 1|.En particular, identificar los puntos en que se anula, las regiones en quees positiva y en que es negativa.

2. Definimos

F (x) =

∫ x

−2

(2− |t+ 1|) dt.

3. Hallar para cada x ∈ R una expresion que permita calcular F (x).

4. Identificar cual es el punto de [0,+∞) en que F alcanza su valor maxi-mo. Calcular ese valor, por dos procedimientos:

a) interpretando los valores de F como areas signadas e identificandocual es el area que hay que calcular para resolver estar parte delejercicio;

b) evaluando la integral en el valor de x adecuado, usando el resultadode la parte 3.

5. Hallar todos los valores de x en que F (x) se anula.

La parte positiva x+ y la parte negativa x− de cada numero real x estandefinidas por las formulas

x+ =

{

0, si x ≤ 0;x, si x ≥ 0;

x− =

{

−x, si x ≤ 0;0, si x ≥ 0.

Prestar especial atencion al hecho de que la parte negativa de un numero essiempre mayor o igual que 0.

Ejercicio 71 Repetir el ejercicio 63 para las funciones f y g definidas porf(x) = x+ y g(x) = x−.

Ejercicio 72 Hallar el valor mınimo m y el valor maximo M que la funcion

F (x) =

∫ x

0

((t− 3)− − 1) dt

toma en el intervalo [−1, 9].


La funcion signo, que indicaremos con el sımbolo sgn, esta definida por

sgn(x) =

−1, si x < 0;0, si x = 0.1, si x > 0.

Ejercicio 73 Repetir el ejercicio 63 del ejercicio ?? para la funcion sgn. Lafuncion F que se obtiene ahora, ¿es continua o discontinua en x = 0? ¿Y lafuncion sgn? ¿De que manera se refleja en la funcion F el comportamientode sgn cerca de x = 0? ¿Que nueva situacion se encuentra ahora cuando seconsiderara la pendiente del grafico de F?

Ejercicio 74 Sea f : [−5, 5] → R la funcion cuya grafica se presenta en lafigura 35 siguiente.

2

−2

2 4−2−4

t

y = f(t)

Figura 35.

Ejercicio 75 Para x ∈ [−5, 5], definimos

F (x) =

∫ x

2

f (t) dt.

1. En x = −1 la funcion F toma el valor

a) −8, 5.

b) 1.

c) 2.

d) 8, 5.

2. El valor mınimo que alcanza la funcion F es


a) 0.

b) −2.

c) −10, 5.

d) −18, 5.

3. La ecuacion F (x) = −10 se verifica

a) para ningun valor de x.

b) unicamente para x = −2.

c) unicamente para x = −2 y x = −4.

d) unicamente para x = −13

Ejercicio 76 La UTE factura el consumo segun el siguiente esquema:

Cobra una tasa de de $ 100 por la conexion.

Cobra $2 el Kilovatio-hora, hasta un consumo de 100 Kilovatios-hora.

Cobra $3 cada Kilovatio-hora que se consuma por encima de los 100Kilovatios-hora.

Indicar cual de las siguientes cuatro figuras contiene el grafico que corres-ponde al importe a pagar por el usuario, en funcion del consumo. En el ejehorizontal aparecen los consumos representados en Kilovatios-hora, en el ejevertical los importes a pagar.

Kilovatios-hora

Pesos

100 200

100

300

500

600

Figura A

Kilovatios-hora

pesos

100 200

300

200

Figura B


Kilovatios-hora

Pesos

100 200

300

600

200

Figura C

Kilovatios-hora

Pesos

100 200

300

700

400

100

Figura D

A. Figura A.

B. Figura B.

C. Figura C.

D. Figura D.

124 CAPITULO 5. AMPLIACIONES DEL CALCULO

.1. Valor absoluto y funciones continuas li-

neales a trozos

Los propositos de esta seccion son:

1. repasar la nocion de valor absoluto y la funcion real asociada con ella;

2. discutir como graficar algunas funciones definidas por formulas en lasque aparecen valores absolutos de expresiones lineales.

Los requisitos previos para la lectura son cierta familiaridad con las funcioneslineales definidas por formulas de la forma

f(x) = ax+ b,

donde a y b pueden ser constantes cualesquiera, y sus graficos en el plano(x, y).

.1.1. Valor absoluto

El valor absoluto de un numero cada x ∈ R se indica por el sımbolo |x|,y esta definido por

|x| ={

−x, si x ≤ 0;x, si x ≥ 0.

(1)

Ejemplo 39 El valor absoluto de 3 es |3| = 3. El valor absoluto de −1 es| − 1| = −(−1) = 1.

Observacion 22 Podrıa objetarse a la formula (1) que parece dar dos defi-niciones diferentes del valor absoluto para x = 0, que serıa preferible escribir

|x| ={

−x, si x < 0;x, si x ≥ 0.

Como 0 = −0, cualquiera de las dos expresiones coincide en asignar el valor0 a |0|, por lo que no se genera ninguna contradiccion. Preferimos (1) porquenos recuerda que |x| coincide con −x cuando x ≤ 0, y con x cuando x ≥ 0.En x = 0 simplemente ocurre que x, −x y |x| toman el mismo valor. ♠

Para calcular el valor absoluto de expresiones mas complejas, como, porejemplo

∣

∣

∣

∣

3

4− 5× 7

16

∣

∣

∣

∣

.1. VALOR ABSOLUTOY FUNCIONES CONTINUAS LINEALES A TROZOS125

operamos de la manera habitual con los numeros afectados por la barra devalor absoluto:

∣

∣

∣

∣

3

4− 5× 7

16

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

3

4− 35

16

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

12

16− 35

16

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

−23

16

∣

∣

∣

∣

.

Por ultimo, tomamos la decision que corresponda, dependiendo del signo quetenga el resultado de las operaciones anteriores. En este caso es negativo, porlo tanto

∣

∣

∣

∣

3

4− 5× 7

16

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

−23

16

∣

∣

∣

∣

= −(

−23

16

)

=23

16.

Cuando todo es tan explıcito como en este ejemplo, el ultimo paso de tomar elopuesto de un numero negativo resulta bastante obvio, por lo que es corrienteescribir simplemente

∣

∣

∣

∣

3

4− 5× 7

16

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

−23

16

∣

∣

∣

∣

=23

16.

La ultima igualdad aparece a la vista como “sacar” las barras de valor abso-luto, pero en realidad lo que se esta haciendo es aplicar la definicion de estafuncion.

Ejercicio 110 Calcular

−5

3− 1−

∣

∣

∣

∣

2×(

−5

3

)

+ 3

∣

∣

∣

∣

.

.1.2. La funcion valor absoluto y su grafico

Tal como indica la formula (1), el valor absoluto puede calcularse paracualquier numero real x y produce un nuevo numero real |x|. De modo queesta operacion define una funcion real de variable real. Ampliando un pocoel uso de la expresion valor absoluto, llamaremos a esta funcion la funcionvalor absoluto1.

Para graficar el valor absoluto recurrimos a la definicion. Sabemos que

|x| = x, x ≥ 0; |x| = −x, x ≤ 0.

Los graficos de x y −x son sencillos.

1Es habitual designar con el sımbolo R al conjunto de los numeros reales. Con esta

notacion, el procedimiento de calcular el valor absoluto de cada numero genera una funcion

que indicamos ası: | · | : R → R. Ademas de tener presente en que dominio actua, es

sugerente escribir tambien lo que la funcion hace, algo que podemos representar de la

siguiente manera: | · | : x 7→ |x|. Todavıa puede asociarse con la funcion otro esquema que

de algun modo resume los dos anteriores: | · | : x ∈ R 7→ |x| ∈ R. Ademas de explicitar

lo que hace la funcion | · |, esta ultima representacion explıcita que x y |x| pertenecen al

conjunto de los numeros reales.


1

2

3

−1

−2

1 2 3−1−2

x

y

Grafico de x

1

2

3

−1

−2

1 2 3−1−2

x

y

Grafico de −x

Naturalmente, del primero de ellos solo nos interesa la informacion parax ≥ 0, que es la region en que |x| coincide con x. Del segundo, la informacionpara x ≤ 0. Combinando ambas podemos construir el grafico de la funcionvalor absoluto.

El resultado se muestra en la figura 53. Las partes de los graficos dex y −x que no guardan relacion con el valor absoluto, aparecen con trazodiscontinuo. Corresponden a intervalos donde es otra la formula que defineal valor absoluto.

Con el origen y otros dos puntos bien escogidos es suficiente, porque lagrafica del valor absoluto es lineal a trozos y no exhibe puntos de disconti-nuidad. El punto (0, 0) del plano (x, y) esta en el grafico de valor absoluto,porque |0| = 0.

Recomendamos manejar este tipo de expresiones para una funcion solo si son de ayuda.

Lo unico que hacen es codificar en una unica lınea la misma informacion que hemos puesto

en el primer parrafo de esta seccion. Esta sıntesis es muy util para la persona entrenada

en el uso de estos sımbolos, pero puede ser un estorbo para quien se esta iniciando en esta

area, por lo que mas bien tenderemos a evitarlas. Quien se sienta comodo con este tipo de

notacion puede usarla libremente.


1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5−1−2−3−4

Figura 53. Grafico de valor absoluto superpuesto a los dos graficos auxiliares de x y −x.

Para x = 1 se tiene |x| = 1, lo que da lugar al punto (1, 1) en el grafico.El valor absoluto de x = −3 es |x| = 3. Por lo tanto (−3, 3) tambien esta enel grafico. Estos tres puntos, destacados sobre una grafica del valor absoluto–ya sin lıneas auxiliareas y dibujada de un modo que enfatiza los valorespositivos del eje vertical–, aparecen en la figura 54.

1

2

3

4

−1

1 2 3 4−1−2−3−4

x

y

b

b

Figura 54.Grafico de valor absoluto con (−3, 3), (0, 0) y (1, 1).


.1.3. Valores absolutos y funciones lineales

El objetivo de esta seccion es estudiar los graficos de funciones que soncombinaciones lineales de funciones lineales y valores absolutos de funcioneslineales. En vez de perdernos en este trabalenguas, discutiremos un ejemplo.

Ejemplo 40 Vamos a construir una representacion grafica de la funcion

f(x) = x− 1− |2x+ 3|. (2)

Recordemos que el grafico es la representacion de todos los puntos (x, f(x)).Podemos conseguir algunos de ellos simplemente evaluando en algunos luga-res. Por ejemplo,

f(0) = 0− 1− |2× 0 + 3| = −4.

El punto (0,−4) tiene que estar en el grafico de f . La eleccion de este puntofue bastante arbitraria. Podemos repetir el procedimiento para cualquier otro.A modo de ejercicio proponemos al lector otras dos elecciones de entre unainfinidad de posibilidades.

Ejercicio 111 Ubicar en el plano (x, y) los puntos del grafico de f que co-rresponden a x = −5 y x = 5.

Conseguir el grafico ubicando muchos puntos es un procedimiento quepuede dar resultado cuando se hace con una computadora, que es capaz decalcular miles de puntos en muy poco tiempo. Es una opcion. Pero mostra-remos a continuacion como resolver la tarea sin programar. Antes de seguiravanzando subrayemos que hay un punto especıfico que sı conviene calcu-lar: es el que corresponde al valor de x en que cambia de signo la expresionafectada por el valor absoluto. En nuestro ejemplo, dentro del valor absolutoaparece

2x+ 3,

que se anula en

x = −3

2.

Allı 2x+3 pasa de negativa a positiva. Evaluamos f en ese punto y obtenemos

f

(

−3

2

)

= −3

2− 1−

∣

∣

∣

∣

2×(

−3

2

)

+ 3

∣

∣

∣

∣

= −5

2. (3)

Acabamos de ubicar un nuevo punto que podemos poner en el grafico. Ve-remos luego que este punto es realmente importante, pero ahora tomaremosuna direccion ligeramente diferente.


La expresion |2x + 3| es igual a −(2x + 3) o a 2x + 3, dependiendo deque 2x+3 sea, respectivamente, menor o igual que cero o mayor o igual quecero. Tenemos entonces

|2x+ 3| ={

−2x− 3, x ≤ −3/2;2x+ 3, x ≥ 3/2.

Usando esta informacion en la definicion de la funcion f obtenemos

f(x) =

{

x− 1− (−2x− 3) = 3x+ 2, x ≤ −3/2;x− 1− (2x+ 3) = −x− 4, x ≥ −3/2.

Vemos que tanto para x ≤ −3/2 como para x ≥ −3/2, los valores que toma lafuncion f pueden calcularse por medio de expresiones lineales relativamentesimples. La unica dificultad es que hay que pasar de una expresion a la otraal pasar de un lado a otro de −3/2.

Al evaluar 3x+ 2 en x = −3/2 obtenemos el valor

3×(

−3

2

)

+ 2 = −5

2.

El mismo calculo −x− 4 arroja

−(

−3

2

)

− 4 = −5

2.

Como era de esperar, ambas expresiones devuelven el valor de la funcion, queya habıamos calculado en (3).

Observacion 23 El calculo de f(−3/2) es redundante y puede parecer in-necesario. Sin embargo reiteremos la idea de que tiene valor importante comoverificacion. Notemos ademas que la evaluacion de f en ese punto se vuelveespecialmente sencilla, porque la parte en la que aparece el valor absoluto seanula. En la observacion 24 volveremos sobre el interes que para este ejemploespecıfico tiene calcular el valor de f en este punto. ♠

Dado que para x ≤ −3/2 los valores funcionales de f coinciden con los de3x+ 2, el grafico de f sobre ese intervalo coincide con el de la funcion lineal3x+ 2. El mismo razonamiento permite concluir que el grafico de f coincidecon el de −x − 4 para x ≥ −3/2. En la figura 55 aparecen los graficos deestas dos funciones lineales.


1

2

3

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

x

y

Figura 55.Graficos auxiliares para el grafico de x− 1− |2x+ 3|.

Identificando correctamente que parte de cada recta es relevante para elgrafico de f , podemos construir su grafico a partir de la figura 55. Recordemosque a la izquierda de x = −3/2, que es la abscisa del punto de corte de lasdos rectas oblicuas en la figura 55, los valores de la funcion f coinciden conlos de 3x + 2, por lo que es la parte que cae a la izquierda de x = −3/2 loque nos interesa conservar del grafico de esta funcion. Es decir, los puntos(x, y) que cumplen las condiciones

y = 3x+ 2, x ≤ −3

2.

Para x ≥ −3/2 conservamos los puntos que corresponden al grafico de −x−4.O sea, los puntos de la forma

y = −x− 4, x ≥ −3

2.

El resultado se muestra en la figura 56. Todo el grafico de f cae en el semi-plano y ≤ 0, que hemos enfatizado en ese dibujo.

Para cerrar esta parte del calculo, verificaremos que que los puntos (−3/2,−5/2)y (0,−4) estan en el grafico de f . Lo explicitamos destacandolos en la figura56.


1

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4−1−2−3−4

x

y

b

b

Figura 56.Grafico de x− 1− |2x+ 3| con puntos destacados

Ejercicio 112 Verificar que los puntos encontrados en el ejercicio 111, estanen el grafico de f .

Observacion 24 El grafico de f es lineal a trozos. Es un grafico continuoque sobre un intervalo coincide con el de una funcion lineal y sobre otrointervalo con el de otra funcion lineal. Se pasa de una funcion lineal a laotra en x = −3/2, que da lugar al punto (−3/2,−5/2) sobre el grafico def . Si podemos ubicar un punto del grafico de f que este a la derecha de−3/2 y otro a la izquierda, con esta informacion basta para construir todoel grafico, porque estara formado por la union de dos semirrectas, con origenen (−3/2,−5/2), que pueden construirse a partir de esos dos puntos.

Ya sabıamos que (0,−4) esta sobre el grafico de f . Un punto a la izquierdade −3/2 es

(−3, f(−3)) = (−3,−3− 1− |2× (−3) + 3|) = (−3,−7).

Si ubicamos estos puntos en el plano (x, y) obtenemos un esquema como elque aparece en la figura 57, donde hemos destacado especialmente (−3/2,−5/2)porque es el punto en el que cambia de signo la expresion afectada por el valorabsoluto y es el punto mas interesante para nuestro analisis.


1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

1 2 3 4−1−2−3−4−5

x

y

b

b

b

Figura 57. Los puntos (−3/2,−5/2), (−3,−7) y (0,−4) del grafico de x− 1− |2x+ 3|.Dibujando ahora las dos semirrectas con origen (−3/2,−5/2) que quedan

determinadas por los puntos que acabamos de hallar, construimos todo elgrafico de f . De este modo recuperamos el grafico que aparece en la figura56.

Observemos que con este nuevo procedimiento hemos encontrado el grafi-co de f haciendo solo tres evaluaciones de funcion. Una de estas evaluacioneses especialmente sencilla, porque hay que hacerla justamente donde la partecon el valor absoluto se anula. Las otras pueden elegirse a nuestra convenien-cia.

El procedimiento funciona para cualquier funcion g que sea de la forma

g(x) = ax+ b± |cx+ d|,porque al “sacar” las barras del valor absoluto, a cada lado del punto x =−d/c, donde la expresion lineal afectada por el valor absoluto cambia designo, aparecen sendas funciones lineales. ♠

Ejercicio 113 Construir el grafico de

f(x) = 2x− 1−∣

∣

∣1− x

2

∣

∣

∣.

Hacerlo por dos procedimientos:


1. hallando funciones lineales adecuados e identificando en que intervaloscoinciden con f ;

2. usando las ideas de la observacion 24.

Ejercicio 114 Construir el grafico de

f(x) = x+ |2x− 1| − |5− 3x|

Hacerlo por dos procedimientos:

1. hallando funciones lineales adecuadas e identificando en que intervaloscoinciden con f ;

2. haciendo una adaptacion adecuada de las ideas de la observacion 24.Sugerencia: para graficar la funcion de este ejercicio haran falta ahoraal menos cuatro evaluaciones.

.1.4. Otro ejemplo resuelto

En esta seccion vamos a estudiar la funcion

f(x) =x

4+

7

4− 3

4|1− x| , x ∈ R. (4)

Para graficar f buscaremos formulas mas simples, validas sobre interva-los, que nos permitan manejar expresiones sin valor absoluto. Recordamosentonces que

|1− x| ={

1− x, si 1− x ≥ 0;− (1− x) , si 1− x ≤ 0.

(5)

Esto no es mas que la aplicacion directa de la definicion de valor abso-luto, ya que el valor absoluto de cualquiercosa es cualquiercosa cuandocualquiercosa es mayor o igual que cero, y el opuesto −cualquiercosa cuandocualquiercosa es menor o igual que cero2.

El signo de 1 − x cambia en x = 1, donde la expresion se anula. Paravalores grandes de x el sumando −x predomina sobre 1, de modo que eldiagrama de signos es el que aparece en la figura 58.

2Es esta definicion del valor absoluto lo que justifica que cuando se trabaja con valores

absolutos sea conveniente conocer el signo de la expresion afectada por el valor absoluto


1

+ +

− −

0

Figura 58.

1

2

−1

1 2 3−1

Figura 59.

Es conveniente tener presente como es el grafico de 1− x, que aparece enla figura 59

El grafico contiene en realidad mucha mas informacion que la de signos,pero vale la pena verificar que las distintas representaciones de las propieda-des de 1 − x nos dan informacion coherente. En este caso, observamos queel grafico de 1− x esta por debajo del eje Ox para x ≥ 1 y por encima parax ≤ 1, lo que es consistente con lo que hemos representado en la figura 58.

La condicion

1− x ≥ 0,

puede expresarse de manera mas comoda, directamente en terminos de lavariable x, en la forma

x ≤ 1.

Analogamente, 1 − x ≤ 0 es equivalente a x ≥ 1. Teniendo en cuenta estasobservaciones y sustituyendo los valores absolutos en las formulas (4) paraf , obtenemos

f(x) =

x

4+

7

4− 3

4(1− x), si x ≤ 1;

x

4+

7

4+

3

4(1− x), si x ≤ 1;

Haciendo las cuentas resulta

f(x) =

{

x+ 1, si x ≤ 1;

−x

2+

5

2, si x ≤ 1;

(6)

¡Genial! Antes tenıamos una formula para f y ahora en (6) ya tenemos dos.Estamos el doble de bien que cuando empezamos. Afortunadamente, las ex-presiones en (6) son lineales, y facilitan tanto el calculo como la representa-cion grafica.


1

2

3

−1

1 2 3 4−1

Figura 60.

1

2

3

−1

1 2 3 4 5−1

Figura 61.

En la figura 60 graficamos y = x+1, destacando el tramo del grafico quecae en la region x ≤ 1 del plano (x, y), que es el intervalo de valores de x enque x+ 1 coincide con f(x). En la figura 61 agregamos al grafico anterior lopropio con y = −x/2 + 5/2 para x ≥ 1.

1

2

3

−1

1 2 3 4 5 6−1

Figura 62.

En la figura 62 aparece el grafico de f .

Observacion 25 Verificacion (I). En x = 1 la funcion f toma el valor

f(1) =1

4+

7

4− 3

4|1− 1| = 8

4= 2.

En x = 1 se anula la expresion que esta dentro del valor absoluto, lo quede algun modo simplifica el calculo y ademas implica que, en ese punto,son validas las dos formulas lineales que aparecen en (6). Podemos usarlastambien para evaluar, y comprobar nuestros resultados:

1 + x∣

∣

∣

x=1

= 1 + 1 = 2, −x

2+

5

2

∣

∣

∣

∣

x=1

= −1

2+

5

2=

4

2= 2.


Tal como debe ser, las tres determinaciones coinciden y corresponden al punto(1, 2) del grafico de f .

No esta de mas hacer un par mas de evaluaciones, una a cada lado de 1.Por ejemplo, en t = 0 el valor f(0) debe coincidir con x + 1 evaluado en 0,que es 1. Al hacer el calculo resulta

f(0) =0

4+

7

4− 3

4|1− 0| = 7

4− 3

4=

4

4= 1,

tal como esperabamos.

A la derecha de 1 tomamos x = 2 y evaluamos

−x

2+

5

2

∣

∣

∣

∣

x=2

= −2

2+

5

2=

3

2.

El valor de la funcion allı es

f(2) =2

4+

7

4− 3

4|1− 2| = 9

4− 3

4|−1| = 9

4− 3

4=

6

4=

3

2.

Hemos usado el calculo de los valores de f en x = 0, 1, 2 como verificacion.Pero notemos que una formula como (4) necesariamente tiene expresiones li-neales a la izquierda y a la derecha de x = 1, por lo que estas tres evaluacionespodrıan bastar para construir el grafico por un procedimiento alternativo: enel punto (1, 2) se encuentran las dos semirrectas que forman el grafico parax ≤ 1 y x ≥ 1. El conocimiento del punto (0, 1) determina completamente lasemirrecta sobre x ≤ 1, y el punto (2, 3/2) permitirıa construir la semirrectapara x ≥ 1.

Observacion 26 Verificacion (II). Las sencillas formulas lineales en (6)permiten determinar los ceros de f .

La expresion x + 1 se anula en −1. Como −1 ≤ 1, esta raız de x + 1efectivamente debe corresponder a un cero de f . Evaluamos para comprobar:

f(−1) =−1

4+

7

4− 3

4|1− (−1)| = 6

4− 3

4× 2 =

6

4− 6

4= 0.

La expresion −x/2 + 5/2 se anula en x = 5. Como 5 ≥ 1, esta raız de−x/2 + 5/2 tambien debe ser un cero de f . Evaluamos

f(5) =5

4+

7

4− 3

4|1− 5| = 12

4− 3

4|−4| = 12

4− 3

4× 4 =

12

4− 12

4= 0.

Haber identificado correctamente los puntos de corte del grafico de f con eleje Ox es una nueva verificacion de que nuestro trabajo es correcto. Es unaverificacion que suele ser conveniente hacer.


En la figura 63 aparece el grafico de f con el destaque de los cinco puntosde verificacion que acabamos de calcular.

1

2

3

−1

1 2 3 4 5−1

3

2

b

r

b

r

b

Figura 63.

.1.5. Algunas razones para trabajar con la funcion va-lor absoluto

.La funcion valor absoluto es una funcion sencilla que tiene interes por

su significado geometrico, sus propiedades y sus aplicaciones. Notemos queel valor absoluto de un numero es la distancia que lo separa del origen. Sitenemos en cuenta que en muchas aplicaciones los signos de los numerossimplemente expresan convenciones irrelevantes acerca de la orientacion delos ejes coordenados (por ejemplo, estar a −10 metros sobre el nivel delmar significa que estamos hundidos), el valor absoluto de un numero puedeverse como una medida de su tamano. Como en muchos contextos el tamanosı importa, suele ser un dato interesante.

El calculo del valor absoluto de x puede verse como el procedimiento deconsiderar x y −x y quedarse con el mas grande de los dos. Es entonces unmodelo de la operacion de tomar la mas grande entre dos posibildades, quetiene interes en muchas situaciones. En particular, en el dimensionamientode estructuras que pueden estar sometidas a mas de un regimen de cargas, esrecomendable disenar todas sus componentes para que resistan la mas grandede las solicitaciones que pueden recibir en las diferentes situaciones.

El valor absoluto aparece en diversas aplicaciones. Por ejemplo, la posicionde una partıcula que sufre un rebote perfectamente elastico puede describir-se perfectamente en terminos del valor absoluto. Otras funciones lineales atrozos aparecen naturalmente en diversos problemas, como el de calcular la


imposicion de un sistema fiscal como el del IRPF, con tasas variables porfranjas o el costo de un servicio que tiene una tasa basica y luego un preciopor unidad consumida.

El valor absoluto es tambien el ejemplo mas sencillo de funcion que es con-tinua en todos sus puntos, pero no es derivable en todos sus puntos. Aunqueno es nuestra intencion concentrarnos en este momento en la diferenciabilidadde las funciones, vale la pena recordarlo.

En el marco de nuestro curso, el valor absoluto nos permite construiruna familia interesante de funciones, relevante para algunas aplicaciones, conla que trabajar acerca de conceptos fundamentales del calculo integral, sinnecesidad de abordar la complejidad tecnica de determinar areas de regionesdel plano con bordes curvos. ♠

capitulo 1 adelanto 2

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