pDISEO DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE LA RESPUESTA EN FRECUENCIAEnfoque de la respuesta en frecuencia para el diseo de un sistema de control.Es importante sealar que, en el diseo de un sistema de control, por lo general lo ms importante es el desempeo de la respuesta transitoria. En el enfoque de la respuesta en frecuencia, especificamos el desempeo de la respuesta transitoria en una forma indirecta, es decir, el comportamiento de la respuesta transitoria, estimacin del amortiguamiento, se especifica en trminos: Margen de fase Margen de ganancia Magnitud del pico de resonanciaUna estimacin de la velocidad de la respuesta transitoria o una estimacin a grandes rasgos del amortiguamiento del sistema se puede estimar a travs de: Frecuencia de cruce de ganancia Ancho de bandaLa precisin en estado estacionario a travs, que indica la precisin en estado estable: Constantes de error estticoAunque la correlacin entre la respuesta transitoria y la respuesta en frecuencia es, indirecta, las especificaciones en el dominio de la frecuencia se cumplen adecuadamente en el enfoque de las diagramas de Bode.Despus de disear el lazo abierto mediante el mtodo de la respuesta en frecuencia, se determinan los polos y los ceros en lazo cerrado. Deben verificarse las caractersticas de la respuesta transitoria para saber si el sistema diseado satisface los requerimientos en el dominio del tiempo. De no ser as, debe modificarse el compensador y luego repetirse el anlisis hasta obtener un resultado satisfactorio.La grfica de la respuesta en frecuencia indica en forma clara la manera en la que debe modificarse el sistema, aunque no sea posible hacer una prediccin cuantitativa exacta de las caractersticas de la respuesta transitoria. El enfoque de la respuesta en frecuencia se aplica a los sistemas o componentes cuyas caractersticas dinmicas estn dadas en forma de datos de respuesta en frecuencia. Observe que, debido a la dificultad de obtener las ecuaciones que controlan ciertos componentes, por ejemplo neumticos o hidrulicos, por lo general las caractersticas dinmicas de dichos componentes se determinan en forma experimental a travs de pruebas de respuesta en frecuencia. Las grficas de respuesta en frecuencia obtenidas experimentalmente se combinan con facilidad con otras grficas obtenidas del mismo modo cuando se usa el enfoque de las diagramas de Bode. Observe tambin que, cuando se trabaja con ruido de frecuencia alta, encontramos que el enfoque de la respuesta en frecuencia es ms conveniente que otros.Bsicamente hay dos enfoques de diseo en el dominio de la frecuencia: Enfoque de la diagrama polar Enfoque de las diagrama de Bode. Cuando se aade un compensador, el diagrama polar no conserva su forma original, por lo que es necesario dibujar una nueva diagrama polar, esto toma tiempo y, por tanto, no es conveniente. En cambio, agregar a los diagramas de Bode del compensador a los diagramas de Bode originales es muy simple y, por tanto, graficar las diagramas de Bode completas es un asunto sencillo. Asimismo, si vara la ganancia en lazo abierto, la curva de magnitud se mueve hacia arriba o hacia abajo sin que se modifique la pendiente de la curva, y la curva de fase no cambia. Por tanto, para propsitos de diseo, es mejor trabajar con las diagramas de Bode.

Caractersticas bsicas de la compensacin de adelanto, de atraso y de atraso adelanto.La compensacin de adelanto produce, en esencia, un mejoramiento razonable en la respuesta transitoria y un cambio pequeo en la precisin en estado estable, puede acentuar los efectos del ruido de alta frecuencia. Por su parte, la compensacin de atraso produce un mejoramiento notable en la precisin en estado estable a costa de aumentar el tiempo de respuesta transitoria. La compensacin de atraso-adelanto combina las caractersticas de la compensacin de adelanto con las de la compensacin de atraso.

COMPENSACIN DE ADELANTOCaractersticas de los compensadores de adelanto.Considere un compensador de adelanto que tiene la funcin de transferencia siguiente:

Donde La red de adelanto tiene:

Dado que , vemos que el cero siempre se ubica a la derecha del polo en el plano complejo. El valor mnimo de est limitado por la construccin fsica del compensador de adelanto. Por lo general, el valor mnimo de se ubica cerca de 0.05. (Esto significa que el adelanto de fase mximo que produce el compensador es de alrededor de )La figura N 2.1 muestra la diagrama polar de una red de adelanto.Para: , y :

Figura N 2.1 Grafica polar para: , y

El diagrama de bode correspondiente, para las mismas condiciones, figura N 2.2:

Figura N 2.2 Diagramas de Bode para: , y

Adems se puede construir una grafica polar para cuando y . Figura N 2.3

Figura N 2.3 Diagrama polar para y

Para un valor determinado de , el ngulo entre el eje real positivo y la lnea tangente al semicrculo dibujada desde el origen, proporciona el ngulo de adelanto de fase mximo , asociada a frecuencia en el punto tangente. En la figura anterior, a la frecuencia el ngulo de fase correspondiente es . Adems del grafico podemos obtener:

En el diagrama de bode figura N 2.4, se da que es la media geomtrica de las dos frecuencias de esquina:

Figura N 2.4 Diagrama de bode par una red de adelanto

Para un compensador en adelanto, con , y

El diagrama polar y el diagrama de Bode del compensador de adelanto se muestran en la figura N 2.5 y 2.6. Las frecuencias de esquina para el compensador de adelanto son:

El ngulo de adelanto de fase mximo , lo obtenemos a partir de la ecuacin:

Donde:

La frecuencia a la que se da el mayor ngulo de adelanto es:

Diagrama polar:

Figura N 2.5 Diagrama polar , y Diagramas de Bode:

Figura N 2.6 Diagramas de bode , y Adems se puede observar que el compensador de adelanto es bsicamente un filtro paso altas.

Procedimiento para compensacin de adelanto basadas en la respuesta en frecuencia.La funcin principal del compensador de adelanto es volver a dar forma a la curva de respuesta en frecuencia a fin de ofrecer un ngulo de adelanto de fase suficiente para compensar el atraso de fase excesivo asociado con los componentes del sistema fijo.Considere el sistema de la figura N 2.7.

Figura N 2.7 Diagrama de bloques de un compensador en adelanto en serie

Suponga que las especificaciones del desempeo se dan en trminos: Margen de fase Margen de ganancia Constantes de error esttico de velocidadEl procedimiento para disear un compensador de adelanto mediante el enfoque de respuesta en frecuencia se plantea del modo siguiente:1. Suponer la red de adelanto:

Donde . Si definimos , entonces tendremos el compensador:

La funcin de transferencia de lazo abierto del sistema compensado ser:

Donde Determinar la ganancia que satisfaga el requerimiento sobre la constante esttica de error dada.2. Usando la ganancia determinada, dibuje los diagramas de Bode de , el sistema con la ganancia ajustada pero sin compensar. Calcule el valor del margen de fase.3. Determine el ngulo de adelanto de fase necesario que se agregar al sistema. (Considerar el desplazamiento de la curva de magnitud hacia la derecha por la inclusin del compensador 5 a 12 grados)4. Determine el factor de atenuacin , a partir de la ecuacin

Establezca la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual a

Seleccione sta como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a y el cambio de fase mximo ocurre en ella.5. Determine las frecuencias de esquina del compensador de adelanto del modo siguiente: Cero del compensador de adelanto:

Polo del compensador de adelanto:

6. Usando el valor de determinado en el paso 1 y el de establecido en el paso 4, calcule el valor de la constante :

7. Verifique el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. De no ser as, repita el proceso de diseo modificando la ubicacin de los polos y ceros del compensador hasta obtener un resultado satisfactorio

Ejemplo 2.1La funcin de transferencia de lazo abierto de un sistema est dado por:

Se quiere disear un compensador para el sistema de modo que la constante de error esttico de velocidad , el margen de fase sea al menos de y el margen de ganancia sea al menos de .SolucinEl sistema tiene la FT

Los diagramas de bode correspondientes, figura N 2.8:

Figura N 2.8

Usaremos un compensador de adelanto con la forma:

Donde . Si definimos , entonces tendremos:La funcin de transferencia de lazo abierto del sistema compensado ser:

Donde:

Determinamos la ganancia para que cumpla la especificacin de desempeo en estado estable, o proporcione la constante de error esttico de velocidad requerida, para el ejemplo :

Donde , por lo tanto:

De donde obtenemos:

Con , el sistema compensado cumple el requerimiento en estado estable, verificando:

El paso siguiente es la grafica de las diagramas de Bode de

La figura N 2.9, muestra las curvas de magnitud y de fase del sistema y de . A partir de estas diagramas, vemos que los mrgenes de fase y de ganancia del sistema son y , respectivamente. (Un margen de fase de implica que el sistema es muy oscilatorio. Por tanto, satisfacer la especificacin en estado estable produce un desempeo deficiente de la respuesta transitoria)

Figura N 2.9 Diagramas de bode de , margen de fase

Segn las especificaciones de desempeo se requiere de un margen de fase sea al menos . Por tanto, resulta necesario encontrar el adelanto de fase adicional a fin de satisfacer el requerimiento de que la estabilidad relativa, para este ejemplo ser NotaSi consideramos que la curva de magnitud del compensador en adelanto no modifica la curva de magnitud del sistema , asumimos que el requerimiento de ngulo es y se debe dar en . Por lo tanto tenemos:

Remplazando el valor de , obtenemos:

La frecuencia se selecciona como la frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a:

Y el cambio de fase mximo ocurre en ella. Por lo tanto si:

Determinamos las frecuencias de esquina del compensador de adelanto: Cero:

Polo:

El compensador en adelanto queda determinado:

El valor de determinamos de la relacin :

La funcin de transferencia del compensador en adelanto es:

La grafica de bode del sistema, y del compensador se dan figura N 2.10

Figura N 2.10La funcin de transferencia del sistema compensado es:

Graficas de bode del sistema compensado:

Figura N 2.11Del diagrama de bode concluimos que por el efecto de la magnitud del compensador de adelanto no se cumple los requerimientos de margen de fase ().

Para obtener un margen de fase de sin disminuir el valor de K y considerando el aporte de magnitud del compensador; el compensador de adelanto debe contribuir al ngulo de fase requerido, tomando en cuenta que la adicin del compensador de adelanto modifica la curva de magnitud de las diagramas de Bode, vemos que la frecuencia de cruce de ganancia se mover hacia la derecha y disminuye el margen de fase. Figura N 2.12.

Figura N 2.12

Considerando el cambio de la frecuencia de cruce de ganancia, suponemos que adelanto de fase mximo requerido, es de aproximadamente . (Esto significa que se han agregado para compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia; pudiendo ser entre 5 y 12)Por lo tanto tenemos:

Remplazando el valor de , obtenemos:

La modificacin de magnitud a la frecuencia por la inclusin de la red de adelanto se puede calcular:

Que en dB es igual a:

Determinar la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual a la magnitud determinada previamente ()De la grafica de bode, figura N 2.13, podemos obtener que a la magnitud de tenemos a una frecuencia de

Figura N 2.13

La frecuencia hallada se selecciona como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a , y el cambio de fase mximo ocurre en ella. Por lo tanto si:

Determinamos las frecuencias de esquina del compensador de adelanto: Cero:

Polo:

El compensador en adelanto queda determinado:

El valor de determinamos de la relacin , donde:

La funcin de transferencia del compensador en adelanto es:

La grafica de bode del compensador, figura N 2.14

Figura N 2.14La grafica de Bode del sistema y del compensador, figura N 2.15

Figura N 2.15La funcin de transferencia del sistema compensado es:

Graficas de bode del sistema sin compensar y compensado, figura N 2.16:

Figura N 2.16La respuesta ante una entrada escaln y rampa al sistema no compensado y compensado la hallamos a partir de las funciones de transferencia de lazo cerrado, las cuales se hallan: Sistema no compensado:Lazo abierto

Lazo cerrado

Sistema compensado:Lazo abierto

Lazo cerrado

La respuesta escaln del sistema sin compensar y compensado, figura N 2.17:

Figura N 2.17La respuesta ante una entrada rampa para los sistemas no compensado y compensado, figura N 2.18:

Figura N 2.18

Ejemplo 2.2La funcin de transferencia de lazo abierto de un sistema est dado por:

Se quiere disear un compensador para el sistema de que el margen de fase en lazo cerrado sea , margen de ganancia sea al menos de , constante de error estatico de velocidad SolucinEl sistema tiene la FT

Los diagramas de bode correspondientes, figura N 2.20

Figura N 2.20Usaremos un compensador de adelanto con la forma:

Donde . Si definimos , entonces tendremos:La funcin de transferencia de lazo abierto del sistema compensado ser:

Donde:

El primer paso en el diseo es ajustar la ganancia para que cumpla la especificacin de desempeo en estado estable, o proporcione la constante de error esttico de velocidad requerida. Dado que la constante requerida es de :

Recordar que , por lo tanto:

De donde obtenemos:

Con , el sistema compensado cumple el requerimiento en estado estable, verificando:

El paso siguiente es la grafica de las diagramas de Bode de

La figura N 2.21, muestra las curvas de magnitud y de fase del sistema original y de . A partir de estas diagramas, vemos que los mrgenes de fase y de ganancia del sistema son y , respectivamente.

Figura N 2.21 Diagramas de bode de , margen de fase Segn las especificaciones de desempeo se requieren de un margen de fase sea . Por tanto, resulta necesario encontrar el adelanto de fase adicional a fin de satisfacer el requerimiento de que la estabilidad relativa, para este ejemplo ser , el cual debe contribuir el compensador en adelanto sin disminuir el valor de KTomando en cuenta que la adicin de un compensador de adelanto modifica la curva de magnitud de las diagramas de Bode. Debemos compensar el incremento en el atraso de fase de , debido a este incremento en la frecuencia de cruce de ganancia. Considerando el cambio de la frecuencia de cruce de ganancia, suponemos que adelanto de fase mximo requerido, es de aproximadamente . (Esto significa que se han agregado para compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia; pudiendo ser entre 5 y 12)Por lo tanto tenemos:

Remplazando el valor de , obtenemos:

De donde obtenemos:

La modificacin de magnitud a la frecuencia por la inclusin de la red de adelanto se puede determinar:

Que en dB es igual a:

El siguiente paso es determinar la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual a la magnitud determinada previamente ()De la grafica de bode, figura N 2.21, podemos obtener que a la magnitud de tenemos a una frecuencia de

Figura N 2.21 La frecuencia hallada se selecciona como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a:

Y la contribucin de fase mximo ocurre en ella. Por lo tanto si:

Determinamos las frecuencias de esquina del compensador de adelanto: Cero:

Polo:

El compensador en adelanto queda determinado:

El valor de determinamos de la relacin:

La funcin de transferencia del compensador en adelanto es:

La grafica de bode del compensador figura N 2.22

Figura N 2.22

La grafica de Bode del sistema y del compensador, figura N 2.23

Figura N 2.23La funcin de transferencia del sistema compensado es:

Graficas de bode del sistema compensado, figura N 2.24:

Figura N 2.24La grafica de bode del sistema, del compensador y del sistema compensado se muestra en la figura N 2.25 siguiente:

Figura N 2.25La respuesta ante una entrada escaln al sistema no compensado y compensado la hallamos a partir de las funciones de transferencia de lazo cerrado, las cuales se hallan: Sistema no compensado:Lazo abierto

Lazo cerrado

La respuesta escaln, figura 2.26:

Figura N 2.26 Sistema compensado:Lazo abierto

Lazo cerrado

La respuesta escaln, figura N 2.27:

Figura N 2.27La respuesta de ambos en la misma grafica, figura N 2.28:

Figura N 2.28La respuesta ante una entrada rampa para los sistemas no compensado y compensado, figura N 2.29:

Figura N 2.29Ejemplo 2.3Remitindonos al sistema en lazo cerrado de la figura N 2.30, disee un compensador de adelanto tal que el margen de fase sea de , el margen de ganancia no sea menor que y la constante de error de velocidad . Grafique con MATLAB las curvas de respuesta escaln unitario y rampa unitaria del sistema compensado

Figura N 2.30

SolucinEn la figura N 2.31 esta el diagrama de Bode para el sistema no compensado, la FT de lazo abierto del sistema :

Figura N 2.31Las especificaciones de desempeo para el sistema:

Constante de error esttico de velocidad sea de , Margen de fase sea de Margen de ganancia sea de Suponemos el compensador adelanto:

Para cumplir la constante de error esttico de velocidad sea de , hacemos:

Si definimos , constante del sistema:

La nueva FT que satisface los requerimientos de la constante de error esttico de velocidad, con el nuevo valor de es:

Verificando el cumplimiento de :

Los diagramas de bode para este nuevo valor de constante tenemos en la siguiente figura N 2.32, para la funcin de transferencia siguiente

Figura N 2.32

La figura N 2.32, muestra las curvas de magnitud y de fase del sistema y de . A partir de estas diagramas, vemos que los mrgenes de fase y de ganancia del sistema son y , respectivamente.

Segn las especificaciones de desempeo se requiere de un margen de fase de cuando menos . Por tanto, resulta necesario encontrar el adelanto de fase adicional a fin de satisfacer el requerimiento de que la estabilidad relativa, para este ejemplo ser Para obtener un margen de fase de sin disminuir el valor de K, el compensador de adelanto debe contribuir al ngulo de fase requerido. Tomando en cuenta que la adicin de un compensador de adelanto modifica la curva de magnitud de las diagramas de Bode, vemos que la frecuencia de cruce de ganancia se mover.

Debemos compensar el incremento en el atraso de fase de , debido a este incremento en la frecuencia de cruce de ganancia. Considerando el cambio de la frecuencia de cruce de ganancia, suponemos que adelanto de fase mximo requerido, es de aproximadamente . (Esto significa que se han agregado para compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia; pudiendo ser entre 5 y 12)Por lo tanto tenemos:

Remplazando el valor de , obtenemos:

De donde obtenemos:

Lo que se modifica en la frecuencia por la inclusin de la red de adelanto se puede expresar:

Que en dB es igual a:

Determinar la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual a la magnitud determinada previamente ()De la grafica de bode, figura N 2.33, podemos obtener que a la magnitud de tenemos a una frecuencia de

Figura N 2.33La frecuencia hallada se selecciona como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a:

Y el cambio de fase mximo ocurre en ella. Por lo tanto si:

Determinamos las frecuencias de esquina del compensador de adelanto: Cero:

Polo:

El compensador en adelanto queda determinado:

El valor de determinamos de la relacin , si asumimos :

La funcin de transferencia del compensador en adelanto es:

La grafica de bode del sistema y compensador separados figura N 2.34

Figura N 2.34

La grafica de Bode del sistema y del compensador, figura N 2.35

Figura N 2.35La funcin de transferencia del sistema compensado es:

Graficas de bode del sistema compensado, figura N 2.36:

Figura N 2.36La respuesta ante una entrada escaln al sistema no compensado y compensado la hallamos a partir de las funciones de transferencia de lazo cerrado, las cuales se hallan: Sistema no compensado:Lazo abierto

Lazo cerrado

Sistema compensado:Lazo abierto

Lazo cerrado

La respuesta del sistema no compensado y del sistema compensado ambos en la misma grafica, figura 2.37:

Figura N 2.37

La respuesta ante una entrada rampa para los sistemas no compensado y compensado, figura N 2.38:

Figura N 2.38