capitulo 07 relojes
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8/13/2019 Capitulo 07 Relojes
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ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI Siempre los primeros, dejando huella
NGULOS ENTRE LAS MANECILLAS!ORARIO " MINUTERO#
Las posiciones de las manecillas de un reloj dependenuna de la otra.
1 divisin < > 1 minuto < > 6
An$lisis del re%orrido de las a&ujas
Minutero Horario
x x
12
x x min. div.
12x
x div. div.12
RELACI'N ENTRE EL RECORRIDO DELMINUTERO " EL !ORARIO
M= 12 H
M : ecorrido d el minutero en minutosH : ecorrido del !orario en minutos
Ejemplo Ilus(ra(i)o*
"ra#i$ue la posicin de las a%ujas & el 'n%ulo recorridopor el !orario( cuando son las ):2*
+ara el an'lisis de los recorridos se inicia desde la !oraexacta( en este caso( empe,amos desde las ):**( seo-serva $ue desde esa !ora !asta la !ora indicada !antranscurrido 2* minutos( entonces el minutero !a !ec!oun recorrido de 2* minutos( mientras $ue el !orario!a-r' -arrido un 'n%ulo de 1*.
Minutero Hora rio
2* 2* min = 1*
2
una determinada !ora( las manecillas de unreloj #orman dos 'n%ulos: / /
& / / 0ver#i%ura convencionalmente el $ue se calcula es el
menor 'n%ulo / / ( pero si nos pidieran calcular
el otro 'n%ulo / / ( -astar3a con recordar $ue:/ 46* / = .
46*
+ara calcular el 'n%ulo $ue #orman las manecillas
de un reloj a una determinada !ora o para calcularla !ora conociendo el 'n%ulo $ue #orman las
manecillas( de-emos tomar como punto departida la !ora exacta m's prxima( pero anterior
a la !ora indicada como dato.
M+TODO RCTICO ARA CALCULAR ELNGULO ENTRE LAS MANECILLAS DEL
RELO-
I# CUANDO EL MINUTERO SE ENCUENTRAANTES .UE EL !ORARIO
///0an(orai0%om0pe 12
12
6
45
2
1
7)
8
1*
11
1*
2*m
inuto
s
12
6
45
2
1
7)
8
1*
11
12
6
45
2
1
7)
8
1*
11
4*
4*
4*
12111
4*
66
666
4*
4*
9n el minutero se cumple:
/x/ divisiones < > /x/ minutos
M;9 M;9 H H
0div ? min 0%rados 0div?min 0%rados
6* 46* 7 4*
4* 18* 2(7 17
17 5* 7 @ )(7
M M M M
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8/13/2019 Capitulo 07 Relojes
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RA3ONAMIENTO MATEMTICO COMENDIO ACAD+MICO 4
11 4*H m
2
ABuC 'n%ulo #orman el !orario & el minutero a las :1*D
Solu%i5n*Eatos:
H m= 1*=
eempla,ando:
114* 1*2
=9valuando:
= 67 Rp(a0
II# CUANDO EL !ORARIO SE ENCUENTRAANTES .UE EL MINUTERO
11 m 4*H
2
ABuC 'n%ulo #orman las a%ujas de un reloj a las :*D
Solu%i5n*Eatos:
H m= *=eempla,ando:
11 * 4* 2
=9valuando:
= 1** Rp(a0
CRITERIOS A TOMAR EN CUENTA
Cri(erio 4*Fuanndo sean las 12:2*( el valor de Hasumir' el valor de cero. 0 H * & M= 2*=
11 2* 4* *2
=11*=
Cri(erio 6* Gi la !ora es expresada en el #ormato delas 2 !oras( Csta de-e expresarse en notacin de las12 !oras 0su #orma tradicional. 9s decir( si son las
15:* !oras( por lo tanto: H ) & M= *= .
11 * 4* )2
=1*=
Cri(erio 2* Gi nos dicen $ue las manecillas del relojse encuentran superpuestas( entonces el 'n%ulo entrelas manecillas 0 I ser' cero 0*( podemos utili,arcual$uiera de las dos #rmulas
Cri(erio 7* Gi nos indican $ue las manecillas est'nopuestas( entonces el valor de I es 18*.
Cri(erio 8* Gi nos piden !allar una determinada !orapor primera ve,( se considera $ue el minutero seencuentra antes $ue el !orario( utili,aremos:
11 4*H m
2
Cri(erio 9* Gi nos piden !allar una determinada !orapor se%unda ve,( se considera $ue el !orario seencuentra antes $ue el minutero( utili,aremos:
11 m 4*H
2
ro:lema 4
ABuC !ora indica el relojDa 2:71
- 2:72
c 2:74
d 2:7
e 2:7J 4*JJ
Solu%i5n*
Hacemos( un analisis
!aciendo unos tra,os
auxiliares e indicando
al%unos an%ulos.
Eel %r'#ico:
x
4* 2
= ... 0 06x 2 4* 46* K 0
Ee 0 & 0
x6x 2 4* 44*
2
+ - =
7x 2)* x= 7=
La !ora ser':2 : 7 6
Rp(a0
ro:lema 6
///0an(orai0%om0pe17
12
6
45
2
1
7)
8
1*
11
12
6
45
2
1
7)
8
1*
11
12
6
45
2
1
7)
8
1*
11
x
2
4*
2
( )/x / m in < > 6x
12
6
45
2
1
7)
8
1*
11
2
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ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI Siempre los primeros, dejando huella-servando el %r'#ico determinar $uC !ora es:
a :7
27)
6
- : 27)
76
c : 2712
76
d : 27
)6
e : 274
6
Solu%i5n*
nali,ando
en el %r'#ico
Ge ve $ue:
x
2
= K0 6x 4 4* 17* 46* =
6x 2 18*= K0 eempla,ando 0 & 0
6x 2x
218*
= esolviendo: )x 18* 18*x=
) 7x=
)27
La !ora pedida es: :7
27)
6 Rp(a0
ro:lema 2
ABuC !ora indica el %r'#icoD
a 4:48
- 4:46
c 4:4)
d 4:45
e 4: 4)J 4*JJ
Solu%i5n*
"ra#icando & adicionandos datos:
Eel es$uema:
x
2
= 2 = x K 0 dems( del %r'#ico:
2 1* 6x 18*= K 0 Ee 0 & 0 ( reempla,ando & resolviendo:
x 1* 6x 18*=x 15* 6x+ =
15* 7x x= 48=
Lue%o la !ora ser': 4 : 4 8 Rp(a0
ro:lema 7
ABuC 'n%ulo #ormar'n las manecillas de un reloj a las:4D
a 7* - 6) c 7d 7 e 4
Solu%i5n*
Eatos:m 4
H
==9l minutero adelanta al !orario( aplicaremos:
11 m 4*H
2
eempla,ando:
11
4 4* 2
18) 12*
6 ) Rp(a0
ro:lema 8
A $uC !ora entre las 4 pm & las pm( las manecillas deun reloj #orman un 'n%ulo de 8* por primera ve,D
a5
4 ! 1 min11
-
4 ! 6 min11
c7
4 ! 7 min11
d4
4 ! ) min11
e
84 ! 2 min
11
Solu%i5n*
///0an(orai0%om0pe 18
12
6
45
2
1
7)
8
1*
11
2
12
6
45
2
1
7)
8
1*
114*
2
4*
(
)
/x/m
in
6x
4*
4*
4*
4*
12
6
45
2
1
7)
8
1*
11
x
2
(
)
/x/
min
6x
2
1*
+
12
6
45
2
1
7)
8
1*
11
2
1*
+
-
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RA3ONAMIENTO MATEMTICO COMENDIO ACAD+MICO 4
Eatos: 8 *
H 4
==+or el criterio *7
11
4*H m2
=eempla,ando:
11 8* 4* 4 m2
=11
m = 5* 8*2
5m = 111
La !ora ser':5
4 ! 1 min11
Rp(a0
ro:lema 9
ABuC an%ulo #ormar'n las manecillas de un reloj cuando
sean 7 minutos antes $ue la 1:2* pmDa 6* - 46 c 7d 7* e 44
Solu%ion*7 minutos antes $ue la 1:** p.m. ser' 12:*6( por el
criterio *1( el valor de H=*
Eatos:m 6
H *
9l !orario se encuentra antes $ue el minutero(
aplicaremos:
11
m 4*H2
eempla,ando:
11 6 4* *2
44 Rp(a0
ro:lema ;
A $uC !ora entre las 14 & las 1 !oras( las manecillas
de un reloj se superponenD
a4
14 ! ) min11
-7
14 ! 6 min11
c7
14 ! 7 min
11
d)
14 ! 4 min
11
e2
14 ! 8 min11
Solu%i5n*Gi se superponen entonces el 'n%ulo * & podemosutili,ar cual$uiera de las dos #rmulas.
11 m 4*H
2
11 4*H m
2
+ara emplear la #rmula se de-e tener en cuenta $ue la
!ora de-e estar expresada en su #orma tradicional(
entonces en ve, de decir entre las 14:** & las 1:**!oras diremos entre la 1:** pm & las 2:** pm
Eatos: *
H 1
==eempla,ando:
11* = m 4* 12
11 7m 4* m= 7
2 11
Lue%o( la !ora pedida:7
14 ! 7 min11
Rp(a0
TIEMO TRANSCURRIDO " TIEMO .UE 2 !
iempotranscurrido
iempo $ue #alta transcurrir
Horaexacta
iempotranscurrido
iempo $ue #alta
transcurrir
Horaexacta
Hora0 1
Hora0 2
Eentro d e 1* min
iempo transcurrido
12 4Lo $ue #altar' paralas 11( pero dentrode 1* min.
12 4
* : * * 11:* * a .m.
7 x 1* 4x 6-
11 !oras 11 6* min. 66* min.
12 4
$u3 est' la!ora exacta
( )9sto es 6 menos
4$ue los 7x
7
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ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI Siempre los primeros, dejando huella7x 7 82 1* min 6 H 7* min= =Hora pedida: 6 :7* a .m. Rp(a0
ro:lema 6
Gon m's de las 2 sin ser las 4 de esta madru%ada( perodentro de * minutos #altar'n para las a.m.( el mismotiempo $ue transcurri desde la 1 !asta !ace * minutos.ABuC !ora esDa 2:2* a.m. - 2:4* a.m. c 2:4* a.m.d :17 a.m. e 6:12 a.m.
Solu%i5n
Eel es$uema se o-tiene:
x * * x 18* =esolviendo: x 7* min
Lue%o la !ora pedida ser':
1:** a.m. 7* min * min= 2:4* a.m. Rp(a0
ro:lema 2
n alumno le dice a su ami%a: cuando la suma de lasci#ras de las !oras transcurridas sea i%ual a las !oraspor transcurrir te espero donde &a tN sa-esI. A $uC!ora es la citaDa 12 a.m. - 1* p.m. c ) a.m.d 5 p.m. e 11 p.m.
Solu%i5n*
Eel es$uema:
a- a - 2 =Eescomponiendo & resolviendo:1*a - a - 2+ + + = 11a 2- 2+ =
Eespejando:( )2 12 -
a11
-
=
anteando adecuadamente( concluiremos $ue:
- 1= & a 2=
Lue%o ser'n las 21 !oras( es decir las
5:** p.m. Rp(a0
ro:lema 7
Eentro de ! se veri#icar' $ue el tiempo transcurrido
del d3a ser' 8@4 de lo $ue #alta por transcurrir( m's 2!oras. ABuC !ora ser' cuando transcurran a partir de
estos momentos cierta cantidad de !oras numCricamentei%ual a la dCcima parte del 'n%ulo $ue #orman las a%ujas
actualmente 0sexa%esimalesDa 5: ** p.m. - 2:** p.m. c 6:** p.m.
d 8: ** pm e 1*:** p.m.
Solu%i5n*Eel enunciado( podemos construir el si%uiente %r'#ico:
Ge%Nn %r'#ico:
8x 2 4x 2+ + =
esolviendo: x 2=
Lue%o( dentro de !oras ser'n las:
( )8 2 2 18 !oras+ =+or lo tanto( la !ora exacta es las 1:** !oras o las 2:**p.m. & el 'n%ulo $ue #orman las manecillas ser':
114* 2 *2
= 6 *Ge%Nn el enunciado:
6*6 H
1*=
Hora pedida: 2 : ** 6 H=+ 8:** p.m. Rp(a0
RO=LEMAS SO=RE ADELANTOS "ATRASOS*
Gur%en como consecuencia del #uncionamiento dea$uellos relojes de#ectuosos 0malo%rados( los cualesre%istran adelantos o retrasos respecto a la !ora seOaladapor un reloj de #uncionamiento normal.
///0an(orai0%om0pe 1;
$u3 est' la!ora exacta
Eentro de * min
iempo transcurridodesde la 1:** a.m.!asta !ace * min.
12 4Lo $ue #alta paralas :** a.m. perodentro de * min.
12 4
* : * * :* * a.m.
x * min
( )4 !o ra s < > 4 6 * m in . < > 1 8* min .
16666666666666666266666666666666664
* m in x
Hace* min
Horas ranscurridas
16666662 6666664Horas por transcurrir
16666662 6666664
*:** 2:**
a -
1 d 3a < > 2 ! o ra s
12 4
a -+
$u3 est' la!ora pedida
Hora $ue
marca un
reloj $ue seatrasa.
Hora
eal
Hora $ue
marca un
reloj $ue seadelanta
G
LE9L;
L
Horas ranscurridas
16666662 6666664Horas por transcurrir
166666626666664
*:** 2:**
8x 2+
1 d3a < > 26 !oras
12 4
4x
La !ora dentro
de !oras
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RA3ONAMIENTO MATEMTICO COMENDIO ACAD+MICO 4
+ara este tipo de pro-lemas de-emostener en cuenta las si%uientes
relaciones:
Hora eal= Hora Marcada .delanto-
Hora eal= Hora Marcada .traso
+ara $ue un reloj vuelva a marcar la
!ora exacta sus manecillas de-en estaren la misma posicin( esto ocurrir'
cuando el !orario dC una vueltacompleta( por ello tendr3an $ue
transcurrir 12 !oras de adelanto o atraso0)2* minutos.
ro:lema 4
partir de las 1* a.m. de !o& lunes( un reloj empie,a aatrasarse por cada !ora( 4 minutos. ABuC !ora estar'marcando el d3a martes a las 6 pmDa 4:26 p.m. - :2 p.m. c 7:*6 p.m.d 4:76 p.m. e :21 p.m.
Solu%i5n*
Ge o-serva $ue !an transcurrido 42 !oras( entonces entodo este tiempo se !a-r' atrasado 42 4 56= minutos( o 1 !ora & 46 minutos( por lo tanto( la !ora $ueestar' marcando el reloj ser':
6 p.m . 1 H 46 min =- 6:26 p.m. Rp(a0
O=S+uedes utili,ar la re%la de tres para tener el atraso total:
x 4 min 42= 56 min= Lue%o se tiene $ue:Hora marcada = Hora real traso otal-
= 6:** pm 56 min-
= 6 : 26 p.m. Rp(a0
ro:lema 6
n reloj se adelanta 1 min por !ora( si empie,acorrectamente a las 12 del mediod3a del d3a jueves 16 desetiem-re. AFu'ndo volver' el reloj a seOalar la !oracorrectaD
a 1* de octu-re - 16 de octu-rec 4* de setiem-re d de octu-ree 2* de octu-re
Solu%i5n*
x )2* H < > 4* d3as=
Lue%o la #ec!a pedida ser':16 de setiem-re 4* d3as
16 d e >ctu-re Rp(a0
O=SGi uno !ace %irar en cual$uier sentido las manecillas
!asta $ue el !orario complete una vuelta( retornando a la
posicin en $ue se encontra-a se ver' $ue dic!o reloj(continNa marcando la !ora correcta.
ro:lema 2
n reloj se adelanta ) minutos cada !ora & otro se atrasa14 minutos cada !ora( am-os relojes se ponen a la !oraa las 12 del d3a AEespuCs de cu'nto tiempo el primeroestar' alejado 4* minuos respecto al otroDa 2* min - )* min c 5* mind 17 min e 417 min
Solu%i5n*9l primer reloj se adelanta ) minutos en 1 !ora
9l se%undo reloj se atrasa 14 minutos en 1 !ora9ntonces se puede concluir $ue en una !ora los dos sealejar'n: ) 14 2* min+ =
4x Hora
2= = 5* min Rp(a0
ro:lema 7
n reloj se atrasa 4 minutos cada 2 !oras & otro seadelanta 2 minutos cada !ora( si se malo%raron en el
mismo instante. partir de este Nltimo momento(despuCs de cu'ntos d3as volver'n a marcarsimult'neamente la !ora correcta.a 2* - 7 c 12*d 6* e 57
Solu%i5n*Ee-emos encontrar un tiempo en $ue am-os sedistorsionan 12 H o un mNltiplo de 12 H( pero primero!allemos por separado el tiempo en $ue se adelantan ose atrasan 12 H o )2* min.rimer reloj
///0an(orai0%om0pe1>
1* : ** a .m. 6 : ** p .m.
tiempo transcurrido 42 ! oras
Lunes Martes
traso =otal =iempo =ranscurrido4 min 1 H
x min 42 min
=iempo =ranscurrido delanto =otal
1 H 1 minx )2* min
=iempo =ranscurrido lejamiento =otal
1 H 2* min
x 4* min
1
=iempo =ranscurrido traso =otal
2 H 4 min= ) 2* m in
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ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI Siempre los primeros, dejando huella( )
1 1
)2* 2 8* H 2* d3as
4= = =
Se&undo reloj
( )2 1
)2* 1 8* H 17 d3as
2= = =
Lue%o marcar' la !ora correcta cada 2* d3as & el otrocada 17 d3as por lo tanto para $ue am-os coincidan enmarcar la !ora correcta( de-er' transcurrir un tiempocomNn $ue conten%a exactamente a 2* & 17( el cualser':
( )MFM 2*(17 = 6* Rp(a0
NOTA*nl caso ser3a( $ue am-os relojes coincidan con la !oramarcada & otro es $ue mar$uen am-os la !ora correcta0$ue en al%unos casos pueden coincidir
ro:lema 8
Ge%Nn una le&enda !ace muc!o tiempo exist3a un
pue-lo $ue el d3a lo divid3a en 8 !oras & cada !ora en 8*
minutos. Gi ellos indica-an $ue eran las 7 !oras con 4*minutos( ABuC !ora sera realmente se%Nn un reloj
actualDa :4* p.m. - :2* a.m. c 6:4* p.m.
d 7:4* p.m. e :)J4*JJ p.m.
Solu%i5n*4 4
7 H 4* min < > 7 H H H8 8
=
Lue%o:
+or re%la de tres
125x
8=
1
8x 16=
Lue%o ser'n las:1H
16H 16H ) P 4* PP8
+ =
6 : )P 4*PP p.m. Rp(a0
N?MERO DE CAMANADAS EN UNDETERMINADO TIEMO
nali,ando para un reloj $ue indica la !ora con i%ual
nNmero de campanadas.
o o; Fampanadas= ; :n te rva losM 1
ro:lema 4
Ge tiene un reloj $ue indica la !ora con i%ual nNmero de
campanadas. Gi para indicar $ue son las 6:** a.m.demor 1* se%undos( Acu'nto se demorar' para indicar
$ue son las 11:** a.m. del mismo d3aDa 2* s - 1* s c 27 s
d 18 s e 12 s
Solu%i5n*Fuando el reloj indica las 6:** a.m.( ella toca 6campanadas( por lo tanto( !a& 7 intervalos & como se
demora 1* se%undos en tocar( cada intervalo de tiempoentre campanada & campanada es de 2 se%undos( como
se indica en la si%uiente #i%ura:
!ora( para indicar las 11:** a.m.( de-e tocar 11
campanadas( & por lo tanto !a& 1* intervalos de tiempo(
ver %r'#ico:
Q como cada intervalo de tiempo es de 2 se%undos( entotal se demor' en tocar 1*02=2* s.
2* s Rp(a0
METODO A=RE@IADO
plicaremos: =
1 2e
1 2
= t
F 1 F 1
R 1 : iempo $ue se mantendr' para dar 1F
campanadas
R 2 : iempo $ue perdurar' para dar 2F
campanadasR e : 9l intervalo de tiempo entre campanada &
campanada.
///0an(orai0%om0pe 11
2
=iempo =ranscurrido traso =otal
61 H 2 min= ) 2* m in
1 2 4 7 n 1 n
/n/ campanadas
/n 1/ n te rva los
1 2 4 7
/6/ campanadas
/7 / intervalos
6
2 s
6 : * *
2 s 2 s 2 s 2 s
1
/11/ campanadas
/1* / intervalos
2 s
2 4 7 6 ) 8 5 1* 11
2 s 2 s 2 s 2 s 2 s 2 s 2 s 2 s 2 sctual nti%Sedad
2 H 8
4x
8
-
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RA3ONAMIENTO MATEMTICO COMENDIO ACAD+MICO 4
Apli%amos la 5rmula en el pro:lema an(erior0
Eatos:
eempla,ando en la #rmula:
21*
6 1 11 1
=
esolviendo:
2 = 2* s Rp(a0
ro:lema 6
n reloj demora 12 se%undos en dar ) campanadas.
AFu'ntas campanadas dar' en 46 se%undosDa 16 - 1) c 18 e 15 e 2*
Solu%i5n*Eatos:
eempla,ando en la #rmula:
2
12 46) 1 F 1
=
esolviendo:
2F = 15 Rp(a0
40 AFu'l es el menor 'n%ulo $ue #orman las manecillasde un reloj( a las: 12 ! 2* minDa 58 - 127 c 11*
d 146 e 2*
60 Hallar el suplemento del complemento del 'n%ulo$ue #orman las manecillas a las :2* p.m.
a 5* - 1** c 11*d 8* e 1)*
20 9ntre las & las 7( a $uC !ora por primera ve, se#orma un 'n%ulo de 67.
a ! 1* min -)
! 44 min11
c ! 47 min d7
! 47 min11
e4
! 25 min11
70 BFu'ntos minutos despuCs de las 4 !oras se #orma un'n%ulo de 74( lue%o $ue el minutero so-repas al!orarioD
a 2* min - 22 min c 18 min
d 26 min e 16 min
80 He-er le dice a su enamorada:Ie espero en el lu%arde siempre( cuando despuCs de las 8 p.m. las manecillas
de mi reloj estCn en l3nea rectaI. A $uC !oraexactamente es la citaD
a8
8 ! 1* min 72 s11
- 5 ! 1* min 7* sc 8 ! 1 7 min
d8
5 ! 1* min 72 s11
e6
8 ! 1* min 7 s11
90 9l examen semanal de la academia aimondiempie,a a las :17 p.m. & de-e terminar entre las 6 & las) p.m.( cuando las manecillas del reloj de la academia
#ormen un 'n%ulo de * por se%unda ve,. AFu'ntotiempo dura el examenD
a 2 ! - 2 ! 17 min c 2 ! 2* mind 2 ! 27 min e 2 ! 1* min
;0 osita se diri%e a su tra-ajo( cuando las manecillasde su reloj est'n superpuestas entre las 8 & las 5 a.m.( &
lle%a a su tra-ajo entre las 2 & las 4 p.m. Aen cuantotiempo osita lle%o a su tra-ajoDa 2 ! - 4 ! c !
d 6 ! e ) !
>0 9ntre las 1:** ! & las 17:** !. A $uC !ora lasmanecillas #ormar'n un 'n%ulo $ue sea i%ual a los 2@4
de su suplementoDa 1:2 - 1:7 c 1:24
d 17:7 e 17:2
10 ABuC !ora es en el %r'#ico adjuntoD
a 81* : 42 !11
- 1* : 47
c)
1* : 44 !11
d5
1* : 42 !11
e8
1* : 41 !11
40l o-servar mi reloj veo $ue el minutero est' antes$ue el !orario #ormando xI.Lue%o de 4* minutoso-servo nuevamente mi reloj & veo $ue el minutero est'
delante del !orario #ormando xI. Hallar el ma&or'n%ulo $ue #orman en este instante.
a 58(7 - 287(7 c 18*(7d 82(7 e 2))(7
440ABuC !ora marca el reloj mostradoD
a5
5 : 24 !11
-
5
5 : 21 !11
c5
5 : 22 !11
///0an(orai0%om0pe4
12
6
45
2
1
7)
8
1*
11
12
6
45
2
1
7)
8
1*
11
===
=
1
1
2
2
F 6 1*F 11
D
====
1
1
2
2
12F ) 46F D
-
8/13/2019 Capitulo 07 Relojes
9/12
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI Siempre los primeros, dejando huella
d5
5 : 27 !11
e5
5 : 41 !11
460n reloj se adelanta 2 minutos cada cuarto de !ora(si esto ocurre !ace 11 ! & dic!o reloj marca en esteinstante las 7 ! 2 min. AFu'l es la !ora correctaDa 6 ! 1* min - ! 1 min c 7 ! 1* mind ! 72 min e ! 2 min
420n reloj se adelanta 4 minutos cada 5 minutos. Gia!ora marca las 7 !oras 4* minutos & !ace 4 !oras & 2)minutos $ue se adelanta( la !ora correcta es:a :21 - :45 c 6:4*d :4* e 6:8
470Giendo la 1:** p.m. empie,a a atrasarse un reloj minutos cada !ora. ABuC !ora indicar' cuando la !ora
correcta sea las 8:** p.m. del d3a si%uientea 7:21 - 6:42 c 6:4*d 7:76 e 6:8
480Tulio le pre%unt a MarilN so-re la !ora & ellarespondi: Qa pasaron las 11 & #alta poco para las 12.dem's dentro de 14 minutos #altar'n para las 14 !orasla misma cantidad de minutos $ue !a-3a pasado desdelas 11 !asta !ace ) minutosI.Ge%un lo expresado porMarilN( $uC !ora es:a 11:21 - 11:42 c 11:7)d 11:7* e 11:76
490AFu'nto mide el complemento del suplemento del'n%ulo menor #ormado por las manecillas de un reloj alas 11 !oras con 17 minutosDa 2 4*J - 22 4*J c 24 *Jd 22 47J e 24 7*J
4;0AFada cu'nto tiempo las a%ujas de un reloj #ormanentre si un 'n%ulo de 5*D
a8
42 min11
-8
4 min11
c5
7 min11
d)
6 min11
e)
42 min11
4>0Ge pone en #uncionamiento un reloj $ue se adelanta 8
minutos cada !ora. AFada cu'ntas !oras marcar' la !oraexactaDa 6* - 5* c 12*d 2* e 17*
410ABuC !ora indica el reloj de la #i%uraD
a2
2 ! 4 min)
-
2 ! 44 min)
c4
2 ! 4 min)
d 72 ! 44 min)
e1
2 ! 42 min)
60ABuC !ora marca el reloj de acuerdo al %r'#icoD
a4
4 ! ) min .11
- 24 ! 8 min .11
c1
4 ! 5 min11
d 4 ! ) min
e 4 ! 8 min
640n reloj se atrasa 7 minutos cada !ora( si sesincroni,a exactamente a las cero !oras. ABuC !ora
marcar' cuando realmente sean las 2:2* p.m.D
a 1:1* p.m. - 41 : 7 p.m.11
c 1 : 8 : 2* p.m. d 1 : ) : 1 6 p.m .
e 1 : 5 : 4 1 p .m .
660n reloj se adelanta 2 minutos cada 4 !oras A $uC!ora empe, a adelantarse( si a las 11 ! 17 min de la
noc!e marca las 11 ! 2) minDa 7:18 a.m. - 7:1) a.m. c 7:41 a.m.
d 7:*) a.m. e 7:17 a.m.
620n reloj $ue se atrasa 2 minutos en cada !ora( es
sincroni,ado !o& al mediod3a. BuC tiempo comom3nimo de-er' transcurrir para $ue vuelva a marcar la!ora correcta.
a 1* d3as - 17 d3as c 2* d3asd 7 d3as e 27 d3as
670n reloj se adelanta 1 min & 12 se%undos cada !ora(ajustando a las 6 de la tarde. ABuC !ora marcar' cuandoo#icialmente sea las 5 de la maOana del d3a si%uienteD
a 5 ! 1* min - 5 ! 18 min c 5 ! 17 mind 5 ! 2* min e 5 ! 22 min
680Gi un campanario tarda17
2 se%undos en tocar 16
campanadas AFu'ntas campanadas tocar' en 2mI
se%undosDa m - m1 c m2
d m4 e mU1
Academia
Raimondi El sistema efectivo
para tu ingreso a la Universidad
///0an(orai0%om0pe 44
12
6
45
2
1
7)
8
1*
11
2
12
6
45
2
1
7)
8
1*
11
176
-
8/13/2019 Capitulo 07 Relojes
10/12
RA3ONAMIENTO MATEMTICO COMENDIO ACAD+MICO 4
40 ABuC 'n%ulo #orman las manecillas de un reloj a las4:2 p.m.Da 42V - V c 76V
d 2V e 7*V
60 nmediatamente despuCs de las 7:** p.m.( Aa $uC!ora las a%ujas de un reloj #orman un 'n%ulo de 4)V por
se%unda ve,Da 7:4* p.m. - 7:4 p.m. c 7:2 p.m.
d 7:42 p.m. e 7:48 p.m.
20 9ntre la 5 & las 1*( Aa $uC !ora las manecillas de unreloj #orman un 'n%ulo de 61V por primera ve,D
a 5:42 - 5:1 c 5:48d 5:46 e 5:4
70 9ntre las & las 7( Aa $uC !ora las a%ujas de un relojse encuentran opuestasD
a2
! 71 min11
-6
! 7 min11
c)
! 7 min11
d)
! 74 min11
e6
! 74 min11
80 9nri$ue inicia un viaje cuando las manecillas de unreloj est'n superpuestas entre las 8 & las 5 a.m. & lle%a a
su destino entre las 2 & 4 p.m. del mismo d3a cuando lasmanecillas del reloj #orma-an un 'n%ulo de 18*V.
AFu'nto demor 9nri$ue en su viajeDa 7 ! 2* min - 6 ! 4* min c 6!
d 6 ! 2* min e 6 ! * min
90 9n un reloj el minutero se encuentra antes $ue el!orario #ormando un 'n%ulo $ue mide VI( lue%o de
2 minutos( el minutero se encuentra despuCs del
!orario #ormando un 'n%ulo $ue mide tam-iCn VI.
Halla el valor de
I.a 8V - 7V c 6*Vd 66V e )2V
;0 Mat3as se despide de Ton's un domin%o a las ):4p.m. Gi acuerdan volver a encontrarse despuCs de 7857minutos( A$uC d3a & a $uC !ora ocurrir' dic!o
encuentroD
a jueves ):78 p.m. - jueves 5:5 p.m.
c viernes 8:*8 p.m. d viernes 1*:12 p.m.e jueves ):77 p.m.
>0 n -arco parte un d3a s'-ado a las 6:** a.m. & lle%a
a su destino despuCs de 858) minutos( A$uC d3a & a $uC!ora lle%ar' a su destinoDa viernes( 11:) a.m. - viernes( 11:27 a.m.c viernes( 1*:22 a.m. d jueves( 11:7) p.m.
e jueves( 1):) p.m.
10 Ee-ido a un desper#ecto( un reloj se atrasa *se%undos en cada !ora $ue pasa. Gi se i%uala a las 6:**a.m.( ABuC !ora marcar' cuando en realidad sean las5:** p.m. del mismo d3aDa 8:* p.m. - 8:7* p.m. c 5:1* p.m.
d 5:2* p.m. e 5:4* p.m.
40 las 8:** a.m. se i%uala un reloj $ue se adelanta ara,n de 17 se%undos cada !ora. ABuC !ora marcar' estereloj cuando en realidad sean las :** p.m. del d3asi%uienteDa :*8:** p.m. - :1*:17 p.m.c :*5:4* p.m. d :*):7 p.m.e :*8:7 p.m.
440n reloj tiene 4 minutos de atraso & se atrasa 4minutos por cada 2 !oras transcurridas. Gi son las8:**am de un lunes( Acu'ndo & a $uC !ora el reloj tendr'
un atraso de 1 !oraDa martes( 1*:** p.m. - miCrcoles( 2:** a.m.c martes( 11:** p.m. d miCrcoles( *:** m.e miCrcoles( :** a.m.
460Fierto reloj se i%uala el 1 de junio a las a.m. perode-ido a una #alla el primer d3a se adelanta 1 minuto( else%undo d3a 2 minutos( el tercer d3a 4 minutos & as3 demanera sucesiva. ABuC !ora marcar' este reloj a las:** a.m. del 1 de julio del mismo aOoDa 11:7 a.m. - 5:4* a.m. c 1:1* p.m.d 11:*7 a.m. e 1*:7* a.m.
420n reloj se adelanta 2 minutos cada !ora. Gi essincroni,ado en este momento( A$uC tiempo comom3nimo de-e transcurrir para $ue vuelva a marcar la!ora correctaDa 14 d3as - 5 d3as c 11 d3asd 17 d3as e 8 d3as
470Eos relojes de#ectuosos marcan la !ora exacta a las12:** & a partir de ese momento uno comien,a aadelantarse a ra,n de 2 minutos cada !ora & el otro seatrasa a ra,n de 4 minutos cada !ora( Alue%o de cu'ntotiempo volver'n a marcar simult'neamente la !oracorrectaDa 17 d3as - 2* d3as c 4* d3as
d 7 d3as e 6* d3as
480Ge tiene un reloj $ue se adelanta 4 minutos cada dos!oras. ABuC !ora ser' en realidad cuando mar$ue las11:17 a.m.( si se sa-e $ue !ace 4* !oras marc porNltima ve, la !ora correctaDa 1*:4* p.m. - 1*:7 p.m. c 1*:1* p.m.d 1*:7* p.m. e 11:*7 p.m.490Fierto d3a & a cierta !ora de 155) se veri#ic $ue eldo-le del nNmero de d3as transcurridos era i%ual a losd3as $ue #alta-an transcurrir. ABuC d3a & a $uC !oraocurri a$uelloDa 2 de ma&o( :** p.m.- 4* de a-ril( 1*:** p.m.
c 1 de ma&o( :** a.m.d 15 de a-ril 6:** p.m.e 12 de ma&o( 1*:** a.m.
///0an(orai0%om0pe46
-
8/13/2019 Capitulo 07 Relojes
11/12
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI Siempre los primeros, dejando huella4;0Gi $ueda del d3a( en !oras( la suma de las dos ci#ras$ue #orman el nNmero de las !oras transcurridas( A$uC!ora esDa 6 p.m. - ) p.m. c 8 p.m.d 5 p.m. e 7 p.m.
4>0Qa pasaron las 4:** p.m.( pero todav3a no son las:** p.m. de esta tarde. Gi !u-iera pasado 27 minutosm's( #altar3an para las 7:** p.m. los mismos minutos$ue pasaron desde las 4:** p.m. !asta !ace 17 minutos(A$uC !ora esDa 4:7 p.m. - 4:77 p.m. c 4:4* p.m.d :*7 p.m. e :** p.m.
410Gon m's de las ( pero aNn no son las 6 de la tarde.Gi el tiempo $ue !a-3a transcurrido desde las !asta
!ace 17 minutos( es i%ual a1
7 del tiempo $ue #altar'
transcurrir !asta las 6( pero dentro de 17 minutos. ABuC!ora es en este instanteD
a :2* p.m. - :4* p.m. c 7:1* p.m.d 4:2* p.m. e 4:* p.m.
609ntre las 6 & )( Aa $uC !ora las manecillas del reloj#orman un 'n%ulo de 8V por primera ve,Da 6:2 - 6:2* c 6:26d 6:28 e 6:4*
640Waltan para las 8:** a.m. la mitad de los minutos $uepasaron desde las 6:** a.m. de esta maOana !asta la !oraactual. ABuC !ora indica el relojDa ):2 a.m. - 6:72 a.m. c ):*1 a.m.d ):2* a.m. e ):22 a.m.
660ntes de $ue el minutero pase so-re el !orario( Aa$uC !ora entre las 7 & las 6( las a%ujas de un reloj#orman un 'n%ulo rectoD
a7
7 ! 11 min11
-1*
7 ! 1* min11
c5
7 ! 11 min11
d2
7 ! 11 min11
e 7 ! *5 min
6209n el la-oratorio se determin $ue al encender unavela( est' tarda-a en consumirse totalmente 126*se%undos. Gi se enciende la vela a las 8:7* a.m.( Aa
$uC !ora se consumira totalmenteDa 5:21 a.m. - 5:12 a.m. c 5:11 a.m.d 5:16 a.m. e 5:41 a.m.6709n el aOo 2*** 0-isiesto( 9liana se dio cuenta $uelas !oras transcurridas del aOo exced3an en 7** !oras a
las !oras $ue #alta-an transcurrir. 9n $uC #ec!a & a $uC
!ora 9liana !i,o dic!a o-servacin.
a 2 de junio( 8:** a.m.
- 2 de ma&o( 4:** p.m.
c 4 de julio( 11:** a.m.
d 12 de julio( 1*:** a.m.
e 7 de a%osto( 11:** p.m.
680Xilma sale de su casa a las 5:7 a.m. se%Nn su reloj &lle%a a la o#icina a las 1*:7 a.m. se%Nn el reloj de la
o#icina. Lue%o se entera $ue su reloj esta-a atrasado en
12 minutos & el de la o#icina ten3a un adelanto de 8
minutos en realidad( Acu'ntos minutos demor Xilma
en lle%ar a la o#icinaD
a 4* - 7 c * d 7* e 6*
690Marcos se despide de odri%o el lunes a las ):**
p.m. & acuerdan $ue se volver'n a encontrar dentro de417 minutos. ABuC d3a & a $uC !ora volver'n a
reunirseD
a miCrcoles( 6:77 a.m. - jueves( :77 a.m.
c jueves( 6:77 a.m. d jueves( 6:77 p.m.
e viernes( :77 a.m.
6;0na evaluacin tendr' una duracin de 7**se%undos si dic!a evaluacin comen,ar' a las 5:**
a.m.( Aa $uC !ora terminar'D
a 1*:** a.m. - 1*:2* a.m.
c 1*:4* a.m. d 1*:4 a.m.
e 1*:7* a.m.
6>0Gi el do-le de las !oras transcurridas en un d3a esi%ual al cu'druple de las $ue #altan para terminar el d3a(
A$uC !ora ser' dentro de !orasD
a 8:** p.m. - 6:**pm c :** p.m.
d ):2* p.m. e 5:** p.m.
6109l lunes a las 1*:** a.m.( +at& o-serv $ue su relojesta-a 2 minutos adelantado. 9l miCrcoles si%uiente a
las :** a.m. advirti $ue dic!o reloj esta-a atrasado 1
minuto( lue%o se deduce $ue el reloj de +at& !a-r'
marcado la !ora exacta en al%Nn momento. A9n $uC d3a
& a $uC !ora marc la !ora exactaD
a martes( 2 a.m. - miCrcoles( 6 a.m.
c martes( 5 a.m. d lunes( 11 p.m.
e martes( 6 a.m.
20Hace !oras #alta-a para aca-ar el d3a( el triple deltiempo $ue #altar' para aca-ar el d3a dentro de 7 !oras.
ABuC !ora esD
a 2:4* p.m. - 2:47 p.m. c 2:* p.m.
d 2:7 p.m. e 2:7* p.m.
240AFu'l es la !ora $ue marca el si%uiente relojD
a 1*:47
- 1*:46
c 1*:4)
d 1*:48
e 1*:45
260Ge sa-e $ue el reloj de TosC se atrasa 2 minutos cada!ora. Gi es i%ualado en este momento( Acu'nto tiempode-e transcurrir como m3nimo para $ue vuelva a marcar
la !ora correctaDa 14 d3as - 1 d3as c 17 d3as
d 16 d3as e 18 d3as
///0an(orai0%om0pe 42
142
-
8/13/2019 Capitulo 07 Relojes
12/12
RA3ONAMIENTO MATEMTICO COMENDIO ACAD+MICO 4220Han transcurrido * d3as para $ue un reloj $ue seadelanta mar$ue de nuevo la !ora correcta( Acadacu'ntas !oras se adelanta 6 minutosD
a 24 - 8 c 27 d 26 e 2)
270AFu'l es la !ora $ue marca el si%uiente relojD
a2
) ! 2 min4
-1
) ! 24 min14
c1
) ! 2 min14
d4
) ! 24 min14
e2
) ! 24 min14
280ABuC !ora marca el reloj mostrado en la #i%uraDa
55 ! 21 min
11
-8
5 ! 21 min11
c 5 ! 22 min
d5
5 ! 24 min11
e)5
5 ! 2 min11
5:2 )@11
290l mirar mi reloj considerC e$uivocadamente elminutero por el !orario & viceversa( por lo $ue lle%ue 77
minutos antes a mi cita. Gi en la !ora correcta el !orario
estuvo entre las 2 & las 4 & el minutero entre las 4 & las. AFu'l era la !ora #alsaD
a 4:11:1) - 4:11:21(8c 4:12:1 d 4:11:2)(
e 4:12:21(7
///0an(orai0%om0pe47