Captulo 01) Escalas y Medidas

A) Definicin operacional de unidades

Dos amigos se van a encontrar para ir al cine. Uno de ellos le dice al otro: Juntmonos maana a las 6 de la tarde, en la Plaza de Via del Mar.

En la situacin descrita por la frase, as como en todo fenmeno fsico estn presentes dos cantidades fsicas fundamentales: tiempo y distancia.

Cantidades Fsicas: Todas las cosas o fenmenos con las cuales trabajan los fsicos, que son cosas que pueden ser medidas, y por lo tanto cuantificadas. Por ejemplo: tiempo, distancia, velocidad, masa, etc.

Para que el mensaje tenga sentido y efectividad, es necesario que exista un acuerdo respecto a ciertas referencias.

Referencias de tiempo: Si uno de los amigos tiene el reloj con la hora de Via del Mar, y el otro con la hora de Sydney, difcilmente se van a encontrar.

Referencias de distancia: Supongamos que ninguno de los amigos conoce Via del Mar. Si uno de ellos usa un Mapa de Via del Mar y el otro usa un mapa de Sydney, difcilmente se van a encontrar.

Todos tenemos una idea acerca de lo que es el tiempo. Sentimos que el tiempo transcurre en forma continua. Sabemos que hay hechos que ya ocurrieron y otros que van a ocurrir. Podemos ordenar eventos en una secuencia temporal: por ejemplo: en una carrera, primero se da la partida, luego los competidores corren, y al final empiezan a llegar a la meta. Sentimos que hay acontecimientos que duran ms que otros, etc.

Sin embargo, intentemos definir el tiempo, en palabras. O busquemos una definicin en un diccionario. Observaremos que todas las definiciones resultan circulares, es decir, frases en que se usa la misma palabra que se desea definir, o uno de sus sinnimos. Por ejemplo: tiempo es aquello que transcurre parecera ser una buena definicin. Pero, entonces: qu es transcurrir?.

Algo similar ocurre si se intenta definir distancia. Encontraremos frases como: distancia es la separacin entre dos puntos u otras similares en que se usan palabras como: lejana, espacio, separacin, longitud del trazo entre los puntos, etc.

Tiempo: Duracin de los fenmenos

Duracin: Tiempo que dura una cosa

Distancia: Intervalo que separa dos puntos del espacio o del tiempo.

Pequeo Larousse Ilustrado, Ediciones Larousse, Buenos Aires, Argentina.

Si todos tenemos una idea clara de lo que es tiempo y distancia, por qu sus definiciones se no escapan en esta frustrante forma? La razn es que son conceptos fundamentales (o primarios, o bsicos); es a partir de stos que se van construyendo todos los dems conceptos. Por ejemplo, rapidez media de un cuerpo es la distancia recorrida por l, dividida por el intervalo de tiempo que se demor. Observe que los conceptos fundamentales quedan sin definicin.

Esta situacin es altamente insatisfactoria: de qu sirve esa definicin de rapidez media, si contiene dos trminos que no estn definidos? Desde el punto de vista de las definiciones de diccionario, no existe claridad absoluta respecto a la definicin precisa de estos conceptos. Adems, gastar tiempo en establecer tal claridad sera intil y detendra el progreso del pensamiento. Por ello, para efectos de desarrollo cientfico, basta con que estemos de acuerdo en que al hablar de tiempo y distancia nos estamos refiriendo a la misma cosa.

Cientficos e ingenieros han encontrado la siguiente solucin a este dilema: una cantidad (por ejemplo, intervalo de tiempo) queda definida cuando se define su mtodo de medicin. De este modo, dos personas que usen el mismo mtodo para medir una cantidad determinada sabrn que se estn refiriendo a la misma cosa y obtendrn resultados comparables.

En Fsica, lo realmente importante es dar reglas para medir. Es por ello que las cantidades fsicas se definen de manera que puedan ser medidas. A esas definiciones se les llama definiciones operacionales.

Para medir intervalos de tiempo, en primer lugar, debe buscarse algn fenmeno repetitivo que usaremos como patrn, por ejemplo, las oscilaciones de un pndulo. Una vez establecido el patrn, se mide la duracin de un acontecimiento, contando cuntos ciclos patrn ocurrieron.

El mtodo dado en el prrafo anterior es una definicin operacional de intervalo de tiempo. Observe que esta definicin es genrica, es decir, aplicable a cualquier tipo de aparato o mtodo para medir el tiempo. En la prctica, medimos el tiempo mediante relojes. Un reloj, de cualquier tipo, es un instrumento que hace automticamente el conteo mencionado en la definicin.

Intentemos dar una definicin operacional de largo (de una mesa). En primer lugar habra que escoger algn objeto patrn, por ejemplo, un lpiz. El largo de la mesa queda definido contando cuntas veces (y fraccin) cabe el objeto patrn entre los bordes de la mesa. En la prctica, se ha establecido un patrn universal, el metro patrn, y se han construido instrumentos, como la huincha mtrica, que hacen automticamente el conteo mencionado en la definicin.

Todas las cantidades usadas en Ciencia y Tecnologa pueden definirse operacionalmente, en forma similar a los ejemplos anteriores.

En Fsica, se denomina medir al proceso de comparar dos cosas A y B del mismo tipo, como por ejemplo dos longitudes. En este proceso, se escoge una de las cosas, por ejemplo, A, como unidad de medicin, y se cuenta cuntas veces B est contenida en A.

Nmero de medicin: Nmero que expresa la medicin de un fenmeno, a travs del cuociente entre ste y la unidad de medida.

Las unidades de medicin son arbitrarias, lo que significa que se obtienen mediante acuerdo o convenio. Cuando el convenio es de carcter internacional, se habla de unidad patrn, como el metro o el segundo.

La unidad patrn es un lenguaje comn usado por los cientficos para comunicarse. En cualquier parte del mundo, sea China, Europa o Sudamrica, estn todos de acuerdo que 1 [m] representa la misma longitud y que 1 [s] representa el mismo intervalo de tiempo.

Una buena unidad patrn debe cumplir dos condiciones:

Debe ser fcilmente reproducible.

Debe poder guardarse sin que sufra alteraciones significativas.

En ocasiones, las unidades se hacen demasiado grandes o demasiado pequeas para medir algunos fenmenos. As, se hace necesario definir subunidades o mltiplos de unidades, que pueden ser definidas arbitrariamente, o bien en base a otro fenmeno relacionado con el usado como patrn.

B) TiempoFenmenos Cclicos

Desde sus comienzos, el ser humano sinti la necesidad de medir el tiempo, y para ello busc la unidad patrn que le permitiera hacerlo. Su sentido comn le indic que una buena unidad patrn sera algn fenmeno que suceda una y otra vez en forma regular, es decir fenmenos cclicos a partir de los cuales se pudiera hacer un conteo.

Dentro de los posibles fenmenos cclicos a considerar estn la respiracin y los latidos del corazn. Sin embargo, como todos sabemos, la frecuencia de respiracin y de los latidos del corazn vara segn nuestro cansancio y estado de nimo, lo que los hace intiles como unidades patrn.Un arquetipo conocido de fenmeno cclico es el pndulo, como el que se muestra en la figura 5. Supongamos que el pndulo se suelta desde cierta posicin inicial A, y oscila hasta la posicin B, donde se devuelve hacia la posicin inicial A, completando un ciclo u oscilacin completa.

Se define la frecuencia (f) de un pndulo como el nmero de ciclos u oscilacionnes que ste hace en un segundo. La frecuencia se mide en [1/s], tambin denominado hertz [Hz].Se define el perodo (T) como el tiempo empleado por cada partcula en realizar un ciclo. Matemticamente se cumple que .

Considere el par de pndulos A y B de la figura 6, cuyos perodos son TA y TB. Si, en un instante dado, ambos pndulos tienen la misma posicin angular, se dice que estn en fase. En caso contrario, se dice que estn fuera de fase. Considere dos pndulos A y B, con diferentes perodos de oscilacin (TA ( TB), y que parten desde cierta posicin inicial. Despus de un tiempo T0, dado por el mnimo comn mltiplo entre TA y TB, ambos pndulos volvern a encontrarse en sus respectivas posiciones iniciales. Durante todo ese tiempo, el pndulo A har NA = T0/TA oscilaciones, y el pndulo B har NB = T0/TB oscilaciones.En un momento dado, el hombre se dio cuenta que, en cierto instante, el Sol estaba justo encima de su cabeza. Vio que, a medida que transcurra el tiempo, el Sol se mova hacia el este y se pona, hacindose de noche. Posteriormente, vio que el Sol sala por el Oeste, y segua movindose hasta llegar nuevamente a estar encima de su cabeza. El hombre sigui observando este fenmeno muchas veces hasta percatarse que el intervalo de tiempo transcurrido entre dos ocasiones consecutivas en que el Sol estaba encima de su cabeza era similar. As, el fenmeno del movimiento del sol (est entre comillas, porque ahora sabemos que la que se mueve es la Tierra), dio origen a los conceptos de da y noche

Posteriormente, el hombre puso su atencin en los ciclos lunares: luna llena, luna nueva, cuarto menguante y cuarto creciente, y not que la duracin de cada ciclo era similar. As, el fenmeno de los ciclos de la luna dio origen al concepto de mes.

Ms adelante, el hombre se percat que el estado del clima cambiaba en forma cclica. As, not que las pocas en donde haca mucho calor (verano), donde las hojas caan de los rboles (otoo), donde se pona a llover (invierno) y donde florecan los rboles (primavera) tenan una duracin similar y se sucedan cclicamente. As, el fenmeno de las estaciones climticas dio origen al concepto de ao.

La unidad de tiempo universalmente aceptada por el mundo cientfico es el segundo [s]. La definicin operacional de [s] ha ido evolucionando.

Inicialmente, se defini como 1/86400 de un da solar medio.

En la dcada de 1950 se formul la siguiente definicin: Se define que el ao trpico 1900 tiene 31556925,9747 [s] (365 [da] 5 [h] 48 [min] 45,9747[s]

En 1967 se lleg a una definicin algo ms rebuscada: El segundo es la duracin de 9192631770 perodos de la radiacin correspondiente a la transicin entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del tomo de cesio 133 no perturbado.

Conversin de Unidades de Tiempo

C) Distancia

Asociamos la idea de distancia a dos situaciones especficas

Cuando queremos saber qu tan grande o pequea es una cosa

Cuando queremos saber qu tan lejos o tan cerca est una cosa

Desde el inicio de los tiempos, el hombre se vi en la necesidad de medir distancias. En el siguiente trozo del Antiguo Testamento, Dios usa unidades de longitud para darle las instrucciones a No para la construccin del arca

Hazte un arca de madera de gofer; hars aposentos en el arca, y la calafatears con brea por dentro y por fuera. Y de esta manera la hars: de trescientos codos la longitud del arca, de cincuenta codos su anchura, y de treinta codos su altura. Una ventana hars al arca, y la acabars a un codo de elevacin por la parte de arriba; y pondrs la puerta del arca a su lado; y le hars piso bajo, segundo y tercero.

Genesis 6, 14-16

En las civilizaciones antiguas, se usaron como unidades patrones longitudes relacionadas con su cuerpo. As, el pie fue usado por muchas culturas.

Unidades de distancia en la antigedad

En la Antigua Roma,

En Babilonia, la unidad bsica es el (~1.65 [cm]). Unidades derivadas:

Actualmente, en el mundo existen dos sistemas de unidades de distancias dominantes: el sistema mtrico y el sistema britnico.

El sistema mtrico tiene como unidad patrn bsica el metro ([m]). Tal como pas con el segundo, la definicin operacional de metro ha ido evolucionando con el tiempo.

En 1791, el metro se defini como la diez millonsima parte de un cuadrante de meridiano terrestre.

En 1889, se estableci la siguiente definicin: metro es la distancia entre dos trazos grabados sobre una barra de platino e iridio, a la temperatura de 0[C] y a la presin atmosfrica normal, que se encuentra depositada en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas de Sevres, Pars.

En 1960, se estableci una definicin algo ms retorcida: el metro es el largo igual a 16590763,73 longitudes de onda en el vaco, de la radiacin correspondiente a la transicin entre los niveles 2p10 y 5d5 del tomo de Kriptn 86.

La unidad patrn bsica del sistema britnico es la yarda o [yard]. Su definicin operacional tambin ha evolucionado.

El rey Enrique I dio la primera en 1101: Una yarda es la mayor distancia entre la punta de mi nariz y el extremo de mi pulgar.

En 1824, se adopt otra definicin ms reproducible (y menos autorreferente): La Imperial Standard Yard es la distancia entre los trazos medios sobre los dos tarugos de oro de una barra de bronce a 62 [F] que se guarda en el Board of Trade en Westminster.

Otra de las unidades importantes es la pulgada o [in]. En 1324, el rey Eduardo II formul la siguiente definicin operacional para esta unidad: la pulgada es la distancia formada por tres granos de cebada tomados de la parte central de una espiga y colocados a lo largo, uno tras otro. Otras unidades importantes son el pie o [ft] y la milla o [mile].

Equivalencias dentro del sistema britnico

Equivalencias entre el sistema britnico y el sistema mtrico

C.1) La importancia de la conversin de unidades: el error garrafal de la NASA y Lockheed Martin

El fracaso de la misin de la nave Mars Climate Orbiter, ocurrido en 1998, fue el episodio ms catastrfico en la historia de las misiones a Marte de la NASA. Y la causa de este chasco fue ni ms ni menos que un problema de conversin de unidades. Al disear la nave, la NASA entreg datos crticos de navegacin en el sistema britnico de unidades. Sin embargo, los ingenieros de Lockheed Martin, empresa que construy la nave, no se percataron de esto, y los interpretaron como datos del sistema mtrico, en vez de hacer la conversin de unidades correspondiente. A consecuencia de este error (impresentable y vergonzoso para ingenieros y especialistas de instituciones del nivel de la NASA y de la Lockheed Martin, y grave en mbitos como la ingeniera espacial, donde la precisin es fundamental), la nave, cuyo costo fue de 117 millones de euros, se quem en la atmsfera de Marte.Este episodio ilustra mejor que ninguno la importancia de saber convertir unidades. Si se quiere sumar dos longitudes, ambas deben estar en las mismas unidades, y si estn en unidades diferentes, hay que convertir una de ellas antes de sumar.

C.2) Velocidad de la Luz

De acuerdo a la fsica moderna estndar, toda radiacin electromagntica (incluida la luz visible) se propaga o mueve a una velocidad constante en el vaco, conocida comnmente como velocidad de la luz. La velocidad de la luz en el vaco es por definicin una constante universal. Se denota con la letra c, proveniente del latn celrits (velocidad), y tambin es conocida como la constante de Einstein. La velocidad de la luz fue incluida oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades como constante el 21 de octubre de 1983, pasando el metro a ser una unidad dada en funcin de esta constante y el tiempo. En ingls la velocidad de la luz se abrevia SOL (Speed Of Light).

La luz se propaga en el vaco con velocidad constante (denominada c) y siguiendo una trayectoria recta (al menos en principio). El valor de esta velocidad ha sido medido y su valor ha ido evolucionando. Segn la conferencia general de pesos y medidas, en 1974 era de , y en 1975 era . Para efectos de clculo, se considera el valor aproximado

Si la luz recorre una distancia d en un tiempo t, se cumple la relacin . A partir de ella, se pueden derivar las siguientes relaciones: y .A partir de este dato, en 1983 se estableci una nueva definicin operacional para metro: El Metro es el largo del camino recorrido por la luz en vaco durante un intervalo de tiempo de (1/299792458) de un segundo.La velocidad a travs de un medio que no sea el vaco es siempre menor a c (segn el ndice de refraccin del medio). D) Sistemas de Unidades

Durante el desarrollo del presente curso se introducirn diferentes cantidades fsicas, cada una de las cuales tiene asociada una dimensin fsica. En general, existen dos tipos de sistemas de unidades:

Los sistemas fsicos, cuyas unidades bsicas son tiempo, longitud y masa.

Los sistemas tcnicos, cuyas unidades bsicas son tiempo, longitud y fuerza.Tal como se muestra en la figura 7, cada uno de estos tipos de sistemas se divide a su vez en sistemas mtricos (metro, kilogramo, etc) y en sistemas ingleses (pie, libra, etc)

En la siguiente tabla se resumen las unidades de tiempo, longitud, masa y fuerza para estos sistemas de unidades.

Sistemas MtricosSistemas Ingleses

FsicoTcnicoFsicoTcnico

MKSCGS

Tiempo1 [s]1 [s]1 [s]1 [s]1 [s]

Longitud1 [m]1 [cm]1 [m]1 [ft]1 [ft]

Masa1 [kg]1 [g]1 [utm]1 [lb]1 [slug]

Fuerza1 [N]1 [Dy]1 [kp]1 [pdl]1 [lbf]

E) Notacin Cientfica

En el quehacer cientfico es frecuente encontrarse con cantidades fsicas cuyos valores numricos son muy grandes, como por ejemplo la estimacin de la edad de la Tierra en segundos: 160 000 000 000 000 000 (ciento sesenta mil billones) muy pequeas, como por ejemplo el perodo de vibraciones nucleares, en segundos, que es 0,000000000000000000001 (un miltrillonsimo)Esta forma extendida de escribir los nmeros adolece de varias desventajas:

Es una notacin incmoda (resulta muchas veces exasperante escribir tantos ceros) Genera dificultades de visualizacin (cuesta imaginarse lo que representa un nmero con tantas cifras) Es difcil operar con ellos.

Por ello, los cientficos idearon un tipo de notacin especial que permitiera salvar estas incomodidades, facilitando el trabajo con estos nmeros. Esta notacin se denomina notacin cientfica.

La notacin cientfica consiste en escribir un nmero B en el formato , es decir, como el producto de otros dos:

f: Un nmero cualquiera (al menos en principio)

10(: Una potencia de 10 conveniente.

En principio, existen infinitas maneras de escribir un mismo nmero usando notacin cientfica. Por ejemplo, el nmero 300000 se puede expresar as:

Con el fin de obtener una escritura uniforme, para efectos de este curso se establece el siguiente convenio: Al escribir un nmero real usando potencia de 10 se elegir un factor de valor absoluto entre 1 y 10 acompaado a la potencia de 10 correspondiente, es decir:

Para el ejemplo anterior, usando este convenio

F) Prefijos de mltiplos y submltiplos de unidades de medicin.

A partir de una unidad bsica para cierta cantidad fsica, se pueden elegir unidades ms grandes multiplicando la unidad bsica por potencias de 10. En la siguiente tabla se aprecian las ms importantes

PrefijoValorSmbolo

exa...1018E...

peta...1015P...

tera...1012T...

giga...109G...

mega...106M...

Kilo...103k...

hecto...102h...

deca...101da...

Similarmente, a partir de una unidad bsica para cierta cantidad fsica, se pueden elegir unidades ms pequeas dividiendo la unidad bsica por potencias de 10. En la siguiente tabla se aprecian las ms importantes

PrefijoValorSmbolo

deci...10-1d...

centi...10-2c...

mili...10-3m...

micro...10-6(...

nano...10-9n...

pico...10-12p...

femto...10-15f...

atto...10-18a...

G) Orden de Magnitud y AproximacionesYa sea por el resultado de una medicin, o por efectos de clculo, una cantidad fsica puede ser comunicada mediante un nmero que contenga ms cifras (dgitos) que los requeridos en una situacin particular. En esos casos, se efectan aproximaciones numricas.

Con el fin de tener un criterio comn para aproximar nmeros, adoptamos para el efecto un convenio: Para aproximar a k cifras un nmero de n cifras (n > k), acordamos las siguientes reglas para la k-sima cifra (la que ocupa el lugar nmero k contando de izquierda a derecha, como se aprecia en la figura 8) a) Aumenta en una unidad si el nmero formado por las ltimas n-k cifras es mayor o igual que 510n-k-1

(4 cifras numricas)

(3 cifras numricas)

(4 cifras numricas)

(3 cifras numricas)

b) No se modifica si el nmero formado por las ltimas n-k cifras es menor que 510n-k-1

(3 cifras numricas)

(3 cifras numricas)

Muchas veces slo nos basta visualizar en forma inmediata la grandeza o pequeez del nmero de medicin. En esos casos, basta con aproximarlo a su potencia de 10 ms cercana. Esta aproximacin define el orden de magnitud del nmero.

El criterio para determinar orden de magnitud de un nmero escrito en notacin cientfica es

H) Anlisis Dimensional

Cuando hablamos de 1 [hora], 3 [ms] 2 [dia], sabemos que estamos refirindonos a tiempo. Similarmente, cuando hablamos de 1 [m], 3 [cm] 2 [Km], sabemos que estamos refirindonos a ditstancia o longitud.

En toda cantidad fsica, podemos distinguir entre su magnitud (nmero y unidad), y su dimensin. La dimensin de una cantidad fsica es su cualidad intrnseca, independiente de la forma en que sta se expresa o valora. Para la cantidad fsica F, la dimensin se denota dim(F).

Existen dos tipos de dimensiones:

Dimensiones bsicas: relacionadas con las cantidades fsicas fundamentales

Cantidad FsicaDimensin

TiempoT

LongitudL

MasaM

Carga ElctricaC

Temperatura(

Cantidad de SubstanciaS

Dimensiones derivadas: Es posible expresar las dimensiones de todas las cantidades fsicas en trminos de las dimensiones bsicas. Adems, se pueden elegir tres o ms de estas como cantidades independientes, en diferentes campos de la fsica. Cantidad FsicaDimensin

VelocidadLT-1

AceleracinLT-2

FuerzaM LT-2

AreaL2

VolumenL3

Densidad VolumtricaML-3

EnergaML2T-2

La cantidad fsica ngulo se considera adimensional, es decir, sin dimensin. Esto se denota dim(angulo) = 1. Tambin se consideran adimensionales muchas constantes de proporcionalidad que aparecen en las frmulas.

Reglas de Anlisis Dimensional

El objetivo del anlisis dimensional es asegurar la coherencia de las cantidades fsicas. Si, por ejemplo, estamos calculando una distancia a partir de una frmula, y le da en [m/s], significa que hay algo errado en la frmula o en el despeje.

El anlisis dimensional se rige por las siguientes reglas:

Regla N01) No se pueden sumar ni restar magnitudes fsicas de dimensiones diferentes. Las longitudes se suman con longitudes, los tiempos con tiempos, las masas con masas, etc. Para hacer la operacin, hay que fijarse en que los sumandos tengan la misma dimensin y las mismas unidades (si hay unidades diferentes, hay que hacer conversin de unidades antes de operar)

Sea una cantidad fsica x dada por

Para que la frmula sea consistencia dimensional, se debe cumplir que

Regla N02) Se pueden multiplicar y dividir magnitudes fsicas de dimensiones diferentes. De hecho, las cantidades fsicas derivadas surgen del producto o cuociente entre diversas cantidades fsicas.

Sea una cantidad fsica X que se expresa en trminos de otras por medio de la ecuacin de la forma

Donde K es una constante numrica sin unidades o adimensional, A,B,C,...:son cantidades fsicas conocidas, y a,b,c,....son los exponentes. La dimensin de X se expresa entonces por la ecuacin

Ejemplo: Considere la expresin correspondiente a la ecuacin de posicin de un mvil que se desplaza con movimiento rectilneo uniformemente acelerado.

Donde

VariableDescripcinDimensin

XPosicin del mvilL

X0Posicin inicial el mvilL

v0Velocidad inicial del mvilLT-1

a0Aceleracin del mvilLT-2

ttiempoT

1/2Constante de proporcionalidad1

Analizando las dimensiones de cada sumando de la frmula

Se aprecia que todos los sumandos tienen la misma dimensin, por lo que se pueden sumar sin problemas.Figura 4) Nmero de medicin y unidad de medicin de la longitud de un lpiz

Figura 5) Ciclo completo de un pndulo

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

Figura 6) Pndulos en fase y fuera de fase

Figura 8) Convenio para aproximaciones

Figura 7) Tipos de sistemas de unidades

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