CAPTULO 7

CAPTULO 5

EXPRESIN DE GENERALIDAD Y RACES DEL LGEBRA

JOHN MASON

(Traduccin: Urbano Rengifo H.)

Este captulo plantea que el corazn de la enseanza de las matemticas es el despertar la sensibilidad de los alumnos hacia la naturaleza de la generalizacin matemtica y, paralelamente, hacia la especializacin; que los nios que puedan caminar y hablar ya han demostrado suficiente evidencia del pensamiento requerido para su aprendizaje; que el lgebra como es entendida en la escuela, es el lenguaje para la expresin y la manipulacin de generalidades y que una enseanza exitosa del lgebra requiere atencin hacia la evocacin y la expresin de ese pensamiento algebraico natural. No existe un nico programa para la enseanza del lgebra a travs de la expresin de la generalidad. Es cuestin de despertar y agudizar la sensibilidad a la presencia y al potencial del pensamiento algebraico. Algunos ejemplos de tareas que han sido explotadas en esta forma son presentados en este captulo con comentarios a cerca de las dificultades presentadas.

1. PREFACIO

Mi conjetura, mantenida un largo tiempo, ha sido, y todava es, que cuando la toma de conciencia de la generalidad permea el saln de clase, el lgebra deja de ser un baldado de agua fra para la mayora de la gente; que el lgebra, como es usualmente interpretada en la escuela, es una materia muerta, semejante a la conjugacin de verbos en latn o a la memorizacin de las partes de la flor, y seguir as, al menos y hasta que la expresin de la generalidad se convierta en algo natural y espontneo en la conduccin de las matemticas, incluyendo cada encuentro y tpico matemtico. La generalizacin es el latido de las matemticas y aparece en muchas formas. Si los profesores no son conscientes de su presencia y no estn habituados a llevar a sus estudiantes al trabajo de expresar sus propias generalizaciones, el pensamiento matemtico no est teniendo lugar.

El lgebra escolar tiende a estar asociada con nmeros y ms tarde con funciones sobre nmeros. No hay otros dominios en los cuales la expresin de la generalidad pueda ser estudiada y desarrollada (ver, e.g., Bell, en este volumen). La razn para hacer nfasis en la expresin de la generalidad en patrones numricos es slo la de proveer experiencias que resalten el proceso.

Una manera de trabajar el desarrollo de una conciencia de la generalidad est en ser sensible a la distincin entre: ver a travs y ver en, que conduce a la abstraccin primaria y a las experiencias de concientizacin, a saber: ver lo general a travs de lo particular y ver lo particular en lo general. Estas se acrecientan por la distincin entre trabajo a travs de una secuencia de ejercicios y trabajo sobre esos ejercicios como un todo. La diferencia entre ver-a-travs y ver-en, y entre trabajo-sobre y trabajo-a-travs se aplica al uso/desuso de entes manipulables (ya sea objetos concretos o smbolos abstractos) y es descrita en una espiral de desarrollo desde la manipulacin confiable a la toma-de-sentido-de; a la articulacin de ese sentido; a esa articulacin convertida ella misma en confiablemente manipulable. Otros se refieren a esto en diferentes lenguajes y con diferentes nfasis, por ejemplo como reiteracin (Sfrad, 1991, 1992), como abstraccin reflexiva (Dubinsky & Levin, 1986), como imagen conceptual (Tall & Vinner, 1981) y otras por el estilo.

2. INTRODUCCIN

El tema de la generalidad ha sido implcitamente empleado y explcitamente descrito muchas veces por mucha gente; de Pappus a Wallis, a Polya y Krutetskii; de Vite a Jordan, y a MacLane; y la generalizacin se extiende detrs de una variedad de currculos de lgebra (e.g., el Proyecto de Matemticas de Nottingham, el Nuevo Currculo de Gales del Sur). Yo menciono tres recursos en los que he estado involucrado, no porque sean especialmente importantes, sino porque me encuentro ms familiarizado con ellos:

Rutas hacia/Races del lgebra (Mason, Graham, Pimm y Gowar,1985)

Expresin de Generalidad (Mason, 1988)

lgebra: Un Apoyo para las Matemticas de Primaria (Mason, 1991b)

Las fuentes de inspiracin para estos trabajos fueron muchas y a menudo antiguas (e.g., tablas Babilnicas, nmeros figurados de Nicomachus, acertijos egipcios, acertijos medievales, etc.) pero ellas estn basadas en la premisa que, de las cuatro principales races del lgebra, hemos identificado:

Expresin de la Generalidad.

Posibilidades y Restricciones (un apoyo para la toma de conciencia

del concepto de variable)

Re-arreglo y Manipulacin (ver por qu aparentemente diferentes

Expresiones para el mismo objeto dan, de hecho, las mismas

respuestas)

Aritmtica Generalizada (lo tradicional, letras en lugar de nmeros

para expresar las reglas de la aritmtica),

la expresin de la generalidad es de suma importancia, precisamente porque es tan frecuentemente descuidada y subestimada. La facilidad en la manipulacin de la generalidad se fundamenta en la confianza de lo que la expresin desarrolla y de cmo surgen expresiones mltiples para el mismo objeto. El uso del lgebra para resolver problemas depende de la confianza en la expresin de la generalidad usando la hasta-ahora-incgnita (Tahta, 1972) apoyada por la toma de conciencia del papel de las restricciones sobre las variables. No se trata de prescribir un orden para los casos particulares, sino ms bien en todo el desarrollo de la apreciacin de la generalidad de los individuos. Alguna facilidad manipulativa puede ser ganada antes de la apreciacin, comprensin o entendimiento; pero es mantenida solamente si el xito exterior explcito est acompaado por el xito interior implcito que le da sentido.

La generalidad es algo tan central en las matemticas, que muchos profesionales no se dan cuenta a la larga de su presencia, ya que para ellos es elemental. Pero ella se ha manifestado precisamente en los cambios de atencin que los expertos han integrado en su pensamiento y que son un problema para los novatos. La generalizacin no es slo la culminacin de las investigaciones matemticas como muchos parecen creer. Es natural, endmica y omnipresente.

Cmo pueden ser probadas mis conjeturas y afirmaciones? Ciertamente no con la descripcin de otro proyecto curricular que los profesores puedan administrar a sus alumnos. Yo me estoy refiriendo a una manera de pensar y actuar, a un cambio cultural en el cual los profesores se sientan cmodos en la actividad matemtica con sus alumnos y delante de ellos, a un cambio en el cual los alumnos son enculturados en el pensamiento matemtico y su expresin tan naturalmente como ellos escuchan o hablan su lengua nativa. De aqu el ttulo del libro de Pimm, Hablando Matemticamente en el que enfoc su atencin sobre la diversidad de formas en las cuales, sin saberlo, social y culturalmente desviamos la atencin del alumno en el saln durante la clase de matemticas. Seeger (1989) ofrece una visin similar:

El pensamiento algebraico debe ser cultivado... en la misma medida en que hoy en da son cultivadas la prctica, el acercamiento manual y el uso de ayudas manipulativas.

l se bas en Davydov (1990) quien recalca en la necesidad de lograr un equilibrio entre la teora y la prctica, an en la ms temprana edad:

El nfasis en el pensamiento emprico... explica cun mal encaminados estbamos en los grados de primaria.

Encuentro que la fuerza ms potente para desarrollar mi propia sensibilidad al papel de la generalidad est enfocada por preguntas tales como:

A qu estn prestando atencin los estudiantes? Qu estoy yo recalcando? Qu estoy yo viendo y diciendo y dnde estn ellos en el espectro de lo particular a lo general?

3. PARTICULARIDAD Y GENERALIDAD

Cuando los profesores o los autores de textos construyen un ejemplo para sus estudiantes, su experiencia es a menudo completamente diferente que la de su audiencia. Para el profesor, el ejemplo es un ejemplo de algo; es un caso particular de una nocin ms general. A medida que el profesor va a travs de los detalles, los nmeros especficos o tems son experimentados como objetos que toman lugar, como pistas en las que diferentes casos particulares podran aparecer. Para el estudiante, el ejemplo es una totalidad. No es visto como ilustrando una generalidad, sino como completo en s mismo. Lo tems, que para el profesor son instancias particulares, para muchos estudiantes son indistinguibles de los otros elementos del ejemplo. La tarea de los estudiantes es reconstruir la generalidad de los casos particulares ofrecidos. A menudo los estudiantes lo hacen brillante, pero inapropiadamente; porque ellos, sin saberlo, dan importancia a aspectos que el profesor no recalca y viceversa.

3.1. Ejemplo: Suma de ngulos.

La suma de los ngulos en un tringulo es 180 grados. Matemticamente: Cul es la palabra ms importante en esa afirmacin? Yo sugiero que es la ms pequea, la ms innocua, la que menos se nota y que el verdadero significado de esa palabra es explicado slo cuando se aprecia la naturaleza de las afirmaciones matemticas. La palabra que yo tengo en mente es un. Ese pequeo artculo indefinido seala el pronombre adjetivo cualquier que a su vez seala el adjetivo cada el cual da cuenta del alcance de la variabilidad que est siendo propiciada. Sugiero que la segunda palabra ms importante es el artculo definido la modificando suma para afirmar algo particular que complementa la generalidad, esto es, que en el dominio de todos los tringulos posibles, a pesar de que usted cambie el tringulo que ve, la suma de los ngulos permanece constante. El hecho de que esta constante sea 180 grados es de relativamente poca importancia. An en muchos salones de clase es el 180 lo que es recalcado, presumiblemente as los estudiantes lo recordarn. Pero el fracaso de este hecho es raramente debido al olvido, ya sea de 180 o de cualquier otro nmero; se debe, ms bien, a la falta de apreciacin de la generalidad, a la invariacin, an estando expresada.

La esencia de la afirmacin de la suma-de-ngulos, y realmente de mi conjetura, as como de las aserciones ms matemticas, reside en la generalidad que puede ser leda en ella. Hay algn atributo que es invariante, mientras algo ms ronda alrededor de un dominio de generalidad especificado o denotado: Aprecian esto los alumnos? Se dan cuenta ellos del nfasis que un matemtico hace, sino explcita al menos implcitamente, en el momento de leer afirmaciones matemticas?

Ntese que he empezado mi investigacin dentro de la generalidad con una particularidad, una sola afirmacin matemtica tomada del currculo de secundaria; pero que es presentada como un ejemplo genrico. Es esencial, por consiguiente, que usted haga una pausa y considere la generalidad relativa a los artculos definidos e indefinidos, y la necesidad de leer la generalidad implcita en lo que a menudo parecen ser afirmaciones muy particulares. Para hacerlo efectivamente, usted necesita especializarse ponindolo a prueba en su propia experiencia.

3.2. Ejemplo: El enigma del cuadrado.

Considere los diagramas mostrados en la Figura 1:

Figura 1

Normalmente estas dos figuras aparecen como un acertijo. Usted entrega las cuatro piezas de plstico y propone: hagan un cuadrado y despus hagan otro cuadrado. Una vez los dos cuadrados han sido encontrados, moverse del uno al otro no es difcil; pero la atencin sobre ese movimiento revela que las piezas se deslizan, pero que no rotan. Es posible formular una historia que conecte las dos, dibujando sobre la conciencia-de-acertijo que el rea es invariante bajo el movimiento de las piezas: la diferencia en el rea de los cuadrados, externo e interno, es justamente en s misma el rea del cuadrado.

Implcita en el acertijo particular est la generalidad que la diferencia de cualesquier dos cuadrados pueda ser representada similarmente y oculto en el indefinido similarmente est otro aspecto de generalidad.

Figura 2

Qu es particular y qu general en las piezas particulares del acertijo? Pueden las piezas ser vistas no como algo dado sino como indicacin de una construccin que puede ser ejecutada? Qu aspectos (ngulos, longitudes, radios) son esenciales y cules variables? Qu aspectos pueden ser cambiados mientras se preserva el parecido con el caso particular dado? Por ejemplo, el arreglo de la figura 2 tiene algunas semejanzas con los de la figura 1 y las siguientes imgenes en la figura 3 pueden eventualmente servir como estructuras intermedias en una transformacin imaginada del primer par al segundo. Tales transformaciones podran ser hechas con formas (cuerpos, figuras) fsicas, animadas en computador o logradas en un paquete de dibujos geomtricos.

Figura 3

Finalmente, existe la pregunta de conexin a cerca de cmo este acertijo est relacionado con el Teorema de Pitgoras y la pregunta extensiva a cerca de si disecciones similares son posibles con otras figuras, tales como tringulos equilteros, pentgonos y otras por el estilo.

Los estudiantes estn impregnados con el mito cultural que las matemticas son la nica materia donde usted sabe cundo ha encontrado la respuesta correcta. Pero esto es slo una parte de la historia, tambin se da el caso de que las investigaciones matemticas nunca estn terminadas, slo suspendidas. Un lugar satisfactorio para abandonar la exploracin es con una conjetura, junto con cualquier evidencia de apoyo y razonamiento que haya sido acumulada sobre este punto.

La Generalizacin, en la cual yo incluyo la variacin y la extensin as como la generalizacin pura, es un medio para ensanchar el campo de referencia y aplicacin de un resultado, ponindolo de este modo en contextos ms amplios al remover ciertas restricciones particulares.

Otra conexin buscada es quedarse con lo particular, pero tratando de ver qu otros aspectos del pensamiento matemtico, tanto tpicos como procesos, estn siendo relacionados o bosquejados.

En el caso del acertijo antes presentado, hay conexiones con el rea y los rompecabezas, con Pitgoras y con la teora de nmeros, induciendo a ver la generalidad a travs de la particularidad , con la transicin de la geometra al lgebra y viceversa. El hecho que el profesor sea consciente de esto, no nos dice nada a cerca de la experiencia de los alumnos; pero si los profesores no se dan cuenta, es improbable que los alumnos aprecien estas conexiones. Eso no significa que el profesor tenga que hacerlas explcitas. Cuando las acciones son informadas, hay una mejor chance de que la conciencia de los alumnos est siendo activada que cuando el profesor acta mecnicamente.

El acertijo del enigma del cuadrado es ofrecido como un ejemplo genrico de aparato manipulativo. Aparato, y realmente cualquier entidad confiablemente manipulable, ya sea fsico, diagramtico o simblico (Mason, 1.980), que puede actuar como un recurso para que los individuos se refieran a una pregunta y recurran a ella cuando quieran algo particular para manipular. Pero su misma particularidad ha de ser usada como una ventana para ver a travs en vez de ser usada como una pared para ver en ella (Griffin y Mason, 1.990) La aitmtica generalizada como raz del lgebra no es ms que un ejemplo de una oportunidad para atraer la atencin de lo particular y hacia los procesos que hacen de esos objetos lo que ellos son.

3.3. Ejemplo: 3 + 2 = 2 + 3

La estructura de la aritmtica, cuando es expresada, produce lgebra como aritmtica generalizada, una de las diversas races del lgebra.

Despus de una sucesin de tres preguntas de apareamiento de la forma 3 + 2 es ..., 2 + 3 es ..., un nio de cinco aos, repentina y espontneamente hizo la siguiente declaracin: cinco ms algo ... algo ms algo es ... lo mismo que algo ms ... algo

Y hay un adicional cambio potencial de perspectiva para ser capaza de decir: no importa el orden.

No es claro si el alumno aprecia que 3 + 2 = 2 + 3 porque ambos son iguales a 5 o, algo ms profundo, por razones estructurales (el orden no importa). La concientizacin puede variar de la accin tcita y fundamentada a la explcita y articulada. Los nios pueden actuar como si ellos fueran conscientes de que todas las sillas en el saln de clases tienen cuatro patas sin decir nada al respecto; un nio puede decir: una silla en el saln tiene cuatro patas sin que necesariamente est reconociendo generalidades implcitas (que es una silla, todas las sillas, etc.). Tampoco la accin ni las solas declaraciones son garanta de haber percibido la generalidad, son meramente indicadores. La contemplacin de las propiedades de los nmeros es una manera de respaldar el engranaje de lo particular y de hacerse consciente de los procesos.

Gattegno (1.990) propuso que el lgebra emerge cuando la gente se da cuenta de la toma de consciencia que les permite operar sobre objetos (en este caso nmeros). La aritmtica generalizada es slo uno de los contextos para este proceso de respaldo de lo particular.

3..4. Ejemplo: Materialidad y Particularidad

Los nios a menudo muestran gran placer y efectividad en la generalizacin, en la formulacin de ciertas preguntas, ponderando realidades alternativas y jugando con el lenguaje. En la escuela, ellos muestran predileccin por lo concreto y esto ha llevado a que la prctica basada en aparatos sea promulgada a lo largo de toda la comunidad educacional. Los tericos de la enseanza, basadaos en malas interpretaciones de la implicaciones epistemolgicas de Piaget concernientes al papel de los objetos concretos, componen esta aparente preferencia por el mundo material para producir programas de instruccin que forzan lo particular.

El efecto es desviar la atencin de lo general y algunas veces enfatizar lo particular en caminos en los que se hace ms difcil y en los que incluso es ms fcil apreciar lo general.

Davydov (citado antes) est de acuerdo en que aqu es donde se han cometido los mayores errores pedaggicos.

Usar un comps particular, en un ambiente particular, para dibujar un crculo particular, es alguna indicacin de la toma de conciencia del potencial de herramientas como el comps para el trazado de crculos?. La manipulacin de los bloques de Dienes o de las reglas de Cuisenaire, necesariamente conducen a la apreciacin de lo que los tericos de la educacin ven como ejemplificado?. El software que provee algunos ejemplos particulares, necesariamente lleva a los alumnos a tomar conciencia de la generalidad?

Claramente todas las evidencias estn en contra de tales conjeturas. Se necesita ms. La presencia de lguien cuya atencin est estructurada de una manera diferente, cuya conciencia sea ms amplia y nivelada en forma mltiple, es esencial que pueda dirigir o atraer apropiadamente la atencin del alumno hacia rasgos (formas, figuras) importantes. Es costumbre citar a Vigotvsky (1.978) como justificacin para proponer que los estudiantes tengan acceso a un funcionamiento psicolgico ms alto, estando en presencia de tal funcionamiento mientras se involucran en prcticas en las que stos se estn empleando. Sin embargo yo creo que esta nocin est al menos implcita en la enseanza de los msticos, por no decir los educadores, a travs del tiempo. Vigotvsky lo puso claro, sin embargo.

3.5. Ejemplo: Aritmtica del Resduo

Los residuos, y la aritmtica modular, proveen un rico contexto en el que se puede practicar la expresin de la generalidad, mientras se ilustran algunas de las muchas expresiones elpticas y referentes implcitos en el discurso matemtico.

Ntese que 1, 4 y 7 dejan un residuo de 1 cuando son divididos por 3. Cualquier nmero que tenga esa propiedad puede epresarse en la forma 1 + 3n donde n es cualquier entero. La forma 1 + 3n es concisa y peculiar. En un sentido ella denota un solo nmero dependiendo del valor de n; en otro sentido describe la estructura de un nmero o realmente de un conjunto de nmeros, esto es, algunos que dejan un residuo de 1 cuando son divididos por 3; en otro sentido 1 + 3n es un nmero, lo mismo que 3 denota o nombra un nmero pero es a menudo tomado como siendo un nmero; en otro sentido 1 + 3n es una rgla para calcular un nmero, una expresin; en otro sentido, es el resultado de ejecutar ese clculo.

Y ntense los cambios implcitos en el siguiente:

deja un residuo de 1 en tres ejemplos,

deja un residuo de 1 en tres ejemplos,

deja un residuo como una propiedad de los nmeros en general,

deja un residuo como una propiedad de los nmeros en general,

deja un residuo de 1 al dividirlo por 3 como una propiedad de los nmeros en general.

Ms generalmente r + 3n describe todos los nmeros que ... y r + kn denota... Usualmente hay muchos niveles de generalidad capaces de dar significado hasta a la ms simple particularidad.

3.6. Ejemplo: Ejercicios

Los estudiantes estn a menudo puestos en la tarea de completar una coleccin de ejercicios con el nimo de lograr facilidad con una tcnica. El solo trmino ejercicios sugiere una metfora de adiestramiento fsico en el cual los msculos son desarrollados y las reacciones aguzadas a travs de la repeticin. Pero hacer ejercicios matemticos es como reconocer tipos de preguntas y ser capaz de reconstruir para uno mismo una tcnica general. Automatizar una tcnica es slo un aspecto de prctica de lo perfecto. La dificultad con la prctica sin sentido es que toma lugar en un contexto enrarecido y a menudo inconsciente. La prctica tiende a enfocar la atencin precisamente sobre aspectos de una tcnica que tiene que ser hecha sin atencin cuando la tcnica es dominada.

3.7. Lenguaje

No hay nada curioso o peculiar en ver una generalidad a travs de u ejemplo particular. Es parte de la actividad cotidiana y en particular del uso competente del lenguaje. En el hablar, los nios muestran el poder de generalizar porque las palabras son generales, no particulares y hablar respresenta un movimiento que, lejos de habitar con lo particular (a travs de la puntuacin), habita con lo general que es lo que le da significado. Hablar es seal de reconocimiento de una situacin como similar a otras, participar en clasificacin y generalizacin. Es ver lo general a travs de lo particular y lo particular a travs de lo general (Mason & Pimm, 1.984). Ver lo particular en lo general es la especializacin, que hace posible la aplicacin de una teora, de la experiencia acumulada, de la perspectiva. Es un acto no trivial que requiere un dejar ir o desacentuar lo particular y mirar, a travs de la esencia, la forma de la situacin.

3.8. Reflexin

He ofecido cosas que he rotulado como ejemplos. Usted debe trabajar e lo que usted cree que est siendo ejemplidicado. As es como la ejemplificacin funciona. Hasta que usted pueda ver mis ejemplos como ejemplos de algo, ellos se quedan aislados y con poco significado.

En los aos 60s hubo una creciente toma de consciencia de que los estudiantes graduados en matemticas eran inducidos a detenerse en lo general, en la misma medida en que pedan contacto con lo particular. Pero siempre hay esa necesidad humna de generalizar, y realmente las matemticas puras proveen un hogar para la gente que busca evitar las desagradables complejidades de lo particular.

Man muss immer generalisiern.

(uno deber siempre generalizar)

(Jacobi en el ao 1840, citado en Davis & Hersh, 1981, p. 134)

Encuentro sensible y consistente considerar el mundo de las formas de Platn como un mundo que puede ser experimentado, y manipulado, junto con el mundo material. El mundo material no tiene generalidad. Es enteramente particular. Los ngulos medidos en ls tringulos fsicos no suman exactamente 180 grados; los rompecabezas no hacen exactamente una particin. De manera similar, el mundo de las pantallas electrnicas es notablemente particular. Tan pronto como alguna expresin toma lugar en el lenguaje, el mundo de las formas es evocado y encajado. Los educacionalistas islmicos usan una justificacin similar para las matemticas obligatorias en la escuela: ellas proveen el acceso a la experiencia de el tipo de pensamiento abstracto que es esencial para la toma de conciencia espiritual. Aqu estoy usando lenguaje en un sentido muy general, siguiendo a Maturana (1978): El lenguaje es la coordinacin consensual de la coordinacin consensual de la accin.

A pesar de la aparente abstraccin y genralidad, es, de hecho, a travs del mundo de la formas que toma lugar la coordinacin en el mundo material. Penrose (1991) asume una muy firme, si no extrema, posicin a lo largo de estas lneas:

El Ver... es la esencia de la comprensin matemtica. Cuando los matemticos comunican, esto se hace posible por... la conciencia de cada ser en una posicin de recibir directamente verdades matemticas. Puesto que cada uno puede hacer contacto con el mundo de Platn directamente, ellos pueden comunicarse con los otros ms pronto de lo que uno puede haber esperado. (p. 428)

En el centro del Ver es raro ser consciente del acento e ignorancia (otra frease de Gattegno) que est haciendo posible ese Ver. Y tambin es el caso que lo general usualmente slo puede ser aproximado a travs de lo particular, lo cual explica por qu, por ejemplo, yo comienzo esta seccin con una asercin particular ms que con una tesis general y por qu la mayora de libros de texto de artimtica (incluyo las tablas bablonias, papiros egipcios, manuscritos chinos, aritmticas comerciales, y todo lo que aparezca) han instruido tradicionalmente en la ejecucin de la tcnica proporcionando ejemplos resueltos de los cuales el estudiante debe inferir lo general.

La nocin completa de ejemplo depende de la nocin d generalidad y la esquematiza. Mi asercin abierta a cerca de la suma de los ngulos de un tringulo, o cualquier otra asercin, no puede ser ejemplo de alguna cosa hasta que alguien venga y lo vea como tal. Si e profesor pone ejemplos en el tablero, o un autor pone ejemplos en un texto, estos siguen siendo indiferenciados hasta que un estudiante los construya como ejemplos de algo y eso slo puede ser hecho viendo una generalidad a travs de lo particular. Entonces queda la pregunta de si la generalidad hecha por el estudiante es la misma que la del autor?. Muchas de las confusiones de los alumnos son literalmente

4. ALGEBRA EN SI MISMA

lgebra no es una sola cosa. La palabra lgebra resuena con (trae a la conciencia) una variedad de experiencias, algunas compartidas culturalmente, otras idiosincrticas. Es derivada de los problemas de al-jabr (literalmente, sumar o multiplicar ambos lados de una ecuacin por la misma cosa con el propsito de eliminar trminos negativos/fraccionarios) los cuales fueron paralelos a los de al-muqabala (restando la misma cosa de o dividiendo la misma cosa en ambos lados). El significado original es igualar, comparar, colocar el opuesto. Es puramente casual que estemos discutiendo de lgebra en tanto lo hacemos con Almukabala o an cn Mukjabra!. Van del Waerden (1980) sugiere que, por un tiempo, la combinacin de las dos palabras, al-jabr walmuqabala fue usada algunas veces en el sentido ms general de ejecucin de operaciones algebraicas.

Brahmagupta (siglo VII) es traiducido como diciendo:

Ya que algunas preguntas pueden ser escasamente conocidas sin lgebra, entonces yo hablar de lgebra con ejemplos. Conociendo los pulverizadores, cero, cantidades positivas y negativas, incgnitas, eliminacin de trminos medios, ecuaciones con una incgnita, factores y natural cuadrado, uno se convierte en un profesor aprendido en medio de lo aprendido. (Citado en MA290, Open University Course)

El lgebra es usualmente lo que la gente tiene en mente cuando piensa en las matemticas como un lenguaje: hileras de smbolos algebraicos. Pero las hileras de smbolos no son en s mismas el lgebra. El significado del lgebra se ha desarrollado y ensanchado pasando del proceso (lgebra) al objeto (un lgebra) en la moda matemtica del tiempo-de- honor. En la escuela, el lgebra viene a significar: uso de smbolos para expresar y manipular generalidades en contextos numricos. No obstante, toda disciplina est relacionada con la expresin de la generalidad, con diferencias slo en aquello de lo que trata la generalidad y cmo son justificadas las generalidades (Mason, 1984).

La generalizacin es la sangre vital, el corazn de las matemticas. Ciertamente, puede haber mucha dificultad en preguntas particulares, tales como tratar de encontrar la suma de los cuadrados de los recprocos de los enteros positivos, el 397 dgito en la expansin decimal de , la cuadratura de una regin particular o hallar el conjunto solucin de un polinomio particular, y estas preguntas realmente han ocupado muchos aos de esfuerzo de los matemticos. Pero en casi todos los casos hay una generalidad implicada, tambin porque se espera que las tcnicas aplicarn as generalidad, o, como en el caso de los recprocos cuadrados, porque puede estar redispuesta como una frase a cerca de un infinito conjunto de nmeros aproximndose a un lmite particular.

Bednarz y Janvier (en este volumen) demuestran los contrastes entre el pensamiento artimtico (directo, de lo conocido a lo desconocido) y el pensamiento algebraico (indirecto, de los desconocido a lo conocido, va generalidad) en el contexto de los problemas verbales. En una atmsfera de generalidad lo hasta-ahora-desconocido es tan familiar y confiablemente manipulable como lo conocido y a menudo mucho mejor!

Gattegno (1990) acuo la frase: algo es matemtico slo se est matizado a travs del infinito. Yo lo retomo para decir que la condicin para que algo sea planamente matemtico es que est presente una generalidad. Su asercin puede ser til como algo para recordar en medio de una leccin, para atender al infinito uno mismo. l sugera que el lgebra, como una forma disciplinada de pensamiento surgi cuando la gente se hizo consciente del hecho de poder operar sobre objetos (nmeros, figuras, expresiones) y de poder operar sobre esas operaciones. As, cuando usted sea capaz de pensar a cerca de operaciones artimticas combinadas ha empezado a hacer lgebra de las matemticas (grupos, anillos, campos, semigrupos) surgen como una estructura de operaciones sobre operaciones de objetos, as, esta visin del lgebra nos brinda una conexin entre el lgebra escolar (como ella podra ser) y el lgebra superior.

Los problemas verbales son un contexto en el cual uno despliega su habilidad para operar sobre operaciones denotndolas y manipulndolas para expresar relaciones.

La generalidad no es una sola nocin, antes bien, es relativa al dominio de confianza y facilidad de un individuo. Lo que es simblico o abstracto para uno puede ser concreto para otro (Mason, 1980). Puesto de otra manera, la atencin es atrada hacia lo particular por se algo confiablemente manipulable. Ello requiere la ignorancia para luego utilizar la manifestacin de esa ignorancia en la tarea de expresar relaciones y resolver problemas.

La toma de conciencia algebraica requiere, o quizs consiste en, necesarios cambios de atencin que le hagan posible ser flexible en ver smbolos escritos:

Como expresin y como valor,

Como objeto y como proceso,

Las transiciones de una manera de ver a otra evocan experiencias que hacen exo de similares esfuerzos de nuestros antecesores intelectuales. Por ejemplo los nombre de los nmeros usados como adjetivos para describir el orden en una secuencia se convierten en sustantivos. Los cambios de atencin, y al mismo tiempo el cambio se aplica no slo a los nombres de los nmeros actualmente usados hasta ahora sino a todos los potenciales nombre de nmeros. Es raro que tres millones cuatrocientos cincuenta y seis mil quinientos cuarenta y tres probablemente haya sido usado por los nios en el conteo de un conjunto, aunque ellos alcancen una percepcin en la que una secuencia simblica es vista como un nmero potencial y no simplemente como un nmero de cosas.

5. DIFICULTADES EN EL SALON DE CLASES

Los siguientes ejemplos de dificultades con la generalidad encontrados con los alumnos no intentan ser comprenhensivos. Todos surgen de exponer a stos a la generalizacin sin difundirla suficientemente en la atmsfera del saln de clases.

5.1.Ejemplo:Precipitacin a los Smbolos

la precipitacin de las palabras a los solos smbolos literales ha marcado la institucin del lgebra escolar por ms de cien aos. Los tratamientos formales, que han sido muy exitosos para los rpido-pensadores y los no-cuestionadores se han dado con smbolos como nmeros desconocidos y embarcados en una serie de juegos con reglas para su manipulacin. Pero los buscadores-de-significado y aquellos menos capaces de lograr rpido el xito de reconocer espontneamente los patrones de simplificacin han abandonado las matemticas manteniendo el lgebra como el principal baldado de agua fra matemtico para la sociedad entera.

Yo propuse a un grupo de estudiantes el clsico problema medieval de los huevos, en el cual los huevos son trados del mercado dejando residuos de 1,2,3,4,5 y nada cuando se colocan en grupos de 2,3,4,5,6 y 7 respectivamente, cul es el menor nmero de huevos llevado del mercado?

Los estudiantes se apresuran a escribir ecuaciones mostrando buen sentido de la expresin de la generalidad. Sin embargo, fueron incapaces de lograr hacer algo con todas sus ecuaciones. Esta es una pregunta de buscar el algoritmo, no una simple pregunta de lgebra.

5.2. Ejemplo: El descubrir un patrn puede ser algo trivialTony vino y dijo que haba encontrado un patrn (en su observacin de los nmeros que tienen un entero como resultado de restar 1, luego dividir por 4, luego multiplicar por 3). Todos lso segundos nmeros estn en la tabla tres veces. Yo le pregunt si eso era siempre verdadero y l se fue a chequearlo. Varios nios notaron que todos los nmeros iniciales que servan eran impares.

Cmo era su chequeo?Intentar con muchos ms ejemplos?Cmo puede un profesor llevar la atencin del alumno de un patrn observado en las respuestas al mtodo para generar esos nmeros?Es efectivo el uso del tiempo que Tony gaste por un perodo hasta que l vea que desde que ha multiplicado por 3, las respuestas estarn en la tabla tres veces?

5.3. Formulacin de FrmulasEn la bsqueda de frmulas para contar patrones de nmeros figurados, tales como los nmeros tringulares, hay tres principales acercamientos y percepciones:

Manipulacin de la figura en s misma para hacer el conteo ms fcil (un dispositivo matemtico estndar como el manifestado en la famosa suma de Gauss y los nmeros triangulares; mas generalmente en la suma de una progresin artimtica y variado para el uso en la suma de una progresin geomtrica)

Hallazgo de una regla local (recurso) que refleje una manera de construr el siguiente trmio a partir de los anteriores (un dispositivo matemtico estndar que es desarrollado dentro del estudio de las diferencias finitas y las polinomiales generatrices)

Localizacin de un patrn que conduzca a la frmula directa (una preocupacin de las matemticas pre-computador influenciada por el programa cartesiano para explotar el legalismo mecnico de lo natural por el hallazgo de frmulas explcitas),

Las tres aproximaciones son todas para generar conjeturas. Wallis en su libro (1985) Un Tratado de lgebra parece haber sido el primero en llamar a esta idea su mtodo de investigacin y parece ser la fuente del ahora popular trmino trabajo de investigacin en educacin matemtica en la U.K. y Australia. La aproximacin de Wallis fue sancionada por Fermat como una conducta antimatemtica, ya que l quer que las generalizaciones fueran deducidas, no inducidas. Una vez los estudiantes tengan una conjetura, ellos tienen luego que verificar que siempre funciona pr el recurso del origen de la secuencia. Hay todo un mundo de tomas de conciencia de la generalidad en el siempre funciona que parece escapar a la mayora de los estudiantes. Desafortunadamente hay ya establecida una prctica de elaboracin de una tabla, adivinando una frmula, verificando que funciona en uno o dos ejemplos ms luego pasando a la siguiente pregunta. Yo sugiero que los estudiantes se quedan sin tomar conciencia de la generalidad en una frmula que ellos conjeturan porque, en la mayora de los temas matemticos, los profesors se confabulan con ellos para mantener enfocada su atencin sobre la tcnica de casos particulares y no sobre la tcnica y reducir el tiempo empleado en el adiestramiento para la aplicacin de tcnicas especficas.+

Arzarllo (1991b) estudi las respuestas de algunos estuduiantes de 11 y 16 aos de edad que fueron presentadas tanto con una frmula cerrada como con una frmula recursiva apra la secuencia de nmeros cuadrados figurados y fueron planteadas para hacer lo mismo con los nmeros triangulares (presentados como la escalera familiar). Las dificultades experimentadas por los estudiantes del estudio de Arzarello reflejan algunas de las clsicas disputas encontradas en la literatura de investigacin con respecto a:

Manipular subndices (e.g., usar para expresar la diferencia n entre nmeros triangulares consecutivos, quedando incierto si y dicen la misma cosa (ver Mason, 1989);

Confundir lo particular con lo general (e.g., moverse del caso de n=5 en el que da la respuesta correcta, a ;

Moverse similarmente de una incorrecta generalizacin a una forma que pueda ser hecha para funcionar (e.g., encontrar que , proponer que , hallarlo da respuestas incorrectas ajustndolo a donde x tiene que ser determinada);

Usar una versin del rea de un tringulo para encontrar un patrn en los nmeros que tengan que ser multiplicado para dar la respuesta en cada caso y generalizar a un especfico gran caso.

Buscar una regla local (i.e., una frmula recursiva) antes que a una regla global (i.e., una frmula cerrada).

Muchos porfesores en todos los niveles han encontrado que la atencin del estudiante es a menudo captada por reglas paralelas de crecimiento en las dos columnas de una tabla (x crece por 1 y y por 10). Empujados a expresar esto coo una frmula, los estudiantes en forma completamente natural tratan las cosas como x+1 = y+10 mientras la relacin y = 10x+3 permanece oculta a la vista.

Parte del proceso de enculturacin en los caminos del pensamiento matemtico incluye la exposicin de ideas fructiferas y formas de pensamiento: manipulacin de diagramas (as como despliegue de los cuadrados , uso de subndices como una conveniente notacin, tcnicas para pasar de una frmula recursiva a una frmula cerrada, y as sucesivamente.

Adems, hay un mundo de diferencia entre estar a merced de otra tarea y generar uno mismo sus propias tareas. La verdad de la expresin de la generalidad es que los estudiantes toman cada vez ms y ms generalidad para reconocer y expresar la generalidad y para verificar las conjeturas asociadas.

Gardiner, citado en Tall y Thomas (1991) puso la siguiente tarea en un concurso de resolucin de problemas escolares:

Encuentre un nmero primo que sea una unidad menor que un cubo. Encuentre otro nmero primo que sea una unidad menor que un cubo. Explique! (p. 127)

Muchos estudiantes reportaron como hallazgo que es primo, pero sinla transicin a una forma ms que particular, a , sus registros probaran ser infructuosos. Tanto que Tell y Thomas dicen:

Hay una etapa en el currculo en que la introduccinal lgebra puede hacer simples las cosas difciles, pero ello no quiere decir que enseando lgebra no sea posible que pronto las cosas simples no se hagan difciles.

Ellos continan reportando el comportamiento persistente de los estudiantes en su lucha con la tarea: factorice , expandiendo el conjunto, reagrupando y luego tratando de descubrir los factores ms que viendo directamente el factor comn en la forma presentada. Ellos explican este comportamiento en trminos de una adicin a un proceso de seriacin basado en una comprensin instrumental, resondiendo al primer acercamiento que viene a ellos sin retroalimentar ni contemplar lo que se les pide que hagan y lo que se les da.

La generalizacin es usualmente tomada como una actividad inductivamente emprica en la cual uno acumila muchos ejemplos y detecta el patrn. Pero la generalizacin ms poderosa es usualmente bastante diferente. Hilbert (Courant, 1981) y Davydov (1990) se refieren ambos al hecho de dominar un solo ejemplo que , con un nfasis apropiado y la consecuente ignorancia de rasgos especiales, sirve como un ejemplo genrico en el cual puede ser ledo lo general. Eso no es un rasgo distante de los matemticos avanzados, pero puede ser experimentados en todos los niveles. Por ejemplo, simples patrones como fsforos pueden ser a menudo partidos y vistos en una variedad de formas (ver Filas y columnas, ms adelante en esta seccin; Manson, 1988; Mason, 1991b; Mason et al, 1985). Toma slo la particin de un ejemplo ser capaz de leer lo general; una vez usted lo ha visto hecho y participado usted mismo.

Por ejemplo ha sido el tema de una 30 o ms comunicaciones electrnicas en una discusin precedida por Jim Kaput durante 1992.

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