cap6_integ_indefv2

Capítulo 6:Integral Indefinida

Geovany Sanabria

Contenido1 Propiedades y definición de la integral indefinida 1441.1 La Antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1441.2 Definición de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1471.3 Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2 Métodos de integración 1512.1 Método de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.2 Método de integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542.3 Integración de Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

2.3.1 Integrales del tipoZcosn xdx,

Zsenn xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

2.3.2 Integrales del tipoZsenn x cosm xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

2.3.3 Integrales del tipoZsecn x tanm xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

2.3.4 Integrales del tipoZsen (nx) cos (mx) dx,

Zsen (nx) sen (mx) dx,Z

cos (nx) cos (mx) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

2.3.5 Otros tipos de integrales trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622.3.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

2.4 Método de integración por sustitución trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1642.5 Método de fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2.5.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.5.2 Integración de fracciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1722.5.3 Integración de fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1742.5.4 Integración de fracciones más generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

2.6 Más ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

143

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 6. Integral Indefinida Prof. Geovany Sanabria

1 Propiedades y definición de la integral indefinida

1.1 La Antiderivada

Ejemplo 1 Determine tres funciones cuya derivada sea 3x2.

Estas pueden ser:F1 (x) = x3, F2 (x) = x3 − 2, F3 (x) = x3 + 2

5√4.

Lo anterior evidencia que existe infinitas función cuya derivada sea f 0 (x) .

Definición 1 (Antiderivada particular) Una función F (x) es una antiderivada particular de f (x)si

F 0 (x) = f (x) .

Ejemplo 2 Algunas antiderivadas particulares de f (x) = cosx son:

F1 (x) = senx+ 1, F2 (x) = senx−√2, F3 (x) = senx+ e

Ejemplo 3 Determine la familia de funciones cuya derivada es 2x.

Para que la derivada de una función sea 2x, esta de tener por fórmula x2 más una constante, porejemplo las funciones:

f (x) = x2, g (x) = x2 +√2, h (x) = x2 + π

tiene por derivada 2x. En general, la familia de funciones cuya derivada es 2x son tadas las funcionesde la forma:

x2 + c,

donde c es una constante real.

Definición 2 (Antiderivada) Dada una función f (x) se define su antiderivada (o antiderivadageneral) como la familia de funciones cuya derivada es f (x).

Ejemplo 4 La antiderivada de 2x esx2 + c.

Teorema 1 (Cálculo de la antiderivada) Si F (x) es una antiderivada particular de f (x) (esdecir F 0 (x) = f (x)), entonces la antiderivada de f (x) es

F (x) + c,

donde c es una constante real cualquiera.

Ejemplo 5 Determine la antiderivada de f (x) = 2xex2

.

Note quef (x) = 2xex

2

= ex2 · 2x = ex

2 · ¡x2¢0 ,por la regla de la cadena, se tiene que:

f (x) = ex2 · ¡x2¢0 = ³ex2´0 .144


Por lo tanto una antiderivada particular de f (x) es F (x) = ex2

. Así la antiderivada de f (x) = 2xex2

esF (x) + c = ex

2

+ c.

Ejemplo 6 Determine la antiderivada de f (x) =3x2 + 2

x3 + 2x.

Note que

f (x) =3x2 + 2

x3 + 2x=

¡x3 + 2x

¢0x3 + 2x

=£ln¡x3 + 2x

¢¤0.

Por lo tanto una antiderivada particular de f (x) es F (x) = ln¡x3 + 2x

¢. Así la antiderivada de

f (x) =3x2 + 2

x3 + 2xes

F (x) + c = ln¡x3 + 2x

¢+ c.

Ejemplo 7 Halle f (x) si f 0 (x) = 1− 6x y f (0) = 8.Note que f (x) es una antiderivada particular de de f 0 (x) . Dado que

f 0 (x) = 1− 6x = (x)0 − ¡3x2¢0 = ¡x− 6x2¢0 ,entonces la antiderivada de f 0 (x) :

x− 6x2 + c.

Así se debe hallar el valor de c que cumple que:

f (x) = x− 6x2 + c,

como f (0) = 8 entoncesf (0) = 0− 6 · 02 + c = c = 8.

Por lo tanto f (x) = x− 6x2 + 8.

Ejemplo 8 Halle f (x) si f 00 (x) = x2 + 3 senx, f 0 (6π) = 72π3 + 2 y f (0) = 3.

1. Hallar f 0 (x) .

Note que f 0 (x) es una antiderivada particular de de f 00 (x) . Dado que

f 00 (x) = x2 + 3 senx =

µx3

3

¶0+ (−3 cosx)0 =

µx3

3− 3 cosx

¶0,

entonces la antiderivada de f 00 (x) :

x3

3− 3 cosx+ c.

145



f 0 (x) =x3

3− 3 cosx+ c,

como f 0 (6π) = 72π3 + 2 entonces

f 0 (6π) =(6π)

3

3− 3 cos (6π) + c = 72π3 − 3 + c,

asi: 72π3 − 3 + c = 72π3 + 2 =⇒ c = 5 de donde se obtiene que

f 0 (x) =x3

3− 3 cosx+ 5.

2. Hallar f (x) .

Como f (x) es una antiderivada particular de de f 0 (x) y

f 0 (x) =x3

3− 3 cosx+ 5 =

µx4

12

¶0− (3 senx)0 + (5x)0 =

µx4

12− 3 senx+ 5x

¶0,

entonces la antiderivada de f 0 (x) :

x4

12− 3 senx+ 5x+ c.


f (x) =x4

12− 3 senx+ 5x+ c,

como f (0) = 3 entonces

f (0) =04

12− 3 sen 0 + 5 · 0 + c = c = 3.

Por lo tanto f (x) =x4

12− 3 senx+ 5x+ 3.

Ejemplo 9 Halle f (x) si f 00 (x) = 6x2, f (2) = 6 y f (−2) = 3.

1. Hallar f 0 (x) .

Note que f 0 (x) es una antiderivada particular de de f 00 (x) . Dado que

f 00 (x) = 6x2 =¡2x3

¢0,

entonces la antiderivada de f 00 (x) :2x3 + c.


f 0 (x) = 2x3 + c.

146


2. Hallar f (x) .

Como f (x) es una antiderivada particular de de f 0 (x) y

f 0 (x) = 2x3 + c =

µx4

2

¶0+ (cx)0 =

µx4

2+ cx

¶0,

entonces la antiderivada de f 0 (x) :x4

2+ cx+ d.

Así se debe hallar los valores de c y d que cumplen que:

f (x) =x4

2+ cx+ d,

comof (2) = 6 y f (−2) = 3, se tiene el sistema de ecuaciones:½f (2) = 6f (−2) = 3 , es decir

½8 + 2c+ d = 68− 2c+ d = 3

resolviendo el sistema se obtiene que c = 34 , d = −72 .

1.2 Definición de la integral indefinida

Definición 3 (Integral Indefinida) Se define la integral indefinida de f (x) como la antiderivada(general) de f (x) y denota por: Z

f (x) dx.

Ejemplo 10 DetermineZ ¡

x5 + ex − 1¢ dxSea f (x) = x5 + ex − 1, note que

f (x) = x5 + ex − 1 =µx6

6

¶0+ (ex)0 − (x)0 =

µx6

6+ ex − x

¶0,

así, F (x) =x6

6+ ex − x es una antiderivada particular de f (x) , por lo tanto:Z µ

1

1 + x2+1

x

¶dx = arc tanx+ lnx+ c

Ejemplo 11 DetermineZ µ

1

1 + x2+1

x

¶dx

Sea f (x) =1

1 + x2+1

x, note que

f (x) =1

1 + x2+1

x= (arc tanx)

0+ (ln |x|)0 = (arc tanx+ ln |x|)0

147


Por lo tanto: Z µ1

1 + x2+1

x

¶dx = arc tanx+ ln |x|+ c


g0 (x) · 2g(x) ¢ dxSea f (x) = g0 (x) · 2g(x), note que

f (x) = g0 (x) · 2g(x) = 2g(x) · g0 (x) = 2g(x) · ln 2 · g0 (x)ln (2)

=

µ2g(x)

ln (2)

¶0Por lo tanto: Z ³

g0 (x) · 2g(x)´dx =

2g(x)

ln (2)+ c

1.3 Propiedades de la integral indefinida

Ejemplo 13 DetermineZxndx

Sea f (x) = xn, note que

f (x) = xn =

µxn+1

n+ 1

¶0Por lo tanto: Z

xndx =xn+1

n+ 1+ c

Teorema 2 (Tabla de Integrales indefinidas) Sea b una constante, se tiene queZ0dx = c

Zsec2 xdx = tanx+ c

Z1

xdx = ln |x|+ cZ

bdx = bx+ c

Zcsc2 xdx = − cotx+ c

Z1√1− x2

dx = sen−1 x+ cZxdx =

x2

2+ c

Zsecx tanxdx = secx+ c

Z1

1 + x2dx = tan−1 x+ cZ

xndx =xn+1

n+ 1+ c

Zcscx cotxdx = − cscx+ c

Z1

x√x2 − 1dx = sec

−1 x+ cZsenxdx = − cosx+ c

Zexdx = ex + cZ

cosxdx = senx+ c

Zbxdx =

bx

ln b+ c

Ejemplo 14 SimplifiqueZ(f (x) + g (x)) dx.

148


Sea h (x) = f (x)+ g (x) , Sea F (x) una antiderivada particular de f (x) y G (x) una antiderivadaparticular de g (x) , entonces

F 0 (x) = f (x) y

Zf (x) dx = F (x) + c1,

G0 (x) = g (x) y

Zg (x) dx = G (x) + c2.

Note que Zf (x) dx+

Zg (x) dx = F (x) + c1 +G (x) + c2

= F (x) +G (x) + c1 + c2

Sea c = c1 + c2, como c1 y c2 pueden tomar cualquier valor entonces c es una constante cualquiera,por lo tanto Z

f (x) dx+

Zg (x) dx = F (x) +G (x) + c. (1)

Ademásh (x) = f (x) + g (x) = F 0 (x) +G0 (x) = [ F (x) +G (x) ]0

Por lo tanto F (x) +G (x) es una antiderivada particular de h (x) = f (x) + g (x) yZ(f (x) + g (x)) dx = F (x) +G (x) + c. (2)

De 1 y 2 se obtiene que: Z(f (x) + g (x)) dx =

Zf (x) dx+

Zg (x) dx.

Teorema 3 (Propiedades de la integral indefinida) Sean f y g funciones, c constante. Se cumpleque:

1.Z[f (x) + g (x)] dx =

Zf (x) dx+

Zg (x) dx

2.Z[f (x)− g (x)] dx =

Zf (x) dx−

Zg (x) dx

3.Z[c · f (x)] dx = c ·

Zf (x) dx

Ejemplo 15 DetermineZ(x+ 2)3 dxZ

(x+ 2)3 dx =

Z ¡x3 + 6x2 + 12x+ 8

¢dx =

Zx3dx+ 6

Zx2dx+ 12

Zxdx+ 8

Z1dx

=x4

4+ 6

x3

3+ 12

x2

2+ 8x+ c =

x4

4+ 2x3 + 6x2 + 8x+ c.

149


Ejemplo 16 DetermineZ3 + x4

x6dx

Z3− x4

x6dx =

Z3

x6dx−

Zx4

x6dx = 3

Zx−6dx−

Zx−2dx

= 3x−5

−5 −x−1

−1 + c =−35x−5 + x−1 + c.

Ejemplo 17 DetermineZsen (2x)

cosxdx

Zsen (2x)

cosxdx =

Z2 senx cosx

cosxdx =

Z(2 senx) dx = 2

Zsenxdx = −2 cosx+ c

Ejemplo 18 DetermineZ

4√3− 3x2 dxZ

4√3− 3x2 dx =

Z4p

3 (1− x2)dx =

4√3

Z1√1− x2

dx =4√3arcsinx+ c.


cos (2t)

cos (t) sen (t)dt

Zcos (2t)

cos (t) sen (t)dt =

Zcos2 (t)− sen2 (t)cos (t) sen (t)

dt =

Zcos2 (t)

cos (t) sen (t)dt−

Zsen2 (t)

cos (t) sen (t)dt

=

Zcos (t)

sen (t)dt−

Zsen (t)

cos (t)dt = ln (sen (t)) + ln (cos (t)) + c

= ln (cos (t) sen (t)) + c

150


2 Métodos de integración

2.1 Método de sustitución

Note que si u = g (x) entonces el diferencial de u es

du = g0 (x) dx,

entoncesZf ( g (x) ) · g0 (x) dx =

Zf (u) du.

Teorema 4 (Método de sustitución) Sea g una función diferenciable, si u = g (x) entoncesZf ( g (x) ) · g0 (x) dx =

Zf (u) du.

El método de sustitución realiza un cambio de variable de integración. Este, de acuerdo al teoremaanterior, consiste en hallar una función g (x) dentro de la expresión a integrar, de manera que g0 (x)sea un factor de dicha expresión.

Ejemplo 20 DetermineZsen (4x) dx

Note que la derivada de x3+6 es 3x2. La integral se puede acomodar de manera que 3x2 sea un factorde la expresión a integrar:Z

x2px3 + 6dx =

Z1

3

px3 + 6 · 3x2dx = 1

3

Z px3 + 6 · 3x2dx

Realizando el cambio de variable:

u = x3 + 6 =⇒ du = 3x2dx

se obtiene1

3

Z px3 + 6 · 3x2dx = 1

3

Z √udu =

1

3

Zu12 du =

1

3

u32

32

+ c =2

9u32 + c,

volviendo a la variable x se obtiene que:Zx2px3 + 6dx =

2

9u32 + c =

2

9

¡x3 + 6

¢ 32 + c

Ejemplo 21 DetermineZx2√x3 + 6dx

Note que la derivada de x3+6 es 3x2. La integral se puede acomodar de manera que 3x2 sea un factorde la expresión a integrar:Z

x2px3 + 6dx =

Z1

3

px3 + 6 · 3x2dx = 1

3

Z px3 + 6 · 3x2dx

151



u = x3 + 6 =⇒ du = 3x2dx

se obtiene1

3

Z px3 + 6 · 3x2dx = 1

3

Z √udu =

1

3

Zu12 du =

1

3

u32

32

+ c =2

9u32 + c,

volviendo a la variable x se obtiene que:Zx2px3 + 6dx =

2

9u32 + c =

2

9

¡x3 + 6

¢ 32 + c


3

x lnxdx

Note que la derivada de lnx es1

x. La integral se puede acomodar de manera que

1

xsea un factor de

la expresión a integrar: Z3

x lnxdx = 3

Z1

lnx· 1xdx


u = lnx =⇒ du =1

xdx

se obtiene

3

Z1

lnx· 1xdx = 3

Z1

u· du = 3 lnu+ c,

volviendo a la variable x se obtiene que:Z3

x lnxdx = 3 lnu+ c = 3 ln (lnx) + c.

Ejemplo 23 DetermineZx3√3x2 + 4dx

Note que la derivada de 3x2+4 es 6x. La integral se puede acomodar de manera que 6x sea un factorde la expresión a integrar:Z

x3p3x2 + 4dx =

Z µx2

6

p3x2 + 4 · 6x

¶dx =

1

6

Z ³x2p3x2 + 4 · 6x

´dx


u = 3x2 + 4 =⇒ du = 2xdx

152


se obtiene que x2 =u− 43

, por lo tanto

1

6

Z ³x2p3x2 + 4 · 6x

´dx =

1

6

Zu− 43

√udu =

1

18

Z(u− 4)u 1

2 du

=1

18

Z ³u32 − 4u 1

2

´du =

1

18

·Zu32 du− 4

Zu12 du

¸=

1

18

"u52

52

− 4u32

32

#+ c =

1

18

·2

5u52 − 8

3u32

¸+ c,

volviendo a la variable x se obtiene que:Zx3p3x2 + 4dx =

1

18

·2

5u52 − 8

3u32

¸+ c

=1

18

·2

5

¡3x2 + 4

¢ 52 − 8

3

¡3x2 + 4

¢ 32

¸+ c.

Los ejemplos siguientes muestran de una manera más agil la integración por el método de sustitución.

Ejemplo 24 Determine la integral deZ

x2 + 1

x3 + 3xdx

Sea u = x3 + 3x =⇒ du =¡3x2 + 3

¢dx = 3

¡x2 + 1

¢dx, por lo tanto:Z

x2 + 1

x3 + 3xdx =

1

3

Z ·1

x3 + 3x· 3 ¡x2 + 1¢¸ dx

=1

3

Z1

udu

=1

3ln |u|+ c =

1

3ln¯̄x3 + 3x

¯̄+ c

Ejemplo 25 Determine la integral deZxx (1 + lnx) dx

Como xx = ex lnx, sea u = x lnx =⇒ du =

µlnx+ x · 1

x

¶dx = (lnx+ 1) dx, por lo tanto:

Zxx (1 + lnx) dx =

Zex lnx (1 + lnx) dx =

Zeudu = eu + c = ex lnx + c.

Ejemplo 26 CalculeZ

f 0 (x)f (x)

dx

Sea u = f (x) =⇒ du = f 0 (x) dx, por lo tanto:Zf 0 (x)f (x)

dx =

Z1

f (x)f 0 (x) dx =

Z1

udu = ln |u|+ c = ln |f (x)|+ c

153


Ejemplo 27 CalculeZcos (x) sen (4x)

cos (2x)dx

Note que

cos (x) sen (4x)

cos (2x)=

2 cos (x) sen (2x) cos (2x)

cos (2x)= 2 cos (x) sen (2x)

= 2 cos (x) · 2 cos (x) sen (x) = 4 cos2 (x) sen (x) ,entonces Z

cos (x) sen (4x)

cos (2x)dx = 4

Zcos2 (x) sen (x) dx

Sea u = cosx =⇒ du = − senxdx, por lo tanto:

4

Zcos2 (x) sen (x) dx = −4

Z £cos2 (x) ·− sen (x)¤ dx = −4Z u2du

= −4u3

3+ c = −4cos

3 x

3+ c

Ejemplo 28 CalculeZ

etanx

cos2 xdx

Sea u = tanx =⇒ du = sec2 xdx, por lo tanto:Zetanx

cos2 xdx =

Z ¡etanx sec2 x

¢dx =

Zeudu = eu + c = etanx + c

Ejemplo 29 CalculeZtan2 (x) + 1

2 + tanxdx

Como tan2 (x) + 1 = sec2 x, sea u = 2 + tanx =⇒ du = sec2 xdx, por lo tanto:Ztan2 (x) + 1

2 + tanxdx =

Zsec2 (x)

2 + tanxdx =

Z1

udu = ln |u|+ c = ln |2 + tanx|+ c.

2.2 Método de integración por partes

Sean u y v variables en términos de x entonces

(uv)0= u

dv

dx+ v

dv

dx,

por lo tanto

(uv)0 =udv + vdu

dx=⇒ (uv)0 dx = udv + vdu,

integrando a ambos lados: Z(uv)

0dx =

Zudv +

Zvdu

=⇒ uv =

Zudv +

Zvdu

=⇒ uv −Zvdu =

Zudv

154


Teorema 5 (Método de integración por partes) Se tiene queZudv = uv −

Zvdu.

Da la integralZf (x) dx, el método de integración por partes consiste en partir la expresión a integrar:

f (x) , en dos partes: u y dv. De estas partes se obtiene du y v, y se aplica el teorema anterior.

Este método no resuelve la integral, sino la cambia por otra más simple o más compleja que la primera,dependiendo de la escogencia del u y dv..

Ejemplo 30 CalculeZx senxdx

Integrando por partes se debe repartir x senxdx en u y dv :½u = x =⇒ du = dx

dv = senxdx =⇒ v = − cosx ,

se tiene que Zx senxdx = −x cosx−

Zcosxdx = −x cosx− senx+ c.

Ejemplo 31 CalculeZlnxdx

Integrando por partes: (u = lnx =⇒ du =

1

xdx

dv = dx =⇒ v = x,

se tiene que Zlnxdx = x lnx−

Z µx · 1

x

¶dx = x lnx−

Zdx = x lnx− x+ c.

Ejemplo 32 CalculeZ ¡

x22x¢dx

Integrando por partes: (u = x2 =⇒ du = 2xdx

dv = 2xdx =⇒ v =2x

ln 2

,

se tiene que Z ¡x22x

¢dx =

x22x

ln 2−Z µ

2x

ln 2· 2x

¶dx =

x22x

ln 2− 2

ln 2

Z(2xx) dx. (∗)

Realizando de nuevo por partes la última integral con(u = x =⇒ du = dx

dv = 2xdx =⇒ v =2x

ln 2

,

155


se obtiene queZ(2xx) dx =

x2x

ln 2−Z2x

ln 2dx =

x2x

ln 2− 2x

(ln 2)2+ c, entonces sustituyendo en (∗) :

Z ¡x22x

¢dx =

x22x

ln 2− 2

ln 2

Ãx2x

ln 2− 2x

(ln 2)2

!+ c

Ejemplo 33 CalculeZex senxdx

Integrando por partes con ½u = ex =⇒ du = exdx

dv = senxdx =⇒ v = − cosx ,

se tiene que Zex senxdx = −ex cosx+

Zex cosxdx. (∗)

Realizando de nuevo por partes la última integral con½u = ex =⇒ du = exdx

dv = cosxdx =⇒ v = senx,

se obtiene queZex cosxdx = ex senx−

Zex senxdx, entonces sustituyendo en (∗) :

Zex senxdx = −ex cosx+ ex senx−

Zex senxdx =⇒

2

Zex senxdx = −ex cosx+ ex senx+ c,

por lo tanto Zex senxdx =

−ex cosx+ ex senx

2+ c


x3 + x¢ex

2+3dx

Realizando la sustitución w = x2 + 3 =⇒ dw = 2xdx, se obtiene queZ ¡x3 + x

¢ex

2+3dx =1

2

Z h¡x2 + 1

¢ex

2+3 · 2xidx

=1

2

Z(w − 3 + 1) ewdw

=1

2

µZwewdw − 2

Zewdw

¶. (∗)

156


Realizando la primera integral por partes con½

u = w =⇒ du = dwdv = ewdw =⇒ v = ew

, se obtiene queZwewdw =

wew −Zewdw, sustituyendo en (∗) se obtiene que:

Z ¡x3 + x

¢ex

2+3dx =1

2

µwew −

Zewdw − 2

Zewdw

¶=

1

2

µwew − 3

Zewdw

¶=

1

2(wew − 3ew) + c

=1

2

³¡x2 + 3

¢ex

2+3 − 3ex2+3´+ c

Ejemplo 35 CaculeZx tan−1 xdx

Integrando por partes, sea u = u = tan−1 x =⇒ du =

1

1 + x2dx

dv = xdx =⇒ v =x2

2

,

asi Zx tan−1 xdx =

x2

2tan−1 x− 1

2

Zx2

1 + x2dx.

Note quex2

1 + x2=1 + x2 − 11 + x2

= 1− 1

1 + x2( se obtiene también este resultado realizando la división

de polinomios), entonces

1

2

Zx2

1 + x2dx =

1

2

Z µ1− 1

1 + x2

¶dx =

1

2

¡x− tan−1 x¢+ c

Por lo tanto el valor de la integral esZx tan−1 xdx =

x2

2tan−1 x− 1

2

¡x− tan−1 x¢+ c.

Ejemplo 36 Pruebe queZcosn xdx =

cosn−1 x senxn

+n− 1n

Zcosn−2 xdx.

Integrando por partes:½u = cosn−1 x =⇒ du =

£(n− 1) cosn−2 x ·− senx¤ dx

dv = cosxdx =⇒ v = senx,

157


se tiene que Zcosn xdx = cosn−1 x senx−

Z £senx

¡(n− 1) cosn−2 x ·− senx¢¤ dx

= cosn−1 x senx+ (n− 1)Z £

cosn−2 x sen2 x¤dx

= cosn−1 x senx+ (n− 1)Z £

cosn−2 x¡1− cos2 x¢¤ dx

= cosn−1 x senx+ (n− 1)·Z

cosn−2 xdx−Zcosn xdx

¸Así, se tiene que Z

cosn xdx = cosn−1 x senx+ (n− 1)Zcosn−2 xdx− (n− 1)

Zcosn xdx ⇔Z

cosn xdx+ (n− 1)Zcosn xdx = cosn−1 x senx+ (n− 1)

Zcosn−2 xdx

n

Zcosn xdx = cosn−1 x senx+ (n− 1)

Zcosn−2 xdx ⇔Z

cosn xdx =cosn−1 x senx

n+

n− 1n

Zcosn−2 xdx

2.3 Integración de Trigonométricas

2.3.1 Integrales del tipoZcosn xdx,

Zsenn xdx.

Si n es impar basta usar la identidad pitagórica sen2 x+cos2 x = 1, y aplicar el método de sustitución.

Ejemplo 37 CalculeZcos5 xdx.

Zcos5 xdx =

Z £cos4 x cosx

¤dx =

Z h¡cos2 x

¢2cosx

idx =

Z h¡1− sen2 x¢2 cosxi dx,

realizando la sustitución u = senx =⇒ du = cosxdx, se obtiene queZcos5 xdx =

Z ¡1− u2

¢2du =

Z ¡1− 2u2 + u4

¢du = u− 2

3u3 +

u5

5+ c

= senx− 23sen3 x+

sen5 x

5+ c

Si n es par se pueden utilizar las identidades:

cos2 x =1 + cos (2x)

2, sen2 x =

1− cos (2x)2

.

158


Ejemplo 38 CalculeZsen4 xdx

Zsen4 xdx =

Z ¡sen2 x

¢2dx =

Z µ1− cos (2x)

2

¶2dx

=

Z1− 2 cos (2x) + cos2 (2x)

4dx

Como Zcos2 (2x) dx =

Z1 + cos (4x)

2dx =

Z1

2dx+

1

2

Zcos (4x) dx

=x

2+1

2

sen (4x)

4=

x

2+sen (4x)

8+ c,

y además Zcos (2x) dx =

sen (2x)

2+ c,

entonces Zsen4 xdx =

Z1

4dx− 1

2

Zcos (2x) dx+

1

4

Zcos2 (2x) dx

=x

4− 12

µsen (2x)

2

¶+1

4

µx

2+sen (4x)

8

¶+ c

Ejemplo 39 CalculeZcos2

³x2

´Como cos2 θ =

1 + cos 2θ

2, entoncesZcos2

³x2

´dx =

Z1 + cosx

2dx =

1

2x+

senx

2+ c

2.3.2 Integrales del tipoZsenn x cosm xdx

Si n o m es impar, basta usar la identidad pitagórica sen2 x + cos2 x = 1, y aplicar el método desustitución.

Ejemplo 40 CalculeZcos4 x sen5 xdx

Se tiene que:Zcos4 x sen5 xdx =

Zcos4 x sen4 x senxdx =

Zcos4 x

¡sen2 x

¢2senxdx

=

Zcos4 x

¡1− cos2 x¢2 senxdx,159


realizando la sustitución u = cosx =⇒ du = − senxdx :Zcos4 x sen5 xdx = −

Zu4¡1− u2

¢2du = −

Zu4¡1− 2u2 + u4

¢du = −

Z ¡u4 − 2u6 + u8

¢du

= −µu5

5− 2u

7

7+

u9

9

¶+ c = −

µcos5 x

5− 2cos

7 x

7+cos9 x

9

¶+ c

Si n y m son pares, se puede expresar la función a integrar en términos de senx o cosx quedandovarias integrales del primer tipo

Ejemplo 41 CalculeZcos2 x sen2 xdx

Note que: Zcos2 x sen2 xdx =

Z ¡1− sen2 x¢ sen2 xdx = Z sen2 xdx−

Zsen4 xdx

Como Zsen2 xdx =

Z1− cos (2x)

2dx =

x

2− 12

cos (2x)

2+ c

y por el ejemplo (38) se tiene queZsen4 xdx =

x

4− 12

µsen (2x)

2

¶+1

4

µx

2+sen (4x)

8

¶+ c.

Por lo tantoZcos2 x sen2 xdx =

x

2− 12

cos (2x)

2−·x

4− 12

µsen (2x)

2

¶+1

4

µx

2+sen (4x)

8

¶¸+ c

2.3.3 Integrales del tipoZsecn x tanm xdx

Si n es par, basta usar la identidad pitagórica tan2 x+ 1 = sec2 x, y aplicar el método de sustitucióncon u = tanx.

Ejemplo 42 CalculeZsec6 x tan3 xdx

Note que Zsec4 x tan3 xdx =

Z ¡sec2 x

¢2tan3 x sec2 xdx =

Z ¡1 + tan2 x

¢2tan3 x sec2 xdx

Sea u = tanx =⇒ du = sec2 xdx, entoncesZsec4 x tan3 xdx =

Z ¡1 + u2

¢2u3du =

Z ¡1 + 2u2 + u4

¢u3du =

Z ¡u3 + 2u5 + u7

¢du

=u4

4+ 2

u6

6+

u8

8+ c

=tan4 x

4+tan6 x

3+tan8 x

8+ c

160


Sim es impar, basta usar la identidad pitagórica tan2 x+1 = sec2 x, y aplicar el método de sustitucióncon u = secx.

Ejemplo 43 CalculeZsec5 x tan3 xdx

Note queZsec5 x tan3 xdx =

Zsec4 x tan2 x secx tanxdx =

Zsec4 x

¡sec2 x− 1¢ secx tanxdx.

Sea u = secx =⇒ du = secx tanxdx, entoncesZsec5 x tan3 xdx =

Zu4¡u2 − 1¢ du = Z ¡

u6 − u4¢du =

u7

7− u5

5+ c

=sec7 x

7− sec

5 x

5+ c

2.3.4 Integrales del tipoZsen (nx) cos (mx) dx,

Zsen (nx) sen (mx) dx,Z

cos (nx) cos (mx) dx

Para resolver las integrales de este tipo se utilizan las identidades:

senA senB =1

2[cos (A−B)− cos (A+B)]

senA cosB =1

2[sen (A−B) + sen (A+B)]

cosA cosB =1

2[cos (A−B) + cos (A+B)]

Ejemplo 44 CalculeZsen (3x) cos (5x) dx

Note queZsen (3x) cos (5x) dx =

1

2

Z[sen (3x− 5x) + sen (3x+ 5x)] dx = 1

2

Z[sen (−2x) + sen (8x)] dx

=1

2

Z[− sen (2x) + sen (8x)] dx (Recuerde que sen (−θ) = − sen θ)

=1

2

·−− cos (2x)

2+− cos (8x)

8

¸+ c

=cos (2x)

4− cos (8x)

16+ c.

Ejemplo 45 CalculeZcos (3x) cos (5x) dx

161


Note queZcos (3x) cos (5x) dx =

1

2

Z[cos (3x− 5x) + cos (3x+ 5x)] dx = 1

2

Z[cos (−2x) + cos (8x)] dx

=1

2

Z[cos (2x) + cos (8x)] dx (Recuerde que cos (−θ) = cos θ)

=1

2

·sen (2x)

2+sen (8x)

8

¸+ c

=sen (2x)

4+sen (8x)

16+ c.

2.3.5 Otros tipos de integrales trigonométricas

La idea de esta sección no es brindar un recetario de como resolver cada tipo de integral trigonométrica,lo cual sería imposible. Por el contrario, se brindaron algunos modelos de como resolver algunasintegrales trigonométricas para alimentar la intuición del estudiante y que puede resolver otros tiposde integrales diferentes a los expuestos. Seguidamente se presentan dos ejemplos que se salen de laclasificación anterior.

Ejemplo 46 CalculeZtan3 xdx

1. Forma 1.Ztan3 xdx =

Ztan2 x tanxdx =

Z ¡sec2 x− 1¢ tanxdx = Z sec2 x tanxdx−

Ztanxdx.

Para la primera integral se puede realizar el cambio de variable u = tanx =⇒ du = sec2 xdx,obteniendo Z

sec2 x tanxdx =

Zudu =

u2

2+ c =

tan2 x

2+ c.

Para la segunda integralZtanxdx =

Zsenx

cosxdx se puede realizar la sustitución u = cosx =⇒

du = − senxdx, asíZtanxdx =

Zsenx

cosxdx = −

Z1

udu = − ln |u|+ c = − ln |cosx|+ c.

Por lo tanto Ztan3 xdx =

tan2 x

2+ ln |cosx|+ c.

2. Forma 2. Ztan3 xdx =

Ztan2 x tanx

secx

secxdx =

Z ¡sec2 x− 1¢secx

tanx secxdx.

162


Sea u = secx =⇒ du = secx tanxdx, entoncesZtan3 xdx =

Z ¡u2 − 1¢u

du =

Z µu− 1

u

¶du =

u2

2− ln |u|+ c

=sec2 x

2− ln |secx|+ c.

Ejemplo 47 CalcularZsec θdθ

Note que Zsec θdθ =

Z1

cos θ· cos θcos θ

dθ =

Zcos θ

1− sen2 θdθ

Sea u = sen θ =⇒ du = cos θdθ, entoncesZsec θdθ =

Zcos θ

1− sen2 θdθ =Z

1

1− u2du =

1

2

Z1− u+ 1 + u

1− u2du

=1

2

Z µ1− u

1− u2+1 + u

1− u2

¶du

=1

2

Z µ1

1− u+

1

1 + u

¶du

=1

2(− ln |1− u|+ ln |1 + u|) + c

=1

2ln

¯̄̄̄1 + u

1− u

¯̄̄̄+ c =

1

2ln

¯̄̄̄1 + sen θ

1− sen θ¯̄̄̄+ c

Dado que

1 + sen θ

1− sen θ =1 + sen θ

1− sen θ1 + sen θ

1 + sen θ=(1 + sen θ)2

cos2 θ=

µ1 + sen θ

cos θ

¶2= (sec θ + tan θ)

2,

entonces Zsec θdθ =

1

2ln (sec θ + tan θ)

2+ c = ln |sec θ + tan θ|+ c.

Para facilitar la resolución de otras integrales se agrega a la lista la integral de la secante y cosecantedadas en el siguiente teorema.

Teorema 6 Se tiene que Zsec θdθ = ln |sec θ + tan θ|+ c,Zcsc θdθ = ln |csc θ − cot θ|+ c.

163


2.3.6 Ejercicios

Calcule las siguientes integrales

1.Zcos3 x sen2 xdx

2.Zcos2 x sen5 xdx

3.Zcos4 x sen2 xdx

4.Ztan4 x sec4 xdx

5.Zsen (3x) sen (5x) dx

6.Zsec4 xdx

7.Zcsc θdθ

8.Zsec3 xdx

2.4 Método de integración por sustitución trigonométrica

Ejemplo 48 Realice un cambio de variable para eliminar la raíz de f (x) =√1− x2.

Como 1− sen2 θ = cos2 θ se puede realizar el cambio de variable x = sen θ, asíf (x) =

p1− x2 =

p1− sen2 θ =

√cos2 θ = |cos θ|

Como −1 < x < 1 entonces se puede suponer que θ esta en el I o IV cuadrante para que x = sen θtome valores entre −1 y 1 pues

1

-1

π

2

-π

2

En ambos cuadrantes cos θ es positivo, por lo tanto:

f (x) = cos θ.

164


Ejemplo 49 Realice un cambio de variable para eliminar la raíz de f (x) =√2 + 3x2.

Note que

f (x) =

s2

µ1 +

3x2

2

¶=√2

r1 +

3x2

2=√2

vuut1 +Ã√3x√2

!2

Como 1 + tan2 θ = sec2 θ se puede realizar el cambio de variable

√3x√2= tan θ, así

f (x) =√2p1 + tan2 θ =

√2√sec2 θ =

√2 |sec θ|

Como

√3x√2puede ser cualquier número real entonces se puede suponer que θ esta en el I o IV

cuadrante para que

√3x√2= tan θ tome cualquier valor real, pues

2

1

-1

-2

-2 2

π

2-π

2

. En ambos cuadrantes cos θ es positivo, entonces secx es positivo por lo tanto:

f (x) =√2 sec θ.

En general, se tiene que

Si la expresión a integrar contiene el radical: Se puede realizar la sustitución:√a2 − x2 x = a sen θ√a2 + x2 x = a tan θ√x2 − a2 x = a sec θ

165


donde θ se escoge de manera que cuando se simplifique el radical se pueda quitar el valor absoluto.

Ejemplo 50 CalculeZ

x2√1− x2

dx

Sea x = sen θ =⇒ dx = cos θdθ, entoncesZx2√1− x2

dx =

Zsen2 θ√1− sen2 θ cos θdθ =

Zsen2 θ√cos2 θ

cos θdθ

=

Zsen2 θdθ =

Z1− cos (2θ)

2dθ

=

Z1

2dθ − 1

2

Zcos (2θ) dθ =

θ

2− 12

sen (2θ)

2+ c

Como x = sen θ entonces θ = arc senx. Además sen (2θ) = 2 sen θ cos θ. Dado que sen θ =x

1utilizando

un triángulo rectángulo:

1

x

C

BAθ

Por Pitágoras BC =√1− x2 entonces cos θ =

AB

AC=√1− x2, así

sen (2θ) = 2 sen θ cos θ = 2xp1− x2.

Por lo tanto Zx2√1− x2

dx =θ

2− sen (2θ)

4+ c

=arc senx

2− 2x

√1− x2

4+ c.

Ejemplo 51 CalculeZ

2

(2− x2)32

dx

Note que2

(2− x2)32

=2·

2

µ1− x2

2

¶¸ 32

=2

2√2

1µ1−

³x√2

´2¶ 32

.

166


Seax√2= sen θ =⇒ x =

√2 sen θ =⇒ dx =

√2 cos θdθ, por lo tanto la integral se transforma en

Z2

(2− x2)32

dx =2

2√2

Z1µ

1−³

x√2

´2¶ 32

dx

=1√2

Z √2 cos θ

(1− sen2 θ) 32dθ =

Zcos θ

(cos2 θ)32

dθ

=

Z1

cos2 θdθ =

Zsec2 θdθ = tan θ + c

Como se tenía quex√2= sen θ, entonces:

2

x

C

BAθ

Por Pitágoras AB =√2− x2, por lo tanto tan θ =

BC

AB=

x√2− x2

, así se obtiene que el valor de la

integral es Z2

(2− x2)32

dx = tan θ + c =x√2− x2

+ c.

Ejemplo 52 CalculeZ

3

2x√4 + 9x2

dx

Note que3

2x√4 + 9x2

=3

2

1

x

s4

µ1 +

9x2

4

¶ =3

4

1

x

s1 +

µ3x

2

¶2Mediante la sustitución trigonométrica

3x

2= tan θ se tiene que x =

2 tan θ

3=⇒ dx =

2 sec2 θdθ

3, por

167


lo tanto Z3

2x√4 + 9x2

dx =3

4

Z1

x

s1 +

µ3x

2

¶2 dx = 3

4

Z2 sec2 θ

3 tan θ√1 + tan2 θ

dθ

=1

2

Zsec2 θ

tan θ sec θdθ =

1

2

Zsec θ

tan θdθ =

1

2

Zcsc θdθ

=1

2ln (csc θ − cot θ) + c.

Dado que tan θ =3x

2entonces

θ

3 x9 x +42

2

Note que csc θ =

√9x2 + 4

3xy cot θ =

2

3x

Así el valor de la integral esZ3

2x√4 + 9x2

dx =1

2ln (csc θ − cot θ) + c =

1

2ln

Ã√9x2 + 4

3x− 2

3x

!+ c.

Ejemplo 53 CalculeZ √

x+ 2√x− 2dx

Racionalizando se obtiene que

√x+ 2√x− 2 ·

√x− 2√x− 2 =

√x2 − 4x− 2 =

2

r³x2

´2− 1

x− 2 ,

realizando la sustitución sec θ =x

2se obtiene que x = 2 sec θ =⇒ dx = 2 sec θ tan θdθ, asi

Z √x+ 2√x− 2dx =

Z 2

r³x2

´2− 1

x− 2 dx =

Z2√sec2 θ − 1

2 sec θ − 2 2 sec θ tan θdθ

=

Z2√tan2 θ

2 (sec θ − 1)2 sec θ tan θdθ = 2Ztan2 θ sec θ

sec θ − 1 dθ

= 2

Ztan2 θ sec θ

sec θ − 1 · sec θ + 1sec θ + 1

dθ = 2

Ztan2 θ sec θ (sec θ + 1)

tan2 θdθ

= 2

Z ¡sec2 θ + sec θ

¢dθ = 2 [tan θ + ln |sec θ + tan θ|] + c

168


Por medio de un triángulo rectángulo como sec θ =x

2:

2

x

C

BAθ

por Pitágoras BC =√x2 − 4 =⇒ tan θ =

√x2 − 42

, por lo tanto

Z √x+ 2√x− 2dx = 2 [tan θ + ln |sec θ + tan θ|] + c

=px2 − 4 + 2 ln

¯̄̄̄¯x2 +

√x2 + 4

2

¯̄̄̄¯+ c.

Ejemplo 54 CalculeZ

dx√9x2 + 6x− 8dx

Completando cuadrados:

9x2 + 6x− 8 = (3x)2 + 2 · 3x · 1 + 1− 1− 8 = (3x+ 1)2 − 9Por lo tanto Z

dx√9x2 + 6x− 8dx =

Zdxq

(3x+ 1)2 − 9

Sea u = 3x+ 1 =⇒ du = 3dx, o sea dx =du

3:Z

dx√9x2 + 6x− 8dx =

Zdu

3√u2 − 9

Sea u = 3 sec θ =⇒ du = 3 sec θ tan θdθ entoncesZdx√

9x2 + 6x− 8dx =

Z3 sec θ tan θ

3√9 sec2 θ − 9dθ =

Zsec θ tan θ√9 tan2 θ

dθ

=

Zsec θ

3dθ =

ln |sec θ + tan θ|3

+ c.

169



4x2 + 9dx

Note que p4x2 + 9 = 3

sµ2x

3

¶2+ 1,

realizando la sustitución tan θ =2x

3=⇒ dx =

3

2sec2 θdθ se obtiene queZ p

4x2 + 9dx =9

2

Zsec3 θdθ =

Zsec θ

¡1 + tan2 θ

¢dθ =

Zsec θdθ +

Zsec θ tan2 θdθ

1. ResolverZsec θdθ.

Por teorema se tiene que Zsec θdθ = ln (sec θ + tan θ) + c (1)

2. ResolverZsec θ tan2 θdθ.

Realizando esta integral por partes con½

u = tan θ =⇒ du = sec2 θdθdv = sec θ tan θdθ =⇒ v = sec θ

, se obtiene queZsec θ tan2 θdθ = tan θ sec θ −

Zsec3 θdθ + c (2)

Por lo tanto, de 1 y 2 se obtieneZsec3 θdθ = ln |sec θ + tan θ|+ tan θ sec θ −

Zsec3 θdθ + c

⇔ 2

Zsec3 θdθ = ln |sec θ + tan θ|+ tan θ sec θ + c

⇔Zsec3 θdθ =

1

2[ln |sec θ + tan θ|+ tan θ sec θ] + c

Por otro lado como tan θ =2x

3entonces

sec θ =p1 + tan2 θ =

r1 +

4x2

9=1

3

p9 + 4x2

por lo tanto: Z p4x2 + 9dx =

9

2

Zsec3 θdθ

=9

4[ln |sec θ + tan θ|+ tan θ sec θ] + c

=9

4

·ln

¯̄̄̄1

3

p9 + 4x2 +

2x

3

¯̄̄̄+2x

9

p9 + 4x2

¸+ c

170


2.5 Método de fracciones parciales

2.5.1 Definiciones

Definición 4 (Fracción algebraica propia e impropia) Da una fracción algebraica f (x) =P (x)

Q (x)con P y Q polinomios:

1. Si el grado de P (x) es menor que el grado de Q (x) entonces f (x) es fracción algebraica propia.

2. Si el grado de P (x) no es menor que el grado de Q (x) entonces f (x) es fracción algebraicaimpropia.

Ejemplo 56 Las siguientes fracciones algebraicas son propias:

3

2x+ π,

3x+ 4

x2 + 3x+ 1,

x3

x4 − 1 .

Ejemplo 57 Las siguientes fracciones algebraicas son impropias:

3x4

2x+ π,3x2 + 4

x2 + 3x+ 1,

x5

x4 − 1 .

Ejemplo 58 Considere la fracción impropia2x5 + 4x3 + 3

x2 + 1al aplicar la división entre los polinomios

se obtiene2x5 +0x4 +4x3 +0x2 +0x +3 x2 +1−(2x5 +2x3) 2x3 +2x

2x3 +0x2 +0x +3−(2x3 +2x)

−2x +3

Por lo tanto2x5 + 4x3 + 3

x2 + 1= 2x3 + 2x+

−2x+ 3x2 + 1

Es decir la fracción impropia2x5 + 4x3 + 3

x2 + 1es igual a la suma del polinomio 2x3+2x y de la fracción

propia−2x+ 3x2 + 1

.

Teorema 7 Toda fracción impropia es igual a la suma de un polinomio y una fracción propia, estose logra mediante la división de polinomios.

Se quiere resolver el problema de integrar fracciones algebraicas. De acuerdo al teorema anterior, sila fracción es impropia su integral es la suma de las integrales de un polinomio (muy sencillo) y deuna fracción propia.

Así, nuestro problema se reduce a determinar como integrar fracciones propias. Para ello la siguientedefinición clasifica en dos tipos estas fracciones.

171


Definición 5 (Clasificación de una fracción algebraica propia) Dada una fracción algebraica

propia f (x) =P (x)

Q (x)si Q (x) es de grado 1 (Q (x) = ax+ b) o de grado 2 irreducible ( Q (x) =

ax2 + bx + c no factorizable, o sea con 4 < 0) se dice que f (x) es una fracción simple. En casocontrario, se dice que f (x) es una fracción más general.

Ejemplo 59 Las siguientes fracciones algebraicas propias son fracciones simples:

π

2x+ 9,

2

3− 2x,2x+ 1

x2 + x+ 1,

7

−x2 − 3 .

Ejemplo 60 La fracción algebraica propia2x+ 1

x2 + 2x+ 1no es simple pues x2 + 2x + 1 no tiene dis-

criminante negativo pues se puede factorizar en (x+ 1)2 .

Definición 6 (Fracción parcial) Una fracción parcial es una fracción de la forma:

A

(ax+ b)n o

Ax+B

(ax2 + bx+ c)n ,

con a, b, c,A,B, n constantes, n un número natural y el polinomio cuadrático ax2+ bx+ c irreducible.Note que si n = 1 se obtienen las fracciones simples.

Ejemplo 61 Las siguientes fracciones son parciales:

2

3x+ 1,−7

(1− 2x)6 ,4

x2 + 5,

−8(x2 + x+ 1)9

.

2.5.2 Integración de fracciones simples

Las herramientas vistas nos permiten calcular la integral de una fracción simple.

Ejemplo 62 CaculeZ −31− 2xdx

Se tiene que Z −31− 2xdx = −3

Z1

1− 2xdx

Sea u = 1− 2x =⇒ du = −2dx, es decir dx = −du2

:Z −31− 2xdx = −3

Z1

u

−du2

=3

2

Z1

udu =

3

2ln |u|+ c =

3

2ln |1− 2x|+ c.

Ejemplo 63 CaculeZ

1

2x2 + x+ 1dx

172


Como 2x2 + x+1 no es factorizable entonces la fracción propia1

2x2 + x+ 1es simple. Completando

cuadrados:

2x2 + x+ 1 =³√2x´2+ 2 ·

√2x · 1

2√2+

µ1

2√2

¶2−µ

1

2√2

¶2+ 1

=

µ√2x+

1

2√2

¶2−µ

1

2√2

¶2+ 1

=

µ√2x+

1

2√2

¶2+7

8

Sea u =√2x+

1

2√2=⇒ du =

√2dx, entonces

Z1

2x2 + x+ 1dx =

Z1µ√

2x+1

2√2

¶2+7

8

dx =

Z1

u2 +7

8

du√2

=1√2

Z1

7

8

µ8

7u2 + 1

¶du = 8

7√2

Z1Ã√

8√7u

!2+ 1

du

Sea v =

√8√7u =⇒ dv =

√8√7du, por lo tanto

Z1

2x2 + x+ 1dx =

8

7√2

Z1

v2 + 1

√7√8dv =

8√7

7√2√8

Z1

v2 + 1dv

=8√7

7√2√8tan−1 v + c

=2√7tan−1

Ã√8√7u

!+ c

=2√7tan−1

Ã√8√7

µ√2x+

1

2√2

¶!+ c

Ejemplo 64 CaculeZ

3x− 52x2 + x+ 1

dx

Como 2x2 + x + 1 no es factorizable entonces la fracción propia3x− 5

2x2 + x+ 1es simple. Además la

173


derivada de 2x2 + x+ 1 es 4x+ 1 entonces

3x− 52x2 + x+ 1

= 3x− 5

3

2x2 + x+ 1=3

4

4¡x− 5

3

¢2x2 + x+ 1

=3

4

4x− 203

2x2 + x+ 1

=3

4

4x+ 1− 1− 203

2x2 + x+ 1=3

4

µ4x+ 1

2x2 + x+ 1− 1 + 20

3

2x2 + x+ 1

¶=

3

4

µ4x+ 1

2x2 + x+ 1− 233

1

2x2 + x+ 1

¶.

Entonces Z3x− 5

2x2 + x+ 1dx =

3

4

µZ4x+ 1

2x2 + x+ 1dx− 23

3

Z1

2x2 + x+ 1dx

¶Por el ejercicio anteriorZ

1

2x2 + x+ 1dx =

2√7tan−1

Ã√8√7

µ√2x+

1

2√2

¶!+ c,

por lo tantoZ3x− 5

2x2 + x+ 1dx =

3

4

"ln¯̄2x2 + x+ 1

¯̄− 233· 2√7tan−1

Ã√8√7

µ√2x+

1

2√2

¶!#+ c.

2.5.3 Integración de fracciones parciales

Ejemplo 65

Sea u = 3− 2x =⇒ du = −2dx, es decir dx = −du2

:Se tiene que

Z5

(3− 2x)5 dx =Z5

u5−du2

=−52

Zu−5du =

−52· u−4

−4 + c =5

8· (3− 2x)−4 + c.

Ejemplo 66 CaculeZ

6x+ 3

(x2 + x+ 1)5dx.

Note que x2 + x+ 1 es un polinomio cuadrático irreducible, ademásZ6x+ 3

(x2 + x+ 1)5dx = 3

Z2x+ 1

(x2 + x+ 1)5dx.

Sea u = x2 + x+ 1 =⇒ du = (2x+ 1) dx :Z6x+ 3

(x2 + x+ 1)5dx = 3

Zdu

u5= 3 · u

−4

−4 + c = −34

¡x2 + x+ 1

¢−4+ c.

174


2.5.4 Integración de fracciones más generales

Teorema 8 Dados los polinomios P (x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n, y Q (x) = b0 + b1x+ b2x2 +

... + bnxn. Si P (x) = Q (x) entonces

a0 = b0a1 = b1...

an = bn

. En palabras, dos polinomios son iguales si tiene

los mismos coeficientes.

Ejemplo 67 Determine el valor de las constantes A, B C y D de manera que P (x) = 2x3 + x seaigual a Q (x) = x3 (A+B + C) + x2 (A−B +D) + x (A+B − C) +A−B −D.

Se tiene que

2x3 + x = x3 (A+B + C) + x2 (A−B +D) + x (A+B − C) +A−B −D

solo si

A+B + C = 2A−B +D = 0A+B − C = 1A−B −D = 0

, de donde se obtiene que A = 34 , B = 3

4 , C =12 ,D = 0.

Ejemplo 68 Determine el valor de las constantes A, B y C de manera que

6x+ 9

x3 + 1=

A

x+ 1+

Bx+ C

x2 − x+ 1

Se tiene que6x+ 9

x3 + 1=

A

x+ 1+

Bx+ C

x2 − x+ 1

⇔ 6x+ 9

x3 + 1=

A¡x2 − x+ 1

¢+ (Bx+ C) (x+ 1)

(x+ 1) (x2 − x+ 1)

⇔ 6x+ 9

x3 + 1=

A¡x2 − x+ 1

¢+ (Bx+ C) (x+ 1)

x3 + 1⇔ 6x+ 9 = Ax2 −Ax+A+Bx2 +Bx+ Cx+ C⇔ 6x+ 9 = x2 (A+B) + x (−A+B + C) +A+ C

Por lo tanto

A+B = 0−A+B + C = 6

A+ C = 9, de donde se obtiene que A = 1, B = −1, C = 8.

Teorema 9 (Descomposición en fracciones parciales) Toda fracción algebraica propia más gen-eral se puede expresar como una suma de fracciones parciales.

Recordatorio. Recuerde que por el Teorema Fundamental del Algebra todo polinomio es factoriz-able en factores lineales y cuadráticos irreducibles.

175


Método de descomposición en fracciones parciales:

A1x+B1

ax2+bx+c,

A2x+B2

ax2+bx+c( )2,

A3x+B3

ax2+bx+c( )3,...,

Amx+Bm

ax2+bx+c( )mA1

ax+b,

A2

ax+b( )2,

A3

ax+b( )3,...,

An

ax+b( )n

Por cada factor cuadrático de multiplicidad max2+bx+c( )m hay m fracciones parciales:

Por cada factor lineal de multiplicidad nax+b( )n hay n fracciones parciales:

Factorizar Q x( )

Fraccion propia más general:

f x( )=P x( )

Q x( )

Ejemplo 69 Aplique el método de fracciones parciales a la fracción2x+ 3

(x+ 1) (2x+ 3)3(x2 + 5)

2 . (No

averigüe las constantes)

Note que el denominador ya esta factorizado, entonces:

1. Por el factor (x+ 1) hay una fracción simple:

A

x+ 1.

2. Por el factor lineal de multiplicidad 3: (2x+ 3)3 hay tres fracciones simples:

B

2x+ 3,

C

(2x+ 3)2 ,

D

(2x+ 3)3 .

3. Por el factor cuadrático irreducible de multiplicidad 2:¡x2 + 5

¢2hay dos fracciones simples:

Ex+ F

x2 + 5,Gx+H

(x2 + 5)2.

Por lo tanto

2x+ 3

(x+ 1) (2x+ 3)3 (x2 + 5)2=

A

x+ 1+

B

2x+ 3+

C

(2x+ 3)2+

D

(2x+ 3)3 +

Ex+ F

x2 + 5+

Gx+H

(x2 + 5)2 .

176


Ejemplo 70 Expresex3

x4 − 1 en fracciones parciales.

Note quex3

x4 − 1 =x3

(x2 + 1) (x+ 1) (x− 1) , entonces

x3

(x2 + 1) (x+ 1) (x− 1) =A

x− 1 +B

x+ 1+

Cx+D

x2 + 1

⇔ x3

(x2 + 1) (x+ 1) (x− 1) =A (x+ 1)

¡x2 + 1

¢+B (x− 1) ¡x2 + 1¢+ (Cx+D) (x− 1) (x+ 1)(x2 + 1) (x+ 1) (x− 1)

⇔ x3 = A (x+ 1)¡x2 + 1

¢+B (x− 1) ¡x2 + 1¢+ (Cx+D) (x− 1) (x+ 1)

⇔ x3 = Ax3 +Ax+Ax2 +A+Bx3 +Bx−Bx2 −B + Cx3 − Cx+Dx2 −D⇔ x3 = x3 (A+B + C) + x2 (A−B +D) + x (A+B − C) +A−B −D

Por lo tanto

A+B + C = 1A−B +D = 0A+B − C = 0A−B −D = 0

, de donde se obtiene que A = 14 , B = 1

4 , C =12 ,D = 0, así

x3

x4 − 1 =1

4 (x− 1) +1

4 (x+ 1)+

x

2 (x2 + 1).

Ejemplo 71 CalculeZ

5x2 + 6 + 2x

x3 + 2x+ x2 + 2dx

El término del integrando se puede descomponer en fracciones simples:

5x2 + 6 + 2x

x3 + 2x+ x2 + 2=

5x2 + 6 + 2x

(x+ 1) (x2 + 2)=

A

x+ 1+

Bx+ C

x2 + 2,

realizando los cálculos pertinentes (Ver NOTA) se obtiene que

5x2 + 6 + 2x

(x+ 1) (x2 + 2)=

3

x+ 1+

2x

x2 + 2,

por lo tantoZ5x2 + 6 + 2x

x3 + 2x+ x2 + 2dx =

Z3dx

x+ 1+

Z2xdx

x2 + 2= 3 ln (x+ 1) + ln

¡x2 + 2

¢+ c.

NOTA:5x2 + 2x+ 6

(x+ 1) (x2 + 2)=

A

x+ 1+

Bx+ C

x2 + 2

⇔ 5x2 + 2x+ 6

(x+ 1) (x2 + 2)=

A¡x2 + 2

¢+ (Bx+ C) (x+ 1)

(x+ 1) (x2 + 2)⇔ 5x2 + 2x+ 6 = A

¡x2 + 2

¢+ (Bx+ C) (x+ 1)

⇔ 5x2 + 2x+ 6 = Ax2 + 2A+Bx2 +Bx+ Cx+ C⇔ 5x2 + 2x+ 6 = x2 (A+B) + (B + C)x+ 2A+ C

Por lo tanto

A+B = 5B + C = 22A− C = 6

, de donde se obtiene que A = 3, B = 2, C = 0

177


Ejemplo 72 CalculeZ

x7

(x4 − 1)dx

Realizando la división entre polinomios se obtiene que

x7

x4 − 1 = x3 +x3

x4 − 1 ,

el segundo término se puede descomponer en fracciones parciales (ver ejemplo 70), obteniendo:

x3

x4 − 1 =1

4 (x− 1) +1

4 (x+ 1)+

x

2 (x2 + 1),

de donde se obtieneZx7

(x4 − 1)dx =

Z µx3 +

1

4 (x− 1) +1

4 (x+ 1)+

x

2 (x2 + 1)

¶dx

=1

4x4 +

1

4ln (4x− 4) + 1

4ln (4x+ 4) +

1

4ln¡2x2 + 2

¢+ c


x+ 3

x+ 2dx

Mediante la sustitución u =√x+ 3 =⇒ x = u2 − 3 =⇒ dx = 2udu se obtieneZ √

x+ 3

x+ 2dx =

Zu · 2uu2 − 1du = 2

Zu2 − 1 + 1u2 − 1 du = 2

µZdu+

Z1

u2 − 1du¶.

Utilizando fracciones parciales1

u2 − 1 =1/2

u− 1 −1/2

u+ 1(Ver NOTA) se obtiene

Z √x+ 3

x+ 2dx = 2

µZdu+

1

2

Z1

u− 1du−1

2

Z1

u+ 1du

¶= 2

µu+

1

2ln (u+ 1)− 1

2ln (u+ 1)

¶+ c

= 2√x+ 3 + ln

µ√x+ 3 + 1√x+ 3− 1

¶+ c

NOTA:1

u2 − 1 =A

u− 1 +B

u+ 1, de donde

1

u2 − 1 =A (u+ 1) +B (u− 1)

u2 − 1⇔ 1 = A (u+ 1) +B (u− 1)⇔ 1 = u (A+B) +A−B

Por lo tanto½

A+B = 0A−B = 1

, de donde se obtiene que A = B =1

2.

178


Ejemplo 74 CalculeZ

x4 + 26x

x3 + 27dx

Realizando la división entre polinomios se obtiene quex4 + 26x

x3 + 27= x − x

x3 + 27, el segundo término

se puede descomponer en fracciones parciales, obteniendo (ejercicio):

x

x3 + 27=

A

x+ 3+

Bx+ C

x2 − 3x+ 9 = −1

9 (x+ 3)+

x+ 3

9 (x2 − 3x+ 9) ,

de donde se obtiene

x4 + 26x

x3 + 27= x+

1

9 (x+ 3)+

x+ 3

9 (x2 − 3x+ 9)= x+

1

9

1

x+ 3+1

18

2x+ 6

x2 − 3x+ 9= x+

1

9

1

x+ 3+1

18

µ2x− 3

x2 − 3x+ 9 +9

x2 − 3x+ 9¶

Se resolverá primero la integralZ

9

x2 − 3x+ 9dx, donde x2 − 3x+9 no es factorizable. Completando

cuadrados:

x2 − 3x+ 9 = x2 − 3x+µ3

2

¶2−µ3

2

¶2+ 9

=

µx− 3

2

¶2− 94+ 9 =

µx− 3

2

¶2+27

4

Sea u = x− 32=⇒ du = dx, por lo tantoZ

9

x2 − 3x+ 9dx =

Z9µ

x− 32

¶2+27

4

dx =

Z9

u2 +27

4

du

=9274

Z1

4

27u2 + 1

du =4

3

Z1µ

2

3√3u

¶2+ 1

du

179


Sea v =2

3√3u =⇒ dv =

2

3√3du, o sea du =

3√3

2dv :Z

9

x2 − 3x+ 9dx =4

3

Z1µ

2

3√3u

¶2+ 1

du =4

3

Z1

v2 + 1

3√3

2dv

= 2√3

Z1

v2 + 1dv = 2

√3 arctan v + c

= 2√3 arctan

µ2

3√3u

¶+ c

= 2√3 arctan

µ2

3√3

µx− 3

2

¶¶+ c

Por lo tanto:Zx4 + 26x

x3 + 27dx =

Zxdx+

1

9

Z1

x+ 3dx+

1

18

µZ2x− 3

x2 − 3x+ 9dx+Z

9

x2 − 3x+ 9dx¶

=x2

2+1

9ln |x+ 3|+ 1

18

·ln¯̄x2 − 3x+ 9¯̄+ 2√3 arctanµ 2

3√3

µx− 3

2

¶¶¸+ c

2.6 Más ejemplos

Ejemplo 75 CalculeZtan2 x secxdx.Z

tan2 x secxdx =

Zsen2 x

cos3 x· cosxcosx

dx =

Zsen2 x cosx

(1− sen2 x)2 dx = ∗

Sea u = senx =⇒ du = cosxdx :

∗ =Z

u2

(1− u2)2du =

Zu2

(1− u)2 (1 + u)2du

Por fracciones parciales:

u2

(1− u)2(1 + u)

2 =A

1− u+

B

(1− u)2 +

C

1 + u+

D

(1 + u)2

=⇒ A = C =−14, B = D =

1

4

Por lo tantoZu2

(1− u)2 (1 + u)2du =

1

4

"−Z

1

1− udu+

Z1

(1− u)2du−

Z1

1 + udu+

Z1

(1 + u)2du

#

=1

4

·ln |u− 1|+ 1

1− u− ln |u+ 1|− 1

u+ 1

¸+ c

=1

4

·ln |senx− 1|+ 1

1− senx − ln |senx+ 1|−1

senx+ 1

¸+ c

180


Ejemplo 76 CalculeZ

4√x+ 1

x− 15 dx

Sea u4 = x+ 1 =⇒ 4u3du = dx :Z4√x+ 1

x− 15 dx = 4

Zu4

u4 − 16du = 4Z µ

1 +16

u4 − 16¶du

= 4u+ 64

Z1

u4 − 16du

Como:

1

u4 − 16 =A

u− 2 +B

u+ 2+

Cu+D

8 (u2 + 4)

=⇒ 1 = A (u+ 2)¡u2 + 4

¢+B (u− 2) ¡u2 + 4¢+ (Cu+D)

¡u2 − 4¢

=⇒ 1 = u3 (A+B + C) + u2 (2A− 2B +D) + u (4A+ 4B − 4C) + 8A− 8B − 4D

=⇒ 1

u4 − 16 =1

32 (u− 2) −1

32 (u+ 2)− 1

8 (u2 + 4)

Entonces: Z1

u4 − 16du =1

32ln |u− 2|− 1

32ln |u+ 2|− 1

16arctan

u

2+ c

Por lo tanto:Z4√x+ 1

x− 15 dx = 4u+ 64

·1

32ln |u− 2|− 1

32ln |u+ 2|− 1

16arctan

u

2

¸+ c

= 4 4√x+ 1 + 64

·1

32ln¯̄4√x+ 1− 2¯̄− 1

32ln¯̄4√x+ 1 + 2

¯̄− 1

16arctan

4√x+ 1

2

¸+ c

Ejemplo 77 CalculeZtan4 x+ 1

tanx− 1 dx (Sugerencia: Multiplique el integrando porsec2 x

sec2 x)

Ztan4 x+ 1

tanx− 1sec2 x

sec2 xdx =

Ztan4 x+ 1

tanx− 1sec2 x

tan2 x+ 1dx = ∗

Sea u = tanx =⇒ du = sec2 xdx :

∗ =Z

u4 + 1

(u− 1) (u2 + 1)du

Realizando la división de polinomios:

u4 + 1

(u− 1) (u2 + 1) = u+ 1 +2

(u− 1) (u2 + 1)

181


Además:2

(u− 1) (u2 + 1) =A

u− 1 +Bu+ C

u2 + 1=⇒ 2 = A

¡u2 + 1

¢+ (Bu+ C) (u− 1)

=⇒ u2 (A+B) + u (C −B) +A− C

=⇒ 2

(u− 1) (u2 + 1) =1

u− 1 +−u− 1u2 + 1

Por lo tanto:

u4 + 1

(u− 1) (u2 + 1) = u+ 1 +1

u− 1 +−u− 1u2 + 1

= u+ 1 +1

u− 1 −u

u2 + 1− 1

u2 + 1

= u+ 1 +1

u− 1 −1

2

2u

u2 + 1− 1

u2 + 1

Entonces:

∗ =

Zu4 + 1

(u− 1) (u2 + 1)du =1

2u2 + u+ ln |u− 1|− 1

2ln¯̄u2 + 1

¯̄− u+ c

=1

2tan2 x+ tanx+ ln |tanx− 1|− 1

2ln¯̄tan2 x+ 1

¯̄− arctan (tanx) + c

Ejemplo 78 CalculeZ

ln4 x+ 1

x ln3 x− x ln2 x+ x lnx− xdx

Sea u = lnx =⇒ du =dx

x:

Zu4 + 1

u3 − u2 + u− 1dx =

Zu4 + 1

(u− 1) (u2 + 1)duAnterior=

1

2u2 + u+ ln |u− 1|− 1

2ln¯̄u2 + 1

¯̄− arctanu+ c

=1

2ln2 x+ lnx+ ln |lnx− 1|− 1

2ln¯̄ln2 x+ 1

¯̄− arctan (lnx) + c

182


2.7 Ejercicios

Resuelva las siguientes integrales

1.

Z1

senx cosxdx 7.

Zx3√2x2 − 4dx 13.

Z2x+ 1

(x2 − 1) (x2 + 4x+ 3)dx

2.

Zx7

(x4 − 1)dx 8.

Zcot3 x csc4 xdx 14.

Ztanx

cosx− secxdx

3.

Z3

2x (4 + 9x2)12

dx 9.

Ze3x senxdx 15.

Zx2 ln (3x+ 2) dx

4.

Zu tan−1 udu 10.

Zt3 − 1t2 + 4

dt 16.

Zsen2 x sec3 xdx

5.

Z4

(2x− 1)5 dx 11.

Zx+ 1

(x+ 3) (x2 + 1)dx

6.

Zx lnx

x+ 1dx 12.

Z √x+ 4

xdx

183

cap6_integ_indefv2

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