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Captulo 5

ANLISIS DE CIRCUITOS AC EN ESTADO ESTACIONARIO SENOIDAL

La mayora de las personas en el mundo interactan diariamente con instalaciones elctricas y/o dispositivos elctricos, cuya alimentacin es del tipo AC senoidal con una frecuencia predeterminada. El diseo, anlisis y simulacin de este tipo de sistemas en una condicin de operacin estable, requiere el manejo y solucin de ecuaciones diferenciales de orden 2 o superior, debido a las relaciones de voltaje y corriente en los elementos pasivos R, L o C. Si se analizara la respuesta de estas instalaciones o dispositivos a partir de dichas ecuaciones, el tratamiento matemtico sera extenso y poco prctico; es por esto que se ha llegado a una forma de anlisis conocida como anlisis en el dominio de la frecuencia, la cual implica un manejo de nuevos conceptos y variables que pueden expresarse como nmeros complejos, y a la vez simplifica notablemente el procedimiento de clculo. Se espera que este captulo sirva como material de apoyo a los estudiantes que cursan la asignatura Circuitos elctricos y a los que necesiten de esta temtica en cursos posteriores, como circuitos electrnicos, mquinas elctricas y electrnica industrial.

5.1 Forma de onda y propiedades De forma general el anlisis AC (Alternate Current) en circuitos elctricos, emplea todas las tcnicas, leyes y propiedades vistas en el anlisis de circuitos DC en estado estacionario. Sin embargo, si se quisiera analizar la respuesta en el tiempo de circuitos con fuentes AC, el trabajo sera dispendioso cuando se trabaje con elementos pasivos como inductancias y capacitancias, ya que sus relaciones de voltaje y corriente, pueden repercutir en ecuaciones diferenciales de orden 2 o superior. Otra alternativa es analizar estos circuitos sin tener en cuenta la variable temporal, pero para esto debemos establecer unas nuevas relaciones entre el voltaje y la corriente para los elementos pasivos, que sean independientes del tiempo. Se hablar entonces del anlisis de circuitos elctricos en el dominio de la frecuencia. Para establecer estas relaciones, debemos partir del tipo de circuito que vamos a analizar. A continuacin se enumeran ciertas caractersticas que deben tener los circuitos que se tratarn bajo esta nueva metodologa. Si alguna configuracin cumple con estas condiciones el estudiante debe estar en la capacidad de obtener la respuesta en el tiempo de cualquier variable elctrica, a partir de la teora y de las herramientas suministradas.

CAPTULO 5.Anlisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal

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Circuitos con una o varias fuentes independientes senoidales Fuentes con frecuencia constante. Circuitos con elementos pasivos (resistencias, condensadores e inductancias) lineales.

Forma de onda y desfase Cualquier forma de onda senoidal la podemos caracterizar completamente con la ayuda de tres parmetros: frecuencia, Amplitud y ngulo de fase.

)sin()( += wtVmtv

Donde Vm es la amplitud de voltaje en [V] w es la frecuencia angular en [rad/s] es ngulo de fase [Grados] Pese a que las unidades del ngulo de fase se expresen comnmente en grados, para obtener la magnitud de la seal para un tiempo definido es necesario convertirlo a radianes, por las unidades de la frecuencia angular. La frecuencia angular expresa el ngulo recorrido por la funcin por cada unidad de tiempo y se relaciona de la siguiente forma con la frecuencia.

fw 2= Donde f es la frecuencia de la seal en [Hz] Ntese que cuando se suma un ngulo positivo de fase a la seal el efecto es un corrimiento a la izquierda, aqu decimos que la seal est adelantada grados con respecto a la onda seno. De la misma forma las funciones seno y coseno se pueden expresar una en funcin de la otra teniendo en cuenta su ngulo de fase. En la siguiente figura se tienen dos seales, la azul corresponde a la seal )cos(wt y la roja es )sin(wt . Cambiando su ngulo de fase se puede decir que

0 2

Vm

v(t) V

wt, t


3

)90sin()cos( += wtwt y )90cos()sin( = wtwt

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

Tiempo (s)cos wt sen wt

De las grficas y las relaciones entre las funciones se puede deducir que el coseno est adelantado 90 al seno y/o que el seno est atrasado 90 al coseno. Se puede entonces hallar el ngulo de fase existente entre dos seales con forma senoidal que tengan la misma frecuencia. Este ngulo es conocido tambin como el desfase entre las seales y adicionalmente se puede determinar si hay adelanto o atraso de una seal con respecto a la otra. A manera de ejemplo, se quisiera saber cual es el desfase entre las dos seales siguientes y adicionalmente si v1 se encuentra en adelanto o en atraso con respecto a v2.

Vttv _)1020sin(10)(1 += Vttv _)3020cos(15)(2 += El desfase entre las seales se puede obtener simplemente del valor absoluto de la resta de sus ngulos de fase, siempre y cuando las dos seales tengan una forma estndar, es decir sus amplitudes deben ser nmeros positivos y la funcin que las define debe ser la misma. Como se puede ver no es el caso de las seales del ejemplo, as que haremos unas modificaciones en la manera como expresamos a v2. Una seal se encuentra desfasada 180 con respecto a su inversa aditiva y se puede decir que una con respecto a la otra est igualmente adelantada o atrasada 180. Por lo tanto una forma equivalente de expresar a v2 es la siguiente.

VtVttv _)901803020sin(15_)3020cos(15)(2 ++==

Vttv _)6020sin(15)(2 =

Ahora si podemos decir que el desfase entre v1 y v2 es de 70 y adicionalmente se sabe que v1 est adelantada con respecto a v2, por tener un ngulo de fase mayor. v1 est adelantada 70 a v2, o v2 esta atrasada 70 a v1.


4

5.2 Nmeros complejos, notacin y operacin Un nmero complejo es un nmero que pertenece al plano complejo y se conforma de una componente real o un nmero real y de una componente imaginaria o de un nmero imaginario. Sea A un nmero complejo

jbaA += Donde 1=j . La representacin de A en el plano complejo es:

Existen diferentes formas de referirnos al mismo nmero, la diferencia radica en las coordenadas que utilizamos para ubicar dicho nmero en el plano complejo.

jbaA += Notacin rectangular ),( baA = Notacin cartesiana

= AA Notacin polar jeAA = Notacin exponencial

Se puede pasar de una notacin a otra, a partir de las relaciones geomtricas que se deducen de la figura anterior

22 baA +=

=

ab1tan

( )cosAa = ( )sinAb = En la operacin si se tienen dos nmeros complejos A y B,

=+= AjbaA y =+= BjdcB Entonces

)()( dbjcaBA +++=+ )()( dbjcaBA +=

+= BABA **

=BA

BA

Eje Real

Eje Imaginario

a

b

A

jbaA +=


5

5.3 Circuito RL con fuente senoidal Partiremos del anlisis de un circuito RL simple alimentado por una fuente de voltaje cuya funcin es descrita por una senoidal, tal como se muestra en la siguiente figura.

)cos()( wtVmtvS =

)cos()( += wtImti

Los parmetros conocidos en este circuito son la resistencia, la inductancia y los que describen la funcin de voltaje en el tiempo (Amplitud, frecuencia angular y ngulo de fase). A partir de estos parmetros esperamos encontrar los parmetros desconocidos (Amplitud de corriente y ngulo de fase de la corriente). A continuacin haremos un breve desarrollo matemtico para determinar la respuesta del circuito para estado estacionario senoidal. La siguiente es la ecuacin de malla que relaciona los voltajes en los elementos y la fuente del circuito:

dttdiLtiRtvS)()()( += (1)

De la identidad de Euler sincos je j = , podemos expresar las funciones de voltaje de la fuente y corriente del circuito de la siguiente forma.

{ }jwtS eVmtv = Re)( ( ){ }+= wtjeImti Im)(

Las componentes reales e imaginarias de jwteVm e ( )+ wtjeIm , son soluciones particulares de (1) por lo tanto la suma de las soluciones es una solucin tambin. De acuerdo con esto reemplazamos en (1) y desarrollamos.

( )( )

dteImdLeImReVm

wtjwtjjwt )( ++ += ( ) ( ) ++ += wtjwtjjwt eImjwLeImReVm

jjwtjjwtjwt eeImjwLeeImReVm +=

jj eImjwLeImRVm +=

i(t)


6

Como se puede ver, en la ecuacin anterior, todos los trminos dependen de la variable tiempo, relacionada con el trmino jwte . Pero los parmetros desconocidos en el circuito, es decir la amplitud y el ngulo de fase de la corriente se relacionan con otras variables conocidas y no con el tiempo.

jwLRVmeIm j+

= (2)

Este resultado es muy importante ya que podemos determinar la magnitud y el ngulo de fase de la corriente en funcin de los parmetros conocidos del circuito. Esta respuesta es lo que origina el anlisis de los circuitos en el dominio de la frecuencia. Ya que tanto magnitud como ngulo de la corriente podran variar si vara w pero no si vara t Si analizamos un poco la ecuacin anterior y hacemos la analoga con la ley de ohm el trmino del denominador sera una especie de resistencia, pues en la medida que este crezca el valor de la amplitud de la corriente ser ms pequeo. El trmino del denominador es lo que se conoce como impedancia y se denota con la letra Z. La parte imaginaria de la impedancia es lo que se conoce como reactancia y se denota con la letra X.

jwLR +=Z Impedancia de un circuito RL serie

wLX L = Reactancia inductiva Como es de esperarse las unidades para R, X y Z son ohmios [] Debido a que w y L son parmetros con valor positivo, tenemos que el ngulo de la impedancia, cuya notacin es la letra griega , es positivo en circuitos RL.

=

RX1tan

De la ecuacin (2), se puede ver que los parmetros que describen la funcin de la corriente se expresan como un nmero complejo en notacin exponencial o polar; a este trmino lo llamamos fasor. Un fasor se puede definir como un nmero complejo (vector) que gira en el tiempo con velocidad constante, haciendo que los valores instantneos de sus componentes reales e imaginarias describan funciones senoidales. El fasor, que representa una funcin de voltaje o corriente en el tiempo, es un nmero complejo en notacin polar cuya magnitud puede ser la amplitud o el valor efectivo de la funcin y su ngulo es el ngulo de fase de la misma funcin. Convirtiendo todos los nmeros de la expresin 2 en notacin polar se tiene:

+

=

RwLLwR

VmIm1222 tan

Por lo tanto, para este caso, las relaciones que determinan los valores de amplitud de corriente y ngulo de fase son:


7

+=

RwL

LwRVmIm 1

222tan

222 LwRVmIm+

=

=

RwL1tan

Ntese que para este circuito, mientras que la fuente de voltaje tenga un ngulo de fase 0 (o de referencia), el ngulo de la corriente ser exactamente el inverso aditivo del ngulo de la impedancia. Por lo tanto podemos decir que para circuitos equivalentes RL el ngulo de la impedancia equivalente es positivo y la corriente de la fuente que alimenta a la carga va a estar en atraso con respecto al voltaje de la carga.

5.4 Circuito RC con fuente senoidal Haciendo un anlisis similar al del circuito RL serie. Se procede a hallar la relacin de la magnitud y ngulo de fase de la corriente, con los parmetros conocidos del circuito RC.

)cos()( wtVmtvS =

)cos()( += wtImti

+= dttiCtiRtvS )(1)()(

{ }jwtS eVmtv = Re)(

( ){ }+= wtjeImti Im)(

( ) ( )dteImC

eImReVm wtjwtjjwt ++ += 1

( ) ( ) ++ += wtjwtjjwt ejwCImeImReVm

i(t)


8

jjwtjjwtjwt eejwCImeeImReVm +=

jj e

jwCImeImRVm +=

wCjR

VmeIm j

= (3)

wCjR =Z Impedancia de un circuito RC serie

wCX C1= Reactancia capacitiva

Debido a que w y C son parmetros con valor positivo, tenemos ahora que el ngulo de la impedancia, es negativo en circuitos equivalentes RC.

=

RX1tan

Convirtiendo todos los nmeros de la expresin (3) en notacin polar se tiene:

( )

+

=

RwC

wCR

VmIm1

tan1 122

Por lo tanto, para este caso, las relaciones que determinan los valores de amplitud de corriente y ngulo de fase son:

( )

+=

RwC

wCR

VmIm1

tan1

1

22

( )22 1wCRVmIm+

=

=

RwC

1tan 1

A diferencia del caso anterior, mientras que la fuente de voltaje tenga un ngulo de fase de referencia 0, el ngulo de la corriente ser positivo. Por lo tanto podemos decir que para circuitos equivalentes RC el ngulo de la impedancia equivalente es negativo y la corriente de la fuente que alimenta a la carga, va a estar en adelanto con respecto al voltaje de la carga.


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5.5 Admitancia susceptancia y conductancia. De la definicin de impedancia se obtiene un nuevo parmetro conocido como admitancia, cuya relacin se define en la siguiente expresin. La parte real de la admitancia es conocida como conductancia y la parte imaginaria se denomina susceptancia. Las unidades de los nuevos parmetros definidos son los mhos o siemens. Cabe notar que para una carga cualquiera, no necesariamente la conductancia es el inverso de la resistencia, ni la susceptancia es el inverso de la reactancia. Para el uso de algunas tcnicas de anlisis resulta ms prctico si los elementos pasivos estn expresados como admitancias.

[ ]siemensjBG =+==Z1Y

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia Impedancia Admitancia

Riv RR = RR IV = R R=RZ R1

=RY

dtdiLv LL = LL IV = jwL jwL=LZ jwL

1=LY

=t

CC dtiCv

0

1 CC IV = jwC

1

jwC1

=CZ jwC=CY

Relaciones de voltaje y corriente en el dominio de tiempo y dominio de la frecuencia

Tringulo de impedancia. Para una carga equivalente RL o RC, se puede hacer una representacin geomtrica de las magnitudes de sus componentes en el plano complejo, tal como se muestra en las siguientes figuras. Esta representacin corresponde a un tringulo rectngulo cuyos catetos se relacionan con la parte resistiva y reactiva de la carga, por lo tanto el tringulo toma diferentes formas de acuerdo con la carga. Es importante sealar que la componente resistiva siempre tendr un valor positivo o cero, mientras que la componente reactiva puede tomar valores positivos o negativos si la reactancia equivalente es inductiva o capacitiva.

Tringulo de impedancia para una carga resistivo inductiva

Tringulo de impedancia para una carga resistivo capacitiva

Tringulo de impedancia para una carga resistiva.

Tringulo de impedancia para una carga reactiva inductiva

R

jwL Z

R

ZjwL Z

R

Z

1/jwC


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5.6 Valores efectivos de voltaje y corriente Si se realizara una encuesta a la poblacin general, sobre Cul es el nivel de voltaje que se maneja en el tomacorriente de las casas?, asombrosamente un gran porcentaje de los encuestados estaran de acuerdo en que el voltaje est entre 110V y 120 V. Ahora haciendo una muestra seleccionada de la poblacin de primeros semestres de carreras de ingeniera elctrica y electrnica1, el resultado sera el mismo y adems varios de ellos sabran que la forma de onda del voltaje en el tiempo del tomacorriente, vara de una forma similar a una onda senoidal; sin embargo, pocos individuos de esta ltima muestra tendran una conciencia clara sobre el significado de este valor. Si se llevara a este grupo de estudiantes al laboratorio y con ayuda de un osciloscopio se descubriera que la amplitud de la seal de voltaje del tomacorriente est entre 155.6 V y 169.7 V, probablemente algunos de ellos consideraran un posible error en la medicin y otros tantos no sabran explicar lo descubierto.

Entonces Dnde estn los 120 V? Qu significan? Este valor de voltaje es un valor efectivo, el cual corresponde aproximadamente a un 70% del valor de la amplitud de la onda, para el caso de ondas senoidales con valor medio 0, y ahora la pregunta es Qu es un valor efectivo? Para explicarlo considrese el siguiente circuito.

)cos(wtVm

La potencia en el tiempo que se disipa en esta resistencia se puede hallar del producto de su voltaje y corriente en el tiempo.

1 Dentro de esta muestra podran incluirse a varios estudiantes de ltimos semestres sin que haya un cambio notable en los resultados

169.7 V

Voltaje del tomacorriente

t

16,67 ms

i(t)


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RtvRtititvtp )()()()()(

22 ===

( ) )(cos)( 22

wtR

Vmtp = y como 2

)2cos(1)(cos2 += , entonces.

( ) ( ) )2cos(22

)(22

wtR

VmR

Vmtp +=

Vemos que la funcin que describe la potencia tambin vara de forma senoidal, pero a diferencia del voltaje, su frecuencia es el doble y adems tiene un trmino constante. Mientras que la media de la funcin del voltaje era 0, la media para la funcin de potencia en este circuito simple, es una constante denominada potencia promedio y denotada por la letra P (en mayscula).

( )R

VmPtp2

)(2

==

El valor efectivo de una fuente AC, es el valor de voltaje que debera tener una fuente DC, para hacer que se disipe la misma potencia promedio que se disipara sobre una resistencia de valor R, alimentada por una fuente AC.

Veff

La potencia en este circuito se calculara a partir de R

VP EFF2

= . Para hallar cul es la relacin del valor

efectivo de la fuente con la amplitud de la onda, igualamos:

===TT

EFF dtR

tvT

dttpTR

VP

0

2

0

2 )(1)(1

=T

EFF dtR

tvTR

V

0

22 )(1

Ieff


12

=T

EFF dttvTV

0

2 )(1

Segn esta ecuacin vemos que el valor efectivo de una funcin es la raz del promedio de la funcin al cuadrado; es por esto que el valor efectivo es tambin conocido como valor r.m.s de la sigla root mean square (Raz de la media del cuadrado)

==T

msmrEFF dtwtVTVV

0

22... )(cos

1

+=TT

smr dtwtTdt

TVmV

00... )2cos(2

121

TT

VmV smr 21

... =

2...VmV smr =

Finalmente se obtiene que el valor efectivo o valor r.m.s. de una funcin seniodal se obtiene dividiendo el valor de su amplitud sobre raz de 2 o equivale aproximadamente a un 70 % del valor de la amplitud de la onda.

5.7 Potencia Considrese una carga equivalente que esta siendo alimentada por una fuente AC senoidal. Por su caracterstica lineal la corriente que circula a travs de ella tiene la misma forma y la potencia instantnea la podemos obtener como el producto entre las dos variables.

+

v(t)

-

i(t) Z

0


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VwtVmtv _)cos()( +=

AwtImti _)cos()( +=

)(*)()( titvtp = La impedancia de la carga la podemos obtener entonces como la relacin fasorial entre el voltaje y la corriente.

==ImVm

ImVmZ

= ngulo de la impedancia.

Si tomamos el ngulo de fase de voltaje como 0= entonces el ngulo de fase de la corriente ser

= .

VwtVmtv _)cos()( =

AwtImti _)cos()( =

)cos()cos()( = wtwtImVmtp Y mediante la identidad trigonomtrica del producto de coseno de ngulos transformamos la expresin

( ) ( )2

coscoscoscos ++=

)2cos(2

cos2

)( += wtImVmImVmtp

Y reemplazando las amplitudes de voltaje y corriente por sus valores efectivos se obtiene

)2cos(cos)( += wtIVIVtp rmsrmsrmsrms (4) Como era de esperarse la expresin para la potencia instantnea tiene unas caractersticas en particular. La primera es que tiene un trmino constante dependiente del coseno del ngulo de desfase entre el voltaje y la corriente. Ntese que para desfases mximos de 90 y -90 el trmino cos , se hace 0 con lo cual el valor medio de la potencia o la potencia promedio (P), se hace 0 tambin. La segunda caracterstica es que la funcin de la potencia instantnea es en forma una senoidal, pero que vara con el doble de la frecuencia en el tiempo.


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Grficas de voltaje, corriente y potencia. La lnea media representa la potencia promedio Descomponiendo un poco ms el trmino de potencia instantnea, se obtiene:

wtIVwtIVIVtp rmsrmsrmsrmsrmsrms 2sinsin2coscoscos)( ++=

( ) wtIVwtIVtp rmsrmsrmsrms 2sinsin2cos1cos)( ++= (5) Se podra separar el trmino para la potencia instantnea en trmino proporcional a la potencia instantnea disipada por causa de los elementos resistivos y otro proporcional a la potencia instantnea que se disipa en elementos reactivos (L y C). Potencia activa reactiva y compleja De (4) se sabe que la expresin para la potencia promedio es

)cos( = rmsrms IVP Y por medio de la identidad de Euler la podemos expresar como:

{ } { }*ReRe IV == jrmsjrms eIeVP El trmino *IV , es lo que se conoce como potencia compleja y se denota por la letra S. Se puede ver que la potencia compleja se compone de una parte real que es la potencia promedio y una parte imaginaria que es la potencia reactiva, la cual se denota con la letra Q.

tt(s)

Voltaje (V)Corriente (A)Potencia


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*IVS =

)sin()cos( += rmsrmsrmsrms IjVIVS

jQP +=S

cos)cos( rmsrmsrmsrms IVIVP ==

sin)sin( rmsrmsrmsrms IVIVQ == La potencia compleja tambin puede expresarse en una notacin polar como = SS , donde S se conoce como la potencia aparente y se calcula de rmsrms IVS = Resulta curioso ver de (5), que mientras la potencia promedio es el trmino correspondiente a la media de la potencia instantnea, la potencia reactiva es la amplitud de la potencia instantnea que se disipa en elementos reactivos. Dimensionalmente, en el sistema internacional de unidades, todos los tipos de potencia tienen las mismas unidades (W); sin embargo, se acostumbra a asociar diferentes unidades para los diferentes tipos de potencia, con el nimo de diferenciarlas. P = potencia promedio [W], vatios. Q = potencia reactiva [VAR], voltio amperio reactivo. S = potencia aparente [VA], voltio amperio. S = potencia compleja [VA], voltio amperio. Triangulo de potencia De la misma forma como las componentes resistiva y reactiva de la impedancia se pueden representar en el plano complejo, las componentes de la potencia compleja conforman un tringulo de potencia, el cual resulta proporcional al tringulo de impedancia; es por esto que a , se le conoce como el ngulo de impedancia o de potencia. Ntese que en el caso de una carga resistivo capacitiva, la potencia reactiva consumida es negativa; esto fsicamente sucede cuando el elemento en mencin est entregando potencia, por lo tanto los elementos capacitivos son generadores de potencia reactiva.

Tringulo de potencia para una carga resistivo inductiva

Tringulo de potencia para una carga resistivo capacitiva

Tringulo de potencia para una carga resistiva.

Tringulo de potencia para una carga reactiva inductiva

P

jQ S

P

SjQ S

P

S

-jQ


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5.8 Factor de potencia La energa necesaria para el funcionamiento de un equipo elctrico se divide en una energa activa, la cual se disipa en elementos resistivos, transformndose en energa calrica, y una energa reactiva, la cual no produce un trabajo fsico directo en los equipos y es necesaria para producir el flujo electromagntico que pone en funcionamiento elementos tales como: motores, transformadores, lmparas fluorescentes, equipos de refrigeracin y otros similares. La energa activa debe ser generada necesariamente en las plantas de generacin, mientras que la energa reactiva puede generarse localmente con la ayuda de elementos capacitivos. Al esquematizar estas componentes en un tringulo de potencia se genera una equivalente asociada a la potencia aparente. El factor de potencia de una carga se define como la relacin entre la potencia activa y la potencia aparente, por lo tanto el factor de potencia es un nmero positivo, adimensional, que vara entre 0 y 1. Se puede interpretar como un porcentaje de la potencia promedio, de un total relacionado con la potencia aparente. De una forma alternativa el factor de potencia es el coseno del ngulo de potencia.

coscos.. ===rmsrms

rmsrms

IVIV

SPPF

El ngulo de la impedancia vara entre -90 y 0 para una carga resistivo capacitiva y entre 0 y 90 para una carga resistivo inductiva, por esto el coseno en este rango de valores de ngulo es siempre positivo; sin embargo, dos cargas diferentes pueden tener el mismo factor de potencia. Para diferenciarlos se recurre a lo que le pasa a la corriente con respecto al voltaje en una carga RL o RC; en una carga RL se sabe que la corriente se atrasa al voltaje, por lo tanto se dice que el factor de potencia en estas cargas es en atraso, denotndolo con FP (-), FP () o FP (atraso). En una carga RC, la corriente se adelantar al voltaje por lo tanto en factor de potencia en este tipo de carga es en adelanto, denotndose como FP (+), FP () o FP (adelanto). En una carga resistiva el ngulo de la impedancia es 0 y su factor de potencia es 1, lo que quiere decir que la corriente se encuentra en fase con el voltaje y no tiene sentido decir que el factor de potencia es en atraso o adelanto. Por lo general las empresas electrificadotas cobran por la energa activa, por ser la que se puede generar nicamente en los centros de generacin. Uno de los problemas de tener cargas con bajos factores de potencia es el bajo recaudo que realizan las electrificadotas por el servicio prestado y como posible solucin se emplean contadores de potencia reactiva; sin embargo, las cargas con bajos factores de potencia ocasionan otros serios problemas en los sistemas, en los usuarios y en las electrificadotas, por lo cual se deben emplear mtodos de correccin de factor de potencia. Algunos de los problemas generados se describen a continuacin Problemas en los usuarios y en el sistema Aumento de la corriente en los conductores Mayores prdidas y fuertes cadas de tensin Incrementos de potencia de las plantas, transformadores, reduccin de su vida til y reduccin de la

capacidad de conduccin de los conductores. La temperatura de los conductores aumenta y esto disminuye la vida de su aislamiento. Aumentos en sus facturas por consumo de electricidad.


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Problemas para la empresa distribuidora de energa Mayor inversin en los equipos de generacin, ya que su capacidad en KVA debe ser mayor, para

poder entregar energa reactiva adicional. Mayores capacidades en lneas de transmisin y distribucin as como en transformadores para el

transporte y transformacin de esta energa reactiva. Elevadas cadas de tensin y baja regulacin de voltaje, lo cual puede afectar la estabilidad de la red

elctrica. Correccin del factor de potencia La correccin del factor de potencia es el ejercicio de elevar el factor de potencia para una carga o un conjunto de cargas de acuerdo con normas que regulan los valores permitidos de factor de potencia. Dada la frmula del factor de potencia, para aumentar su valor es necesario aumentar la potencia activa o disminuir la potencia aparente, obviamente ligada a una disminucin de la potencia reactiva. El aumento de la potencia activa, no es una solucin econmicamente viable, pues est asociada a un mayor consumo en el servicio. La disminucin de la potencia reactiva se logra incorporando elementos capacitivos en las redes, ya que en la mayoras de los casos las cargas son resistivo inductivas y se sabe que los condensadores son fuentes de energa reactiva. La forma de conexin de los condensadores es en paralelo con la carga, ya que de otra forma ocasionara divisin de voltaje en la carga. Ahora solo falta saber el valor del condensador, necesario para corregir de forma adecuada el factor de potencia. Suponga que se tiene una carga equivalente con la siguiente informacin: voltaje nominal de la carga, potencia (promedio o aparente), factor de potencia inicial, factor de potencia final, frecuencia de trabajo; El valor del condensador que corrige el factor de potencia de acuerdo con lo requerido, se obtiene de la siguiente frmula:

( )( )2

21 tantan

rmsVPC

=

Donde 1 y 2, corresponden a los ngulos de potencia inicial y final, P es la potencia promedio, es la frecuencia angular y Vrms es el voltaje nominal de la carga.

5.9 BIBLIOGRAFA Dorf, Richard. Svoboda, James. Circuitos Elctricos, 5 Edicin. Alfaomega. Hayt, William. Kemmerly, Jack. Durban, Steven. Anlisis de Circuitos en Ingeniera, 6 Edicin. Mc

Graw Hill. Nilsson, James. Riedel, Susan. Circuitos Elctricos, 7 Edicin. Prentice Hall.

5.10 AUTORES MSc. Ing. Alexander Narvez C. y MSc. Ing. Camilo A. Zuluaga M. Profesores de Tiempo Completo de la Carrera de Ingeniera Electrnica, Universidad Central.


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Problemas: Una pequea planta industrial tiene un banco de motores de 150kVA, que se alimentan a 2400 Vrms 50Hz. El factor de potencia de la carga es F.P.=0.6 (-). Determine: 1. La potencia reactiva del banco de motores 2. La corriente que alimenta el banco de motores 3. La potencia promedio (activa) que disipa el banco 4. El valor del condensador para corregir el factor de potencia de la fuente a 0,95 en atraso. 5. El voltaje que debera soportar el condensador. 6. La potencia reactiva que suministra el condensador

Las siguientes grficas representan las curvas de voltaje y corriente en una carga determinada

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

Voltaje Corriente

Indique si la corriente esta en atraso o en adelanto al voltaje y si se puede asociar esto con una carga RL, RC o R pura. Determine: Potencia promedio, Potencia aparente, Factor de potencia, impedancia de la carga, frecuencia angular, modelo equivalente serie RC, RL o R.

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