1Lgica y Conjuntos

1

Lgica y Conjuntos

1.1 Proposiciones

1. Identifique cuales de los siguientes enunciados son proposiciones y en caso de no serlo justifique su respuesta. a. El lunes es un da aburrido.

b. 659 es un nmero par.

c. 2 7 6 0x x + = .

d. Feliz Cumpleaos!

e. Ests cansado?

f. Los racionamientos de energa continan.

g. El 0 es un nmero natural.

h. La cada del Sol me inspira.

i. El da de la Madre es el segundo domingo del mes de Mayo.

j. Los das de Enero son grises.

k. Las ventas de automviles han aumentado.

l. Espera aqu un momento.

2. Escriba 5 enunciados que no sean proposiciones y justifique su respuesta.

1.2 Operadores Lgicos

3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones a) No es verdad que Cuenca es la capital de Azuay.

b) 3 7 4+ = o 4 22= .

c) Tres es divisible por 2 puesto que 5 es impar. d) O Brasil est ubicado en Norteamrica, o Canad est ubicado en Europa.

e) 7 es un nmero primo y 4 es un nmero par.

2

4. Dadas las siguientes proposiciones:

a: La Asamblea aprueba la ley. b: El pueblo se opone. c: El oficialismo tiene la mayora de los votos. d: La ley se debate. e: La ley beneficia al pueblo.

Traduzca literalmente las siguientes proposiciones [ ] [ ]d c b a [ ] ( )c a d e

( ) ( )e d c b a

5. Defina simblicamente las proposiciones e indique la traduccin al lenguaje formal.

a) No estudio toda la noche y asisto al concierto.

b) No es verdad que estudio toda la noche y asisto al concierto.

c) Ni fumar ni beber es bueno para la salud

d) Si tu vehculo no tiene aire acondicionado no tendrs amigos.

e) Si el uso del internet aumenta, ms personas se harn adictas a este y las relaciones interpersonales se deteriorarn.

1Lgica y Conjuntos

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f) Barcelona ser campen en la presente temporada siempre que la dirigencia

haga buenas contrataciones y los jugadores hagan un buen papel.

g) Tomo las medicinas pero no guardo reposo ya que tengo mucho trabajo por hacer.

h) Me voy al cine o voy al partido de futbol, pero no me quedar toda la tarde en casa.

i) Un tringulo es equingulo si y solo si es equiltero.

j) Podr asistir a la cita solo si cancelo todas mis actividades pendientes. 6. Escriba en lenguaje comn y formal la recproca, la inversa y la contrarrecproca de

la proposicin Los aranceles se aprueban puesto que los artesanos ecuatorianos ofrecen productos de calidad. Recproca: Inversa: Contrarrecproca:

7. Escriba en lenguaje comn y formal la recproca, la inversa y la contrarrecproca de la proposicin Siempre que juego ftbol, me divierto con mis amigos.

Recproca:

4

Inversa:

Contrarrecproca:

8. Si la proposicin Las ventas se incrementan siempre que se optimicen los procesos logsticos de la empresa es verdadera entonces es falso que: a) Si se optimizan los procesos logsticos de la empresa, entonces se incrementan

las ventas. b) Cuando se optimicen los procesos logsticos de la empresa, las ventas se

incrementarn. c) El incremento de las ventas es condicin necesaria para la optimizacin de los

procesos logsticos. d) La optimizacin de los procesos logsticos de la empresa es necesario para el

incremento de las ventas. e) Para el incremento de las ventas es suficiente que se optimicen los procesos

logsticos. 9. La contrarrecproca de la expresin: Si no entiendo las clases, no estoy preparado

para el examen es: a) No estoy preparado para el examen slo si no entiendo las clases. b) No entiendo las clases cuando estoy preparado para el examen. c) Entiendo las clases siempre que estoy preparado para el examen. d) Estoy preparado para el examen si entiendo las clases. e) No entiendo las clases debido a que no estoy preparado para el examen.

10. Si la proposicin Terminaremos pronto el trabajo solo si trabajas eficientemente

es verdadera, entonces la condicin necesaria de la proposicin es:

a) Terminaremos pronto el trabajo. b) No terminaremos pronto el trabajo. c) Terminamos pronto o trabajas eficientemente. d) Trabajas eficientemente. e) No trabajas eficientemente y no terminamos pronto el trabajo.

1Lgica y Conjuntos

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11. La condicin suficiente de la proposicin 84 es mltiplo de 2 puesto que es divisible para 4

a) 84 es mltiplo de 2 . b) 84 es divisible para 4 o es mltiplo de 2 . c) 84 es divisible para 4 . d) 84 no es divisible para 4 . e) 84 es mltiplo de 2 y es divisible para 4 .

1.3 Proposiciones simples y compuestas 12. Sean las proposiciones simples:

:a Me voy :b Me quieres

Escriba la traduccin al lenguaje formal de la proposicin compuesta:

Es suficiente que me vaya para que me quieras

13. Determine el valor de verdad de las proposiciones simples p , q y r para que el

valor de verdad de la proposicin compuesta ( ) ( )p q r r q sea falso.

14. Si la proposicin ( ) ( )p q r q es falsa, entonces una de las siguientes proposiciones es falsa. Identifquela.

a) ( ) ( ) 0p q r q b) ( ) ( ) 0q r p q c) ( ) ( ) 0r q r p d) ( ) ( ) 1r p r q e) ( ) ( ) 1p r q r

6

15. Sean las proposiciones simples

a: Hoy tengo que rendir una prueba b: He estudiado con responsabilidad c: Obtendr buenos resultados

La traduccin al lenguaje lgico de la proposicin: Hoy tengo que rendir una prueba y obtendr buenos resultados, puesto que he estudiado con responsabilidad es:

a) ( )a c b b) ( )a b c c) ( )b a c d) ( )b a c e) ( )b a c

16. Si la proposicin ( ) ( )a b c d es FALSA identifique la proposicin VERDADERA: a) b c b) a b c) b d d) a e) a d

17. Si la proposicin compuesta ( ) ( )a b b c d es verdadera, los valores de verdad de , , ,a b c d son respectivamente: a) 0, 1, 0, 0 b) 0, 0, 1, 0 c) 1, 0, 1, 0 d) 1, 0, 0, 1 e) 0, 1, 1, 0

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18. Sean las proposiciones simples:

p: Uribe miente. q: Correa miente. r: Hay conflicto. s: Las FARC entregan a los rehenes.

La traduccin de la proposicin compuesta Si Uribe y Correan mienten, entonces hay conflicto. Las FARC no entregan a los rehenes, debido a que hay conflicto, es:

a) ( ) ( )p q r s r b) ( ) ( )p q r r s c) ( ) ( )p q r r s d) ( ) ( )p q r r s e) ( ) ( ) ( )p r q r r s

19. Si la proposicin ( ) ( )a b d d e es FALSA, entonces es VERDAD que: a) b a es falsa. b) a d es falsa. c) d e es falsa. d) d a es falsa. e) e a es falsa.

20. Dadas las proposiciones simples: a: Jennifer suspende su viaje a Quito. b: Jennifer no toma medidas de prevencin de riesgos. c: Se presenta un fuerte invierno.

Entonces una traduccin al lenguaje formal de la proposicin compuesta Jennifer suspende su viaje a Quito y toma medidas de prevencin de riesgos, ya que se presenta un fuerte invierno, es:

a) ( )a b c b) a b c c) ( )c a b d) ( )a b c e) ( )c a b

8

21. Sean las proposiciones simples:

a: Carlos estudia lgica. b: Carlos realiza los talleres. c: Carlos es responsable.

La traduccin a lenguaje formal del enunciado Carlos estudia lgica porque realiza los talleres y es responsable es:

a) ( )a b c b) ( )b c a c) ( )a b c d) ( )b c a e) ( )a c b

22. Si a, b y c son proposiciones atmicas tales que:

a: apruebo matemticas b: ingreso a la universidad c: no apruebo fsica

Entonces la traduccin al lenguaje formal de la proposicin molecular: No ingreso a la universidad y apruebo fsica, siempre que no apruebe matemticas es:

a) ( )b c a b) ( )b c a c) ( )a b c d) ( )a b c e) ( )a b c

1.8 Conjuntos 23. Si se define el conjunto { }{ }, , , , ,A a b c d e= determine el valor de verdad de las

siguientes proposiciones.

a) a A b) d A c) { }d A d) { },d e A e) A

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24. Determine la cardinalidad del conjunto dado en el ejercicio anterior.

25. Represente los siguientes conjuntos por extensin

{ }/ es vocal de la palabra murcilago A x x= { }/ es un nmero par entre 15 y 21 B x x= { }/ es un mamfero marino C x x= { }/ 2 es un nmero primo par mayor a D x x= { }/ es un reptil que vive en Saturno E x x=

1.9 Cuantificadores 26. Dado el referencial { }Re 0,1, 2, 3, 4, 5= . Identifique la proposicin verdadera.

a) ( )6 0x x + = b) ( )1 5x x + c) ( )1 0x x + = d) ( )1 2x x + > e) ( )1 0x x =

27. Si { }{ }, %A a= , entonces es FALSO que:

a) ( )A P A b) ( )P A c) ( )P A d) { }{ }% ( )P A e) ( )A P A =

10

28. Determine el conjunto potencia de los siguientes conjuntos

{ }, , ,A = - { },B = { }1,2,C =

29. Sean los conjuntos { }0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A = , { }2,4,6,8B = , { }1,3,5,7,9,11C = , { }/ es un nmero par entre 1 y 9 D x x= . Determine el valor de verdad de las

siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.

a) ( ) ( )N A N B= .

b) ( ) ( )N B N C= .

c) B C .

d) C A .

e) B A .

f) B D= .

g) D A .

h) D B .

i) C B .

j) D B .

1Lgica y Conjuntos

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30. Para el conjunto { }{ }@,$, ?,S = . Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justifique su respuesta.

a) ( ) 4N S = .

b) ( )( ) 8N P S = .

c) ( )( )( ) 64N P P S = .

d) ( )@ P S .

e) { }{ } ( )$ P S .

f) { }{ }?, S .

g) { }{ }{ } ( )( )?, P P S .

h) { }{ }{ } ( )( )( )@,$ P P P S .

i) S .

j) ( )P S .

31. Identifique la proposicin VERDADERA:

a) Si { }A = , entonces ( )A P A A . b) Si { }{ },A = , entonces ( )( ) 2N P A = . c) Si A B y A C , entonces ( )A B C . d) { }/A B x x B x A = e) Si A , entonces ( )A P A

12

1.10 Operaciones entre Conjuntos 32. Determine los conjuntos A , B y C si se conoce que { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re =

{ } { } { } ( ) { }1, 2,3, 4 ; 1, 2,7 ; 8,9 ; 5,6cA B A C B C A A B C = = = = ( ) ( ) 6N A N B= = .

Para los ejercicios 33 y 34 utilice los siguientes datos:

{ }Re 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10= ; { }1,6A B = ; { } 2,3,6A C = ( ) { } 4,5B C A = ; ( ) 10CA B C = ; ( ) { }7,8,9C A B = 33. Determine los conjuntos A , B y C 34. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su

respuesta:

a) { }1,9A B C =

b) { }7,8,9C A =

c) { }1,7,8C B =

d) ( ) { }2,3CB C =

e) { }1,2,3,4,5,6,7,8,9A B C =

1Lgica y Conjuntos

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35. Si A , B y C son subconjuntos no vacos del conjunto

{ }Re , , , , , , , , , , = que satisfacen las siguientes condiciones:

( ) { },CA B C = { },CA B = { }, ,B C = { },A B = ( )C A B =

Determine el conjunto C .

36. Sea el { }Re 1,2,3,4,5,6,7,8,9= y los conjuntos A , B , y C no vacos que cumplen las siguientes condiciones:

C B ; A y C son disjuntos; { }3,5,7,8B C = ; ( ) { }3,4,8,9A B C = y ( ) { }6cA B C = determine el conjunto A .

37. La regin sombreada del grfico adjunto representa el conjunto:

a) ( )C A B b) ( )C A B c) ( )A C B d) ( )C B A e) ( )B C A

AB

C

Re

14

38. Si A , B , C y D son conjuntos no vacos, entonces la regin sombreada del grfico adjunto corresponde a:

a) ( ) ( )cA B D C

b) ( ) ( )[ ] cDCBBA c) ( ) ( )A C B D d) ( ) ( )c cA D D C e) ( ) ( ) ( )cD C B D A B

39. Si A , B y C son conjuntos no vacos entonces la regin sombreada corresponde a:

a) ( )[ ] [ ]BACBA c b) ( )[ ] [ ]CBABAC c) [ ] [ ]BCCBA c d) ( ) CBA c e) ( )[ ]CAB

AB

C

D

Re

AB

C

Re

1Lgica y Conjuntos

15

40. Si A, B, C son conjuntos no vacos representados en el diagrama de Venn adjunto,

entonces la regin sombreada corresponde a:

a) ( ) ( ) ( )CA B A B C C A B b) ( ) ( ) ( )CA B A B C A B c) ( ) ( ) ( )( )A B C A B C A B d) ( ) ( ) ( )CCA B A B A B C e) ( ) ( ) ( )A B B A C A B

41. La regin sombreada del grfico adjunto representa el conjunto:

a) ( )A B C b) ( )CA B C A c) ( ) ( )A B C A d) ( )( ) ( )( )A C B C A B e) ( ) ( )A B B C

A

Re

C

B

AC

B

Re

16

42. Los siguientes son los datos que muestran las preferencias de algunos aspirantes

ingresar a la universidad por ciertos programas: 50 prefieren medicina. 47 prefieren ingeniera. 35 prefieren biologa. 16 prefieren ingeniera y biologa. 11 prefieren medicina e ingeniera. 15 prefieren medicina y biologa. 9 prefieren las tres. Determinar: a) Cuntos aspirantes fueron encuestados? b) Cuntos aspirantes prefieren nicamente medicina? c) Cuntos aspirantes no prefieren biologa? d) Cuntos aspirantes prefieren medicina o biologa pero no ingeniera? e) Cuntos aspirantes prefieren medicina o ingeniera?

43. De un total de 60 alumnos de un colegio:

15 estudian francs solamente, 11 estudian francs e ingls; 12 estudian alemn solamente; 8 estudian francs y alemn; 10 estudian ingles solamente; 5 estudian ingls y alemn; y 3 los tres idiomas. Determine: a) Cuntos no estudian algn idioma? b) Cuntos estudian alemn? c) Cuntos estudian alemn e ingls solamente? d) Cuntos estudian francs?

1Lgica y Conjuntos

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44. En una investigacin realizada en 100 muestras de agua, se observ que 50 de ellas tenan microorganismos de tipo A, 30 muestras tenan microorganismos de tipo B, y 40 muestras tenan microorganismos de tipo C. A 6 muestras se les encontr los tres tipos de microorganismos, a 10 muestras se les encontr microorganismos de tipo B y C, y a 20 muestras se les encontr microorganismos de tipo A y B. Determine el nmero de muestras que tenan microorganismos slo de tipo B.

45. En una entrevista realizada a 40 estudiantes del curso del nivel cero A, acerca de

los deportes que les gusta practicar, se obtuvo la siguiente informacin: 12 practican ajedrez, 14 tenis y 16 ftbol. No hay estudiantes que practiquen ajedrez y tenis. 4 practican ajedrez y ftbol. 20 practican tenis o ftbol, pero no ajedrez.

Determine la cantidad de estudiantes que no practican deporte alguno. 46. En una encuesta aplicada a 1000 personas sobre el tipo de transporte que utilizan

para ir de la casa al trabajo se obtuvo la siguiente informacin: 431 usan metrova, 396 utilizan autobs, 101 utilizan metrova y taxi pero no autobs, 176 no utilizan transporte alguno, 341 viajan en taxi, 634 utilizan metrova o taxi, y 201 se transportan solo en metrova. Determine el nmero de personas que utilizan los tres medios de transporte.

18

47. En una encuesta realizada a 80 personas sobre el tipo de pelculas de su preferencia, se obtuvieron los siguientes resultados:

27 prefieren las pelculas ROMANTICAS, pero no las de SUSPENSO. 26 prefieren las pelculas de SUSPENSO pero no las de CIENCIA FICCIN. 19 prefieren las pelculas de CIENCIA FICCIN, pero no lean la revista

ROMANTICAS. 2 prefieren los tres tipos de pelculas.

Cuntos no prefieren algn tipo de pelcula? 1.13 Pares ordenados y Producto cartesiano 48. Dados los conjuntos { }, ,A = + , y { }1,2,3,4B = construya

a) A A

b) A B

c) B A

d) B B

49. Sean , y A B C conjuntos cualesquiera. Entonces es FALSO que: a) ( )A B C A B A C = b) Si ( ) 2N A = , entonces ( )( ) ( )N P A N A A= c) Si ( ) ( )N A N B= , entonces A B B A = d) ( ){ }, /B A x y x B y A = e) Si ( ) 3N A = y ( ) 1N B = , entonces ( )( ) 8N P A B =

1Lgica y Conjuntos

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50. Considere los conjuntos { },*,0 A a= y { }1,0B = ; entonces es verdad que: a) ( ) ( ) ( ){ }0,1 , 0,0B A B = b) ( )( ) 6N A A B = c) ( ) ( )( ) 4N A B A B = d) ( ) ( )A B B A = e) ( ) ( ) ( ){ }1, , 0,*B A B a =

51. Sean A , B y C tres conjuntos tales que { }1, 2, 3A = , { }, , B a b c= y { },C = , + . Entonces, es FALSO que:

a) ( ) ( ){ }2, , 3,c a A B b) ( ) 18N A B C = c) ( ),b B C , d) ( ),a B C + e) ( ), C C , ,

52. Sean A y B dos conjuntos tales que: { }1, 2, 3A = y { }, , B a b c= . Entonces es verdad que:

a) ( ), 3 b A B b) ( ) ( ) ( ){ }1, ; , ; 4,b a c a A B c) ( )2,c B A d) ( ) 9N B B = e) ( ) ( ){ }2,2 ; ,b b A A

1.14 Relaciones

Para los ejercicios 53 y 54 utilice los conjuntos { }1,3,5,7,9,11,13,15A = y { }2,4,6,8,10,12,14B =

53. Construya las siguientes relaciones de A en B . Adicionalmente determine el

dominio y el rango de cada una de las relaciones

a) ( ){ }1 , / 1R x y x y= = +

b) ( ){ }2 , /R x y x y= >

20

c) ( ){ }3 , /R x y x y= =

d) ( ){ }4 , /R x y x y= <

e) ( ){ }5 , / 3R x y x= =

f) ( ){ }6 , / 2R x y y= = 54. Construya las siguientes relaciones de B en A . Adicionalmente determine el

dominio y el rango de cada una de las relaciones.

a) ( ){ }7 , / 1R x y y x= =

b) ( )8 , / 2xR x y y =

1Lgica y Conjuntos

21

55. Sea el conjunto { }1,2,3,4,5A = y dos relaciones definidas sobre este conjunto 1 : r A A y 2 : r A A .

( ){ }1 , / es par r x y x y= + ( ){ }2 , / es mltiplo de 3 r x y x y= +

Determine el nmero de elementos de 1 2r r

1.15 Funciones 56. Respecto a los ejercicios 53 y 54 determine si cada relacin es o no una funcin en

caso de no serlo justifique su respuesta.

1R

2R

3R

4R

5R

6R

7R

8R

9R

10R

11R

12R 57. Si { }1, 2, 3, ,50 , A = { }1, 2, 3,.., 40B = y la relacin R de A en B DEFINIDA

POR: ( ){ }, / ,R a b a b= > entonces determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su respuesta:

a) R es una funcin de A en B

b) ( )dom R A=

c) ( )rg R B=

d) R A B=

22

e) R =

58. Sean { } { }, , , , 1, 2,3A a b c d B= = y las relaciones 1R y 2R de A en B tales que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 ,1 , ,3 , ,3 , ,1 , , 2R a b c c d= , ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 ,3 , ,3 , ,1 , ,1R d b a c=

Entonces es VERDAD que:

a) 1R es una funcin de A en B . b) 1 2 R R es una funcin de A en B . c) ( ) ( )1 2 rg R rg R d) ( ) ( )1 2dom R dom R= . e) 1 2 R R es una funcin de A en B

59. Sean los conjuntos { }1,2,3A = y { }2,4,6B = . Construya las siguientes relaciones de A B e identifique cual es funcin. a) ( ){ }, / 0R x y A B x y= =

b) ( ){ }, / 2 0R x y A B x y= =

c) ( ){ }, /R x y A B y x= >

d) ( ){ }, / 1R x y A B x= =

e) ( ){ }, / 3 0R x y A B x y= =

60. Si se tienen los conjuntos { }, ,A = , + y { },B = . Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su respuesta.

a) Es posible construir una funcin inyectiva de A en B .

.

b) Es posible construir una funcin sobreyectiva de A en B . .

c) Es posible construir una funcin inversible de A en B .

.

1Lgica y Conjuntos

23

d) Es posible construir una funcin sobreyectiva de B en A .

.

e) Es posible construir una funcin biyectiva de B en A . .

61. Dados los conjuntos Ay B tales que { }1,3,5,7A B= = y las funciones f y g de Aen B :

( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 3,1 , 5,5 , 7,7

1,7 , 3,7 , 5,1 , 7,3

f

g

==

Determine 1f g D .

62. Considere las funciones :f M N y :g N M tales que:

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ }

,1 , ,1 , , 2

1, , 2, , 3, , 4,

f A B C

g B B C A

==

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su respuesta.

a) f es inyectiva

.

b) g es biyectiva .

c) { }1,2,3M = .

d) { }1,2,3,4rg f = .

e) Es posible construir g fD

.

24

63. Sean los conjuntos { }1,3,5,7A = y { }1,2,5,6,8,9B = , y r una relacin definida por { }( , ) / 2 1r a b A B b a= = . Entonces es VERDAD que:

a) dom r A= b) { }1,3,5dom r = y { }1,5,9rg r = c) { }1, 2,5rg r = d) { }6,8,9rg r = e) { }1,3,5dom r = y { }5,6,8rg r =

64. Si f es una funcin de A en B , entonces es VERDAD que:

a) f es inyectiva, ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2,x A y y B y f x y f x y y = = = b) f es sobreyectiva, si y slo si rg f A= . c) f es una funcin inversible, si y slo si la relacin inversa de f es una

funcin. d) Si ( ) ( )N A N B> , entonces f es sobreyectiva. e) Si f es inyectiva, entonces ( ) ( )N A N B> .

65. Si f es una funcin de A en B y g es una funcin de B en A , tales que:

{ }(1, ), (2, ), (3, ), (4, )f = , + + y { }( ,1), ( , 2), ( ,3), ( ,3)g = , + .

Entonces es VERDAD que: a) f es inyectiva o g es sobreyectiva. b) g es la funcin inversa de f . c) 1g existe o 1f existe. d) No es posible construir la funcin f gD . e) { }(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 2)g f =D

1Lgica y Conjuntos

25

66. Si R es una relacin sobre el conjunto { }1,2,3,4A = , definida por { }2( , ) /R x y A A y x= = , determine el valor de verdad de las siguientes

proposiciones:

a) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 ,1 , 2 , 4 , 3 , 9 , 4 ,1 6R = b) ( ) 4N R = c) R es una funcin d) rg R A= e) { } 1 , 2domR =

67. Si { }, , , ,A a e i o u= y se define una funcin f sobre A de modo que ( )f a u= , ( )f e i= , ( )f i a= , ( )f o o= , ( )f u i= determine el rango de la funcin f fD

68. Sea la funcin biyectiva :f A B , tal que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, , 2, , 3, , 4, , 5,f a e i u o= Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su respuesta.

a) ( ) ( )1 2f f= .

b) 1rg f A = .

c) ( ) 1, 2a f .

d) { } 11 dom f .

e) ( ) ( ) 10N A N B = .

26

69. Sean :f X Y y :g X Y dos funciones dadas segn el diagrama sagital.

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justifique su respuesta:

a) f es inyectiva

.

b) f es sobreyectiva .

c) g fD es sobreyectiva

.

d) g fD es inyectiva .

e) g es biyectiva

. 70. Si f es una funcin de A en B , g es una funcin de B en C y C A = ,

determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones justificando su respuesta.

a) La funcin f gD est definida

.

b) Basta que f sea inyectiva para que g fD sea inyectiva .

c) Es suficiente que g sea sobreyectiva para que g fD sea sobreyectiva

.

d) Si g fD es sobreyectiva entonces g es sobreyectiva .

e) Si g fD es biyectiva entonces f es biyectiva

.

a

xf g

xy

1

2

3

1

2

3

b

c