Teoría Básica de Conjuntos

Objetivo general

Comprender y usar los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos, hacia la apropiación de sus relaciones

lógicas en diferentes contextos estableciendo asimilaciones con el lenguaje natural hacia la solución de algunas situaciones

problemas.

Objetivos específicos

1. Identificar las relaciones entre conjuntos y sus elementos.

2. Distinguir las diferentes clases de conjuntos.

3. Representar gráficamente los conjuntos.

4. Realizar operaciones entre conjuntos.

5. Resolver algunas situaciones problemas usando teoría de conjuntos.

Historia

El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se

despejaban las dudas sobre la noción de infinito. Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que

necesitó en su trabajo.

La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a George Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de «axiomatización» de la

matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las diversas estructuras, fueron construidos en base a los conjuntos.

Definición y generalidades

Los conjuntos están relacionados con el proceso de contar y por lo tanto permiten resolver problemas que involucran el

concepto de cantidad. Se define un conjunto como una colección de objetos, símbolos o entidades bien definidas, que

reciben el nombre de elementos del conjunto. Los conjuntos generalmente se representan con letras mayúsculas y sus

elementos con letras minúsculas.

Ejemplo:

El conjunto de vocales V = {a, e, i, o, u}

El conjunto de los primeros cinco números impares N = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

Una clasificación de los animales desde la biología A = {terrestres, acuáticos, voladores, anfibios}

Representación de conjuntos

Los conjuntos se pueden representar de básicamente de tres formas:

Por extensión: cuando nombramos cada uno de los elementos del conjunto.

H = {león, tigre, pantera, jaguar, linces, gatos, pumas}

R = {cecílidos , salamandras, sapos y ranas}

Por comprensión: cuando se nombra el conjunto de acuerdo a una característica común de sus elementos. Se puede escribir

de varias maneras:

V = {vocales}, V = {x/x es vocal}, V = {x: x es vocal} (donde / y : se leen como tales que)

N = {números naturales impares menores que e iguales a 11}, N = {x/ 0<x<12, x ϵ N y x es impar}

H = {felinos}, H = {x:x es felino}

R = {animales anfibios}, R = {x/x es animal anfibio}

Estas dos representaciones descritas anteriormente se les llama también formas de determinar un conjunto (por extensión y

por comprensión).

Representación gráfica: Una forma sencilla de visualizar los conjuntos y las relaciones entre ellos, es mediante la

utilización de esquemas gráficos llamados círculos de Euler o diagramas de Venn. Estos esquemas están

compuestos por una región cerrada del plano (generalmente un rectángulo), la cual representa el conjunto universal, y por

uno o varios círculos que representan los conjuntos a graficar.

Para indicar que un elemento es un miembro de un conjunto, se utiliza el símbolo (se lee pertenece a) y para

indicar que no está en el conjunto se utiliza el símbolo (se lee no pertenece a).

Relaciones entre conjuntos

En conjuntos se hace uso de tres clases de relaciones básicamente:

La primera se da cuando se está interesado en relacionar un elemento con un conjunto dado, se habla de una relación de

pertenencia y se usa la notación la cual se lee pertenece a, cuando el elemento no es parte de ese conjunto se usa la

notación la cual se lee no pertenece a.

Ejemplo: de acuerdo a los tres conjuntos representados anteriormente podemos establecer algunas relaciones tales como:

a V se lee a pertenece al conjunto V, también se puede leer como: a es una vocal

9 N se lee 9 pertenece al conjunto N, también se puede leer como: 9 es un elemento del conjunto N

Jaguar H se lee el jaguar es un animal que es parte del conjunto de los felinos

m V se lee como: m no pertenece al conjunto V o también como m no es vocal.

4 N se lee como: 4 no es un numero del conjunto N o 4 no pertenece a N

Perro H Perro no pertenece al conjunto de Felinos o perro no pertenece al conjunto H

La segunda se da cuando queremos relacionar un conjunto con otro conjunto, se habla de una relación de contenencia y

para esta se usa la notación , cuando se desea decir que un conjunto no es parte de otro se usa la notación . Como

ejemplos de esta relación tenemos:

Dado los conjuntos: D = {x / x es letra del abecedario}, V = {x: x es vocal}, C = {consonantes}, Z = {x: x

es par, x N}, P = {2, 4, 6}, N = {x/ 0<x<12, x ϵ N y x es impar}, E = {Números enteros}, entonces:

V

a, e, i,

o, u

U N

1, 3, 5,

7, 9, 11

U H

león, tigre,

pantera,

jaguar,

linces, gatos,

pumas

U

V D El conjunto de vocales está contenido en el conjunto de letras del alfabeto.

C D El conjunto de consonantes está contenido en el conjunto de letras del alfabeto.

p E El conjunto que tiene como elementos el 2, 4, 6 está contenido en el conjunto de números enteros.

Z p El conjunto de números naturales pares no está contenido en el conjunto que tiene como elementos 2, 4,6.

E N El conjunto de números enteros no está contenido en el conjunto de números impares entre cero y doce.

C V El conjunto de consonantes no está contenido en el conjunto de vocales.

Esta relación la podemos leer en el sentido contrario, por ejemplo en el último caso podemos decir que el conjunto de

vocales no contiene al conjunto de consonantes.

Clases de conjuntos

De acuerdo a la cantidad de elementos que posea un conjunto, este se puede clasificar como:

Conjuntos Infinitos: son aquellos que no se pueden expresar por extensión.

Ejemplo: S = {x/ 0 ≤ x < 9, x R} ó Z = {x: x es par, x N}

Así en el primer ejemplo vemos los números reales que pertenecen al conjunto S en el intervalo [0,9) y en el segundo

ejemplo el conjunto de los números naturales que pertenecen a Z.

Conjuntos Finitos: son aquellos cuyos elementos son contables y tiene fin el conteo.

Ejemplo: V = {x / x es vocal}, D = {x / x letra del abecedario}

En estos dos conjuntos es posible hacer el conteo total de los elementos que posee cada uno.

Otros conjuntos

Conjunto vacío: Un conjunto que carece de elementos se denomina conjunto vacío y se simboliza así: ø, {}

El conjunto vacio forma parte de cualquier conjunto, por lo cual se puede afirmar que: El conjunto vacío es un

subconjunto de todo conjunto.

Ejemplo:

R = {}

P = {x/x es mujer presidente de Colombia}, Es un conjunto vacio porque no tenemos presidente

mujer en Colombia “aun”

D = {x: x < 0, x N), D es un conjunto que carece de elementos, puesto que no existe ningún número natural que

sea negativo.

Conjunto unitario: Se denomina al conjunto formado por un único elemento.

Ejemplo:

A = {7}, es un conjunto con 1 elemento.

F = {ø}, es el conjunto con el elemento vacio, ejemplo; una caja vacía con otra caja vacía dentro.

L

U

Es el conjunto que tiene como único elemento carita feliz.

E = {x / x es un primo par}, El único número que cumple las dos condiciones (ser primo y a la vez par) es el número 2, por

lo tanto E = {2} se llama unitario.

Conjunto Universal: Es aquel que contiene todos los subconjuntos propios. Un ejemplo de ello es el conjunto de los

números Complejos, viene a ser nuestro conjunto universal dado que contiene al conjunto de los números naturales, el

conjunto de los números enteros, el conjunto de los números racionales, el conjunto de los números irracionales y el

conjunto de los números reales. Mientras que el conjunto de los números racionales es un conjunto referencial respecto a

los enteros y a los naturales.

Conjunto Referencial: Es un conjunto que contiene otros subconjuntos. Cuando se habla o se piensa en los

conjuntos es conveniente establecer la naturaleza de sus elementos y observar si son parte de otros conjuntos.

Ejemplo:

Los elementos del conjunto A = {a, e, i} pertenecen al conjunto de las vocales, V = {a, e, i, o, u}, es decir, A V,

este conjunto V constituye el universo del conjunto A, por esta razón se dice que V es un conjunto Referencial.

A = {x ϵ N / x es primo} sus elementos son el conjunto de los números primos naturales y un conjunto referencial viene

a ser el conjunto de los números naturales.

Conjunto de partes o conjuntos de conjuntos: Si A es un conjunto, el conjunto de partes de A, escrito como P(A) esta

formado por todos los subconjuntos que se pueden formar del conjunto A.

Ejemplo:

Si A = {1, 3, 5}, entonces el conjunto de partes de A esta formado por los siguientes subconjuntos:

P (A) = {, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3, 5}, {1, 3, 5}}.

Teorema: Si un conjunto (A) tiene n elementos entonces el conjunto partes de A, P(A) tiene 2n subconjuntos.

El número de elementos del conjunto P(A) depende del número de elementos de A; en el ejemplo, si A tiene 4 elementos

P(A) tiene 16 = 24 elementos, si A tiene 2 elementos P(A) tiene 4 = 22 elementos en general, si A tiene n- elementos se

pueden formar 2n subconjuntos del conjunto A, que es lo que nos anuncia el teorema.

El conjunto vacío está en todo conjunto y este caso no es la excepción, por esta razón también está en P(A). Además, cabe

A

o, u

a, e, i

U = V

anotar que los elementos del conjunto A son a su vez conjuntos, por lo que se dice que el conjunto P(A) constituye una

familia de conjuntos.

Ejemplo. Sea B = {2, {1, 3}, 4, {2, 5}}. B no es una familia de conjuntos porque algunos elementos de B son

conjuntos y otros no. Para que el conjunto B fuera un conjunto de partes o una familia de conjuntos debería estar

expresado de la siguiente forma:

Subconjuntos: Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto A también

es elemento del conjunto B. Simbólicamente esta relación se expresa así: A B (se lee A esta contenido en B) si todo

elemento x que está A también está en B, es decir; A B si todo x ϵ A, entonces x ϵ B

Si A = {x / x es dígito par} y B = {x / x es dígito}, claramente A B ya que todo dígito par es dígito. Por

extensión la situación se expresa así: A = {2, 4, 6, 8} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, Entonces A es un

subconjunto de B.

Un resultado muy útil e importante acerca de la contenencia entre conjuntos es el siguiente: Si A es un

subconjunto de B y B es un subconjunto de C, entonces, A es un subconjunto de C; simbólicamente este enunciado se

escribe así: Si A B y B C, entonces, A C

Igualdad entre conjuntos: El conjunto A es igual al conjunto B si ambos conjuntos tienen los mismos

elementos, es decir, si todos los elementos de A pertenecen a B y si todos los elementos de B pertenecen al

conjunto A. La igualdad entre conjuntos se simboliza de la siguiente forma: A = B si y solo si A B y B A

Ejemplos:

1. Si M = {1, 1, 0, 2} y N = {2, 1, 0, 1}, claramente se observa que M N y que N M, por lo tanto M = N.

2. Si A = {x / x es abecedario} y B = {x / x es consonante}, se puede observar que B A pero A B, por lo

tanto el conjunto A no es igual al conjunto B, lo cual se escribe, A ≠ B.

Conjuntos Completamente Diferentes o Disyuntos: Es importante destacar que cuando dos conjuntos

son completamente diferentes (no tienen ningún elemento en común) reciben el nombre de conjuntos disyuntos.

B

U A

C

U B

A

Ejemplo: Los conjuntos A = {x / x es dígito par} y B = {x / x es dígito impar} no tienen ningún elemento en común,

es decir A y B son disyuntos.

Subconjunto propio: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, es decir, A A (con A un conjunto cualquiera), si

ese subconjunto se llama B, entonces se puede afirmar que B es un subconjunto propio de A, este hecho se simboliza así:

B A (se lee B está contenido o es igual al conjunto A)

Ejemplos:

1. Al considerar los conjuntos A = {x / x es vocal} y B = {a, e, i, o, u}, se puede afirmar que A = B, en particular

se observa que A B y B A, lo cual permite afirmar que A es subconjunto propio de A y B es subconjunto

propio de A.

2. Los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 3}, C = {0, 2} y D = {1} son todos subconjuntos del conjunto M =

{0, 1, 2, 3}, pero ninguno es un subconjunto propio de M, ya que con ninguno se puede establecer alguna de

las relaciones siguientes: A M, B M, C M, D M

Operaciones entre conjuntos

Así como las operaciones suma, resta, multiplicación y división están definidas sobre los números reales, también existen

operaciones definidas entre los conjuntos como la unión, intersección, complemento, diferencia, diferencia simétrica y

producto cartesiano.

Unión: Se puede entender como el conjunto que contiene los elementos comunes y los elementos no comunes de dos o

más conjuntos. Si A y B son dos conjuntos no vacíos, se define la unión entre A y B como el conjunto de todos los

elementos que pertenecen al conjunto A o que pertenecen al conjunto B.

Simbólicamente la unión se define así:

Matemáticamente se define la unión como: A B = {x / x ϵ A ó x ϵ B}

Para representar gráficamente la operación de unión entre conjuntos, se debe tener en cuenta la relación que exista entre

ellos, según los siguientes casos:

Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningún elemento en común. (conjuntos disyuntos). La parte subrayada representa

la unión entre los conjuntos A y B.

En la figura de la izquierda la unión corresponde a la parte sombreada. Si A = {1,2,3,4} y B = {5,6,7} entonces A B =

{1,2,3,4,5,6,7}

Caso 2. Que los conjuntos tengan solo unos elementos en común.

A B U U A B

1, 2,

3, 4 5, 6,

7

En la figura de la izquierda la unión corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {7, 8, 9, 10} entonces A

B = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}

Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.

En la figura de la izquierda la unión corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 7, 8} y B = {7, 8} entonces A B

= {1, 3, 5, 7, 8}

Intersección: Se define la intersección entre dos conjuntos A y B como el conjunto formado por los elementos

comunes entre dos o más conjuntos o sea, todos los elementos pertenecen simultáneamente al conjunto A y al conjunto B.

Matemáticamente la intersección se expresa como A B = {x / x ϵ A y x ϵ B}

Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningún elemento en común. (Conjuntos disyuntos)

En la figura de la izquierda la intersección corresponde a la parte no sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6} y B = {7, 8, 9, 10}

entonces A B = {}, dado que no hay elementos en común. Se puede observar que cuando dos conjuntos son

diferentes, su intersección es vacía y los conjuntos se llaman disyuntos, como ya se había mencionado.

Caso 2. Que los conjuntos tengan solo unos elementos en común.

U A B

U A B U A B

1, 3,

5,

7 8, 10,

9

U A

B 1, 3,

5,

7, 8

9

A B

U

U A B

1, 3, 5,

6

7, 8, 9,

10

U A B

1, 3,

5, 6

7 8, 10, 9

9

A B U

En la figura de la izquierda la intersección corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6, 7, 10} y B = {7, 8, 9, 10}

entonces A B = {7, 10}, dado que el 7 y el 10 son elementos comunes.

Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.

En la figura de la izquierda la intersección corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y B = {7, 8, 9,

10} entonces A B = {7, 8, 9, 10} = B, dado que todo B son los elementos comunes.

Diferencia: Se define como los elementos no comunes entre dos o más conjuntos. A menos B, es el

conjunto formado por los elementos que están en el conjunto A pero no en el B. matemáticamente Si

A y B son dos conjuntos no vacíos, entonces: A - B = {x / x ϵ A y x B}.

Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningún elemento en común.

En la figura de la izquierda la diferencia corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6} y B = {7, 8, 9, 10} entonces

A - B = {1, 3, 5, 6} = A, dado que son los elementos del conjunto universal que está A y no están en B.

Caso 2. Que los conjuntos tengan solo unos elementos en común.

En la figura de la izquierda la diferencia corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6, 7, 10} y B = {7, 8, 9, 10}

entonces A - B = {1, 3, 5, 6}, dado que son los elementos no comunes que solo están en A.

Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.

U A

B

U A B 1, 3

5, 6 7 8, 10, 9

9

U A B

1, 3, 5,

6

7, 8, 9,

10

U A B

1, 3,

5, 6

7 8, 10, 9

9

A B U

A B U

En la figura de la izquierda la diferencia corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y B = {7, 8, 9, 10}

entonces A - B = {1, 3, 5, 6}, dado que son los elementos que solo están en A.

Diferencia simétrica: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se define la diferencia simétrica A B, como el conjunto

formado por los elementos no comunes entre los dos conjuntos. Elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B,

pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos. Matemáticamente A B = {x/ x ϵ [(A B) – (A B)]}.

Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningún elemento en común.

En la figura de la izquierda la diferencia simétrica corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6} y B = {7, 8, 9, 10}

entonces A B = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = A B, dado que los conjuntos no tienen elementos en común.

Caso 2. Que los conjuntos tengan solo unos elementos en común.

En la figura de la izquierda la diferencia simétrica corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6, 7, 10} y B = {7, 8,

9, 10} entonces A B = {1, 3, 5, 6, 8, 9}, dado que son los elementos no comunes que están en A y

en B.

Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.

En la figura de la izquierda la diferencia simétrica corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y B =

A B

U A

B

U A B 1, 3

5, 6 7 8, 10, 9

9

B

U A B

1, 3, 5,

6

7, 8, 9,

10

U A B

1, 3,

5, 6

7 8, 10, 9

9

A B U

U A

B

U A B 1, 3

5, 6 7 8, 10, 9

9

B

U

{7, 8, 9, 10} entonces A B = {1, 3, 5, 6} = A - B, dado que son los elementos no comunes en A y en B.

Complemento: Si A es un conjunto no vacío, el complemento de A simbolizado por A’ está formado por todos los

elementos que no pertenecen al conjunto, es decir A’ = {x/ x A}

Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningún elemento en común.

En la figura de la izquierda el complemento corresponde a la parte no sombreada. Si U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 3, 5, 6} y B = {7, 8, 9, 10} entonces A’= {2, 4, 7, 8, 9, 10}, dado que corresponde a los elementos que no

están en el conjunto A.

Caso 2. Que los conjuntos tengan solo unos elementos en común.

En la figura de la izquierda el complemento corresponde a la parte no sombreada. Si U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 3, 5, 6, 7, 10} y B = {7, 8, 9, 10} entonces A’= {2, 4, 8, 9}, dado que corresponde a los elementos que no

están en el conjunto A.

Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.

En la figura de la izquierda el complemento corresponde a la parte no sombreada que está entre a y el conjunto universal. Si

U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 3, 5, 6, 7, 10} y B = {7, 8, 9, 10} entonces A’= {2, 4}, dado que

corresponde a los elementos que no están en el conjunto A, pero están en el conjunto universal.

A B

A B U

U A

B

U A B 2

4

1, 3

5, 6 7 8, 10, 9

9

B

U

U A B

2, 4

1, 3, 5,

6

7, 8, 9,

10

U A B

2, 4

1, 3,

5, 6

7 8, 10, 9

9

Producto Cartesiano

Par ordenado o pareja ordenada: La expresión (x, y) representa una pareja ordenada , que cumple la

condición de que su primera componente, x pertenece al conjunto A y la segunda componente y pertenece al

conjunto B.

Plano cartesiano: es una representación gráfica, donde dadas dos rectas perpendiculares entre si llamadas ejes, se

ubican las parejas ordenadas. Los pares ordenados (x, y), (-x, y), (x,-y), (-x,-y) se representan en el plano cartesiano como

sigue:

Producto Cartesiano: Si A y B son dos conjuntos no vacíos, se define el producto cartesiano entre A y B así:

A X B = {(x, y) / x ϵ A y, y ϵ B}.

Ejemplo: Si A = {1, 2,3} y B = {-1, 0, 2}

El producto cartesiano de A X B es: A X B = {(1,-1), (1,0), (1,2), (2,-1), (2,0), (2,2), (3,-1), (3,0), (3,2)}

y el producto de BXA es: B X A = {(-1,1), (-1,2), (-1,3), (0,1), (0,2), (0,3), (2,1), (2,2), (2,3)}

De donde se observa que el producto cruz no es conmutativo, es decir: A x B ≠ B x A

Algebra de conjuntos

Propiedades de las operaciones entre conjuntos

Las siguientes cuatro propiedades, son validas para las operaciones de unión e intersección:

a. Leyes de idempotencia: A U A = A

A ∩ A = A

b. Leyes asociativas: (A U B) U C = A U (B U C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

c. Leyes conmutativas: A U B = B U A

A ∩ B = B ∩ A

d. Leyes distributivas: A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

Las siguientes propiedades están relacionadas con los conjuntos Universal U y vacío :

e. Leyes de identidad: A U U = U A ∩ U = A

A U = A A ∩ =

Propiedades con respecto al complemento.

f. Leyes del complemento: A U A' = U A ∩ A' =

(A' )' = A ' = U

(-x, y) Y (x, y)

X

(-x,-y) (x,-y)

g. Leyes de De Morgan: (A U B)' = A' ∩ B'

(A ∩ B)' = A' U B'

Cardinal de un conjunto. Es el número de elementos que tiene el conjunto.

Ejemplos:

a. Si el conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g}, el cardinal de A es 6

b. Si el conjunto B = {a, e, i, o, u}, el cardinal de B es 5

c. Si el conjunto C = {u, v, w} el cardinal de C es 3.

d. Para los conjuntos A y B, el cardinal de A B es 9; y el cardinal de A B es 2.

e. Para los conjuntos A y C, el cardinal de A C es 9, mientras que el cardinal de A C es 0.

El cardinal de la unión y de la intersección de conjuntos se relaciona de acuerdo con la siguiente propiedad.

card (A B) = card (A) + card (B) − card (A B)

Esta propiedad se comprueba fácilmente con el siguiente ejemplo

Sea M un conjunto con 45 elementos, y sea N otro conjunto con 25 elementos. Si M Ç N contiene 15 elementos, ¿cuántos

contendrá M È N?

Los 15 elementos de la intersección pertenecen a M y a N, a la vez. Para determinar cuántos hay en la unión, esos 15

elementos sólo deben contarse una vez. Por tanto, en M È N habrá 30 + 15 + 10 = 55.

Y se cumple que card (A È B) = 45 + 25 - 15 = 55

Análisis de problemas:

Supongamos que en una determinada ciudad hay tres periódicos, que llamaremos A, B y C. Se ha preguntado a un grupo

de personas sobre su lectura o no de esos periódicos, obteniéndose las respuestas siguientes:

Lectores de A, 32. Lectores de B, 45. Lectores de C, 23. Lectores de A y B, 14. Lectores de A y C, 9. Lectores de B y C, 12.

Lectores de los tres periódicos, 5. Número de personas que no leen ninguno de esos tres periódicos, 54.

¿Podríamos saber cuántas personas había en el grupo?

U

A B

14 9 24

5

4 7 7 54 C

U M N

30 15 10

El uso de los diagramas de Venn facilita notablemente la respuesta. Para ello dibujamos los conjuntos A, B y C,

superponiéndose en parte. Las partes comunes indican los lectores que leen ambos periódicos; además, se tendrá en

cuenta que los lectores que leen varios periódicos, leen cada uno de ellos. Esto es, las 5 personas que leen A, B y C (A B

C), leen A y B (A B), leen A y C (A C) y leen B y C (B C); y, por supuesto, cada uno de esos 5 leen A, leen B y leen

C. En definitiva, el número de lectores de periódicos es, 14 + 9 + 24 + 4 + 5 + 7 + 7 = 70. El número total de personas

en ese grupo es 70 + 54 = 124.

LÓGICA BÁSICA

Objetivo general

Conocer a groso modo los elementos básicos de la teoría de la lógica proposicional.

Objetivos específicos

1. Conocer la historia de la lógica y su clasificación.

2. Establecer la relación entre lógica y lingüística.

3. Aprender los conectivos lógicos: disyunción, conjunción, negación, implicación y equivalencia.

4. Identificar la tabla de verdad de enunciados o expresiones lógicas.

En el modulo de LÓGICA MATEMÁTICA, reescrito en su segunda edición para la UNAD, por GEORFFREY ACEVEDO

GONZÁLEZ (2007: 37-40), hace una exposición sencilla y clara de algunos conceptos introductorios los cuales se presentan

a continuación:

Historia y clasificación

Etimológicamente la lógica es la ciencia del logos. Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en un

principio se definió la lógica como la rama de la gramática que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje. Como la

palabra es la expresión, o manifestación del pensamiento y el pensamiento racional es la base de la filosofía, puede

decirse en general, que la lógica es la ciencia del pensamiento racional; es de aclarar que la lógica no se ocupa del

contenido de los

Pensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos. En respuesta a la necesidad de construir argumentos,

para defender o refutar pensamientos de los demás, Aristóteles, considerado por los griegos el padre de la lógica.,

creo métodos sistemáticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual desarrolló la lógica proposicional

estableciendo procedimientos para determinar la verdad o falsedad de proposiciones compuestas.

El gran matemático Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la lógica clásica, planteando que la

dependencia lógica entre proposiciones es demostrada, reduciendo argumentos complejos en simples, para lo cual

propuso representar el conocimiento, en una forma que pudiera ser usado por un razonamiento mecánico y a éste

esquema (lógica simbólica) lo llamó una característica universal. El proceso de la lógica continuó en el siglo XIX. En

1847 el matemático inglés George Boole en compañía de Augustus de Morgan hizo notar el parentesco entre las

operaciones lógicas con las matemáticas, pues a partir de los operadores aritméticos de adición, multiplicación y

sustracción crearon los operadores lógicos equivalentes de unión, intersección y negación; además formularon los

principios del razonamiento simbólico y el

análisis lógico. A Boole se le atribuye la invención de las tablas de verdad para comprobar la veracidad de

proposiciones compuestas. Este trabajo fue retomado por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obra.

Principio Matemático., quienes codificaron la lógica simbólica en su presente forma definiéndola como la .Ciencia de

todas las operaciones conceptuales posibles., por esta razón la fundación de la lógica formal moderna se le atribuye a

ellos.

Clasificación de la lógica

La lógica se puede clasificar como:

1. Lógica tradicional o no formal.

2. Lógica simbólica o formal.

En la lógica tradicional se consideran los procesos psicobiológicos del pensamiento lógico, y los métodos de inferencia

que están relacionados con la destreza para interpretar y distinguir el razonamiento correcto del incorrecto; se puede

considerar que la lógica no formal resume las experiencias humanas obtenidas del conocimiento y de la observación

del mundo circundante. La lógica como ciencia constituye la lógica formal o simbólica, la cual se encarga de

investigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales que siguen la validez de la inferencia; es considerada

como uno de los sistemas mediante el cual se llega a formas puras y rigurosas. En el pensamiento simbólico, las

palabras se manipulan, según las reglas establecidas, como si fueran simples signos sin preocuparse por su sentido.

Conceptualización

La lógica ofrece métodos que enseñan cómo formar proposiciones, evaluar sus valores de verdad y determinar si unas

conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de proposiciones supuestas; además, la lógica es una ciencia

que se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones, con el fin de obtener precisión, claridad y

generalidad en los razonamientos. La precisión la logra mediante el uso de símbolos, los cuales tienen como función

primordial eliminar las ambigüedades que la estructura del lenguaje ordinario no puede evitar con facilidad. La

claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el usuario se familiariza con los elementos básicos de un

argumento lógico, tanto en su representación simbólica como en su significado para luego establecer un lenguaje

simbólico artificial, que le permita simplificar argumentos lógicos complicados; de esta manera, el símbolo permite

concentración sobre lo esencial de un contexto dado, incrementando la fiabilidad con que se aplica el conocimiento.

Lógica y lingüística

Por su origen y desarrollo natural, han sido reconocidos dos tipos básicos de lenguajes: los lenguajes naturales y los

lenguajes formales o artificiales. Los lenguajes naturales no se establecieron a través de ninguna teoría, entre ellos

están el castellano, el francés y el inglés. Las teorías y gramáticas de lenguajes naturales, fueron establecidas a

posteriori, es decir después de que el lenguaje ya había madurado. Los lenguajes formales como las matemáticas y la

lógica, fueron desarrollados, generalmente, a partir del establecimiento de una teoría, la cual da las bases para que a

través de dichos lenguajes se pueda desarrollar la misma teoría. Los lenguajes naturales y formales tienen puntos en

común, en principio, se tiene la existencia de un conjunto finito llamado alfabeto, el cual está constituido de símbolos

simples llamados comúnmente letras. En los lenguajes naturales se tienen como ejemplos los alfabetos: latino, griego

y árabe-persa, entre otros. En los formales como la lógica se tiene el léxico del cálculo proposicional y de predicados.

Mediante la concatenación de las letras del alfabeto se forman los monemas, fonemas o palabras que se encuentran

en el interior de un enunciado, de tal forma que un lenguaje se considera como un conjunto infinito de oraciones o

enunciados que se forman con palabras del diccionario.

En los sistemas formales los enunciados del lenguaje consisten en una lista de símbolos, (lógicos o matemáticos)

sujetos a diversas interpretaciones. En un lenguaje formal, las palabras y las oraciones están perfectamente definidas,

una palabra mantiene el mismo significado prescindiendo del contexto o de su uso. Los lenguajes formales son, por

esto, necesariamente exentos de cualquier componente semántico fuera de sus operadores y relaciones, y es gracias

a esta ausencia de significado especial, que los lenguajes formales pueden ser usados para modelar una teoría de la

ingeniería de sistemas, mecánica, eléctrica, entre otras.

Simbolización: proposiciones

La lógica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin toma como elemento básico de

análisis a la proposición, que no es otra cosa que una oración del lenguaje cotidiano con un significado mucho más

limitado, en tales condiciones, se puede considerar una proposición como una excepción lingüística que tiene la

propiedad de ser verdadera o falsa, y para simplificar la escritura de argumentos lógicos complicados; crea un

lenguaje simbólico artificial, en donde establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y que no presentan las

ambigüedades ni vaguedades del lenguaje corriente. Es importante tener en cuenta que las proposiciones representan

oraciones declarativas, las cuales contienen un sujeto perfectamente definido o dado por el contexto, un predicado y

una conjugación del verbo ser. Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas

del alfabeto tales como p, q, r, s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales, de

esta forma, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje natural.

Proposiciones simples:

Se denominan proposiciones simples aquellas oraciones que no utilizan conectivos lógicos:

p: El eclipse es un fenómeno natural.

q: La luna es un satélite de la tierra.

r: 2 es el inverso multiplicativo de .2.

s: -3 es el inverso aditivo de 3.

El valor de verdad de una proposición simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no los dos valores al mismo

tiempo, pues dejaría de ser proposición.

Conectivos Lógicos: Los conectivos lógicos son llamados; conjunción, disyunción, negación, condicional y

bicondicional, los cuales al igual que a las proposiciones se les asignan un lenguaje simbólico, así:

NOMBRE LENGUAJE

NATURAL

LENGUAJE

FORMAL

CONJUNCIÓN Y

DISYUNCIÓN O

NEGACIÓN NO

CONDICIONAL ENTONCES →

BICONDICIONAL SI Y SOLO SI

De estos se hace uso para la creación de proposiciones compuestas.

Proposiciones Compuestas : Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen combinando dos o más

proposiciones simples mediante términos de enlace:

p: Está lloviendo.

q: El sol brilla.

p q: Está lloviendo y el sol brilla.

x : Quieres café?.

y : Quieres té?.

x y : quieres café o té?.

s : Llueve.

r : Hace frío.

s → r : Si llueve entonces hace frío.

p: Un triángulo es equilátero.

q: Un triángulo tiene sus tres lados iguales.

p q: Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus tres lados iguales.

La veracidad o falsedad de una proposición compuesta, depende del valor de verdad de cada una de las proposiciones

simples que la conforman y de la forma como estén combinadas; para establecer este valor, se fijan criterios que se

estudiarán en las próximas secciones de este capítulo.

Construcción de tablas de verdad

Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta es necesario elaborar la correspondiente tabla de

verdad, teniendo en cuenta que:

Teorema: si se tienen n proposiciones entonces se dan 2n valores de verdad.

Ejemplos:

Dada la proposición p: hoy es

domingo, existen dos opciones,

que sea verdadero o que sea falso.

Dadas las proposiciones:

P: hoy es domingo

q: hoy hace frio

se dan las siguientes 4

posibilidades

Dadas las proposiciones:

P: hoy es domingo

q: hoy hace frio

r: hoy voy a cine

se dan las siguientes 8

posibilidades

p 21 = 2

valores de

verdad

v

f

p q

22 = 4 valores de

verdad

v v

v f

f v

f f

p q r

23 = 8 valores

de verdad

v v v

v v f

v f v

v f f

f v v

f v f

f f v

f f f

OPERACIONES BÁSICAS ENTRE PROPOSICIONES:

Negación: Es una operación unaria en la cual, si se tiene una proposición y esta es verdadera, se puede negar lo cual hace

que quede falsa y si la proposición inicial es falsa al negarla se vuelve verdadera.

Ejemplo:

PROPOSICIÓN VALOR NEGACIÓN DE LA PROPOSICIÓN VALOR

p: El eclipse es un fenómeno natural v p: el eclipse no es un fenómeno natural f

q: La luna es un satélite de la tierra v q: la luna no es un satélite de la tierra f

r: 2 es el inverso multiplicativo de -2 f r: 2 no es el inverso multiplicativo de -2 v

s: -3 es el inverso aditivo de 1/3 f s: -3 no es el inverso aditivo de 1/3 v

t: 2>3 f t: 2<3 v

u: 3 + 5 = 8 v u: 3 + 5 ≠ 8 f

Conjunción: Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p q se denomina la conjunción de p y q.

bajo esta operación se considera que pq es verdadera si p es verdadera y q es verdadera:

La proposición compuesta r s: 3 es número impar y primo positivo, está formada por:

p: 3 es un número impar. : y s : 3 es primo positivo.

Analizando esta proposición compuesta tenemos:

p: 3 es un número impar. (V) q: 3 es primo positivo. (V) r s: Verdadera (V)

p: 3 es un número impar. (V) q: 3 no es primo positivo. (F) r s: Falsa (F)

p: 3 no es un número impar. (F) q: 3 es primo positivo. (V) r s: Falsa (F)

p : 3 no es un número impar. (F) q: 3 no es primo positivo. (F) r s: Falsa (F)

Disyunción: Sean p y q dos proposiciones simples, la proposición p o q simbolizada p q se llama disyunción. El operador

: o se puede usar de dos formas: como o incluyente () ó como o excluyente (). En el primer caso (o incluyente) hace

que el valor de verdad de una de las dos proposiciones simples repercuta en el valor verdadero de la proposición

disyuntiva; mientras que en la segunda forma (o excluyente) el valor de verdad de una proposición excluye la veracidad de

la otra proposición, esto hace que la proposición disyuntiva tome el valor verdadero.

Uso del incluyente:

r s: Juan estudia ingeniería o Paola estudia medicina.

p p

v f

f v

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F F

r : Juan estudia ingeniería. : o s: Paola estudia medicina.

Bajo esta operación se considera que pq es falsa únicamente si p es falsa y q es falsa:

La proposición compuesta r s: Carlos come helado o va a cine, está formada por:

r: Carlos come helado : o s : Carlos va a cine

Analizando esta proposición compuesta tenemos:

r: Carlos come helado (V) s: Carlos va a cine (V) r s: Verdadera (V)

r: Carlos come helado (V) s: Carlos no va a cine (F) r s: Verdadera (V)

r: Carlos no come helado (F) s: Carlos va a cine (V) r s: Verdadera (V)

r: Carlos no come helado (F) s: Carlos no va a cine (F) r s: Falsa (F)

Uso del ⊻ excluyente:

p q: Quieres helado o gaseosa.

p: Quieres helado. : o q: Quieres gaseosa.

Bajo esta operación se considera que pq es verdadera únicamente si p y q toman valores de verdad diferentes:

La proposición compuesta r s: quiere pizza o hamburguesa, está formada por:

p: quiere pizza : o q: quiere hamburguesa

Analizando esta proposición compuesta tenemos:

p: quiere helado (V) q: quiere gaseosa (V) r s: Verdadera (F)

p: quiere helado (V) q: quiere gaseosa (F) r s: Verdadera (V)

p: quiere helado (F) q: quiere gaseosa (V) r s: Verdadera (V)

p: quiere helado (F) q: quiere gaseosa (F) r s: Verdadera (F)

Condicional: Se dice que una proposición compuesta es condicional si está formada por dos proposiciones simples

enlazadas por la expresión si entonces, si p y q representan dos proposiciones la expresión si p entonces q se simboliza así:

p → q se lee p implica q. La proposición precedida por la expresión si, se llama antecedente o hipótesis y la proposición

precedida por la expresión entonces, se llama consecuente o conclusión de la implicación. En la expresión p → q el

antecedente es p y el consecuente es q.

r s rs

V V V

V F V

F V V

F F F

p q pq

V V F

V F V

F V V

F F F

Las proposiciones condicionales se pueden enunciar de diferentes maneras así:

Si p entonces q, p sólo si q, q si p, p es suficiente para q, q es necesaria para p.

Ejemplos:

Si un entero es múltiplo de 5 entonces es divisible por 5.

No me echan sólo si trabajo.

El algoritmo está bien enunciado si el programa corre.

Si dos rectas nunca se cortan necesariamente son paralelas.

Cuando una proposición condicional se escribe en una de las anteriores formas probablemente en el lenguaje común habrá

alguna que no se interprete como se desea, pero como la lógica no permite ambigüedades éstas se deben escribir según la

definición dada en la sección.

Existen varias formas de enunciar proposiciones condicionales así:

Implicación directa: p → q

Implicación contraria: q → p

Implicación recíproca: ~ p → ~ q

Implicación contra-recíproca: ~ q → ~ p

Implicación directa: p → q

Bajo esta operación se considera que p → q es verdadera si p es verdadera y q es verdadera:

Dadas las proposiciones p → q: si un número entero es de la forma 2m entonces es divisible entre 2

P: un número entero es de la forma 2m. →: entonces es q: un número es divisible por 2

Analizando esta proposición compuesta tenemos:

p: si un número entero es de la forma 2m (V) q: un número es divisible por 2 (V) r s: (V)

p: si un número entero es de la forma 2m (V) q: un número es divisible por 2 (F) r s: (F)

p: si un número entero es de la forma 2m (F) q: un número es divisible por 2 (V) r s: (V)

p: si un número entero es de la forma 2m (F) q: un número es divisible por 2 (F) r s: (V)

La proposición directa es: p → q: si un número entero es de la forma 2m entonces es divisible entre 2,

La proposición contraria es: q → p: Si m es un número divisible entre 2 entonces el número es de la forma 2m,

La proposición recíproca es: ~ p → ~ q: si un número entero no es de la forma 2m entonces no es divisible entre 2,

La proposición contra-recíproca es: ~ q →~ p : Si m es un número no es divisible entre 2 entonces el número no es de la

forma 2m.

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

La tabla correspondiente para los diferentes casos de la condicional es:

Bicondicional: Se denomina a la proposición formada por dos proposiciones simples conectadas por la expresión sí y sólo sí

(). El bicondicional está formado por las implicaciones p q y q p, las cuales deben tener el mismo valor de verdad

para formar una equivalencia entre p y q; en consecuencia, se dice que la proposición p es equivalente a la proposición q.

La proposición bicondicional tiene varias formas de traducción más no de significación, éstas son: p sí y sólo si q, q sí y sólo

si p, Si p entonces q y recíprocamente, Si q entonces q y recíprocamente, p es una condición necesaria y suficiente para q,

q es una condición necesaria y suficiente para p.

Bajo esta operación se considera que p q es verdadera si p es verdadera y q es verdadera:

Dadas las proposiciones p → q: p: Un triángulo es rectángulo si y solo si tiene un ángulo recto.

p: Un triángulo es rectángulo. : si y solo si q: Un triángulo tiene un ángulo recto.

Analizando esta proposición compuesta tenemos:

p: Un triángulo es rectángulo (V) q: Un triángulo tiene un ángulo recto (V) r s: (V)

p: Un triángulo es rectángulo (V) q: Un triángulo tiene un ángulo recto (F) r s: (F)

p: Un triángulo es rectángulo (F) q: Un triángulo tiene un ángulo recto (V) r s: (F)

p: Un triángulo es rectángulo (F) q: Un triángulo tiene un ángulo recto (F) r s: (V)

El bicondicional p q se puede traducir de las siguientes formas:

Un triángulo es rectángulo sí y sólo sí tiene un ángulo recto.

Un triángulo tiene un ángulo recto sí y sólo sí es un triángulo rectángulo

Si un triángulo es rectángulo entonces tiene un ángulo recto y si un triángulo tiene un ángulo recto entonces es un

triángulo rectángulo.

Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea rectángulo es que tenga un ángulo recto.

Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo tenga un ángulo recto es que sea un triángulo rectángulo.

Un triángulo rectángulo es equivalente a un triángulo con un ángulo recto.

TAUTOLOGÍA

p q p → q q → p p → q q → p

V V V V V V

V F F V V F

F V V F F V

F F V V V V

p q p

q

V V V

V F F

F V F

F F V

Es una expresión lógica que es verdadera para todos los posibles valores de verdad de sus componentes. Se entiende por tautología aquella proposición cuya tabla de verdad da siempre el valor de verdad V en todos los casos posibles de los

valores de verdad (V, F) de cada una de las proposiciones que la integran.

Equivalencia lógica (≡): Dos fórmulas lógicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los

posibles valores de verdad de sus componentes.

Ejemplo: Las dos fórmulas siguientes son equivalentes: (p → ¬q) (¬p r) y ¬p ¬q r

p q r ¬q ¬p p → ¬q ¬p ∨ r (p → ¬q) ∨ (¬p r) ¬ p ¬q ¬p ¬q ∨ r

V V V F F F V V F V

V V F F F F F F F F

V F V V F V V V V V

V F F V F V F V V V

F V V F V V V V V V

F V F F V V V V V V

F F V V V V V V V V

F F F V V V V V V V

Se puede observar que la última y la antepenúltima columnas son iguales.

Las equivalencias se relacionan con las tautologías de la siguiente forma.

Teorema: Si dos fórmulas lógicas son equivalentes entonces la fórmula que se obtiene al operarlas con la bicondicional es

una tautología. Si F ≡ G entonces F ⇔ G

Las siguientes son tautologías.

p ¬p Ley del medio excluido

¬ (p ¬p) Ley de no contradicción

((p → q)p) → q Modus ponendo ponens

((p → q) ¬ q) → ¬ p Modus tollendo tollens

((p q) ∧ ¬ p) → q Silogismo Disyuntivo

((p → q) (q → r)) → (p → r) Silogismo Hipotético

La comprobación de cualquiera de las tautologías anteriores es directa, es suficiente hacer la tabla de verdad y se obtendrá

la columna correspondiente a la fórmula con valores verdaderos únicamente.

Las siguientes son equivalencias lógicas.

¬(¬p) ≡ p Doble Negación

¬(p q) ≡ ¬p ¬q Ley 1 de De Morgan

¬(p q) ≡ ¬p ¬q Ley 2 de De Morgan

(p → q) ≡ (¬ p q) Condicional como cláusula

((p → q) ≡ (¬ q → ¬ p) Contra-positiva

¬(p → q) ≡ p ¬q Negación de la Implicación

CONTRADICCIÓN: una proposición compuesta que es falsa en todos los casos independientemente de los valores de

verdad de las proposiciones que la conforman se llaman contradicciones.

p q q p q (p q) q

V V F F F

V F V V F

F V F F F

F F V F F

FALACIA: Es un razonamiento incorrecto que aparenta ser correcto. El que un razonamiento que sea falaz no implica que

su conclusión sea falsa. Lo que lo hace falaz es la incorrección del razonamiento en sí. Todo razonamiento falaz es inválido,

es decir que sus premisas no garantizan la verdad de su conclusión, pero en ocasiones pueden ser muy sutiles y

persuasivas, y puede hacer falta mucha atención para detectarlas.

Para crear un razonamiento válido se parte de una serie de premisas para, mediante mecanismos válidos, llegar a una conclusión. Un ejemplo de falacia es este:

Premisa 1: Los perros son bonitos.

Premisa 2: lukas es bonito.

Conclusión: lukas es un perro.

El siguiente ejemplo es el mismo que el anterior, pero al cambiarle un simple elemento deja de ser tan persuasivo.

Premisa 1: Los perros son bonitos.

Premisa 2: El Everest es bonito.

Conclusión: El Everest es un perro.

La conclusión puede llegar a ser verdadera de manera casual. En este caso podría coincidir que hubiese un perro al que

llamasen El Everest. El razonamiento seguiría siendo una falacia, ya que esto no depende de la conclusión, sino del

razonamiento en sí mismo.

Bibliografia

Ivorra, Carlos, (2011).Lógica y teoría de conjuntos.

Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill.

Cibergrafia

http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/principal.html