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Contenido

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HIDRÁULICA DEL RIEGO POR GRAVEDAD 4

1.1 L AS ECUACIONES DE B ARRÉ DE S AINT-VENANT 5 1.1.1 La ecuación de continuidad 6 1.1.2 La ecuación de cantidad de movimiento 7 1.1.3 El problema de cerradura 11

1.2 MODELOS SIMPLIFICADOS 14 1.2.1 Modelo de la onda cinemática 14 1.2.2 Modelo de la onda difusiva o de inercia nula 15 1.2.3 Modelo de la onda inercial 16 1.2.4 Modelo hidrológico 17

1.3 L A ECUACIÓN GENERAL DE FLUJO SUBTERRÁNEO 18

1.3.1 Propiedades generales de los medios porosos 18 1.3.2 La ley de Darcy 21 1.3.3 La ecuación de continuidad 23 1.3.4 La ecuación general de transferencia 25 1.3.5 La ecuación de Richards 26 1.3.6 La ecuación Fokker-Planck 27 1.3.7 La ecuación de Kirchhoff 27

1.4 L A LEY POTENCIAL DE RESISTENCIA HIDRÁULICA 27 1.4.1 La infiltración en el origen del tiempo 29 1.4.2 La fase de avance en el origen del espacio y el tiempo 33 1.4.3 Leyes potenciales de resistencia hidráulica 37

1.4.4 Análisis de las leyes de resistencia hidráulica 39 1.5 SOBRE LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE B ARRÉ DE S AINT-VENANT Y RICHARDS 41 1.5.1 La hipótesis del tiempo de contacto 42 1.5.2 La transformada de Laplace en el avance-infiltración 47 1.5.3 Los tiempos cortos 48 1.5.4 Los tiempos largos 50

1.6 SOLUCIONES APROXIMADAS 53 1.6.1 La solución de Philip y Farrel 53 1.6.2 Una solución global truncada en el tiempo 54 1.6.3 Una solución global completa en el tiempo 55

1.7 CONCLUSIONES 56

1.8 REFERENCIAS 57


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1 Hidráulica del riego por gravedad

El riego por gravedad consiste en el aporte de agua en la cabecera de un canal o cauceinclinado construido en la parcela, como una melga o un surco, con la finalidad de

aprovechar el campo gravitacional para proporcionar la cantidad necesaria de aguapara el desarrollo óptimo de las plantas cultivadas.

En la modelación del riego el movimiento del agua se separa en un movimientosuperficial, que ocurre sobre la superficie porosa del cauce, y un movimientosubsuperficial o subterráneo, que ocurre en el suelo por debajo de la superficie porosa,también llamado infiltración del agua en el suelo.

En el riego por gravedad continuo se distinguen tres fases en el movimiento superficialdel agua. La primera comienza cuando se aporta el caudal de agua en el cauce secohasta que la onda de agua alcanza la parte final del mismo, se le conoce como fase de

avance. La segunda comienza desde el arribo de la onda al final del cauce hasta que sesuspende el aporte de agua, se le conoce como fase de almacenamiento. Finalmente,la tercera fase conocida como recesión está compuesta por dos subfases, una es larecesión vertical que comienza a partir de la suspensión del aporte hasta que el tiranteen la cabecera del cauce desaparece y la otra es la recesión horizontal que comienza apartir de la desaparición del tirante en la cabecera y termina cuando el tirante en laparte final del cauce desaparece.

En el riego por gravedad intermitente el aporte del caudal de riego se lleva a cabo porimpulsos, de modo que las fases presentes en el riego continuo se pueden presentar almismo tiempo a lo largo del cauce de riego. Esta modalidad se utiliza para aumentar

aún más la eficiencia de riego que se alcanza con un buen diseño del riego continuo.De acuerdo con los principios utilizados en la modelación, se pueden agrupar lostrabajos reportados en la literatura en el contexto de cuatro enfoques (Fuentes et al .,2004):

1) La modelación de los movimientos superficial y subterráneo se aborda de unamanera totalmente empírica (e.g. Fok y Bishop, 1965; Willardson y Bishop, 1967);

2) El movimiento superficial se modela con las ecuaciones de Barré de Saint-Venant(1871) y sus simplificaciones, y el movimiento subterráneo con ecuaciones empíricas

como las de Kostiakov (1932) y Mezencev (1948) (e.g. Hart et al ., 1968; Chen, 1970;Kincaid et al., 1972; Smith, 1972; Sakkas y Strelkoff, 1974; Cunge y Woolhiser, 1975;Basset y Fitzsimmons, 1976; Katopodes y Strelkoff, 1977; Strelkoff y Katopodes, 1977;Singh y Ram, 1983; Singh y Hel, 1988; Bautista y Wallender, 1992);

3) El movimiento superficial se modela con las ecuaciones simplificadas de Barré deSaint-Venant (onda cinemática, onda difusiva o inercia nula y modelo hidrológico) y enla modelación del movimiento subterráneo existe la posibilidad de utilizar ecuaciones


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racionales (e.g . Lewis y Milne, 1938; Philip y Farrel, 1964; Rendón et al ., 1998; Ángeleset al ., 1998; González et al., 2006);

4) El movimiento superficial se modela con las ecuaciones de Barré de Saint-Venant yel movimiento subterráneo con la ecuación de Richards (1931). En el trabajo para

modelar el riego por melgas desarrollado por Smit et al. (1985) se resuelven con elmétodo de las características las ecuaciones completas de Barré de Saint-Venant y seutiliza para el movimiento subterráneo la solución analítica de la infiltración obtenida porParlange et al. (1985) a partir de la ecuación de Richards para el caso de una columnasemi-infinita de suelo sujeta a una presión constante sobre la superficie del suelo(tirante de agua constante); puesto que el tirante de agua es en realidad una función deltiempo la solución es aproximada, es decir las ecuaciones están parcialmenteacopladas. Vázquez y López (2000) utilizan la ecuación de infiltración de Green y Ampt(1911), que es un caso especial de la ecuación de Richards bidimensional. Saucedo(2003) y Saucedo et al. (2003, 2005, 2011) acoplan las ecuaciones de Barré de Saint-Venant y de Richards en el riego por melgas, las primeras se resuelven con un métodolagrangiano y la segunda con el método del elemento finito.

Es de señalar que la solución de la ecuación bidimensional de Richards de Saucedo ycolaboradores es aplicable para un corte longitudinal de una melga. La solución esacoplada con las ecuaciones de Barré de Saint-Venant y luego se valida la hipótesis deltiempo de contacto, que consiste en asumir que la infiltración es solamente una funcióndel tiempo que tiene contacto el agua en un punto dado de la melga, la cual permiteutilizar la ecuación de Richards en su forma unidimensional. En esta línea derazonamiento, la modelación completa del riego por surcos utiliza la solución de laecuación tridimensional de Richards y con la hipótesis del tiempo de contacto lasolución de la ecuación se reduce a su forma bidimensional en un corte transversal delsurco. La solución de esta última puede ser realizada con el método del elemento finitoo con una adaptación de la solución presentada por López et al. (1997) en diferenciasfinitas.

1.1 Las ecuaciones de Barré de Saint-Venant

Las ecuaciones de la hidráulica son establecidas por Barré de Saint-Venant en 1871. Lahipótesis fundamental utilizada es conocida como de agua poco profunda, o hipótesishidráulica, de modo que las características del movimiento están promediadas en lavertical y la distribución de presiones en la vertical utiliza la aproximación hidrostática.Esto origina que la superficie del agua es gradualmente variada, sin cambios bruscosen su pendiente, y que las ecuaciones diferenciales parciales sean a lo sumobidimensionales.

En el riego por gravedad la modelación del movimiento superficial del agua se lleva acabo con las ecuaciones de Barré de Saint-Venant en su forma unidimensional. Enmelgas muy anchas donde la pendiente transversal de la misma no sea nula esnecesario utilizar las ecuaciones bidimensionales.


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6

Las ecuaciones de Barré de Saint-Venant están conformadas por la ecuación decontinuidad y la ecuación de cantidad de movimiento. La primera resulta del principio deconservación de la masa mientras que la segunda del principio de conservación de lacantidad de movimiento.

1.1.1 La ecuación de continuidadEl principio de conservación de la masa establece que, en un volumen de control dado,la cantidad de materia que entra menos la que sale en una unidad de tiempo a travésde sus fronteras es igual a la variación de la cantidad de la misma en el interior delvolumen o cambio de almacenamiento.

Para deducir la ecuación de continuidad que resulta del principio de conservación de lamasa se considera la variación del flujo de masa en la unidad de tiempo comprendidaentre las secciones de abscisas 12x x− Δ , y

12x x+ Δ del volumen de control mostrado en

la Figura 1.1. La cantidad de masa que entra y que sale en la unidad de tiempo es

aproximada mediante series de Taylor de segundo orden, hacia adelante y hacia atrásrespectivamente, evaluadas a partir del punto ubicado en el centro del volumen decontrol.

x - x 2

_1

x + x 2

_1

x

x

x - x 2

_1

x + x 2

_1

W ( x ,t ) x e

W ( x ,t ) x s

Superficie del agua al instante t

Superficie del agua al instante t + t

Figura 1.1. Conservación de la masa en un volumen de control.

Se define el caudal másico (ℵ) como el producto de la densidad del fluido por el caudalvolumétrico:

wQℵ = ρ (1.1)

Se debe notar que el caudal másico es una magnitud vectorial a diferencia de la masaque es una magnitud escalar. La aplicación del principio de conservación de la masa esrealizada en la dirección x , que representa la dirección principal del agua en un canalabierto.


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7

La cantidad de materia que entra menos la que sale en la unidad de tiempo en ladirección x es:

( ) ( )

( )

1 12 2

2 2x xx x x x

x x

2

x

x xO x O x

x 2 x 2

x O xx

− Δ + Δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ℵ Δ ∂ℵ Δℵ −ℵ = ℵ − + Δ − ℵ + + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂ℵ= − Δ + Δ∂

(1.2)

Cuando hay fuentes y sumideros en el volumen de control, se denota por W el volumende entrada ( eW ) menos el de salida de agua ( sW ) por unidad de longitud del volumen

de control en la unidad de tiempo. La ecuación (1.2) se modifica como:

( )2wx W x O xx∂ℵ

− Δ + ρ Δ + Δ∂

(1.3)

en la cual se ha prescindido de la notación que indica que las derivadas estánevaluadas en el punto x.

Si A denota el área hidráulica en el punto x , el cambio de almacenamiento de materiaen el volumen de control proporcionado por ( )w x A t x⎡ ⎤∂ ρ ∂ Δ⎣ ⎦ es igual a la expresión de

la ecuación (1.68). El término xΔ se cancela y considerado a xΔ arbitrariamentepequeño se obtiene:

( ) ( )w ww

Q AW

x t

∂ ρ ∂ ρ− + ρ =

∂ ∂ (1.4)

1.1.2 La ecuación de cantidad de movimiento

El principio de conservación de la cantidad de movimiento es también conocido comoprincipio de la conservación de la impulsión y representa la segunda ley de Newton. Lacantidad de movimiento es definida como el producto de la masa por la velocidadmientras que el flujo de momento es definido como la cantidad de movimiento que pasaa través de una superficie perpendicular a la dirección del movimiento en la unidad detiempo. El flujo de momento es el producto del caudal másico por la velocidad:

wU QUℑ = ℵ = ρ (1.5)

El principio establece que la cantidad de movimiento que entra menos la que sale en launidad de tiempo, o flujo de momento, a través de las fronteras de un volumen decontrol más la suma de las fuerzas que actúan sobre el mismo es igual a la razón deacumulación de cantidad de movimiento en dicho volumen de control.


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La cantidad de movimiento es una magnitud vectorial a diferencia de la masa que es unescalar. La aplicación del principio de conservación de la cantidad de movimiento en elcaso del movimiento del agua en un canal se lleva a cabo en la dirección x , la direcciónprincipal del movimiento, Figura 1.2.

La cantidad de movimiento que entra menos la que sale en la unidad de tiempo en ladirección x es:

( ) ( )

( )

1 12 2

2 2x xx x x x

x x

2

x

x xO x O x

x 2 x 2

x O xx

− Δ + Δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ℑ Δ ∂ℑ Δℑ − ℑ = ℑ − + Δ − ℑ + + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂ℑ= − Δ + Δ

∂

(1.6)

En el caso de fuentes y sumideros se deben adicionar los componentes en la direcciónx de los flujos de la cantidad de movimiento respectivos. Como en la aplicación de la

conservación de la masa se denotan por eW y sW los volúmenes que entran y salenpor unidad de longitud del volumen de control en la unidad de tiempo, respectivamente;los caudales másicos quedan definidos por

w eW xρ Δ y w sW xρ Δ . Si se denotan por exV y

sxV las proyecciones en la dirección del movimiento de las velocidades de entrada y de

salida entonces los flujos de cantidad de movimiento que entran y salen son w e exW V xρ Δ

y w s sxW V xρ Δ . En relación con la velocidad principal las proyecciones son en generalpequeñas como ocurre en el fenómeno de precipitación (entrada) o de infiltración(salida) ya que son casi perpendiculares a la dirección x . Denotando por e exV Uλ = y

s sxV Uλ = , y definiendo e e s sW W Wλ − λ = λ , la ecuación (1.6) deviene:

( )2wx

x WU x O xx

∂ℑ− Δ + λρ Δ + Δ

∂ (1.7)

La cantidad de movimiento en el volumen de control es w A xUρ Δ , el principio deconservación de la cantidad de movimiento proporciona:

( ) ( )( )w w 2w i

i

AU QUx x WU x O x F

t x

∂ ρ ∂ ρΔ + Δ − λρ Δ + Δ =

∂ ∂ ∑ (1.8)

Las fuerzas exteriores que actúan sobre el volumen de control de la Figura 1.2 son lasfuerzas de gravitación, de presión y de fricción.


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Pérdida de energía

U / 2g

h

x

z

Plano de referencia

Lí n e a d e e n e r g í a S 2

x - x 2 _1

x + x 2 _1

x

debida a la fricción

F g x

F g z Fg

f

We

x - x 2

_1

x + x 2 _1

x

x

x - x2

_ 1x + x

2 _ 1

dz

z

h

T(z)

Fx

2 _ _

p _ __

xFp

Fx

2 _ _

p + __

xFp

x

x - x 2

_1

x + x 2

_1

x

x

Fr

x - x 2

_1

x + x 2

_1

Figura 1.2. Fuerzas exteriores en el volumen de control.


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Fuerza gravitacional

La fuerza debida a la gravedad es la componente del peso de la masa de agua en elvolumen de control en la dirección del movimiento, Figura 1.2, es decir:

gx w oF gAJ x= ρ Δ (1.9)

donde g es la aceleración gravitacional, α es el ángulo que forma la rasante del canal

con respecto al plano horizontal y ( )oJ sin= α . Cuando el ángulo es pequeño ( )sin α se

reemplaza por ( )tan α , la pendiente de la rasante del canal: ( )oJ tan≈ α .

Fuerza de presión

La fuerza de presión resultante es la diferencia de las fuerzas de presión en lassecciones de entrada y salida perpendiculares a la dirección del movimiento en el

volumen de control:

( ) ( ) ( )p p p2 2 2pr p pF F Fx x

F F O x F O x x O xx 2 x 2 x

∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ Δ= − + Δ − + + Δ = − Δ + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1.10)

La fuerza de presión en el punto x se calcula a partir de la distribución de las presionescomo:

( ) ( )h

p

0

F P z dA z= ∫ (1.11)

En la aproximación hidrostática se tiene ( ) ( )wP z g h z= ρ − . Se introduce la función que

define en cada punto x el ancho de la superficie libre, ( )xT z , a una altura z contada a

partir de la rasante del canal de modo que ( ) ( )xdA z T z dz= . Con estas dos funcionesen la ecuación (1.11) se tiene.

( ) ( )h

p w x

0

F g h z T z dz= ρ −∫ , ( )h

x

0

T z dz A=∫ (1.12)

Utilizando la regla de Leibniz y considerando que ( )P h 0= se deduce que:

( ) ( ) ( )h hp x

w x w

0 0

F T zhg T z dz g h z dz

x x x

∂ ∂∂= ρ + ρ −

∂ ∂ ∂∫ ∫ (1.13)


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En el caso de un cauce prismático xT x 0∂ ∂ = . La fuerza resultante de presión sededuce de la sustitución de la ecuación (1.13) en la ecuación (1.10):

( )2pr wh

F gA x O xx

∂= −ρ Δ + Δ

∂ (1.14)

Fuerza de fricción

Se debe notar que la fuerza de presión definida por la ecuación (1.14) se puede escribirde manera análoga a la fuerza gravitacional definida por la ecuación (1.9):

pr w pF gAJ x= ρ Δ , donde el gradiente de presión está definido por pJ h x= − ∂ ∂ .

De forma completamente análoga la fuerza de fricción se escribe siguiendo la estructurade las ecuaciones (1.9) y (1.14), pero con signo contrario ya que se opone almovimiento:

( )2f wF gAJ x O x= −ρ Δ + Δ (1.15)

donde el gradiente o pendiente de fricción está definido comof

J h x= −∂ ∂ , con f h lapérdida de energía por unidad de peso debido a la fricción.

La expresión de la fuerza de fricción es meramente conceptual ya que se requiere unaexpresión adicional para calcular la pendiente de fricción, como se expone másadelante.

Llevando las ecuaciones (1.9), (1.14) y (1.15) a la ecuación (1.8), dividiendo por xΔ yconsiderando que xΔ es arbitrariamente pequeño se obtiene la ecuación de cantidadde movimiento:

( ) ( )( )w w w w o w

AU QU hWU gA J J gA

t x x

∂ ρ ∂ ρ ∂+ − λρ = ρ − − ρ

∂ ∂ ∂ (1.16)

1.1.3 El problema de cerradura

Las ecuaciones de Barré de Saint-Venant considerando que la densidad del agua esprácticamente constante, están formadas por la ecuación de continuidad que se deduce

de la ecuación (1.4) y por la ecuación de cantidad de movimiento o impulsión que sededuce de la ecuación (1.16). Tomando en cuenta que Q AU= , las ecuaciones seescriben como sigue:

A QW

t x

∂ ∂+ =

∂ ∂ (1.17)


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( )2

o

Q Q h WQgA gA J J

t x A x A

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + − = λ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(1.18)

De estas ecuaciones se deduce la modalidad que consiste en tener el área hidráulica (oel tirante) y la velocidad como variables dependientes. Considerando Q AU= yutilizando la ecuación (1.17) en la ecuación (1.18) durante el desarrollo, las ecuacionesresultantes son las siguientes:

A A UU A W

t x x

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ (1.19)

( ) ( )oU U h UW

U g g J J 1 0t x x A

∂ ∂ ∂+ + + − + − λ =

∂ ∂ ∂ (1.20)

en las cuales se debe notar que aparece el operador derivada total, también llamado

derivada material, definido por d dt t U x= ∂ ∂ + ∂ ∂ , aplicado al área en la primera y a lavelocidad en la segunda.

En las ecuaciones de Barré de Saint-Venant se deben proporcionar la función querelaciona el área de la sección transversal del cauce con el tirante de agua así como lapendiente de la rasante del cauce. Para condiciones iniciales y de frontera dadas lasecuaciones se resuelven para encontrar, en principio, la evolución del área hidráulica yel caudal. Sin embargo, esto no es posible a menos que se proporcionen la variación dela pendiente de fricción con respecto a la geometría del cauce y el caudal, conocidacomo ley de resistencia al flujo o ley de resistencia hidráulica, así como la fuente osumidero; estos dos aspectos constituyen el problema de cerradura de las ecuaciones

de Barré de Saint-Venant.

En el riego por gravedad se debe proporcionar el sumidero representado por el volumen

infiltrado por unidad de longitud de cauce en la unidad de tiempo ( I A ), a saber:

II

A A

t

∂=

∂ , ( ) ( )

m

I I mP

A x,t q x,y,z,t dP= ∫ (1.21)

donde ( )Iq x,y,z,t es el caudal de infiltración por unidad de superficie de canal o caudal

unitario ym

P es el perímetro mojado, Figura 1.3. Para calcular este caudal unitario es

necesario resolver la ecuación diferencial de Richards que se expone también másadelante.


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Pm

qI

x

Figura 1.3. La infiltración del agua en una sección de canal.

La ley de resistencia generalmente utilizada en hidráulica de canales abiertos es una leyen potencia cuya estructura es la siguiente:

b d

hU cR J= (1.22)

donde h mR A P= es el radio hidráulico definido como la razón entre el área hidráulica y

el perímetro mojado; c, b y d son parámetros de la ley en potencia.

La ecuación (1.22) incluye las formulaciones clásicas de Chézy con = =b d 1 2 y = hc C ,

donde hC es un coeficiente empírico dimensional; de Manning-Strickler con =b 2 3 ,

=d 1 2 , y =c 1 n donde n es un coeficiente de rugosidad dimensional; de Poiseuillecon =b 2 , =d 1 y c kg= ν , donde ν es el coeficiente de viscosidad cinemática y k es

un factor adimensional, cuyo valor en el flujo sobre superficies lisas es =k 1 3 (e.g. Landau y Lifchitz, 1989). Asimismo, incluye la fórmula de Hazen-Williams, utilizada en eldiseño de redes de tuberías (King et al., 1952), con =b 0.63 , =d 0.54 y = HWc C , donde

HWC es un coeficiente dimensional. La ley también incluye la ley de Prandtl utilizada por

Blasius para estimar el factor de fricción de la fórmula de Darcy-Weisbach con =b 5 7 ,=d 4 7 y = PBc C , donde PBC es un coeficiente dimensional.

La aplicabilidad de la ley de resistencia en potencia en el acoplamiento de lasecuaciones de Barré de Saint-Venant y de Richards en el riego por gravedad esestudiado en detalle más adelante.

En cuanto a la resolución del sistema de ecuaciones, ésta es generalmente denaturaleza numérica con métodos eulerianos o lagrangianos que utilizan esquemas endiferencias finitas, elementos finitos, ecuaciones características o una combinación deéstos. En muchos casos algunos autores consideran que las ecuaciones diferencialespueden ser simplificadas en algunos fenómenos; como se expone a continuación.


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1.2 Modelos simplificados

Los modelos simplificados se obtienen al hacer algunas consideraciones en la ecuaciónde cantidad de movimiento; se presentan los modelos de la onda cinemática, de la ondadifusiva o inercia nula y el de la onda inercial. Se encuentra también el modelohidrológico que se basa en la expresión integral de la ecuación de continuidadconsiderando simplificaciones en la misma.

1.2.1 Modelo de la onda cinemática

El modelo de onda cinemática considera que en la ecuación de cantidad de movimientolos términos inerciales y de presión son despreciables, con respecto a los términos defricción y gravedad. Con tales suposiciones el modelo de Barré de Saint-Venant quedade la siguiente forma:

A QW

t x

∂ ∂+ =

∂ ∂

(1.23)

oJ J= (1.24)

Este modelo se expresa mediante la ecuación (1.25), (Litrico, 2001; Ponce, 1980a;Woolhiser, 1980):

k k

Q QC (Q) C (Q) W

t x

∂ ∂+ =

∂ ∂, k

QC (Q)

A

∂=

∂ (1.25)

El valor del coeficiente ( )kC Q se obtiene a partir de una ley de resistencia con oJ J= .De la ecuación (1.22) se obtiene Q Aβ= α , es decir 1kC Aβ−= αβ o bien

( )1 1

kC Q − β

= αβ α .

Como se considera que las fuerzas de fricción y gravitacional son iguales no existe unaaceleración apreciable del flujo y por lo tanto el modelo es aplicable a escurrimientoscon gastos pequeños y pendientes suaves como en el riego por gravedad. Liggett yWoolhiser (1975) a partir de simulaciones en canales de distintas característicasgeométricas y operativas han establecido que el modelo de la onda cinemáticarepresenta adecuadamente la dinámica del flujo siempre que se cumpla la siguiente

desigualdad:

o o2o n

J LK 30

F h= > (1.26)


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donde K es un número cinemático, oJ la pendiente del fondo del cauce, oL la longitud

normalizada del cauce y puede tomarse como la longitud del cauce, 2 2 3oF Q T gA= el

número de Froude y nh el tirante normal.

Con el modelo de la onda cinemática sólo es posible representar la fase de avance, yaque no permite la representación de ondas que remonten la corriente debido a que noconsidera las condiciones de frontera aguas abajo y consecuentemente no es posibleanalizar la fase de almacenamiento del riego. Con este modelo se analiza el riego enmelgas abiertas en el extremo final. Debido a la hipótesis de que las fuerzas de fricciónson equivalentes a las fuerzas gravitacionales, el movimiento se realiza en forma depistón rectangular.

1.2.2 Modelo de la onda difusiva o de inercia nula

El modelo de la onda difusiva supone que en la ecuación de cantidad de movimiento lostérminos inerciales son despreciables, con respecto a los de presión, fricción ygravedad. Así, el modelo de Barré de Saint-Venant queda expresado de la siguienteforma:

A QW

t x

∂ ∂+ =

∂ ∂ (1.27)

o

hJ J

x

∂= −

∂ (1.28)

Del par de ecuaciones anteriores resulta el modelo de la onda difusiva (Miller y Cunge,

1975; Cappelaere, 1997):

( ) ( ) ( )2

o2

Q Q QC Q,h,x D Q,h,x C Q,h,x W

t x x

∂ ∂ ∂+ − =

∂ ∂ ∂ (1.29)

donde ( ) ( ) ( )2C Q,h,x 1 T J Q T x TJ h⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂⎣ ⎦⎣ ⎦ y ( ) ( )D Q,h,x 1 T J Q= ∂ ∂ son los

coeficientes advectivo y difusivo, y ( ) ( ) ( )oW W W x D Q,h,x C Q,h,x= − ∂ ∂ . El coeficiente

de convección toma en cuenta las características de traslación de la onda y elcoeficiente de difusión la atenuación de la misma a medida que ésta viaja en el canal.

Para las leyes de resistencia que se puedan escribir de la siguiente forma:

( )2J Q h= Φ (1.30)

los coeficientes de convección y difusión se obtienen con las siguientes ecuaciones:


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17

2 2

2 3

1 dQ 2Q dQ Q T1

gTA dZ gA dZ gA⎛ ⎞ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.36)

donde r Z Z h= + y r Z es la cota de la rasante con respecto a un nivel de referencia.

Las soluciones de la ecuación (1.36) son las ecuaciones:

( )dQ

U C TdZ

= ± , (1.37)

2

3

Q T1

A g = (1.38)

donde U es la velocidad media del flujo y C gA T= es la celeridad de las ondas

producidas por la maniobra de la estructura.La ecuación (1.38) establece la condición básica para el flujo en régimen crítico en unconducto de cualquier sección transversal. De esta ecuación se relacionan los tirantesaguas arriba ( 1Z ) y aguas abajo ( 2Z ) con las características de la compuerta. Para el

caso de una compuerta rectangular de abertura (a ) se obtiene la condición necesariapara alcanzar diferentes grados de precisión y niveles de confiabilidad en los aforosrealizados en éstas. Esta condición se expresa mediante:

1 2

aZ Z

2≥ + (1.39)

1.2.4 Modelo hidrológico

Un modelo hidrológico consiste en utilizar la versión integral de la ecuación de

continuidad definida por la ecuación (1.17); en el riego por gravedad se toma IW A= − ,

donde I I A A t= ∂ ∂ está definida por la ecuación (1.21). Una primera integración en el

espacio de la ecuación de continuidad conduce a:

( ) ( ) ( ) ( )

x

I0

Q x,t Q 0,t A x,t A x,t dxt

∂⎡ ⎤= − +⎣ ⎦∂∫

(1.40)

El caudal en la cabecera del cauce es ( ) ( )oQ 0,t Q t= , en la posición del frente de

avance f x x= el caudal, los volúmenes infiltrados y en la superficie por unidad de

longitud son nulos para todo tiempo: ( )f Q x ,t 0= , ( )I f A x ,t 0= y ( )I f A x ,t 0= .


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De la ecuación (1.40) se deduce para la fase de avance lo siguiente:

( ) ( ) ( )f x

o I

0

Q t A x,t A x,t dxt

∂⎡ ⎤= +⎣ ⎦∂ ∫ (1.41)

La integración en el tiempo considerando que los volúmenes unitarios infiltrados y en lasuperficie son nulos a lo largo del cauce en el tiempo inicial, ( )I A 0,t 0= y ( ) A 0,t 0= ,conduce a:

( ) ( ) ( )f xt

o I

0 0

Q t dt A x,t A x,t dx⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ ∫ (1.42)

En el caso particular pero importante de un caudal constante se tiene:

( )f x

o

0

Q t A x,t dxΨ= ∫ , ( ) ( ) ( )I A x,t A x,t A x,tψ = + (1.43)

en la cual se ha introducido el volumen unitario almacenado total ( ) A x,tψ .

La ecuación (1.43) constituye el modelo hidrológico que se resuelve con algunashipótesis, como el modelo de Lewis y Milne (1938) que asume tirante constante y lainfiltración como una función sólo del tiempo de contacto, que se expone más adelante.

1.3 La ecuación general de flujo subterráneo

La ecuación general que rige el movimiento del agua en el suelo es el resultado de unaecuación de continuidad y una dinámica o de cantidad de movimiento. La primeraresulta del principio de conservación de la masa y la segunda es una ley empíricadescubierta por Darcy (1856), la cual representa una forma simplificada del principio deconservación de la cantidad de movimiento.

Se introducen a continuación las propiedades generales del suelo como un medioporoso para luego establecer la ecuación general de la transferencia de masa y energíaen los medios porosos.

1.3.1 Propiedades generales de los medios porososPropiedades de masa y volumen

El volumen total ( tV ) de un medio poroso puede ser considerado como la suma del

volumen ocupado por los sólidos ( sV ) y del volumen del espacio vacío ( vV ), a saber:


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t s vV V V= + (1.44)

La densidad del medio poroso ( tρ ) o densidad total del medio (seco), llamada también

densidad aparente, es la masa del medio poroso ( tM ) con respecto al volumen que

ocupa en el espacio:

tt

t

M

Vρ = (1.45)

La densidad de las partículas ( oρ ) es la masa total ( tM ) con respecto al volumen

ocupado por las partículas ( sV ):

to

s

M

Vρ = (1.46)

Es conveniente caracterizar el volumen del espacio vacío de los medios porosos entérminos relativos. Se introduce la porosidad volumétrica ( φ ) definida como:

v

t

V

Vφ = (1.47)

La sustitución de la ecuación (1.47) en la ecuación (1.44), considerando las ecuaciones(1.45) y (1.46) conduce a la fórmula clásica que permite calcular la porosidad a partir delas densidades

t

o

1 ρ

φ = −ρ

(1.48)

Otro parámetro ampliamente utilizado para caracterizar el volumen de los vacíos es larelación de vacíos (e) definida como la razón entre el volumen de vacíos y el volumende los sólidos:

v

s

Ve

V= (1.49)

La combinación de las ecuaciones (1.44), (1.47) y (1.49) permite ligar la relación devacíos y la porosidad, a saber:

e1

φ=

− φ (1.50)


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20

El contenido gravimétrico de agua ( ω) se define como la masa de agua ( wM ) contenidaen el espacio poroso relativo a la masa del medio poroso (seco):

w

t

M

Mω = (1.51)

El contenido volumétrico de agua o contenido de humedad ( θ ) se define como elvolumen de agua ( wV ) contenido en el espacio poroso relativo al volumen total del

medio poroso:

w

t

V

Vθ = (1.52)

Es claro que se tiene la siguiente desigualdad: 0 ≤ θ ≤ φ .

La relación entre los dos contenidos de agua es la siguiente:

t

w

⎛ ⎞ρθ = ω⎜ ⎟ρ⎝ ⎠

(1.53)

donde w w wM Vρ = es la densidad del agua.

El grado de saturación ( wS ) se define como el contenido de humedad relativo a su valor

máximo:

wS θ=

φ (1.54)

También es claro que se tiene la siguiente desigualdad: w0 S 1≤ ≤ .

Propiedades de energía

En Física Clásica la energía ( tE ) de un cuerpo de masa m se compone de una energía

potencial ( PE ) y otra cinética ( cE ). La expresión general de la primera es PE mgH=

mientras que la de la segunda es21

C 2E mv= , donde H es la posición del cuerpo conrespecto a un nivel de referencia, v la velocidad del mismo y g la aceleracióngravitacional. En el estudio del movimiento del agua en los medios porosos la energíacinética es generalmente despreciable con respecto a la energía potencial.

En la energía potencial se consideran la energía gravitacional y la energía de presión.La expresión de la energía gravitacional es GE mgz= , donde z es la posición del cuerpo


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asimilada a la coordenada vertical orientada positivamente hacia arriba. La energía depresión tiene la forma PE pV= , donde p es la presión del agua en un volumen V , es

decir la presión puede ser escrita como wp gh= ρ , ya que w m Vρ = es la densidad delagua y h es una columna equivalente de agua o “carga de presión”.

El potencial es definido como energía potencial por unidad de masa. Sin embargo enhidráulica es más común definir el potencial como energía potencial por unidad de peso.El potencial gravitacional quedaría definido como Gz E mg= llamada carga de posición,

y el potencial de presión como la carga de presión ph E mg p= = γ , donde wgγ = ρ es

el peso específico del agua.

La energía potencial total por unidad de peso o potencial hidráulico, llamada cargahidráulica, será entonces igual a la suma de las cargas gravitacional y de presión, esdecir:

pH z= +γ

(1.55)

El gradiente hidráulico (J) es un vector que expresa la variación de la carga hidráulicaen la dirección del movimiento. En coordenadas cartesianas ( )x,y,z el gradiente se

escribe como:

J H= ∇ (1.56)

donde ( )x, y, z∇ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ es el operador gradiente, también denotado por grad , y

( )x y zJ J ,J ,J= .

1.3.2 La ley de Darcy

El caudal de agua (o gasto) es definido como un volumen de agua que fluye en launidad de tiempo en una geometría dada. El caudal que atraviesa un área unitaria desuelo transversal a la dirección del movimiento es denominado caudal unitario,descarga específica o flujo volumétrico (“flux”). Este es un vector ( q ) que encoordenadas cartesianas se escribe de la manera siguiente:

( )x y zq q ,q ,q= (1.57)

En 1856 Henri Darcy muestra experimentalmente que el flujo en un medio poroso esproporcional al gradiente hidráulico. El coeficiente de proporcionalidad fue denominadocoeficiente de permeabilidad o simplemente permeabilidad del agua en el medioporoso. Actualmente el coeficiente es mejor conocido como conductividad hidráulica ydenotado por K . En un medio heterogéneo y anisótropo la conductividad es diferente


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en las tres direcciones y matemáticamente se puede expresar como un tensor (campotensorial).

La ley de Darcy en términos matemáticos se escribe de la manera siguiente:

q K H= − ∇ (1.58)

Puesto que el gradiente hidráulico tiene como unidades 1LL− , la conductividad tieneunidades de velocidad como el flujo de Darcy.

La conductividad hidráulica es una de las características más importantes del acuífero,de ella depende fundamentalmente el rendimiento de las captaciones y la velocidad decirculación del agua subterránea; su conocimiento es esencial para cuantificar loscaudales de flujo subterráneo y la velocidad de propagación de un contaminante en elsubsuelo. Es uno de los datos básicos para simular el comportamiento de un acuífero.

La conductividad hidráulica de un medio poroso formado por ejemplo de esferasperfectas con diámetros iguales es igual en todas las direcciones, es decir, es isótropa.La anisotropía ocurre cuando la forma del material en el medio poroso cambia con ladirección, lo cual induce valores diferentes de la conductividad hidráulica. La mayoría delos sedimentos son puestos sobre su lado plano o en la dirección de su eje más largo,por consiguiente, la conductividad hidráulica horizontal es generalmente mayor que lavertical.

La conductividad hidráulica es un tensor de segundo rango considerado simétrico (Bear,1972):

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

K K KK K K K

K K K

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.59)

De acuerdo con las ecuaciones (1.57), (1.58) y (1.59), considerando la ecuación (1.56),las expresiones que definen las componentes del flujo en un medio anisótropo son lassiguientes:

x xx xy xz

H H Hq K K K

x y z

∂ ∂ ∂= − − −

∂ ∂ ∂ (1.60)

y yx yy yz

H H Hq K K K

x y z

∂ ∂ ∂= − − −

∂ ∂ ∂ (1.61)

z zx zy zz

H H Hq K K K

x y z

∂ ∂ ∂= − − −

∂ ∂ ∂ (1.62)


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La ley de Darcy fue establecida inicialmente en medios saturados y ha sidogeneralizada a medios no saturados. En medios no saturados, la conductividadhidráulica, además de que puede ser una función de las coordenadas espaciales comoen medios saturados, es una función del contenido de humedad o de la presión delagua.

En un tubo capilar de radio R el caudal de agua por unidad de área o velocidad media( v ) es proporcionado por la ley de Poiseuille, la cual establece que:

2wgv R H8

ρ= − ∇

μ (1.63)

donde wμ = ρ ν es la viscosidad dinámica del agua y ν su viscosidad cinemática.

La ley de Poiseuille es equivalente a la ley de Darcy si la conductividad hidráulica del

tubo capilar es tomada como ( )( )2

wK g R 8= ρ μ . Esta expresión ha sido generalizada alos medios porosos remplazando el termino ( )2R 8 por un coeficiente más general conunidades de área, denotado por k , y denominado permeabilidad (o permeabilidadintrínseca). Se tiene por lo tanto que la conductividad es el producto de un factor querefleja las propiedades del fluido, denominado fluidez y definida por wf g= ρ μ , y de unfactor que depende de la geometría del medio poroso (k ). En otros términos:

wgK kρ

=μ

(1.64)

La permeabilidad, y en consecuencia la conductividad, depende de la forma, acomodo ydistribución granulométrica de las partículas constituyentes, y del grado decompactación o cementación de las mismas, factores que controlan, a su vez, eltamaño e interconexión de los intersticios. Una alta porosidad no implicanecesariamente una alta conductividad hidráulica, por el contrario en algunos mediosporosos mientras mayor es la porosidad, menor es su conductividad.

1.3.3 La ecuación de continuidad

Las ecuaciones que describen el movimiento del agua resultan de la aplicación de losprincipios de conservación de la masa y de la cantidad de movimiento. Resultando delprimero la ecuación de continuidad y del segundo la ley dinámica.

Como se ha indicado precedentemente la dinámica del agua en el medio poroso esbien descrita por la ley de Darcy, la cual puede ser deducida a partir de los principiosmencionados aceptando algunas hipótesis simplificadoras.

Para deducir la ecuación de conservación de la masa o ecuación de continuidadconsidérese el volumen elemental del medio poroso mostrado en la Figura 1.4.


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Figura 1.4. Conservación de la masa en un volumen de control de suelo

Se define el flujo de masa (ℵ) como el producto de la densidad del fluido por el flujovolumétrico:

wqℵ = ρ (1.65)

donde q está definido por la ecuación (1.58) y ( )x y z, ,ℵ = ℵ ℵ ℵ .

El principio de conservación de la masa establece que en un volumen de control dado lacantidad de materia que entra menos la que sale en una unidad de tiempo a través desus fronteras es igual a la variación de la cantidad de la misma en el interior delvolumen o cambio de almacenamiento.

En la Figura 1.4, la cantidad de masa que entra y que sale es aproximada medianteseries de Taylor de segundo orden, hacia adelante y hacia atrás respectivamente,evaluadas a partir del punto en el centro ( )P x,y,z= .

La cantidad de materia que entra menos la que sale en la unidad de tiempo en ladirección x es:

( )

( ) ( )

1 12 2

2xx x xx x,y,z x x,y,z x,y,z

x,y,z

2 2x xx x,y,z

x,y,z x,y,z

xy z y z O x y z

x 2

xO x y z x y z O x y z

x 2 x

− Δ + Δ

⎡ ⎤∂ℵ Δℵ Δ Δ − ℵ Δ Δ = ℵ − + Δ Δ Δ −⎢ ⎥

∂⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ℵ ∂ℵΔℵ + + Δ Δ Δ = − Δ Δ Δ + Δ Δ Δ⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.66)


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En el estudio de las transferencias de agua en la zona vadosa la densidad del agua esgeneralmente considerada constante, consideración que conduce a:

[ ]K H wt

∂θ∇ ⋅ ∇ + =

∂ (1.72)

El potencial de presión expresado como una altura de columna de agua es definido por:pψ = γ , este potencial es negativo en la zona no saturada y positivo en la saturada. La

ecuación (1.55) se escribe como:

H z= ψ + (1.73)

La conductividad hidráulica aparte de que puede ser una función de las coordenadasespaciales es una función de la presión: ( )K K= ψ .

La introducción de la ecuación (1.73) en la ecuación (1.72) conduce a la ecuacióndiferencial:

( ) ( )K z wt

∂θ⎡ ⎤∇ ⋅ ψ ∇ ψ + + =⎣ ⎦ ∂

(1.74)

la cual, contiene dos variables dependientes ψ y θ . Para resolverla en un problemadado es necesario proporcionar la relación ( )θ = θ ψ conocida como la curva de

retención de humedad del suelo o curva característica de humedad. Las curvas ( )θ ψ y

( )K ψ son conocidas como las propiedades hidrodinámicas del medio poroso.

1.3.5 La ecuación de Richards

La introducción del concepto de capacidad específica definida como la pendiente de lacurva de retención:

( )d

Cd

θψ =

ψ (1.75)

permite obtener una ecuación de transferencia en la que la presión es la variabledependiente. Esta ecuación es conocida como ecuación de Richards (1931), a saber:

( ) ( )dK

K w Cd z t

∂ψ ∂ψ⎡ ⎤∇ ⋅ ψ ∇ψ + + = ψ⎣ ⎦ ψ ∂ ∂

(1.76)

En el primer miembro de la ecuación (1.76), el primer término representa los efectos dela presión y el segundo los de la gravitación.


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1.3.6 La ecuación Fokker-Planck

La ecuación de transferencia también puede escribirse con θ como la variabledependiente, introduciendo el concepto de difusividad hidráulica definido por:

( ) ( ) ( )( )

KdD Kd C

θψθ = θ =θ θ

(1.77)

en donde se ha supuesto que existen las funciones ( )ψ θ y ( )K θ .

La ecuación resultante es una ecuación tipo Fokker-Planck no lineal, a saber:

( )dK

D wd z t

∂θ ∂θ⎡ ⎤∇ ⋅ θ ∇θ + + =⎣ ⎦ θ ∂ ∂

(1.78)

En el primer miembro de la ecuación (1.78), el primer término representa los efectos dela difusión y el segundo los de la gravitación.

1.3.7 La ecuación de Kirchhoff

La introducción del potencial de Kirchhoff definido por:

( ) ( ) ( ) ( )r

K d D dψ θ

−∞ θ

Φ ψ = ψ ψ = θ θ = Φ θ∫ ∫ (1.79)

permite escribir la ecuación de transferencia como:

( )2 dK 1w

d z D t

∂Φ ∂Φ∇ Φ + + =

Φ ∂ Φ ∂ (1.80)

donde 2 2 2 2 2 2 2x y z∇ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ es el operador de Laplace, ( )r θ = θ −∞ es un

contenido volumétrico de agua residual que puede ser igual a cero (Brooks y Corey,1964), ( )D Φ y ( )K Φ son, respectivamente, la difusividad y conductividad hidráulicas

como funciones del potencial de Kirchhoff.

1.4 La ley potencial de resistencia hidráulica

La aplicabilidad de una ley de resistencia al flujo o ley de resistencia hidráulica en elacoplamiento de las ecuaciones de Barré de Saint-Venant y de Richards en el riego porgravedad se estudia en el riego por melgas, ya que la geometría rectangular simplificael análisis de la infiltración del agua en el suelo.


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En el riego por melgas se presentan las relaciones geométricas siguientes: a) el áreahidráulica = A Bh , donde B es el ancho de la melga y h el tirante de agua sobre lasuperficie del suelo; b) el caudal es Q Bq= , donde q es el caudal por unidad de ancho;c) el perímetro mojado = +P B 2h , d) el radio hidráulico ( )= = +hR A P h 1 2h B . Puesto

que el ancho de una melga es generalmente mucho más grande que el tirante de agua,

las ecuaciones del movimiento se simplifican considerablemente, ya que se puedesuponer que ≈P B y ≈hR h . Las ecuaciones unidimensionales de Barré de Saint-Venant, que resultan de los principios de conservación de masa y de la cantidad demovimiento, se escriben para el riego por melgas de la manera siguiente (Liggett,1975):

I

h qV 0

t x

∂ ∂+ + =

∂ ∂ (1.81)

( )2

I o

q q q hV gh gh J J 0

t x h h x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + λ + + − =

⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (1.82)

en donde x es la dirección principal del movimiento; t es el tiempo;( ) ( ) ( )=q x,t U x,t h x,t es el caudal por unidad de ancho de melga o caudal unitario,

( )=U U x,t es la velocidad media en una sección transversal, ( )=h h x,t es el tirante del

agua sobre la superficie del suelo; = −∂ ∂0J Z x , con Z la coordenada vertical orientadapositivamente hacia arriba, es asimilada generalmente a la pendiente topográfica de lasuperficie del suelo cuando el ángulo de inclinación es pequeño; ( )= = −∂ ∂f J J x,t h x es

la pendiente de fricción, f h siendo la carga de fricción; g es la aceleración gravitacional;

( ) ( )I IV V x,t I x, t t= = ∂ ∂ es la velocidad de infiltración, es decir el volumen de aguainfiltrado en la unidad de tiempo por unidad de ancho y por unidad de longitud de lamelga; ( )=I I x, t es el volumen infiltrado por unidad de superficie de suelo o lámina

infiltrada; el parámetro adimensional λ está definido como λ = IxV U , donde IxV es laproyección en la dirección del movimiento de la velocidad de salida de la masa de aguadebido a la infiltración, la cual generalmente es despreciada.

En la fase de avance del riego, las condiciones iniciales y de frontera son las siguientes:

( ) =q x,0 0 y ( ) =h x,0 0 (1.83)

( ) = 0q 0,t q , ( )f q x ,t 0= y ( )f h x ,t 0= (1.84)

donde 0q es el caudal unitario impuesto en =x 0 y ( )f x t es la posición del frente de

onda.


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Para cerrar el sistema de las ecuaciones (1.81)-(1.82) es necesario proporcionarecuaciones para la velocidad de infiltración y la pendiente de fricción. La velocidad deinfiltración se puede calcular con la ecuación de Richards (1931), resultado de lacombinación de la ecuación de continuidad y de la ley de Darcy:

( ) ( ) ( ) dKC K Kt x x z z d z∂ψ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ∂ψ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ψ = ψ + ψ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ψ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.85)

donde ( )ψ = ψ x,z,t es el potencial de presión del agua en el suelo; t es el tiempo;

( ) ( ) ( )( )= = = − ψ ψ −q qx,qz q x,z,t K z es el flujo de Darcy; z es el potencial gravitacional

asimilado a la coordenada espacial z orientada positivamente hacia abajo; K es laconductividad hidráulica del suelo, función de la presión del agua ( )= ψK K ;

( )ψ = θ ψC d d es la capacidad específica; ( )θ = θ x,z,t es el volumen de agua por

unidad de volumen de suelo, conocido como contenido volumétrico de agua.

La ecuación de Richards se debe resolver con la condición de Dirichlet en la superficiedel suelo:

( ) ( )ψ =x,0,t h x,t (1.86)

La velocidad de infiltración es igual al flujo vertical de Darcy en la superficie del suelo:( ) ( )=I zV x,t q x,0,t . En cuanto a la ley de resistencia hidráulica que relaciona la

velocidad media del movimiento U , el tirante h y la pendiente de fricción J , es bastantecomún aceptar la ley potencial definida por la ecuación (1.22):

= b dU ch J (1.87)

Las condiciones para el acoplamiento de las ecuaciones de Barré de Saint-Venant yRichards en la fase de avance en el riego por gravedad han sido planteadas en añosrecientes. Fuentes (1992, 1994) propone una ley potencial de resistencia hidráulica, enla cual existe una relación entre los exponentes b y d de la ecuación (1.87), la cual esargumentada por Fuentes y Vauclin (1994) en el riego por melgas en tiempos muycortos. Se entiende por tiempos muy cortos, los tiempos cuando los efectosgravitacionales son despreciables.

1.4.1 La infiltración en el origen del tiempoPara el acoplamiento en tiempos cortos de las ecuaciones de Barré de Saint-Venant yRichards en la fase de avance se requiere conocer el comportamiento de la láminainfiltrada cuando el tirante de agua sobre la superficie del suelo evoluciona como

α= σh t con σ ≥ 0 y α ≥ 0 .


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La infiltración del agua en la melga es descrita por la ecuación de Richardsbidimensional, definida por la ecuación (1.85); sin embargo, se puede mostrar que lainfiltración es esencialmente vertical y descrita con la ecuación de Richardsunidimensional, considerando el tiempo en esta última como el tiempo de contacto quetiene el agua en un punto dado de la melga (Saucedo et al ., 2001).

El análisis de la ecuación de Richards en tiempos muy cortos ha permitido establecerque la lámina infiltrada es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo (Parlange et al.,1982; Haverkamp et al., 1990): ( )I 0,t S t= , cuando la presión del agua en la superficie

es constante. El parámetro S es denominado por Philip (1957) como la sorbilidad del suelo (habilidad del suelo para sorber agua), originalmente en los casos de presiónnegativa o nula en la superficie; en el caso de una presión positiva, se puede guardar lamisma denominación o, si se desea hacer la distinción con la anterior, esta últimapuede ser denominada sorbilidad global.

Bajo la hipótesis de una distribución hidrostática de las presiones, la presión del agua

en la superficie del suelo es igual al tirante de agua sobre su superficie. Se deseademostrar, a partir de la ecuación de Richards de la infiltración vertical, que si laevolución del tirante de agua en tiempos muy cortos es proporcionada por α= σh t , laevolución de la lámina infiltrada correspondiente es proporcionada por β=I St , conβ = 1 2 .

La ecuación de Richards resultante se resuelve en una columna semi-infinita de suelocon una condición de presión inicial constante ( )ψ0 , lo cual no resta generalidad, ya

que de hecho se está interesado en la evolución de la infiltración en tiempos muycortos; el contenido de humedad y la conductividad hidráulica correspondientes son

( )θ = θ ψ0 0 y ( )= ψ0 0K K . La condición de frontera en la superficie del suelo o fronterasuperior es proporcionada por ψ = h ; el contenido de humedad es igual al contenido de

humedad a saturación ( )θ = θ ≤ ψ ≤s 0 h , y la conductividad hidráulica es igual a la

conductividad hidráulica a saturación ( )= ≤ ψ ≤sK K 0 h . La condición de frontera inferior

(en el infinito) es igual a la condición inicial con θ < θ0 s . La integración de la ecuación esfacilitada con la introducción de la relación de flujos, concepto extraído por Philip (1973)de los trabajos de Parlange (1971a, 1971b), y considerando el hecho de que bajo lascondiciones límites asumidas, la ecuación de continuidad puede ser escrita como∂ ∂ = ∂ ∂θzz t q , en la cual θ y t son ahora las variables independientes:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

s

0 0

z 0

I 0

q ,t KF ,t z t d z t d

V t K

θθ

θ θ

θ −θ = ∂ ∂ θ ∂ ∂ θ =

−∫ ∫ (1.88)

en donde ( )≤ θ ≤0 F ,t 1.


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31

La introducción de la ley de Darcy en la ecuación (1.88) permite obtener la ecuacióndiferencial:

( )

( ) ( ) ( )

ψ∂= −

∂ψ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤θ ψ − − ψ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦I 0 0

Kz

F ,t V t K K K (1.89)

cuya integración sobre el intervalo ( ]ψ ,h , considerando que ( )⎡ ⎤θ ≤ ψ ≤ =⎣ ⎦F 0 h ,t 1,

permite obtener la evolución del perfil de presiones:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

0s

I sI 0 0

K K h tz ,t d

V t KF ,t V t K K Kψ

ψψ = ψ +

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤θ ψ − − ψ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

(1.90)

Se debe observar que el perfil de presiones está compuesto de la posición del frente desaturación, el segundo término que define su espesor y una función de la presión en la

zona no saturada, ubicada debajo de la zona saturada, proporcionada por el primertérmino (Parlange et al., 1985). Ahora bien, la ecuación de continuidad proporciona laexpresión de la lámina infiltrada, a saber:

( ) ( ) ( )s

0

0 0

0

I t K t z,t dz z ,t dθ∞

θ

⎡ ⎤− = θ − θ = θ θ⎣ ⎦∫ ∫ (1.91)

La introducción de la ecuación (1.89) o (1.90) en la ecuación (1.91) y los cambios devariables pertinentes conduce a:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )ψ

⎡ ⎤θ ψ − θ ψ Δθ⎣ ⎦− = ψ +−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤θ ψ − − ψ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫0

00 s

0I sI 0 0

K K h tI t K t d

V t KF ,t V t K K K (1.92)

donde Δθ = θ − θs 0 .

La ecuación (1.92) puede ser integrada de manera casi exacta siguiendo la técnica deParlange et al. (1982) utilizada originalmente para =h 0 y aplicada para una cargapositiva constante por Parlange et al . (1985) y Haverkamp et al . (1990). Sin embargo, laecuación (1.92) se puede integrar de manera exacta en tiempos muy cortos. Se puede

demostrar que cuando →t 0 , la función ( )θF ,t es una función solamente del contenidovolumétrico de agua; es decir, ( ) ( )θ = θF ,t f (Parlange, 1975). Puesto que en tiempos

muy cortos ( ) ( )>> >> ψI sV t K K , la ecuación (1.92) se reduce a la ecuación diferencial

ordinaria siguiente ( )⎡ ⎤=⎣ ⎦IV t dI dt :


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( )( )

( )( )

Δθ= +

2s0

I I

K h tSI t

2V t V t (1.93)

en donde 0S es la sorbilidad del suelo calculada con (Parlange, 1975):

( ) ( )

( )ψ

⎡ ⎤θ ψ − θ ψ⎣ ⎦= ψ⎡ ⎤θ ψ⎣ ⎦

∫0

002

0

KS 2 d

f (1.94)

En el segundo miembro de la ecuación (1.93), el primer término representa lacontribución a la lámina infiltrada de la zona no saturada del suelo, mientras que elsegundo es la contribución de la zona saturada; ambas zonas generadas, por supuesto,por la infiltración del agua a través de la superficie del mismo.

La introducción de β=I St y α= σh t en la ecuación (1.93) permite la evaluación del límite

siguiente:

− β α+ − β

→

⎛ ⎞Δθσ= +⎜ ⎟β β⎝ ⎠

22 1 2 1 20 s

t 0

S KS lim t t

2 (1.95)

y para que éste exista se debe tener − β ≥1 2 0 y α + − β ≥1 2 0 .

Si se supone que la zona no saturada no contribuye al límite, se tiene que 1 2 0− β > , ysi la zona saturada tampoco contribuye ( 1 2 0α + − β > ), se obtiene la solución trivial

=S 0 . Cuando hay contribución al límite por parte de la zona saturada ( 1 2 0α + − β = ),se deduce que α < 0 , lo cual implica que → ∞h cuando →t 0 , situación físicamenteimposible. Así que, en definitiva, la zona no saturada sí contribuye al límite, es decir

− β =1 2 0 , de donde β = 1 2 . En tal situación, si la zona saturada también contribuye( 1 2 0α + − β = ), implica que α = 0 , lo que equivale a que el tirante sea constante (quepuede ser nulo) y se obtiene el resultado clásico = + σΔθ2 20 sS S 2K (Parlange et al .,

1985). Si la zona saturada no contribuye al límite ( 1 2 0α + − β > ), implica que α > 0 ; esdecir, el tirante de agua puede ser una función monótona creciente en tiempos muycortos, como ocurre en el riego por gravedad y en este caso = 0S S .

Se ha demostrado por lo tanto, que si en la superficie del suelo la presión del aguaevoluciona en tiempos muy cortos como α= σh t con α ≥ 0 , la lámina infiltradaevoluciona en los mismos siempre como β=I St con β = 1 2 .


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33

1.4.2 La fase de avance en el origen del espacio y el tiempo

Siguiendo el procedimiento de Fuentes et al. (2004), el acoplamiento de las ecuacionesde Barré de Saint-Venant y Richards en la fase de avance del riego por gravedad enmelgas se estudia cuando el caudal de riego, impuesto como condición de frontera en la

cabecera de la melga, se representa por funciones que satisfagan el límite siguiente:

( ) −γ→

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ qt 0lim q 0,t t C (1.96)

en donde ≥qC 0 y γ ≥ 0 son parámetros dados. Un caudal constante es representado

por γ = 0 . La variación temporal del tirante de agua en la cabecera se representa porfunciones que satisfacen el límite siguiente:

( ) −α→

⎡ ⎤ = σ⎣ ⎦t 0lim h 0,t t (1.97)

en el cual los parámetros σ y α deben ser determinados. Es claro que α ≥ 0 , puestoque inicialmente no hay agua sobre la superficie de la melga.

El comportamiento de la velocidad en la cabecera cuando →t 0 se deduce de lasecuaciones (1.96) y (1.97), a saber:

( ) γ− α=σ

qCU 0,t t (1.98)

de donde se infiere que en el tiempo inicial la velocidad es nula si γ − α > 0 , es unaconstante si γ − α = 0 , y es infinita si γ − α < 0 . La última situación ocurre cuando elcaudal de riego es constante.

La variación temporal de la lámina de agua en la cabecera es representada porfunciones que satisfacen el límite siguiente:

( ) −β→

⎡ ⎤= =⎣ ⎦t 0lim I 0,t t S (1.99)

en la cual S es la sorbilidad y β = 1 2 .

Para la pendiente del perfil de agua sobre la superficie del suelo en la entrada de lamelga se asume la dependencia siguiente:

( ) δ→

⎡ ⎤∂= −⎢ ⎥∂⎣ ⎦

pt 0

h 0,tlim t C

x (1.100)


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34

en donde ≥pC 0 y δ ≥ 0 , ya que en la fase de avance ∂ ∂ ≤h x 0 .

Para continuar, se recuerda que la ecuación de conservación de la cantidad demovimiento, ecuación (1.82), es el resultado del siguiente razonamiento: la masacontenida en un paralelepípedo de ancho B , de longitud = ΔL x y de altura h es igual a

wBLhρ , donde wρ es la densidad del agua; las fuerzas (en la dirección x ) queparticipan en la ecuación (1.82) son la fuerza motriz ( )M wF BLhU t= ∂ ρ ∂ ; la fuerza

convectiva ( )C wF BLqU x= ∂ ρ ∂ ; la fuerza debida a la extracción de masa por infiltración

I w IF BLVU= λρ ; la fuerza de presión ( )P wF BLh g h x= ρ ∂ ∂ ; la fuerza debida a la gravedad

( )G wF BLh g Z x= ρ ∂ ∂ , y la fuerza de fricción, que es definida para conservar la estructura

de las fuerzas de presión y gravedad, ( )f wF BLh gJ= ρ . La suma de estas fuerzas es

igual a cero. Se denotan con la letra f , con los subíndices respectivos, las fuerzasprecedentes por unidad de masa: ( )wf F BLh= ρ . El comportamiento de estas fuerzas

unitarias en tiempos muy cortos se deduce de las ecuaciones (1.96) a (1.100):

( ) γ− −αγ

=σ

q 1M

Cf 0,t t (1.101)

( ) ( )γ− α α− β− γ− α−δ= − ασ + β +σ σ

2q q p2 1 1 2 3

C 3

2C C Cf 0,t t t St t (1.102)

( ) β+γ− α−β

= λσ

q 2 1I 2

SCf 0,t t (1.103)

( ) −δ= −P pf 0, t gC t (1.104)

( ) = −G 0f 0, t gJ (1.105)

en donde la ecuación (1.102) es obtenida considerando la ecuación de continuidad, ecuación (1.81), es decir ( )∂ ∂ = − ∂ ∂ + ∂ ∂q x h t I t .

Para la fuerza unitaria de fricción en la cabecera de la melga y en tiempos muy cortosse asume, en analogía con las ecuaciones (1.104) y (1.105), el comportamiento

siguiente:

( ) ( ) −η= =t f f 0,t gJ 0,t C t (1.106)

donde ≥f C 0 y η son parámetros a determinar.

Se puede establecer el límite siguiente:


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35

( ) η→

⎡ ⎤ =⎣ ⎦f f t 0lim f 0,t t C (1.107)

Puesto que ( )f M C I P Gf f f f f f = − + + + + , la consideración de las ecuaciones (1.101) a

(1.107) permite escribir, después de simplificar, lo siguiente:

( ) ( )2

q q q p1 2 1 3 2f 2 3

p 0

C 2 C S C Cf 0,t t 2 t t t

gC t gJ t

η η−α− +γ η− α+β− +γ η−δ− α+ γ

η−δ η

κβ= α − γ + −

σ σ σ+ +

(1.108)

11

2κ = − λ (1.109)

se debe señalar que 1κ ya que 0λ .

Las fuerzas motriz, convectiva y de infiltración son equilibradas por la fuerza de friccióny, en consecuencia, contribuyen a f C en el límite de la ecuación (1.107). De la ecuación

(1.108) se deducen las siguientes relaciones entre los exponentes:

η− α − + γ =1 0 (1.110)

η − δ − α + γ =3 2 0 (1.111)

η − α + β − + γ =2 1 0 (1.112)

en las cuales se debe notar que las ecuaciones (1.110) y (1.111) son válidas también en el caso en que la infiltración sea nula (canal impermeable).

De la combinación de las ecuaciones (1.110) y (1.111) se obtiene el resultado válido encanales rectangulares tanto impermeables como permeables (melgas):

δ = γ − α +2 1 (1.113)

y de las ecuaciones (1.110) y (1.112) se deduce el resultado válido en las melgas:

α = β (1.114)

La evaluación del límite de la ecuación (1.107) con la ecuación (1.108) conduce aη − δ > 0 :

( ){ } η−δ η→

⎡ ⎤⎡ ⎤= σ α − γ σ + βκ − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦σq

f q p p 03 t 0

CC 2 2 S C C lim gC t gJ t (1.115)


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El conocimiento del comportamiento en tiempos muy cortos de las diferentes fuerzas enla cabecera de la melga depende de los valores de los exponentes γ y α . El primero esproporcionado por la condición de frontera impuesta, mientras que el segundo es igualal exponente β del comportamiento de la lámina infiltrada en tiempos muy cortos.

Cuando la infiltración es descrita por la ecuación de Richards ( β = 1 2 ), se tiene α = 1 2 ,

y de las ecuaciones (1.110) y (1.113) η = − γ3 2 y δ = γ .

Si se considera que la fuerza gravitacional contribuye a la constante f C de la ecuación

(1.115), se infiere que η = 0 y, por lo tanto, γ = δ = 3 2 ; esto indica que la fuerzagravitacional solamente contribuiría a f C cuando la condición de frontera tenga el

comportamiento particular ( ) = 3 2qq 0,t C t ; sin embargo, se tendría que η − δ = − 0 y δ = γ < 3 2 . Ahora bien, si se considera que lafuerza de presión contribuye a la constante f C , de la ecuación (1.115) se infiere que

η − δ = 0 y, por lo tanto, η = δ = γ = >3 4 0 ; esto implica que la fuerza gravitacional nocontribuye a f C como en el caso precedente, y que la contribución de la fuerza de

presión ocurre cuando la condición de frontera tenga el comportamiento particular( ) = 3 4qq 0,t C t . De lo anterior se infiere que η > 0 y η − δ ≥ 0 ; es decir, que en el

acoplamiento de las ecuaciones de Barré de Saint-Venant y Richards se debe tener(Fuentes et al ., 2004):

( ){ } η−δ→

⎡ ⎤⎡ ⎤= σ α − γ σ + βκ − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦σq

f q p p3 t 0

CC 2 2 S C C lim gC t (1.116)

el límite existe si η − δ = − γ ≥3 2 2 0 ; esto es, si 3 4γ ≤ .

El comportamiento de la fuerza unitaria de fricción ( ) γ−= 3 2f gJ 0,t C t cuando →t 0 ,

puede ser expresado haciendo que intervengan las ecuaciones (1.96) y (1.97), como

( ) ( ) ( ) ( )= σ3 3f qh 0,t gJ 0,t C C q 0,t . Utilizando la viscosidad cinemática en esta igualdadse puede establecer el resultado siguiente:

La ley de resistencia hidráulica utilizada en el acoplamiento de las ecuaciones de Barréde Saint-Venant y Richards en el riego por gravedad debe satisfacer el límite:

( )( ) ( )

( )( ) ( ) K3 2t 0 t 0

q 0,t U 0,tlim lim C

h 0,t gJ 0,t h 0,t gJ 0,t→ →⎡ ⎤ ⎡ ⎤ν ν

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1.117)

donde 3K q f C C C= ν σ es una constante adimensional.


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Aunque se ha establecido el comportamiento de la fuerza unitaria de fricción en tiemposmuy cortos, es necesario introducir una relación entre ésta y las variables delmovimiento para describir el riego por gravedad en tiempos siguientes. Una de lasrelaciones más utilizadas es la ley potencial de resistencia hidráulica, descrita en laecuación (1.87). Para proceder a su estudio primero se establecerá la estructura de la

ley siguiendo el razonamiento de Fuentes (1992, 1994).1.4.3 Leyes potenciales de resistencia hidráulica

El establecimiento de la ley potencial de resistencia hidráulica se realiza utilizando unanálisis dimensional. Asimismo, se establecen leyes potenciales no inferidas a partir deeste análisis. La aplicabilidad de estas leyes será analizada en el acoplamiento entiempos muy cortos de las ecuaciones de Barré de Saint-Venant y Richards en el riegopor gravedad en melgas.

Análisis dimensional y fractalidad

De acuerdo con las definiciones de fuerza y la segunda ley de Newton, la fuerza esigual a la masa multiplicada por su cantidad acelerativa o aceleración. La fuerza defricción puede ser interpretada como el producto de la masa por su cantidad de friccióno por su cantidad disipativa; en la definición de la fuerza de fricción, ( ) ( )f wF BLh gJ= ρ ,

f f gJ= sería la cantidad de fricción o fuerza de fricción por unidad de masa o fuerzaunitaria de fricción (fuerza disipatriz). La fuerza de fricción es también proporcionada por

f pF BL= τ , donde pτ es el valor del esfuerzo cortante en la superficie del suelo y, en

consecuencia, p whgJτ = ρ . La velocidad de frotamiento ( f U ) se define de modo que

2p w f Uτ = ρ , es decir, =f U hgJ .

La ley de Chézy se obtiene bajo la hipótesis de que la velocidad media es proporcionala la velocidad de frotamiento: f U kU k hgJ= = y =hC g , donde k es un coeficiente

adimensional. La proporcionalidad entre las dos velocidades se deduce de un perfil delas velocidades uniforme [ ( )u y cons tan te= , con 0 y h< < ], como ocurre en un perfilpotencial cuando el número de Reynolds tiende al infinito; la velocidad media esproporcional a la raíz cuadrada de la fuerza unitaria de fricción: ∝ f U f .

La ley de Poiseuille para una superficie plana puede ser deducida partiendo de la

hipótesis de Newton entre el esfuerzo cortante ( τ ) y la derivada del perfil de lasvelocidades [ w du dzτ = ρ ν ] y ( )p 1 z hτ = τ − ; el perfil de velocidades es una parábola.

De acuerdo con esta hipótesis, se puede definir una velocidad ( cU ), de suerte que el

esfuerzo cortante en la superficie sea proporcionado por p w cU hτ = ρ ν , y puesto que

p whgJτ = ρ , entonces2

cU h gJ= ν . La velocidad media es proporcional a la velocidad

cU :2

cU kU kh gJ= = ν , donde k es un coeficiente de proporcionalidad adimensional, en


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régimen permanente y en superficies lisas =k 1 3 (Landau y Lifchitz, 1989). Conrespecto a esta ley se debe señalar que la proporcionalidad entre U y cU es válida

cuando el número de Reynolds tiende a cero; la velocidad media es proporcional a lafuerza unitaria de fricción: f U f ∝ .

Las leyes de Chézy y Poiseuille pueden ser reunidas en una sola. La proporción entre lavelocidad media y la fuerza unitaria de fricción se generaliza de la manera siguiente(Fuentes, 1994): ∝ df U f . Para establecer la igualdad se introduce el tirante de agua y la

viscosidad cinemática. El análisis dimensional arroja (Fuentes et al ., 2004):

( )3d 1

d

2d 1

hU k gJ

−

−= ν (1.118)

De esta ley se deduce la de Chézy haciendo =d 1 2 y la de Poiseuille cuando =d 1.Contiene la ley de Hazen-Williams ya que haciendo =d 0.54

se obtiene

= − =b 3d 1 0.62 , prácticamente igual al valor experimental de 0.63 . También contienela ley de Prandtl-Blasius, puesto que =d 4 7 corresponde a = − =b 3d 1 5 7 .

La expresión resultante de la ecuación (1.118) para el caudal unitario ( )=q Uh es la

siguiente:

d3

2

h gJq k

⎛ ⎞= ν⎜ ⎟ν⎝ ⎠

(1.119)

De acuerdo con Fuentes (1992) el exponente d de esta ecuación tiene unainterpretación fractal. Introduciendo una escala disipativa la ecuación (1.119) se escribecomo:

D

f

hq k

⎛ ⎞= ν⎜ ⎟λ⎝ ⎠

,2

3f gJ

νλ = , D 3d= (1.120)

donde, en el formalismo de la geometría fractal de Mandelbrot (1983), D corresponde auna dimensión fractal de masa, y de acuerdo con el análisis precedente: <


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la ley de Manning-Strickler y otras que no satisfagan la relación entre b y d de laecuación (1.87), establecida en la ecuación (1.118) de la manera siguiente:

( )a3 3d 1

d

2 2d 1

gh hU k gJ

−

−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟ν ν⎝ ⎠

(1.121)

La estructura de la ley de Manning-Strickler se obtiene con =d 1 2 y= − + =b 3d 1 3a 2 3 ; es decir, =a 1 18 . Esta ley puede presentarse en la forma usual de

la hidráulica de los canales abiertos como ( )= 2 3 1 2U 1 n h J , haciendo en la ecuación

(1.121) ( )1181 2 3

0k k g−= ν ε ; esto es, −= ε1 2 1 60n k g , en donde 0k es un parámetro sin

dimensiones y ε , la escala de rugosidad de Nikuradse. Sin embargo, lo importante parael análisis no es la manera de expresar las constantes empíricas sino la naturalezafuncional de la ley, esto es, la manera en que están relacionadas la fuerza unitaria defricción con la velocidad media y el tirante de agua.

1.4.4 Análisis de las leyes de resistencia hidráulica

El análisis de la aplicabilidad de las leyes de Poiseuille, Chézy, Hazen-Williams yPrandtl-Blasius en el acoplamiento, es equivalente al análisis de la aplicabilidad de laley de resistencia hidráulica obtenida a través del análisis dimensional y definida por laecuación (1.118) (1 2 d 1≤ ≤

y b 3d 1= − ), ya que esta última contiene a las primeras. Es

decir, sólo se analizan las ecuaciones (1.118) y (1.121).

Para comenzar, se establece la expresión general para el caudal unitario que resulta dela ecuación (1.87):

+= 1 b dq ch J (1.122)

La introducción de las ecuaciones (1.96), (1.97), (1.107) y (1.110) en la ecuación(1.122) permite obtener ( ) ( )γ = α + − + α − γ1 b d 1 , es decir:

( ) ( )− γ = α + − −1 d 1 b d d (1.123)

La ley fractal de resistencia hidráulica

De acuerdo con Fuentes et al. (2004), la introducción de = −b 3d 1, ecuaciones (1.87) y(1.118), en la ecuación (1.123), conduce a:

( ) ( )− γ = α −1 d d 2 1 (1.124)

Se debe observar que con =d 1, correspondiente a la ley de Poiseuille, se obtiene elresultado α = 1 2 , que no requiere como condición el comportamiento de la infiltración


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Mezencev (1948), β= +I St ct , ambas asumidas válidas para todo tiempo, el exponenteα = β se puede obtener de la ecuación (1.126): ( ) ( )⎡ ⎤β = − γ + +⎣ ⎦1 d d 2d 3a . Para la ley

de Manning-Strickler, ( )β = + γ3 7 1 , esto es, que la ley de evolución de la lámina

infiltrada depende del caudal de riego. En particular cuando γ = 0 , como en el caso de

un caudal de riego constante, la evolución de la lámina infiltrada queda predeterminadacon β = ≅3 7 0.4286 .

Por lo anterior se infiere que la ley de Manning-Strickler no puede ser considerada comouna ecuación constitutiva en el fenómeno del riego por gravedad cuando se utilizan lasecuaciones de Barré de Saint-Venant y Richards. Esta ley fue establecida en régimenpermanente para justificar algunos datos experimentales, Manning dejó fija la potencia1 2 de la pendiente de fricción tomada de la ley de Chézy y recalculó la potencia del

radio hidráulico obteniendo aproximadamente 2 3 (Levi, 1989). Si se toma este valor de

la potencia del radio hidráulico en la ley fractal de resistencia − =3d 1 2 3 el valor de la

potencia de la pendiente de fricción es de =d 5 9 .

El acoplamiento de las ecuaciones de Barré de Saint-Venant con la ecuación deRichards (o algunas de sus soluciones analíticas) se realiza con esquemas numéricos.Las posibles inestabilidades de los esquemas numéricos pueden ser atribuidas, almenos parcialmente, a la utilización de una ley de resistencia hidráulica no compatiblecon las ecuaciones, como la ley de Manning-Strickler (Fuentes et al ., 2004).

En resumen, la ley de resistencia al flujo en potencia que debe ser utilizada en elacoplamiento de las ecuaciones de Barré de Saint-Venant y Richards en el riego porgravedad es la ley en potencia siguiente:

d3d 1 dh2d 1

gU k R J−−= ν

, 1 2 d 1≤ ≤ (1.127)

donde U es la velocidad media, hR el radio hidráulico, J la pendiente de fricción, g la

aceleración gravitacional, ν la viscosidad cinemática y k un coeficiente empíricoadimensional.

1.5 Sobre la solución del sistema de Barré de Saint-Venant y Richards

Para el análisis de la solución del sistema de ecuaciones de Barré de Saint-Venant yRichards en el riego por melgas se parte de la ecuación integral de continuidad definida

por la ecuación (1.43) haciendo: o oQ Bq= , A Bh= , I A BI= y A BΨ = Ψ , donde B es el

ancho de la melga, oq es el caudal unitario de riego, h el tirante de agua, I la lámina

infiltrada y Ψ la lámina total almacenada, a saber:


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( )f x

o

0

q t x,t dx= Ψ∫ , ( ) ( ) ( )x,t h x,t I x,tΨ = + (1.128)

En el análisis de la ley de resistencia al flujo se establecieron los límites que satisfacenlas funciones

( )I 0,t y

( )h 0,t cuando t 0→ , ecuaciones (1.97), (1.99), (1.114). Con la

hipótesis del tiempo de contacto se tiene:

( )t 0

I 0,tS lim

t→= ,

( )t 0

h 0,tlim

t→σ = (1.129)

y en consecuencia:

( )v t 0

0,tS lim

t→Ψ

= , vS S= + σ (1.130)

El parámetro S es la sorbilidad, el parámetro σ será denominado ascendibilidad por elhecho de que el agua asciende una vez que la onda de agua arriba a un punto de lamelga. El parámetro

vS será denominado sorbilidad global.

Algunas características de la solución del problema avance-infiltración se puedenestablecer bajo algunas hipótesis.

1.5.1 La hipótesis del tiempo de contacto

La hipótesis del tiempo de contacto consiste en aceptar que la infiltración sólo dependedel tiempo que tiene el agua en contacto en un punto dado del suelo. La posición delfrente de avance se describe con la función:

( )f x X t= (1.131)

de modo que el tiempo en que la onda arriba a un punto x está dado por:

( )xt T x= (1.132)

donde 1T X−= es la función inversa de X .

El tiempo de contacto se define como:

xt tτ = − (1.133)

y la lámina infiltrada se define como una función de una sola variable ( )I τ :


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( ) ( )xI x,t I t t= − (1.134)

Para que la lámina infiltrada sólo sea función del tiempo de contacto se requiere que elsuelo sea homogéneo y que la ecuación de Richards esté sujeta a la misma condiciónde frontera en todo punto de la melga. Esto último sólo es posible si el tirante de agua

sobre la superficie evoluciona en el tiempo de la misma manera en todo punto que entraen contacto con el agua, es decir que también el tirante de agua debe ser una funciónde una sola variable ( )h τ , a saber:

( ) ( )xh x,t h t t= − (1.135)

La ecuación (1.135) no se cumple en tiempos muy largos. En éstos el tirante de aguano forma una línea constante, es decir el valor del tirante a lo largo de la melga no esigual a su valor en la cabecera sino que forma un perfil gradualmente variado de modoque toma su valor máximo en la cabecera y va bajando hasta anularse en la posición

final del frente de avance. La hipótesis no es irrazonable en los tiempos cortos, es decircuando la masa de agua infiltra y asciende sobre el suelo una vez que la onda arriba aun punto dado.

La hipótesis del tiempo de contacto se puede asumir en el cálculo de la lámina infiltradaya que la solución de la ecuación de Richards no es muy sensible a la variación deltirante de agua, sobre todo en tiempos largos cuando se ha formado una lámina grandede agua infiltrada ya que el tirante de agua es relativamente pequeño.

La evolución del tirante se obtiene con la introducción de la hipótesis del tiempo decontacto en las ecuaciones de Barré de Saint-Venant aplicadas en la cabecera de la

melga ( x 0= ). Considerando que:

( )( )

h x

f x

V t th

x U t

−∂= −

∂ (1.136)

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

22h x

h x I x 2x x f x

2q x,t q x,t V t tqV t t V t t

x h h t t h t t U t

−⎛ ⎞∂⎡ ⎤= − − + − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ − −⎝ ⎠

(1.137)

en la posición x 0= se tiene:

q0

t

∂=

∂,

h0

x

∂=

∂,

( ) ( ) ( )

2o

h I

2qqV t V t

x h h t

⎛ ⎞∂⎡ ⎤= − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ⎝ ⎠

(1.138)

donde ( )hV t dh dt= y ( )IV t dh dt= .


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Llevando la ecuación (1.138) a la ecuación (1.82), considerando la ley de resistenciadefinida por la ecuación (1.127), también ecuación (1.119), se obtiene en la cabecerade la melga:

3

o

dh dI h

1dt dt 2h h

⎡ ⎤⎛ ⎞ϖ

⎢ ⎥+ κ = − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ;

( )1 d doq

k k

−ν ⎛ ⎞

ϖ = ⎜ ⎟ν⎝ ⎠ (1.139)

donde oh es el tirante de agua definido por la pendiente topográfica conocido como

tirante normal en un canal impermeable:

12d

o3o

o

qh

k gJ

ν⎛ ⎞= ⎜ ⎟ν⎝ ⎠

(1.140)

La expresión de la ascendibilidad se deduce al considerar que para un caudal de aporteconstante se tiene en la ecuación (1.96) 0γ = y q oC q= . Puesto que 1 2α = β = de la

ecuación (1.113) se tiene 0δ = y de la ecuación (1.110) 3 2η = . De la ecuación (1.116)

se tiene ( ) 3f o o pC q S q C⎡ ⎤= σ σ + κ − σ⎣ ⎦ , donde pC h x= − ∂ ∂ cuando x 0→ y t 0→ , de

acuerdo con la ecuación (1.100). Pero en este límite ( ) xh x,t t t= σ − , y se deduce

( )( )x x vh x 2 t t 2 t A∂ ∂ = − σ − , o sea pC 0= y por lo tanto ( ) 2f oC q S= σ + κ σ . De lasecuaciones (1.117) y (1.125) se deduce 3o f q Cϖ = ν σ , es decir:

( )

3 D

o

fohS k

−

⎛ ⎞νσ σ + κ = ϖ = ⎜ ⎟λ⎝ ⎠ (1.141)

y en consecuencia

2S S

2 2

κ κ⎛ ⎞σ = ϖ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.142)

donde 3 2fo ogJλ = ν , ecuación (1.120). Se debe observar que la ascendibilidad no

depende de la viscosidad cinemática en el caso de Chézy ( d 1 2= ) y no depende delcaudal en el caso de Poiseuille ( d 1= ).

La ecuación (1.139), considerando la ecuación (1.141), se escribe también como:

( )3

o

Sdh dI h1

dt dt 2h h

⎡ ⎤σ σ + κ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ κ = − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(1.143)


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El tirante de agua en tiempos largos (h∞ ) se deduce de la ecuación (1.143) cuando

dh dt 0= y sdI dt K= y satisface la ecuación cúbica siguiente:

3

o

o o

h h1 0

h h

∞ ∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ α − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

( )

s o s oo

2 K h 2 K h

S

κ κα = =

ϖ σ σ + κ

(1.144)

cuya raíz real es la siguiente:

3 31 1 1 1 1 13 3o o o4 27 2 4 27 2h h∞

⎛ ⎞= + α + − + α −⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.145)

La ecuación diferencial contiene dos incógnitas, las funciones del tirante de agua ( )h t y

la lámina infiltrada ( )I t , haciendo necesaria otra ecuación para cerrar el sistema: laecuación de Richards. Un caso especial de ésta es el modelo de Green y Ampt (1911)definido por:

2s

s

S 2K hdIK

dt 2I

+ Δθ= + (1.146)

donde s 0Δθ = θ − θ , sθ es el contenido de humedad a saturación y oθ es el contenido dehumedad inicial.

La solución simultánea de las ecuaciones (1.143) y (1.146) proporcionan las funcionesdel tirante de agua y la lámina infiltrada en el tiempo. La solución es en general

numérica, con algunas soluciones analíticas especiales como las que se presentan acontinuación.

En un cauce impermeable, S 0= y dI dt 0= , la ecuación (1.143) tiene la soluciónanalítica:

( )2

1 h3 3 3 3 1t a tan a tan 2h 1 ln

3 3 3 3 3 1 h h∗

∗ ∗

∗ ∗

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1.147)

donde

2

2o

t t2h∗σ

= yo

hh h∗ = .

Cuando el tirante de agua es constante, se deduce una solución analítica de laecuación (1.146) conocida como la ecuación de Green y Ampt de la infiltración:


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s gaga

II K t ln 1

⎛ ⎞= + λ +⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

, ( )ga f h hλ = + Δθ (1.148)

donde2

f s

Sh

2K=

Δθ es la succión e

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