cap 1 fundamentos v1

UTN- FRM, Cátedra: SISTEMAS DE SONIDO; Prof. Ing. Alberto A. Catoira Cap I – Fundamentos – v2 Pág 1

CAPITULO I

FUNDAMENTOS DE ONDAS Y SONIDO

Movimiento ondulatorio armónico y sonido Podemos observar ejemplos de movimiento ondulatorio en la vida diaria: las ondas producidas cuando se lanza una piedra a un estanque en reposo, la vibración de la cuerda de un instrumento, los sonidos de la voz en los seres humanos o los emitidos por los animales que permiten la comunicación entre individuos de la misma especie, los sonidos propios del viento o del mar, etc.

Comencemos por un fenómeno muy común, la propagación de las ondas en la superficie de un estanque. La superficie de un líquido en equilibrio es plana y horizontal. Supongamos que arrojamos un objeto a un estanque. Cuando entra en contacto con la superficie del agua se produce una perturbación de su estado físico de reposo. Tal perturbación produce un desplazamiento de todas las moléculas situadas inmediatamente debajo de la superficie. Teniendo en cuenta las fuerzas que actúan sobre los elementos de fluido: peso del fluido situado por encima del nivel de equilibrio y la tensión superficial, se llega a una ecuación diferencial, a partir de la cual se puede calcular la velocidad de propagación de las ondas en la superficie de un fluido. Si bien el análisis de esta situación es complicado, buscamos una analogía más simple para entrar en el tema con detalle: la propagación de las ondas transversales en una cuerda vibrante.

Antes de que Hertz realizara sus experimentos para producir por primera vez ondas electromagnéticas, su existencia había sido predicha por Maxwell como resultado de un análisis cuidadoso de las ecuaciones del campo electromagnético. El gran volumen de información que se ha acumulado sobre las ondas electromagnéticas (cómo se producen, propagan, y absorben) ha posibilitado el mundo de las comunicaciones inalámbricas que conocemos hoy.

Aunque el mecanismo físico y el medio de propagación pueden ser diferentes para los distintos movimientos ondulatorios, todos ellos tienen una característica común, son perturbaciones producidas en un punto del espacio que se propagan a través del mismo.

Descripción de la propagación


Consideremos una función y=f(x), si reemplazamos x por x-a, obtenemos la función y=f(x-a). La forma de la curva no cambia, los mismos valores se obtienen para y cuando los valores de x son aumentados en a. Si a es una cantidad positiva, la curva se traslada sin cambiar de forma hacia la derecha desde el origen a la posición a. Del mismo modo y=f(x+a) corresponde a un desplazamiento de la función hacia la izquierda, en la cantidad a.

Si a=vt, donde t es el tiempo, la función "se desplaza" con velocidad v. y=f(x-vt) describe la propagación de la perturbación representada por la función f(x), sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v.

Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio en una dimensión

Cada vez que conozcamos que una propiedad física y=f(x,t), por ejemplo el desplazamiento de un punto de una cuerda, satisface la ecuación diferencial

2

22

2

2

x

yc

t

y

∂

∂=

∂

∂ (I.1)

podemos estar seguros que estamos describiendo un movimiento (puede ser ondulatorio) de la cuerda que se propaga a lo largo del eje X, sin distorsión y con velocidad v. La constante c es la velocidad de desplazamiento de la onda. Se comprueba que una solución de esta ecuación diferencial es y=f(x-vt), donde los signos indicados en el argumento indican un desplazamiento de la onda de izquierda a derecha. Por lo tanto cualquier función con esta forma satisface la ec (I.1). El producto v.t si bien es función del tiempo, tiene como unidad la “distancia”, por tanto es dimensionalmente compatible con x. Debe observarse atentamente que la (I.1) es función de x y de t. Por lo tanto esta ecuación permite conocer en un instante dado t=t1 qué posición tiene la onda sobre la cuerda, o bien para una posición cualquiera fija x=x1 permite saber cómo se comporta la cuerda en el tiempo. Dejar fijo el tiempo es equivalente a tomar una instantánea fotográfica; mostrará la forma de onda (deformación de la cuerda) en un instante dado. Dejar la distancia fija equivale a colocar una ranura estrecha vertical en esa distancia (con el resto opaco) y observar por ella el comportamiento de la onda.


Clases de movimiento ondulatorios

• El movimiento ondulatorio transversal es aquél en el que la dirección de vibración es perpendicular a la dirección de propagación, tal como sucede en una cuerda, o con las ondas electromagnéticas.

• En el movimiento ondulatorio longitudinal coinciden la dirección de vibración y la de propagación. Esto ocurre con una onda de presión que se propaga a lo largo de un tubo con aire. El sonido es una onda de presión ondulatoria longitudinal.


Ondas transversales en una cuerda En esta sección, se analiza la propagación de un movimiento ondulatorio en una cuerda (fija en sus extremos) sometida a una tensión para obtener la fórmula de la velocidad de propagación de las ondas transversales en la misma. Supongamos según la figura, que la perturbación original viaja de izquierda a derecha como en la parte superior del eje de la cuerda representado por la línea horizontal.

f(x-vt)

f(x+vt)

Al llegar al soporte fijo de la derecha la perturbación se refleja, invierte el sentido de marcha viajando ahora de derecha a izquierda. Pero además sufre una “inversión” vertical según se ve, se voltea por debajo de la referencia horizontal. Según vimos la perturbación puede representarse como función f(x-vt) moviéndose hacia la derecha y como función f(x+vt) hacia la izquierda. Desplazamiento y velocidad de propagación Consideremos una cuerda cuya tensión es Tc. En el equilibrio, la cuerda está en línea recta. Vamos a ver lo que ocurre cuando se desplaza un elemento de

longitud dx, situado en la posición x de la cuerda, una cantidad ∆x respecto de la posición de equilibrio. Dibujamos las fuerzas que actúan sobre el elemento y calculamos la aceleración del mismo, aplicando la segunda ley de Newton.

• La fuerza que ejerce la parte izquierda de la cuerda sobre el extremo izquierdo del elemento, es igual a la tensión Tc, y la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto, formando

un ángulo α con la horizontal.

• La fuerza que ejerce la parte derecha de la

cuerda sobre el extremo derecho del elemento, es igual a la tensión Tc, y la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto, formando un

ángulo α’ con la horizontal.

Y


Como el elemento se desplaza en la dirección vertical, hallamos las componentes de las dos fuerzas en esta dirección y la resultante.

dFy=Tc(senα’-senα )

Si la curvatura de la cuerda no es muy grande, los ángulos α’ y α son pequeños y sus senos se pueden reemplazar por tangentes.

dFy = Tc(tgα’-tgα ) = Tc·d(tgα’) = dxx

yTcdxtg

xTc

2

2

)(∂

∂=

∂∂

α

La segunda ley de Newton nos dice que la fuerza dFy sobre el elemento es igual al producto de su masa por la aceleración (derivada segunda del desplazamiento). La masa del elemento es igual al producto de la masa unitaria o densidad lineal

µµµµ (masa por unidad de longitud), por la longitud dx del elemento.

dxx

yT

t

ydx

2

2

2

2

∂

∂=

∂

∂).(µ

Simplificando el término dx llegamos a una forma similar de la ecuación diferencial del Movimiento Ondulatorio ec (I.1), a partir de la cual ahora, obtenemos la expresión de la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda.

Ec (I.2)

Por lo dicho en (I.1) se obtiene:

µν

Tc= Ec (I.3)

• ν es la velocidad de propagación de la onda, en m/seg

• µ es la masa unitaria o densidad per unidad de longitud, en kg/m • Tc es la tensión de la cuerda en N

Por lo tanto la velocidad de propagación de la onda en la cuerda tensa depende directamente de la raíz de Tc (tensión sobre la cuerda) e

inversamente de la raíz de µµµµ (masa unitaria). Vale decir que ajustando la tensión y/o la masa unitaria, se puede diseñar la velocidad de propagación de la perturbación.

2

2

2

2

x

yTc

t

y

∂

∂=

∂

∂µ


Modos de vibración de una cuerda sujeta por ambos extremos

Una cuerda horizontal está sujeta por uno de sus extremos, del otro extremo cuelga un platillo en el que se ponen pesas. Una aguja está sujeta al centro de la membrana de un altavoz y por el otro extremo está sujeta a la cuerda. La aguja empieza a vibrar cuando se conecta el altavoz al generador de ondas .

Tenemos un sistema vibrante: Cuerda, y fuerza (proporcionada por la aguja). Cuando la frecuencia de la fuerza oscilante, la cual se indica en el generador, coincide con alguno de los modos de vibración de la cuerda, la amplitud de su vibración se incrementa notablemente, estamos en una situación de resonancia. Esto ocurre, por ejemplo, cuando la perturbación de la aguja es tal, que la deformación producida sobre la cuerda coincide con su longitud. Este caso se denomina “onda estacionaria” pues la cuerda vibra, aparentemente sin desplazamiento. En realidad la onda se desplaza siempre, según vimos al comienzo del párrafo que trata sobre cuerdas, pero si la forma de la perturbación es de la misma longitud que la cuerda no se percibe el desplazamiento y el resultado es una “onda estacionaria”, viaja de ida (hacia la derecha) por la parte superior de la referencia (cuerda en reposo) y de vuelta por la inferior. Entonces:

L = λ/2 Ec (I.4) L : Longitud de la cuerda

λ : Longitud de onda (perturbación)

Como la velocidad ν es igual a la distancia recorrida λ dividida por el tiempo T empleado en recorrerla, entonces:

ν = λ / T Ec (I.5) El tiempo T empleado en transitar una onda completa se denomina período,

por lo tanto la velocidad νννν se puede definir también como la distancia recorrida

de una longitud de onda λλλλ, dividida por su período T que es el tiempo empleado en recorrerla. A su vez, si la oscilación es suficientemente rápida, el período T cabe muchas veces en un segundo.

1 segundo

1 2 3 4 5 6…………………………. f

T T T T T T


Por lo tanto, se puede decir que T cabe f veces en 1 segundo, donde f es el número que define la cantidad de períodos T que tiene 1 segundo: f = 1 seg / T = 1 / T [Hertz] (I.6) La inversa del período T (en segundos) se define como frecuencia f y se mide en Hertz. La (I.5) reemplazando por (I.6) puede escribirse:

ν = λ / T = λ . f (I.7) Despejando f de la (I.7) y reemplazando por la (I.3) y (I.4):

µT

Lf

2

1= (I.8)

La frecuencia f resulta la de oscilación de la onda fundamental estacionaria. Una vez establecida la velocidad de propagación, vamos cambiando la frecuencia de la fuerza oscilante para buscar los distintos modos de oscilación de la cuerda puesto que:

Una vez que encontramos la frecuencia del primer modo de vibración n=1, se pueden buscar rápidamente los restantes: la frecuencia del segundo modo es el doble que la del modo fundamental, la frecuencia del tercer modo es triple, y así sucesivamente... f1: modo fundamental En todos los casos, cuando el número de medias ondas cabe una cantidad entera positiva de veces en la longitud de la cuerda, hay resonancia y la situación es de onda estacionaria. Estas ondas múltiplos son los armónicos de la fundamental. f n=n.f1 armónicos n=2, 3, 4....

La forma general de la expresión que define la frecuencia, teniendo en cuenta las armónicas, o sea las ondas de frecuencia superior a la fundamental que establecen onda estacionaria en la cuerda, será

µTc

L

nf n

2= (I.9)

Ecuación fundamental en la ingeniería de diseño de cuerdas vibrantes siendo T

la tensión de la cuerda, µµµµ la masa unitaria o densidad lineal de la cuerda; L es la longitud de la cuerda vibrante y, la frecuencia resultante fn dependerá también del número “n” del armónico que se considera, donde n=1 establece la frecuencia fundamental de oscilación.


Consideraciones sobre Fourier En general puede decirse que toda función periódica es susceptible de descomponerse en una suma que contiene senos y cosenos. Esto es el resultado de los estudios de Fourier, cuyos fundamentos damos por conocidos de cursos anteriores de la UTN, fundamentalmente de la materia Análisis de Señales y Sistemas. Toda perturbación periódica que se desplace por la cuerda se puede descomponer en suma de senos y/o cosenos. Usaremos una función cosenoidal elemental a fin de simplificar los cálculos posteriores:

( )vtxYy −=→

λπ2

cos ; esta es una onda, que de acuerdo a lo visto, se

desplaza a la derecha. Se puede verificar fácilmente que si reemplazamos esta función en la ec (I.1) la verifica, como era de esperar tratándose de una onda periódica de la forma general f(x-a). Suponiendo ahora la onda de regreso:

( ) ( )vtxYvtxYy +−=−−−=←

λπ

λπ 22

coscos ; similar a la anterior

pero invertida y con desplazamiento hacia la izquierda. Si ahora por el principio de superposición sumamos ambas, tendremos la función elemental cosenoidal que recorre de ida y vuelta la cuerda vibrante.

( ) ( )

+−−=+=←→

vtxvtxYyyyλπ

λπ 22

coscos ; operando trigonométricamente:

( )[ ]

=λπ

πx

senftYseny2

22 (I.10)

El término entre corchetes representa la amplitud A, que como se ve es variable y función A(t) del tiempo. Por tanto para un tiempo t cualquiera,

establecerá un valor de amplitud -2Y ≤ A(t) ≤ 2Y. El término que acompaña multiplicando a los corchetes en (I.10) definirá la forma de onda a lo largo de la cuerda x para el instante t seleccionado. Matemáticamente se puede simular con (I.10) la acción de sacar una foto instantánea de la cuerda vibrante en cualquier instante t. La misma (I.10) puede reordenarse de la siguiente manera:

( )ftssenx

Yseny πλπ

=2

2 (I.11)

Ahora el término entre corchetes es la amplitud A, que como se ve es variable y función A(x) de la distancia (posición sobre la cuerda). Por tanto para una

distancia x cualquiera, establecerá un valor de amplitud -2Y ≤ A(x) ≤ 2Y. El término que acompaña multiplicando a los corchetes en (I.11) definirá la forma de onda (variación con el tiempo) para cualquier distancia x seleccionada. Matemáticamente se simula con (I.11) una ranura vertical estrecha ubicada a cualquier distancia x sobre el eje de la cuerda, donde se vería la onda senoidal como un punto de movimiento vertical oscilatorio, alo largo de la ranura y a la distancia x del origen. Estos ejemplos sencillos permiten observar matemáticamente lo que ocurre en la cuerda vibrante. Si la onda fuese más compleja, entonces podría


descomponerse en elementos básicos (suma de senos y cosenos) y tratarse de la misma manera que se hizo con las ondas cosenoidales (I.10) y (I.11). Supongamos el caso de una onda cuadrada cuya representación es:

Y

t

Esta onda se puede descomponer por Fourier en suma de senos:

.......++++= xsenA

xsenA

xsenA

xsenAy 77

55

33

Ondas senoidales armónicas impares Distinta Amplitud

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

77

84

91

98

105

Unidad: (1/105).Long Onda

Am

plit

ud

1 x seno(k.l) 1/3 x seno(3.k.l) 1/5 x seno(5.k.l) 1/7 x sen (7.k.l)

Por razones de simplicidad se han graficado los 4 primeros términos de la serie de Fourier representativa de la onda cuadrada. Si ahora, por el principio de superposición, sumamos punto a punto cada uno de los valores indicados, se obtiene:

Suma de armónicas impares

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

77

84

91

98

105

Unidad:(1/105).Long Onda

Am

plit

ud

SUMA


Obsérvese cómo con sólo 4 de los términos de la serie se logra aproximar a la onda cuadrada. Cuantos más términos se agreguen a la suma –mayor contenido de armónicos–, tanto mejor será la aproximación.

PROPAGACION DEL SONIDO EN EL AIRE El sonido requiere de un soporte para su propagación. Puede ser un medio sólido, líquido o gaseoso. En el vacío no existe materia por tanto es imposible la propagación del sonido pues hay carencia del soporte adecuado. El aire de la atmósfera está compuesto de una mezcla de Nitrógeno (78%) con Oxígeno (20%), otros gases raros, agua (en forma de humedad) y CO2. La propagación del sonido en la atmósfera depende de la presión y temperatura de ésta. A fin de recordar las unidades de presión más usuales y el concepto de presión atmosférica daremos una breve reseña.

Experiencia de Torricelli

760

mm

Hg

Para medir la presión atmosférica, Torricelli empleó un tubo largo, cerrado por uno de sus extremos, lo llenó de mercurio (Hg) y lo dio vuelta sobre una cubeta con mercurio. El líquido descendió hasta una altura h = 0,76 m, realizada la experiencia al nivel del mar. Dado que el extremo cerrado del tubo se encuentra al vacío, la presión sobre el extremo superior de la columna será p=0. La columna se mantiene a 0,76 m por el solo efecto de la presión que ejerce el aire sobre la superficie del Hg de la cubeta, en equilibrio con la presión que ejerce la columna por su propio peso. Sabiendo que el Peso Específico (Pe) del mercurio es 13,6 gr/cm3, el valor de la presión atmosférica es igual al peso de la columna de Hg dividida por la sección del tubo (supongamos que es S = 1 cm2 para simplificar): P = Pe x V ; siendo; P= peso; Pe = Peso específico; V= Volumen V= S x h = 1 cm2 x 76 cm = 76 cm3 p = 13,6 gr/cm3 x 76 cm3 / 1 cm2 = 1.033,6 gr/cm2

Esta presión es la denominada presión atmosférica y se ejerce sobre la superficie de todos los cuerpos sobre la tierra, de acuerdo con el principio de Pascal.

Teniendo en cuenta que: 1 Kgr = 9,8 N 1 N = 105 dinas 1 Bar = 106 dinas/cm2 1 Pascal = 1N/m2


Se puede convertir la Presión atmosférica (Patm) a distintas unidades: Patm = 1.033,6 gr/cm2 = 1,0336 Kgr/cm2 = 1 Atm

Patm = 1,0336 Kgr/cm2 x (9,8 N/Kgr) x (104 cm/m2)= 101.293 N/m2≈ 105 N/m2 = 105 Pa

Patm = 101.293 N/m2 x (105 dinas/1 N) x (1 m2/104 cm2 ) = 1.012.930 dinas/cm2 ≈ 106 dinas/cm2 = 1 bar Patm = 1,0336 Kgr/cm2 x (6,4516 cm2/pulg2 ) x (2,2046 libras/Kgr) = 14,7 psi = 14,7 libras/pulg2 [pounds square inch]. Si con Pe = 13,6 Kgr/dm3 la altura de la columna de Hg es 0,760 m, suponiendo la misma experiencia de Torricelli realizada ahora con un tubo con agua de Pe = 1 Kgr/dm3 ¿Cuál será la altura de dicha columna de agua para que equilibre la presión atmosférica?

Patm : 0,760m Hg ≡ 0,760m x 13,6 gr/cm3 H2O = 10,33 m H2O Si una columna de Hg queda en equilibrio a los 0,760 m dentro de un tubo vertical –de aprox. 1 m- con extremo cerrado, en las mismas condiciones atmosféricas una columna de agua quedaría en equilibrio a los 10,33 metros. La experiencia de Torricelli es de práctica usual en el laboratorio porque exige un tubo relativamente corto de aprox 1m. de longitud lleno de Hg para realizarla. Sería poco práctico en cambio usar un tubo de unos 11 m. para que la columna de H2O se estabilice en los 10,33 metros. Resumiendo, resulta finalmente que la presión atmosférica Patm se puede expresar a nivel del mar y presión media como:

Patm = 1 Atm = 1,0336 Kgr/cm2 ≈ 14,7 psi

Patm ≈ 106 dinas/cm2 ≈ 1 Bar ≈ 105 Pa Patm = 1.013 HPa = 1.013 mBar Patm = columna de Hg de 760 mm Patm = columna de H2O de 10,33 m Presión atmosférica y sonido

El sonido, tal cual lo interpretamos en la comunicación humana, es una onda de presión que se propaga por el aire. Esta presión acústica se superpone a la presión ambiente; es como si el sonido modulara a la atmosférica. Se verá más adelante que la magnitud del sonido audible es infinitesimal respecto a la atmosférica. Las ondas por su carácter ondulatorio, deben cumplir dos características para ser audibles:

- Frecuencia: estar en una banda de comprendida entre 20 Hz y 20 KHz.

- Nivel: la presión eficaz debe estar en el rango entre 2.10-5 Pa como mínimo y 20 Pa como máximo.


¿Qué pasa fuera de la banda de frecuencias establecida? Por encima de 20 KHz las ondas son inaudibles para el ser humano. Las ondas de presión en este rango de frecuencias se denominan ultrasonidos. Algunos animales tienen capacidad para escuchar ultrasonidos (perros y gatos) y otros para emitir y oír en estas altas frecuencias (roedores, murciélagos, delfines entre otros). Por debajo de 20 Hz las ondas también son inaudibles para el ser humano. Las ondas de presión en este rango de frecuencias se denominan infrasonidos. El elefante tiene capacidad de audición para infrasonidos de muy baja frecuencia; el macho reúne a la manada con una estridente señal cuyas componentes infrasónicas son percibidas por otros elefantes hasta 18 Km de distancia en días calmos, pero resultan inaudibles para el ser humano, salvo los armónicos superiores (que invaden el rango audible). En el caso del elefante la recepción de los infrasonidos se establece por dos caminos: a través de sus grandes orejas adaptadas a las longitudes de ondas largas (baja frecuencia) y también por conducción ósea a través de sus patas, acoplando las vibraciones del terreno a su sistema sensible auditivo. ¿Qué pasa con un Nivel de presión eficaz fuera del rango establecido? Niveles inferiores a 2.10-5 Pa -para 1 KHz- resultan inaudibles para el ser humano, este es el denominado nivel umbral. Niveles superiores a 20 Pa en el punto de audición con exposición prolongada, si bien son sonidos, llevan al deterioro irreversible del aparato auditivo humano. Comparando presiones Si hacemos la relación entre la presión máxima posible para la audición humana, respecto de la mínima presión audible que el oído es capaz de percibir tendremos: Pmáx = 20 Pa; Pmín = 2.10-5 Pa, luego: 20/2.10-5 = 106 Es decir que entre la mayor presión audible tolerable y la menor presión umbral, para una persona de audición normal hay una relación de 1.000.000 de veces. El rango de presiones de audición para el oyente humano es de 1.000.000 : 1 Si hacemos la relación entre la presión máxima posible para la audición humana, respecto a una señal equivalente a la presión atmosférica normal tendremos: 20/100.000 = 2.10-5 Esto significa que la máxima presión audible que el oído puede tolerar es 5.000 veces inferior a la presión atmosférica. Atención! Debe tenerse en cuenta que la presión atmosférica es continua, aproximadamente constante en el tiempo y la estamos comparando con un sonido ondulatorio cuya presión RMS también es constante, pero tiene una frecuencia comprendida entre 20 Hz y 20 KHz.


Si hacemos la relación entre la presión mínima posible para la audición humana (umbral), respecto a una señal con la magnitud de la presión atmosférica normal tendremos: 2.10-5 / 100.000 = 2.10-10 Es decir que la mínima presión audible que el oído es capaz de percibir es 5.000.000.000 veces inferior a una presión senoidal permanente de valor eficaz igual a la atmosférica. Por todo esto podemos decir que el sistema auditivo humano se constituye en un órgano de muy alta sensibilidad y amplio rango de nivel. Ventajas de los logaritmos para comparar presiones audibles Como las diferencia entre las presiones usuales son tan grandes, el manejo de las magnitudes trabajando directamente con las unidades de presión se hace muy engorroso. Se ha normalizado internacionalmente el uso de decibeles (dB) para trabajar con presiones audibles. Como los dB establecen siempre una relación, en este caso serán con respecto a una referencia; se define: dBSPL= 10 log (p/pref)

2 = 20 log (p/pref) (I.12) SPL: Sound Pressure Level (Nivel de presión sonora) p = presión sonora a medir, RMS

pref = presión de referencia = 2.10-5 N/m2 = 2.10-5 Pa = 20 µPa (RMS) Cuando utilizamos dB acústicos, hablaremos de “niveles” de audición y se entenderá que están referidos a 2.10-5 N/m2, o sea se trata de dBSPL. El menor nivel audible será el correspondiente a p=2.10-5 Pa: dB = 20 . log (2.10-5/2.10-5) = 0 dB

A la presión de referencia le corresponde un nivel de 0 dBSPL El mayor nivel audible será 20 Pa (RMS), al cual corresponderá: dB = 20 . log (20/2.10-5) = 120 dB Este es el máximo nivel promedio que puede tolerar el oído humano sin daños

reversibles (cortos períodos de exposición): 120 dB ≡ 20 Pa. Suponiendo una onda de presión en estado permanente senoidal, puede alcanzar como máximo una amplitud igual a la presión atmosférica, pues la semionda negativa puede llegar a una magnitud de mínima presión p=0 Pa y, por simetría, la semionda positiva debe ser de igual amplitud máxima Patm =1 Pa. Por tanto la máxima amplitud posible de una onda de presión acústica es de 100.000 Pa y su nivel sería: dB = 20 . log (105/2.10-5) = 194 dB Los niveles de presión audible SPL se miden con un instrumento denominado sonómetro o también SPM (siglas de Sound Pressure Meter- Medidor de presión sonora).


Este instrumento SPM mide presiones acústicas RMS (valor eficaz de la onda de presión) y las convierte en dB, que cuando están referidos a 2 x 10-5 Pa se denominan dBspl como ya dijimos. Si queremos expresar el nivel de la máxima amplitud posible de una onda permanente de presión acústica en términos RMS debemos dividir la amplitud

máxima por √2, entonces:

194 dB (amplitud pico máxima) → 191 dB (amplitud RMS máxima) dBSPL= 191 dB (RMS) es la máxima amplitud de una onda permanente (estado estacionario) O sea que expresado en niveles (dBSPL), el rango máximo posible de presiones acústicas RMS va desde 0 dB hasta 191 dB, dentro del cual está incluido el rango de presión audible normal, de 0 dB hasta 120 dB. Por debajo de la pref, no hay uso para presiones tan bajas, así que no las tendremos en cuenta y por encima de 120 dB veremos más adelante (Cap II) que se ingresa en rango de peligro para el oído, así que se tomará este valor como límite superior. Una de las ventajas en el uso de los dB es que un rango tan extenso de presiones de trabajo en Pa queda “comprimido” en números de no más de 3 dígitos si se expresan en dB (por ej.: rango habitual de audición 0→120 dB, o rango máximo de presiones acústicas posibles de 0→191 dB). Otras ventajas del uso de los logaritmos tiene que ver con el comportamiento mismo del oído; esto se verá con más detalle en el Capítulo II. Se muestran a modo de ejemplo y con la salvedad que se trata de valores típicos promedio, algunos niveles comunes de fuentes de emisión acústica que sirven como referencia.


Niveles sonoros usuales, escala en Pa y dBSPL

Pa dBspl

200 140 Cohete Saturno a 170 m

63 130

Despegue de jet a 60 m

20 120 Trueno de gran intensidad

Carrera de autos F1, primera fila tribuna

6,3 110 Remachadora donde está el operador

Martillo neumático, guillotina, sierra de corte, 2m

2 100 Planta fundición hormos eléctricos, 10 m

Máquina textil, ferrocarril, 6m.

0,63 90 Sala de claderas, prensas, 5 m

Taladro neumático 16 m

0,2 80 Sala de laminación, interior

Tren de carga, 30 m

0,063 70 Palabra, voz normal 0,30 m

Autopista, banquina

0,02 60 Grandes almacenes y oficinas, interior

Patio de colegios, recreos

6,3.10 -3

50 Oficina pequeña, calle con tráfico lento (vereda)

Tráfico importante, desde patio interior

2.10 -3

40 Zona residencial, horario descanso

Murmullos o susurros

6,3.10 -4

30 Estudio de grabación voz, interior

Estudio TV. Ruido natural del campo en silencio

2.10 -4

20 Estudio para películas sonoras

6,3.10 -5

10 Sala anecoica isonorizada

2.10 -5 0 Umbral de audición En todos los casos el nivel en dBSPL está acompañado de la distancia al emisor, donde se coloca el instrumento de medición SPM. Nivel de potencia acústica El nivel de potencia acústica o PWL (power level) se define con la siguiente expresión: dBPWL = 10 log (Wa/Wref) (I.12 b) Wa = Potencia acústica en Watts Wref = 10-12 Watts ; referencia por convención internacional, para relacionarla a

la potencia acústica. Propagación por aire en tubos Los tubos de caña o de otras plantas de tronco hueco, constituyeron los primeros instrumentos musicales. Emitían sonido soplando por un extremo haciendo vibrar una lengüeta. El aire contenido en el tubo entraba en vibración emitiendo un sonido cuya frecuencia es función del largo del tubo.


Las versiones modernas de estos instrumentos de viento son las flautas, las trompetas y los clarinetes, todos ellos desarrollados de forma que el intérprete produzca muchas notas dentro de una amplia gama de frecuencias acústicas. El órgano es un instrumento formado por muchos tubos de distinta longitud en los que cada tubo da una sola nota (frecuencia). El órgano de la sala de conciertos de La Sydney Opera House terminado en 1979 tiene 10.500 tubos controlados por la acción mecánica de 5 teclados y un pedalero. El tubo de órgano es excitado por el aire que entra por el extremo inferior. El aire se transforma en un chorro en la hendidura entre el alma (una placa transversal al tubo) y el labio inferior. El chorro de aire interacciona con la columna de aire contenida en el tubo. Las ondas que se propagan a lo largo de la corriente turbulenta mantienen una oscilación uniforme en la columna de aire haciendo que el tubo suene.

Ya hemos visto en este capítulo como son las ondas estacionarias en una cuerda. Ahora veremos las ondas estacionarias que se producen en los tubos abiertos o cerrados por un extremo. Existe una analogía entre ambos porque la propagación se realiza en una sola dirección, determinada por la cuerda o por el tubo. Pero en la cuerda las ondas son transversales y en el tubo, longitudinales. Tubos abiertos Si un tubo está abierto en ambos extremos y se genera una perturbación acústica en sus interior el aire vibra con su máxima amplitud en los extremos, pero la presión es mínima en dichos puntos. Hay un defasaje entre amplitud y presión.

ONDA DE PRESIÓN EN UN TUBO ABIERTO

L

Tubo excitado por un parlante y abierto en los extremos

Representación de la onda fundamental de presión estacionaria

Para este caso L = λ/2 Donde λ es la longitud de onda

En esta figura se representa un tubo abierto en ambos extremos, excitado por uno de ellos con un pistón o parlante sin que produzca obturación del extremo, sólo genera la perturbación acústica. Para la frecuencia fundamental de excitación, aparece un nodo en cada extremo y un vientre de presión en el centro del tubo. Esta situación puede ser comprobada colocando un micrófono suficientemente pequeño -para no interferir el campo acústico- en el eje del tubo, desplazándolo desde el exterior a lo largo del tubo. Se medirá -después del pre amplificador- la máxima tensión RMS de salida en el centro del tubo y la mínima en los extremos. El desplazamiento de las partículas de aire, en cambio, se encuentra desplazado 90 grados en fase respecto a la onda de presión, como se ve en la figura:


Onda Senoidal Estacionaria

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 2 4 6 8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

Unidad: (Nº Armónico/72).Long Onda

Am

plit

ud

seno(k.l) sen (-k.l)


-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 2 4 6 8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36


Am

plit

ud


ONDA DE DESPLAZAMIENTO EN UN TUBO ABIERTO

L

Tubo excitado por un parlante y abierto en los extremos

Representación de la onda fundamental de desplazamiento estacionaria

Para este caso L = λ/2 Donde λ es la longitud de onda En este caso, en los extremos abiertos del tubo se encuentran los vientres de desplazamiento y en el centro del tubo el nodo. Al contrario de lo que ocurre con las cuerdas vibrantes, los desplazamientos de partículas en el aire son muy pequeños y difíciles de detectar. No se puede seguir con instrumentos el movimiento de moléculas de aire. Por este motivo se emplea con mayor asiduidad en estudios de propagación en el aire, la presión, ya que ésta se puede medir con transductores adecuados (micrófonos de presión; ver Cap III). En las figuras siguientes, se representan los tres primeros modos de vibración considerando la presión a lo largo del tubo:

Onda estacionaria de presión, modo fundamental.

Onda de presión estacionaria, 2ª armónica



-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,20 2 4 6 8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36


Am

plit

ud


Onda de presión estacionaria, 3ª armónica.

La distancia entre dos nodos o entre dos vientres es media longitud de onda. Si la longitud del tubo es L, tenemos que

L=λ/2, L=2.λ/2=λ, L=3.λ /2, ... en general L=n.λ /2, donde n=1, 2, 3... es un número entero.

Considerando que λ =vs/f, las frecuencias de los distintos modos de vibración responden a la fórmula

Tubos cerrados Si el tubo está cerrado en un extremo se originan: a) un nodo de presión en el extremo abierto donde se encuentra el pistón o parlante y b) un vientre en el

extremo cerrado. Como la distancia entre vientre y nodo consecutivo es λ/4:

La longitud L del tubo resultará L=λ/4, L=3λ/4, L=5λ/4...

En general L=(2n+1) λ/4; con n=0, 1, 2, 3, ... Las frecuencias de los distintos modos de vibración responden a la fórmula

Con n = 0, 1, 2, 3, …. Entero positivo

El factor 2n+1 determina armónicos impares a partir de la fundamental (n=0) Conclusión de propagación de ondas en tubos Para una misma longitud de tubo, los cerrados logran la mitad de frecuencia, es decir sonidos más graves. Pero el tubo abierto reproduce todas las armónicas y el cerrado únicamente las impares. En los instrumentos de viento, normalmente se busca riqueza en armónicos por tanto en general se utilizan tubos resonantes abiertos con adaptación de impedancia acústica a la salida -conformada por una bocina exponencial o hiperbólica- logrando de esta manera incrementar notablemente el rendimiento (presión acústica a las salida respecto de la presión aplicada por el instrumentista).

L

vnf s

4

12 +=


Leyes de Bernoulli

Las fórmulas obtenidas explican las denominadas leyes de Bernoulli:

La frecuencia del sonido en un tubo es: 1. Directamente proporcional a la velocidad del sonido vs en el gas que

contiene el tubo 2. Inversamente proporcional a la longitud del tubo L 3. En un tubo abierto, se puede producir el sonido que corresponde a la

frecuencia fundamental (n=1) y sus armónicos (n=2, 3, 4, ..) 4. En un tubo cerrado, se puede producir el sonido que corresponde a la

frecuencia fundamental y los armónicos impares (2n-1=3, 5, 7, ...). 5. En dos tubos idénticos y con el mismo gas, uno abierto y otro cerrado, el

abierto produce un sonido cuya frecuencia (fundamental) es el doble que la del cerrado.

Velocidad del sonido en un gas El razonamiento que sigue para deducir la fórmula de la velocidad de propagación del sonido en un gas, es muy semejante al de las ondas en una barra elástica, pero con una diferencia importante. Los gases son muy comprensibles y su densidad cambia al modificarse la presión. Consideremos de nuevo las dos partes del problema: la deformación del elemento de volumen que estaba inicialmente en la posición x, y su

desplazamiento dx+dΨ . Deformación del elemento de volumen

La masa de gas contenida en el elemento de volumen, es la misma antes y después de la deformación

Si ρ0 es la densidad del gas antes de pasar la perturbación, la densidad del elemento perturbado es

Hemos de tener en cuenta a efectos de notación (derivada parcial) que es una función de dos variables x (posición) y t (tiempo), y que el término que se suma a la unidad en el denominador es muy pequeño por lo que podemos aproximarlo usando el desarrollo del binomio de Newton (1+x)-1

≈1-x cuando x<<1


Ecuación de estado La presión es una función de la densidad. Dado que la diferencia de presión p respecto de la de equilibrio p0 es muy pequeña podemos hacer aproximaciones que nos simplifican notablemente el resultado

La temperatura en una onda sonora no permanece constante. El gas localizado en una región de compresión está levemente más caliente que su temperatura de equilibrio. En las regiones vecinas, el gas está rarificado (el gas se ha expansionado), y su temperatura es ligeramente inferior a la de equilibrio. Medio periodo después, la región que estaba comprimida pasa a estar expandida, y así sucesivamente.

• A bajas frecuencias, el tiempo disponible entre sucesivas variaciones de la temperatura para que se pueda establecer el equilibrio térmico es grande, sin embargo, la longitud de las regiones es también grande. Por ejemplo, f=100 Hz, el periodo es P=0.01 s, y la longitud de onda es λ=340/100=3.4 m

• A altas frecuencias, el tiempo disponible entre sucesivas variaciones de la temperatura para que se pueda establecer el equilibrio térmico es pequeño, sin embrago, la longitud de las regiones es también pequeña. Por ejemplo, f=10.000 Hz, el periodo es P=0.0001 s, y la longitud de onda es λ=340/10.000=0.034 m

Newton supuso que la relación entre la presión y el volumen era la ley de Boyle, es decir, que la transformación era isoterma. En los libros de texto, se emplea una transformación adiabática argumentándose que no hay tiempo suficiente para que el calor fluya desde las regiones comprimidas (temperatura más alta) a las expandidas (temperatura más baja). Antes de que esto suceda, medio periodo después, la región que estaba comprimida pasa a estar expandida, y así sucesivamente. Esta argumentación, equivocadamente, nos sugiere que a altas frecuencias las ondas sonoras son más adiabáticas que a bajas frecuencias. La solución se encuentra en la teoría de la absorción y dispersión de ondas sonoras elaborada por Kirchhoff, Langevin y otros, la velocidad del sonido depende de la frecuencia. A bajas frecuencias, la velocidad del sonido se aproxima a la deducida suponiendo una transformación adiabática pVγ=cte y a altas frecuencias, la velocidad del sonido se aproxima a la deducida utilizando la ecuación de la trasformación isoterma pV=cte. (Véase el segundo artículo citado en las referencias) La relación entre la presión y el volumen en una transformación adiabática es:

La diferencia de presión p respecto de la de equilibrio p0 es


Desplazamiento del elemento de volumen

Necesitamos ahora la ecuación del movimiento del volumen elemental que contiene una masa (densidad por volumen) ρ0A·dx. El gas a la izquierda del elemento de volumen lo empuja hacia la derecha con una fuerza pS y el gas que está a la derecha lo empuja hacia la izquierda con una fuerza p'S. Por tanto, la fuerza resultante en la dirección +X es

Aplicando la segunda ley de Newton, fuerza igual a masa contenida en el elemento de por aceleración (derivada segunda del desplazamiento).

Igualando ambas expresiones de la fuerza tenemos, la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

Se puede demostrar que la presión p y la densidad ρ obedecen a la misma

ecuación diferencial que el desplazamiento x∂

∂ψ, con la misma velocidad de

propagación v. La fórmula de la velocidad de propagación es

(I.12)

γ es el índice adiabático del gas (1.4 para el aire) y ρ0 es la densidad (1.293 kg/m3), y p0 la presión normal (1 atm = 1.013·105 Pa)

Con estos datos, la velocidad de propagación del sonido en el aire es v=331 m/s a una temperatura de 273 ºK = 0ºC

Se verá más adelante la influencia de la temperatura en la velocidad de propagación del sonido en el aire. Los gases tienen en general distintas velocidades de propagación. En la Tabla siguiente se muestran algunas velocidades de los gases más comunes:


Gas Velocidad de propagación del sonido (m/s) a la presión de 1 atm

Aire (0º C) 331

Alcohol etílico (97º C) 269

Amoniaco (0º C) 415

Gas carbónico (0º C) 259

Helio (0º C) 965

Hidrógeno (0º C) 1284

Neón (0º C) 435

Nitrógeno (0º C) 334

Oxígeno (0º C) 316

Vapor de agua (134 ºC) 494

Fuente: Manual de Física. Koshkin N. I. y Shirkévich M. G.. Editorial Mir, pág 107

Variación de la velocidad del sonido en gases, con la temperatura La velocidad del sonido en un gas no es constante, sino que depende de la temperatura.

De la ecuación de un gas ideal pV=nRT o bien,

La fórmula de la velocidad del sonido se expresa en función de la temperatura t del gas en grados centígrados.

Para obtener esta expresión aproximada, se han tomado los dos primeros términos del desarrollo de (1+t/T0)

1/2 por el binomio de Newton Sabiendo que T0=273.15 K, γ=1.4, R=8.314 J/(K·mol) y M=28.95·10-3 kg/mol, tenemos que

vs ≈ 331.4 + 0.61·t (I.13) donde 331.4 m/s es la velocidad del sonido en el aire a 0ºC.


Para temperaturas cercanas a la ambiente, la velocidad del sonido en el aire varía muy aproximadamente de forma lineal con la temperatura. Esta ecuación es muy importante para tener en cuenta los efectos de la temperatura en los distanciómetros ultrasónicos ya que la distancia medida es una función f(vs) y a su vez vs = f(t) según Ec (I.13) por tanto el microcontrolador debe realizar la corrección correspondiente con la temperatura. La Ec (I.13) tiene solamente las operaciones “+” y “x” facilitando el algoritmo de control. Medición de velocidad por onda estacionaria en un tubo

Las ondas estacionarias de un tubo abierto en ambos extremos (en la figura, el micrófono y el parlante no producen cierre), tienen las siguientes frecuencias

(I.14)

Midiendo la frecuencia fn de un determinado armónico n se puede obtener la velocidad del sonido vs, puesto que se conoce L. La temperatura puede variarse a cualquier valor con un control automático preajustable sobre el líquido calefactor (agua).

El ruido tiene un espectro continuo de frecuencias, y el tubo actúa como un filtro que selecciona sus frecuencias de resonancia, tal como se aprecia en la figura.

La señal recibida por el micrófono, se analiza en un ordenador, que determina las frecuencias correspondientes a los máximos de intensidad. Para determinar la velocidad del sonido en el aire para una temperatura t dada, se representa gráficamente las frecuencias de resonancia fn en función de n. La pendiente de la recta que mejor ajusta es vs/(2L).


Conocido el valor de L=45 cm, se calcula la velocidad del sonido vs. Una vez que disponemos de suficientes pares de datos, (temperatura en grados centígrados, velocidad del sonido), representamos los “datos experimentales” y observamos que se ajustan aproximadamente a la recta vs = 331.4 + 0.61·t que corresponde a la ec (I.13)


EFECTO DOPPLER

Cuando la fuente de ondas y el observador están en movimiento relativo con respecto al medio material en el cual la onda se propaga, la frecuencia de las ondas observadas es diferente de la frecuencia de las ondas emitidas por la fuente. Este fenómeno recibe el nombre de efecto Doppler en homenaje a quien realizó las investigaciones.

En primer lugar, vamos a observar el fenómeno, y después obtendremos la fórmula que relaciona la frecuencia de las ondas observadas con la frecuencia de las ondas emitidas, la velocidad de propagación de las ondas vs, la velocidad del emisor vE y la velocidad del observador vO.

Consideraremos que el emisor produce ondas de forma permanente, pero solamente representaremos los sucesivos frentes de ondas, circunferencias centradas en el emisor, separados por un periodo, de un modo semejante a lo que se puede observar en la experiencia en el laboratorio con la cubeta de ondas. En la simulación más abajo, fijaremos la velocidad de propagación del sonido en una unidad vs=1, y el periodo de las ondas sea también la unidad, P=1, de modo que los sucesivos frentes de onda se desplazan una unidad de longitud en el tiempo de un periodo, es decir, la longitud de las ondas emitidas

es una unidad, λλλλ =vsP.

El observador en reposo

Empezamos por el caso más sencillo, en el que el observador está en reposo, a la izquierda o a la derecha del emisor de ondas. Vamos a estudiar diversas situaciones dependiendo de la velocidad del emisor.

Recordaremos que en el estudio de las del movimiento ondulatorio armónico,

se estableció la relación entre longitud de onda y periodo, λλλλ =vsT.

El emisor está en reposo (vE=0)

Se dibujan los sucesivos frentes de ondas que son circunferencias separadas una longitud de onda, centradas en el emisor. El radio de cada circunferencia es igual al producto de la velocidad de propagación por el tiempo transcurrido desde que fue emitido. La separación entre dos frentes de onda

es una longitud de onda, λλλλ=vsT , siendo T el periodo o tiempo que tarda en pasar dos frentes de onda consecutivos por la posición del observador.

• La longitud de onda medida por el emisor y por el observador es la

misma, una unidad, λλλλE=λλλλO=1.


Cuando el emisor está en movimiento (vE<vs)

Consideramos primero el caso de que la velocidad del emisor vE sea menor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs (vE<1).

Si el movimiento del emisor va de izquierda a derecha (velocidades positivas), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha es más

pequeña que la del emisor (λλλλo<1), y la longitud de onda medida por el

observador situado a la izquierda del emisor es mayor que la del emisor (λλλλo >1).

• Observador situado a la derecha del

emisor λλλλO<λλλλE

• Observador situado a la izquierda del

emisor λλλλO>λλλλE

Como λλλλ =vT, o bien λλλλ =v/f , hay una relación

inversa entre longitud de onda λλλλ y la frecuencia f.

• Observador situado a la derecha del emisor fO>fE

• Observador situado a la izquierda del emisor fO<fE

Si el emisor emite ondas sonoras, el sonido escuchado por el observador situado a la derecha del emisor, será más agudo y el sonido escuchado por el observador situado a la izquierda será más grave. En otras palabras, cuando el emisor se acerca al observador, éste escucha un sonido más agudo, cuando el emisor se aleja del observador, éste escucha un sonido más grave.

Cuando el emisor está en movimiento (vE=vs)

Cuando la velocidad del emisor vE sea igual que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs (vE=1), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha del emisor es cero. Si el emisor es un avión que va a la velocidad del sonido, los sucesivos frentes de las ondas emitidas se agrupan en la punta o morro del avión.

Cuando el emisor está en movimiento (vE>vs)

Cuando la velocidad del emisor vE sea mayor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs (vE>1), el movimiento ondulatorio resultante es


entonces una onda cónica (la envolvente de los sucesivos frentes de onda es un cono con el vértice en el emisor), esta onda se llama onda de Mach u onda de choque, y no es más que el sonido repentino y violento que oímos cuando un avión supersónico pasa cerca de nosotros. Estas ondas se observan también en la estela que dejan los botes que se mueven con mayor velocidad que las ondas superficiales sobre el agua.

La envolvente, es la recta tangente común a todas las circunferencias. En el espacio, los frentes de onda son esferas y la envolvente es una superficie cónica.

En el instante t=0, el emisor se encuentra en B, emite una onda que se propaga por el espacio con velocidad vs. En el instante t el emisor se encuentra en O, y se ha desplazado vE·t, En este instante, el frente de onda centrado en B tiene una radio vs·t.

En el triángulo rectángulo OAB el ángulo del vértice es sen θ=vE/vs.

Este cociente se denomina número de Mach.

Deducción de la fórmula del efecto Doppler

A partir de la observación del movimiento del emisor, del observador y de los sucesivos frentes de onda, vamos a obtener la fórmula que describe el efecto Doppler.


En la parte superior de la figura, tenemos dos señales, que pueden corresponder a dos picos consecutivos de una onda armónica, separados un periodo T. En la parte inferior, los dos puntos coloreados representan las posiciones del emisor (en rojo) y del observador (en azul). En el instante inicial t=0 en el que se emite la primera señal, el emisor y el observador están separados una distancia d desconocida, que no afecta al fenómeno en cuestión.

La primera señal es recibida por el observador en el instante t. La señal se desplaza el camino marcado en trazo grueso negro en la parte superior de la figura, desde que se emite hasta que se recibe, podemos por tanto, escribir la ecuación

vs·t = d + vO·t

La segunda señal se emite en el instante T, y se recibe en el instante t’. En el intervalo de tiempo entre la primera y la segunda señal, el emisor se desplaza vET. La segunda señal recorre desde que se emite hasta que se recibe, el camino señalado en trazo grueso negro en la parte inferior de la figura. Por tanto, podemos escribir la ecuación

d-vE·T+vO·t’=vs·(t’-T)

Eliminando la cantidad desconocida d entre las dos ecuaciones, relacionamos el periodo T’=t’-t, de las ondas recibidas, con el periodo T de las ondas emitidas.

Teniendo en cuenta que la frecuencia es la inversa del periodo, obtenemos la relación entre frecuencias, o fórmula del efecto Doppler.

(I.17)

Ejercicio: Un silbato emite sonido de frecuencia 500 Hz se mueve con una máquina de tren a velocidad de 90 km/h. Un conductor se mueve en la misma dirección


pero en sentido contrario en un vehículo con una velocidad de 144 km/h acercándose al tren. Calcular la frecuencia del sonido escuchado por el conductor

vE=25 m/s vs=340 m/s vO=-40 m/s

La frecuencia del sonido escuchado es f'= 603 Hz

vE=-25 m/s vs=-340 m/s vO=40 m/s

La frecuencia del sonido escuchado esf ' =603 Hz

EFECTO DOPPLER ACUSTICO CON ECO

En esta página, estudiamos el efecto Doppler debido al sonido producido por un emisor que se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad vE>0. El sonido choca con un reflector que se mueve en la misma dirección con velocidad vR. El observador que se mueve con velocidad vO mide la frecuencia f del sonido reflejado. Supondremos que las velocidades del emisor, observador y reflector son menores que las del sonido vS.

Estudiaremos especialmente dos situaciones:

• El observador en reposo en el origen

• El observador coincide con el emisor (caso de los murciélagos)

Siguiendo el mismo procedimiento de las páginas previas, vamos a deducir la relación entre la frecuencia del sonido emitido f0 y la frecuencia f del sonido escuchado por el observador.


Descripción

El emisor produce un movimiento ondulatorio armónico de frecuencia f0 y longitud de onda λ0=vs/f0.

• En el instante t=0, el emisor se encuentra en el origen O y emite la primera señal.

• En el instante t1 llega al reflector, se refleja y es captada por el observador en el instante t’1.

• En el instante T=1/f0 se emite la segunda señal cuando el emisor se encuentra a una distancia vET del origen, llega al reflector en el instante t2 y el captada por el observador en el instante t’2. El periodo del movimiento ondulatorio armónico medido por el observador es P’=t’2-t’1.

Primera señal

Supongamos el reflector en el instante inicial t=0, se encuentra a una distancia d del origen. Se emite la primera señal que viaja por el aire hasta que se encuentra con el reflector en el instante t1.

vs·t1=d+vR·t1

La señal se refleja en el instante t1 y se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad vs, recorriendo un camino más pequeño debido a que el observador se ha desplazado. La señal es captada por el observador O en el instante t’1

d+vR·t1-vOt’1=vs(t’1-t1)

Despejamos t'1 en el sistema de dos ecuaciones


Segunda señal

La segunda señal, se emite en el instante T, el emisor se encuentra a una distancia vET del origen. La señal viaja por el aire hasta que se encuentra con el reflector en el instante t2.

d-vET+vR·t2=vs·(t2-T)

La señal se refleja y se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad vs, hasta que es captada por el observador O en el instante t’2

d-v0t’2+vR·t2=vs·(t’2-t2)

Despejamos t'2 en el sistema de dos ecuaciones

Periodo T' medido por el observador

El periodo T’ del movimiento ondulatorio armónico medido por O es

Sabiendo que f=1/T’ y f0=1/T, La relación de frecuencias es

(I.18)


Ejemplo

La velocidad del sonido se ha fijado en vs=1.0.

Emisor en reposo

Cuando el emisor se encuentra en reposo vE=0, el movimiento ondulatorio armónico tiene un periodo T=1 y una longitud de onda λ=vs·T=1. La onda llega al reflector y cambia de frecuencia, aumentando si se acerca el emisor y disminuyendo si se aleja del emisor, tal como se aprecia en la figura

• Si la velocidad del reflector vR=0.2 (se aleja), el emisor se encuentra en reposo vE=0, y el observador se encuentra en reposo vO=0, entonces f=(1-0.2)/(1+0.2)=2/3. La longitud de onda es λ=vs/f=1.5 (figura inferior)

• Si la velocidad del reflector vR=-0.2 (se acerca), el emisor se encuentra en reposo vE=0, y el observador se encuentra en reposo vO=0, entonces f=(1+0.2)/(1-0.2)=3/2. La longitud de onda es λ=vs/f=2/3=0.67 (figura superior)

Emisor en movimiento

Cuando el emisor se mueve con velocidad vE=0.2, el movimiento ondulatorio armónico que llega al reflector tiene una frecuencia

y una longitud de onda λ’=4/5=0.8.

En la figura, se compara los sucesivos frentes de onda producidos producidos por un emisor en reposo y los producidos por un emisor en movimiento


En esta figura, se compara los movimientos ondulatorios armónicos

La onda llega al reflector y cambia de frecuencia, aumentando si se acerca el emisor y disminuyendo si se aleja del emisor.

Observador en movimiento

Cuando el emisor y el observador coinciden vE=vO, la frecuencia f escuchada por el emisor es (este sería el caso del murciélago)

(I.20)

Como caso particular interesante, es aquel en el que la velocidad del emisor y del reflector coinciden vE=vR, entonces f=f0.


Variación de la energía acústica con la distancia Supongamos una fuente generadora acústica puntual y esférica, ubicada al aire libre, sin obstáculos. La Densidad Volumétrica de la Energía a la distancia “r”, según se vio en el

Capítulo Ι, es:

Da = pa2 / (ρ0 .c

2) (I.21) Donde: Da: Densidad volumétrica de energía, al aire libre, en wats.seg/m3

pa : Presión sonora eficaz en el mismo punto donde se mide Da, a la distancia “r” del emisor.

ρ0 : Densidad del aire a temperatura y presión típicas (25°C y 1.013 mBar).

c : Velocidad del sonido a temperatura y presión típicas (25°C y 1.013 mBar).

Por otra parte la Densidad Superficial de Potencia (también llamada Intensidad Acústica) dividida por la velocidad de propagación del sonido, resulta asimismo en la Densidad Volumétrica de Energía, obtenida por otro camino:

Da = Wa / (4.π.r2.c) (I.22) Donde: Da : Densidad de energía a una distancia “r” de la fuente puntual, en

watts.seg/m3

Wa : Potencia acústica del generador

r : Distancia entre el emisor que genera Wa watios y el punto donde se define Da

Igualando ambas expresiones de Densidad Volumétrica de Energía (VI.1 y VI.2) resulta:

pa2 / (ρ0.c

2) = Wa / (4.π.r2.c) de donde podemos obtener :

pa2 = Wa.ρ0.c / (4.π.r2) (I.23)

Esta ecuación es muy importante porque permite conocer la presión acústica

producida por una fuente omnidireccional de potencia acústica Wa, a cualquier

distancia “r” de ella. Observar que salvo Wa, “pa“ y “r”, los demás factores son

constantes. Hemos encontrado la relación entre la presión (pa) en un punto

cualquiera y la potencia acústica (Wa) que la produce, siendo la distancia (r) entre ambos, el parámetro. A los efectos de aplicar logaritmos a esta última ecuación, usaremos los niveles de referencia de presión pref = 2.10-5 N/ m2 y de potencia Wref = 10-12 Watts, multiplicando y dividiendo convenientemente a la ecuación (I.23):

pa2 / pref

2 = (Wa / Wref) . (ρ0.c.Wref / pref 2) / (4.π.r2)

Aplicando ahora logaritmos decimales:


10.log (pa2 / pref

2) = 10.log (Wa / Wref) + 10.log (ρ0.c.Wref / pref 2) + 10.log [ 1/

(4.π.r2) ] Donde:

dBSPL = 10.log (pa2 / pref

2) = 20.log (pr / pref ) ; nivel de presión acústica en dB

dBPWL = 10.log (Wa / Wref) ; nivel de potencia en dB

K = 10.log (ρ0.c.Wref / pref2) ; constante que depende de “ρ0”, “c”, “Wref“,

“pref”.

La constante “K” depende de “ρ0” y “c” que son, a su vez, funciones de la tempertura y la presión atmosférica ambiente, en cambio, “pref” y “Wref“ son constantes absolutas. Se ha obtenido una relación empírica que proporciona K = F(t,p):

K = -0,008.t - 2,3.10-6

.p2 + 0,00897.p – 6,51 (I.24)

donde

t = Temperatura ambiente °C p = Presión atmosférica en mBar ó HPa K = en dB Podemos representar K=f(t,p) según un muestreo de condiciones reales comparativo entre Mendoza y Buenos Aires, con datos obtenidos del Observ. Meteorológico. Nacional, según la siguiente tabla:

PRESION BAROM. y TEMPERATURA. Mza/BsAs

Mza Bs As Mza Bs As Mza Bs As

1 10/01/2007 921,2 1.006,5 24,9 21,0 -0,40 0,02

2 15/01/2007 919,8 1.012,8 26,2 26,8 -0,41 0,00

3 17/01/2007 915,3 1.004,4 21,8 27,6 -0,40 -0,04

4 19/01/2007 916,9 1.008,6 26,2 22,9 -0,43 0,01

5 22/01/2007 910,6 1.009,6 30,8 27,2 -0,50 -0,02

6 23/01/2006 914,0 1.002,0 29,2 23,2 -0,47 -0,02

7 24/01/2006 916,5 1.008,1 26,8 29,5 -0,44 -0,04

8 24/01/2006 915,7 1.008,9 25,4 22,8 -0,43 0,02

9 26/01/2006 917,2 1.003,6 26,6 29,1 -0,43 -0,06

10 29/01/2006 918,9 1.011,2 24,8 25,0 -0,41 0,01

916,6 1.007,6 26,3 25,5 -0,43 -0,01PROMEDIO

K = -0,008.t - 2,3.10-6.p2 + 0,00897.p - 6,51Presión HPa Temp ºCNº Fecha

Por ejemplo para una temperatura ambiente t = 25,5°C y una presión

atmosférica p = 1.008 mBares, resulta K ≅ -0,01 dB.

Si t = 26.3°C y la presión atmosférica p = de 917 mBares, resulta K ≅ -0,43 dB. En general, los valores de “K” para condiciones normales de temperatura y presión atmosférica en Mendoza, están por debajo de 0,5 en valor absoluto. Esto significa que para cálculos prácticos puede despreciarse esta constante (haciendo K = 0). La fórmula completa para aplicaciones precisas queda entonces:

dBSPL = dBPWL + 10.log [ 1/ (4.π.r2) ] + K (I.25)


o bien para aplicaciones prácticas, se reduce a:

dBSPL = dBPWL + 10.log [ 1/ (4.π.r2) ] (I.26-a) Atención! Estas fórmulas se aplican al caso de una fuente omnidireccional y al aire libre sin obstáculos.

Esta es la denominada Ley de Hopkins Stryker (reducida al caso particular de fuente omnidireccional, al aire libre y sin obstáculos), fundamental para conocer la atenuación del sonido a medida que nos acercamos o alejamos de la fuente emisora. En el Cap VI se verá está misma ley generalizada, sin restricciones.

Ley de las distancias Dado un emisor cuyo nivel de potencia es dBPWL, a medida que nos alejamos

del mismo, los dBSPL disminuirán porque el término 10 . log [ 1 / (4 . π . r2) ] es

negativo y su valor absoluto se incrementa a medida que crece la distancia.

Supongamos que la distancia se duplique; el término 10 . log [ 1 / (4 . π . r2) ]

resulta -6 dB (por debajo). En espacios al aire libre se considera que cada vez que se dobla la distancia entre la fuente sonora omnidireccional y el oyente, disminuye el nivel sonoro (atenuación) en 6 dB y viceversa, cada vez que se reduce a la mitad esa distancia aumenta el nivel sonoro (incremento) en 6 dB. Por ejemplo supongamos que estamos escuchando un altavoz a una distancia de 10 metros, si utilizamos un sonómetro y medimos el nivel de presión acústica obtenemos un valor de 80 dB, si ahora nos distanciamos 10 metros más, o sea doblamos la distancia inicial, obtendremos una lectura de 74 dB (6 dB menos que en el primer punto); si todavía nos alejamos 20 metros más de este ultimo punto, doblando así nuevamente la distancia, estaremos a 40 metros de la fuente con un descenso de otros 6 dB y tendremos finalmente 68 dB en la lectura del sonómetro. Para desarrollar una fórmula práctica de aplicación con esta ley, suponemos un

solo emisor (y que dBPWL permanece constante) y un sonómetro (mide dBSPL) en dos posiciones diferentes (distintas "r"), entonces:

dBSPL1 = dBPWL + 10 . log [ Q / (4 . π . r12) ]

dBSPL2 = dBPWL + 10 . log [ Q / (4 . π . r22) ]

Restando:

dBSPL1 - dBSPL2 = 10 . log [ r22 / r1

2 ] = 20 . log [r2 / r1]

Forma general de la la ley de las distancias al aire libre, sin obstáculos:

dBSPL1 - dBSPL2 = 20 . log [r2 / r1] (I.26-b)

donde:

dBSPL1; es el nivel sonométrico a la distancia r1

dBSPL2; es el nivel sonométrico a la distancia r2

dBSPL1 - dBSPL2 = Variación relativa de nivel (atenuación o ganancia)


Siendo dBSPL1 - dBSPL2 = 20 . log [r2 / r1], supóngase que la distancia r2 = 2.r1,

entonces la variación relativa de nivel será dBSPL1 - dBSPL2 =20 . log [2 ] = 20 .

log 2 = 6 ; con lo que la atenuación se incrementa en 6 dBSPL1 cuando se duplica la distancia siempre que la potencia del generador se mantenga constante y se verifica que:

Podemos decir que cada reducción (o incremento) de la

distancia en 2 veces varía el nivel acústico en ± 6 dB según corresponda. Se aplica esta ley con generador omnidireccional y campo libre, sin obstáculos. Esta propiedad deducida de la ley de H&S se conoce como “ley de las distancias”.

Relación entre dBspl y dBpwl Obsérvese que el término 10 . log [1 / (4 . π . r

2)] cumple una condición

particular si se iguala a cero; se puede conocer el valor de “r” tal que convierta dicho término en cero:

10 . log [1 / (4 . π . r2)] = 0 entonces:

r = 0,282 metros por lo tanto a: r=0,282 metros la Ec (I.26a) se reduce a: dBSPL = dBPWL (I.27) Esta condición permite conocer a partir de los dBspl medidos con sonómetro la potencia acústica irradiada por el emisor en sus proximidades si, además, se conoce la distancia sonómetro-emisor.

Hay una distancia, para la cual un emisor acústico al aire libre, cumple con la igualdad dBSPL = dBPWL, es decir el nivel de presión coincide con el de potencia. Esa distancia, que depende del emisor; cuando éste es omnidireccional (Q=1) resulta 0,282 metros.

Ejemplo 1 Un emisor de ruido constante produce a 64 metros de distancia una señal tal que medida con sonómetro alcanza una magnitud de 78 dBSPL. Calcular la potencia del emisor. Solución a)

A 64 metros de distancia se mide 78 dBSPL; si se aplica la ley de Hopkins Striker ec (I.26a), despejando dBPWL:

dBPWL = dBSPL - 10.log [1/ (4.π.r2)] donde: dBSPL = 78 dB r = 64 metros


Resolviendo:

dBPWL = 78 - 10. log [ 1/4.π.642] = 78 - [- 47] = 125 dB Por definición: 125 dB = 10 . log Wa/Wref ; con Wref = 10-12 Watts Despejando: Wa = Wref .10 125/10 = 10-12. 3,16 . 1012 = 3,16 Watts acústicos. Es decir que con sólo un sonómetro y una cinta métrica se ha determinado la potencia acústica del emisor. Solución b) Aplicaremos la regla de la ley de las distancias tal como se estableció anteriormente en el párrafo recuadrado:

A 64 metros de distancia del emisor 78 dBSPL

A 32 metros 84 dBSPL


A 8 metros 96 dBSPL




A 0,5 metros 120 dBSPL

A 0,25 metros 126 dBSPL

Pero 0,25 m ≅ 0,282 m; suponiendo que se cumpla la ec. (I.27), aplicando la definición de dBPWL y resolviendo: Wa = Wref .10 126/10 = 10-12. 4 . 1012 = 4 Watts acústicos Como era de esperar este resultado es próximo al exacto obtenido con la solución a), la diferencia resulta de haber tomado: 0,25 m en lugar de 0,282 m. Hemos empleado este método b) a solo título didáctico, para verificar la ley de las distancias. El método de ingeniería es el a). Ejemplo 2 Se desea conocer la potencia acústica emitida por el cohete Saturno, sabiendo que el nivel medido a una distancia de 170 metros del punto de despegue es de 140 dBSPL. Aplicando la (I.26) se despeja dBPWL:

dBPWL = dBSPL - 10.log [ 1/ (4.π.r2) ] Reemplazando:

dBPWL = 140 – 10 log [ 1/ (4.π.1702) ] = 140 – [10 . (–5,56) ] = 195,6 dB


Para conocer la potencia se aplica la definición ec (I.12 bis): dBPWL = 10 log (Wa/Wref) luego despejando Wa

Wa = Wref. 10dBpwl/10 = 10-12. 10195,6/10 ≅ 36.000.000 Watts acústicos Es decir, el Saturno desde el punto de vista acústico es un super generador de 36 MWatts de potencia acústica. Ejemplo 3 Un generador omnidireccional de ruido blanco establece 84 dBSPL a una distancia de 6 metros. Calcular el nivel que se producirá a 38 metros con el generador en la misma posición e igual nivel de emisión. Se supone aire libre sin obstáculos. Por la ec. I.26b

dBSPL1 - dBSPL2 = 20 . log [r2 / r1] X – 84 = 20.log[6/36] X = 84 + 20.log[6/36] = 84 – 16 = 68 dB O sea, que al incrementar la distancia de 6 a 32 metros, se producirá una caída

de 16 dB y el nivel en la nueva posición será de 68 dBSPL. Bibliografía: Textos de física para ingeniería. Calor y Sonido. Análisis de Señales y Sistemas. 2º Año UTN-FRM. Apuntes de Ing. E. Serdoch. Acústica. Leo L. Beranek. Ed. HASA. Ingeniería de Sistemas Acústicos. Don & Carolyn Davis. Marcombo.

cap 1 fundamentos v1

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