Captulo 1Ecuaciones generales de los medioscontinuos1.1. IntroduccinEn este captulo se deducirn las ecuaciones principales que describen el comportamiento de losmedios continuos. Recordemos los modelos que describen el comportamiento mecnico de la materia,a saber:La partcula puntual.El slido rgido.El medio continuo deformable, donde se distingue entre el slido elstico, ya sea lineal o nolineal, y el uido (lquidos), ideal o viscoso.1.1.1. La partcula puntualLa partcula puntual es la mayor abstraccin que se conoce para un cuerpo material y consiste,como es sabido, en reducirlo a un simple punto en el espacio (punto matemtico), lo que implica unvolumen cero. A dicho punto se le asocia el valor de la masa del cuerpo.Este modelo se caracteriza por poseer tres grados de libertad. Evidentemente, slo le son asignablemovimientos de traslacin (carece de sentido la rotacin o deformacin de un punto), no existiendoligaduras intrnsecas.Esta abstraccin de un cuerpo a un simple punto es lcita, resultando del todo efectiva, siempreque no tengamos que tener en cuenta su estructura interna, efectos de tamao, etctera.1.1.2. El slido rgidoEl slido rgido se puede considerar como un cuerpo continuo compuesto por innitas partcu-las puntuales, lo que conlleva, en principio, un nmero innito de grados de libertad (tres por cadapartcula puntual), aunque por propia denicin del slido rgido se le exige que las distancias relati-vas entre todas las partculas puntuales que la forman, |ri j|, sean siempre constantes (de ah su nombrey no deformabilidad). Estas ligaduras introducidas hacen que los iniciales innitos grados de libertadse vean reducidos a seis, tres de los cuales determinan el movimiento de traslacin y los tres restantes12 CAPTULO 1. ECUACIONES GENERALES DE LOS MEDIOS CONTINUOSel movimiento de rotacin (orientacin). Mediante ecuaciones diferenciales ordinarias podemos for-mular ambos movimientos.Acontinuacin, noscentraremosenelestudiodelmediocontinuodeformable, verdaderoob-jetivo de este curso.1.2. El medio continuo deformable1.2.1. El sistema fsicoEl estudio del medio continuo deformable es el ms complejo de los tres comentados, estando for-mado, al igual que el slido rgido, por innitas partculas puntuales. Son considerablemente impor-tantes las interacciones entre las mismas, aunque debe tenerse en cuenta que las fuerzas de interaccinno introducen ligaduras (geomtricas), por lo que el sistema mantiene sus innitos grados de libertad.En este modelo hay que tratar la traslacin de los innitos puntos; adems, la rotacin ya no ser, engeneral, la misma en todos los puntos.La novedad con respecto a los anteriores modelos es el hecho de que se tienen en cuenta las de-formacioneso distorsionesdel cuerpo material (las distanciasentre partculaspuntualesya no sonconstantes), lo que se traduce en que el entorno de un punto puede variar. La forma de trabajar coneste medio desde el punto de vista matemtico consiste en obtener un conjunto de ecuaciones difer-enciales en derivadas parciales (EDP) que modelen su comportamiento dinmico.1.2.2. El punto materialNuestra intencin es poder aplicar las leyes de Newton al medio continuo deformable. Para ello,dividimos el medio en porciones a las que aplicar dichas leyes.Puesto que el clculo diferencial es exacto cuando tratamos con entornos innitesimalmente pe-queos, las porciones comentadas deben ser lo suciente pequeas para que el clculo diferencial searazonablementeaplicable, pero siempre teniendo en cuenta que en su seno ha de haber un nmeroconsiderable de partculas puntuales.A una de estas porciones denidas de la forma anteriormente sealada se le denomina punto ma-terial, no siendo un punto en el sentido matemtico.1.2.3. Principio del equilibrio localEl sistema constituido por el punto material es evidentemente macroscpico, debido al alto nmerode partculas que contiene, teniendo sentido asignarle magnitudes macrocpicas como la temperaturaTo la entropa S, propias de la termodinmica.Admitiremos que el punto material es lo sucientemente pequeo como para que se cumpla unacierta uniformidad (sin uctuaciones) en el mismo, constituyendo un sistema termodinmico en equi-librio. Esta hiptesis se denomina Principio del equilibrio local, supuesto vlido desde ahora en todopunto material. El adjetivo local se entiende en fsica como relativo al punto, mientras que cuando sehabla de una propiedad global, sta se puede extender desde una pequea regin a todo el espacio.1.3. CINEMTICA DEL MEDIO CONTINUO 3Punto materialParticula puntualLongitud caracteristica del sistemaDistancia promedio entre particulasLLZXY 0, pero pueden darse otros casos que quedanreejados en la Figura 1.11.1.11.2. Estudio en tres dimensionesPara el caso de tres dimensiones, los valores posibles de n y se encontrarn, no ya en una curva,sino dentro de un recinto plano.1.11. COMPONENTES INTRNSECAS DE LA TENSIN 29 n n 121 21< 0 < 2 < 2< 01Figura 1.11: Otros casos posibles para el Crculo de Mohr segn los signos de los autovalores iDesde un principio vamos referirnos a los ejes principales del tensor . Respecto a stos, el tensor es simtrico; en su diagonal principal aparecen los tres autovalores reales correspondientesa tresautovectores mutuamente perpendiculares.Nos preguntamos, cmo denir la direccin del vector normal n?. Consideremos, para ello, loscosenos directores como vemos en la Figura 1.12.n~~eee231( )( )( )213~Figura 1.12: Eleccin del vector normal n con los cosenos directoresEstos tres cosenos directores no son independientes si no que cumplen una condicin de cierre, asaber2+2+2= 1Ya sabemos que para obtener el vector debemos contraer el tensor , que ya hemos dicho quelo tomaremos de partida diagonal, con el unitario normal n dado por los cosenos directores =__10 00 200 0 3______=__123__Al igual que antes si se quiere calcular n debemos hacer el producto escalar entre ynn =n =21 +22 +2330 CAPTULO 1. ECUACIONES GENERALES DE LOS MEDIOS CONTINUOSPara calcular la componente tangencial no podemos a priori partir de

tcomo en el caso de dosdimensiones, ya que ste depende del punto que consideremos. As que, debemos usar el mdulo de para calcular 2=2+2n 2=22nNo hay ms que tomar el mdulo de y n, y calcular el valor de .Nos interesa conocer cmo vara n y para todas las direcciones del espacio, para lo que conta-mos con las 4 ecuaciones siguientes___2+2+2= 12=22n2=2(1)2+2(2)2+2(3)2n =21 +22 +23Haciendolas sustitucionespertinentesllegamosal sistemade ecuacionesque vemosa contin-uacin___2+2+2= 12+2n =2(1)2+2(2)2+2(3)2n =21 +22 +2(3)(1.15)Para tratar este ltimo sistema de ecuaciones pongmonos en el suspuesto de que jamos uno delos cosenos directores, as podemos ver como varan y n. Por ejemplo, tomemos como el cosenodirector jo. De esta forma se permite variar y .Todas las direccionesque forman un ngulo constante con la direccin de e1, conforman uncono de direcciones como el de la Figura 1.13.eee123Figura 1.13: Cono de direcciones para un coseno director joAl jar podemos pasarlo al segundo miembro de las ecuaciones del sistema (1.15) y nos quedan1.11. COMPONENTES INTRNSECAS DE LA TENSIN 31como incgnitas n y , y como variables y . El sistema se rescribe como sigue___2+2= 122(2)2+2(3)2=2+2n2(1)222 +23 =n21(1.16)En general n y han de tomar aquellos valores para los que el sistema (1.16) sea compatible,por tanto una de las ecuaciones ha de ser combinacin lineal de las otras dos. En caso contrario noexiste solucin para y . Es decir, el determinante de la matriz de coecientes asociada al comentadosistema de ecuaciones ha de ser nula1 1 12_(2)_2(3)22+2n2(1)223n21= 0De este determinante podemos obtener, con jado, la relacin entre n y sobre la superciedel cono. El determinante es igual a2n +2n(2 +3) +23 +2(31)(12) = 0Expresinque dene una familia de circunferencias(ver Figura 1.14). En efecto, la expresinalcanzada es equivalente a:2n +2= 2n_2 +32_+23 +2(31)(12) = 0 _n2 +32_2+2_2 +32_2+23 +2(31)(12) = 0 _n2 +32_2+2_232_2+2(31)(12) = 0 _n2 +32_2+2=__232_2+2(13)(12)_Anlogamente, si se ja el valor de , resulta la familia de circunferencias de radio decreciente:_n1 +32_2+2=__132_22(12)(23)_Y si se ja , resulta la familia de circunferencias de radio creciente:_n122_2+2=__122_2+2(23)(13)_32 CAPTULO 1. ECUACIONES GENERALES DE LOS MEDIOS CONTINUOS0nfijo13+2223 = 0 = 0Figura 1.14: Familia de circunferencia para valores dados de n 0312MFigura 1.15: Diagrama de MohrTeniendo en cuenta los tres casos, dada una direccin arbitraria, 2+2+2= 1, los valores den y permitidos se encuentran en el recinto plano indicado en la Figura 1.15 (diagrama de Mohr).La determinacin de los ngulos , , a partir de un punto M : (n, ), o viceversa, se obtienetambin de este diagrama. Si bien no dicutiremos aqu en detalle el fundamento terico de las sigu-ientes armaciones, procdase como sigue para la determinacin de ngulos.Trcese una circunferencia con centro (1 +2)/2 pasando por el punto M, hasta cortar al mayorde los crculos fundamentales de Mohr; el punto de corte es K. El ngulo que la recta KD forma conel eje de ordenada es (Figura 1.16).Trcese una circunferencia con centro (3 +2)/2 pasando por el punto M, hasta cortar al mayorde los crculos fundamentales de Mohr; el punto de corte es H. El ngulo que la recta FH forma conel eje de ordenada es (Figura 1.16).1.12. EJERCICIOS 330Fn1232+32 21+ 2HKDMFigura 1.16: Determinacin de los ngulos y dado el punto MTrcese una circunferencia con centro (3 +1)/2 pasando por el punto M, hasta cortar al crculofundamental de Mohr de radio (3 +2)/2; el punto de corte es G. El ngulo que la recta FG formacon el eje de ordenada es (Figura 1.17).0F n2 3 1+1 32GM~~Figura 1.17: Determinacin del ngulo dado el punto M1.12. EjerciciosLa presente relacin de ejercicios, as como otros de igual inters, se encuentran resueltos en sutotalidad en el libro Elasticidad, de Luis Ortiz Berrocal (Universidad Politcnica de Madrid, 1998).1. El vector desplazamiento u de un punto P de un medio continuo elstico tiene de componentes,34 CAPTULO 1. ECUACIONES GENERALES DE LOS MEDIOS CONTINUOSreferidas a un sistema cartesiano ortogonal, las siguientesux = 4ax2; uy = 8az2; uz =2ay2estando expresadas las coordenadas en metros y siendo a = 104m1. Se pide:a) Calcular el tensor de deformacin.b) Alargamientos y direcciones principales en el punto P(1/2, 1, 1).2. Las componentes cartesianas del vector desplazamientode los puntos de un medio continuovienen dadas por las expresiones:u = ax +4ay; v = 2az2ay2; w = ay22ax2a3z2siendo a una constante. Se pide:a) Calcular la matriz del giro experimentado por un entorno del punto P(2, 1, 3/2), as como el vec-tor asociado a ella.b) Hallar la supercie transformada de una esfera de radio dr y centro el punto P.3. Sobre un bloque en forma de paraleleppedo cuyas longitudes de las aristas verican la relacina : b : c = 3 : 4 : 5 acta una solicitacin que lo deforma de tal manera que sus caras siguen siendonormales entre s. Sabiendo que en todo punto las deformaciones longitudinales unitarias en las di-recciones de las aristas son 5102, 4102y 3102, respectivamente, calcular la deformacinlongitudinal unitaria experimentada por la diagonal.4.El tensor de deformacin en un punto de un slido elstico, referida a un sistema de referenciacartesiano ortogonal Oxyz, esE =__4a 0 4a0 3a 04a 0 2a__siendo a una constante. Se pide:a) Hallar las deformaciones y direcciones principales.b) Calcular la deformacin longitudinal unitaria correspondiente a la direccin que forma ngulos de45oy 60ocon los ejes Ox y Oy respectivamente.c) Determinar las direcciones que slo experimentan deformacin transversal.5. El tensor de deformacin en un punto de un slido elstico, referida a un sistema cartesianoortogonal Oxyz, es:E =__10a 0 8a0 2a 08a 0 2a__1.12. EJERCICIOS 35siendoa = 106. Determinarsi enunadireccindenidaporel vectoru(, , )seproducealargamiento o acortamiento.6. El tensor de deformacin en un punto de un slido elstico, referida a un sistema cartesianoortogonal, es:E =__3k 0 k0 k 2kk 2k 2a__siendo k una constante.a) Calcular la deformacin longitudinal unitaria en la direccin del vector u1(13, 23, 23) referido a dichosistema.b) Calcular la variacin experimentada en la deformacin por el ngulo denido por los vectoresu1 yu2(2(5),1(5), 0)c) Determinar el valor de la deformacin angular mxima.d) Hallar el tensor desviador y calcular sus valores propios.7. En un punto P de un slido elstico el tensor de esfuerzos referido a un triedro cartesiano OXYZes =__2 1 01 1 20 2 3__(MPa)Calcularen el puntoP el vector tensincorrespondientea un planocuya normal exteriorestdenida por un vector que forma ngulos iguales de 45ocon los ejes X e Y, siendo positivas sus com-ponentes. Indicar si las tensiones principales son de traccin o de compresin.8. Las tensiones principales en un punto P de un slido elstico, referidas a un sistema cartesianoortogonal OXYZ y expresadas en MPa son:1 = 503 (2

i +2

j +

k)2 = 20

(i) 10

( j) 20

(k)3 =203 (

i 2

j +2

k)siendo 1 >2 >3.Calcular la tensin correspondientea un plano cuya normal exterior forma ngulos agudos igualescon los semiejes positivos del triedro OXYZ.9. Sobre las caras de un paraleleppedoelementalque limitan el entornode un puntoP de unslido elstico existen las tensiones indicadas en la gura 1.18, expresadas en kp/mm2. Calcular:36 CAPTULO 1. ECUACIONES GENERALES DE LOS MEDIOS CONTINUOSa) Los planos cuyos vectores tensin son ortogonales a ellos, as como los valores de las tensionescorrespondientes. b) El lugar geomtrico de los extremos de los vectores tensin correspondientes alos innitos planos de la radiacin de vrtice el punto P.2213YXZFigura 1.18: Figura del Ejercicio 910. Se considera un punto P de un slido elstico. Las tensiones principales en este punto son:1 = 5kp/mm2; 2 = 3kp/mm2; 3 =2kp/mm2.a) Indicar a qu planos de la radiacin de vrtice P corresponden tensiones de traccin y a cules decompresin.b) Estudiar en los planos en los que la tensin normal se anula, el valor de la tensin tangencial, cal-culando sus mximos y mnimos relativos.11.Las tensiones principales en punto P de un slido elstico toman los valores:1 = 2kp/mm2; 2 =1kp/mm2; 3 =1kp/mm2.a) Calcular la supercie engendrada por las normales a los planos en los que se anula la tensin nor-mal.b) Estudiar a qu planos de los comprendidosen la radiacinde vrtice P correspondentensionesnormales de traccin y a cuales de compresin.c) Determinar analtica y grcamente el vector tensin correspondiente a un plano cuya normal ex-terior forma un ngulo = 75ocon la direccin principal correspondiente a 1.d) Determinar analtica y grcamente el plano cuyo vector tensin forma un ngulo = 35ocon ladireccin principal correspondiente a 1.12. La ecuacin caracterstica correspondiente al tensor de esfuerzos es, en un punto de un slido,la siguiente3528+12 = 0a) Calcular los valores de las tensiones principales. b) Determinar analtica y grcamente las compo-nentes intrnsecas del vector tensin correspondientes al plano denido por el vector:n = 12

i +12

j + 12

k1.13. BOLETINES 37referido a las direcciones principales.13. Sobre las caras de un paraleleppedo elemental que envuelve a un punto P de un slido elsticoexisten las tensiones que se indican en la gura 1.19, expresada en MPa. Se pide:a) Calcular las tensiones y direcciones principales.b) Obtener analtica y grcamente mediante los crculos de Mohr, las componentes intrnsecas de latensin correspondientes a un plano cuya normal forma ngulos iguales con los semiejes cartesianosX,Y, Z indicados en gura.402010102020Figura 1.19: Figura del Ejercicio 131.13. Boletines1. En un puntoP de un slidoelsticoen tensorde esfuerzosreferidoa untriedrocartesianoOXYZ es =__2 1 01 1 20 2 3__(MPa)Calcularen el puntoP el vector tensincorrespondientea un planocuya normal exteriorestdenida por un punto que forma que forma ngulos iguales de 45ocon los ejes X e Y, siendo positivassus componentes. Indicar si las tensiones principales son de traccin o de compresin.2. Las tensiones principales en un punto P de un slido elstico, referidas a un sistema cartesianooctogonal OXYZ y expresadas en MPa son: 1 = 503 (2

i +2

j +

k) 2 = 20

i 10

j 20

k 3 =203 (

i 2

j +2

k)38 CAPTULO 1. ECUACIONES GENERALES DE LOS MEDIOS CONTINUOSsiendo 1 >2 >3.Calcular la tensin correspondientea un plano cuya normal exterior forma ngulos agudos igualescon los semiejes positivos del triedro OXYZ.3. Sobre las caras de un paraleleppedoelementalque limitan el entornode un puntoP de unslido elstico existen las tensiones indicadas en la gura, expresadas en kp/mm2.Calcular:a) Los planos cuyos vectores tensin son octogonales a ellos, as como los valores de las tensionescorrespondientes. b) El lugar geomtrico de los extremos de los vectores tensin correspondientes alos innitos planos de la radiacin de vrtice el punto P.4. Se considera un punto P de un slido elstico. Las tensiones principales en este punto son:1 = 5kp/mm2; 2 = 3kp/mm2; 3 =2kp/mm2.a) Indicar a qu planos de la radiacin de vrtice P corresponden tensiones de traccin y a cules decompresin.b) Estudiar en los planos en los que la tensin normal se anula, el valor de la tensin tangencial, cal-culando sus mximos y mnimos relativos.5.Las tensiones principales en punto P de un slido elstico toman los valores:1 = 2kp/mm2; 2 =1kp/mm2; 3 =1kp/mm2.a) Calcular la supercie engendrada por las normales a los planos en los que se anula la tensin nor-mal.b) Estudiar a qu planos de los comprendidosen la radiacinde vrtice P correspondentensionesnormales de traccin y a cuales de compresin.c) Determinar analtica y grcamente el vector tensin correspondiente a un plano cuya normal ex-terior forma un ngulo = 75ocon la direccin principal correspondiente a 1.d) Determinar analtica y grcamente el plano cuyo vector tensin forma un ngulo = 35ocon ladireccin principal correspondiente a 1.6. La ecuacin caracterstica correspondiente al tensor de esfuerzos es, en un punto de un slido,la siguiente3528+12 = 0a) Calcular los valores de las tensiones principales. b) Determinar analcita y grcamente las compo-nentes intrnsecas del vector tensin correspondientes al plano denido por el vector:n = 12

i +12

j + 12

kreferido a las direcciones principales.1.13. BOLETINES 397. Sobre las caras de un paraleleppedo elemental que envuelve a un punto P de un slido elsticoexisten las tensiones que se indican en la gura, expresada en MPa. Se pide:a) Calcular las tensiones y direcciones principales.b) Obtener analtica y grcamente mediante los crculos de Mohr, las componentes intrnsecas de latensin correspondientes a un plano cuya normal forma ngulos iguales con los semiejes cartesianosX,Y, Z indicados en gura.1. El vector desplazamiento u de un punto P de un medio continuo elstico tiene de componentes,referidas a un sistema cartesiano ortogonal, las siguientesux = 4ax2; uy = 8az2; uz =2ay2.estando expresadas las coordenadas en metros y siendo a = 104m1. Se pide:a) Calcular el tensor de deformacin.b) Alargamientos y direcciones principales en el punto P(1/2, 1, 1).Sol a):E =__8ax 0 00 0 2a(4z y)0 2a(4z y) 0__Sol b): 1 = 6a; 2 = 4a; 3 =6a; u1 =1(2)(

j +

k); u2 =

i; u3 =1(2)(

j

k).2.Las componentescartesianasdelvector desplazamientode los puntosde un mediocontinuovienen dadas por las expresiones:u = ax +4ay; v = 2az2ay2; w = ay22ax2a3z2siendo a una constante. Se pide:a) Calcular la matriz del giro experimentado por un entorno del punto P(2, 1, 3/2), as como el vec-tor asociado a ella.b) Hallar la supercie transformada de una esfera de radio dr y centro el punto P.3. Sobre un bloque en forma de paraleleppedocuyas longitudes de las aristas verican la relacina : b : c = 3 : 4 : 5 acta una solicitacin que lo deforma de tal manera que sus caras siguen siendonormales entre s. Sabiendo que en todo punto las deformaciones longitudinales unitarias en las di-recciones de las aristas son 5102, 4102y 3102, respectivamente, calcular la deformacinlongitudinal unitaria experimentada por la diagonal.4.Una placa rectangular OABC se deforma pasando a ser OZ

AZ

BZ

CZ

, segn se indica en la gura.sabiendo que en la placa se crea un estado tensional homogneo se pide:a) Calcular el tensor de deformacin en los puntos de la placa.b) Hallar las deformaciones y direcciones principales.5. En un punto de una supercie plana de un slido elstico se colocan las tres galgas extensiomtricasindicadas en la gura, siendo =34. Despus de cargar el slido se miden, mediante las citadas galgas,los siguientes alargamientos unitarios:40 CAPTULO 1. ECUACIONES GENERALES DE LOS MEDIOS CONTINUOSa = 0, 003; b = 0, 002; c =0, 004.Calcular la deformacin angular del ngulo recto denido por los ejes de las galgas a y b.6.El tensorde deformacinenun puntodeun slidoelstico, referidaa unsistemadereferenciacartesiano ortogonal Oxyz, esE =__4a 0 4a0 3a 04a 0 2a__siendo a una constante. Se pide:a) Hallar las deformaciones y direcciones principales.b) Calcular la deformacin longitudinal unitaria correspondiente a la direccin que forma ngulos de45 y 60 con los ejes Ox y Oy respectivamente.c) Determinar las direcciones que slo experimentan deformacin transversal.7. el tensor de deformacin en un punto de un slido elstico, referida a un sistema cartesianoortogonal Oxyz, es:E =__10a 0 8a0 2a 08a 0 2a__siendoa = 106. Determinar si enunadireccindenidapor el vectoru(,,) seproducealargamiento o acortamiento.8. El tensor de deformacin en un punto de un slido elstico, referida a un sistema cartesianoortogonal, es:E =__3k 0 k0 k 2kk 2k 2a__siendo k una constante.a) Calcular la deformacin longitudinal unitaria en la direccin del vector u( 13, 23, 23) referido a dichosistema.b) Calcular la variacin experimentada en la deformacin por el ngulo denido por los vectoresu1 y u2(2(5),1(5), 0)c) Determinar el valor de la deformacin angular mxima.d) Hallar el tensor desviador y calcular sus valores propios.9. Se considera la placa de espesor constante OABC indicada en la gura. Ante determinada solic-itacin externa se deforma pasando a ocupar la posicin OAZ

BZ

CZ

. Se pide, para los puntos de laplaca:1.13. BOLETINES 41a) Calcular las deformaciones principales.b) Hallar la direccin contenida en el plano a la que corresponde la deformacin transversal unitariamxima e indicar el valor de sta.10. Dado el tetaedrode la gura, cuyos vrticesocupan los puntos de coordenadas(en cm) O(0,0,0) A (100,0,0), B (0,100,0), C (0,0,100), se pretende someterlo a un estado de deformacin:x = 2kx; y = 2ky; z = 2kz.12xy = k; xz =yz = 0;donde las coordenadas x, y, z, vienen expresadas en cm y k = 106. Se pide:a) Demostrar que dicho estado de deformacin es fsicamente posible.b) Calcular los desplazamientos de los puntos del tetraedro en el supuesto de que la traslacin y larotacin en el entorno del origen sean nulas.c) Calcular el vector de deformacin unitaria en los puntos de la arista AC y en direccin de la misma.d) Hallar la variacin del ngulo formado por las aristas OB y OC.e) La deformacin transversal mxima en el punto P (10,10,10) utilizando la construccin de Mohr.f) La deformacin longitudinal unitaria en el punto P en la direccin denida por el vector u(1(2),1(2), 0)42 CAPTULO 1. ECUACIONES GENERALES DE LOS MEDIOS CONTINUOSBibliografa[1] Wave motion in elastic solids, K.F. Graff. New York Dover Publications.[2] Elasticidad, Luis Ortiz Berrocal. Universidad Politcnica de Madrid.[3] Teora de la elasticidad, L.D. Landau y E.M. Lifshitz. Revert.[4] Theoretical mechanics of particles and continua, A.L. Fetter y J.D. Walecka. McGraw-Hill.[5] Termo I: Un estudio de los sitemas termodinmicos, Manuel Zamora Carranza. Universidad deSevilla.43