caos nuevas concepciones de la ciencia referentes al azar, al orden, al desorden y a lo inestable....
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CAOS
NUEVAS CONCEPCIONES DE LA CIENCIA REFERENTES AL AZAR, AL ORDEN, AL DESORDEN Y A LO INESTABLE.
SU VISIÓN DESDE LA ASTRONOMÍA
RESUMEN: CAPITULO 1 EL RELOJ DE NEWTON
Y CAPITULO 1 ¿JUEGA DIOS A LOS DADOS?
POR: GABRIEL CONDE A.UNIVALLE. EIIE
Panorama del Sistema Solar
9 planetas con atracción principal del Sol. También todos afectan a todos.
Se producen “pequeñas” oscilaciones referentes a un movimiento básico causadas
por estas interacciones originando desviaciones de una geometría perfecta.
Componentes mayores = El Sol, Júpiter
Componentes menores = los otros planetas
Componentes Pequeños = asteroides, satélites, cometas.
La Tierra gira en orbita casi circular, se balancea, apartándose de un movimiento puro
y simple.
Sistema Solar Interior, sus “pequeñas” iregularidades, una geometría “casi” perfecta
El ecuador celeste y la eclíptica
Sin embargo se presentan ciclos “predecibles” como las estaciones, que dan
confianza pensando en una estabilidad
EJEMPLO DE REGULARIDAD EN EL PLANETA :
VEGETACIÓN
La órbita y los movimientos de la Luna: “casi” 13 ciclos cuando el Sol da 1.
Con alguna regularidad las estrellas desaparecen en ciertas épocas del año y
aparecen en otras
Antiguamente el Universo nos sugería confianza:
Nos dimos cuenta que con buena geometría podíamos representar los movimientos celestes
y se podían predecir: estaciones, eclipses. Determinar: fiestas, horóscopo, siembras,
ayudar a la navegación.
Pero observaciones de años y siglos revelan sutiles
desviaciones en esos patrones que sugieren a su vez otros
patrones de mayor alcance. Por ejemplo el movimiento de
precesión.
Precesión de los equinoccios
Estos son ejemplos que podemos observar en lo cotidiano pero que nos remiten a los
aspectos gravitacionales, que son fundamentales en el resumen.
La inestabilidad
¿Estas diversas influencias entre los cuerpos moverán a dichos cuerpos sólo ligeramente? o
¿estas pueden conducir con el tiempo a cambios radicales e irreversibles?
¿Seguirán los planetas describiendo más o menos las mismas trayectorias siempre? o ¿llegará el tiempo en el que Marte choque
catastróficamente? o Plutón escape del sistema?
Estas son preguntas que plantean el problema de la estabilidad (inestabilidad) del sistema solar y han inquietado a los
astrónomos durante los últimos 200 años y aún sigue sin solución.
Las ideas sobre caos tiene mucho que ver con esto de la inestabilidad del
sistema solar.
Una pregunta fundamental
Aparte de los asteroides, cometas y cuerpos pequeños el SS solo tiene 9 planetas y el Sol que interactúan con la fuerza de gravedad (la
más significativa) y las relaciones matemáticas entre fuerzas, masas y distancias son
conocidas desde hace 300 años.Debería ser posible calcular las posiciones de los planetas en cualquier tiempo y explorar lo
que las leyes de la física tienen para el SS ¿Será esto así?
La respuesta es: NO
La dificultad radica en que una cosa es escribir y plantear las ecuaciones y otra cosa
es resolverlas. Esta no es tarea fácil. Hoy usamos grandes computadores para ello. Sin embargo no es suficiente para predicciones con un orden de magnitud mayor a decenas
de millones de años.
¿Ecuaciones?¿De que tipo? ¿Con que características?
Estas ecuaciones las enmarcamos dentro de la teoría de los sistemas dinámicos.
Muchas de ellas modelan sistemas físicos que dependen del tiempo e involucran
cantidades (o cambios de esas cantidades) importantes en la descripción de un
fenómeno.
Normalmente se constituye un sistema de ecuación diferenciales.
Lo que esto nos dice en la práctica es:
“Supongamos que en un instante dado conocemos la posición y la velocidad de un
cuerpo, las ecuaciones nos proveen una regla que se aplica a dichos números, para obtener la posición y la velocidad en el instante siguiente.
La regla se sigue aplicando una y otra vez hasta obtener una trayectoria o unos valores en
un instante deseado”. (Stewart I. 1991)
LOS SISTEMAS DINÁMICOS
Un sistema de k variables que evoluciona en el tiempo puede estudiarse como una variable
vectorial x Rk dependiente de la variable temporal t, de tal manera que el estado xn+1 del
sistema en el instante n + 1 se obtiene del estado xn del sistema en el período anterior a través de cierta función vectorial f mediante la
relación xn+1 = f(xn).
Estos sistemas se llaman “sistemas dinámicos discretos”. Aquí es posible obtener la secuencia x0, x1, …, xn de sucesivos estados del sistema
(órbita de x0) de forma que:
x1 = f(x0), x2 = f(x1) = f2(x0), x3 = f(x2) = f3(x0), …,
xn = fn(x0).
Existe contraparte continua:
Sistemas dinámicos autónomos que se
modelan con las formas dx/dt = f(x(t)).
Si f es lineal tenemos invariantes y atractores sencillos.
Si f es no lineal (así sea muy simple) tenemos invariantes y atractores complicados que
definen dinámicas complejas.
Lo estable
Si el sistema es de sólo dos cuerpos (Sol, Tierra) realmente tenemos una sola ecuación
y es relativamente sencilla su solución.
Las matemáticas confirman que este sistema (dos cuerpos) es estable. La tierra giraría
eternamente alrededor del Sol.
SIMULADOR CON SISTEMAS ESTABLES:
*EL SISTEMA TIERRA - LUNA EL SISTEMA SOLAR
*SISTEMA DOBLE DE ESTRELLAS*PHOBOS, DEIMOS Y AMALTHEA
Deimos en Números
Descubierto por Asaph Hall
Fecha del descubrimiento 1877
Masa (kg) 1.8e+15
Masa (Tierra = 1) 3.0120e-10
Radio (km) 7.5x6.1x5.5
Radio (Tierra = 1) 1.1759e-03
Densidad media (gm/cm^3) 1.7
Distancia media desde Marte (km) 23,460
Período rotacional (días) 1.26244
Período orbital (días) 1.26244
Velocidad orbital media (km/seg) 1.36
Excentricidad orbital 0.00
Inclinación orbital (grados) 0.9-2.7
Velocidad de escape (km/seg) 0.0057
Albedo geométrico visual 0.07
Magnitud (Vo) 12.40
Phobos en Números
Descubierto por Asaph Hall
Fecha del descubrimiento 1877
Masa (kg) 1.08e+16
Masa (Tierra = 1) 1.8072e-09
Radio (km) 13.5x10.8x9.4
Radio (Tierra = 1) 2.1167e-03
Densidad media (gm/cm^3) 2.0
Distancia media desde Marte (km) 9,380
Período rotacional (días) 0.31910
Período orbital (días) 0.31910
Velocidad orbital media (km/seg) 2.14
Excentricidad orbital 0.01
Inclinación orbital (grados) 1.0
Velocidad de escape (km/seg) 0.0103
Albedo geométrico visual 0.06
Magnitud (Vo) 11.3
Amalthea en Números
Descubierto por Edward Emerson
Barnard
Fecha de descubrimiento 1892
Masa (kg) 7.17e+18
Masa (Tierra = 1) 1.1998e-06
Radio (km) 135x84x75
Radio (Tierra = 1) 2.1167e-02
Densidad media (gm/cm^3) 1.8
Distancia media desde Júpiter (km) 181,300
Período rotacional (días) 0.498179
Período orbital (días) 0.498179
Velocidad orbital media (km/seg) 26.47
Excentricidad orbital 0.003
Inclinación orbital 0.40°
Velocidad de escape (km/seg) 0.0842
Albedo geométrico visual 0.05
Magnitud (Vo) 14.1
EJEMPLO DE RESONANCIA ENTRE JUPITER Y UN ASTEROIDE
Podríamos creer que es improbable que los
períodos orbitales, por ejemplo de un
asteroide y un planeta, estén en relación entera
(número entero), sin embargo, en el SS
existen muchos ejemplos de tal
situación.
Lo inestable
Añadiendo otro planeta la Tierra no necesariamente tendrá órbita estable.
Esta perturbación distorsiona la órbita de la tierra y al contrario.
Cuerpo (m = 600 t, r = 40 km) girando alrededor de un sistema doble de estrellas
MOSTRAR SIMULADORES CON SISTEMAS INESTABLES:
*LA TIERRA EN UN SISTEMA DOBLE*UNA ESTRELLA VISITA EL SS INTERIOR
*HYPERIÓN
Hiperión en Números
Descubierto por William Cranch
Bond
Fecha de descubrimiento 1848
Masa (kg) 1.77e+19
Masa (Earth = 1) 2.9618e-06
Radio (km) 205x130x110
Radio (Tierra = 1) 3.2142e-02
Densidad media (gm/cm^3) 1.4
Distancia media desde Saturno (km) 1,481,000
Período rotacional (días) caótica
Período orbital (días) 21.27661
Velocidad orbital media (km/seg) 5.07
Excentricidad orbital 0.1042
Inclinación orbital (grados) 0.43
Escape velocity (km/sec) 0.107
Albedo geométrico visual 0.3
Magnitud (Vo) 14.19
Eje de giro de Hiperión.Caso estable vs inestable
Actualmente el problema se resuelve con aproximaciones que requieren muchos cálculos.
Se continúa el estudio de estos cálculos para corregir pequeños defectos que echan a perder
las predicciones.
Con altas precisiones se pueden “explorar” los sistemas dinámicos y encontrar sutilezas o
“rarezas” dinámicas.
El caos
Los cálculos, sus métodos y los sistemas de computación han demostrado (lo que Poincaré
entendió a principios del siglo XX):
La mecánica y las leyes de la física tal como fueron enunciadas por I. Newton son mucho más ricas de lo que el propio Newton y sus
sucesores creyeron.
Estas ecuaciones encierran no solo lo predecible sino también lo errático y “caótico”.
POINCARÉ Y EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS
SECCION DE POINCARÉ
DIAGRAMA DE FASE DE HYPERION
LOS SISTEMAS DINÁMICOS TIENEN NATURALEZA DUAL
Las ecuaciones tienen una naturaleza dual y en todo sistema físico dinámico pueden presentarse los dos comportamientos:
ordenado – predecible
irregular – impredecible
Aquí encontramos una paradoja
¿Un sistema dinámico determinístico produciendo comportamientos erráticos e impredecibles?
“Tanto en ciencias (físicas) como en matemáticas caos es el témino técnico usado ahora para
describir tal actividad errática (la del problema de los tres cuerpos). Aplicado por primera vez en 1975 por
el matemático James Yorke, el caos se refiere al comportamiento aparentemente impredecible de un
sistema determinista gobernado por leyes expresadas matemáticamente” [I. Peterson (1993)]
¿Como puede ser esto?
Con los siguientes ejemplos lo entenderemos:
Modelos matemáticos sencillos estudiados con calculadora: x2, cos(x), 1/x, x2 – 1, 2x2 -1
Un modelo matemático interesante y muy estudiado: el modelo logístico.
Un fenómeno real: cilindros de Couette
1/x (EL INVERSO)
0,00000
1,00000
2,00000
3,00000
4,00000
5,00000
0 10 20 30 40 50
Iteraciones
1/x
X CUADRADO
-0,05000
0,00000
0,05000
0,10000
0,15000
0,20000
0,25000
0,30000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Iteraciones
x2
RAIZ CUADRADA DE X
0,00000
0,20000
0,40000
0,60000
0,80000
1,00000
1,20000
0 10 20 30 40 50
Iteraciones
RA
IZ(X
)
COSENOS
0,00000
0,20000
0,40000
0,60000
0,80000
1,00000
1,20000
0 10 20 30 40 50
Iteraciones
Co
s(x
)
DOS X CUADRADO - UNO
-1,50000
-1,00000
-0,50000
0,00000
0,50000
1,00000
1,50000
0 10 20 30 40 50
Iteraciones
2X
2 +
1
X CUADRADO - UNO
-1,20000
-1,00000
-0,80000
-0,60000
-0,40000
-0,20000
0,00000
0,20000
0,40000
0 10 20 30 40 50
Iteraciones
x2 +
1
DOS X CUADRADO - 1
-1,50000
-1,00000
-0,50000
0,00000
0,50000
1,00000
1,50000
0 20 40 60 80 100 120
Iteraciones
2x2 -
1
La iteración de la expresión:
K.X.(1 – X), 0 < X < 1
Se llama cascada logística.
LOGISTICA
-0,200000
0,000000
0,200000
0,400000
0,600000
0,800000
1,000000
1,200000
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Iteracones. X0 = 0.09767602. K = 3.987451
KX
(1 -
X)
CARACTERISTICAS DEL CAOS
Sensibilidad a las condiciones iniciales.
Los gráficos siguientes corresponden a 200 iteraciones para dos valores iniciales muy
próximos en la cascada logística con K = 4.
LOGISTICA, X0 = PI/10, K = 4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Iteraciones
KX
(1 -
X)
LOGISTICA, X0 = PI/10 + 0,001, K = 4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Iteraciones
KX
(1 -
X)
COMPARACION DE LA LOGISTICA. Diferentes valores iniciales
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69
Iteraciones
X(i
)
X0 = PI/10X0 = PI/10 + 0,001
Se presentan estabilidades e inestabilidades
Los sistemas se presentan de tal manera que comportamientos estables e inestables
se entrelazan o se pueden presentar indistintamente.
Lo estable y lo inestable
Flujos de Couette
DATOS DEL SISTEMA SOLAR
BIBLIOGRAFIA
• Peterson I. “El reloj de Newton”. Alianza Editorial. Madrid 1995.
• Stewart I. “”¿Juega Dios a los dados?. La nueva matemática del caos”. Grijalbo Mondadori. Barcelona 1991.
• Braun E. “Caos, fractales y cosas raras”. Fondo de Cultura Económica. México 1996.
• Talanquer “Fractus, fracta, fractal. fractales, de laberintos y espejos”. Fondo de Cultura Económica. México 1996.
• Simulador del Sistema Solar Celestia http://www.shatters.net/celestia
• Solar System ver 1.0a http://www.orbit.org/
• Orbit Xplorer http://www.ottisoft.com/orbit_x.htm