FISICA IIEscola Vedruna Palamós

Concepció pitagòrica de l’UniversEl model d' AristòtilEl geocentrisme de PtolomeuEl model heliocèntric. Copèrnic i GalileuLes òrbites el·líptiques. Kepler.

◦ S’explica mitjançant termes matemàtics ◦ El Gran foc central, origen de tot, es

relacionava amb l’U, origen dels números.◦ Al voltant girarien la Terra, la Lluna, el Sol i

els planetes◦ L’Univers acabava en una esfera celest

d’estrelles fixes i més enllà l’Olimp.◦ El nombre de cossos que formaven

l’Univers era de 10 (obsessió pels nombres).◦ Donat que només n’observaven nou,

suposaren que n’hi havia un entre la Terra i el Gran Foc que anomenaren Antiterra.

Pitàgores nasqué a Samos l’any 569 aC.

L’Univers era constituït per dues regions esfèriques, separades i concèntriques.

La Terra ocupava el centre de l’Univers. Era la regió dels elements, foc, terra, aigua i aire.

Més enllà h havia la regió etèria dels cels constituïda només per la quinta essència.

Els moviments dels astres al voltant de la Terra eren cercles perfectes.

L’Univers finalitzava amb l’esfera de les estrelles fixes.

No podia explicar el moviment retrògrad d’alguns planetes

Nasqué a Alexandria el segle II. Va justificar el seu model calculant

moviments planetaris i predient eclipsis de Sol i de Lluna.

Les causes més importants dels models geocèntrics enfront els heliocèntrics foren:◦ La falta de càlculs i prediccions

quantitatives sobre les trajectòries dels planetes.◦ Les mesures no eren prou precises

per veure el fenomen de la paral·laxi estel·lar.

Terra

Les estrelles són punts a l’esfera celest i giren al voltant de la Terra, amb la que mantenen punt fixos.

Introdueix l’excentricitat de les trajectòries respecte al centre de la Terra.

Aquest fet li permet explicar les diferències de brillantor i mida que s’observaven en el Sol i la Lluna.

La velocitat angular havia de ser constant respecte d’un punt fora de la trajectòria anomenat equant (Ec)

Ec Ex

ωt

Lluna

Observà que els planetes (errants),

realitzaven moviments retrògrads. Formaven llaços a l’esfera celest, tornant sobre la seva trajectòria

Ho justificà mitjançant dues rotacions:◦ Una de circular al voltant de la

Terra (eclíptica)◦ Una de circular al voltant de la

trajectòria del planeta (epicicle) Tot i això no explicava totes les

òrbites de tots els planetes.

Nicolau Copèrnic (1473-1543) va plantejar un sistema heliocèntric, amb el Sol al centre de l’Univers amb els planetes girant al seu voltant i la Lluna al voltant de la Terra.

Aquest model explicava:◦ Els canvis de brillantor de Mercuri i Venus que no podien

donar-se si rotaven al voltant de la Terra.◦ El moviment retrògrad dels planetes d’una manera

senzilla. Va establir dades bastant precises dels períodes

orbitals dels planetes al voltant del Sol.

Galileu Galilei (1562-1642) fou un defensor a ultrança del model heliocèntric.

Va perfeccionar el telescopi que havia inventat probablement Hans Lippershey (1570-1619) i observar les fases de Venus

El 1610 va descobrir els satèl·lits de Júpiter, confirmant que la Terra no era el centre de l’Univers.

El 1632 publicà a Florència la seva obra Diàleg sobre els dos grans sistemes del mon

Un any després fou processat per la Inquisició.

Tot i això sempre s’oposà a les corbes el·líptiques de Kepler.

Galileu Galilei

Tycho Brahe (1546-1601) fou un astrònom destacat que contribuí a l’astronomia obtenint mesures molt precises de les posicions d’estels i planetes.

Utilitzant les dades de Tycho, observà que el model de Copèrnic deixava Mart 8 minuts d’arc fora de la trajectòria establerta.

Mitjançant les mesures de Tycho, comprovà que això es repetia per a tots els planetes

Planteja l’el·lipse com a corba que permet definir el moviment dels planetes.

Va servir de base a la llei de Newton de la gravitació universal i va permetre calcular la massa dels planetes.

• L’el·lipse• Lleis de Kepler• Llei de gravitació universal • Velocitat orbital i període de revolució.

És la línia formada pels punts la suma de distàncies dels quals a dos punt fixos, anomenats focus, és constant.

L’excentricitat és el quocient

El seu valor pot variar entre 0 i 1. Si val 0 tenim una circumferència perfecta

La posició de l’extrem del semieix major més allunyada del Sol s’anomena afeli i la més propera periheli.

a

c=ε

Focus• Eix

menor

Afeli

b

a

Eix major

Periheli

1 de gener

r gener1→

Sol

AA

r juliol1→

30 de gener

30 de juliol

1 de juliol

1. El radi mitjà de l’òrbita que descriu al voltant del Sol de l’asteroide Gaspra és de 2,21 UA. Calcula el període de revolució de Gaspra. Dades: 1UA=1,496·1011m

2. L’any 2005 es va descobrir un nou planeta del sistema solar al qual van donar el nom d’Eris. El seu afeli és a 97,5 UA del Sol i el seu periheli a 37,8 UA. Determina’n el radi mitjà en m i l’excentricitat de la seva òrbita.

3. Explica mitjançant les lleis de Kepler el fet que a l’hemisferi nord el període tardor-hivern dura sis dies menys que el de primavera-estiu.

4. La distància mitjana de Mart al Sol és 1,468 vegades la de la Terra al Sol. Troba el nombre d’anys terrestres que dura un any marcià

5. El període de rotació de Júpiter al voltant del Sol és 12 vegades més gran que el període que correspon a la Terra. Calcula quantes vegades és superior la distància mitjana (semieix de l’el·lipse) des de Júpiter fins al Sol a la distància mitjana entre la Terra i el Sol

6. Sabent que el planeta Venus tarda 224,7 dies a fer una volta sencera al voltant del Sol, que la distància de Neptú al Sol és de 4501·106 km, que la Terra inverteix 365,256 dies a fer una volta sencera al voltant del Sol i que la distància amb aquest és de 148,5·106 km, calcula:

a. La distància de Venus al Sol.b. El temps que tarda Neptú a fer una volta sencera al voltant del Sol.

5. Dos satèl·lits de massa igual orbiten al voltant d’un planeta de massa molt més gran seguint orbites circulars coplanàries de radis R i 3R. Calcula la relació entre els dos períodes.

L’atracció d’una esfera actua com si tota la massa estigués concentrada al seu centre.

Newton (1643-1827) l’enuncià com:“ Dues partícules materials s’atreuen mútuament amb una

força directament proporcional al producte de les seves masses i inversament proporcional al quadrat de la distancia que les separa”

ur

mmGF

221−=

CARACTERÍSTIQUES DEL CAMP GRAVITATORI

◦ La direcció del vector força és la recta que uneix les dues masses.◦ Les forces gravitatòries són sempre

atractives◦ Són forces a distància.◦ Són forces d’acció-reacció. Tenen

igual mòdul, direcció però amb sentits contraris.◦ Henry Cavendish (1731-1810) va

verificar el valor constant de G = 6,67·10 -11 N·m2 ·kg -2

• És tan petit que només tenen sentit quan una de les masses són molt gran.• Aquest valor va permetre deduir la tercera llei de Kepler.

Per un cos situat a una alçada h del centre de la Terra, la força es calcula com:

A partir d’aquesta llei, Newton pogué explicar fenòmens com:◦ La protuberàncies de la Terra i de

Júpiter a causa de la rotació.◦ L’origen de les marees.◦ Les trajectòries dels planetes.◦ La variació de la gravetat amb

l’alçada.◦ El canvi en l’eix de rotació de la

Terra, etc..

)hR(

MmG

r

MmGF

22 +==

mh

Rr

Si partim del punt que quan un planeta o satèl·lit gira al voltant del Sol, la única força que el manté en òrbita és la força centrípeta, podem deduir que

Com que v és aproximadament constant:

rv

mr

MmGFF

2

2cN =⇒= ⇒ Aïllant v r

MGv =

Velocitat orbital

T

r2

t

sv

π==⇒ Aïllant T i substituint v MG

r

r

MG

rT

·

·42 32ππ ==

Període de revolució⇒ Elevant per treure l’arrel

32

2

·

4r

MGT

π=Tercera Llei de Kepler

1. El primer ésser humà que va fer un viatge espacial al voltant de la Terra va ser el cosmonauta soviètic Jurij Gagari, que l’any 1961 va completar una òrbita en 96 minuts. Si suposem que aquella òrbita va ser una circumferència, calcula:

a. L’altura de l’òrbita respecte a la superfície de la Terra.b. La velocitat de la nau en l’òrbita esmentada

DADES: MT=5,98·1024 kg, RT=6370 km

1. Una llançadora espacial orbita la Terra a una altura de 500 km. Calcula’n el període orbital.

2. Calcula l’altura a la que orbita un satèl·lit geostacionari.

Tipus de camp El camp gravitatori Intensitat del camp gravitatori Representació del camp gravitatoriPrincipi de superposició

CAMPS ESCALARS CAMPS VECTORIALS

Temperatura Pressió Densitat

Velocitat Acceleracions Forces◦ Conservatiu

Uniforme Central

Gravitatori Elèctric

◦ No conservatiu Camp magnètic

En una regió hi ha un camp si en tots els punts hi ha present una magnitud física.

Camp uniforme Camp central

◦ Els vectors força tenen igual mòdul, direcció i sentit◦ Exemple: plaques d’un

condensador pla

Els vectors força van dirigits a un punt anomenat centre de forces.

L’equació de Newton ens proporciona l’expressió de la força entre dues masses.

Per explicar l’acció que exerceix una massa sobre una altra situada a una distància determinada cal introduir el concepte de camp de força.

La massa m pertorba les propietats de l’espai pel sol fet de ser-hi independentment que hi situem una altra massa m’.

rressentrmm

G ruur

F→

→→→

=−= )(221 r

rF mm

G→→

−= 321

g→

x

y

z

r→

m

m’ u r→

Es defineix com el vector

La intensitat del camp gravitatori és la força que actuaria per unitat de massa

Unitats: N/kg Característiques:◦ És radial i disminueix amb el quadrat de la distància.◦ Es dirigeix cap a la partícula que crea el camp.

g

Variació de la intensitat gravitatòria terrestre amb l’altura.

A la superfície terrestre

I al punt Q

Sabent que

Dividint les dues equacions trobem

ExerciciSabem que la intensitat de la gravetat a la superfície de la Terra és 9,8 m/s2 i que el radi mitjà és 6,38. 106. Determineu el camp gravitatori a una altura sobre la superfície terrestre de: a) 20 m; b)1000 m; c)10 km;d) dos radis terrestres.

s/m8,9R

MGg 20 2

T

T ==

)( 22

hRM

rM

T

TGTGg+

==

Un camp vectorial es representa mitjançant les línies de camp.

En el cas del camp gravitatori són radials

Característiques de les línies de camp:◦ La direcció de la intensitat és

determina amb la tangent a les línies de força◦ El sentit ve indicat per la fletxa.◦ El mòdul es representa amb la

densitat de línies que hi ha en un punt.

m M

Si les masses no són puntuals però són esfèriques per valors més grans que el seu radi podem considerar-les puntuals

ExerciciDetermina la intensitat del camp gravitatori en el punt P del sistema de la figura

Camps conservatius Energia potencial Potencial gravitatori Interpretació del treball Representació energètica d’un camp de forces

Un camp de forces és conservatiu si el treball necessari per traslladar una partícula d’A a B no depèn de la trajectòria. Només depèn del punt final i punt inicial

En general podem dir-ne que l’energia mecànica es manté constant

L’energia potencial:◦ És l’energia que acumula el treball realitzat◦ Té diferents expressions segons la força◦ No té origen definit. Només en tenen sentit

les variacions.

•m rd

→

r→∆→

r→∆

r→∆A

BW = -∆Ep

Un treball en un camp conservatiu es pot expressar com una variació d’energia potencial gravitatòria.

operant i considerant que a l’infinit Ep = 0, obtenim que

Així doncs, podem considerar que l’energia potencial gravitatòria en un punt, és el treball necessari per traslladar un cos de massa m des del punt a l’infinit.

EP

r

El potencial gravitatori representa l’energia potencial d’una unitat de massa col·locada en el camp gravitatori

Així doncs

Si considerem a l’infinit el potencial és 0

ExerciciCalculeu el potencial creat per la Terra suposant que la intensitat gravitatòria terrestre només actua:a)A la seva superfícieb)A una altura de 3 radis terrestresc)A ‘infinit

Definició: Es el treball que realitza el

camp gravitatori per traslladar la unitat de massa des d’un punt a l’infinit.

Unitats: Joule/quilogram (J/kg)Si treballem amb una massa m

obtindrem que:

Ep rRT

R

MGVT

T−=0

Per a una distribució de masses puntuals

ExerciciCalculeu el potencial creat en el punt A per la distribució de masses esfèriques de la figura

Exercicia)Calculeu l’energia potencial del sistema format per dues masses puntuals quan es troben en les situacions 1 i 2 de la figura.b)Quin treball realitza el sistema en passar de la situació 1 a la 2?

La unió dels punts amb igual potencial gravitatori permeten obtenir les superfícies equipotencials:◦ Són perpendiculars a les línies de camp◦ El treball que cal fer per traslladar una massa entre dos

punts equipotencials és nul.◦ Donat que una massa crea un camp central, totes els

punts situats a la mateixa distància són equipotencials.

1. Dues masses puntuals de valors m1=100 kg i m2 = 500 kg es troben situades respectivament en els punts de coordenades (30,0) i (0,40), on les distàncies estan expressades en metres. Calculeu la força gravitatòria que actua sobre cada partícula

2. Quina és la intensitat de camp gravitatori en un punt de l’espai que es troba una altura respecte de la superfície terrestre igual a la longitud del radi terrestre?

3. En els vèrtexs d’un triangle equilàter hi ha tres masses iguals. En quin punt s’anul·la la intensitat de la gravetat?

4. Si en tres dels quatre vèrtexs d’un quadrat tenim tres esferes de masses diferents, la intensitat del camp gravitatori en el centre del quadrat varia segons la posició de les masses en els vèrtexs? Justifiqueu la resposta.

5. Calculeu el camp gravitatori creat en el punt P per la distribució de masses de la figura.

6. Determineu en quin punt de l’espai la intensitat del camp gravitatori s'anul·la, si considerem que només hi ha interacció gravitatòria entre la Terra i la Lluna.

• Velocitat orbital• Període de revolució• Energia mecànica de translació • Velocitat d’escapament• Forma de les trajectòries

Recordem que: Velocitat orbital◦ Velocitat amb que un cos dona voltes a un cos de massa

M

Període de revolució◦ Temps que triga un cos a fer una volta entorn a un cos.

t

sv

∆∆=

Energia potencial

Energia cinètica

Energia total d’un satèl· l i t en òrbita

⇒==rmMG

21

vm21

E T2c r2

mMGE Tc =

rmMGE T

p −=

⇒−=−=+=r

mG

r

mG

r

mGEEE MMM TTT

pc 22 r2mMGE T−=

Conclusions: Si un satèl·lit es separa de

la Terra augmenta l’energia potencial, però disminueix l’energia cinètica.

Si s’apropa a la terra perd energia potencial però augmentarà la seva energia cinètica.

A l’infinit l’energia mecànica serà 0 deixarà d’estar lligat a la Terra.

Donat que en un camp gravitatori, l’energia potencial sempre és negativa i l’energia cinètica sempre positiva, l’energia mecànica total pot ser positiva, negativa o nul·la.

Depenent del signe de l’energia mecànica la trajectòria podrà ser una circumferència, una el·lipse, una paràbola o bé una hipèrbole.

Sol

• Si es la meitat de la Ep rmM

G21

ET −= CIRCUMFERENCIA• Si es mayor que la anterior

pero menor que cero 0ErmM

G21

T ⟨⟨− EL·LIPSE

PARÀBOLA

HIPÈRBOLA

• Si ET = 0 ⇒ Ec = Ep

• Si ET > 0 ⇒ Ec > Ep

Pel principi de conservació de l’energia

A partir de l’energia de satel·lització n'aïllem la velocitat.

E0 = Ef ⇒ Ec,0 + Ep,0 = Ec,f + Ep,f

r2mMG

RmMGE T

T

T,c 0 −=−

−

=r21

R1

mMGET

T,c 0

⇒−

==r21

R1

mMGvm2

1E

TT

2,c 00

−

=r21

R1

MG2vT

T0

Energia de satel· l i tzació

Velocitat de l lançament

Velocitat en que hem de llançar un cos perquè pugui escapar-se de l’atracció terrestre.

Es considera que s’escapa quan Ec+Ep=0Obtenim

RMv

T

TGe 2=

R

MGg

2T

T0 =

RgvTe 0

2=

1. Un satèl·lit de telecomunicacions té una massa 4800 kg i gira en una òrbita circular a 1000 km d’altitud. Determina’n la velocitat orbital i el període de revolució.

2. Calcula l’energia mecànica de translació d’un satèl·lit meteorològic de 5000 kg de massa que gira en una òrbita circular situada a 5000 km de la superfície de la Terra.

3. Un satèl·lit de massa 500 kg es vol posar en òrbita circular a una altura de 300 km de la superfície de la Terra. Calculeu:

La velocitat de rotació del satèl·lit El període L’energia mecànica L’acceleració centrípeta.