tema 6 i 7 del vostrellibrede text - xtec · concepte de camp físic 6.6. potencial gravitatori i...

Tema 6 i 7 del vostre llibre de text

ÍÍNDEXNDEX

6.0. Repàs de matemàtiques: Vectors i vectors unitaris

6.3. Lleis de Kepler i llei de la gravitació universal

6.5. Camp gravitatori terrestre

6.4. Intensitat de camp gravitatori

6.7. Energia potencial i energia potencial gravitatòr ia terrestre

6.2. Concepte de camp físic

6.6. Potencial gravitatori i potencial gravitatori te rrestre

6.8. Satèl·lits: energia mecànica, velocitat posada en òrbita, velocitat escapament.

6.9. Superfícies equipotencials i línies de camp

D1

En FÍSICA utilitzem els vectors per indicar una direcció i sentit.

6.0. Rep6.0. Repààs de matems de matemààtiques: vectors i vectors unitaristiques: vectors i vectors unitaris

m1m2

F13 F23

m3

F13 (FORÇA QUE FA LA MASSA 1 SOBRE LA MASSA 3)

Direcció X i sentit cap a l’esquerra

F13 (-F13,0)


Direcció X i sentit cap a la dreta

F23 (F23,0)

D2

m1

m2

F13

F23

m3


Direcció Y i sentit cap a amunt

F13 (0, F13)


Direcció Y i sentit cap avall

F23 (0, -F23)

D3


El vector té component X i Y

F13 (F13,x , F13, y)

m1

F13m3

F13,X

F13,y

D4

m1

F13m3

F13,X

F13,y

El vector indica la direcció (sobre quina recta es troba) i el sentit (la punta de la fletxa).

COM ES TROBA EL VECTOR? Necessitem dos punts A i B

BA = extrem - origen

A (0,0)

B (2,2)

A (0,0)

B (2,2) BA = (0,0) – (2,2) = (- 2, - 2)

COM ES TROBA EL VECTOR UNITARI DE ? BA

u =BA

BAu =

BA

BA

BA = = = 22 )2()2( −+− 44+ 8

u = = (-2,- 2)

8

−−8

2,

8

2

D5

m1

F13m3

BA = (-2, -2)u =

−−8

2,

8

2

uBA

Els tres vectors tenen la mateixa direcció i sentit, nom és es diferencien en el mòdul (la llargada del vector).

D6

En FÍSICA s’entèn per CAMP. Una regió de l’espai on hi ha present

una determinada magnitud física. Si

aquesta magnitud és escalar (temperatura)

tenim un camp escalar i si la magnitud és

vectorial (velocitats, forces) tenim un camp

vectorial. Cada punt d’aquesta regió li

correspon un valor d’aquesta magnitud.

6.1. Concepte de camp f6.1. Concepte de camp fíísicsic

Camp escalarUn mapa de temperaturesA cada regió licorrespon un valor de temperatura

Camp vectorialCada molèculaté una posició i una velocitat.

D7

Nosaltres estudiarem camps de forces centrals , és a dir, la magnitud física present són forces dirigides cap a un punt:

Forces gravitatòriesCamp gravitatori

Forces elèctriquesCamp elèctric

Tant el camp gravitatori com el camp elèctric són camps conservatius , ja

que les forces gravitatòries i elèctriques són conservatives , és a dir, el

treball que realitzen aquestes forces és independent del camí seguit, només

depèn de la posició final i inicial.

D8

m1

La massa m1 crea un camp gravitatori en l’espai que l’envolta. Com ho sabem?Per què si col·loquem una m2, aquesta massa rep una força gravitatòria.

m2

Analògament m2 crea un camp gravitatori que fa que m1 rebi una força gravitatòria.

D9

m

Camp creat per una massa puntual, M

En cada punt hi ha un valor del camp gravitatori(intensitat del camp gravitatori), malgrat no hihagi massa.Com ho sabem?

Perquè si en cada punt col·loquem una massade prova (1 kg) quedarà sotmesa a la forçagravitatòria.

B

C

D

E A

M

D10

6.3. Lleis de 6.3. Lleis de KeplerKepler i llei de la gravitacii llei de la gravitacióó universaluniversal

Des de la Grecia clàssica, època en què el filòsofs pe nsaven que la Terraera el centre de l’Univers, fins a arribar la llei de la gravitació universal (enunciada per Newton 1642-1727), el coneixement humà va passar perdiverses etapes, una de les qual es la revolució cient ífico-tècnia dels seglesXVI i XVII.

� Segle XVI, Nicolau Copèrnic proposà el model heliocèntric, segons el qual el Sol és el centre del sistema Solar i el plane tes giren al seu voltant.

� Segle XVII, Johannes Kepler seguidor del model heliocèntric, proposàtres lleis empíriques sobre el moviment dels planetes. IMPORTANT!!!!

D11

LLEIS DE KEPLERLLEIS DE KEPLER

1ª LLEI DE KEPLER

Els planetes giren en òrbites el·liptíques en les quals el Sol ocupa un del focus.

Recordem que és una el�lipse:

Centre de l'el·lipse

F F'

F

planeta

sol Distància sol-planeta

planeta

sol

D12

2ª LLEI DE KEPLER

El segment imaginari que uneix un planeta amb el Sol es combra àreesiguals en temps iguals.

Àrea 1Àrea 2

Àrea 1 = Àrea 2

∆∆∆∆t

∆∆∆∆t

Això significa, que si en un mateix instant de temps, ha de recórrer un arc més gran voldrà dir que el planeta va més depressa. És a dir, qu e quan el planeta està méspròxim al Sol, es mou més depressa que quan està més lluny .

D13

3ª LLEI DE KEPLER

El quadrat del període del moviment al voltant del Sol de qualsevol planeta és directament proporcional al cub de la distància mitj ana al Sol.

T2 = k R3 (on k = és la constant de proporcionalitat)

Més endavant deduïrem la constant de proporcionalitat (k )

F

planeta

sol Distància sol-planeta

D14

LLEI DE LA GRAVITACILLEI DE LA GRAVITACIÓÓ UNIVERSALUNIVERSAL

Isaac Newton (1642-1727), va ser el primer científic que utilitzà les matemàtiques de manera rigorosa i va deduir, a partir de les lleis de Kepler, la llei de la Gravitació Universal.

F

planeta

sol Distància sol-planetam1

m2r

F = - Gm1 m2

r2 u

Llei de la gravitació universal

La força d’atracció entre dues partícules de masses m 1 i m2 separades una distànciar, és directament proporcional al producte de les mass es, i inversament proporcional al quadrat de la distància que les separa. Matemàtica ment:

G és la constant de la gravitació universal, de valor 6,67·10-11 N m2/kg2

D15

F = - Gm1 m2

r2 u

- Les forces gravitatòries són sempre d’atracció.

- Degut a que G és molt petita, les forces d’atracció nomé s es noten, quanalmenys una de les masses és molt gran (Terra i nosaltre s, Terra i Sol).

- Aquestes forces tenen la direcció de la recta que uneix imaginàriament les dues masses (són forces centrals).

- Són forces a distància

- Sempre van aparellades, són forces d’acció-reacció

m1 m2

F12 (la força que fa 1

sobre 2)

rm1 m2


sobre 1)

r

D17

F = - Gm1 m2

r2 u

- La força gravitatòria i el vector unitari sempre tenen la mateixa direccióperò sentit oposat.

m1 m2u12 (origen 1 i extrem 2)

r


sobre 2)

m1 m2

u12 (origen 1 i extrem 2)

r


sobre 2)

m1 m2

u21 (origen 2 i

extrem 1)

r


sobre 1)

m1 m2

u21 (origen 2 i

extrem 1)

r


sobre 1)

D17

Problema 1. Calculeu la força gravitatòria que actua sobre cada par tícula.

m2 = 500 kg2 (0,40)

m1 = 100 kg

1 (30,0)


sobre 2)

u12F12 = - G

m1 m2

r2 u12

1r. Busquem la distància, r, entre les dues masses.

Pitàgores r 2 = (40 m)2+ (30 m)2 = 2500:

r = 50 m.

2n. Busquem el vector unitari , és el vector unitari al vector

12u

12r

12r = 2 – 1 = (0,40) – (30, 0) = (-30, 40)

12r = 22 )40()30( +− 2500= = 50

u12 =r12

r12

=(-30,40)

50(-30/50,40/50) = (-0,6, 0,8) =

D18

m2 = 500 kg2 (0,40)

m1 = 100 kg

1 (30,0)


sobre 2)

u12F12 = - G

m1 m2

r2 u12

3r. Busquem la força gravitatòria12F

12u = (- 0,6, 0,8)

F12 = - 6,67·10-11 N m2

kg2

100 kg · 500 kg

(50 m)2(-0,6 , 0,8)

(-0,6 , 0,8) NF12 = - 1,334·10-9

F12 = (8,001·10-10, -1,067·10-9) N

Si et demanen el mòdul de la força

12F =29210 )10·067,1()10·008,8( −− +− = 1,334·10-9 N

D19

F21 = - Gm1 m2

r2 u21

Busquem la força gravitatòria

21u

21F

= (0,6, - 0,8)

F12 = (8,001·10-10, -1,067·10-9) N

Si et demanen el mòdul de la força

21F =29210 )10·067,1()10·008,8( −− −+ = 1,334·10-9 N

m2 = 500 kg2 (0,40)

m1 = 100 kg1 (30,0)


sobre 1)

u21

F21 = (-8,001·10-10, 1,067·10-9) N

D20Deduir la tercera llei de Deduir la tercera llei de KeplerKepler a partir de la llei de la a partir de la llei de la GravitaciGravitacióó Universal.Universal.

Suposem el sistema Terra i Lluna, la Lluna descriu una òrbita circular al voltant de la Terra.

RTL = 3,84·108 m; M L (massa de la Lluna) i M T (massa de la Terra) = 5,98·10 24 kg

Volem saber el període de rotació de la Lluna al voltan t de la Terra.

v

FTL (Força que fa la Terra sobre la Lluna)

Treballem en mòdul

2ª llei de Newton Llei de la gravitació universal

FTL = GmL· mT

R2TL

FTL = mL an

FTL = mL ωωωω 2 RTL

an = V2/R = (ωωωωR)2/R = ωωωω 2 R

D21v


FTL = GmL· mT

R2TL

FTL = mL ωωωω 2 RTL

mL· mT

R2TL

G = mL ωωωω 2 RTL

mL· mT

R2TL

G = mL ωωωω 2 RTL

ωωωω = 2ππππ/T mT

R2TL

G =2ππππT

2

RTL

mT

R2TL

G = RTL4ππππT2

2

mT

R2TL

G = RTL4ππππ 2T2

mTR3

TLG

=4ππππ 2

T2

Constant de proporcionalitat (k)

T2 = k R3

3ª LLEI DE KEPLER

D22v


mTR3

TLG

=4ππππ 2

T2 RTL = 3,84·108 m i M T (massa de la Terra) = 5,98·10 24 kg

=T24ππππ 2

(3,84·108 m)3

6,67·10-11 N m2

kg2 · 5,98·1024 kg

= 5,60·1012T2

= 2,37·106 sT · · = 27,4 dies3600 s

1 h24 h

1 dia

D23

6.4. Intensitat del camp gravitatori6.4. Intensitat del camp gravitatori

Ja hem explicat que un camp físic és una regió de l’espai o n hi ha presentuna magnitud física.

Camp vectorial Magnitud vectorial

Camp gravitatori Força gravitatòria

Un camp gravitatori és una regió de l’espai on hi ha prese nts forcesgravitatòries.

D24

La massa M crea un camp gravitatori.

Com ho sé? Només ho puc saber col·locant una massa m, i veure si rep o no la força gravitatòriaque fa M sobre m.

M

mgF

M

mgF

A

B En cada punt del camp gravitatori, la forçagravitatòria (magnitud física que es mesura) ésdiferent.

D25

El valor del camp gravitatori, rep el nom

d’INTENSITAT DEL CAMP GRAVITATORI

Matemàticament:

g

M

mgF

A

g = Fm

La intensitat del camp gravitatori és la relació entre la força gravitatòria i la massaque rep aquesta força.

Unitats N/kg

IMPORTANT: Diferenciar entre qui crea el camp gravitatori (massa M) i qui sentaquest camp graviatori (massa m)

D26

M

mgA

g = FmF

Com la massa sempre és positiva la força gravitatòria i el camp gravitatorisempre tenen la mateixa direcció i sentit.

g =

- GM m

r2 u

m

g = - Gr2

uM

Aquesta expressió ens indica que la intensitat del campgravitatori disminueix amb el quadrat de la distància.

g

r

A l’igual que la forçagravitatòria, el camp gravitatorité sentit contrari al vector unitari.

D27

M

mgA

g = Fm

F

IMPORTANTÍSSIM:

g = - Gr2

uM

Massa que rep la forçagravitatòria.

Massa que produeix el campgravitatori.

M

mg B

F

D28

El camp gravitatori és un vector. Com es representa? He d’imaginar que en el punt on vullsaber quan val el camp gravitatori col·loco una massa de prova d’1 kg i representem la força que rep aquesta massa de prova.

M

A

B

C

DE

F

G

H

g = Fm

2M

A

B

C

DE

F

G

Hg

g = - Gr2

uM

g2

D29

Ara imagineu que en el punt A col·loquem una massa m = 500 kg. Quan val la forçagravitatòria que sent la massa m?

M

A

g = Fm

g

g = - Gr2

uM

m

F = g · m

F = g · 500 kgF

1ª Forma. Si coneixem el valor del camp gravitatori.

2ª Forma. A partir de l’expressió de força gravitatòri a.

F = - GM · 500

r2 u

D30Camp gravitatori creat per una distribuciCamp gravitatori creat per una distribucióó de masses de masses puntuals.puntuals.

Per determinar la intensitat del camp gravitatori d’una distribució de masses puntualss’aplica el principi de superposició.

Principi de superposició : la intensitat de camp gravitatori originada per una d istribució de masses en un punt de l’espai és la suma vectorial de le s intensitats de camp que creen cadascuna de les masses puntuals separadament.

M1

M2

M3

M4

Punt P1g

2g

3g 4g

Tg = 1g + 2g + 3g + 4g

D31

M1

M2

M3

M4

Punt P1g

2g

3g 4g

Tg = 1g + 2g + 3g + 4g

Ara ja sabem quan val el camp gravitatori en el punt P, si en aquest punt col·loquem una massa de 500 kg quina serà la força gravitatòria que rep.

F = g · m

F = g · 500 kg

m = 500 kg

D32

M M

M

1g

2g

4g

M

Quant val el campgravitatori al mig del quadrat?

3g

Tg = 0 N/kg

D33

Problema 2.

a) Determineu la intensitat de camp gravitatori en el pu nt P del sistema formatper les masses puntuals indicades en la figura A.

b) Si en el punt P col·loquem una massa de 500 kg quina força actua sobre ella.

Punt P m1 = 500 kgPosició (10,0)

m3 = 1500 kgPosició (8,6)

m2 = 1000 kgPosició (0,8)

1g

2g3g

D34

Problema 3. Determineu en quin punt de l’espai la intensitat de camp gravitatoris’anul·la, si considerem que només hi ha l’interacció g ravitatòria entre la Terrai la Lluna.

Dades:

RT = 6,38·106 m

MT (massa de la Terra) = 5,98·10 24 kg

RL = 1,74·106 m

ML (massa de la Lluna) = 7,34·10 22 kg

D (Distància terra-lluna) = 3,84·10 8 m

d = 3,84·108 m

D35

6.5. Intensitat del camp gravitatori terrestre6.5. Intensitat del camp gravitatori terrestre

El principi el teniu vosaltres en la vostra llibreta.

6.5.1. Pes d6.5.1. Pes d’’un cosun cos

6.5.2. Variaci6.5.2. Variacióó del camp gravitatori terrestre amb ldel camp gravitatori terrestre amb l’’alturaaltura

P

gh

RT

g = - G(RT + h)2

MT

g0 = - G(RT )

2

MT = 9,8 N/kg o m/s 2

g

g0=

(RT + h)2

(RT )2

D36

Problema 4. Quina és la intensitat del camp gravitatori en un punt d e l’espai que es troba a una altura respecte la superfície terrestr e igual a la longitud del raditerrestre?

P

gh

RT

g

g0=

(RT + h)2

(RT )2

g

9,8=

(RT +RT)2RT

2

g

9,8=

(2RT )2

RT 2

g

9,8=

4RT 2

RT 2

g =4

9,8= 2,45 N/kg o m/s 2

D37

6.6. Potencial gravitatori i potencial gravitatori terrestre6.6. Potencial gravitatori i potencial gravitatori terrestre

Abans d’explicar això anem a recordar el concepte de tre ball.

W (treball) = F. desplaçament

El treball realitzat per una força que actua sobre un cos.

Ara ja sabem la força que hi ha entre dues masses, la in tensitat del campgravitatori, però si volem estudiar el nostre sistema des del punt de vista energètic, necessitem definir una nova magnitud que és el POTENCIAL GRAVITATORI.

D38

El potencial gravitatori és una magnitud física ESCAL AR

(MOLT IMPORTANT NO VECTORIAL)

que ens permet estudiar el nostre sistema gravitatori d es del punt de vista energètic.

Definim el POTENCIAL GRAVITATORI D’UNA MASSA PUNTUAL EN UN PUNT A (VA) com el treball, canviat de signe, realitzat per la forç a gravitatòria que efectua la massa M per desplaçar una altra massa de prova d’1kg des de l’infinit fins a A.

MA

r

∞ (molt lluny)m = 1 kg

VA = - W∞→A

Per trobar la fórmula es necessitaintegrar però com de moment no sabeu integrar us la poso i ja està.

VA = - Gr

M

D39

Unitats: J/kg.V = - Gr

M

El potencial és una magnitud relativa, el seu valor d epèn del u sistema de referència, per conveni, normalment es pren com a V = O en un punt molt llunyadel nostre sistema gravitatori.

kg2

Nm2 kg

m

MB ∞ (molt lluny)

V∞

= 0 N/kgA

rA

rBVAVB

V

r

VB

VA

El potencial gravitatori en un punt és negatiu

D40

6.6.1 Potencial gravitatori terrestre6.6.1 Potencial gravitatori terrestre

P

h

RT

VP = - GRT + h

MT

A mesura que ens allunyem de la superfície Terrestre e l camp gravitatori disminueix i el potencial gravitatori cada vegada és menys negatiu, per tant més gran. V

r

Problema 5. Calculeu el potencial gravitatori creat per la Terrasuposant que intensitat gravitatòria només actua:

a) A la seva superfícieV = - 6,67·10-11

6,38·106 m

5,98·1024 kgkg2

Nm2= - 6,25·107 J/kg

b) A una altura de 3 radis

V = - 6,67·10-11

4 ·6,38·106 m

5,98·1024 kgkg2

Nm2

= - 1,56·107 J/kg

c) A l’infinit

V = - 6,67·10-11 5,98·1024 kgkg2

Nm2

= 0 J/kg∞

D416.6.2 Potencial gravitatori creat per una distribuci6.6.2 Potencial gravitatori creat per una distribucióó de de masses puntualsmasses puntuals

M1

M2M3

Punt P

VT = V1,P + V2,P+ V3,P

Problema 6. Calculeu el potencial creat en el punt A per la distrib ucióde masses esfèriques indicada en la figura.

m3 = 2000 kg(0,6)

m1 = 1000 kg m2 = 3000 kg(8,0)

P (8,6)

V1,P = - 6,67·10-11

10 m

1000 kgkg2

Nm2= - 6,67·10-9 J/kg

(Es treu fent Pitàgores)

V2,P = - 6,67·10-11

6 m

3000 kgkg2

Nm2= - 3,335·10-8 J/kg

V3,P = - 6,67·10-11

8 m

2000 kgkg2

Nm2= - 1,67·10-8 J/kg

VT = V1,P + V2,P+ V3,P = -5,67·10-8 J/kg

D42

Problema 6. En els vèrtexs d’un quadrat de costat 10 m hi ha quatre es feres igualsde 1000 kg. Calculeu:

M M

M

1g

2g

4g

M

3g

Tg = 0 N/kg

a) La intensitat del camp gravitatori en el centre del quadrat.

b) El potencial en el centre del quadrat.

VT = V1,c + V2,c+ V3,c + V4,c

Diagonal = 200)10()10( 22 =+ mm

r (distància de la massa al centre) = diagonal/2 = 2

200

m

m

V1,c = - 6,67·10-11 1000 kgkg2

Nm2

2

200 m

VT = 4· - 6,67·10-11 1000 kgkg2

Nm2

2

200 m= -3,77·10-8 J/kg

D43

MB A

rB VB

Ep,B = m · VB

VA

Ep,A = m · VA

Ep = m · V

Unitats: kg·J/kg = J

Ep = m - Gr

M

Ep = - Gr

M mEp

r

L’energia potencial (E p) que té un cos m és negativa i zero quan es troba molt lluny del sistema gravitatori, ja que per conveni V

∞= 0 J/kg.

6.7. Energia potencial gravitatòria i energia 6.7. Energia potencial gravitatòria i energia potpotèèncialncialgravitatòria terrestre.gravitatòria terrestre.

Es l’energia que té un cos de massa m pel fet d’estar din s d’un campgravitatori creat per una massa M.

D44

m

h

RT

MT

Ep = - G(RT + h)

MT m (conveni E p = 0 J a l’infinit)

Recordeu que en el tema 3 feieu servir una altra fórmu la

Ep = m · g · h

Aquestes dues fórmules són diferents per la mateixa magnit ud.

Ep = - G(RT + h)

MT mEp = m · g · h

Conveni E P = 0 J a l’infinit Conveni E P = 0 J a la superfície terrestre

Nómés és vàlida per alturesmolt properes a la superfícieterrestre on podem considerar g constant = 9,8 m/s 2.

Té en compte la variació del camp gravitatori terrestre ambla distància

Energia potencial gravitatòria terrestreEnergia potencial gravitatòria terrestre

D45

M1

M2M3

Punt P

VT = V1,P + V2,P+ V3,P

Imagineu que té una distribució de masses puntuals, nor malment usdemanaren en aquest ordre:

a) Calcula el potencial gravitatori en el punt P.

b) Ara en el punt P col·loquem una massa m = 500 kg, q uina E p adquireix la massa?

Ep = m · V = 500 kg· VT

D46

Arribat a aquest punt farem un resum que vull que copieu a la vostrallibreta:

Magnituds vectorials Magnituds escalars

P

r

g

g = - Gr2

uM

r

F

F = g · m

F = - Gm1 m2

r2 u

P

r

V = - Gr

M

r

Ep = m · V

Ep = - Gr

M m

Unitats: N/kg

Unitats: N Unitats: J

Unitats: J/kg

D47

Important, quan treballarem de forma numèrica amb el ca mp gravitatori i la força gravitatòria i NO DE FORMA VECTORIAL.

r

F

m

h

RT

a) En el cas de problemes on el sistema gravitatori sigui la Terra o qualsevol altreplaneta, on la direcció sempre és radial i el sentit cap al centre del planeta.

b) En el cas de problemes on tots elsvectors tenen la mateixa direcció.

F

D48

A

hB

RT

MT

Quin és el treball realitzat per la força gravitatòriaque efectua la Terra per desplaçar la massa m des de la posició A a la posició B?

Wsistema = - ∆Ep

Treball fet pel sistema gravitatoriTreball fet pel sistema gravitatori

B hA

m

Wsistema = - (EpB- EpA) = - (m VB – m VA) = - m (VB – VA)

Wsistema = - G(RT + hB)

MT - - G(RT + hA)

MT= G MT m

(RT + hB)

1-

(RT + hA)

1- m

D49

A

hB

RT

MT

Quin és el treball realitzatpel sistema gravitatori?

Wsistema = - ∆Ep = - (EpB- EpA)

B hA

m

A

hB

RT

MT

B hA

m

Per desplaçar la massa m de la posició B a la posicióB, aquest treball no el fa la Terra, sinó que es necessari una forçaexterna.

Quin és el treball fet per la força externa (oposada a la gravitatòria)?

Wforça externa = ∆Ep

D50

Problema 7. Tenim una massa de 10 kg en repòs sobre una superfície t errestre. Quintreball cal fer per pujar-la fins a una altura de 10 m. I fins una altura de 630 km?

RT 10 m

Dades:

RT = 6,38·106 m MT (massa de la Terra) = 5,98·10 24 kg1

2


Wforça externa = Ep,2 - Ep,1

Ep = - G(RT + h)

MT m

Ep,1 = 5,98·1024 kg · 10 kg

- 6,67·10-11kg2

Nm2

6,37·106 m = - 626.163.265,3 J

Ep,2 = 5,98·1024 kg · 10 kg

- 6,67·10-11kg2

Nm2

6.370.010 m = - 626.162.282,3 J

Wforça externa = -626.162.282,3 - (-626.163.265,3) = 983 J

D51

I fins una altura de 630 km?RT

1

2


Wforça externa = Ep,2 - Ep,1

Ep = - G(RT + h)

MT m

Wforça externa = - 5,70·108 J – (- 6,26·108 J) = 5,6·107 J

630000 m

Ep,1 = 5,98·1024 kg · 10 kg

- 6,67·10-11kg2

Nm2

6,37·106 m = - 626.163.265,3 J = - 6,26·108 J

Ep,2 = 5,98·1024 kg · 10 kg

- 6,67·10-11kg2

Nm2

(6,37·106 + 630 000) = - 5,70·108 J

D52

Problema 8. Considerem tres punts A, B i C. Calculeu el treball efe ctuat per les forces externes per desplaçar un satèl·lit de massa m pe ls tres camins següents:

a) Des del punt A de la superfície de la Terra fins a B directament.

b) Des de A fins a B passant per C.

c) Des de A fins a B per un camí D qualsevol.

RT

A

B

C

RT

A

B

C

RT

A

B

C

D53

RT

A

B


Wforça externa = Ep,B - Ep,A =

r

- GMT m

r- G

MT m-

RT

Wforça externa = - GMT m

r+ G

MT m

RT= G

MT m

RT

- GMT m

r

Wforça externa = G MT m1

RT

- 1r

D54

RT

A

B

C

Wforça externa = ∆Ep = Ep,C - Ep,A = 0 J

El treball que fa la força externa per anar de A a C, v alzero, ja que en els dos punts la massa té la mateixaenergia potencial, ja que aquests punts es troben a la mateixa distància de la Terra.

Wforça externa = ∆Ep = Ep,B - Ep,C = G MT m1

RT

- 1r

Veiem que el treball és el mateix que el de l’apartat A. Aquest resultat era previsible, ja que el camp gravitat ori ésconservatiu, és a dir, el treball només depèn de la pos icióinicial i final, i no del camí seguit.

D55

El treball per anar de A cap a B per un camí qualsevol ha de ser el mateix, ja que el camp gravitatori és conserv atiu.

Wforça externa = ∆Ep = Ep,B - Ep,A = G MT m1

RT

- 1r

RT

A

B

tema 6 i 7 del vostrellibrede text - xtec · concepte de camp físic 6.6. potencial gravitatori i...

Documents